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Álgebra Linear I Aula 14 Transformações Lineares Imagem

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Aula 14 Álgebra Linear I 1
N esta aula, veremos, entre outros resultados, que 
 
 �
� � �
� linear é injetora,
se, e somente se, o núcleo de 
 é o subespaço nulo. Além disso, aplicaremos o
importante Teorema do Núcleo e da Imagem, o qual relaciona as dimensões do
núcleo de 
 e da imagem de 
 com �, a dimensão do �
�.
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: definir núcleo e ima-
gem de uma transformação linear 
 
 �
� � �
�; dar exemplos
de transformações lineares 
 
 �
� � �
� injetoras; e aplicar o
Teorema do Núcleo e da Imagem.
Aula 14 Álgebra Linear I2
Atividade 1
Seja 
 
 �
� � �
� uma transformação linear. O núcleo de 
 , indicado por ��
 �, é o
conjunto
��
 � � �� � �
� 
 
 ��� � ������
e a imagem de 
 , denotado por 	��
 �, é o conjunto
	��
 � � �
 ��� 
 � � �
���
Assim, ��
 � � �
� e 	��
 � � �
�. Você ainda deve observar que ��
 � é um
subespaço vetorial do espaço euclidiano �
�. De fato,
i) ��
 � 	� �, pois ���� � ��
 � (já que 
 ������ � ����);
ii) se ��� � ��
 �, temos 
 ��� � � e 
 �� � � �. Logo, 
 �� � � � � 
 ��� � 
 �� � �
� � �, de modo que � � � � ��
 �;
iii) se � � ��
 � e � � �
, temos 
 ��� � �. Então, 
 ���� � �
 ��� � � � � � �, e
�� � ��
 �.
Lembre-se da aula 6 (Espaços vetoriais), na qual (i), (ii) e (iii) nos dizem que ��
 � é
um subespaço de �
�. Também, você pode provar que 	��
 � é um subespaço de �
�.
Prove que 	��
 � é um subespaço de �
�.
Aula 14 Álgebra Linear I 3
Exemplo 1
Se 	� 
 �
� � �
�
� � �� 
� � �
�, a transformação identidade.
Note que 	��	�� � �	���� 
 � � �
��
� �� 
 � � �
��
� �
�, isto é, a imagem de 	� é o espaço todo �
�,
e
��
 � � �� � �
� 
 	���� � ��
� �� � �
� 
 � � ��
� ���� ou seja, o núcleo de 	� é o subespaço nulo.
Exemplo 2
Seja � 
 �
� � �
�
� � �� 
� � �
�, a transformação “zero”.
Veja que 	���� � ����� 
 � � �
��
� �� 
 � � �
��
� ���, isto é, a imagem da transformação “zero” é o subespaço nulo,
enquanto
���� � �� � �
� 
 ���� � ��
� �� � �
� 
 � � ���
Como a igualdade � � � é sempre verdadeira, isso significa que o núcleo da transfor-
mação “zero” é o espaço todo �
�.
Exercício resolvido 1
Seja 
 
 �
� � �
� definida por 
 ��� �� � ��� �� �� �� ��.
i) Mostre que 
 é linear.
ii) Determine ��
 � e 	��
 �.
iii) 
 é injetora?
1
Aula 14 Álgebra Linear I4
Solução
i) Lembre-se de que para provar que 
 é linear, devemos verificar a validade das
duas condições abaixo:
a) 
 �� � � � � 
 ��� � 
 �� �;
b) 
 ���� � �
 ���� 
��� � �
�� 
� � �
�.
Sejam � � ���� ���� � � ���� ��� � �
�.
Então, � � � � ��� � ��� �� � ���,
a) 
 �� � � � � 
 ��� � ��� �� � ��� � ��� � �� � �� � �� � ��� � ���� �� � ���
� ��� � ��� �� � ��� ��� � ��� � ��� �� � ��� ���
� 
 ���� ��� � 
 ���� ���
� 
 ��� � 
 �� ��
enquanto
b) 
 ���� � 
 ������ ���� � 
 ����� ����
� ���� � ���� ��� � ���� ����
� ����� � ���� ���� � ���� ����
� ���� � ��� �� � ��� ���
� �
 ����
Portanto, 
 é linear.
ii) ��
 � � �� � �
� 
 
 ��� � �����
� ���� �� � �
� 
 
 ��� �� � ��� �� ���
� ���� �� � �
� 
 ��� �� �� �� �� � ��� �� ���.
Assim, ��� �� � ��
 �, se, e somente se,
	
��
�
�� � � �
�� � � �
� � �
.
Resolvendo esse sistema homogêneo, vemos facilmente que a única solução é
a trivial, ou seja, � � � � �.
Logo,
��
 � � ���� �� ��� é o subespaço nulo.
Agora,
	��
 � � �
 ��� �� 
 ��� �� � �
��
� ���� �� �� �� �� 
 ��� �� � �
���
iii) Finalmente, para verificar se 
 é injetora, sejam ���� ���� ���� ��� com
 ���� ��� � 
 ���� ���
��� � ��� �� � ��� ��� � ��� � ��� �� � ��� ����
Solução
i) Lembre-se de que para provar que 
 é linear, devemos verificar a validade das
duas condições abaixo:
a) 
 �� � � � � 
 ��� � 
 �� �;
b) 
 ���� � �
 ���� 
��� � �
�� 
� � �
�.
Sejam � � ���� ���� � � ���� ��� � �
�.
Então, � � � � ��� � ��� �� � ���,
a) 
 �� � � � � 
 ��� � ��� �� � ��� � ��� � �� � �� � �� � ��� � ���� �� � ���
� ��� � ��� �� � ��� ��� � ��� � ��� �� � ��� ���
� 
 ���� ��� � 
 ���� ���
� 
 ��� � 
 �� ��
enquanto
b) 
 ���� � 
 ������ ���� � 
 ����� ����
� ���� � ���� ��� � ���� ����
� ����� � ���� ���� � ���� ����
� ���� � ��� �� � ��� ���
� �
 ����
Portanto, 
 é linear.
ii) ��
 � � �� � �
� 
 
 ��� � �����
� ���� �� � �
� 
 
 ��� �� � ��� �� ���
� ���� �� � �
� 
 ��� �� �� �� �� � ��� �� ���.
Assim, ��� �� � ��
 �, se, e somente se,
	
�
		
���
�
��
��
�� � � �
�� � � �
� � �
.
Resolvendo esse sistema homogêneo, vemos facilmente que a única solução é
a trivial, ou seja, � � � � �.
Logo,
��
 � � ���� �� ��� é o subespaço nulo.
Agora,
	��
 � � �
 ��� �� 
 ��� �� � �
��
� ���� �� �� �� �� 
 ��� �� � �
���
iii) Finalmente, para verificar se 
 é injetora, sejam ���� ���� ���� ��� com
 ���� ��� � 
 ���� ���
��� � ��� �� � ��� ��� � ��� � ��� �� � ��� ����
Aula 14 Álgebra Linear I 5
Isso implica
���
	
��
�
�� � �� � �� � ��
�� � �� � �� � ��
�� � ��
�
Como �� � ��, substituindo o valor de �� na primeira equação de ���, obtemos
�� � ��. Logo, ���� ��� � ���� ���, o que prova que 
 é injetora.
Exercício resolvido 2
Seja 
 
 �
� � �
� a transformação linear definida por
 ��� �� �� � ��� � � �� � � �� �� � � ���
i) Determine ��
 �.
ii) 
 é injetora?
Solução
i) Ora, ��
 � � ���� �� �� � �
� 
 
 ��� �� �� � ��� �� ���
� ���� �� �� � �
� 
 ��� � � �� � � �� �� � � �� � ��� �� ����
Note que ��� �� �� � ��
 �, se, e somente se, ��� �� �� é solução do sistema
homogêneo
�	�
	
��
�
�� � � � � �
� � � � �
�� � � � � �
� ou �	�
�
�� � � � � �
� � � � �
�
Lembre-se de que para resolver esse sistema usando o método de Gauss-
Jordan, consideramos a matriz (I)
�
� � ��
� � �
�
, a qual é equivalente por
linhas à matriz escalonada (II)
�
� � ��
� � �
�
(substitua 
� de (I) por 
� �
����
�).
A matriz (II) corresponde ao sistema
�		�
�
�� �� � �
� � � � �
� ou
�
� � ��
� � ��
�
1
Solução
i) Ora, ��
 � � ���� �� �� � �
� 
 
 ��� �� �� � ��� �� ���
� ���� �� �� � �
� 
 ��� � � �� � � �� �� � � �� � ��� �� ����
Note que ��� �� �� � ��
 �, se, e somente se, ��� �� �� é solução do sistema
homogêneo
�	�
	
�
		
���
�
��
��
�� � � � � �
� � � � �
�� � � � � �
� ou �	�
�
�� � � � � �
� � � � �
�
Lembre-se de que para resolver esse sistema usando o método de Gauss-
Jordan, consideramos a matriz (I)
�
� � ��
� � �
�
, a qual é equivalente por
linhas à matriz escalonada (II)
�
� � ��
� � �
�
(substitua 
� de (I) por 
� �
����
�).
A matriz (II) corresponde ao sistema
�		�
�
�� �� � �
� � � � �
� ou
�
� � ��
� � ��
�
Isso implica
���
	
�
		
���
�
��
��
�� � �� � �� � ��
�� � �� � �� � ��
�� � ��
�
Como �� � ��, substituindo o valor de �� na primeira equação de ���, obtemos
�� � ��. Logo, ���� ��� � ���� ���, o que prova que 
 é injetora.
Aula 14 Álgebra Linear I6
Assim, o espaço solução do sistema original (I) é, portanto,
��
 � � ���� �� �� � �
� 
 � � ��� � � ��� � arbitrário�
� �������� �� 
 � arbitrário��
Fazendo � � �, por exemplo, obtemos que ������ �� � ��
 �, isto é, podemos
dizer que ��
 � 	� ���� �� ���.
ii) Para ver se 
 é injetora, sejam ���� ��� ���� ���� ��� ��� � �
� com
 ���� ��� ��� � 
 ���� ��� ����
isto é, com
��� � �� � ��� �� � ��� �� � �� � ��� � ��� � �� � ��� �� � ��� �� � �� � ���
�
�
�� � �� � �� � �� � �� � ��
�� � �� � �� � ��
Será que �� � ��� �� � ��� �� � ��, ou seja, será que ���� ��� ��� �
���� ��� ���?
Note que � � � � � � �, mas �� � e � 	� �. Com certo esforço você deve
perceber, por exemplo, que
 ��� �� �� � ��� �� ��
 ��� �� �� � ��� �� ���
mas que, obviamente, ��� �� �� 	� ��� �� ��. Portanto, 
 não é injetora.
No Exercício resolvido 1, encontramos ��
 � � ���� ��� � ������ e 
 injetora, en-
quanto no Exercício resolvido 2, obtemos
��
 � 	� ���� �� ��� � ������ e 
 não injetora.
De um modo geral, vale o critério seguinte.
Teorema 1
Uma transformação linear 
 
 �
� � �
� é injetora, se, e somente se,��
 � �
������.
Assim, o espaço solução do sistema original (I) é, portanto,
��
 � � ���� �� �� � �
� 
 � � ��� � � ��� � arbitrário�
� �������� �� 
 � arbitrário��
Fazendo � � �, por exemplo, obtemos que ������ �� � ��
 �, isto é, podemos
dizer que ��
 � 	�		 ���� �� ���.
ii) Para ver se 
 é injetora, sejam ���� ��� ���� ���� ��� ��� � �
� com
 ���� ��� ��� � 
 ���� ��� ����
isto é, com
��� � �� � ��� �� � ��� �� � �� � ��� � ��� � �� � ��� �� � ��� �� � �� � ���
�
�
�� � �� � �� � �� � �� � ��
�� � �� � �� � ��
Será que �� � ��� �� � ��� �� � ��, ou seja, será que ���� ��� ��� �
���� ��� ���?
Note que � � � � � � �, mas � 	� �		 e � 	� �		 . Com certo esforço você deve
perceber, por exemplo, que
 ��� �� �� � ��� �� ��
 ��� �� �� � ��� �� ���
mas que, obviamente, ��� �� �� � ��		 � �� ��. Portanto, 
 não é injetora.
Aula 14 Álgebra Linear I 7
Prova
� Demonstração da parte “somente se”.
Hipótese – 
 é injetora.
Queremos provar que ��
 � � ������. Para isso, seja � � ��
 �. Então, 
 ��� �
���� . Mas, sabemos que ���� � 
 ������. Assim, 
 ��� � 
 ������. Como 
 é injetora,
segue que� � ���� . Isso prova que��
 � � ������, ou seja, é formado somente pelo zero.
� Demonstração da parte “se”.
Hipótese – ��
 � � ������.
Queremos provar que 
 é injetora. Para isso, considere ��� � �
� com 
 ��� �
 �� �. Então, 
 ��� � 
 �� � � ���� . Como 
 é linear, segue que 
 �� � � � � 
 ��� �
 �� � � ���� . Isso nos diz que � � � � ��
 �. Mas, ��
 � � ������, de modo que
� � � � ���� e, conseqüentemente, � � ���� � � � � , o que prova ser 
 injetora,
completando a demonstração do resultado.
S eja � � ���� �� � � � � ��� ��� �� �� � � � � ��� � � � � ��� �� � � � � ��� a base canônica do �
�.
Seja 
 
 �
� � �
� uma transformação linear. Estamos interessados em deter-
minar as dimensões do ��
 � e da 	��
 �, e relacioná-las com a dimensão � do
�
�; lembre-se de que ������
 �� indica a dimensão do núcleo de 
 e ����	��
 �� é a
dimensão da imagem de 
 .
Observação – Você deve notar que como ��� ��� � � � � �� geram �
�, então, 
 ����� 
 ����� � � � �
 ���� geram 	��
 �. De fato, seja 
 �� � 	��
 ��. Como� � ���� � ���� � � � �� ����,
para alguns números reais (escalares) ��� ��� � � � � �� e, sendo 
 linear, obtemos
 ��� � 
 ����� � ���� � � � �� �����
� ��
 ���� � ��
 ���� � � � �� ��
 �����
Isso prova que qualquer vetor 
 ��� � �
� pode ser escrito como combinação linear
de 
 ����� 
 ����� � � � � 
 ����, ou seja, 
 ����� 
 ����� � � � � 
 ���� geram 	��
 �.
Aula 14 Álgebra Linear I8
Atividade 2
Exercício resolvido 3
Considere a mesma transformação linear do Exercício resolvido 2,
 
 �
� � �
�
��� �� �� � ��� � � �� � � �� �� � � ���
Encontre ����	��
 �� e ������
 ��.
Solução
Seja � � ��� � ��� �� ��� �� � ��� �� ��� �� � ��� �� ��� a base
canônica do �
�. Pela observação feita anteriormente, sabemos que
 ����� 
 ����� � � � � 
 ���� geram 	��
 �, mas
 ���� � 
 ��� �� �� � ��� �� ��
 ���� � 
 ��� �� �� � ��� �� ��
 ���� � 
 ��� �� �� � ���� ������
Para encontrar ����	��
 ��, você deve encontrar uma base para 	��
 � e
contar o número de elementos (vetores) dessa base. Note que para encontrar
uma base para 	��
 �, basta encontrar uma base para o espaço gerado pelos
vetores 
 ���� � ��� �� ��� 
 ���� � ��� �� �� e 
 ���� � ���� �����. Para
tanto, você deve efetuar operações elementares sobre as linhas da matriz � ��
��
� � �
� � �
�� � ��
�
�� e obter a matriz escalonada �, equivalente por linhas à �.
Prove que a matriz � (obtida por você na solução anterior) do Exercício re-
solvido 3, é dada por
� �
�
��
� � �
� � �
� � �
�
�� �
1
Solução
Seja � � ��� � ��� �� ��� �� � ��� �� ��� �� � ��� �� ��� a base
canônica do �
�. Pela observação feita anteriormente, sabemos que
 ����� 
 ����� � � � � 
 ���� geram 	��
 �, mas
 ���� � 
 ��� �� �� � ��� �� ��
 ���� � 
 ��� �� �� � ��� �� ��
 ���� � 
 ��� �� �� � ���� ������
Para encontrar ����	��
 ��, você deve encontrar uma base para 	��
 � e
contar o número de elementos (vetores) dessa base. Note que para encontrar
uma base para 	��
 �, basta encontrar uma base para o espaço gerado pelos
vetores 
 ���� � ��� �� ��� 
 ���� � ��� �� �� e 
 ���� � ���� �����. Para
tanto, você deve efetuar operações elementares sobre as linhas da matriz � ��
�
��
���
� � �
� � �
�� � ��
�
�
��
��� e obter a matriz escalonada �, equivalente por linhas à �.
Aula 14 Álgebra Linear I 9
Isso significa que os vetores ��� �� �� e ��� �� �� geram 	��
 � e como, claramente,
são linearmente independentes, obtemos que �� � ���� �� ��� ��� �� ��� ��� �� ��� é uma base
para 	��
 �, concluindo que ����	��
 �� � �. Finalmente, para encontrar ������
 ��,
observe que encontrar uma base para ��
 � é equivalente a encontrar uma base para o
espaço solução � do sistema homogêneo i) do Exercício resolvido 2. Como
� � ������� �� 
 � é arbitrário�
� �������� �� 
 � é arbitrário��
temos que � é gerado por ������ �� e, sendo ������ �� 	� ��� �� ��, segue que � �
������� ��� é uma base de � ou, equivalentemente, � é uma base de ��
 �.
Logo, ������
 �� � �.
Você deve perceber que
������
 �� � ����	��
 �� � � � � � � � (domínio de 
 ) � �����
���
Esse resultado vale, em geral, para o seguinte teorema.
Teorema 2 (do Núcleo e da Imagem)
Se 
 
 �
� � �
� é uma transformação linear, então,
������
 �� � ����	��
 �� � ��
Prova
Isso será demonstrado na disciplina Álgebra Linear II, para transformações lineares
 
 � �� , em que � e� são espaços vetoriais quaisquer.
Provaremos as seguintes conseqüências imediatas.
Corolário 1 – Seja 
 
 �
� � �
� uma transformação linear. Se � � �, então, 
 não é
injetora.
Prova
Hipótese – � � �.
Queremos provar que 
 não é injetora. Suponha o contrário, isto é, que 
 é injetora.
Nesse caso, pelo Teorema 1, ��
 � � ������. Mas, pelo Teorema 2, temos
���������
 �� � ����	��
 �� � ��
Aula 14 Álgebra Linear I10
Como��
 � � ������, temos ������
 �� � �. Substituindo esse valor em ���, obte-
mos ����	��
 �� � �. Sendo 	��
 � um subespaço de �
�, concluímos que � � �, o
que contradiz a hipótese. Portanto, 
 não é injetora.
Corolário 2 – Seja 
 
 �
� � �
� uma transformação linear. Se � � �, então 
 não é
sobrejetora.
Prova
Hipótese – � � �.
Queremos provar que 
 não é sobrejetora. Suponha o contrário, isto é, que 
 é so-
brejetora. Isso significa que 	��
 � � �
�. Assim, ����	��
 �� � �. Pelo Teorema 2,
temos
����������
 �� � ����	��
 �� � ��
Substituindo o valor ����	��
 �� � � em ����, obtemos ������
 ���� � �. Isso
implica � � �, o que contradiz a hipótese. Portanto, 
 não é sobrejetora.
Corolário 3 – Seja 
 
 �
� � �
� uma transformação linear bijetora. Então, � � �.
Prova
Suponha que � � �. Pelo Corolário 1, segue que 
 não é injetora, o que é uma
contradição. Agora, supondo que � � �, então, pelo Corolário 2, obtemos que 
 não é
sobrejetora, e temos novamente uma contradição. Portanto, � � �.
Finalizamos esta aula com o seguinte teorema.
Teorema 3
Seja 
 
 �
� � �
� linear. Então, 
 é injetora, se, e somente se, 
 levar todo
subconjunto linearmente independentede �
� em um conjunto linearmente in-
dependente de �
�.
Prova
� Demonstração da parte “somente se”.
Hipótese – 
 é injetora.
Queremos provar que 
 leva todo subconjunto linearmente independente de �
� em um
subconjunto linearmente independente de �
�. Suponha o contrário, isto é, que existe um
Aula 14 Álgebra Linear I 11
Resumo
subconjunto ���� ��� � � � � ��� linearmente independente de �
� tal que �
 ����� 
 ����� � � �
seja linearmente dependente. Isso significa que um dos vetores, digamos 
 ����, é combi-
nação linear dos demais. Assim, existem escalares ��� � � � � �� tais que 
 ���� � ��
 ���� �
� � � � ��
 ����. Como 
 é linear, obtemos 
 ���� � 
 ����� � � � � � �����, e sendo 
injetora, temos�� � ���� � � � �� ����, ou seja, ���� ��� � � � � ��� é linearmente depen-
dente, o que contradiz o fato de que ���� ��� � � � � ��� é linearmente independente. Logo,
 leva todo subconjunto linearmente independente de �
� em um subconjunto linearmente
independente de �
�.
� Demonstração da parte “se”.
Hipótese – 
 leva todo subconjunto linearmente independente de �
� em um subcon-
junto linearmente independente de �
�.
Queremos provar que 
 é injetora. Suponha o contrário, isto é, que 
 não é injetora.
Pelo Teorema 1, temos ��
 � 	� ������. Seja � � ��
 �� � 	� ���� � Considere o conjunto
���. Sabemos que ��� é linearmente independente. Mas, �
 ��� � ����� é claramente
linearmente dependente, o que contradiz a hipótese. Portanto, 
 é injetora.
Você aprendeu nesta aula que o núcleo e a imagem de uma transfor-
mação linear 
 
 �
� � �
� são subespaços vetoriais de �
� e �
�,
respectivamente. Além disso, foi apresentado um critério para saber quando
 é injetora, a saber: 
 é injetora� ��
 � � ����� . Também, o Teorema do
Núcleo e da Imagem nos diz que ������
 �� � ����	��
 �� � �.
Aula 14 Álgebra Linear I12
Seja 
 
 �
� � �
� a transformação linear definida por 
 ��� �� �� � ��� � �
�� ��� ����� � � ��.
i) Encontre 	��
 �. Se ��� �� �� � �
�, quais as condições sobre �� �� � para que o vetor
��� �� �� � 	��
 �? Qual a ����	��
 ��?
ii) Encontre ��
 �.
iii) Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem, determine ����	��
 ��.
Exercícios propostos
1) Seja 
 
 �
� � �
� definida por 
 ��� �� � ��� �� �� �� ��.
a) Verifique que 
 é linear.
b) Sem fazer qualquer cálculo, diga se 
 pode ser sobrejetora. Justifique.
c) Determine ��
 � e ������
 ��.
d) Determine 	��
 � e ����	��
 ��.
e) 
 é injetora? Justifique.
2) Seja 
 
 �
� � �
� uma transformação linear tal que 	��
 � � ��
 �. Demonstre que
� é um número par.
3) Seja 
 
 �
� � �
� a transformação linear definida por
 ��� �� �� � ��� �� ��
 ��� �� �� � ��� �� ��
 ��� �� �� � ��� �� ��.
Ache 
 ��� �� ��.
Aula 14 Álgebra Linear I 13
Respostas dos exercícios propostos
ANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book-
man, 2001.
BOLDRINI, J. L; COSTA, S. R. C; FIGUEIREDO, B. L; WETZLER, H. G. Álgebra linear. São
Paulo: Editora Harbra Ltda, 1986.
Lembrete: solicitamos ao aluno que não verifique as respostas antes de
resolvê-las.
1) b) Sugestão: veja o Corolário 2.
c) ��
 � � ������ � ���� ���
������
 �� � ��
d) 	��
 � � ��� �� �� �� �� 
 ��� �� � �
��
������
 �� � ��
e) Sim. Veja o Teorema 1.
2) Sugestão: use o Teorema do Núcleo e da Imagem.
3) 
 ��� �� �� � �	� �� ��.

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