Exame 2 de Mecânica Clássica

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Exame de Mecaˆnica Cla´ssica (I)
4 de fevereiro de 2014
Responda apenas a 4 perguntas
1. Determine o campo de forc¸as centrais que permite que uma part´ıcula de massa m se mova na
o´rbita r = keaθ onde k e a sa˜o constantes. Determine θ(t) e r(t).
2. Duas part´ıculas, uma de massa m e outra de massa 2m, ligadas por uma mola de comprimento
a e constante de elasticidade k movem-se sobre um plano horizontal.
(a) Escreva a energia cine´tica do sistema em termos das coordenadas do centro de massa e das
coordenadas relativas.
(b) Obtenha o Lagrangiano do sistema e identifique as coordenadas c´ıclicas e as quantidades
f´ısicas conservadas que lhes esta˜o associadas.
(c) Determine a equac¸a˜o da o´rbita do movimento relativo.
3. Uma conta de massa m desliza sem atrito num arame com a forma z = ar que roda com
velocidade ω em torno da vertical.
(a) Obtenha o Lagrangiano do sistema, e as equac¸o˜es de Lagrange.
(b) Determine o valore de ω para o qual a conta descreve um c´ırculo de raio R.
(c) Obtenha o Hamiltoniano do sistema e as equac¸o˜es de Hamilton.
4. Uma haste de comprimento h, massa m e raio despreza´vel, com uma massa M fixa a uma das
extremidades gira com velocidade angular ω constante em torno de um eixo vertical que passa
pela outra extremidade e faz um aˆngulo θ com a haste.
(a) Construa o tensor de ine´rcia no sistema dos eixos principais de ine´rcia relativamente ao
ponto fixo.
(b) Determine o momento angular e a energia cine´tica da haste.
(c) Determine o momento resultante das forc¸as que actuam sobre a haste.
(d) Se a haste for largada mantendo o movimento de rotac¸a˜o, como varia θ com o tempo.
5. Um cubo homoge´neo de aresta a, esta´ inicialmente em equil´ıbrio insta´vel sobre uma aresta em
contacto com uma superf´ıcie horizontal. Suponha que o atrito entre a superf´ıcie e a aresta do
cubo o impede de deslizar.
(a) Determine os momentos principais de ine´rcia do cubo.
(b) Obtenha a energia do sistema em func¸a˜o do aˆngulo que o plano que conte´m a aresta faz
com a horizontal.
(c) O cubo e´ empurrado da sua posic¸a˜o de equil´ıbrio e roda sobre a aresta ate´ a face bater no
plano. Calcule a velocidade angular do cubo neste instante.
Formula´rio
Velocidade angular em termos dos aˆngulos de Euler relativamente ao sistema de eixos fixo no:
corpo
ωx′ = φ˙ sin θ sinψ + θ˙ cosψ
ωy′ = φ˙ sin θ cosψ − θ˙ sinψ
ωz′ = φ˙ cos θ + ψ˙
laborato´rio
ωx = ψ˙ sin θ sinφ+ θ˙ cosφ
ωy = −ψ˙ sin θ cosφ+ θ˙ sinφ
ωz = φ˙+ ψ˙ cos θ
A =


cosψ cosφ− cos θ sinφ sinψ cosψ sinφ+ cos θ cosφ sinψ sinψ sin θ
− sinψ cosφ− cos θ sinφ cosψ − sinψ sinφ+ cos θ cosφ cosψ cosψ sin θ
sin θ sinφ − sin θ cosφ cos θ

 .