Folha5

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Mecaˆnica Cla´ssica (I)- 2013/2014
folha 5
1. Considere um peˆndulo formado por uma esfera de massa m e dimenso˜es despreza´veis suspensa por
uma mola de massa despreza´vel e constante de elasticidade k. O comprimento da mola na˜o deformada
e´ a. Suponha que o movimento se realiza num plano vertical.
(a) Quantos graus de liberdade tem o sistema? Indique qual e´ (quais sa˜o) as equac¸o˜es de ligac¸a˜o.
(b) Obtenha as equac¸o˜es de Lagrange e determine em que condic¸o˜es o sistema esta´ em equil´ıbrio.
(c) Discuta o que sucede no limite em que a constante de elasticidade da mola for infinita.
R: (a) 2 graus de liberdades; uma equac¸a˜o de ligac¸a˜o; (b) L = 1
2
m(r2θ˙2 + r˙2) − k
2
(r − a)2 +mg cos θ;
θ¨ = −g
r
sin θ − 2
r2
r˙θ˙; mr¨ = mrθ˙2 − k(r − a) +mg cos θ; equil´ıbrio: r0 = a+mg/k.
2. Considere treˆs part´ıculas de massa m ligadas por molas de constante de elasticidade k e comprimento
2πa/3 que se deslocam num arco de raio a. Despreze o efeito da forc¸a da gravidade. Determine
as frequeˆncias dos modos normais do sistema, que correspondem a movimentos em que todas as
part´ıculas se movem com a mesma frequeˆncia. (nota: procure soluc¸o˜es da forma qi = qi0 cosωt).
R: L = 1
2
ma2(θ˙2
1
+θ˙2
2
+θ˙2
3
)−1
2
ka2
[
(θ2 − θ1 −
2
3
π)2 + (θ3 − θ2 −
2
3
π)2 + (θ1 − θ3 −
2
3
π)2
]
; ω = 0, ω =
√
3k
m
,
ω =
√
3k
m
.
m
m
m
k
k
k
probl. 2 probl. 3c)
1 2
3. Uma part´ıcula sujeita ao campo grav´ıtico e´ obrigada a mover-se numa superf´ıcie esfe´rica. O raio
da esfera varia com o tempo devido a uma acc¸a˜o exterior, R = R(t). Escolhendo as coordenadas
esfe´ricas θ e ψ como coordenadas generalizadas obtenha o Lagrangiano do sistema e as equac¸o˜es do
movimento. Discuta a conservac¸a˜o de energia.
R: L = 1
2
m(r˙2 + r2θ˙2 + r2 sin2 θφ˙2)−mgr; H = θ˙pθ + r˙pr + φ˙pφ − L.
4. Obtenha o Hamiltoniano e equac¸o˜es de Hamilton dos seguintes sistemas:
(a) peˆndulo formado por uma barra de massa m e comprimento ℓ pendurada por uma extremidade
oscilando num plano vertical.
(b) duas part´ıculas de massa m ligadas por uma mola de constante de elasticidade k que se movem
sobre uma calha linear. Escolha como coordenadas generalizadas a coordenada do centro de
massa e a coordenada relativa.
R: (a) H = 3
2
p2
θ
ml2
−
mgl
2
cos θ; (b) H = mx˙2CM +
1
4
mx˙2 + k
2
(x− l)2;