EP13 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP13 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do desta semana voceˆ encontra no seguinte cap´ıtulo do livro de Geometria Ba´sica - Mo´dulo
1 - Volume 1,(Autores:Dirce Uesu Pesco/Roberto Geraldo Tavares Arnaut),
Aula 10: Triaˆngulo Retaˆngulo.
Exerc´ıcio 1: ABC e´ um triaˆngulo equila´tero cujo lado mede 12 cm. Calcule a distaˆncia do ve´rtice
A ao ponto D do lado BC tal que CD = 3 cm.
Soluc¸a˜o: Considere o triaˆngulo equila´tero ABC de lados 12 cm, tal que CD = 3 cm :
Para encontrar a distaˆncia do ve´rtice A ao ponto D pertencente ao lado BC,
considere AH a altura do triaˆngulo equila´tero ABC. Como
BH = HC e CD = 3 cm , enta˜o HD = 3 cm .
No triaˆgulo retaˆngulo AHC usando teorema de Pita´goras
AC
2
= AH
2
+HC
2 ⇒ AH = √144− 36 = √108 = √36 · 3 = 6√3.
Temos que no ∆AHD retaˆngulo em H, usando o Teorema de Pita´goras:
AD
2
= AH
2
+HD
2 ⇒ AD2 = (6√3)2 + 32 = 36 · 3 + 9 = 117
Logo AD =
√
117 = 3
√
13 cm.
Exerc´ıcio 2: Encontre os lados de um triaˆngulo retaˆngulo sabendo que suas medidas esta˜o em pro-
gressa˜o aritme´tica e que o raio do c´ırculo circunscrito mede 25 cm.
Soluc¸a˜o: Considere o triaˆngulo retaˆngulo ABC, onde BÂC = 90◦ e as medidas dos lados esta˜o em
P.A., denote AB = a, AC = a− r e BC = a+ r e o raio do c´ırculo circunscrito mede 25 cm.
Enta˜o BC = 2 · 25 = 50 cm, ou seja BC = a+ r = 50 (1)
Usando o Teorema de Pita´goras no ∆ABC vem:
(a+ r)2 = a2 + (a− r)2 ⇒ a2 + 2ar + r2 = a2 + a2 − 2ar + r2 ⇒ a2 = 4ar.
Geometria Plana – EP13 Tutor 2
Como a > 0, enta˜o a = 4r. Substituindo em (1), vem 4r + r = 50 ⇒ r = 50
5
= 10 cm.
Portanto a = 4 · 10 = 40 cm e a− r = 40− 10 = 30 cm.
Da´ı os lados do triaˆngulo retaˆngulo pedido sa˜o: AB = 40 cm, AC = 20 cm e BC = 50 cm.
Exerc´ıcio 3: No triaˆnguloABC da figura, a mediana AM relativa ao lado BC e´ tal que BÂM = 90◦.
Sabe-se tambe´m que BC = 4 cm e AM = 1 cm. Se α e´ a medida do aˆngulo AB̂C, determine:
a) senα,
b) o comprimento de AC,
c) a altura do triaˆngulo ABC relativa ao lado AB.
Soluc¸a˜o: Construindo a figura a partir do enunciado vem:
BC = 4 cm ⇒ BM =MC = 2 cm e AM = 1 cm e BÂM = 90◦.
a) senα =
1
2
, ja´ que ∆ABM e´ triaˆngulo retaˆngulo em A.
Ou seja, α = 30◦
b) Usando o Teorema de Pita´goras em ABM ,
pois o triaˆngulo e´ retaˆngulo vem:
AB
2
+ 12 = 22 ⇒ AB = √3
Usando a lei dos cossenos em ∆ABC, vem:
AC
2
= 42 + (
√
3)2 − 2 · 4 ·
√
3 · cosα = 16 + 3− 8
√
3 ·
√
3
2
= 7 ⇒ AC =
√
7
c)No ∆BHC vem: sen 30◦ =
h
4
⇒ h = 4 · sen 30◦ = 4 · 1
2
= 2 ⇒ h = 2.
Exerc´ıcio 4: Uma prac¸a circular de raio R foi constru´ıda a partir da planta a seguir:
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias
constru´ıdas no interior da prac¸a, sendo que AB = 90 m
e BĈA = 60◦. De acordo com a planta e as informac¸o˜es
dadas, determine a medida de R.
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Geometria Plana – EP13 Tutor 3
Soluc¸a˜o:
Usando a lei do seno vem:
AB
sen Ĉ
= 2R ⇒ 90
sen 60◦
= 2R ⇒ 2R = 90√
3
2
⇒ R = 90√
3
Portanto o raio da prac¸a circular tem medida
90√
3
metros.
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