Interpolação pelo Método de Lagrange

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Interpolação pelo Método de Lagrange
O presente trabalho consiste na aplicação do método interpolativo de lagrangre no desenvolvimento de um polinômio de uso de uma CPU conforme sua temperatura, sendo possível posteriormente estipular valores para a temperatura e saber o uso aproximado da CPU do computador.
Rafael Rodrigo Pertum
 Com o auxílio do software HWMonitor para o controle da temperatura e o próprio monitor de uso da CPU do computador, observou-se os dados relativos e montou-se uma tabela de desempenho da máquina e sua respectiva temperatura.
 Com a disposição dos dados, através do método interpolativo de lagrange, achou-se um polinômio pelo qual pode-se determinar uma aproximação do uso da CPU através de qualquer temperatura obtida.
Iterpolação pelo Método de Lagrange
Seja Pn(x) o polinômio de grau menor ou igual a n que interpola f(x) em x0, x1, x2, ..., xn. Podemos representar o polinômio interpolador por:
		Pn(x) = y0L0(x)+y1L1(x)+y2L2(x)+y3L3(x)+…+ynLn(x),
Onde os polinômios Lk(x) são de grau n. Para cada i, queremos que Pn(xi) = yi, ou seja
		Pn(x) = y0L0(x)+y1L1(x)+y2L2(x)+y3L3(x)+…+ynLn(x) = yi.
A forma mais simples de satisfazer esta condição é
Lk(xi) = 
 Para isso, definimos Lk(x) por
Lk(x) = 
 É fácil verificar que 
 
 Como o numerador de Lk(x) é um produto de n fatores da forma
(x-xi) , i = 0, 1, 2, ..., n , i ≠ k ,
então Lk(x) é um polinômio de grau n e, assim, Pn(x) é um polinômio de grau menor ou igual a n. Além disso, para x = xi, tal que i = 0, ..., n temos
Pn(xi) = 
 Portanto, a fórmula de Lagrange para o polinômio interpolador é dado por
 Pn(xi) = 
Onde Lk(x) = 
 Aplicação
 
 A temperatura de trabalho de um computador é de grande importância na vida útil da máquina, com o excessivo tempo de trabalho em altas temperaturas, pode comprometer o desempenho devido ao aquecimento dos circuitos internos, que “derretem” com altas temperaturas.
 Dispondo-se do software HWMonitor e o próprio monitor de uso da CPU no gerenciador de tarefas anotou-se a porcentagem de uso da CPU e sua respectiva temperatura, sendo a temperatura ambiente na hora da coleta dos dados 29 °C. Despojados na tabela abaixo.
	Temperatura (°C)
	54
	58
	62
	77
	92
	97
	Uso da CPU (%)
	1%
	3%
	6%
	30%
	60%
	90%
Tabela 1. Uso da CPU e sua respectiva temperatura. fonte: próprio computador pessoal.
 Através destes dados obtidos construiu-se um polinômio de grau 5 pelo método interpolativo de lagrange, onde então pode-se calcular o aproximado uso da CPU tendo-se a temperatura. Obteve-se o seguinte polinômio abaixo:
Desenvolvendo o Lk(x) para cada termo, temos:
Lk(x) = 
L0=(x - 58) (x - 62) (x - 77) (x - 92) (x - 97)	= -x5+386x4-58993x3+4460924x2-166881052x+2470984208
 (54-58) (54-62) (54-77) (54-92) (54-97) 1202624
L1=(x - 54) (x - 62) (x - 77) (x - 92) (x - 97)	= x5-382x4+57681x3-4301048x2+158310164x-2300571504
 (58-54) (58-62) (58-77) (58-92) (58-97) 403104
L2=(x - 54) (x - 58) (x - 77) (x - 92) (x - 97)	= -x5+378x4-56401x3+4149684x2-150490540x+2152147536
 (62-54) (62-58) (62-77) (62-92) (62-97) 504000
L3=(x - 54) (x - 58) (x – 62) (x - 92) (x - 97)	= x5-363x4+51886x3-3651324x2+126619000x-1732898016
 (77-54) (77-58) (77-62) (77-92) (77-97) 1966500
L4=(x - 54) (x - 58) (x – 62) (x - 77) (x - 97)	= -x5+348x4-47821x3+3247014x2-109045660x+1450360296
 (92-54) (92-58) (92-62) (92-77) (92-97) 2907000
L5=(x - 54) (x - 58) (x – 62) (x - 77) (x - 92)	= x5-343x4+46566x3-3129644x2+104195480x-1375599456
 (97-54) (97-58) (97-62) (97-77) (97-92) 5869500
Aplicando yk.Lk(x), tem-se:
y0 . L0 = 1. ( -x5 + 386x4 - 58993x3 + 4460924x2 - 166881052x + 2470984208 ) 
 1202624
 = -8,31515087x10-7x5+3,209648236x10-4x4-49,05356953x10-3x3+3,79325608x2-138,7641125x+2054,660649
y1 . L1 = 3. ( x5-382x4+57681x3-4301048x2+158310164x-2300571504 ) 
 403104
 = 7,442248154x10-6x5-2,842938795x10-3x4+0,4292763153-32,00946654x2+1178,193526x-17121,42403
y2 . L2 = 6. (-x5 + 378x4 - 56401x3 + 4149684x2 - 150490540x + 2152147536 ) 
 504000
= -1,19047619x10-5x5+4,5x10-3x4-671,4404762x10-3x3+49,401x2-1791,554048x+25620,804
y3 . L3 = 30. ( x5 - 363x4 + 51886x3 - 3651324x2 + 126619000x - 1732898016 ) 
 1966500
 =1,525553013x10-5x5-5,537757437x10-3x4+0,791548436x3-55,7028833x2+1931,63997x-26436,27769
y4. L4 = 60. ( -x5 + 348x4 - 47821x3 + 3247014x2 - 109045660x + 1450360296 ) 
 2907000
 = -2,063983488x10-5x5+7,182662539x10-3x4-0,987017543x3+67,01783281x2-2250,684417x+29935,19703
y5. L5 = 90. ( x5 - 343x4 + 46566x3 - 3129644x2 + 104195480x - 1375599456 ) 
 5869500
= 1,533350371x10-5x5-5,259391773x10-3x4+0,714020091x3-47,98840788x2+1597,681779x-21092,75936
Somando ambas as partes obtemos polinômio interpolador de Lagrange:
Pn(x) = y0L0(x)+y1L1(x)+y2L2(x)+y3L3(x)+…+ynLn(x)
P5(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x) + y4L4 + y5L5
P5(x)=4,65520127*10-6x5 –1,636460635*10-3 x4+0,227333253 x3–15,5725993 x2+526,5026975x-7039,799601
 
 Aplicando-se alguns valores técnicos de temperatura estimasse o possível uso da CPU, como mostra a tabela abaixo.
	Temperatura (°C)
	72
	80
	85
	88
	90
	95
	Uso da CPU (%)
	21,03%
	34,96%
	42,81%
	48,40%
	53,35%
	75,10%
Tabela 2. Uso da CPU obtidos a partir da temperatura aplicada ao polinômio.
SCRIPT Software R
#Carregando o pacote (polynom).
require(polynom)
#Plotando os pares ordenados em um plano cartesiano.
x <- c(54,58,62,77,92,97)
y <- c(1,3,6,30,60,90)
plot.new()
plot(x,y, xlab="x", ylab="f(x)",main="Aproximação Polinomial", ylim=c(-40,100),xlim=c(30,100), pch=1, col="blue")
abline(h=0,col="black")
abline(v=54,col="black")
 Gráfico 1. Uso da CPU(%) vs Temperatura (°C).
#Obtenção do polinômio interpolador pelo método de Lagrange.
a<-poly.calc(c(54,58,62,77,92,97),c(1,3,6,30,60,90))
a
#Polinômio interpolador resultante.
-7039.8 + 526.5027*x - 15.5726*x^2 + 0.2273331*x^3 - 0.001636461*x^4 + 4.65517e-06*x^5
 #Plotando a o polinômio no gráfico.
f<-function(x){-7039.8 + 526.5027*x - 15.5726*x^2 + 0.2273331*x^3 - 0.001636461*x^4 + 4.65517e-06*x^5}
 curve(f,col="red",add=T)
 Gráfico 2. Pontos interpolados da tabela pelo polinômio.
Conclusão
Observa-se que a temperatura de trabalho desta CPU, já está acima do normal mesmo não estando em uso, já que o normal está entre 45°C e 60°C, e com a utilização do método interpolativo de lagrange pode-se estimar o uso da CPU com diversas temperaturas obtidas. Conclui-se portando a eficaz aplicação do método de lagrange e que a máquina precisa urgentemente de manutenção, ja que a mesma esta superaquecendo sem mesmo aproveitar o desempenho máximo, compremetendo assim sua vida útil. 
 Referências 
Shemmer, Rosangela C. - Métodos de Interpolação Polinomial, Monografia de Especialização, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, 2013.
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais.3.ed. [S.l.]: Harbra, 1994.
Rafael Rodrigo Pertum, Acadêmico de Engenharia Eletrônica, UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Toledo. Rua Cristo Rei, 19 CEP 85902-490- Toledo - PR – Brasil. E-mail: rafaelpertum@hotmail.com