MATEMÁTICA BÁSICA - APOSTILA EM DUAS COLUNAS

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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS 
PROJETO TRT 
UNIDADE I: MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 01: FATORAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS 
1. Conjuntos Numéricos 
Os números são os personagens centrais de nosso 
curso, portanto, é preciso conhecê-los e saber realizar 
as operações básicas com eles. Os conjuntos 
numéricos são os seguintes: 
a) Conjunto dos Números Naturais 
0, 1, 2, 3, 4, 
 
b) Conjunto dos Números Inteiros 
, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,  
 
c) Conjuntos dos Números Racionais ou Fracionários 
p
|p q ; q 0
q
  
 
d) Conjunto dos Números Irracionais 
I x |
p
x
q
 
e) Conjunto dos Números Complexos ou Imaginários 
z a,b | z a bi; a b ; i 1 
 
Os números foram surgindo à medida que obstáculos 
de operações tiveram que ser superados. Podemos 
notar que existem as seguintes relações: 
i
ii I
iii
  
  
 
 
 
 
 
2. Fatoração de um Número Natural 
Fatorar um número é escrevê-lo sob a forma de um 
produto de fatores primos. Os números primos são 
aqueles que admitem como divisores a unidade e o 
próprio número. A seqüência dos primeiros números 
primos é a seguinte: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 
29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, etc. 
Exemplos I 
Ex.1: Fatore os números abaixo: 
1. 1800 = 
2. 480 = 
3. 2187 = 
4. 3125 = 
5. 683 = 
2.1. MMC e MDC 
O MMC (Mínimo Múltiplo Comum) de dois ou mais 
números naturais é o produto dos fatores primos 
comuns e não-comuns, elevados aos seus maiores 
expoentes. Ou seja, o MMC de dois ou mais números 
naturais é o menor múltiplo desses números. 
O MDC (Máximo Divisor Comum) de dois ou mais 
números naturais é o produto dos fatores primos 
comuns, elevados aos seus menores expoentes. Ou 
seja, o MDC de dois ou mais números naturais é o 
maior divisor desses números. 
Para calcularmos o MMC, devemos: 
1º) Fatorar todos os números simultaneamente. 
2º) Multiplicamos todos os fatores primos. 
Para calcularmos o MDC, devemos: 
1º) Fatorar todos os números simultaneamente. 
2º) Marcamos os divisores comuns de cada divisão. 
3º) Multiplicamos somente os fatores primos 
assinalados. 
 
 
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Exemplos II 
Ex.2: Encontre o MMC dos números abaixo: 
1. MMC (28, 56, 72) = 
2. MMC (15, 75, 105) = 
3. MMC (14, 21, 42) = 
4. MM (108, 216, 512) = 
Ex.3: Encontre o MDC dos números abaixo: 
1. MDC (20, 30, 105) = 
2. MDC (224, 416, 508) = 
3. MDC (36, 72, 108) = 
4. MDC (15, 75, 95) = 
2.2. Divisores de um Número Natural 
A fatoração de um número natural é aplicada para 
que possamos resolver dois tipos de problemas 
básicos: 
1º) Quantos divisores tem um número natural? 
2º) Quais são os divisores de um número natural? 
Exemplos III 
Ex.4: Quantos divisores têm os números abaixo? 
1. 180 
2. 243 
3. 2800 
4. 405 
Ex.5: Quais são os divisores inteiros dos números 
abaixo? 
1. 81 
2. 128 
3. 300 
4. 75 
3. Razão e Proporção 
Razão é a relação entre duas grandezas de mesma 
espécie (mesma unidade) escrita sob a forma de uma 
fração, onde o numerador chama-se antecedente e 
o denominador, conseqüente. 
As principais razões são: 
1ª) Escala (E) – é a razão entre o tamanho desenhado 
(D) e o tamanho real (R) e é muito utilizada em 
mapas geográficos. Assim, temos: 
D
E
R 
2ª) Velocidade (V) – é a razão entre a distância 
percorrida (d) e o tempo (t) necessário para percorrer 
essa distância. Ou seja: 
d
V
t
 
Proporção é a igualdade entre duas razões onde vale 
a seguinte propriedade fundamental: “o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos”. 
Exemplos IV 
Ex.6: A distância entre duas cidades é representada 
em um mapa por um segmento retilíneo de 25 cm. 
Qual a distância real entre as cidades, sabendo-se 
que a escala utilizada é 1:500000? 
Ex.7: Que distância um veículo percorre em 3,5 h a 
uma velocidade de 25 m/s? 
Ex.8: Quanto tempo um veículo gasta para percorrer 
800 km a uma velocidade 30 m/s? 
AULA 02: GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
1. Noção de Correspondência 
Dados dois conjuntos de números, A e B, que se 
sucedem numa determinada, chamaremos de 
números correspondentes aqueles que ocupam a 
mesma posição e estão na mesma coluna. Assim: 
A :1 2 3 4 5 6 7
B :2 4 6 8 10 12 14
 
 
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2. Números Proporcionais 
2.1. Números Diretamente Proporcionais 
Os elementos de dois conjuntos em correspondência 
são diretamente proporcionais quando as razões dos 
números correspondentes são todas iguais. Assim: 
A :1 2 3 4 5 6 7
B :2 4 6 8 10 12 14
 
são diretamente proporcionais PORQUE: 
1 2 3 4 5 6 7
2 4 6 8 10 12 14
. 
2.2. Números Inversamente Proporcionais 
Os elementos de dois conjuntos em correspondência 
são inversamente proporcionais quando os produtos 
dos números correspondentes são iguais. Assim: 
A : 1 2 3 4 5 6
B :60 30 20 15 12 10
 
são inversamente proporcionais PORQUE 
1 60 2 30 3 20 4 15 5 12 6 10
. 
2.3. Propriedade dos Números Proporcionais 
Quando dois conjuntos de números em 
correspondência são diretamente ou inversamente 
proporcionais, a proporcionalidade não se altera se 
todos os elementos de um dos conjuntos forem 
multiplicados (ou divididos) por um número diferente 
de zero. 
3. Grandezas Proporcionais 
3.1. Introdução 
Existem em nosso dia a dia muitas espécies de 
grandezas tão intimamente relacionadas entre si que 
qualquer variação em uma delas provoca uma 
variação direta ou inversa na outra. Assim: 
 A superfície de um quadrado varia com o 
quadrado da medida do lado. 
 A superfície de um retângulo, de base 
constante, varia com a medida da altura. 
 O comprimento de uma circunferência varia 
com a medida de seu raio. 
 A quantidade de uma obra varia com a 
quantidade de operários para executá-la. 
 O consumo de víveres varia com o número de 
pessoas. 
 
3.2. Grandezas Diretamente Proporcionais 
Duas grandezas, dependentes uma da outra, são 
diretamente proporcionais quando a variação em uma 
delas provoca variação na outra de mesmo sentido. 
Assim, se uma aumenta, a outra também aumenta; 
se uma delas diminui, a outra também diminui. 
Duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando a razão de seus valores correspondentes 
permanece constante. 
3.3. Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas, dependentes uma da outra, são 
inversamente proporcionais quando a variação de 
uma delas provoca na outra uma variação de sentido 
contrário, ou seja, se uma delas aumenta a outra 
diminui; se uma delas diminui, a outra aumenta. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais 
quando o produto de seus valores correspondentes 
permanece constante. 
4. Divisão Proporcional 
4.1. Introdução 
Dividir uma grandeza (ou um número) em partes, 
diretamente ou inversamente, proporcionais é um 
processo de decomposição; de tal forma que a soma 
das partes seja igual a todo dividido, qualquer que 
seja o tipo de divisão. Assim, nós iremos estudar: 
 Divisão Diretamente Proporcional (DP) 
 Divisão Inversamente Proporcional (IP) 
 Divisão Proporcional Composta: 
 
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o DP x DP 
o IP x IP 
o DP x IP ou IP x DP 
4.2. Divisão Diretamente Proporcional (DP) 
Uma grandeza é dividida em partes diretamente 
proporcionais a vários números, se essas partes 
formam com estes números razões iguais. Na divisão 
diretamenteproporcional a maior parte 
corresponde ao maior número. 
 
Ex.1: Dividir 60 em partes diretamente proporcionais 
aos números 3,4 e 5. 
Solução: 
De acordo com o problema, podemos escrever: 
x y z 60
x 3k
x y z
k y 4k
3 4 5
z 5k
Assim:
x y z 60 3k 4k 5k 60 12k 60 k 5
Sustituindo :
x 3k x 3 5 15 x 15
y 4k y 4 5 20 y 20
z 5k z 5 5 25 z 25
Resp : As partes são 15, 20 e 25.
 
0BSERVAÇÃO: Quando pelo menos um dos números 
dados for fracionário, devemos reduzi-los ao mesmo 
denominador e fazer a divisão em partes diretamente 
proporcionais aos respectivos numeradores. 
 
 
 
 
Ex.2: Dividir 46 em parte diretamente proporcionais a 
1 2 3
, e
2 3 4
. 
Solução: 
x y z
1 2 3
2 /6 3 / 4 4 /3
6 8 9
12 12 12
Assim:
x y z 46
x 6k
x y z
k y 8k
6 8 9
z 9k
Assim:
x y z 46 6k 8k 9k 46 23k 46 k 2
Sustituindo :
x 6k x 6 2 12 x 12
y 8k y 8 2 16 y 16
z 9k z 9 2 18 z 18
Resp : As partes são 12, 16 e 18.
 
 
4.3. Divisão Inversamente Proporcional (IP) 
 Para dividir uma grandeza em partes inversamente 
proporcionais a vários números, procedemos assim: 
1º) Invertermos os números dados. 
2º) Caso pelo menos um deles, após a inversão, seja 
fracionário, reduzimos todos ao mesmo denominador. 
3º) Fazemos a divisão em partes diretamente 
proporcionais aos numeradores. 
 
 
 
 
 
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Ex.3: Dividir 45 em partes inversamente 
proporcionais a 
1 1
e
2 3
. 
Solução: 
x y
1 1
2 3
2 3
1 1
Assim:
x y 45
x 2kx y
k
2 3 y 3k
Assim:
x y 45 2k 3k 45 5k 45 k 9
Sustituindo :
x 2k x 2 9 18 x 18
y 3k y 3 9 27 y 27
Resp : As partes são 18 e 27.
 
É importante notar que na divisão inversamente 
proporcional a maior parte corresponde ao menor 
número. 
Ex.4: Dividir 390 em partes inversamente 
proporcionais a 2, 3 e 4. 
Solução: 
x y z
1 1 1
2 /6 3 / 4 4 /3
6 4 3
12 12 12
Assim:
x y z 390
x 6k
x y z
y 4k
6 4 3
z 3k
 
Assim:
x y z 390 6k 4k 3k 390
13k 390 k 30
Sustituindo :
x 6k x 6 30 180 x 180
y 4k y 4 30 120 y 120
z 3k z 3 30 90 z 90
Resp : As partes são 180, 120 e 90.
 
4.3. Divisão Proporcional Composta 
Por uma propriedade dos números proporcionais, 
temos que se uma grandeza é diretamente 
proporcional a vários números de um grupo e, ao 
mesmo tempo, ela é inversamente proporcional a 
vários números de outro grupo, então, ela é 
proporcional ao produto de cada número do 1º grupo 
pelo inverso do número correspondente no 2º grupo. 
O mesmo raciocínio é feito nos demais tipos de 
combinações. 
4.3.1. Diretamente Proporcional x Diretamente 
Proporcional 
A grandeza é dividida em partes proporcionais aos 
produtos dos números correspondentes de cada 
grupo. 
Ex.5: Dividir 175 em partes diretamente proporcionais 
a 2, 1 e 3 e, ao mesmo tempo, em partes 
diretamente proporcionais a 3, 4 e 5. 
Solução: 
Partes DP DP Produto 
x 2 3 6 
y 1 4 4 
z 3 5 15 
 
 
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x y z 175
x 6k
x y z
k y 4k
6 4 15
z 15k
Assim:
x y z 175 6k 4k 15k 175 25k 175 k 7
Sustituindo :
x 6k x 6 7 42 x 42
y 4k y 4 7 28 y 28
z 15k z 15 7 105 z 105
Resp : As partes são 42, 28 e 105.
 
4.3.2. Inversamente Proporcional x 
Inversamente Proporcional 
A grandeza é dividida em partes proporcionais aos 
produtos dos inversos dos números correspondentes 
de cada grupo. Ou seja, devemos inverter os números 
da cada grupo e em seguida fazer a divisão em partes 
diretamente proporcionais aos produtos dos números 
correspondentes de cada grupo. 
Ex.6: Dividir 405 em partes inversamente 
proporcionais a 
2 3
, e 2
3 5
 e, ao mesmo tempo, em 
partes inversamente proporcionais a 
10 1
4, e
9 3
. 
Solução: 
Partes IP IP Produto MMC 
x 3
2
 
 1
4
 
3
8
 
3
8
 
y 5
3
 
 9
10
 
3
2
 
12
8
 
z 1
2
 
 3 3
2
 
12
8
 
 
x y z 405
x 3k
x y z
k y 12k
3 12 12
z 12k
Assim:
x y z 405 3k 12k 12k 405 27k 405 k 15
Sustituindo :
x 3k x 3 15 45 x 45
y 12k y 12 15 180 y 180
z 12k z 12 15 180 z 180
Resp : As partes são 45, 180 e 180.
 
4.3.3. Diretamente Proporcional x Inversamente 
Proporcional 
Para fazermos este tipo de divisão, devemos: 
1º) Tomar os números do 1º grupo (DP) e multiplicá-
los ordenadamente pelos inversos dos números do 2º 
grupo (IP). 
2º) Reduzir as frações ao mesmo denominador. 
3º) Fazer a divisão em partes diretamente 
proporcionais aos numeradores das frações obtidas. 
Ex.7: Dividir 1036 em partes diretamente 
proporcionais a 
5
2, 4 e
4
e, ao mesmo tempo, em 
partes inversamente proporcionais a 
1 3
,3 e
2 2
. 
Solução: 
Partes DP IP Produto MMC 
x 2 2 4 24 
y 4 1
3
 
4
3
 
8 
z 5
4
 
 2
3
 
5
6
 
5 
 
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x y z 1036
x 24k
x y z
k y 8k
24 8 5
z 5k
Assim:
x y z 1036 24k 8k 5k 1036 37k 1036 k 28
Sustituindo :
x 24k x 24 28 672 x 672
y 8k y 8 28 224 y 224
z 5k z 5 28 140 z 140
Resp : As partes são 672, 224 e 140.
 
5. Exercícios Propostos 
1. Um prêmio de R$ 3.000,00 foi dividido entre três 
operários em partes inversamente proporcional ao 
número de faltas de cada um. Se Antônio teve duas 
faltas, João teve três faltas e Juca teve seis faltas. 
Quanto recebeu cada um? 
2. Certo concreto é obtido misturando-se uma parte 
de cimento, três partes de areia fina e seis partes de 
pedra. Calcule a quantidade de material necessário 
para produzir 185 m³ de concreto. 
3. Uma herança de R$ 31.000,00 foi dividida em 
partes diretamente proporcionais a 4,5 e 8 e, ao 
mesmo tempo, em partes diretamente proporcionais a 
3, 2 e 5. Qual a parte de cada um dos herdeiros? 
4. (FCC) Na tabela abaixo têm-se as idades e os 
tempos de serviço de três soldados na corporação, 
que devem dividir entre si um certo número de fichas 
cadastrais para verificação. 
 
Se o número de fichas for 518 e a divisão for feita em 
partes diretamente proporcionais às suas respectivas 
idades, o número de fichas que caberá a Abel é 
(A) 140 (B) 148 
(C) 154 (D) 182 (E) 210 
5. (FCC) Dois sócios constituíram uma empresa com 
capitais iguais, sendo que o primeiro fundou a 
empresa e o segundo foi admitido 4 meses depois. No 
fim de um ano de atividades, a empresa apresentou 
um lucro de R$ 20 000,00. Eles receberam, 
respectivamente, 
(A) R$ 10 500,00 e R$ 9 500,00 
(B) R$ 12 000,00 e R$ 8 000,00 
(C) R$ 13 800,00 e R$ 6 200,00 
(D) R$ 15 000,00 e R$ 5 000,00 
(E) R$ 16 000,00 e R$ 4 000,00 
6. (FCC) Na liquidação de uma falência, apura-se um 
ativo de 2,4 milhões de reais e um passivo 
constituído pelas seguintes dívidas: ao credor X, 1,6 
milhões de reais; ao Y, 2,4 milhões de reais; e ao Z, 
2 milhões de reais. É correto afirmar que Z deverá 
receber 
(A) R$150 000,00 a mais do que X. 
(B) R$150 000,00 a menos do que Y 
(C) 5/8 do que caberá a X. 
(D) 5/8 do que caberá a Y. 
(E) a metade do que X e Y receberão juntos. 
7. (FCC) Dois auxiliares deveriam instalar 56 
aparelhos telefônicos em uma empresa e resolveram 
dividir essa tarefa entre si, em partes diretamente 
proporcionais as suas respectivas idades. Se um tem 
21 anos e o outro tem 28, o número de aparelhos que 
coube ao mais velho foi 
(A) 24 (B) 26 (C) 28 
(D) 30 (E) 32 
 
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8. (FCC) Dois técnicos judiciários foram incumbidos 
de catalogar alguns documentos, que dividiram entre 
si em partesinversamente proporcionais aos seus 
respectivos tempos de serviço no cartório da seção 
onde trabalham. Se o que trabalha há 12 anos deverá 
catalogar 36 documentos e o outro trabalha há 9 
anos, então o total de documentos que ambos 
deverão catalogar é 
(A) 76 (B) 84 
(C) 88 (D) 94 (E) 96 
9. (FCC) Certo mês, os números de horas extras 
cumpridas pelos funcionários A, B e C foram 
inversamente proporcionais aos seus respectivos 
tempos de serviço na empresa. Se A trabalha há 8 
meses, B há 2 anos, C há 3 anos e, juntos, os três 
cumpriram um total de 56 horas extras, então o 
número de horas extras cumpridas por B foi 
(A) 8 (B) 12 
(C) 18 (D) 24 (E) 36 
10. (FCC) Certo dia, para a execução de uma tarefa 
de reflorestamento, dois auxiliares de serviços de 
campo foram incumbidos de plantar 324 mudas de 
árvores em uma reserva florestal. Dividiram a tarefa 
entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 
24 e 30 anos. Assim, o número de mudas que coube 
ao mais jovem deles foi 
(A) 194 (B) 180 (C) 156 
(D) 144 (E) 132 
11. (FCC) Na oficina de determinada empresa há um 
certo número de aparelhos elétricos a serem 
reparados. Incumbidos de realizar tal tarefa, dois 
técnicos dividiram o total de aparelhos entre si, na 
razão inversa de seus respectivos tempos de serviço 
na empresa: 8 anos e 12 anos. Assim, se a um deles 
coube 9 aparelhos, o total reparado foi 
(A) 21 (B) 20 (C) 18 
(D) 15 (E) 12 
 
12. (FCC) Na tabela abaixo têm-se as idades e os 
tempos de serviço de três soldados na corporação, 
que devem dividir entre si um certo número de fichas 
cadastrais para verificação. 
 
Se o número de fichas for 504 e a divisão for feita em 
partes diretamente proporcionais às suas respectivas 
idades, mas inversamente proporcionais aos seus 
respectivos tempos de serviço na corporação, o 
número de fichas que caberá a 
(A) Daniel é 180. (B) Manoel é 176. 
 (C) Daniel é 170. (D) Manoel é 160. 
(E) Daniel é 162. 
 
13. (FCC) Dois funcionários de uma Repartição 
Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e 
dividiram esse total na razão direta de suas 
respectivas idades e inversa de seus respectivos 
tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos 
e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está 
há 9 anos no serviço público, então a diferença 
positiva entre os números de processos que cada um 
arquivou é 
(A) 48 (B) 50 (C) 52 
(D) 54 (E) 56 
14. (FCC) Uma gratificação deverá ser dividida entre 
dois funcionários de uma empresa, em partes que 
são, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais às 
suas respectivas idades e diretamente proporcionais 
aos seus respectivos tempos de serviço na empresa. 
Sabe-se também que X, que tem 24 anos, trabalha 
há 5 anos na empresa, e Y, que tem 32 anos, 
trabalha há 12 anos. Se Y receber R$ 1 800,00, o 
valor da gratificação é 
(A) R$ 2 500,00 (B) R$ 2 650,00 
 
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(C) R$ 2 780,00 (D) R$ 2 800,00 
(E) R$ 2 950,00 
15. (FCC) Certo mês, o dono de uma empresa 
concedeu a dois de seus funcionários uma gratificação 
no valor de R$ 500,00. Essa quantia foi dividida entre 
eles, em partes que eram diretamente proporcionais 
aos respectivos números de horas de plantões que 
cumpriram no mês e, ao mesmo tempo, inversamente 
proporcionais às suas respectivas idades. Se um dos 
funcionários tinha 36 anos e cumpriu 24 horas de 
plantões e, o outro, de 45 anos, cumpriu 18 horas, 
coube ao mais jovem receber 
(A) R$ 302,50 (B) R$ 310,00 
(C) R$ 312,50 (D) R$ 325,00 
(E) R$ 342,50 
16. (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os 
tempos de serviço de dois técnicos judiciários do 
Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição 
judiciária. 
 
Idade 
(em anos) 
Tempo de 
Serviço 
(em anos) 
João 36 8 
Maria 30 12 
 
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as 
laudas de um processo. Dividiram o total de laudas 
entre si, na razão direta de suas idades e inversa de 
seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 
27 laudas, o total de laudas do processo era 
 (A) 40 (B) 41 (C) 42 
(D) 43 (E) 44 
 
 
 
AULA 02: REGRA DE TRÊS 
1. Conceito 
A Regra de Três é o instrumento matemático para 
resolver problemas que envolvam grandezas que se 
relacionam diretamente ou inversamente. A Regra de 
Três pode ser simples, quando relaciona somente 
duas grandezas ou composta, quando relaciona duas 
ou mais grandezas. 
Exemplos I 
Ex.1: Calcule a altura de um prédio que projeta uma 
sombra de 9,6 m no mesmo instante em que uma 
vara de 2 m, colocada verticalmente, projeta uma 
sombra de 160 cm. 
Ex.2: Uma pessoa gasta 25 min para percorrer certa 
distância caminhando 54 passos por minuto. Quanto 
tempo levaria para percorrer a mesma distância, se 
caminhasse 45 passos por minuto? 
Ex.3: Um carro consome na estrada 30 litros de 
gasolina a cada 144 km. Quantos litros são 
necessários para percorrer 240 km? 
Ex.4: Um trem percorrer certa distância em 8 horas a 
60 km/h. Quanto tempo levaria para percorrer a 
mesma distância a 50 km/h? 
Ex.5: Vinte operários fazem um serviço em 18 dias. 
Quantos operários seriam necessários para fazer o 
mesmo serviço em 12 dias? 
Ex.6: Certo avicultor tem ração para alimentar 16 
galinhas durante 44 dias. Após 8 dias, ele compra 
mais 8 galinhas. Quanto tempo ainda dura a ração, se 
a porção de cada ave não é diminuída? 
AULA 03: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Em um concurso público havia 15000 homens e 
10000 mulheres. Sabe-se que 60% dos homens e 
55% das mulheres foram aprovados. Do total de 
candidatos, quantos por cento foram aprovados? 
(A) 32% (B) 42% 
(C) 52% (D) 40% (E) 30% 
 
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2. Uma cidade possui uma população de 100.000 
habitantes, dos quais alguns são eleitores. Na eleição 
para a prefeitura da cidade havia três candidatos. 
Sabendo-se que o candidato A obteve 20% dos votos 
dos eleitores, que candidato B obteve 30% dos votos, 
que os votos nulos foram 10%, que o candidato C 
obteve 12.000 votos e que não houve abstenções, 
quantos habitantes não são eleitores? 
(A) 70.000 (B) 28.000 (C) 72.000 
(D) 48.000 (E) 58.000 
3. (CESPE) A soma de dois números x e y é 28 e a 
razão entre eles é 75%. O maior desses números é: 
(A) 12 (B) 16 (C) 18 
(D) 14 (E) 15 
4.(FCC) Num grupo de 400 pessoas, 70% são do sexo 
masculino. Se, nesse grupo, 10% dos homens são 
casados e 20% das mulheres são casadas. Qual o 
número de pessoas casadas? 
(A) 32 (B) 42 (C) 52 
(D) 40 (E) 30 
5. (CESPE) Para obter um lucro de 25% sobre o preço 
de venda de um produto adquirido por R$ 615,00, o 
comerciante deverá vendê-lo por quanto? 
(A) R$ 720,00 (B) R$ 920,00 
(C) R$ 1.020,00 (D) R$ 620,00 
(E) R$ 820,00 
6. (CESPE) Uma mercadoria custou R$ 100,00. Para 
se obter um lucro de 20% sobre o preço de venda, 
por quanto deverá ser vendida? 
(A) R$ 105,00 (B) R$ 115,00 
(C) R$ 120,00 (D) R$ 125,00 
(E) R$ 110,00 
7. (ESAF) Antônio comprou um conjunto de sofás com 
um desconto de 20% sobre o preço de venda. 
Sabendo-se que o valor pago por Antônio foi de 
R$1.200,00, qual era o preço de venda mercadoria? 
(A) R$ 1.500,00 (B) R$ 1.640,00 
(C) R$ 1.400,00 (D) R$ 1.540,00 
(E) R$ 1.520,00 
8. (ESAF) Um produto é vendido com um lucro de 
20% sobre o preço total da nota, 10% correspondem 
a despesas. De quantos por cento foi o lucro líquido 
do comerciante? 
(A) 10% (B) 12% (C) 8% 
(D) 6% (E) 18% 
9. Um cliente obteve de um comerciante um desconto 
de 20% nopreço da mercadoria. Sabendo-se que o 
preço de venda, sem desconto, é superior em 20% ao 
do custo, pode-se afirmar que o comerciante teve: 
(A) lucro de 4% (B) lucro de 8% 
(C) prejuízo de 4% (D) prejuízo de 8% 
(E) prejuízo de 5% 
10. Um trabalhador gastava 405 do seu salário com 
aluguel. Após certo período, seu aluguem havia 
aumentado 50%, enquanto seu salário, reajustado em 
20%. Então, a porcentagem do salário que ele passou 
a gastar com o aluguel foi: 
(A) 50% (B) 49% (C) 48% 
(D) 47% (E) 70% 
 
11. (ESAF) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, 
com um lucro de 10%; em seguida, foi revendido por 
R$ 20.700,00. A variação total de preço das duas 
transações representa sobre o custo inicial do terreno 
um percentual de: 
(A) 38% (B) 40% (C) 28% 
(D) 51,8% (E) 25,45% 
12. (ESAF) Maria vendeu um relógio por R$ 18.167,50 
com um prejuízo de 15,5% sobre o preço de compra. 
Para que tivesse um lucro de 25% sobre o custo, ela 
deveria ter vendido por: 
 
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(A) R$ 22.709,37 (B) R$ 26.875,00 
(C) R$ 27.675,00 (D) R$ 21.497,64 
(E) R$ 26.785,00 
13. (CESPE) Um trabalhador gastava 30% do seu 
salário com aluguel. Após certo período, seu aluguel 
havia aumentado 700%, enquanto seu salário, 
reajustado em 500%. Então, a porcentagem do 
salário que ele passou a gastar com aluguel foi: 
(A) 34% (B) 38% (C) 40% 
(D) 42% (E) 45% 
14. (CESPE) Uma loja adota a seguinte política de 
venda: à vista com 10% de desconto sobre o preço de 
tabela, ou pagamento em 30 dias após a compra com 
8% de acréscimo sobre o preço de tabela. O preço de 
uma mercadoria que à vista é vendida por R$ 540,00, 
para pagamento em 30 dias, será de: 
(A) R$ 594,00 (B) R$ 641,00 
(C) R$ 648,00 (D) R$ 652,42 
(E) R$ 653,27 
15. (CESPE) As ações de uma certa empresa subiram 
20% ao mês durante dois meses consecutivos e 
baixaram 20% ao mês em cada um dos dois meses 
seguintes. Com relação à variação sofrida por essas 
ações durante esses quatro meses, é correto afirmar 
que: 
(A) o valor das ações permaneceu inalterado. 
(B) as ações desvalorizaram 7,84%. 
(C) as ações valorizaram 7,84%. 
(D) as ações desvalorizaram 8,48%. 
(E) as ações valorizaram 8,48%. 
16. (CESPE) Nas eleições do dia 3 de outubro, 25% 
dos eleitores de uma cidade votaram, para prefeito, 
no candidato X, 30%, no candidato Y, e os 1.800 
eleitores restantes votaram em branco ou anularam 
seus votos. Não houve abstenções e os votos nulos 
corresponderam a 25% dos votos em branco. Com 
base na situação apresentada, assinale a opção 
incorreta. 
(A) O número total de eleitores da cidade é de 4.000. 
(B) 1.000 eleitores votaram no candidato X. 
(C) 450 eleitores anularam seus votos. 
(D) Houve menos votos brancos ou nulos do que 
votos válidos. 
(E) 1.200 eleitores votaram no candidato Y. 
17. (CESPE) Em uma comunidade, somente 18% dos 
habitantes são a favor de certa proposta. Se 30% dos 
homens são favoráveis à proposta e 10% das 
mulheres também são favoráveis à mesma proposta, 
então a porcentagem de homens nessa comunidade é 
de 
(A) 10% (B) 20% 
(C) 30% (D) 40% (E) 
50% 
GABARITO 
 
MÓDULO II: ÁLGEBRA BÁSICA 
AULA 01: FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 
1. Funções 
1.1. Conceito de Função 
Dados os conjuntos A e B, uma função definida em A 
e com valores em B é uma lei ou regra que a cada 
elemento de A faz corresponder um único elemento 
de B. O conjunto A é chamado domínio de f e é 
simbolizado por D(f). B é chamado contradomínio ou 
campo de valores de f. 
Representação: : A / x (x). 
 
 
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Exemplos: 
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7} 
a) : A , representado no diagrama abaixo, é uma 
função de A em B (para cada elemento de A só há um 
elemento de B): 
 
b) representação no diagrama abaixo, também é 
uma função de A em B: 
g: A x x + 2 
 
 
Contra-Exemplos: 
Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2} 
a) : A , representado no diagrama abaixo, não é 
uma função de A em B (o elemento 4 de A tem dois 
correspondentes em B): 
 
b) g: A / x x-2 
Não é uma função de A em B, pois o elemento 5 A 
não tem correspondente em B. 
 
1.2. Generalidades sobre Funções 
Existem características que são inerentes às funções 
de um modo geral, entre essas características 
podemos citar: domínio, inversão, composição, 
paridade, imagem e gráfico. 
1.2.1. Domínio de uma Função 
Quando definimos uma função y=f(x) , o domínio D(f) 
é o conjunto dos possíveis valores reais assumidos 
por x. Esses possíveis valores podem estar implícitos 
ou explícitos: 
- Se é dado apenas f(x)=3x + 2, sem esclarecer qual 
é o domínio, está implícito que x pode ser qualquer 
número real, ou seja, D(f)=R 
- Se é dado f(x)=3x + 2, com 5 < x < 20, está 
explícito que o domínio da função dada pertence ao 
 
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conjunto dos número reais entre 5 e 20, ou seja, D(f) 
= {xR | 5 < x < 20}. 
- Se é dado apenas vejamos: 
- O domínio D(f) não está explícito; 
- Há valores variáveis no divisor; 
- Divisão por zero não é definida em R. 
Logo, o domínio D(f)={x R | x 4 }, ou seja, x será 
qualquer número real, com exceção de 4, pois se x = 
4, teremos uma divisão por 0. Note que quando x = 
4, o divisor ficará escrito como [(2 . 4)-8]. 
- Se é dado apenas f(x)= , sem explicitar D(f), 
está implícito que (x-5) pode ser qualquer número 
real não negativo, ou seja, x-5 0 ou x 5. Logo, 
D(f)={x R | x 5}. 
Dessa forma, podemos registrar os seguintes casos de 
Domínio. 
1º) Caso: 
f(x)
y g(x) 0
g(x)
 
2º) Caso: n
a) n é ímpar :D
y f(x)
b) n é par : f(x) 0

 
3º) Caso: 
n
a) né ímpar :g(x) 0f(x)
y
b) né par : g(x) 0g(x)
 
OBS.: Se numa função houver mais de uma restrição 
aos valores de x, deve-se analisar cada situação 
isoladamente e o Domínio da função será o conjunto 
interseção das restrições parciais. 
1.2.2. Função Inversa 
Denomina-se função inversa da função bijetora f : A 
B a função 
1f : B A que se obtém trocando de 
posição os elementos de todos os pares ordenados da 
função f. 
 
f = {(1, 4) , (2, 5) , (3, 6)} 
f-1 = {(4,1), (5, 2), (6, 3)} 
Observação: 
Para se obter a inversa de uma função, devemos 
proceder da seguinte forma: 
- isola-se o x 
- troca-se x por y e y por x 
O gráfico abaixo representa uma função e a sua 
inversa. 
Observe que as curvas representativas de f e de f-1, 
são simétricas em relação à reta y = x, bissetriz do 
primeiro e terceiro quadrantes. 
 
 
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Exemplo: 
Dar a inversa da função: 
Resolução: 
( 5x + 1)y = 2x - 3 
5xy + y = 2x - 3 
5xy - 2x = - y - 3 
x(5y - 2) = - y – 3 
x = = 
Assim: 
 
 
1.2.3. Paridade 
Diz-se que uma função é par se f( x) f(x) . Se a 
função for polinomial y = f(x), o reconhecimento é 
feito através dos expoentes de x, se todos forem 
pares então a função também será par. O Gráfico da 
função par é simétrico em relação ao eixo dos y. 
Exemplos: 
a) f(x) = 2x² + 4 
b) f(x) = cos x 
Diz-se que uma função é ímpar se f( x) f(x). Se 
a função for polinomial y = f(x), o reconhecimento é 
feito através dos expoentes de x, se todos forem 
ímpares então a função também será ímpar. O Gráfico 
da função par é simétrico em relação à origem. 
 
 
Exemplos: 
a) f(x) = 2x² + 4b) f(x) = cos x 
Observação: Numa função polinomial com expoentes 
pares e ímpares presentes, não existe paridade! 
1.2.4. Função Crescente e Função Decrescente 
a) Função Crescente : 
Se A B 
f é crescente em A [x2 > x1 = f ( x2 ) > f ( x1 ) 
, x1 , x2 A] 
Isto é , a um maior valor de x corresponde um maior 
valor de f(x). 
 
 
b) Função Decrescente : 
Se A B 
f é decrescente em [A x2 > x1 = f ( x2 ) < f ( 
x1 ) , x1 , x2 A] 
 
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1.2.5. Imagem de uma Função 
O conjunto imagem, ou simplesmente imagem de 
uma função y=f(x), é o conjunto dos valores de y que 
estão associados a algum valor de x do domínio da 
função. A letra x pode assumir qualquer valor do 
primeiro conjunto e é por isso que é chamada variável 
independente. A letra y é a variável dependente, pois 
depende do valor de x. 
Exemplos: 
Procurando D(f) e Im(f), sendo f(x)= 2x+3, função de 
A em B, onde: 
A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 5, 7, 9,11, 13, 15} 
 
A função f(x) multiplica x por 2 e adiciona 3. 
Observe a tabela abaixo: 
 
Veja os diagramas: 
 
 
 
 
 
No exemplo acima: 
5 é a imagem de 1 e pela função, indica-se f(1)=5; 
7 é a imagem de 2 e pela função, indica-se f(2)=7; 
9 é a imagem de 3 e pela função, indica-se f(3)=9; 
11 é a imagem de 4 e pela função, indica-se f(4)=11; 
13 é a imagem de 5 e pela função, indica-se f(5)=13. 
Observação: O conjunto imagem de uma função é 
numericamente igual ao Domínio da sua Função 
Inversa. 
1.2.6. Função Composta 
Sejam as funções f(x) e g(x), dizemos que há uma 
composição de f(x) com g(x), e representa-se por 
f g(x) , se: f g(x) f(g(x) . 
 
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Exemplo: 
- Se f(x) = x² + 3x – 1 e g(x) = x-1, encontre 
f g(x) . 
Solução: 
2
f(x) x² 3x 1 e g(x) x 1, então :
f g(x) x 1 3(x 1) 1
f g(x) x² 2x 1 3x 3 1
f g(x) x² x 3



 
1.2.7. Gráfico de uma Função 
Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de 
todos os pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, 
onde x pertence ao domínio de f. 
Exemplos: 
O gráfico da função f(x)= 2x+3, consiste em todos os 
pares (x, y) ou (x, f(x)) R tais que y=2x+3. Em 
outras palavras, é a coleção de todos os pares 
ordenados (x, 2x+3) do plano xy. 
Vamos utilizar uma tabela de valores para traçarmos 
o gráfico: 
 
 
1.2.7.1. Estudo do Gráfico no Plano Cartesiano: 
Observando o gráfico de uma função no plano 
cartesiano, podemos determinar o seu domínio e a 
sua imagem da seguinte forma: 
No gráfico abaixo temos: 
D(f) = R 
Im(f) = {y R|y -1} 
 
 
 
 
Para cada x do domínio deve existir em 
correspondência um único y na imagem. 
 
 
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O gráfico a seguir não representa 
uma função, pois ao ser projetada 
uma reta sobre o eixo das 
abscissas encontra-se o gráfico em 
dois pontos diferentes. Ou seja, há 
para o mesmo x dois y 
correspondestes. 
Exemplo: f(-3)=4 e f(-3)=-4 
Quando x=-3, temos y=-4 e y=4 
 
1.3. Funções Polinomiais 
Toda função y = f(x) do tipo 
n n 1
0 1 n 1 nf(x) A x A x A x A é dita Função 
Polinomial. E como exemplos mais comuns temos as 
Funções Constante, de 1º Grau e de 2º Grau, que 
passaremos a estudar. 
1.3.1. Função Constante 
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = 
k , onde k não depende de x . 
Exemplos: 
a) f(x) = 5 
b) b) f(x) = -3 
Observação: o gráfico de uma função constante é 
uma reta paralela ao eixo dos x . 
 
Veja o gráfico a seguir: 
 
 
 
1.3.2. Função Polinomial do 1º Grau 
1.3.2.1. Definição 
É a função f : R R tal que y = ax + b 
Raiz: y = ax + b = 0 
 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, 
y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos 
Ox e Oy. Que função estará representada abaixo? 
x y 
 
0 
 
-1 
 
1
3
 
 
0 
 
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Vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma 
reta. 
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular 
da reta e, está ligado à inclinação da reta em relação 
ao eixo Ox. 
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da 
reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b y = b. Assim, o 
coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a 
reta corta o eixo Oy. 
1.3.2.2. Propriedades da função do 1º grau : 
 
 
 
 
 
1ª) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma 
reta . 
2ª) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita 
função linear e se b = 0 f é dita função afim . 
3ª) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da 
equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x 
= - b/a . 
4ª) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , 
onde b é chamado coeficiente linear . 
5ª) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a 
inclinação da reta . 
6ª) se a < 0 , então f é crescente . 
7ª) se a > 0 , então f é decrescente . 
8ª) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , 
o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 
1.3.2.3. Estudo do Sinal 
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar 
os valor de x para os quais y é positivo, os valores de 
x para os quais y é zero e os valores de x para os 
quais y é negativo. 
 
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Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b 
vamos estudar seu sinal. 
1º) a > 0 (a função é crescente) 
b
y 0 ax b 0 x
a
b
y 0 ax b 0 x
a
b
y 0 ax b 0 x
a
 
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores 
que a raiz; y é negativo para valores de x menores 
que a raiz. 
 
2º) a < 0 (a função é decrescente) 
 
b
y 0 ax b 0 x
a
b
y 0 ax b 0 x
a
b
y 0 ax b 0 x
a
 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores 
que a raiz; y é negativo para valores de x maiores 
que a raiz. 
 
1.3.2.4. Sistema de Inequações do 1º grau 
Denominamos inequação toda sentença matemática 
aberta por uma desigualdade. 
As inequações do 1º grau com uma variável podem 
ser escritas numa das seguintes formas: 
, , , , 
como a e b reais . 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.3. Função Polinomial do 2º Grau (Função 
Quadrática) 
1.3.3.1. Definição 
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 
2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma 
lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são 
números reais e a 0. 
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 
1- f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 
2- f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 
3- f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 
4- f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 
5- f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 
1.3.3.2. Gráfico 
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = 
ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada 
parábola. 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:. 
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois 
calculamos o valor correspondente de y e, em 
seguida, ligamos os pontos assim obtidos. 
x y 
-3 6 
-2 2 
-1 0 
1
2
 
1
4
 
0 0 
1 2 
26 
 
Observação: 
Ao construir o gráfico de uma função quadrática 
y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: 
a) se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada 
para cima; 
b)se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada 
para baixo. 
1.3.3.3. Zero da função ou raízes 
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º 
grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x 
tais que f(x) = 0. 
 
 
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Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as 
soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as 
quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: 
Temos: 
 
Observação: A quantidade de raízes reais de uma 
função quadrática depende do valor obtido para o 
radicando 
 
a) quando > 0 (positivo), há duas raízes reais e 
distintas; 
b) quando = 0 (zero), há só uma raiz real; 
c) quando < 0 (negativo), não há raiz real; e sim 
duas raízes imaginárias conjugadas. 
1.3.3.4. Vértice 
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada 
para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a 
parábola tem concavidade voltada para baixo e um 
ponto de máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são 
b
,
2a 4a
. Veja os gráficos: 
 
 
 
 
1.3.3.5. Estudo do Sinal 
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 
+ bx + c e determinemos os valores de x para os 
quais y é negativo e os valores de x para os quais y é 
positivo.Conforme o sinal do discriminante 
b² 4ac , podem ocorrer os seguintes casos: 
1º) 0 
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros 
reais distintos 1 2x x . A parábola intercepta o eixo 
 
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Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado 
nos gráficos abaixo: 
 
1 2
1 2
1 2
Se a 0 :
y 0 x x ou x x
y 0 x x ou x x
y 0 x x x
 
 
 
1 2
1 2
1 2
Se a 0 :
y 0 x x x
y 0 x x ou x x
y 0 x x ou x x
 
2º) 0 
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros 
reais iguais 1 2x x . A parábola intercepta o eixo 
Ox em único ponto e o sinal da função é o indicado 
nos gráficos abaixo: 
Se a > 0, então y > 0 para qualquer valor de x 
exceto em 1 2x x e x x . 
 
 
Se a > 0, então y > 0 para qualquer valor de x 
exceto em 1 2x x e x x . 
 
 
 
 
 
 
 
3º) 0 
Nesse caso a função quadrática não admite zeros 
reais iguais. A parábola não intercepta o eixo Ox e o 
sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: 
 
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Como se pode observar pelos gráficos acima: se a > 0 
então y > 0 e se a < 0 então y < 0 para qualquer 
valor de x. 
1.3.3.6. Sistema de Inequação do 2º grau 
Vamos aplicar o estudo do sinal da função quadrática 
na resolução de inequações do 2º grau. 
São inequações do 2º grau, por exemplo: 
2a) x 2x 3 0 
2b) x 4x 4 0 
2c) 3x x 1 0 
2d) x 2x 3 0 
Resolver uma inequação do 2º grau, significa 
determinar os valores reais de x satisfazem a 
inequação dada. 
Exemplo: 
Resolver a inequação 
Solução: 
 
 
Como devemos ter 
Resposta: 
 
AULA 02: EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
1. Conceito 
Chama-se Equação Polinomial a toda expressão 
redutível à forma: 
n n 1 2
n n 1 2 1 0A x A x A x A x A 0 
na qual os seus coeficientes são números reais. 
Exemplos: 
a) Equação de 1º Grau: 5x 2 0 
b) Equação de 2º Grau: 23x 4x 5 0 
c) Equação de 3º Grau: 3 25x 3x 5x 3 0 
 
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d) Equação de 4º Grau: 
4 3 24x 5x 2x 3x 1 0 
e) Equação Biquadrada: 
4 23x 2x 4 0 
O nosso objetivo dentro desse módulo é o de 
aprender métodos de resolução dessas equações. O 
que faremos através de exemplos resolvidos em sala 
de aula e de uma lista de exercícios no final desse 
módulo. 
2. Teorema Fundamental da Álgebra 
Toda a equação algébrica P(x) = 0 de grau n > 0, 
admite pelo menos uma raiz real ou complexa. 
 
OBS: Equações de 5º grau ou maiores não possuem 
fórmulas para a sua solução direta. 
3. Teorema da Decomposição 
Toda Equação Polinomial de grau n tem exatamente n 
raízes ou complexas. 
Demonstração: 
Pelo teorema fundamental, P(x) tem pelo menos uma 
raiz. Seja ela r1. Logo: 
P(x) = (x - r1). Q(x) 
Q(x) é um novo polinômio de grau n-1, que possui, 
também, pelo menos uma raiz. Seja ela r2. Logo: 
Q(x) = (x - r2). Q1(x) 
Fazendo o mesmo procedimento com q1(x) e 
continuando até a n-ésima expressão temos 
Qn-1(x) = (x - rn) . Qn(x) 
 
Em Qn o grau do polinômio será zero e Qn será igual a 
uma constante que chamamos de na 
Substituindo todas as equações obtidas na 
decomposição de P(x), teremos: 
P(x) = an.(x-r1).(x-r2). ... (x-rn) 
Exemplos: 
1) Componha as Equações Polinomiais cujas raízes 
são: 
a) –1, 2, 3 
b) 5 e 3
2
 
c) 4, 3, 2 e 1 
d) 2, 2 e 1 
4. Multiplicidade de uma Raiz 
Quando uma raiz aparece k vezes repetida numa 
equação polinomial, dizemos que esta é de 
multiplicidade k. 
Exemplos: 
2) Componha a Equação de 3º Grau sabendo que 1 e 
2 são suas raízes e a maior é uma raiz dupla. 
5. Teorema das Raízes Complexas 
Se uma Equação P(x) = 0, de coeficientes reais, 
apresentar uma raiz complexa (a + bi), pode-se 
afirmar que o seu conjugado (a – bi) também será 
raiz da equação e com a mesma multiplicidade. 
Conseqüência: Numa Equação Polinomial com 
coeficientes reais e grau ímpar há, no mínimo, uma 
raiz real. 
6. Relações de Girard 
São relações entre os coeficientes e as raízes de uma 
Equação Polinomial. Considere a Equação polinomial: 
n n 1 2
n n 1 2 1 0A x A x A x A x A 0 
 
 
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As Relações de Girard estabelecem que: 
n 1
n
n 2
n
0
n
A
1 2 n A
A
1 2 1 3 n 1 n A
n A
1 2 n 1 n A
r r r
r r r r r r
r r r r 1




 
Exemplos: 
3) Escreva as Relações de Girard para as Equações de 
2º, 3º e 4º Graus. 
Solução: 
a) Equação de 2º Grau 
2
1 2
1 2
ax bx c 0
b
x x
a
c
x x
a
 
b) Equação de 3º Grau 
3 2
1 2 3
1 2 1 3 2 3
3
1 2 3
ax bx cx d 0
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d
x x x 1
a
 
 
 
 
c) Equação do 4º Grau 
4 3 2
1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1 2 3 4
ax bx cx dx e 0
b
x x x x
a
c
x x x x x x x x x x x x
a
d
x x x x x x x x x x x x
a
e
x x x x
a
 
7. Raízes Racionais 
Seja a Equação Polinomial de Coeficientes Inteiros: 
n n 1 2
n n 1 2 1 0A x A x A x A x A 0 , 
com An diferente de zero. Se o racional 
p
q
 é raiz 
dessa equação, então, p é divisor de A0 e q é divisor 
de An. 
A pesquisa das raízes racionais de uma Equação 
Polinomial será feita através do Dispositivo de Briot-
Ruffini, que será ensinado em sala de aula. 
Exemplos: 
4) Pesquise as prováveis raízes racionais das 
equações polinomiais abaixo. 
a) 
5 4 3 2x 3x 6x 10x 9x 3 0 
b) 
4 2x 12x3 53x 102x 72 0 
c) 
6 5 4 2x 10x 25x x 10x 25 0 
 
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d) 
5 4 3 2x 6x 11x 2x 12x 8 0 
8. Resoluções das Equações Polinomiais 
8.1. Introdução 
O objetivo principal deste Curso de Férias é o de 
proporcionar aos alunos métodos eficientes para que 
eles possam acompanhar com menos problemas 
outrasdisciplinas do curso que estejam fazendo. Ao 
se deparar com uma Equação Polinomial que precisa 
ser resolvida, os alunos devem seguir certos 
procedimentos (independentemente do tipo de 
equação). De numa maneira geral, esses 
procedimentos são: 
1º) Eliminar os denominadores e sinais de reunião 
(parênteses, colchetes e chaves). 
2º) Escrever a Equação em sua forma normal 
f(x) = 0. 
3º) Pesquisar as prováveis raízes racionais da 
equação dada. 
4º) Se possível, fatorar a equação polinomial. 
Existem, porém, equações que têm métodos próprios 
de resolução como as Equações de 2º Grau e as 
Equações Biquadradas. Esses métodos e outros 
artifícios serão ensinados aos alunos durante este 
curso. 
 
 
8.2. Equações de 1º Grau 
Toda Equação de 1º Grau, pode ser reduzida à forma 
normal ax b 0 , cuja raiz é dada por 
b
x
a
. 
Este tipo de equação não deve apresentar maiores 
dificuldades ao aluno, por isso recomendamos que os 
exercícios a seguir sejam resolvidos a fim de que 
quaisquer deficiências possam ser corrigidas. 
Exercícios 01: Resolva as Equações de 1º Grau 
1) 3x 2 7 
2) x 3 2(6 2x) 2(2x 5) 
3) 
2x 9 3x 4
3 2
 
4) 
3 4 1
x 3x 10
 
5) 
5 2x 3(x 1) x 5(3x 2)
3x
4 2 3 4
 
8.3. Equações de 2º Grau 
Toda Equação de 2º Grau pode ser reduzida à forma 
normal 
2ax bx c 0 , cujas raízes podem ser 
encontradas através da Fórmula de Bháskara 
mostrada a seguir: 
b
x
2a
 onde 
2b 4ac . Como se pode ver a Equação de 2º 
Grau tem um método próprio de resolução, porém, 
 
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alguns procedimentos devem ser seguidos visando a 
simplificação da resolução. 
1º) Dada a equação 
2ax bx c 0 , se 
a b c 0 então
c
x 1 e x
a
. 
OBS.: Toda Equação Polinomial cuja a soma dos seus 
coeficientes seja nula apresenta 1 como uma de suas 
raízes. 
2º) Dada a equação 
2ax bx c 0 , se 
b a c então 
c
x 1 e x
a
. 
OBS.: Toda Equação Polinomial cuja soma algébrica 
dos coeficientes dos termos de expoentes ímpares da 
incógnita for igual à soma algébrica dos coeficientes 
dos termos de expoentes pares da incógnita, então, 
uma das raízes dessa equação é – 1. 
3º) Numa Equação de 2º Grau, se c = 0 então 
b
x 0 e x
a
. 
4º) Toda Equação de 2º Grau de raízes reais e 
racionais pode ser resolvida usando-se as Relações de 
Girard (reveja o item 1.6). 
Exercícios 02: Resolva as Equações de 2º Grau 
1) 23x 5x 2 0 
2) x² 4x 5 0 
3) 23x 27x 0 
4) 25x 7x 12 0 
5) 29x 12x 4 0 
8.4. Equações Biquadradas 
Chama-se Equação Biquadrada a toda equação 
redutível à forma normal 
4 2ax bx c 0 . Toda 
Equação Biquadrada pode ser reduzida a uma 
Equação de 2º Grau (Equação Auxiliar) por meio da 
mudança de variável 
2x z . Desta forma recai-se 
na Equação de 2º Grau 
2az bz c 0 , cuja 
solução foi estudada anteriormente. 
Exercícios 03: Resolva as Equações Biquadradas 
1) 4 2x 2x 63 
2) 4 2x 13x 36 0 
3) 
4 2x 25x 144 0 
4) 
4 2x 32x 24 0 
5) 
4 2x 7x 261 
8.5. Equações de 3º Grau 
Neste Curso de Férias estaremos resolvendo alguns 
tipos especiais de Equações de 3º Grau, todas sendo 
fatoráveis e redutíveis à Equação de 2º Grau. Basta 
aplicar tudo o que foi estudado até o presente 
momento. 
 
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Exercícios 04: Resolva as Equações de 3º Grau 
1) 3 23x 5x x 0 
2) 3 2x x 2x 0 
3) 3 2x 5x 3x 9 0 
4) 3 2x 6x 12x 8 0 
5) 3 2x 3x 4x 12 0 
8.6. Equações de Ordem Superior a Três 
Seguindo procedimentos semelhantes aos aplicados 
até o presente momento, podemos resolver Equações 
de 4º, 5º Graus etc. Lembre-se de pesquisar as 
prováveis raízes racionais e de tentar fatorar a 
equação dada. 
Exercícios 05: Resolva as Equações Polinomiais 
1) 5 4 3 22x 7x 12x 8x 0 
2) 5 4 3 2x 5x 2x 10x x 5 0 
3) 
5 4 3x 2x 17x 0 
4) 
4 3 2x 3x 3x x 0 
5) 
5x 16x 0 
AULA 03: INEQUAÇÕES POLINOMIAIS 
1. Introdução 
Neste trabalho iremos estudar apenas as inequações 
envolvendo Polinômios de uma Variável P(x). Toda 
expressão que tenha um sinal de desigualdade é 
chamada de Inequação. Assim, podemos ter: 
f(x) k; onde :
 pode ser: , , >, < ou e k é uma constante, que pode ser nula.
 
Assim, temos Inequações de 1º Grau, de 2º Grau, de 
3º Grau, etc. A resolução de uma inequação, tem 
como pré-requisito que o aluno domine muito bem as 
técnicas de resolução das Equações Polinomiais 
estudadas anteriormente. 
Por ser uma desigualdade, a solução de uma 
inequação é expressa por meio de um intervalo de 
números reais. E iremos estudar o três tipos mais 
comuns de inequações: Inequações Simples, 
Inequações Simultâneas e Inequações-Produto (ou 
Quociente). 
 
2. Inequações Simples 
Inequações simples são desigualdades do tipo: 
2x 5 0, 3x² 4x 5 0, etc , portanto as 
inequações simples são de 1º ou de 2º grau; uma vez 
que as inequações de grau devem ser fatoradas 
recaindo no caso de Inequações-Produto. 
2.1. Exemplos Resolvidos (em Sala de Aula) 
1. 9x 5 3 2x 7x 9 
2. 4x 5 2 x 3 5x 
3. 
2x x 3x
1
5 10 8
 
4. 
3 x 2 4 1
4x 2 2 3x
4 2
 
 
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5. 
1 3x x 4 x
x
10 2 5
 
6. 4x² 4x 1 0 
7. 
x² 3x x² x
2
3 2 6 3
 
8. 
x² 1 x² 1
2 x
7 35
 
9. x² x 12 0 
10. 3x² 2x 0 
3. Sistema de Inequações (Inequações 
Simultâneas) 
As inequações simultâneas são expressões do tipo: 
3x 1 4x² 5x 1 0
ou
3x 1 4x² 5x 1 4x² 5x 1 0
ou
3x 1 4x² 5x 1
4x² 5x 1 0
, 
a dupla desigualdade é transformada num conjunto 
de inequações simples que devem ser resolvidas 
separadamente e o resultado final é a interseção dos 
resultados parciais encontrados. 
3.1. Exercícios Resolvidos (em Sala de Aula) 
1. 
2x 1 5
x 3 0
 
2. 
x 4 2x 1
x 1 0
 
3. 
x x 2
2
3 5
3 x 6
0
4
 
4. 
3x 1 2x 20
x 15
x 1 4
2x 3 5
 
5. x x 2 x 3 
6. -2 < 3x + 1 < 2 
7. x 4 x² 4 x 2 
8. 0 < x² + x – 12 < 8 
9. 4 x² 2x 3x 
10. 3x x² 2x 5 3x² 2x 
 
4. Inequações Produto (ou Quociente) 
As inequações produto 
f(x) g(x) h(x) 0
 
ou inequações quociente f(x) g(x)
0
h(x)
 
são resolvidas fazendo-se um Estudo da Variação 
de Sinais de cada expressão presente na inequação. 
O resultado é obtido a partir de um quadro com as 
regras de sinais da multiplicação ou da divisão de 
números reais. Mostraremos também uma maneira 
 
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muito rápida de se resolver esses tipos de 
inequações, dispensando o uso da variação de sinais e 
do quadro das regras de sinais. 
 
4.1. Exercícios resolvidos (em Sala de Aula) 
1. x 1 x x 1 0 
2. 2x 1 3x 2 x 3 0 
3. x 2 x 3 0 
4. 
2x 1 x 2
0
x 2
 
5. 
5x 1
2
2x 1
 
6. x² 9 x 1 x² 5x 0 
7. x² 3x 10 x² 2x 10 0 
8. 
x² 7x 10 2x² 5x 2
0
x² 5x 4 4 2x
 
9. 
x² x 2 x 3
0
x² 16 2x² 4x 3x 1
 
10. 
x 2 x² 3x
0
x³ 4x² x 4 2x² 6x
 
 
 
 
MÓDULO III: GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
AULA 01: Semelhança de Triângulos 
AULA 02: Áreas de Figuras Planas 
AULA 03: Volumes de Sólidos 
AULA 04: Teorema de Thales 
AULA 05: Relações Métricas de um Triângulo 
AULA 06: Relações Trigonométricas de um Triângulo 
AULA 07: Relações Métricas do Círculo 
Aula 08: Relações Métricas de um Polígono 
AULA 01: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
1. Critérios de Semelhança de Triângulos 
1º) Critério AA 
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, de 
um para o outro, tiverem dois ângulos iguais. 
 
 
ˆ ˆA D
ABC DEF
ˆ ˆB E
 
2º) Critério LALDois triângulos são semelhantes se, e somente se, de 
um para o outro, tiverem um ângulo igual e as 
medidas dos lados que o formam proporcionais. 
 
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AB ACˆ ˆA D ABC DEF
DE DF
 
3º) Critério LLL 
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, de 
um para o outro, tiverem as medidas de seus lados 
proporcionais. 
AB AC BC
ABC DEF
DE DF EF
 
 
AULA 02: ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
1. Triângulo 
1.1. Triângulo Qualquer 
 
 
1.2. Triângulo Equilátero 
 
 
2. Retângulo 
 
3. Quadrado 
 
4. Paralelogramo 
 
 
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5. Losango 
 
6. Trapézio 
 
7. Polígono Regular de n Lados 
 
 
8. Círculo 
 
9. Setor Circular 
 
 
Exercícios Propostos sobre Áreas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios sobre Áreas Circulares 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 03: VOLUMES DE SÓLIDOS 
1. Barril 
 
2 2V h 2D d
12
 
 
 
 
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2. Cilindro 
 
2D h
V=
4
 
3. Cone 
 
2R h
V=
3
 
4. Cubo 
 
3V=a 
 
 
 
5. Esfera 
 
3 34 R D
V=
3 6
 
 
 
6. Calota de Esfera 
 
2 hV= h r
3
 
 
7. Paralelepípedo 
 
V=a b c 
 
 
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8. Pirâmide 
 
1
1
S h
V=
3
S Área da Base
 
AULA 04: TEOREMA DE TALES 
1. Ângulos 
Chama-se ângulo a região plana limitada por duas 
semi-retas de mesma origem. Os ângulos podem ser: 
a) Ângulo Reto – é aquele formado por duas semi-
retas perpendiculares (ou ortogonais) entre si. A sua 
medida é igual a 90°. 
b) Ângulo Agudo – é aquele cuja medida é menor que 
90°. 
c) Ângulo Obtuso – é aquele cuja medida é maior que 
90°. 
As unidades de ângulos utilizadas são: o grau, o 
radiano e o grado que estão relacionadas pelas razões 
contínuas abaixo: 
x y z
rad 180 200 gr
 
Não se pode esquecer ainda que 1° = 60’ = 3600’’. 
2. Ângulos Formados por Duas Retas Paralelas 
Cortadas por uma Transversal 
Observe a figura: 
 
Observando-se somente o aspecto visual da figura, 
temos oito ângulos, sendo quatro agudos e quatro 
obtusos. Sendo assim, podemos escrever: 
ˆ ˆˆ ˆ1 3 5 7 x
x y 180
ˆ ˆ ˆˆ2 4 6 8 y
 
Nos problemas só temos duas hipóteses para esses 
ângulos, tomados dois a dois, ou eles são iguais ou 
eles são suplementares! Não adianta querer 
complicar. Quando os ângulos são expressos por meio 
de equações algébricas, devemos proceder do 
seguinte modo: igualando essas equações (se os 
ângulos forem iguais) ou igualando sua soma a 
180° (se os ângulos forem complementares). 
Agora vamos conhecer as denominações desses 
ângulos. Antes, nós devemos estabelecer alguns 
conceitos: 
1º) Os ângulos situados do mesmo lado da reta 
transversal são os colaterais; os situados em lados 
diferentes, chamam-se alternos. 
2º) Os ângulos localizados entre as retas paralelas 
são chamados internos e os ângulos localizados na 
parte externa de cada reta paralela são denominados 
externos. 
3º) Os ângulos vizinhos são chamados conjugados e 
os ângulos que são colaterais, mas não conjugados, 
sendo um interno e outro externo, chamam-se 
correspondentes. 
 
 
 
 
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Assim, temos: 
a) ÂNGULOS COLATERAIS INTERNOS: 
ˆ ˆ ˆˆ3 e 6; 4 e 5 
b) ÂNGULOS COLATERAIS EXTERNOS: 
  1 e 8; 2 e 7 
c) ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS:    3 e 5; 4 e 6 
d) ÂNGULOS ALTERNOS EXTERNOS:   1 e 7; 2 e 8 
e) ÂNGULOS CORRESPONDENTES: 
      1 e 5; 4 e 8; 2 e 6; 3 e 7 
 
f) ÂNGULOS CONJUGADOS: 
             1 e 2; 2 e 3; 3 e 4; 4 e 1;5 e 6; 6 e 7; 7 e 8; 8 e 5  
g) ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE: 
       1 e 3; 2 e 4;5 e 7; 6 e 8 
Uma vez conhecidos os ângulos, temos que: 
1º) São SUPLEMENTARES os ângulos 
COLATERAIS e os CONJUGADOS. 
2º) São IGUAIS (ou CONGRUENTES) os ângulos 
CORRESPONDENTES e os ÂNGULOS OPOSTOS 
PELO VÉRTICE (OPV). 
3. Teorema de Tales 
O conjunto de todas as retas paralelas entre si, 
coplanares, é denominado FEIXE DE RETAS 
PARALELAS. Se uma reta não paralela corta uma das 
retas do feixe de retas paralelas, então, ela corta 
todas as demais; esta reta é denominada RETA 
TRANSVERSAL. 
O Teorema de Tales tem o seguinte enunciado: “Três 
ou mais retas de um feixe de retas paralelas 
determinam em duas retas transversais 
segmentos proporcionais”. Assim: 
 
AB BC AC
DE EF DF
 
 
4. Exercícios Propostos 
1. Determine a medida do ângulo desconhecido nas 
figuras a seguir: 
 
 
 
 
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2. Determine o valor de x ou y nas figuras: 
 
 
 
 
 
 
AULA 05: RELAÇOES MÉTRICAS DE UM 
TRIÂNGULO 
1. Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Sabemos que o triângulo retângulo é aquele que 
possui um ângulo reto e, além disso, seus lados 
possuem denominações especiais; assim, o lado que 
se opõe ao ângulo de 90° é chamado de 
HIPOTENUSA e os lados perpendiculares entre si, 
formando o ângulo de 90°, chamam-se CATETOS. É 
 
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preciso que você saiba identificar esses lados e os 
ângulos de um triângulo retângulo, qualquer que seja 
a posição do triângulo. Observe: 
 
a = hipotenusa do triângulo ABC 
b e c = catetos do triângulo ABC 
m = projeção do cateto b sobre a hipotenusa 
n = projeção do cateto c sobre a hipotenusa 
h = altura relativa à hipotenusa 
Os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes entre 
si e o quadro mostrado a seguir serve para deduzir as 
fórmulas que compõem as relações métricas do 
triângulo retângulo. 
 
TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 
LADOS HOMÓLOGOS DO TRIÂNGULO 
HIPOTENUSA CATETO 
MENOR 
CATETO 
MAIOR 
ABC a b c 
ACH b m h 
ABH c h n 
 
2b a m
a h b c
b h c
ABC ACH:
a b
b m
a c
b
m
h
b c
m h

 
 
2
2
c a n
c
ABC ABH:
a c
c n
b c
h
h b n
h m n
n
ACH ABH:
m h
h n


 
Outras relações podem ser deduzidas: 
2 2
2 2 2 2
2 2 2
a m n
b n c m
c b n m
1 1 1
h b c
 
A mais importante relação métrica do triângulo 
retângulo é o TEOREMA DE PITÁGORAS, cujo 
enunciado é o seguinte: “Em todo triângulo retângulo, 
o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados das medidas dos catetos”. 
Chamam-se Triângulos Pitagóricos os triângulos que 
satisfazem as relações: 
2
c a 1
, b e b 2b 1
a
2
 
Onde: 
 
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a = hipotenusa b = cateto menor c = 
cateto maior 
 
 k e k 1 
1.1. Exercícios Propostos 
1. A base de um triângulo isósceles mede 48 cm e sua 
altura vale 32 cm. Determine a medida de seus lados 
congruentes. 
2. Calcule a altura e as projeções dos catetos sobrea 
hipotenusa, no triângulo retângulo de catetos iguais a 
12 cm e 15 cm. 
3. Uma escada está apoiada em uma parede vertical, 
e seu pé dista 1,5 m da parede. Sabendo que o 
comprimento da escada é 2,5 m, determine a altura 
que ela alcança na parede. 
4. Os lados congruentes de um triângulo isósceles 
medem 10 cm e a base mede 6 cm. Determine a 
altura relativa à base. 
5. Calcule o valor de x nas figuras a seguir, onde 
todas as medidas são expressas em cm: 
 
 
 
 
 
AULA 06: RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM 
TRIÂNGULO 
1. Razões Trigonométricas 
a) Seno – é igual ao cateto oposto ao ângulo, dividido 
pela hipotenusa. Assim: 
CATETO OPOSTO AO ÂNGULO
SEN0
HIPOTENUSA
 
b) Cosseno – é igual ao cateto adjacente, dividido 
pela hipotenusa. Assim: 
 
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CATETO ADJACENTE AO ÂNGULO
COSSEN0
HIPOTENUSA
 
c) Tangente – é igual ao cateto oposto, dividido pelo 
cateto adjacente. Assim: 
CATETO OPOSTO AO ÂNGULO
TANGENTE
CATETO ADJACENTE AO ÂNGULO
 
Nos problemas, devemos proceder assim: 
1º) Desenhar o triângulo retângulo, caso não tenha 
nenhum esquema. 
2º) Se a hipotenusa não for dada, utilize a tangente. 
3º) Conhecendo-se um ângulo, o cateto oposto a ele 
e hipotenusa, utilizar o seno. 
4º) conhecendo-se um ângulo, o cateto oposto a ele e 
hipotenusa, utilizar o cosseno. 
2. Exercícios Propostos 
1. Em um dia de sol, quando este eleva-se a 45° em 
relação à horizontal, um prédio projeta uma sombra 
de 10 m de comprimento. Qual a altura do prédio? 
2. Um carro percorre 1 km em uma rampa que forma 
60° com a horizontal, quanto o carro percorreu 
horizontalmente? 
3. Do alto de um farol situado 12 m acima do nível do 
mar, avista-se um navio segundo um ângulo de 
depressão de 20°. Qual a distância do navio ao pé do 
farol? 
sen 20 0,34; tan 20 0,36 
4. Uma torre vertical de altura 12 m é vista sob um 
ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra a uma 
distância x da sua base e cujos olhos estão no mesmo 
plano horizontal dessa base. Determine a distância x. 
(tan 30° = 0,58). 
5. Dois observadores A e B veem um balão, 
respectivamente, sob ângulos visuais de 20° e 40°. 
Sabendo que a distância entre A e B é de 200 m, 
calcule a altura h do balão em relação ao segmento 
imaginário de reta que une os observadores A e B. 
tan40 0,84; tan 20 0,36 
6. A partir de um ponto, uma pessoa observa o topo 
de um prédio sob um ângulo de 30°. Caminhando 23 
m em direção ao prédio, o topo do prédio é visto sob 
um ângulo de 60°. Desprezando a altura do 
observador, determine a altura do prédio. 
3. Leis dos Cossenos e dos Senos 
3.1. Leis dos Cossenos 
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um 
dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas 
dos outros dois lados, menos duas vezes o produto 
das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo 
que eles formam. Assim: 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
ˆa b c 2bc cos a
ˆb a c 2ac cos b
ˆc a b 2abcos c
 
 
3.2. Leis dos Senos 
Num triângulo qualquer, os senos dos ângulos e as 
medidas dos lados opostos a esses ângulos são 
diretamente proporcionais, ou seja, formam razões 
iguais. 
 
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ˆsen bˆ ˆsen a sen c
a b c
 
3.3. Exercícios Propostos 
 
 
 
 
 
 
AULA 07: RELAÇÕES MÉTRICAS DO CÍRCULO 
1. Tangente-Secante 
Observe a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
a) Para os Ângulos: 
med TOB med TOA
med TPB
2
 
 
b) Para o Comprimento dos Segmentos: 
2
PT PA PB 
 
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2. Secante-Secante 
(I) Ponto P Externo 
 
a) Para os Ângulos: 
med BOD med COA
med BPD
2
 
 
b) Para o Comprimento dos Segmentos: 
PC PD PA PB 
(II) Ponto P Interno 
 
a) Para os Ângulos: 
 
med B0C med DOA
med BPC
2
 
 
b) Para o Comprimento dos Segmentos: 
PC PD PA PB 
3. Exercícios Propostos 
Nas figuras a seguir, calcule o comprimento dos 
segmentos ou a medida dos ângulos: 
 
 
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AULA 08: RELAÇÕES MÉTRICAS DE UM 
POLÍGONO 
1. Polígonos Convexos 
São figuras geométricas formadas por linhas 
poligonais fechadas, e os lados contornam uma região 
convexa. O número de lados determina o tipo opu o 
gênero do polígono. Se os lados e os ângulos são 
congruentes, o polígono é dito regular. 
2. Nomenclatura dos Polígonos 
Número de 
Lados 
(n) 
 
Denominação 
3 Triângulo 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Undecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
 
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3. Relações Angulares 
1ª) Soma dos Ângulos Internos de um Polígono 
Convexo 
iS n 2 180 
2ª) Soma dos Ângulos Externos de um Polígono 
Convexo 
eS 360 
3ª) Ângulo Interno de um Polígono Convexo 
Regular 
i
n 2 180
A
n
 
4ª) Ângulo Externo de um Polígono Convexo 
Regular 
e
360
A
n
 
OBS: Nas relações anteriores e em todas as outras 
que ainda serão estudadas “n” é o número de lados 
ou gênero do polígono. 
4) Número de Diagonais de um Polígono 
Convexo 
Convencionamos que: 
n = Número de lados ou gênero do polígono 
D = Número de diagonais 
d = Número de diagonais que passam pelo centro do 
polígono 
d’ = Número de diagonais que não passam pelo 
centro do polígono 
Assim, temos as seguintes relações: 
1ª) Número de Diagonais (D) 
n n 3
D
2
 
2ª) Número de Diagonais que passam pelo 
Centro do Polígono (d) 
n
d
2
 
3ª) Número de Diagonais que NÃO passam pelo 
Centro do Polígono (d’) 
n n 4
d'
2
 
5. Elementos de um Polígono 
Considere o hexágono abaixo: 
 
a) OC OD R é o raio da circunferência 
circunscrita ao polígono e denomina-se RAIO DO 
POLÍGONO REGULAR. 
b) OM r é a distância do centro do polígono a cada 
um dos lados do polígono, denomina-se APÓTEMA DO 
POLÍGONO, e também é a medida do raio da 
circunferência inscrita no polígono. 
 
6. Propriedades dos Polígonos Regulares 
Em dois polígonos regulares, com o mesmo número 
de lados, os perímetros são proporcionais aos 
respectivos: 
a) lados 
b) raios das circunferências circunscritas 
 
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c) apótemas 
Assim: 
1 n1 1 n1
2 n2 2 n2
2p l R a
2p l R a
 
7. Medidas do Lado e do Apótema de um 
Polígono Regular de n Lados 
Nas fórmulas: 
n
n
180
l 2R sen
n
e
180
a R cos
n
 
7.1. Outras Relações 
Polígono de 2n lados: 
2 2
2n n
2 2
n
n
2
2 2 n
n
Medida do lado do polígono de "2n" lados :
l 2R R 4R l
Medida do apótema do polígono de "n" lados :
4R l
a
2
onde :
l
R a
4
 
 
8. Exercícios Propostos 
1. Qual o número de lados do polígono convexo cuja 
soma dos ângulos internos é igual à soma dos ângulos 
externos? 
2. Quantos lados têm o polígono regular cujo ângulo 
interno vale 156°? 
3. A soma dos internos de um polígono convexo 
aumentada da soma dos ângulos externos desse 
polígono é igual a 1640°. Qual é o polígono? 
4. Quantos lados tem o polígono regular cuja medida 
do ângulo interno é o dobro da medida do ângulo 
externo? 
5. Quantos lados temo polígono de 44 diagonais? 
6. Quantas diagonais tem o polígono convexo cuja 
diferença entre o ângulo interno e o ângulo externo é 
igual a 56°? 
7. Quais são os polígonos convexos cujos gêneros são 
expressos por 2x 1e 4x 3e que a diferença 
das somas de seus ângulos internos é igual a 1800°? 
8. Um polígono tem gênero 2x 1 e 65 diagonais. 
Qual o valor de x? 
9. Deduza as relações para as medidas do lado e do 
apótema dos seguintes polígonos regulares: 
a) Triângulo Equilátero 
b) Quadrado 
c) Hexágono 
10. O lado do hexágono regular inscrito numa 
circunferência de mede 24 cm. Determine a medida 
do raio e a do apótema do hexágono. 
11. O apótema de um triângulo eqüilátero inscrito 
numa circunferência mede 30 cm. Calcule a medida 
do lado deste triângulo. 
12. Uma circunferência tem 12 cm de raio. Calcule a 
medida do lado de cada polígono circunscrito à 
circunferência: 
a) quadrado 
b) hexágono 
c) triângulo eqüilátero 
d) octógono 
e) decágono 
 
 
 
 
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UNIDADE IV: ESTUDOS COMPLEMENTARES 
AULA 01: REGRA DA SOCIEDADE 
1. Conceito 
Uma das aplicações da Divisão Proporcional é a 
repartição de lucros ou prejuízos entre os sócios de 
uma empresa. Este tipo de problema é conhecido com 
o nome de Regra da Sociedade. 
Na formação de uma empresa entre vários sócios 
ocorrem as seguintes situações: 
1ª) CAPITAIS E TEMPOS IGUAIS: Neste caso, o lucro 
(ou prejuízo) deve ser dividido em partes iguais entre 
todos os sócios. 
2ª) CAPITAIS IGUAIS E TEMPOS DIFERENTES: Neste 
caso, o lucro (ou prejuízo) deve ser dividido em 
partes DIRETAMENTE PROPORCIONAIS aos TEMPOS. 
3ª) CAPITAIS DIFERENTES E TEMPOS DIFERENTES: 
Neste caso, o lucro (ou prejuízo) deve ser dividido em 
partes DIRETAMENTE PROPORCIONAIS aos CAPITAIS. 
4ª) CPAITAIS E TEMPOS DIFERENTES: Neste caso, o 
lucro (ou prejuízo) deve ser dividido em partes 
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS ao PRODUTO do 
CAPITAL pelo respectivo TEMPO, pois trata-se de uma 
REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA. 
2. Exercícios Propostos 
1. Três amigos, A, B e C, formaram uma sociedade 
com os capitais de R$ 5.400,00, R$ 4.500,00 e R$ 
3.600,00, respectivamente. Após um ano obtiveram 
um lucro de R$ 27.000,00. Quanto recebeu cada um? 
2. Quatro sócios organizaram uma empresa com 
capitais iguais. O 1º empregou seu capital durante 1 
ano e 4 meses; o 2º empregou seu capital durante 1 
ano e 6 meses; o 3º durante 2 anos e o 4º teve seu 
capital empregado durante 2 anos e 4 meses. Se 
houve um lucro de R$ 43.000,00, quanto recebeu 
cada um dos sócios? 
3. Duas pessoas formaram uma sociedade com capital 
de R$ 96.000,00 e tiveram um lucro de R$ 38.400,00 
que foi dividido proporcionalmente aos capitais 
empregados. A 1ª recebeu R$ 22.400,00 e a 2ª 
recebeu R$ 16.000,00. Qual o capital de 
cada uma dessas pessoas na formação da sociedade? 
4. Uma sociedade de duas pessoas apresentou ao fim 
de um ano um lucro de R$ 15.200,00. A 1ª empregou 
seu capital de R$ 3.200,00 durante cinco meses e a 
2ª teve seu capital de R$ 1.800,00 empregado 
durante oito meses. Quanto recebeu cada um dos 
sócios? 
AULA 02: REGRA DO ENCADEAMENTO 
1. Introdução 
Existem certos problemas, como de conversão de 
moedas (câmbio indireto), que são resolvidos através 
da Regra do Encadeamento. Os problemas desse 
tipo têm como característica fundamental relações de 
equivalência entre duas grandezas, passando por 
outras grandezas intermediárias num encadeamento 
de informações e dados. 
2. Procedimento 
Para você resolver os problemas aplicando esta 
técnica, você deve: 
1º) Arrumar os dados em linhas. 
2º) A primeira linha contém a pergunta (incógnita). 
3º) A grandeza que termina uma linha deve começar 
a linha seguinte. 
4º) Obtém-se o valor da incógnita, multiplicando-se 
todos os valores da coluna que não contém a 
incógnita e dividindo-se o resultado pelo produto de 
todos os números da coluna em que a incógnita se 
encontra. 
É importante lembrar que o problema, após a 
disposição dos dados inicia e termina com a mesma 
grandeza. 
 
 
 
 
 
 
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3. Exemplos Resolvidos 
1. Quantas laranjas podem ser compradas com R$ 
36,00, se 25 bananas custa R$ 5,00; 40 bananas 
valem o mesmo que 2 kg de morangos e 5 kg de 
morangos custam o mesmo que 80 laranjas? 
Solução: 
1ª Linha: x laranjas R$ 36,00
2ª Linha: R$ 5,00 25 bananas
3ª Linha: 40 bananas 2 kg morangos
4ª Linha: 5 kg morangos 80 laranjas
Assim:
36 25
x
5
2 80
40
5 40
40
5
5
36 5 2 2
5 1 1
x 36 4 144 x 144
Resp :São compradas 144 laranjas com R$ 36,00.
 
2. Qual é o salário de um engenheiro, se quatro deles 
ganham o mesmo que 6 técnicos, 25 técnicos 
recebem o mesmo que 45 escriturários, 2 
escriturários recebem o mesmo que 5 ajudantes, que 
recebe cada R$ 40,00 por dia? 
Solução: 
1ª Linha: x reais 1 engenheiro
2ª Linha: 4 engenheiros 6 técnicos
3ª Linha: 25 técncios 45 escriturários
4ª Linha: 2 escriturários 5 ajudantes
5ª Linha: 1 ajudante 1200 reais
Assim:
1 6 45 5 1200 1620000
x
4 25 2 1 200
x 8100 x 8100
Resp :Um engenheiro recebe R$ 8.100,00.
 
 
 
 
 
AULA 03: PRGRESSÕES ARITMÉTICAS E 
GEOMÉTRICAS 
1. Razão de uma PA e de uma PG 
Uma sequência é denominada PROGRESSÃO 
ARITMÉTICA se cada termo, a partir do segundo, é 
obtido adicionando-se uma constante ao termo 
anterior. Esta constante é denominada RAZÃO DA PA 
e será indicada pela letra r. Assim, temos: 
n 1 na a r n  
Uma sequência é denominada PROGRESSÃO 
GEOMÉTRICA se cada termo, a partir do segundo, é 
obtido multiplicando-se o termo anterior por uma 
constante. Esta constante é denominada RAZÃO DA 
PG e será indicada pela letra q. Assim, temos: 
n 1 na a q n  
1.1. Exemplos Resolvidos 
1. Determine o valor de x sabendo que a sequência 
3x 2; x 1; 2x 3 é uma progressão aritmética. 
2. Determine o valor real de x sabendo que a 
sequência 4; 4x;10x 6 é uma progressão 
geométrica. 
2. Termo Geral de uma PA e de uma PG 
Um termo genérico qualquer de uma progressão pode 
ser determinando conhecendo-se o primeiro termo e a 
razão da progressão. Assim, temos: 
n 1a a n 1 r é a expressão do termo geral 
de uma PA. Onde: 
an = Termo geral 
a1 = Primeiro termo 
n = Quantidade de termos; posição de um termo 
r = Razão da PA 
No caso de uma PG, temos para termo geral a 
seguinte expressão: 
 
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n 1
n 1a a q , onde: 
an = Termo geral 
a1 = Primeiro termo 
n = Quantidade de termos; posição de um termo 
q = Razão da PG 
2.1. Exemplos Resolvidos 
1. Quantos múltiplos de 13 existem entre 100 e 
1000? 
2. Determine a razão e o primeiro termo da PG tal 
que: 
 1 4
2 5
a a 252
a a 84
 
3. Soma Finita dos Termos de uma PA e de uma 
PG 
A soma Sn dos n primeiros termos de uma PA é dada 
por: 
1 n
n
a a n
S
2
. 
A soma Sn dos n primeiros termos de uma PG é dada 
por: 
n
1
n
a 1 q
S , q 1
1 q
 
4. Soma dos Infinitos Termos de uma PG 
O limite da soma dos infinitos termos de uma PG de 
razão q, 1 q 1, é dada por: 
1aS
1 q
 
5. Representação Genérica de uma PA e de uma 
PG 
Para a resolução de certos problemas, a 
representação genérica de uma progressão pode ser 
muito útil; algumas dessas representações são 
mostradas a seguir: 
PA de três termos: (x – r, x, x +r) 
PA de quatro termos: (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r) 
PG de três termos: x ,x,xq
q
 
PG de quatro termos: 3
3
x x
, ,xq,xq
q q
 
6. Exercícios Básicos