CÁLCULO II UNIP E FACULDADES OBJETIVO

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CURSOS LIVRES DE 3º GRAU - AFONSO CARIOCA 
CÁLCULO II 
1. Funções de Várias Variáveis 
1.1. Introdução 
No cálculo I estudamos as funções reais de uma variável do tipo y = f(x); agora estudaremos as 
funções reais de várias variáveis, em especial as de duas variáveis do tipo z = f(x,y). Aliás, somente 
as funções de duas variáveis são passíveis de serem representadas por meio de um gráfico. 
Os conceitos de domínio, imagem e gráficos podem ser estendidos às funções com mais de uma 
variável; e as operações de limites, continuidades e derivadas também serão abordadas em nosso 
estudo. 
É evidente que o conhecimento de derivadas das funções de uma variável será fundamental para o 
acompanhamento desse curso. O aluno que tiver dificuldade nas regras de derivação deve redobrar a 
sua atenção e se esforçar mais ainda para que esse problema seja solucionado. 
1.2. Conceito de Funções de Duas Variáveis 
Uma função f de duas variáveis é um conjunto de ternas ordenadas de números (x, y, z), no qual 
duas ternas ordenadas diferentes não podem ter os dois primeiros números, ao mesmo tempo, iguais. 
A restrição acima, segundo a qual duas ternas ordenadas distintas não podem ter os mesmos 
primeiros números garante que 
z
seja único para um valor específico de 
x e de y
. 
O conjunto de todos os valores possíveis para 
x
 e de todos os valores possíveis para 
y
 é 
denominado de domínio da função enquanto que o conjunto formado pelos valores de 
z
 é chamado 
de conjunto imagem da função. 
Uma função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro conjunto. Para fazer a 
associação é preciso uma lei (regra). A lei é representada por uma equação, que segundo esta lei um 
único valor de 
z
 pode ser determinado sempre que um valor para 
x
 e para 
y
forem dados. 
Seja 
f
 uma função que associa elementos dos conjuntos 
A, B e C
 mediante a lei: multiplica-se por 3 
o valor de 
x
 e por 2 o valor de 
y
pertencentes aos conjuntos A e B, respectivamente para encontrar o 
valor de 
z
. 
Então a função 
f
é o conjunto de todos as ternas ordenadas 
(x,y,z)
tais que 
x, y e z
 satisfazem a lei 
enunciada acima. 
Na linguagem formal, temos: 
 
f : A,B C
 (x,y) 3x 2y

 
 
 
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O conjunto domínio, que denotaremos por 
D(f)
, é o conjunto cujos elementos são os pares ordenados 
(x,y)
 tais que 
x A
 e 
y B
. O conjunto imagem, que denotaremos por 
Im(f)
, é o conjunto cujos 
elementos são todos os valores admissíveis de 
z
. 
Observações: 
1. Divisão: Não se pode dividir por zero. 
2. Radiciação de índice par: O radicando não pode ser negativo. 
Diante dessas duas afirmações podemos estabelecer as seguintes situações: 
1º) Tipo: 
 
 
f x,y
z
g x,y

 
Restrição: 
 g x,y 0
 
2º) Tipo: 
 nz f x,y
 
Restrição: 
 f x,y 0 n e n for par  
 
Obs.: Caso n seja ímpar não existe restrição (desde que a função seja polinomial) e o domínio será 
2D 
. 
3º) Tipo: 
 
 n
f x,y
z
g x,y

 
Restrições:  
 
f x,y 0 n e n for par
f x,y 0 n e n for ímpar
   

  
` 
Obs.: Numa mesma função podem ocorrer mais de um tipo de restrição; neste caso estuda-se cada 
restrição isoladamente e, em seguida, faz-se a interseção dos resultados encontrados. 
1.2.1. Exercícios Propostos 
1. Seja 
2
xy 5
f(x,y)
2 y x



 
a) Esboce o domínio D de f. 
b) Represente os números f(2,5), f(1,2) e f(-1,2). 
2. Seja f a função definida por 
2 2f(x,y) 9 x y  
, represente graficamente seu domínio. 
3. Determine o domínio das funções a seguir e represente-o graficamente se possível: 
 
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a) 
2 3 4yz x y 2x 12
7
   
 b) 
24yz 4x 5y
x 2y
  

 
c) 
3z 4xy x 2 4 y 6    
 d) 2z 7x x 6 2    
e) 
2 9y
z 4xy y 3
xx 4
    

 f) 
7y 3 x
f(x,y) 4x
yy 3

  

 
 Uma função 
f
 de duas variáveis 
x e y
 é uma lei que associa a cada par ordenado de números reais 
(x,y)
 um e somente um número real z representado por 
f(x,y)
. 
Os números 
x, y e z
 são denominados de variáveis. Como os valores da função 
f
dependem de 
x
 e 
de 
y
 e os valores de 
z
 dependem da escolha de 
x
e de 
y
, então 
x
e 
y
são denominadas variáveis 
independentes e 
z
 é denominada variável dependente. 
Uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto do 2 e cuja imagem é 
um subconjunto de . Uma maneira de visualizá-la é através de um diagrama de flechas, conforme 
abaixo: 
 
Podemos identificar funções de duas variáveis em situações práticas, tais como: 
 a área A de um terreno depende da medida do comprimento 
x
 e da largura 
y
; 
 o volume V de um cilindro depende do raio r e da altura h; 
 a potência P depende da intensidade da corrente i e da resistência r; 
 o volume ocupado por um gás depende de sua temperatura T e de sua pressão P; 
 As funções de duas variáveis podem ser representadas graficamente por superfícies em sistema 
tridimensional de coordenadas. Desta forma, para 
z f(x,y)
, o par ordenado 
(x,y)
é um ponto do 
plano XY e o valor correspondente da função 
z f(x,y)
 é a altura. 
y 
 
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122  yxz 
 
224 yxz  
 
1.2. Curvas de Nível 
Seja f uma função de duas variáveis e consideremos o traço do gráfico de f no plano z = k. 
Projetando esse traço no plano xy, obtemos uma curva C de equação f(x,y) = k. Assim, curva de 
nível é a representação de gráficos tridimensionais no plano, através de curvas ou retas. 
1.3.1. Exercícios Propostos 
 
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1. Esboce algumas curvas de nível da função 
2 2f(x,y) 9 x y  
. 
2. Trace as curvas de nível de 
2 2z x y 
, para k = 0, 1, 2, 3 e 4. 
3. Trace as curvas de nível de z = 2 – x – y para k = -4, -2, 0, 2 e 4. 
 
1.4. Exercícios Gerais 
1. Dada a função 
2 2f(x,y) 36 9x 4y  
, faça o que se pede: 
a) Determine f(1, 2). 
b) Escreva e represente graficamente seu domínio. 
c) Determine seu conjunto imagem. 
 
2. Dada a função 
 f(x,y) ln x y 1  
, faça o que se pede: 
a) Determine f(1, 1) e (e, 1). 
b) Escreva e represente graficamente seu domínio. 
c) Determine seu conjunto imagem. 
 
3. Dada a função 
 2f(x,y,z) x ln x y z  
, faça o que se pede: 
a) Determine f(3, 6, 4). 
b) Escreva e represente graficamente seu domínio. 
c) Determine seu conjunto imagem. 
 
4. Escreva e represente graficamente o domínio das funções: 
a) 
f(x,y) x y 
 b) 
f(x,y) x y 
 
c) 
 2 2f(x,y) ln 9 x 9y  
 d) 
x 3y
f(x,y)
x 3y



 
 
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e) 
2 2
3x 5y
f(x,y)
x y 4


 
 f) 
2 2 2f(x,y,z) 1 x y z   
 
5. Represente graficamente as curvas de nível das funções definidas a seguir: 
a) 
f(x,y) xy
 b) 
2 2f(x,y) x y 
 
c) 
x
f(x,y)
y

 d) 
x y
f(x,y)
x y



 
e) 
f(x,y) x y 
 f) 
2f(x,y) x y 
 
 
 
2. Derivadas Parciais 
2.1. Definições 
Se f é uma função de duas variáveis e (x, y) é um ponto do domínio de f, então, as derivadas parciais 
   f x, y f x, y
e
x y
 
 
 de f em (x, y) em relação à primeira e à segunda variável são definidas por: 
           
x 0 y 0
f x, y f x x, y f x, y f x, y f x, y y f x, y
lim e lim
x x y y   
     
 
   
 
Desde que os limites existam. 
2.2. Coeficiente Angular 
Exemplo Resolvido 1: Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção da 
superfície 
2 2z 4 4x y  
com o plano y = 3 no ponto P(-2, 3, 15). 
Solução: 
Basta manter y constante e encontrar 
z
x


: 
 
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 
 
   
 
 
1
2 2 2 2 2
1
2 2 2
2 2
2 2
z 4 4x y 4 4x y
Assim :
z 4 z 16x
4x y 8x
x 2 x 4x y
Ou seja, para x 2 e y 3
z 2,3 16 2 z 2,332 32
x x 5254 2 3

     
 
    
  
  
     
    
  
 
Exemplo Resolvido 2: Encontre a equação da reta tangente à curva do exemplo anterior no ponto 
dado. 
Solução: 
 
   0 00 0
f x , y 32
z z x x ou z 15 x 2
x 5

      

 
2.3. Diferenciais 
Se o ponto (x, y) está próximo do ponto (x0, y0), então: 
           0 0 x 0 0 0 y 0 0 0f x,y f x ,y f x ,y x x f x ,y y y    
 
 
O erro cometido nessa aproximação é dado por 
             0 0 x 0 0 0 y 0 0 0E x,y f x,y f x ,y f x ,y x x f x ,y y y       
 
Definindo-se: 
0 0x x x e y y y     
 temos que: 
       0 0 0 0 x 0 0 y 0 0f x x,y y f x ,y f x ,y x f x ,y y        
 
A condição para que (x, y) esteja próximo de (x0, y0) é que 
0 0x x x e y y y     
 sejam 
pequenos. 
Como 
 z f x x,y y     
, então: 
       
       
   
x y
x y
x y
f x x,y y f x,y f x,y x f x,y y
f x x,y y f x,y f x,y x f x,y y
z f x,y x f x,y y
        
        
     
 
 
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Seja 
z f(x,y)
 e sejam 
x
 e 
y
 incrementos de 
x
 e 
y
, respectivamente. 
As diferenciais 
dx
 e 
dy
 das variáveis independentes 
x
 e 
y
 são 
dx
=
x
 e 
dy
=
y
. 
A diferencial 
z z
dz x y
x y
 
     
 
 ou 
z z
dz dx dy
x y
 
   
 
. 
2.3.1. Exemplos Resolvidos 
1.) Seja 
z f(x,y) x 4y 3   
. 
a) Calcule 
dz
. 
b) Use 
dz
 encontrado para determinar a variação de 
z f(x,y)
quando 
(x,y)
varia de 
(1, 3)
para 
(1,01;2,99)
. 
c) Compare com o resultado acima encontrado. 
2.) Seja 
2V f(r,h) r h  
 a função que nos dá o volume de um cilindro. 
a) Calcule 
dV
. 
b) Use 
dV
 encontrado para determinar a variação de 
2V f(r,h) r h  
 quando o raio e a altura do 
cilindro variam de 6 cm e 15 cm para 6,01 e 15,02, respectivamente. 
c) Compare com o resultado acima encontrado. 
 
 
2.3.2. Aplicações 
As diferenciais são utilizadas no cálculo de valores aproximados. 
1. Seja um retângulo de lados 3 cm e 5 cm. Calcule um valor aproximado para a variação da área 
deste retângulo quando as medidas de seus lados são modificadas para 3,01 cm e 4,95 cm, 
respectivamente. 
2. Seja um triângulo retângulo cujos lados menores medem 4 cm e 6 cm. Calcule um valor 
aproximado para a variação da área deste triângulo quando as medidas seus lados são modificadas 
para 3,99 cm e 5,95 cm, respectivamente. 
3. Seja um reservatório de forma cilíndrica de 2 m raio e 3 m de altura. Calcule um valor aproximado 
para a variação do volume deste reservatório, quando as medidas são modificadas para 2,1 m de raio 
e 2,8 m de altura. 
 
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2.4. Derivação Implícita 
 
Sejam F = F(x, y) e y = f(x) definidas e diferenciáveis, então, a derivada implícita é dada por: 
 
 
 
Sejam F = F(x, y, z) e z = f(x, y) definidas e diferenciáveis, então, as derivadas implícitas são dadas 
por: 
 
    yx
z z
Ff x,y f x,yF
e
x F y F
 
   
 
 
 
2.5. Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais de Funções z = f(x,y) 
Seja uma superfície S no espaço de equação z=f(x,y). Seja P(x1,y1) um ponto sobre S. Ao fixarmos 
a variável y para um valor y1, obteremos um plano no espaço cuja intersecção com S resulta numa 
curva c1, a qual P pertence. 
A derivada parcial da função f em relação a x, no ponto P, pode ser geometricamente interpretada 
como limite da declividade das retas secantes que passam por P e por outros pontos da curva c1, de 
coordenadas (x1+  x, y1), à medida que x se aproxima de 0. No caso limite, a reta secante terá se 
transformado numa reta tangente T à c1, e 
f
x


será assim a sua declividade. 
 
A figura acima mostra, numa seqüência de imagens, x se aproximando de 0, e o comportamento da 
reta secante, mudando de direção. 
A derivada parcial da função f em relação a y, no ponto P, pode ser geometricamente interpretada 
como limite da declividade das retas secantes que passam por P e por outros pontos da curva c2, de 
coordenadas (x1, y1 +  y), à medida que y se aproxima de 0. No caso limite, a reta secante terá se 
transformado numa reta tangente T à c2, e 
f
y


será assim a sua declividade. 
x
y
Fdf
dx F
 
 
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A figura a seguir mostra, numa seqüência de imagens, y se aproximando de 0, e o comportamento 
da reta secante, mudando de direção. 
 
 
 
2.6. Regra da Cadeia 
Situação 1: Seja a função 
A b h 
que nos dá a área de um retângulo de base b e altura h. Sabemos 
que se variarmos a base e/ou a altura então o valor da área também se alterará. Mas para que isto 
ocorra, o valor da base e o valor da altura deverão variar com o passar do tempo t, isto significa que 
as variáveis base e altura dependerão do tempo t. Logo poderemos escrever: 
dA
dt

 taxa de variação da área em relação ao tempo t 
db
dt

 taxa de variação da base em relação ao tempo t 
dh
dt

 taxa de variação da altura em relação ao tempo t 
A
b



 taxa de variação da área em relação à base b 
A
h



 taxa de variação da área em relação à altura h 
 
Fazendo um encadeamento de derivadas, encontraremos a taxa de variação da área em relação ao 
tempo t: 
b t
h t
dA A db A dh
A
dt b dt h dt
 
 
 
    
 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
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Ex.1: Uma peça retangular de metal tem 10 cm de base e 16 cm de altura. Se a base aumentar à 
razão de 0,04 cm/s e altura aumentar à razão de 0,02 cm/s, então determine a taxa de variação da 
área em relação ao tempo. Dado: 
A b h 
 
Situação 2: Seja a função 
2V r h   
que nos dá o volume de um cilindro de raio r e altura h. 
Sabemos que se variarmos o raio e/ou a altura então o valor do volume também se alterará. Mas 
para que isto ocorra, o valor do raio e o valor da altura deverão variar com o passar do tempo t, isto 
significa que as variáveis raio e altura dependerão do tempo t. Logo poderemos escrever: 
dV
dt

 taxa de variação do volume em relação ao tempo t 
dr
dt

 taxa de variação do raio em relação ao tempo t 
dh
dt

 taxa de variação da altura em relação ao tempo t 
V
r



 taxa de variação do volume em relação ao raio r 
V
h



 taxa de variação do volume em relação à altura h 
Fazendo um encadeamento de derivadas, encontraremos a taxa de variação da área em relação ao 
tempo t: 
r t
h t
dV V dr V dh
V
dt r dt h dt
 
 
 
    
 
 
Ex. 2: Uma peça cilíndrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura. Se o raio diminuir à razão de 0,02 
cm/s e altura aumentar à razão de 0,03 cm/s, então determine a taxa de variação do volume em 
relação ao tempo. Dado: 
2V r h   
 
 
2.7. Derivadas Parciais Sucessivas 
Seja f uma função de duas variáveis. Suas derivadas parciais de 1ª ordem , em geral, são funções de 
duas variáveis também. Se as derivadas parciais dessas funções existem, elas são denominadas 
derivadas parciais de 2ª ordem de f. 
Para uma função 
z f(x,y)
temos quatro derivadas parciais de 2ª ordem. 
 
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a) A partir da derivada da função f em relação a variável x , isto é, 
f
x


, obtemos as seguintes 
derivadas parciais de 2ª ordem: 
 
2
2
f f
x x x
   
 
   
 e 2f f
y x y x
   
 
    
. 
b) A partir da derivada da função f em relação a variável y , isto é, 
f
y


, obtemos as seguintes 
derivadas parciais de 2ª ordem: 
 
2
2
f f
y y y
   
 
   
 e 2f f
x y x y
   
 
    
. 
Ex.1: Dadas as funções abaixo, determine as derivadas de 2ª ordem: 
a) 10),( 22  yxyxf 
 
x
x
f
2


 
 
 
22
2
2






x
f
x
x 
  02
2






xy
f
x
y 
 
y
y
f
2


 
 
 
22
2
2






y
f
y
y 
  02
2






yx
f
y
x 
b) 104),( 2  yxyxyxf 
 
yxy
x
f
42 


 
 
 
y
x
f
yxy
x
242
2
2






 
  4242
2






x
xy
f
yxy
y 
 
xx
y
f
42 


 
 
 
04
2
2
2 





y
f
xx
y 
  424
2
2 





x
yx
f
xx
x 
3. Máximos e Mínimos 
3.1. Procedimentos 
Para se encontrar os pontos críticos de uma função z = f(x, y), devemos: 
1º) 
 
f f
f x,y 0 0 e 0
x y
 
    
 
 
2º) Suponha que (a, b) seja um ponto crítico. 
3º) Encontrar a Hessiana: 
 
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 
   
   
2 2
2
2 2
2
f a,b f a,b
x yx
H a,b
f a,b f a,b
y x y
 
 

 
  
 
4º) Conclusões: 
(1) (a, b) é ponto de máximo se H(a, b) > 0 e fxx (a, b) < 0. 
(2) (a, b) é ponto de mínimo se H(a, b) > 0 e fxx (a, b) > 0. 
(3) (a, b) é ponto de sela se H(a, b) < 0. 
(4) Nada se pode afirmar sobre o ponto (a, b) se H(a, b) = 0. 
 
3.2. Método de Lagrange 
Sejam f e g duas funções que dependem de (x, y, z) e são deriváveis, onde f depende de g. Seja 
ainda 
 F x,y,z,
 a função definida a seguir: 
     F x,y,z, f x,y,z g x,y,z    
Os pontos que são soluções do sistema a seguir são pontos críticos da função f que depende de g. 
Assim: 
 
 
 
 
F x,y,z,
0
x
F x,y,z,
0
y
F x,y,z,
0
z
F x,y,z,
0
 


 



 
 

 


 
 
3.3. Exemplos Resolvidos 
1. Encontre e classifique os pontos críticos da função: 
  2 2f x,y x y 2x 4y 2    
 
 
2. Encontre e classifique os pontos críticos da função: 
  4 4f x,y 3x 2y 
 
 
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3. Encontre e classifique os pontos críticos da função 
 f x,y,z xyz
sujeita à restrição 
x y z 42  
. 
 
4. Se 
  2 2 2f x,y,z 4x y 5z  
 , determine o ponto do plano 
2x 3y 4z 12  
 em que f(x, y, z) 
tem máximo. 
 
 
 
5. Uma indústria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria obtido pela venda de 
x unidades do produto A e y unidades do produto B (com x > y) é dado por 
 
2 23x 3y
L x, y 60x 100y xy
2 2
    
. Supondo que toda a produção seja vendida, determine a 
produção que maximiza o lucro. 
Solução:  
 
2 23x 3y
L x, y 60x 100y xy
2 2
L x, y
0
x
6x
60 y 0 60 3x y 0 3x y 60
3
    



         
 
 
 
2 23x 3y
L x, y 60x 100y xy
2 2
L x, y
0
y
6y
100 x 0 100 3y x 0 x 3y 100
2
    



         
 
Resolvendo o sistema: 
3x y 60 9x 3y 180
8x 80 x 10
x 3y 100 x 3y 100
Substituindo :
x 3y 100 10 3y 100 3y 100 10 90 3y 90 y 30
      
       
    
            
 
Ponto crítico P(10; 30) 
 
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 
     
     
2 2
2 2
2
2 2
2
3x 3y
L x, y 60x 100y xy
3 2
L x, y L x, y L x, y
60 3x y 3 1
x x x y
e
L x, y L x, y L x, y
100 3y x 3 1
y y y x
    
  
      
   
  
      
   
 
Assim: 
 
   
   
           
2 2
2
2 2
2
L x, y L x, y
x x y
H x, y
L x, y L x, y
y x y
3 1
H x, y 3 3 1 1 9 1 8 H x, y 8 0
1 3
 
  

 
  
 
              
 
 
 
 
 
2
2
L x, y
H x, y 5 0 e 3 P 10; 30 é ponto de máximo.
x

    

 
Resp: Devem ser vendidas 10 unidades do produto A e 30 unidades do produto B. 
 
4. PROVA RESOLVIDA - UNIP 
Questão 01: Resolva as integrais abaixo 
 
a) 
x 1
x³ x² x
dx
 

 
Solução: 
Devemos fatorar o denominador e reescrever a integral sob a forma de frações parciais. Assim: 
 
 
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 
   1 5 1 52 2
x 1 x 1
x³ x² x x x² x 1
1 5b
2a 2
1 5 1 5
2 2
dx dx dxx 1
x³ x² 1 x
x x
dx dx
x² x 1 0
b² 4ac 1 4 1 ( 1) 5
x x
x² x 1 x x
dx A B C
 
 
   
  
 

 
 

  
            
  
   
       
   
  
 
   
 
Nosso problema consiste em encontrarmos as constantes A, B e C e para isso empregaremos os 
conceitos que aprendemos em sala de aula. Acompanhe: 
 
   
 
1 5 1 5
2 2
Cx 1 x 1 A B
x³ x² x x(x² x 1) x
x x
1 5 1 5 1 5 1 5
2 2 2 2
1 5 1 5 51
2 2 4 4
1 5 1 5 1 5
2 2 2
Eliminando os denominadores:
x-1=A x x Bx x Cx x
x 0 1 A A 1 1A 1 A 1
x 1 B
 
 
   
 
   
 
  
   
       
            
       
   
                  
   

     
   
  
1 5 1 5 1 5 1 5
2 2 2 2
1 5 5 5
1 5 5 3 5
25 5 105 5
5 B
1 5 5 5 B 5 5 B 1 5 B B B
    
 
 

    
         
     
               
 
 
 
   
  
1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5
2 2 2 2 2 2 2
5 1 5 5
5 1 5 3 5
25 5 105 5
x 1 C 5 C
1 5 5 5 C 5 5 C 5 1 C C C
       
 
  

     
            
     
              
 
Fazendo as devidas substituições:    
   
1 5 1 5
2 2
1 5 1 5
2 2
dx dx dxx 1
x³ x² 1 x
x x
5 3 5 5 3 5dx dx dxx 1
x³ x² 1 x 10 10
x x
5 3 5 1 5 5 3 5 1 5x 1
x³ x² 1 10 2 10 10
dx A B C
dx
dx ln x ln x ln x k
 
 

 
 
  
 
 
    
 
  
   
     
   
   
        
   
   
   

 
 
 
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OBS.: Esta questão deve estar copiada errada, por que esta equação x³ - x – x ? Poderia ser, por 
exemplo, x³ - x² - 2x ou qualquer outra função que tenha raízes reais racionais. O efeito produzido 
seria o mesmo. 
 
b) 
2xe senxdx 
 
Solução: 
Trata-se de uma Integração por Partes. Acompanhe: 
2x
2x 2x
2x 2x
2x 2x 2x
2x
2x 2x
e senxdx uv vdu
u e du 2e dx
dv senxdx v cos x
cos x(2e dx) 2 e cos xdx
substituindo :
(I) e senxdx e cos x 2 e cos xdx
Integrando por partes mais uma vez :
e cos xdx uv vdu
u e du 2e dx
dv cos xdx v s
 
  
   
  
  
 
  
  
 
 
 
 
 
2x 2x
2x 2x 2x
2x 2x 2x 2x
2x 2x 2x 2x
2x 2x
en x
senx(2e dx) 2 e senxdx
substituindo :
(II) e cos xdx e senx 2 e senxdx
substituindo (II) em (I) :
e senxdx e cos x 2 e senx 2 e senxdx
e senxdx e cos x 2e senx 4 e senxdx
5 e senxdx e (2senx co

 
   
   
 
 
 
 
 
 
2x2x e
5
s x) e senxdx 2senx cos x k     
c)
5
4 x²
dx


 
Solução: 
Trata-se de uma Integração por Substituição: 
 
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 
5
4 x²
5 2sec² d 5 5 5 5 x
4 x² 4sec² 2 2 4 x² 2 2
dx
x 2 tan dx 2sec² d
4 x² 4 4 tan² 4(1 tan² ) 4sec²
dx 5 d dx arc tan k

 
  

     
        
      

   
 
 
d) 
2x 2xe cos(e )dx 
 
Solução: 
Trata-se de uma Integração por Mudança de Variável: 
 
2x
2x
2x 2x
2x 2x du
2e
2x du 1 1
2 22e
2x 2x 2x1
2
e cos(e )dx
u e du 2e dx dx
substituindo :
e cosu cosudu senu k
retornandoà var iável original :
e cos(e )dx sen e k

    
 
   
 
 

 

 
 
Questão 02: Escreva os domínios das funções e represente-os graficamente: 
a) 
 z ln 4 x² y²  
 
Solução: 
Se 
z ln f(x,y)   
, então, f(x,y) > 0. Logo: 
 
  
z ln 4 x² y² 4 x² y² 0 x² y² 4
x² y² 4 x² y² 16 D x,y ²| x² y² 16
           
         
 
Trata-se da região interna a uma circunferência (exceto os pontos que pertencem à própria 
circunferência) de raio igual a 4 com centro na origem, conforme a figura abaixo: 
 
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b) 
w 16 x² y² z²   
 
Solução: 
Se 
w f(x,y,z)
, então, 
f(x,y,z) 0
. Logo: 
 16 x² y² z² 0 x² y² z² 16 x² y² z² 16 D (x,y,z) ³| x² y² z² 16                   
Trata-
se da região interna de uma esfera (inclusive os pontos da própria esfera) de raio igual a 4 e com 
centro da origem, conforme a figura a seguir: 
 
 
 
c) 
1
w
16 x² y² z²

  
 
Solução: 
 
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Se 
g(x,y,z)
w
f(x,y,z)

, então, f(x,y,z) > 0. Logo: 
  
1
w 16 x² y² z² 0 x² y² z² 16
16 x² y² z²
x² y² z² 16 D x,y,z ³| x² y² z² 16
           
  
        
 
 
Trata-se de um região interna à esfera (exceto os pontos da própria esfera) de raio igual a 4 e com 
centro na origem. Veja a figura abaixo: 
 
 
 
5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
DERIVADAS PARCIAIS 
1. Dadas as funções, calcule as derivadas parciais de 1ª ordem: 
a) 
f(x,y) cx²y
 
b) 
f(x,y) xcos(y x) 
 
c) 
f(x,y) xy² xy x²y  
 
d) 
f(x,y) y²ln(x² y²) 
 
e) 
z a² x² y²  
 
 
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f) 
z x² y² 
 
g) 
x² y²
z
x² y²



 
h) 
y
x
z (x y) arctan     
 
 
i) 
x 2yz (x y) e   
 
j) 
x²y
x² 2y²
z


 
k) 
x² y² 4z e  
 
l) 
z ln(x y) 5x  
 
m) 
z xy² x²y 
 
n) 
1
t
f(w,t) w²t 
 
o) 
f(u,v) uv ln(uv) 
 
p) 
z x²y² xy 
 
q) 
 z x2 y² x² y²   
 
r) 
 x²z e x² y²  
 
 
 
2. Verificar se a função 
z x³y²
 satisfaz a equação 
z z1 2
x y 3y x
0 
 
 
 
3. Verificar se a função 
 z sen x y 
 satisfaz a equação 
z z
x y
0 
 
 
 
4. Determinar, se existir, o plano tangente aos gráficos das funções dadas nos pontos indicados: 
a) 
21 1
1 2 2 2 2
f(x,y) 1 x² y²;P (0,0,1);P , ,
 
    
 
 
b) 
1 2f(x,y) xy;P (0,0,0);P (1,1,1)
 
 
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c) 
1 2z (x 1)² (y 1)²;P (1,1,0);P (1,2,1)   
 
d) 
1 2z 2x² 3y²;P (0,0,0);P (1,1, 1)  
 
e) 
21
1 22x² y²
z ;P (1,1, ); P (0,1,1)


 
f) 
x y
1 2f(x,y) xe ;P 1,1, f(1,1) ;P 1,0, f(1,0)
       
 
5. Demonstre que a função 
P bl k 
 satisfaz a equação 
 P P
l k
l k P 
 
    
 
6. Determineo plano tangente ao parabolóide elíptico z = 2x² + y² no ponto P(1,1,3). 
 
7. Encontre a derivada de ordem superior indicada: 
a) 
4
xxxf(x,y) x²y³ 2x y; f 
 
b) 
xy²
xxyf(x,y) e ;f
 
c) 
xyz
yzyw e ; f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. OUTROS TEMAS 
6.1. Teorema Fundamental do Cálculo 
Funções de uma Variável 
 
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   
 
 
 
 
 
 1
2
u x
2 1
2 1
u x
du x du xd
y f x f x dx f u x f u x
dx dx dx
 
              
 

 
Funções de Duas Variáveis    
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
1
2
1
2
u x,y
2 1
2 1
u x,y
u x,y
2 1
2 1
u x,y
u x,y u x,y
z f x,y f x,y dx f u x,y f u x,y
x x x
e
u x,y u x,y
z f x,y f x,y dx f u x,y f u x,y
y y y
   
                
 
   
                
 


 
6.2. Derivação Implícita 
Regra: mantém-se x ou y constante, considerando que z = f(x, y). 
Exemplo: Dada a função 3x³ -2xyz²+6xyz+2y² = 2, encontre 
z
x


 e 
z
x


. 
Solução: 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
3x³ -2xyz²+6xyz+2y² = 2
Derivando implicitamente em relação a x:
z z
9x 2yz 4xyz 6yz 6xy 0
x y
z z
6xy 4xyz 2yz 6yz 9x
y x
z
6xy 4xyz 2yz 6yz 9x
x
Assim:
z 2yz 6yz 9x
x 6xy 4xyz
 
    
 
 
   
 

   

  

 
 
 
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 
2
2
2
2
3x³ -2xyz²+6xyz+2y² = 2
Derivando implicitamente em relação a y:
z z
2xz 4xyz 6xz 6xy 4y 0
y y
z z
6xy 4xyz 2xz 6xz 4y
y y
z
6xy 4xyz 2xz 6xz 4y
y
Assim:
z 2xz 6xz 4y
y 6xy 4xyz
 
     
 
 
   
 

   

  

 
 
 
Se F(x, y, z) = 0, então: 
FF
z z yx e
F Fx y
z z

     
  
 
 
Exemplo: Dada a função 3x³ -2xyz²+6xyz+2y² = 2, encontre 
z
x


 e 
z
x


. 
Solução: 
 
2 2 2 2
2
3x³ -2xyz²+6xyz+2y² = 2 3x³ -2xyz²+6xyz+2y² -2=0
F x,y,z 3x³ -2xyz²+6xyz+2y² -2
F
z z 9x 2yz 6yz z 2yz 6yz 9xx
Fx x 4xyz 6xy x 6xy 4xyz
z
F
z z 2xz 6xz 4yy
e
Fy y 4xyz 6xy
z



              
       


    
     
   

2z 2xz 6xz 4y
y 6xy 4xyz
   
 
  
 
6.3. Derivada Direcional e Gradiente 
Se f(x, y) é diferenciável em x e y, então, f(x, y) tem derivada direcional na direção de qualquer 
versor û = (a, b) dada por: 
 
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 
   
   
 
   
u
u
f x,y f x,y
D f x,y a b
x y
ou
ˆD f x,y f x,y u
Onde :
f x,y f x,y
ˆ ˆf x,y i j
x y
 
   
 
 
 
  
 
 
6.4. Limites 
Seja f(x, y) uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de 
(a, b). Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) é L e escrevemos 
   
 
x,y a,b
lim f x,y L


 se para todo número 
0 
existe um correspondente 
0 
 tal que 
       2 2f x L sempre que x,y D e 0 x a y b         
. 
Se 
  1f x,y L
 quando 
   x,y a,b
 ao longo do caminho C1 e 
  2f x,y L
 quando 
   x,y a,b
 ao longo do caminho C2, com 
1 2L L
, então, 
   
 
x,y a,b
lim f x

 não existe. 
6.1. Exemplos Resolvidos 
1. Mostrar que os limites seguintes não existem: 
a) 2 2
2 2x 0
y 0
x y
lim
x y

 
 
  
 
Solução: 
 
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 
 
   
 
 
   
2 2
2 2x 0
y 0
2 2 2
2 2 2
x 0 x 0
2 2
2 2 2
x 0 x 0
x y
lim
x y
Caminho x,0 :
x 0 x
f x,0 1
x 0 x
lim f x,0 lim 1 1
Caminho x,x :
x x 0
f x,x 0
x x 2x
lim f x,x lim 0 0


 
 
 
 
  

  

 

  

 
 
Como os limites acima são diferentes, então, o limite dado não existe. 
 
 
 
 
b) 
2 2x 0
y 0
2x
lim
x y

 
  
 
 
 
Solução: 
 
 
   
2 2x 0
y 0
2 2 2
y 0 y 0
2x
lim
x y
Caminho 0,y :
2 0 0
f 0,y 0;para y 0
0 y y
lim f 0,y lim 0 0


 
 
  
 
 

   

 
 
 
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 
 
 
2 2 2
x 0 x 0
Caminho x,x :
2x 2x 2x 2
f x,x
x 2 2x x 2x
2 2
lim f x,x lim
2 2 
   

 
  
 
 
Como os limites são diferentes, então, o limite da função dada não existe. 
2. Verificar se os seguintes limites existem: 
a) 
2 2x 0
y 0
xy
lim
x y

 
 
  
 
Solução: 
 
 
   
 
 
 
2 2x 0
y 0
2 2 2
x 0 x 0
2
2 2 2
x 0 x 0
xy
lim
x y
Caminho x,0 :
x 0 0
f x,0 0; para x 0
x 0 x
lim f x,0 lim 0 0
Caminho x,x :
x x x 1
f x,x
2x x 2x
1 1
lim f x,x lim
2 2


 
 
 
 
  

   

 

  

 
  
 Não existe. 
d) 
2 2x 0
y 0
5y x
lim
2x 2y

 
 
  
 
Solução: 
 
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 
 
 
 
 
 
2 2x 0
y 0
2 2 2
x 0 x 0
2 2 2
x 0 x 0
5y x
lim
2x 2y
Caminho x,0 :
5 0 x x 1
f x,0
2x2x 2 0 2x
1
lim f x,0 lim
2x
Caminho x,x :
5x x 4x 1
f x,x
x2x 2x 4x
1
lim f x,x lim
x


 
 
 
 
  
 
    
 
 
    
 

  

 
   
  
e) 3 3
2 2x 0
y 0
x y
lim
x y

 
 
  
 
Solução: 
 
 
   
3 3
2 2x 0
y 0
3 3 3
2 2 2
y 0 y 0
x y
lim
x y
Caminho 0,y :
0 y y
f 0,y y
0 y y
lim f 0,y lim y 0


 
 
 
  
 
   

  
 
Não existe 
 
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 
 
   
3 3
2 2x 0
y 0
3 3
2 2 2
x 0 x 0
x y
lim
x y
Caminho x,x :
x x 0
f x,x 0; para x 0
x x 2x
lim f x,y lim 0 0


 
 
 
  

   

 
 
Não existe. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
CURSOS LIVRES DE 3º GRAU – CÁLCULO DE FUNÇÕES VÁRIAS VARIÁVEIS 
LIVRO-TEXTO: CÁLCULO – JAMES STEWART 
EXERCÍCIOS PÁG 896 
8. Determine e esboce o domínio da função 
     2f x,y 1 xy
. Qual é a imagem de f? 
Solução: 
Domínio de f(x) 
 
  
  
     
   
     
2
2 2
2 2
2 2
f x,y 1 x y
Restrição :1 x y 0 x y 1
Assim :
D x,y | x y 1
Gráfico :
1 x y 0 x y 1
 
Tabelando alguns valores: 
x -1 0 
y 0 ±1 
 
Testando a origem (0,0) em 
  21 x y 0
: 
 
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         2 21 x y 0 1 0 0 0 1 0 V
. Assim, o domínio da função é mostrado no gráfico abaixo: 
 
 
 
Imagem de f 
 
   
  
          
2
2
f x,y 1 x y
Mas :
z 1 x y 0 Im z D | z 0 Im 0,
 
10. Seja 
      2 2 2g x,y,z ln 25 x y z
 
a) Calcule 
 g 2, 2,4
 
b) Determine o domínio de g 
c) Estipule a imagem de g 
Solução: 
a) Calcule 
 g 2, 2,4
 
   
       
       
   
            
 
       
2 2 2
22 2
g x,y,z ln 25 x y z
g 2, 2,4 ln 25 2 2 4 g 2, 2,4 ln 25 4 4 16
g 2, 2,4 ln 25 24 ln 1 0 g 2, 2,4 0
 
b) Determine o domínio de g 
 
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   
 
  
   
           
  
    
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 2 2 2
g x,y,z ln 25 x y z
Restrição : 25 x y z 0 x y z 25 1
Restrição : x y z 25
Assim :
D x,y,z | x y z 25
 
Esboço do Domínio: 
 
c) Estipule a imagem de g 
   
     
        
   
         
            
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
g x,y,z ln 25 x y z
Desde que 0 25 x y z 25 para x,y,z D, então ln 25 x y z ln 25
Mas :
w ln 25 x y z ln 25 Im w D | w ln 25 Im , ln 25
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12. Determine e faça um esboço do domínio da função 
   f x,y x y
 
Solução: 
 
  
 
 
   
f x,y x y
Restrições : x 0 e y 0
Assim :
D x,y | x 0 e y 0
 
Gráfico: 
    x 0 e y 0 x,y 1º Quadrante
, cujo gráfico é mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PÁG 897 
25. Esboce o gráfico da função 
    2f x,y 1 x
 
Solução: 
OBS.: Para fazer essa questão é preciso rever o conceito de Superfícies Cilíndricas e Quádricas. 
      
   
  
2 2f x,y 1 x z 1 x
z 0 x 1
x 0 z 1
 
  2z 1 x
é um cilindro parabólico, cujo esboço do gráfico é mostrado a seguir: 
 
28. Esboce o gráfico da função 
    2 2f x,y 16 x 16y
 
Solução: 
OBS.: Para fazer essa questão é preciso rever o conceito de Superfícies Cilíndricas e Quádricas.  
 
       
       
 
       
 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
f x,y 16 x 16y z 16 x 16y , z 0
Elevando ao quadrado :
z 16 x 16y x 16y z 16 16
x y z x y z
1 1 ELIPSÓIDE
16 1 16 a b c
 
 
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37. Faça um mapa de contorno da função 
  f x,y xy
, mostrando várias curvas de nível. 
Solução:     

 

   
  
f x,y xy z xy
Curvas de Nível : xy k
k 0 eixos cartesianos
xy k k 0 hipérboles do 1º e 3º quadrantes
k 0 hipérboles do 2º e 4º quadrantes
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
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43. Faça um mapa de contorno da função 
    2f x,y x y
, mostrando várias curvas de nível. 
Solução:       
 
 

    
  
2 2
2
2
f x,y x y z x y
Curvas de Nível : x y k
k 0 eixos cartesianos
x y k k 0 hipérboles do 1º e 3º quadrantes
k 0 hipérboles do 2º e 4º quadrantes
 
 
DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE 
1. Determine a derivada direcional de f no ponto P dado e direção indicada pelo ângulo θ: 
 
   2 3 4f x,y x y y P 2,1 rad
4

   
 
Solução: 
 
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   
   
 
   
   
 
   
2 3 4
u
3 2 2 3
3 2 2 3
f x,y x y y P 2,1 rad
4
D f x,y f x,y u
Onde :
2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆu cos i sen j u cos i sen j u i j
4 4 2 2
f x,y f x,y
ˆ ˆ ˆ ˆf x,y i j f x,y 2xy i 3x y 4y j
x y
Substituindo P 2,1 :
ˆ ˆf x,y 2xy i 3x y 4y j

   
 
    
            
   
 
       
 
        
 
       
 
3 2 2 3
u u
u
ˆ ˆf 2,1 2 2 1 i 3 2 1 4 1 j
ˆ ˆf 2,1 4i 8j
Assim:
2 2 2 2 12 2ˆ ˆ ˆ ˆD f 2,1 f 2,1 u D f 2,1 4i 8j i j 4 8
2 2 2 2 2
Logo :
D f 2,1 6 2
        
  
 
            
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dada a função 
  2yzf x,y,z xe
 no ponto P(3,0,2) na direção do vetor 
2 2 1
u , ,
3 3 3
 
  
 
, determine: 
a) o gradiente de f no ponto P 
b) a derivada direcional de f na direção de 
u
 
c) a taxa de variação de f em P na direção do vetor 
u
 
Solução: 
 
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a) o gradiente de f no ponto P 
   
 
     
 
 
   
2yz
2yz 2yz 2yz
2yz 2yz 2yz 2 0 2 0 2 0
f x,y,z xe P 3,0,2
f x,y,z f x,y,z f x,y,z
ˆˆ ˆf x,y,z i j k
x y z
ˆˆ ˆf x,y,z e i xze j xye k
Substituindo P 3,0,2 :
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆf x,y,z e i xze j xye k f 3,0,2 e i 3 2e j 3 0e k  

  
   
  
   
          
 
0
Assim:
ˆ ˆf 3,0,2 i 6j  
 
b) a derivada direcional de f na direção de 
u
 
   
       
   
u u
u u
2 2 1ˆ ˆf 3,0,2 i 6j 1,6,0 u , ,
3 3 3
2 2 1
D f 3,0,2 f 3,0,2 u D f 3,0,2 1,6,0 , ,
3 3 3
2 2 2 12 10 10
D f 3,0,2 1 6 D f 3,0,2
3 3 3 3 3 3
 
      
 
 
     
 
 
            
 
 
c) a taxa de variação de f em P na direção do vetor 
u
 
 u
10
D f 3,0,2
3
 
 
 
 
 
 
3. Determine a derivada direcional da função f no ponto P e na direção do vetor 
v
. Sendo 
     
3
2 ˆˆf x,y,z x 2y 3z P 1,1,2 v 2j k    
 
Solução: 
 
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     
 
 
 
 
 
     
     
3
2
22
1
2
ˆˆf x,y,z x 2y 3z P 1,1,2 v 2j k
Vetor Unitário:
0,2, 1 0,2, 1v 2 1
u u u u 0, ,
v 5 5 52 1
Gradiente em P 1,1,2 :
f x,y,z f x,y,z f x,y,z
ˆˆ ˆf x,y,z i j k
x y z
3 3ˆf x,y,z x 2y 3z 1 i
2 2

    
   
        
  
  
   
  
       
1
2x 2y 3z 2

        
       
 
       
   
1
2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
3 ˆjˆ x 2y 3z 3 k
2
3 9 ˆˆ ˆf x,y,z x 2y 3z i 3 x 2y 3z j x 2y 3z k
2 2
Substituindo P 1,1,2 :
3 9 ˆˆ ˆf 1,1,2 1 2 1 3 2 i 3 1 2 1 3 2 j 1 2 1 3 2 k
2 2
3 1 1 9 1 ˆˆ ˆ ˆ ˆf 1,1,2 i 3 j k f 1,1,2 0,5i 1,0j
2 29 9 9

  
  
   
         
               
          ˆ1,5k
 
   
       
 
   
u u
u
u u
Derivada Direcional :
2 1ˆˆ ˆf 1,1,2 0,5i 1,0j 1,5k 0,5;1,0;1,5 u 0, ,
5 5
2 1
D f 1,1,2 f 1,1,2 u D f 1,1,2 0,5;1,0;1,5 0, ,
5 5
2 1
D f 1,1,2 0,5 0 1,0 1,5
5 5
2 1,5 0,5 0,5
D f 1,1,2 D f 1,1,2
5 5 5 5
 
       
 
 
     
 
 
       
 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA UNIP 
1. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. 
a) 
  5 3 2 4f x,y x 3x y 3xy  
 
Solução: 
 
b) 
   2 2f r,s r ln r s 
 
Solução: 
   
   
   
 
 
2 2
2 2
r 2 2
2
2 2
r 2 2
s 2 2
s 2 2
f r,s r ln r s
2r
f r,s ln r s r
r s
2r
f r,s ln r s
r s
e
2s
f r,s r
r s
2rs
f r,s
r s
 
   

  

 

 

 
 
c) 
   
x
2
y
f x,y cos t dt 
 
Solução: 
   
     
     
x
2
y
x
2 2
x
y
x
2 2
y
y
f x,y cos t dt
f x,y cos t dt cos x
x
f x,y cos t dt cos y
y


 


  




 
 
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         
     
2 2
y
2 2
y
e
x y
f x,y cos t cos t
x x
f x,y cos x cos y
 
   
 
 
 
2. Determine as derivadas parciais indicadas. 
a)
   2 2 xf x,y x y f 3,4 
 
Solução: 
   
   
     
     
 
2 2
x
1
2 2 2
1
2 2 2
x
1
2 2 2
x
x
f x,y x y f 3,4
f x,y x y
1
f x,y x y 2x
2
Assim:
1
f 3,4 3 4 2 3
2
1
f 3,4
2


 
 
 
  
  
1
29 16 6

   x
3 3
f 3,4
525
  
 
 
 
 
b)
     yf x,y sen 2x 3y f 6,6  
 
Solução: 
     
   
     
   
   
y
y
y
y
y
f x,y sen 2x 3y f 6,6
f x,y 3cos 2x 3y
Assim:
f 6,6 3cos 2 6 3 6
f 6,6 3cos 12 18
f 6,6 3cos 6
  
 
     
   
 
 
 
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3. Use a diferenciação implícita para determinar 
z
x


 e 
z
y


 
41. 
2 2 2x y z 3xyz  
 
Solução: 
 
2 2 2x y z 3xyz
z z
2x 2z 3yz 3xy
x x
z z
2z 3xy 3yz 2x
x x
z
2z 3xy 3yz 2x
x
z 3yz 2x
x 2z 3xy
  
 
   
 
 
   
 

  

 

 
 
e 
 
2 2 2x y z 3xyz
z z
2y 2z 3xz 3xy
y y
z z
2z 3xy 3xz 2y
x y
z
2z 3xy 3xz 2y
y
z 3xz 2y
y 2z 3xy
  
 
   
 
 
   
 

  

 

 
 
LISTA UCG 
1. Ache as derivadas parciais primeiras das funções: 
a) 
  4 3 2f x,y 2x y xy 3y 1   
 
Solução: 
 
 
 
4 3 2
3 3 2
x
4 2
y
f x,y 2x y xy 3y 1
f x,y 8x y y
e
f x,y 6x y 2xy 3
   
 
  
 
 
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b) 
  2 2f r,s r s 
 
Solução: 
 
c) 
  yf x,y xe ysenx 
 
Solução: 
 
 
 
y
y
x
y
y
f x,y xe ysenx
f x,y e y cosx
e
f x,y xe senx
 
 
 
 
 
d) 
 
t v
f t,v ln
t v
 
    
 
Solução: 
 
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OUTRA SOLUÇÃO: 
 
 
 
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8. Uma chapa de metal plana jaz em um plano xy, de modo que a temperatura T em (x, y) seja dada 
por 
   
2
2 2T x,y ln x y 
, em que T é expresso em graus e x e y em centímetros. Ache a taxa 
instantânea de variação de T em relação à distância em (1, 2) na direção do 
a) eixo x b) eixo y 
Solução: 
a) Eixo x 
 
b) Eixo y 
 
 
 
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1. Determine a derivada direcional de f no ponto P dado e direção indicada pelo ângulo θ: 
    
2 3 4f x,y x y y P 2,1 rad
4

    
Solução: 
 
2. Dada a função   2yzf x,y,z xe no ponto P(3,0,2) na direção do vetor 
2 2 1
u , ,
3 3 3
 
  
 , determine: 
a) o gradiente de f no ponto P 
b) a derivada direcional de f na direção de u 
c) a taxa de variação de f em P na direção do vetor u 
Solução: 
a) o gradiente de f no ponto P 
 
 
 
 
b) a derivada direcional de f na direção de u 
 
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c) a taxa de variação de f em P na direção do vetor u 
 u
10
D f 3,0,2
3
  
3. Determine a derivada direcional da função f no ponto P e na direção do vetor v . Sendo 
     
3
2 ˆˆf x,y,z x 2y 3z P 1,1,2 v 2j k     
Solução: 
 
 
 
 
 
 
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5. Exercícios Propostos – UCG 
LISTA 01: DERIVADAS PARCIAIS, DIFERENCIAIS E APLICAÇÕES 
01) Ache as derivadas parciais primeiras de f. 
a) f(x,y) = 2x4y3 – xy2 + 3y + 1 
b) 22),( srsrf  
c) f(x,y) = x.ey + y.senx 
d) vt
vt
vtf


 ln),(
 
e) y
x
xyxf cos.),( 
 
f ) f(x,y,z) = 3x2z + xy2 
g) f(r,s,t) = r2e2scost 
h) f(x,y,z) = xez – yex + ze–y 
i) vwqvwvqf senarcsen),,(  
 
02) Verifique que wxy = wyx . 
a) w = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3y 
 b) w = x3e–2y + y–2cosx 
 
03) Ache wxyz , se w = 3x2y3z + 2xy4z2 – yz 
04) Se w = sen xyz, ache 3w
z y x

  
 
 
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05) Uma função f de x e y é harmônica se 2 2
2 2
f f
0
x y
 
 
 
 em todo domínio de f. Prove que a 
função 22ln),( yxyxf  é harmônica. 
 
06) A lei dos gases ideais pode ser enunciada como PV = knT, em que n é o número de moléculas do 
gás, V é o volume, T é a temperatura, P é a pressão e k uma constante. Mostre que 
V T P
. . 1
T P V
  
 
  
. 
 
07) Mostre que nas funções dadas abaixo, u e v verificam as equações de Cauchy-Riemann: ux = vy e 
uy = – vx . 
a) u(x,y) = x2 – y2 , v(x,y) = 2xy 
b) u(x,y) = excos y ; v = exsen y 
 
08) Uma chapa de metal plana jaz em um plano xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja dada 
por T = 10(x2 + y2)2, em que T é expresso em graus e x e y em centímetros. Ache a taxa instantânea 
de variação de T em relação à distância em (1,2) na direção do: 
a) eixo x b) eixo y 
 
09) Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto (x,y,z) seja dado por V = 100/(x2+ y2+z2), onde 
V é dado em volts e x,y,z em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em relação à 
distância em (2, –1,1) na direção do; 
a) eixo x b) eixo y c) eixo z 
 
10) A maioria dos computadores tem apenas um processador que pode ser utilizado para cálculos. Os 
supercomputadores modernos, entretanto, têm entre dois e vários milhares de processadores. Um 
supercomputador multiprocessador é comparado a um computador uniprocessador em termos de 
speedup. A speedup S é o número de vezes mais rápido que um cálculo pode ser feito com um 
multiprocessador, do que com um uniprocessador. A lei de Amdahl é uma fórmula usada para 
determinar S 
 
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 )1(
),(
qpq
p
qpS


 
em que p é o número de processadores e q é a fração do cálculo que pode ser realizada utilizando 
todos os processadores disponíveis em paralelo, isto é, usando-os de maneira que os dados sejam 
processados concomitantemente por unidades separadas. A situação ideal, paralelismo completo, 
ocorre quando q = 1. 
a) Se q = 0,8 , ache a speedup quando p = 10, 100 e 1000. Mostre que a speedup S não pode 
exceder 5, independentemente do número de processadores disponíveis. 
b) Ache a taxa instantânea de variação de S em relação a q. 
c) Qual a taxa de variação em (b) se há paralelismo completo, e como o número de processadores 
afeta esta taxa de variação? 
 
 
11) A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma 
inalação de ar. Para um indivíduo do sexo masculino x anos de idade e y centímetros de altura, V 
pode ser aproximada pela fórmula V = 27,63y – 0,112xy. Calcule e interprete: 
a) 
V
x


 b) 
V
y


 
12) Seja C o traço do parabolóide z = 9 – x2 – y2 no plano x = 1. Escreva as equações paramétricas 
da tangente l a C no ponto P(1, 2, 4). 
13) As dimensões de uma caixa retangular fechada são 1m, 2m e 3m, com erro possível de 0,16 cm 
em cada medida. Por meio de diferenciais, aproxime o erro máximo no valor calculado: 
a) da área da superfície b) do volume 
14) A temperatura T no ponto P(x,y,z) em um sistema coordenado xyz é dada por T = 8(2x2 + 4y2 + 
9z2)1/2 . Por meio de diferenciais, aproxime a diferença de temperatura entre os pontos (6, 3, 2) e 
(6,1; 3,3; 1,98). 
 
RESPOSTAS 
01) 
a) 326 ;8 24233  xyyxfyyxf yx 
 
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 f) 22 3 ; 2 ;6 xfxyfyxzf zyx  
 b) 2/1222/122 )(
 ;
)( sr
s
f
sr
r
f sr




 
g)
2s 2 2s 2 2s
r s tf 2re cost ; f 2r e cost ;f r e sent   
 
 c)
y y
x yf e ycosx; f xe senx   
 h)
z x x y z y
x y zf e ye ; f e ze ;f xe e
       
 
d) 2222 ; vt
t
f
vt
v
f vt




 i) vwvf
vww
qvqv
q
f
qvqv
v
f
w
vq
 cos
; cos
12
 ;
12






 
e) y
x
sen
y
x
f
y
x
sen
y
x
y
x
f yx
2
 ;cos 






 
 
02) a) wxy = wyx =4y3 –12xy2 
 b) wxy = wyx = –6x2e–2y + 2y–3senx 
 
03) 18xy2 +16y3z 
04) (1 – x2y2z2) cos xyz – 3xyz sen xyz 
 
05) Mostre que 2
2
222
22
2
2
)( y
f
yx
xy
x
f








 
06) ---------- 
 
07) 
a) ux = 2x = vy e uy =–2y = – vx 
b) ux = excos y = vy e uy = –exsen y = – vx 
08) 
a) 200 deg/cm 
b) 400 deg/cm 
 
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09) 
a) –100/9 volts/cm 
b) 50/9 volts/cm 
c) 50/9 volts/cm 
10) 
a) 3,57; 4,81; 4,98; 52,08,0lim  p
p
p 
b) 2)1(
)1(
qpq
pp


 
c) p(p – 1), à medida que o número de processadores aumenta, a taxa de variação do speedup 
também aumenta. 
11) 
a) x
V


= –0,112y ml/ano é a taxa à qual a capacidade pulmonar decresce com a idade para um adulto 
homem. 
 
b) y
V


= 27,63 – 0,112x ml/ano, é difícil de interpretar porque em geral encaramos a altura y de um 
adulto como fixa, em lugar de como função de idade x. 
 
12) 








tz
ty
x
412
1
 
 
13) a) 0,0384 m2 b) 0,0176 m3 
 
14) 2,96 
 
LISTA 02: REGRA DE CADEIA 
 
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01) A energia consumida num resistor elétrico é dada por P = V2/R watts. Se V = 120 volts e R = 
12 ohms, usando diferencial calcular um valor aproximado para a variação de energia quando V 
decresce de 0,001 volts e R aumenta de 0,02 ohms. 
02) O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à razão de 0,01 cm/min e 0,02 
cm/min, respectivamente. 
a) Ache a taxa de variação do volume quando r = 4 cm e h = 7 cm. 
b) A que taxa a área da superfície curva está variando nesse instante? 
03) Certo gás obedece à lei dos gases ideais PV = 8T. Suponha que o gás esteja sendo aquecida à 
taxa de 2°/min e a pressão esteja aumentando à taxa de 1/2 (Kgf/cm2)/min. Se, em certo instante, a 
temperatura é de 200° e a pressão 10 (Kgf/cm2), ache a taxa à qual o volume está variando. 
04) Na idade de 2 anos, um menino típico tem 86 centímetros de altura, pesa 13 quilos e cresce à 
razão de 9 cm/ano e 2 Kg/ano. Use a fórmula de DuBois e Dubois para a área de uma superfície, S = 
0,007184x0,425 y0,725 para o peso x e a altura y, para estimar a taxa à qual a área da superfície do 
corpo está crescendo. 
05) A resistência R, em ohms, de um circuito é dada por R = E/I, onde I é a corrente em ampères e E 
é a força elemotriz em volts. Num certo instante, quando E = 120 volts e I = 15 ampères, E aumenta 
numa velocidade de 0,1 volt por segundo e I diminui à velocidade de 0,05 ampère por segundo. 
Encontre a taxa instantânea de variação de R. 
RESPOSTAS 
01) –2,02 watts 
02) a) 0,88  2,76 cm3/min b) 0,3  0,94 cm2/min 
02) –6,4 cm3/min 
04) 0,07626 cm2/ano 
05) 1/30 Ohms/seg 
 
LISTA 03: DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE 
1) Ache o gradiente de f em P : 
a) 22),( yxyxf  ; P(–4, 3) 
 b) tgyeyxf x3),(  ; P( 0, /4) 
 
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c) 23 2),,( xyzzyxf  ; P(2, –3, 1) 
2)Ache a derivada direcional de f em P na direção indicada: 
a)  jiuyxyxyxf

 
2
2
 ; )1,3(P ; 35),( 22 
b)  jiux
y
tgarcyxf

3 
2
1
 ; )2,1(P ; ),(  
c) jivyxyxf  5 ; )2,3(P ; 149),( 22  
d) ) 1 , 5( ; ) 4 , 2 (P ; cos ),(
2  vyxyxf

 
e) kjivzyxzyxf  32 ; ) 4 , 1 , 2 (P ; ),,( 22  
f) kjivezzyxf xy  53 ; ) 3 , 2 , 1(P ; ),,( 2  
g) ) 1 , 0 , 3( ; ) 1 , 7 , 5 P( ; ))((),,(  vzyyxzyxf  
3) - Ache a derivada direcional de f , em P, na direção de P para Q. 
 - Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em P e determine a taxa 
de variação de f naquela direção. 
 - Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa 
de variação de f naquela direção. 
a) yexyxf 22),(  ; P( 2, 0 ), Q( –3, 1 ) b) 222),,( zyxzyxf  ; P( –2, 3, 1 ), Q( 0, –5, 4) 
4) Uma chapa de metal está situada em um plano xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja 
inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em P( 3, 4 ) é 100º F. 
a) Ache a taxa de variação de T em P na direção de 
i j
 .c) Em que direção T decresce mais 
rapidamente em P? 
b) Em que direção T aumenta mais rapidamente em P ? 
d) Em que direção a taxa de variação é zero? 
 
5) O potencial elétrico V em (x,y,z) é 222 94V zyx  . 
 
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a) Ache a taxa de variação de V em P( 2 , –1, 3) na direção da origem para P. 
b) Ache a direção que produz a taxa máxima de variação de V em P. 
c) Qual é a taxa máxima de variação de V em P? 
6) Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação dada no ponto P: 
a) ) 25 , 1 , 2P( ; 94 22  yxz 
b) ) 1 , 5 , 5P( ; 0102 2  xzyzxy 
c) ) 1 , /3 , 0 P( ; cos 2 yez x 
d) 
y
x ln ; P( 0 , 2 , 1 )
2z

 
RESPOSTAS 
1)a) 





5
3
,
5
4
 b) ( 3, 2 ) c) (–8, 1, –9) 
2)a) 07,725  b) 027,010
32


 
c) 64,1208
2667
 d) 098,052
26
 
 e) 76,427
1480
 f) 34,07
353
2

e g) 79,35
106


 
3)a)
54 , 
5
52
,
5
5
 * 54 , 
5
52
,
5
5
 * 
13
2614




















 
b) 
1 , 
14
14
,
14
143
,
7
14
 * 1 , 
14
14
,
14
143
,
7
14
 * 
154
2225




















 
4)a) 214 b) ji  1612  c) ji  1612  
d) ji  34  
5)a) 7
1489
 b) kji  5484  c) 8,542996  
 
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6)a) x 2 16t
16x 18y z 25 * y 1 18t
z 25 t
  

      
  
 
b) x 5 4t
4x 3y 20z 15 * y 5 3t
z 1 20t
  

     
  
 
c) 
x t
3
x 3y z 1 * y 3t
3 3
z 1 t


 
     

  
 
 d) 
x t
1
2x y 2z 0 * y 2 t
2
z 1 t
 


    

 
 
 
6. Exercícios Resolvidos 
LISTA UCG 
1. Ache as derivadas parciais primeiras das funções: 
a) 
  4 3 2f x,y 2x y xy 3y 1   
 
Solução: 
 
 
 
4 3 2
3 3 2
x
4 2
y
f x,y 2x y xy 3y 1
f x,y 8x y y
e
f x,y 6x y 2xy 3
   
 
  
 
 
b)   2 2f r,s r s  
Solução: 
 
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c) 
  yf x,y xe ysenx 
 
Solução: 
 
 
 
y
y
x
y
y
f x,y xe ysenx
f x,y e y cosx
e
f x,y xe senx
 
 
 
 
 
d) 
 
t v
f t,v ln
t v
 
     
Solução: 
 
 
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OUTRA SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e) 
 
x
f x,y x cos
y
 
   
  
Solução: 
 
 
f) 
  2 2f x,y,z 3x z xy 
 
Solução: 
 
 
 
 
2 2
2
x
y
2
z
f x,y,z 3x z xy
f x,y,z 6xz y
f x,y,z 2xy
e
f x,y,z 3x
 
 


 
 
g) 
  2 2sf r,s, t r e cos t
 
Solução: 
 
 
 
 
2 2s
2s
r
2 2s
s
2 2s
s
f r,s, t r e cos t
f r,s, t 2re cos t
f r,s, t 2r e cos t
e
f r,s, t r e sen t



 
 
 
 
 
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h) 
  z x yf x,y,z xe ye ze  
 
Solução: 
 
 
 
 
z x y
z x
x
x y
y
z y
z
f x,y,z xe ye ze
f x,y,z e ye
f x,y,z e ze
e
f x,y,z xe e
  
 
  
 
 
i)      f q,v,w arcsen qv sen vw  
Solução: 
 
 
 
8. Uma chapa de metal plana jaz em um plano xy, de modo que a temperatura T em (x, y) seja dada 
por    
2
2 2T x,y 10 x y , em que T é expresso em graus e x e y em centímetros. Ache a taxa 
instantânea de variação de T em relação à distância em (1, 2) na direção do 
a) eixo x b) eixo y 
Solução: 
a) Eixo x 
 
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b) Eixo y 
 
9. A maioria dos computadores tem apenas um processador que pode ser utilizado para cálculos. Os 
supercondutores modernos, entretanto, tem entre dois e vários milhares de processadores. Um 
supercomputador multiprocessador é comparado a um computador uniprocessador em termos de 
“speedup”. Um “speedup” S é o número de vezes mais rápido que um cálculo pode ser feito com um 
multiprocessador, do que com um uniprocessador. A Lei de Amdahl é uma fórmula para determinar S. 
Assim: 
 
 
p
S p,q
q p 1 q

  em que p é o número de processadores e q é a fração do cálculo que pode ser 
realizada utilizando todos os processadores disponíveis em paralelo, isto é, de maneira que os dados 
sejam processados concomitantemente por unidades separadas. A situação ideal do paralelismo 
completo ocorre quando p = 1. 
a) Se q = 0,8, ache o “speedup” para p = 10, 100 e 1000. Mostre que o “speedup” S não pode 
exceder 5, independentemente do número de processadores disponíveis. 
b) Acha a taxa instantânea de variação de S em relação a q. 
c) Qual a taxa de variação em (b) se há paralelismo completo, e como o número de processadores 
afeta esta taxa de variação? 
Solução: 
a) Se q = 0,8, ache o “speedup” para p = 10, 100 e 1000. Mostre que o “speedup”S não pode 
exceder 5, independentemente do número de processadores disponíveis. 
 
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b) Taxa instantânea de variação de S em relação a q. 
 
c) Qual a taxa de variação em (b) se há paralelismo completo, e como o número de processadores 
afeta esta taxa de variação? 
 
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À medida que o número de processadores aumenta, a taxa de variação do “speedup” também 
aumenta. 
13. As dimensões de uma caixa retangular fechada são 1 m, 2 m e 3 m, com erro possível de 0,16 
em cada medida. Por meio de diferenciais aproxime o erro máximo no valor calculado: (a) da área da 
superfície; (b) do volume. 
Solução: 
(a) Área da superfície 
 
14. A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma 
inalação de ar. Para um indivíduo do sexo masculino x anos de idade e y centímetros de altura, V 
pode ser aproximada pela fórmula V 27,63y 0,112xy . Calcule e interprete: 
a) 
V
x

 b) 
V
y

 
Solução: 
a) 
V
x

 
V
V 27,63y 0,112xy 0,112y ml /ano
x

       
 
Conclusão: 
V
0,112y ml /ano
x

    

 é taxa à qual a capacidade pulmonar decresce com a idade para 
um indivíduo adulto do sexo masculino. 
 
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b) 
V
y

 
 
Nada se pode concluir. 
15. Seja C o traço do parabolóide 2 2z 9 x y   no plano x = 1. Escreva as equações paramétricas 
da tangente (t) a C no ponto P(1, 2, 4). 
Solução: 
 
16. A temperatura T no ponto P(x,y,z) em um sistema de coordenadas xyz é dada por 
 
1
2 2 2 2T 8 2x y 9z  
. Por meio de diferenciais, aproxime a diferença de temperaturas entre os 
pontos (6, 3, 2) e (6,1: 3,3; 1,98). 
Solução: 
 
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Dessa forma: 
 
DERIVADAS PARCIAIS 
1. Definições 
Se f é uma função de duas variáveis e (x, y) é um ponto do domínio de f, então, as derivadas parciais 
   f x, y f x, y
e
x y
 
 
 de f em (x, y) em relação à primeira e à segunda variável são definidas por: 
           
x 0 y 0
f x, y f x x, y f x, y f x, y f x, y y f x, y
lim e lim
x x y y   
     
 
    
Desde que os limites existam. 
2. Coeficiente Angular 
Exemplo Resolvido 1: Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção da 
superfície 2 2z 4 4x y   com o plano y = 3 no ponto P(-2, 3, 15). 
Solução: 
 
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Basta manter y constante e encontrar 
z
x


: 
 
 
   
 
 
1
2 2 2 2 2
1
2 2 2
2 2
2 2
z 4 4x y 4 4x y
Assim :
z 4 z 16x
4x y 8x
x 2 x 4x y
Ou seja, para x 2 e y 3
z 2,3 16 2 z 2,332 32
x x 5254 2 3

     
 
    
  
  
     
    
  
 
Exemplo Resolvido 2: Encontre a equação da reta tangente à curva do exemplo anterior no ponto 
dado. 
Solução: 
 
   0 00 0
f x , y 32
z z x x ou z 15 x 2
x 5

      
 
 
 
 
 
APROXIMAÇÃO LINEAR 
Se o ponto (x, y) está próximo do ponto (x0, y0), então: 
           0 0 x 0 0 0 y 0 0 0f x,y f x ,y f x ,y x x f x ,y y y    
 
O erro cometido nessa aproximação é dado por 
             0 0 x 0 0 0 y 0 0 0E x,y f x,y f x ,y f x ,y x x f x ,y y y       
 
Definindo-se: 0 0x x x e y y y      temos que: 
       0 0 0 0 x 0 0 y 0 0f x x,y y f x ,y f x ,y x f x ,y y         
 
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A condição para que (x, y) esteja próximo de (x0, y0) é que 0 0x x x e y y y      sejam 
pequenos. 
DIFERENCIAL TOTAL 
Como  z f x x,y y     , então: 
       
       
   
x y
x y
x y
f x x,y y f x,y f x,y x f x,y y
f x x,y y f x,y f x,y x f x,y y
z f x,y x f x,y y
        
        
     
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
1. Procedimentos 
Para se encontrar os pontos críticos de uma função z = f(x, y), devemos: 
1º) 
 
f f
f x,y 0 0 e 0
x y
 
    
  
2º) Suponha que (a, b) seja um ponto crítico. 
3º) Encontrar a Hessiana: 
 
   
   
2 2
2
2 2
2
f a,b f a,b
x yx
H a,b
f a,b f a,b
y x y
 
 

 
  
 
4º) Conclusões: 
(1) (a, b) é ponto de máximo se H(a, b) > 0 e fxx (a, b) < 0. 
(2) (a, b) é ponto de mínimo se H(a, b) > 0 e fxx (a, b) > 0. 
(3) (a, b) é ponto de sela se H(a, b) < 0. 
(4) Nada se pode afirmar sobre o ponto (a, b) se H(a, b) = 0. 
2. Método de Lagrange 
Sejam f e g duas funções que dependem de (x, y, z) e são deriváveis, onde f depende de g. Seja 
ainda  F x,y,z, a função definida a seguir: 
 
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     F x,y,z, f x,y,z g x,y,z    
Os pontos que são soluções do sistema a seguir são pontos críticos da função f que depende de g. 
Assim: 
 
 
 
 
F x,y,z,
0
x
F x,y,z,
0
y
F x,y,z,
0
z
F x,y,z,
0
 


 



 
 

 


 
3. Exemplos Resolvidos 
1. Encontre e classifique os pontos críticos da função:   2 2f x,y x y 2x 4y 2     
 
2. Encontre e classifique os pontos críticos da função:   4 4f x,y 3x 2y  
 
3. Encontre e classifique os pontos críticos da função  f x,y,z xyz sujeita à restrição 
x y z 42   . 
 
4. Se   2 2 2f x,y,z 4x y 5z   , determine o ponto do plano 2x 3y 4z 12   em que f(x, y, z) 
tem máximo. 
 
 
 
 
 
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
 
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Sejam F = F(x, y) e y = f(x) definidas e diferenciáveis, então, a derivada implícita é dada 
por: 
 
 
 
Sejam F = F(x, y, z) e z = f(x, y) definidas e diferenciáveis, então, as derivadas implícitas são dadas 
por: 
 
    yx
z z
Ff x,y f x,yF
e
x F y F
 
   
  
QUESTÃO 04:  
 
2 23x 3y
L x, y 60x 100y xy
2 2
L x, y
0
x
6x
60 y 0 60 3x y 0 3x y 60
3
    



         
  
 
2 23x 3y
L x, y 60x 100y xy
2 2
L x, y
0
y
6y
100 x