MASI Aula 04 A Estrutura Cristalina dos Materiais (2)

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A Estrutura dos Sólidos Cristalinos (2)
Profa. Dra. Juliana Fonseca
Callister – Cap. 03
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Polimorfismo e Alotropia
Alguns elementos podem ter mais do que uma estrutura 
cristalina – Polimorfismo.
Quando encontrada em sólidos elementares – Alotropia.
Ex.: carbono grafite e diamante.
Ex.: ferro cfc e ccc.
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Polimorfismo e Alotropia
Carbono
Na natureza, o elemento químico carbono (C) forma quatro 
variedades alotrópicas: diamante, grafita, fulerenos e nanotubos.
Essas quatro substâncias simples diferem entre si no arranjo dos 
átomos que formam o retículo cristalino, isto é, a sua estrutura.
Nanotubo
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Polimorfismo e Alotropia
Nanotubos de Carbono
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Polimorfismo e Alotropia
Para que servem os nanotubos de carbono?
Para quase tudo, dependendo da maneira com que são produzidos, 
eles apresentam características físicas e químicas diferentes.
São bastante resistentes à ruptura sob tração, sendo 100 vezes mais 
resistentes que o aço e possuindo apenas 1/6 de sua densidade.
Um NC condutor é até 1000 vezes mais eficiente na transmissão de 
eletricidade do que os fios de cobre utilizados atualmente.
Um NC semicondutor, 
por suas dimensões 
reduzidas, pode ser 
utilizado para incluir 
circuitos eletrônicos 
refinados.
IBM constrói primeiro chip de NC em 2012
http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=ibm-primeiro-
chip-nanotubos-carbono&id=010110121030#.WK8yalUrLIU
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Polimorfismo e Alotropia
2013 - Construído primeiro computador de nanotubos de carbono
Uma equipe de engenheiros da 
Universidade de Stanford criou um 
computador elementar usando 
unicamente transistores feitos de 
nanotubos de carbono.
http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=pri
meiro-computador-nanotubos-carbono#.WK8yeVUrLIU
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Polimorfismo e Alotropia
Ferro • Na temperatura 
ambiente, o Ferro tem 
estrutura CCC, número de 
coordenação 8, FEA de 
0,68 e raio atômico de 
0,1241 nm.
• A 910 °C, o Ferro passa 
para estrutura CFC, 
número de coordenação 
12, FEA de 0,74 e um raio 
atômico de 0,1292 nm.
• A 1394 °C, o Ferro passa 
novamente para CCC.
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Coordenadas de Pontos
Ao se tratar com materiais cristalinos, com frequência se torna 
necessário especificar algum plano cristalográfico de átomos 
específico ou uma direção cristalográfica.
Foram estabelecidas convenções de identificação onde 3 
números inteiros (índices) são utilizados para designar as 
direções e os planos.
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Coordenadas de Pontos
Para poder descrever a estrutura cristalina é necessário escolher uma 
notação para posições, direções e planos. 
Posições: São definidas dentro de um cubo com lado unitário.
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Direções Cristalográficas
Direção cristalográfica: linha entre dois pontos, ou um vetor. 
As seguintes etapas são utilizadas na determinação dos 3 índices 
direcionais:
1. Um vetor com o comprimento conveniente é posicionado de 
modo que ele passa através da origem do sistema de coordenadas. 
Qualquer vetor pode ser movido através do retículo cristalino sem 
sofrer alterações, desde que seu paralelismo seja mantido.
2. O comprimento da projeção do vetor sobre cada um dos 3 eixos é 
determinado; estes são medidos em termos das dimensões da 
célula unitária, a, b e c.
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Direções Cristalográficas
3. Estes 3 números são multiplicados ou divididos por um fator 
comum, a fim de reduzi-los aos menores valores inteiros.
4. Os 3 índices são colocados entre colchetes [uvw]
Os inteiros u, v e w correspondem às projeções reduzidas ao longo 
dos eixos x, y e z, respectivamente.
5. Para cada um dos 3 eixos irão existir coordenadas positivas e/ou 
negativas.
6. Também são possíveis índices negativos, representados mediante a 
colocação de uma barra sobre o índice apropriado. 
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Direções Cristalográficas
Índices de uma direção [120]
x y z
Projeções a/2 b 0c
Projeções 1/2 1 0
Reduções 1 2 0
?
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5. Direções Cristalográficas
[0 1 1/2]=[0 2 1]
 As direções são definidas a partir da origem. 
 Suas coordenadas são dadas pelos pontos que cruzam o cubo
unitário. Se estes pontos forem fracionais, multiplica-se para
obter números inteiros.
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
[1 1 0]
[1 1 1]
[1 -1 1]
11 1 
[1/2 1 0]=[1 2 0]
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Direções Cristalográficas
Exercício: Quais os pontos da rede se encontram na direção 
[110] nas células unitárias cfc?
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5. Direções Cristalográficas
Ângulo entre direções no sistema cúbico 
Dado pelo produto escalar entre as direções, tratadas como 
vetores.
Ex: [100] e [010] 
cos= 1.0 + 0.1 + 0.0 = 0 
1 
= 90°
Ex: [111] e [210] 
cos= 1.2 + 1.1 + 1.0 = 3 
3.5 5 
= 39,2° 15
𝐷 ∙ 𝐷′ = 𝐷 𝐷′ cos 𝛿
𝐷 = 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 + 𝑤𝑐
𝐷′ = 𝑢′𝑎 + 𝑣′𝑏 + 𝑤′𝑐
𝐷.𝐷′
𝐷 𝐷′
=
𝑢𝑢′ + 𝑣𝑣′ + 𝑤𝑤′
𝑢2 + 𝑣2 + 𝑤2 × (𝑢′)2 + (𝑣′)2 + (𝑤′)2
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5. Direções Cristalográficas
Famílias de Direções
Família <100>
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5. Direções Cristalográficas
As duas direções pertencem à mesma família?
[101]
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5. Direções Cristalográficas
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CÚBICO
A simetria desta estrutura permite que as direções
equivalentes sejam agrupadas para formar uma família de 
direções:
• <100> para as faces
• <110> para as diagonais das faces
• <111> para a diagonal do cubo
<110>
<111>
<100> 18
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Direções Cristalográficas
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CCC
• No sistema ccc os átomos se 
tocam ao longo da diagonal do 
cubo, que corresponde a família
de direções <111>.
• A direção <111> é a de maior
empacotamento atômico para o 
sistema ccc.
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6. Direções Cristalográficas
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CFC
No sistema cfc, os átomos se 
tocam ao longo da diagonal da 
face, que corresponde à família
de direções <110>.
A direção <110> é a de maior
empacotamento atômico para o 
sistema cfc.
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7. Planos Cristalinos
Planos cristalinos
z
y
x
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7. Planos Cristalinos
A notação para os planos utiliza os índices de Miller, que são 
obtidos da seguinte maneira: 
Obtém-se as interseções do plano com os eixos. 
Obtém-se o inverso das interseções. 
Multiplica-se para obter os menores números inteiros.
Interseções: 1/2, 1
Inversos: 2, 0 ,1 
Índices de Miller: (201) 
1/2
1
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7. Planos Cristalinos
• 11, 
• 1, 1, 0 
• (110)
• 1/2, 
• 0, 2, 0 
• (020)
• 1, -1, 1 
• 1, -1, 1 
• (1 1 1)
• 11, 1
• 1, 1, 1 
• (111)
• 1, -1, 
• 1, -1, 0 
• (1 1 0)
Quando as 
interseções com os 
eixos não são óbvias, 
deve-se deslocar o 
plano ou a origem 
até obter as 
interseções corretas.
• 1, 
• 0, 1, 0 
• (010)
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7. Planos Cristalinos
Planos da Rede Hexagonal
a1
a2
a3
c
1
-1
• , 1, -1, 
• 0, 1, -1, 0 
• (0 1 1 0)
Índices de Miller-Bravais
• 4 coordenadas 
 Os 3 eixos, a1, a2 e a3 estão contidos
dentro da base planar 
 O ângulo entre eles é de 120o
 O eixo Z é perpendicular à base 
planar.
][]'''[ hkillkh 
)( khi 
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Resumindo...
• Direções 
 [uvw] 
• Famílias de direções 
<uvw> 
• Planos 
 (hkl) (índices de Miller) 
Na hexagonal (hkil) (índices de Miller-Bravais) 
i = - (h + k) 
• Famílias de planos 
 {hkl} 
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8. Densidade Atômica Planar
PLANOS DE MAIOR DENSIDADE ATÔMICA NO SISTEMA CCC
• A família de planos
{110} no sistema ccc éo de maior densidade
atômica.
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8. Densidade Atômica Planar
PLANOS DE MAIOR DENSIDADE ATÔMICA NO SISTEMA CFC
• A família de planos {111} no 
sistema cfc é o de maior
densidade atômica.
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8. Densidade Atômica Planar
• Análogo ao fator de empacotamento atômico, que corresponde à densidade
volumétrica de átomos, podemos definir a Densidade Atômica Planar
 DAP = Área Total de Átomos/Área do Plano
• Exemplo
 Calcule a DAP dos planos {100} na rede CFC
1/4 de átomo
1 átomo
Número total de átomos = 1 + 4*1/4 = 2
Área total de átomo = 2 x Área de 1 átomo = 2pR2
Área do Plano = a2 e 4R = a2 => a = 2R2 
DAP = 2pR2/a2 = 2pR2/8R2 = p/40785
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9. Densidade Atômica Linear
• Análogo à DAP podemos definir a Densidade Atômica Linear 
 DAL = Comprimento Total de Átomos/Comprimento de uma direção
(igual ao fator de empacotamento em uma dimensão)
Fração de átomos interceptados por uma linha
• Exemplo
 Calcule a DAL das direções <100> na rede CFC
1/2 átomo
Número total de átomos = 1 + 1 = 2
Comprimento total de átomo = 2 x Raio de 1 átomo = 2R 
Comprimento da Direção = a e 4R = a2 => a = 2R2 
DAL = 2R/a = 2R/ 2R2 = 1/2 0707
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Observações…
As direções compactas estão contidas em planos compactos.
Estes planos e direções serão fundamentais na deformação
mecânica de materiais. 
A deformação mecânica normalmente ocorre pelo
deslizamento de planos.
Em geral, o deslizamento ocorrerá paralelo a planos 
compactos, que preservam sua integridade.
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10. Sistemas de Deslizamento
Deslizamento de um plano compacto 
Pequeno deslizamento  Pequena energia 
 Mais provável
Deslizamento de um plano não compacto 
Grande deslizamento  Grande energia 
 Menos provável
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11. Aplicações
Exemplo: 
Curva de B em 
função de H para 
monocristais de 
níquel (CFC) e de 
ferro (CCC), na 
qual o campo de 
magnetização é 
aplicado nas 
direções 
cristalográficas 
[100], [110] e 
[111].
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11. Aplicações
Cobalto (HC) – direções [0001], 10 10 e 11 20
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12. Difração de Raios X
Como se pode determinar experimentalmente a estrutura 
cristalina de um material ?
- Estudando os efeitos causados pelo material sobre um 
feixe de radiação. 
Qual radiação seria mais sensível à estrutura ? 
- Radiação cujo comprimento de onda seja semelhante ao 
espaçamento interplanar (da ordem de 0,1 nm)  Difração 
de raios X
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12. Difração de Raios X
O espectro eletromagnético
raios gama
raios-x
luz visível
microondas
ondas de rádioUV infravermelho
Comprimento de onda (nm)
Como os raios X têm comprimento de onda da ordem da distância
entre os planos atômicos, eles sofrem difração quando são
transmitidos ou refletidos por um cristal. 35
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12. Difração de Raios X
O FENÔMENO DA DIFRAÇÃO:
Quando um feixe de raios X é dirigido à um material cristalino,
esses raios são difratados pelos planos dos átomos ou íons
dentro do cristal.
Raios X Feixe difratado
Feixe atravessa o cristal 36
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12. Difração de Raios X - A Lei de Bragg
Raios X 
incidentes
Raios X 
difratados
A C
B
  d
 
= distância 
interplanar
Planos 
atômicos
dhkl= a
(h2+k2+l2)1/2
Válido para
sistema cúbico
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12. Difração de Raios X
 Difratômetro (ou método do pó) 
 Uma amostra policristalina é exposta a raios X monocromático. O 
ângulo de incidência varia continuamente. 
 Para certos ângulos, a Lei de Bragg é satisfeita para algum plano de algum 
dos monocristais, em orientação aleatória.
Amostra 
policristalina 
(pó)
Fonte de 
Raios X 
monocromático
Colimador Colimador
Detetor
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12. Difração de Raios X
Espectro de difração para Al (Difratograma)
Uma amostra desconhecida é analisada e seus picos comparados 
com os de materiais conhecidos e tabelados, permitindo assim a 
identificação do material.
 = 0,1542 nm (CuK)
Ângulo (2)
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12. Difração de Raios X
A lei de Bragg relaciona 4 variáveis: 
2d sen = n 
 - o comprimento de onda dos raios X 
pode assumir apenas um valor (monocromático) 
pode assumir muitos valores - raios-X “brancos” (policromáticos) 
d - o espaçamento entre os planos 
pode variar aleatoriamente em função da posição relativa dos diversos monocristais 
que formam uma amostra policristalina 
 - o ângulo de incidência dos raios X 
pode variar continuamente dentro de uma faixa 
pode assumir diferentes valores, em função do conjunto de planos que difrata o 
feixe de raios X 
n - a ordem da difração