aula 08

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Aula 8 – Equações diferenciais com coeficientes constantes. Equações 
homogêneas.
Equações diferenciais de 2a ordem com coeficientes constantes.
Forma geral das equações diferenciais lineares de 2a ordem é
Quando as funções P(x), Q(x), R(x) e g(x) são continuas num intervalo de x, existe uma única
solução.
Nesta parte, nos vamos estudar as equações diferenciais de 2a ordem com coeficientes constantes
ou seja
.
Definição 8.1
A equação de 2a ordem linear se chama homogênea, quando , ou
.
Exemplos das equações homogêneas:
a) 
b) 
c) 
Teorema 8.1
Se as funções e forem soluções da equação homogênea
,
então a função
onde c1 e c2 são constantes reais arbitrárias, é também solução da equação.
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Como as funções e são soluções, então
.
Multiplicando a primeira equação por c1 e a segunda por c2 e somando, obtemos
,
ou seja
.
Vejamos agora, em que condições podemos considerar a solução como
sendo a solução geral da equação homogênea.
Teorema 8.2
Se as funções e forem soluções da equação homogênea
no intervalo , com
neste intervalo, então a função
é a solução geral da equação homogênea.
A expressão é chamada de wronskiano das funções y1 e y2 e é indicado
por
.
Exemplo 8.1
Funções sen(x) e cos(x) são soluções de equação para todos os números reais. Essas
soluções são linearmente independente porque não existe um número k para qual
para todos os x. Por isso, a combinação
é uma nova solução.
2
Calculando wronskiano temos
.
O wronskiano é sempre -1 para estas duas funções.
Propriedades de wronskiano:
a) para todos x no intervalo definido, ou para todos x no intervalo.
b) y1 e y2 são linearmente independente se e só se no intervalo definido. Esta propriedade
se chama o teste de independência linear.
Exemplo 8.2
Verifique pelo substituição que e são soluções de equação diferencial
para todos x.
Resolução da equação homogênea
Temos uma equação homogênea com coeficientes constantes
Se encontramos duas soluções cujo wronskiano seja diferente de zero, teremos então a solução geral.
Observando a equação acima, vemos que os termos dela devem ter soma nula. Para que isto ocorra,
as funções y'', y', e y devem ter o mesmo “aspecto”. Por exemplo, se y(x) for um polinômio, as
derivadas dela seriam polinômios com graus diferentes cuja soma seria não nula.
No entanto, a tentativa , λ sendo um parâmetro a ser determinado, é valida, pois tornaria
o primeiro membro da equação uma combinação linear da função exponencial .
Substituindo na equação homogênea y(x) por , teremos
,
pois
.
Como a função exponencial é diferente do zero, é solução da equação homogênea se e somente
se λ for uma solução da equação
,
que é chamada equação característica da equação dada.
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As raízes desta equação são
.
Conforme seja positivo, nulo ou negativo, teremos, respectivamente, duas raízes reais
distintas, uma raiz dupla, ou um par de números complexos conjugados.
1 o caso:
Temos então duas raízes reais distintas λ1 e λ2 e portanto duas soluções e tais que
.
Como o wronskiano acima não é zero, a solução geral é data por
.
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.
Exemplo 8.3
Dada a equação diferencial
determine duas soluções y1(x) e y2(x) tais que .
Solução
Seja , então
é a equação característica cujas soluções são e , então e 
são soluções da equação dada.
A solução geral é
2 o caso:
Teremos então uma única raiz dupla λ1 e portanto só uma solução .
Consideramos
.
Calculamos as derivada da segunda solução
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Substituindo y2 e as derivadas dela na equação diferencial teremos
O termo com v(x) desapareceu, porque como y1(x) é solução da equação homogênea, então
.
Segue, que y2(x) é solução da equação data se v(x) for solução da equação diferencial
.
Vamos fazer agora e portanto . Lembrando que , então
,
que é uma equação linear em u(x) de primeira ordem.
Segue então que
.
Como
então
.
Mas, como , então .
A solução y2(x) pode ser escrita como
.
5
Exercício 8.1
Verifique, se o wronskiano é diferente de zero.
Exemplo 8.4
Dada a equação diferencial
determine duas soluções y1(x) e y2(x) tais que .
Solução
A equação característica é que tem como raiz dupla. Assim sendo,
 é uma solução.
Por outro lado, 
Exercício 8.2
Verifique wronskiano das soluções do exemplo acima e mostra a solução geral.
3 o caso:
Como , então teremos as raízes complexas
.
Se, como anteriormente, , seria complexo e precisaríamos de duas
soluções reais. Isto pode ser contornado da seguinte forma: seja uma solução
da equação homogênea com valores complexos. Então,
,
ou seja
.
Isso significa que para a solução dar equação nula os partes real e imaginária precisam ser nulas
também,
.
Assim sendo, cada solução complexa da equação homogênea dá origem a duas soluções reais.
Consideramos então a solução complexa .
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Vamos definir
.
Então
.
E portanto temos as soluções reais
.
Vamos definir e calcular wronskiano 
Lembrando que e exponencial não se nula .
Assim sendo, a solução geral neste caso é
.
Exercício 8.3
Resolva a equação diferencial
Verifique wronskiano das soluções e mostra a solução geral.
Solução
A equação característica é que tem raízes .
Segue que , então as soluções são
.
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