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Aula 14 Álgebra Linear I 1 N esta aula, veremos, entre outros resultados, que � � � � � linear é injetora, se, e somente se, o núcleo de é o subespaço nulo. Além disso, aplicaremos o importante Teorema do Núcleo e da Imagem, o qual relaciona as dimensões do núcleo de e da imagem de com �, a dimensão do � �. Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: definir núcleo e ima- gem de uma transformação linear � � � � �; dar exemplos de transformações lineares � � � � � injetoras; e aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem. Aula 14 Álgebra Linear I2 Atividade 1 Seja � � � � � uma transformação linear. O núcleo de , indicado por �� �, é o conjunto �� � � �� � � � ��� � ������ e a imagem de , denotado por �� �, é o conjunto �� � � � ��� � � � ��� Assim, �� � � � � e �� � � � �. Você ainda deve observar que �� � é um subespaço vetorial do espaço euclidiano � �. De fato, i) �� � � �, pois ���� � �� � (já que ������ � ����); ii) se ��� � �� �, temos ��� � � e �� � � �. Logo, �� � � � � ��� � �� � � � � �, de modo que � � � � �� �; iii) se � � �� � e � � � , temos ��� � �. Então, ���� � � ��� � � � � � �, e �� � �� �. Lembre-se da aula 6 (Espaços vetoriais), na qual (i), (ii) e (iii) nos dizem que �� � é um subespaço de � �. Também, você pode provar que �� � é um subespaço de � �. Prove que �� � é um subespaço de � �. Aula 14 Álgebra Linear I 3 Exemplo 1 Se � � � � � � � � �� � � � �, a transformação identidade. Note que �� �� � � ���� � � � �� � �� � � � �� � � �, isto é, a imagem de � é o espaço todo � �, e �� � � �� � � � ���� � �� � �� � � � � � �� � ���� ou seja, o núcleo de � é o subespaço nulo. Exemplo 2 Seja � � � � � � � � �� � � � �, a transformação “zero”. Veja que ���� � ����� � � � �� � �� � � � �� � ���, isto é, a imagem da transformação “zero” é o subespaço nulo, enquanto ���� � �� � � � ���� � �� � �� � � � � � ��� Como a igualdade � � � é sempre verdadeira, isso significa que o núcleo da transfor- mação “zero” é o espaço todo � �. Exercício resolvido 1 Seja � � � � � definida por ��� �� � ��� �� �� �� ��. i) Mostre que é linear. ii) Determine �� � e �� �. iii) é injetora? 1 Aula 14 Álgebra Linear I4 Solução i) Lembre-se de que para provar que é linear, devemos verificar a validade das duas condições abaixo: a) �� � � � � ��� � �� �; b) ���� � � ���� ��� � � �� � � � �. Sejam � � ���� ���� � � ���� ��� � � �. Então, � � � � ��� � ��� �� � ���, a) �� � � � � ��� � ��� �� � ��� � ��� � �� � �� � �� � ��� � ���� �� � ��� � ��� � ��� �� � ��� ��� � ��� � ��� �� � ��� ��� � ���� ��� � ���� ��� � ��� � �� �� enquanto b) ���� � ������ ���� � ����� ���� � ���� � ���� ��� � ���� ���� � ����� � ���� ���� � ���� ���� � ���� � ��� �� � ��� ��� � � ���� Portanto, é linear. ii) �� � � �� � � � ��� � ����� � ���� �� � � � ��� �� � ��� �� ��� � ���� �� � � � ��� �� �� �� �� � ��� �� ���. Assim, ��� �� � �� �, se, e somente se, �� � �� � � � �� � � � � � � . Resolvendo esse sistema homogêneo, vemos facilmente que a única solução é a trivial, ou seja, � � � � �. Logo, �� � � ���� �� ��� é o subespaço nulo. Agora, �� � � � ��� �� ��� �� � � �� � ���� �� �� �� �� ��� �� � � ��� iii) Finalmente, para verificar se é injetora, sejam ���� ���� ���� ��� com ���� ��� � ���� ��� ��� � ��� �� � ��� ��� � ��� � ��� �� � ��� ���� Solução i) Lembre-se de que para provar que é linear, devemos verificar a validade das duas condições abaixo: a) �� � � � � ��� � �� �; b) ���� � � ���� ��� � � �� � � � �. Sejam � � ���� ���� � � ���� ��� � � �. Então, � � � � ��� � ��� �� � ���, a) �� � � � � ��� � ��� �� � ��� � ��� � �� � �� � �� � ��� � ���� �� � ��� � ��� � ��� �� � ��� ��� � ��� � ��� �� � ��� ��� � ���� ��� � ���� ��� � ��� � �� �� enquanto b) ���� � ������ ���� � ����� ���� � ���� � ���� ��� � ���� ���� � ����� � ���� ���� � ���� ���� � ���� � ��� �� � ��� ��� � � ���� Portanto, é linear. ii) �� � � �� � � � ��� � ����� � ���� �� � � � ��� �� � ��� �� ��� � ���� �� � � � ��� �� �� �� �� � ��� �� ���. Assim, ��� �� � �� �, se, e somente se, � ��� � �� �� �� � � � �� � � � � � � . Resolvendo esse sistema homogêneo, vemos facilmente que a única solução é a trivial, ou seja, � � � � �. Logo, �� � � ���� �� ��� é o subespaço nulo. Agora, �� � � � ��� �� ��� �� � � �� � ���� �� �� �� �� ��� �� � � ��� iii) Finalmente, para verificar se é injetora, sejam ���� ���� ���� ��� com ���� ��� � ���� ��� ��� � ��� �� � ��� ��� � ��� � ��� �� � ��� ���� Aula 14 Álgebra Linear I 5 Isso implica ��� �� � �� � �� � �� � �� �� � �� � �� � �� �� � �� � Como �� � ��, substituindo o valor de �� na primeira equação de ���, obtemos �� � ��. Logo, ���� ��� � ���� ���, o que prova que é injetora. Exercício resolvido 2 Seja � � � � � a transformação linear definida por ��� �� �� � ��� � � �� � � �� �� � � ��� i) Determine �� �. ii) é injetora? Solução i) Ora, �� � � ���� �� �� � � � ��� �� �� � ��� �� ��� � ���� �� �� � � � ��� � � �� � � �� �� � � �� � ��� �� ���� Note que ��� �� �� � �� �, se, e somente se, ��� �� �� é solução do sistema homogêneo � � �� � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � ou � � � �� � � � � � � � � � � � Lembre-se de que para resolver esse sistema usando o método de Gauss- Jordan, consideramos a matriz (I) � � � �� � � � � , a qual é equivalente por linhas à matriz escalonada (II) � � � �� � � � � (substitua � de (I) por � � ���� �). A matriz (II) corresponde ao sistema � � � �� �� � � � � � � � � ou � � � �� � � �� � 1 Solução i) Ora, �� � � ���� �� �� � � � ��� �� �� � ��� �� ��� � ���� �� �� � � � ��� � � �� � � �� �� � � �� � ��� �� ���� Note que ��� �� �� � �� �, se, e somente se, ��� �� �� é solução do sistema homogêneo � � � ��� � �� �� �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � ou � � � �� � � � � � � � � � � � Lembre-se de que para resolver esse sistema usando o método de Gauss- Jordan, consideramos a matriz (I) � � � �� � � � � , a qual é equivalente por linhas à matriz escalonada (II) � � � �� � � � � (substitua � de (I) por � � ���� �). A matriz (II) corresponde ao sistema � � � �� �� � � � � � � � � ou � � � �� � � �� � Isso implica ��� � ��� � �� �� �� � �� � �� � �� �� � �� � �� � �� �� � �� � Como �� � ��, substituindo o valor de �� na primeira equação de ���, obtemos �� � ��. Logo, ���� ��� � ���� ���, o que prova que é injetora. Aula 14 Álgebra Linear I6 Assim, o espaço solução do sistema original (I) é, portanto, �� � � ���� �� �� � � � � � ��� � � ��� � arbitrário� � �������� �� � arbitrário�� Fazendo � � �, por exemplo, obtemos que ������ �� � �� �, isto é, podemos dizer que �� � � ���� �� ���. ii) Para ver se é injetora, sejam ���� ��� ���� ���� ��� ��� � � � com ���� ��� ��� � ���� ��� ���� isto é, com ��� � �� � ��� �� � ��� �� � �� � ��� � ��� � �� � ��� �� � ��� �� � �� � ��� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� �� � �� � �� � �� Será que �� � ��� �� � ��� �� � ��, ou seja, será que ���� ��� ��� � ���� ��� ���? Note que � � � � � � �, mas �� � e � � �. Com certo esforço você deve perceber, por exemplo, que ��� �� �� � ��� �� �� ��� �� �� � ��� �� ��� mas que, obviamente, ��� �� �� � ��� �� ��. Portanto, não é injetora. No Exercício resolvido 1, encontramos �� � � ���� ��� � ������ e injetora, en- quanto no Exercício resolvido 2, obtemos �� � � ���� �� ��� � ������ e não injetora. De um modo geral, vale o critério seguinte. Teorema 1 Uma transformação linear � � � � � é injetora, se, e somente se,�� � � ������. Assim, o espaço solução do sistema original (I) é, portanto, �� � � ���� �� �� � � � � � ��� � � ��� � arbitrário� � �������� �� � arbitrário�� Fazendo � � �, por exemplo, obtemos que ������ �� � �� �, isto é, podemos dizer que �� � � ���� �� ���. ii) Para ver se é injetora, sejam ���� ��� ���� ���� ��� ��� � � � com ���� ��� ��� � ���� ��� ���� isto é, com ��� � �� � ��� �� � ��� �� � �� � ��� � ��� � �� � ��� �� � ��� �� � �� � ��� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� �� � �� � �� � �� Será que �� � ��� �� � ��� �� � ��, ou seja, será que ���� ��� ��� � ���� ��� ���? Note que � � � � � � �, mas � � � e � � � . Com certo esforço você deve perceber, por exemplo, que ��� �� �� � ��� �� �� ��� �� �� � ��� �� ��� mas que, obviamente, ��� �� �� � �� � �� ��. Portanto, não é injetora. Aula 14 Álgebra Linear I 7 Prova � Demonstração da parte “somente se”. Hipótese – é injetora. Queremos provar que �� � � ������. Para isso, seja � � �� �. Então, ��� � ���� . Mas, sabemos que ���� � ������. Assim, ��� � ������. Como é injetora, segue que� � ���� . Isso prova que�� � � ������, ou seja, é formado somente pelo zero. � Demonstração da parte “se”. Hipótese – �� � � ������. Queremos provar que é injetora. Para isso, considere ��� � � � com ��� � �� �. Então, ��� � �� � � ���� . Como é linear, segue que �� � � � � ��� � �� � � ���� . Isso nos diz que � � � � �� �. Mas, �� � � ������, de modo que � � � � ���� e, conseqüentemente, � � ���� � � � � , o que prova ser injetora, completando a demonstração do resultado. S eja � � ���� �� � � � � ��� ��� �� �� � � � � ��� � � � � ��� �� � � � � ��� a base canônica do � �. Seja � � � � � uma transformação linear. Estamos interessados em deter- minar as dimensões do �� � e da �� �, e relacioná-las com a dimensão � do � �; lembre-se de que ������ �� indica a dimensão do núcleo de e ���� �� �� é a dimensão da imagem de . Observação – Você deve notar que como ��� ��� � � � � �� geram � �, então, ����� ����� � � � � ���� geram �� �. De fato, seja �� � �� ��. Como� � ���� � ���� � � � �� ����, para alguns números reais (escalares) ��� ��� � � � � �� e, sendo linear, obtemos ��� � ����� � ���� � � � �� ����� � �� ���� � �� ���� � � � �� �� ����� Isso prova que qualquer vetor ��� � � � pode ser escrito como combinação linear de ����� ����� � � � � ����, ou seja, ����� ����� � � � � ���� geram �� �. Aula 14 Álgebra Linear I8 Atividade 2 Exercício resolvido 3 Considere a mesma transformação linear do Exercício resolvido 2, � � � � � ��� �� �� � ��� � � �� � � �� �� � � ��� Encontre ���� �� �� e ������ ��. Solução Seja � � ��� � ��� �� ��� �� � ��� �� ��� �� � ��� �� ��� a base canônica do � �. Pela observação feita anteriormente, sabemos que ����� ����� � � � � ���� geram �� �, mas ���� � ��� �� �� � ��� �� �� ���� � ��� �� �� � ��� �� �� ���� � ��� �� �� � ���� ������ Para encontrar ���� �� ��, você deve encontrar uma base para �� � e contar o número de elementos (vetores) dessa base. Note que para encontrar uma base para �� �, basta encontrar uma base para o espaço gerado pelos vetores ���� � ��� �� ��� ���� � ��� �� �� e ���� � ���� �����. Para tanto, você deve efetuar operações elementares sobre as linhas da matriz � �� �� � � � � � � �� � �� � �� e obter a matriz escalonada �, equivalente por linhas à �. Prove que a matriz � (obtida por você na solução anterior) do Exercício re- solvido 3, é dada por � � � �� � � � � � � � � � � �� � 1 Solução Seja � � ��� � ��� �� ��� �� � ��� �� ��� �� � ��� �� ��� a base canônica do � �. Pela observação feita anteriormente, sabemos que ����� ����� � � � � ���� geram �� �, mas ���� � ��� �� �� � ��� �� �� ���� � ��� �� �� � ��� �� �� ���� � ��� �� �� � ���� ������ Para encontrar ���� �� ��, você deve encontrar uma base para �� � e contar o número de elementos (vetores) dessa base. Note que para encontrar uma base para �� �, basta encontrar uma base para o espaço gerado pelos vetores ���� � ��� �� ��� ���� � ��� �� �� e ���� � ���� �����. Para tanto, você deve efetuar operações elementares sobre as linhas da matriz � �� � �� ��� � � � � � � �� � �� � � �� ��� e obter a matriz escalonada �, equivalente por linhas à �. Aula 14 Álgebra Linear I 9 Isso significa que os vetores ��� �� �� e ��� �� �� geram �� � e como, claramente, são linearmente independentes, obtemos que �� � ���� �� ��� ��� �� ��� ��� �� ��� é uma base para �� �, concluindo que ���� �� �� � �. Finalmente, para encontrar ������ ��, observe que encontrar uma base para �� � é equivalente a encontrar uma base para o espaço solução � do sistema homogêneo i) do Exercício resolvido 2. Como � � ������� �� � é arbitrário� � �������� �� � é arbitrário�� temos que � é gerado por ������ �� e, sendo ������ �� � ��� �� ��, segue que � � ������� ��� é uma base de � ou, equivalentemente, � é uma base de �� �. Logo, ������ �� � �. Você deve perceber que ������ �� � ���� �� �� � � � � � � � (domínio de ) � ����� ��� Esse resultado vale, em geral, para o seguinte teorema. Teorema 2 (do Núcleo e da Imagem) Se � � � � � é uma transformação linear, então, ������ �� � ���� �� �� � �� Prova Isso será demonstrado na disciplina Álgebra Linear II, para transformações lineares � �� , em que � e� são espaços vetoriais quaisquer. Provaremos as seguintes conseqüências imediatas. Corolário 1 – Seja � � � � � uma transformação linear. Se � � �, então, não é injetora. Prova Hipótese – � � �. Queremos provar que não é injetora. Suponha o contrário, isto é, que é injetora. Nesse caso, pelo Teorema 1, �� � � ������. Mas, pelo Teorema 2, temos ��������� �� � ���� �� �� � �� Aula 14 Álgebra Linear I10 Como�� � � ������, temos ������ �� � �. Substituindo esse valor em ���, obte- mos ���� �� �� � �. Sendo �� � um subespaço de � �, concluímos que � � �, o que contradiz a hipótese. Portanto, não é injetora. Corolário 2 – Seja � � � � � uma transformação linear. Se � � �, então não é sobrejetora. Prova Hipótese – � � �. Queremos provar que não é sobrejetora. Suponha o contrário, isto é, que é so- brejetora. Isso significa que �� � � � �. Assim, ���� �� �� � �. Pelo Teorema 2, temos ���������� �� � ���� �� �� � �� Substituindo o valor ���� �� �� � � em ����, obtemos ������ ���� � �. Isso implica � � �, o que contradiz a hipótese. Portanto, não é sobrejetora. Corolário 3 – Seja � � � � � uma transformação linear bijetora. Então, � � �. Prova Suponha que � � �. Pelo Corolário 1, segue que não é injetora, o que é uma contradição. Agora, supondo que � � �, então, pelo Corolário 2, obtemos que não é sobrejetora, e temos novamente uma contradição. Portanto, � � �. Finalizamos esta aula com o seguinte teorema. Teorema 3 Seja � � � � � linear. Então, é injetora, se, e somente se, levar todo subconjunto linearmente independentede � � em um conjunto linearmente in- dependente de � �. Prova � Demonstração da parte “somente se”. Hipótese – é injetora. Queremos provar que leva todo subconjunto linearmente independente de � � em um subconjunto linearmente independente de � �. Suponha o contrário, isto é, que existe um Aula 14 Álgebra Linear I 11 Resumo subconjunto ���� ��� � � � � ��� linearmente independente de � � tal que � ����� ����� � � � seja linearmente dependente. Isso significa que um dos vetores, digamos ����, é combi- nação linear dos demais. Assim, existem escalares ��� � � � � �� tais que ���� � �� ���� � � � � � �� ����. Como é linear, obtemos ���� � ����� � � � � � �����, e sendo injetora, temos�� � ���� � � � �� ����, ou seja, ���� ��� � � � � ��� é linearmente depen- dente, o que contradiz o fato de que ���� ��� � � � � ��� é linearmente independente. Logo, leva todo subconjunto linearmente independente de � � em um subconjunto linearmente independente de � �. � Demonstração da parte “se”. Hipótese – leva todo subconjunto linearmente independente de � � em um subcon- junto linearmente independente de � �. Queremos provar que é injetora. Suponha o contrário, isto é, que não é injetora. Pelo Teorema 1, temos �� � � ������. Seja � � �� �� � � ���� � Considere o conjunto ���. Sabemos que ��� é linearmente independente. Mas, � ��� � ����� é claramente linearmente dependente, o que contradiz a hipótese. Portanto, é injetora. Você aprendeu nesta aula que o núcleo e a imagem de uma transfor- mação linear � � � � � são subespaços vetoriais de � � e � �, respectivamente. Além disso, foi apresentado um critério para saber quando é injetora, a saber: é injetora� �� � � ����� . Também, o Teorema do Núcleo e da Imagem nos diz que ������ �� � ���� �� �� � �. Aula 14 Álgebra Linear I12 Seja � � � � � a transformação linear definida por ��� �� �� � ��� � � �� ��� ����� � � ��. i) Encontre �� �. Se ��� �� �� � � �, quais as condições sobre �� �� � para que o vetor ��� �� �� � �� �? Qual a ���� �� ��? ii) Encontre �� �. iii) Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem, determine ���� �� ��. Exercícios propostos 1) Seja � � � � � definida por ��� �� � ��� �� �� �� ��. a) Verifique que é linear. b) Sem fazer qualquer cálculo, diga se pode ser sobrejetora. Justifique. c) Determine �� � e ������ ��. d) Determine �� � e ���� �� ��. e) é injetora? Justifique. 2) Seja � � � � � uma transformação linear tal que �� � � �� �. Demonstre que � é um número par. 3) Seja � � � � � a transformação linear definida por ��� �� �� � ��� �� �� ��� �� �� � ��� �� �� ��� �� �� � ��� �� ��. Ache ��� �� ��. Aula 14 Álgebra Linear I 13 Respostas dos exercícios propostos ANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book- man, 2001. BOLDRINI, J. L; COSTA, S. R. C; FIGUEIREDO, B. L; WETZLER, H. G. Álgebra linear. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 1986. Lembrete: solicitamos ao aluno que não verifique as respostas antes de resolvê-las. 1) b) Sugestão: veja o Corolário 2. c) �� � � ������ � ���� ��� ������ �� � �� d) �� � � ��� �� �� �� �� ��� �� � � �� ������ �� � �� e) Sim. Veja o Teorema 1. 2) Sugestão: use o Teorema do Núcleo e da Imagem. 3) ��� �� �� � � � �� ��.
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