CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL - Atividade A3

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CÁLCULO 
NUMÉRICO 
COMPUTACIONAL 
 
ATIVIDADE A3 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JULIO ALAFE COPA 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
ENUNCIADO 
 
Interpolar uma função f(x) é aproximá-la por outra função g(x), selecionada 
entre uma classe de funções que satisfazem certas propriedades. Normalmente, 
precisamos recorrer a esta ferramenta em 2 situações: a primeira, quando são 
conhecidos apenas alguns valores numéricos da função para um conjunto de 
pontos, e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; a 
segunda, quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações 
como a diferenciação e a integração são difíceis (ou impossíveis) de serem 
realizadas (FERNANDES, 2015, p. 101). 
FERNANDES, D. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015. 
Considere a tabela a seguir, a qual relaciona o calor específico da água e 
a temperatura e, a partir do exposto acima, utilize a fórmula de Lagrange para 
determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor 
específico em função da temperatura. Em seguida, calcule o calor específico da 
água a 27,5 graus celsius. 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
A formulação para o cálculo da função de interpolação pelo método de 
Lagrange é: 
 
𝑃𝑛ሺ𝑥ሻ = ෍ 𝑦𝑖 ∙ ෑ
൫𝑥 − 𝑥𝑗൯
൫𝑥𝑖−𝑥𝑗൯
𝑛
𝐽=0 ሺ𝑗≠𝑖ሻ
𝑛
𝑖=0
 
 
Para 4 pontos apresentados na tabela, podemos obter um polinômio de grau 3. 
Sendo assim, temos: 
 
𝑃3ሺ𝑥ሻ = 𝑦0 ∙
ሺ𝑥 − 𝑥1ሻ ∙ ሺ𝑥 − 𝑥2ሻ ∙ ሺ𝑥 − 𝑥3ሻ
ሺ𝑥0 − 𝑥1ሻ ∙ ሺ𝑥0 − 𝑥2ሻ ∙ ሺ𝑥0 − 𝑥3ሻ
+ 𝑦1 ∙
ሺ𝑥 − 𝑥0ሻ ∙ ሺ𝑥 − 𝑥2ሻ ∙ ሺ𝑥 − 𝑥3ሻ
ሺ𝑥1 − 𝑥0ሻ ∙ ሺ𝑥1 − 𝑥2ሻ ∙ ሺ𝑥1 − 𝑥3ሻ
+ 𝑦2
∙
ሺ𝑥 − 𝑥0ሻ ∙ ሺ𝑥 − 𝑥1ሻ ∙ ሺ𝑥 − 𝑥3ሻ
ሺ𝑥2 − 𝑥0ሻ ∙ ሺ𝑥2 − 𝑥1ሻ ∙ ሺ𝑥2 − 𝑥3ሻ
+ 𝑦3 ∙
ሺ𝑥 − 𝑥0ሻ ∙ ሺ𝑥 − 𝑥1ሻ ∙ ሺ𝑥 − 𝑥2ሻ
ሺ𝑥2 − 𝑥0ሻ ∙ ሺ𝑥2 − 𝑥1ሻ ∙ ሺ𝑥3 − 𝑥2ሻ
 
 
Substituindo os valores, temos: 
 
𝑃3ሺ𝑥ሻ = 0,99907 ∙
ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ
ሺ20 − 25ሻ ∙ ሺ20 − 30ሻ ∙ ሺ20 − 35ሻ
+ 
0,99852 ∙
ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ
ሺ25 − 20ሻ ∙ ሺ25 − 30ሻ ∙ ሺ25 − 35ሻ
+ 
0,99826 ∙
ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ
ሺ30 − 20ሻ ∙ ሺ30 − 25ሻ ∙ ሺ30 − 35ሻ
+ 
0,99818 ∙
ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ
ሺ35 − 20ሻ ∙ ሺ35 − 25ሻ ∙ ሺ35 − 30ሻ
 
 
Portanto, para encontrar o polinômio P(x) que aproxima a função f(x), basta 
resolver a equação: 
 
𝑃3ሺ𝑥ሻ = 0,99907 ∙
ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ
ሺ−5ሻ ∙ ሺ−10ሻ ∙ ሺ−15ሻ
+ 0,99852 ∙
ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ
ሺ+5ሻ ∙ ሺ−5ሻ ∙ ሺ−10ሻ
+ 
0,99826 ∙
ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ
ሺ+10ሻ ∙ ሺ+5ሻ ∙ ሺ−5ሻ
+ 0,99818 ∙
ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ
ሺ+15ሻ ∙ ሺ+10ሻ ∙ ሺ+5ሻ
 
 
𝑃3ሺ𝑥ሻ = 0,99907 ∙
ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ
−750
+ 0,99852 ∙
ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ
250
+ 
0,99826 ∙
ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ
−250
+ 0,99818 ∙
ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ
750
 
 
𝑃3ሺ𝑥ሻ = −0,001332093333 ∙ ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ 
+0,003994080000 ∙ ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ 
−0,003993040000 ∙ ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ 
+ 0,001330906667 ∙ ሺ𝑥 − 20ሻ ∙ ሺ𝑥 − 25ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ 
 
𝑃3ሺ𝑥ሻ = −0,001332093333 ∙ ሺ𝑥
2 − 55𝑥 + 750ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ 
+0,003994080000 ∙ ሺ𝑥2 − 50𝑥 + 600ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ 
−0,003993040000 ∙ ሺ𝑥2 − 45𝑥 + 500ሻ ∙ ሺ𝑥 − 35ሻ 
+ 0,001330906667 ∙ ሺ𝑥2 − 45𝑥 + 500ሻ ∙ ሺ𝑥 − 30ሻ 
... 
𝑃3ሺ𝑥ሻ = −0,001332093333 ∙ ሺ𝑥
3 − 90𝑥2 + 2675𝑥 − 26250ሻ 
+0,003994080000 ∙ ሺ𝑥3 − 85𝑥2 + 2350𝑥 − 2100ሻ 
−0,003993040000 ∙ ሺ𝑥3 − 80𝑥2 + 2075𝑥 − 17500ሻ 
+ 0,001330906667 ∙ ሺ𝑥3 − 75𝑥2 + 1850𝑥 + 1500ሻ 
 
𝑃3ሺ𝑥ሻ = −0,001332093333 ∙ ሺ𝑥
3 − 90𝑥2 + 2675𝑥 − 26250ሻ 
+0,003994080000 ∙ ሺ𝑥3 − 85𝑥2 + 2350𝑥 − 2100ሻ 
−0,003993040000 ∙ ሺ𝑥3 − 80𝑥2 + 2075𝑥 − 17500ሻ 
+ 0,001330906667 ∙ ሺ𝑥3 − 75𝑥2 + 1850𝑥 − 1500ሻ 
 
𝑃3ሺ𝑥ሻ = −0,001332093333𝑥
3 + 0,119888400000𝑥2 − 3,563349666667𝑥
+ 34,967450000000 + 0,003994080000𝑥3 − 0,339496800000𝑥2
+ 9,386088000000𝑥 − 83,875680000000 − 0,003993040000𝑥3
+ 0,319443200000𝑥2 − 8,285558000000𝑥 − 69,878200000000
+ 0,001330906667𝑥3 − 0,099818000000𝑥2 + 2,462177333333𝑥
− 19,963600000000 
 
𝑃3ሺ𝑥ሻ = −0,000000146667𝑥
3 + 0,000016800000𝑥2 − 0,000642333333𝑥
+ 1,006370000000 
 
Portanto, para encontrarmos o valor de calor específico para temperatura 
de 27°C, basta substituir 27 na função polinomial obtida pelo método de Lagrange: 
 
𝑃ሺ27ሻ = −0,000000146667 ∙ 273 + 0,000016800000 ∙ 272 − 0,000642333333 ∙ 27
+ 1,006370000000 
 
𝑃ሺ27ሻ = 0,998387360000 
 
De forma complementar, foi calculado o resultado de calor específicos nos 
pontos de temperatura informados na tabela (20, 25, 30 e 35 °C), para validar a 
precisão da função polinomial. 
 
 
 
Conforme é possível observar, os resultados encontrados tiveram um erro na 
ordem de 14 casas após a virgula.