Calculo Infinitesimal, pdf

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Cálculo Infinitesimal
Gabriela Chaves
versão de Agosto de 2004
ii
Índice
Índice iii
1 Propriedades básicas dos números 1
1.1 Operações de adição e multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Relação de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Princípio de indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Funções (reais de variável real) 9
2.1 Generalidades sobre funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Soma, multiplicação e composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Monotonia, máximos e mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Limites e continuidade 27
3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Derivadas 41
4.1 Motivação e interpretação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Definição e propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Resolução de alguns exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Integrais e Primitivas 71
5.1 Motivação e interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.1 Definição e primitivas elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.2 Primitivação por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.3 Primitivação por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.4 Primitivação de funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4 Resolução de alguns exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5 Integrais impróprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.6 Cálculo de comprimentos, volumes e áreas de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.6.1 Comprimentos de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.6.2 Volumes de sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6.3 Áreas de superfície de sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6 Polinómios de Taylor 111
6.1 Polinómios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Máximos e mínimos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3 Cálculo de valores aproximados de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7 Sucessões e séries 129
7.1 Sucessões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
iii
iv ÍNDICE
8 Sucessões e séries de funções 149
8.1 Sucessões de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2 Séries de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.3 Séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9 Curvas em Rn 171
A Coordenadas polares 199
B Funções exponenciais e logaritmos 211
C Funções trigonométricas 221
Índice alfabético 231
Capítulo 1
Propriedades básicas dos números
O objectivo deste capítulo não é a construção dos números reais; supõe-se conhecida a existência destes e far-se-á
apenas um resumo das propriedades mais importantes das operações e da relação de ordem.
1.1 Operações de adição e multiplicação
O conjunto dos números reais R, munido da adição e da multiplicação (designadas respectivamente por + e .), verifica
as seguintes propriedades:
1. ∀x, y, z ∈ R (x+ y) + z = x+ (y + z) (associatividade da adição)
2. ∀x ∈ R x+ 0 = 0 + x = x (0 é elemento neutro para a adição)
3. ∀x ∈ R ∃x′ ∈ R x+ x′ = x′ + x = 0 (existência de inverso para a adição)
4. ∀x, y ∈ R x+ y = y + x (comutatividade da adição)
5. ∀x, y, z ∈ R (x.y).z = x.(y.z) (associatividade da multiplicação)
6. ∀x, y ∈ R x.y = y.x (comutatividade da multiplicação)
7. ∀x, y, z ∈ R x.(y + z) = x.y + x.z (distributividade da multiplicação relativamente à adição)
8. ∀x ∈ R x.1 = 1.x = x (1 é elemento neutro para a multiplicação)
9. ∀x ∈ R\{0}∃x′ ∈ R x.x′ = x′.x = 1 (existência de inverso para a multiplicação para qualquer elemento diferente
de 0)
Por (R,+) satisfazer às propriedades 1-3 diz-se que se trata de um grupo; por satisfazer às propriedades 1-4 diz-se
que se trata de um grupo comutativo. Por (R,+, .) satisfazer às propriedades 1-8 diz-se que se trata de um anel
comutativo com elemento unidade; por satisfazer às propriedades 1-9 diz-se que se trata de um corpo.
1.2 Relação de ordem
A relação ≤ em R verifica as seguintes propriedades:
1. ∀x ∈ R x ≤ x (reflexividade)
2. ∀x, y, z ∈ R (x ≤ y e y ≤ z)⇒ x ≤ z (transitividade)
3. ∀x, y ∈ R (x ≤ y e y ≤ x)⇒ x = y (anti-simetria)
4. ∀x ∈ R (x ≤ y ou y ≤ x)
5. ∀x, y ∈ R (0 ≤ x e 0 ≤ y)⇒ 0 ≤ x+ y
6. ∀x, y, z ∈ R x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y + z
7. ∀x, y ∈ R (0 ≤ x e 0 ≤ y)⇒ 0 ≤ x.y
1
2 CAPÍTULO 1. PROPRIEDADES BÁSICAS DOS NÚMEROS
Observação: As propriedades 1-4 envolvem apenas ≤; 5-6 relacionam ≤ e +; 7 relaciona ≤ e ..
Por (R,≤) satisfazer às propriedades 1-4 diz-se que se trata de um conjunto totalmente ordenado; por (R,+,≤)
satisfazer às propriedades 1-6 diz-se que se trata de um grupo comutativo ordenado. Por (R,+, .,≤) satisfazer às
propriedades 1-7 diz-se que se trata de um corpo ordenado.
Definição 1.2.1 Para cada x ∈ R, chama-se valor absoluto (ou módulo) de x a |x| =
{
x se x ≥ 0
-x se x ≤ 0 .
Proposição 1.2.2 1. ∀x, y ∈ R : |x+ y| ≤ |x|+ |y|.
2. ∀x, y ∈ R : |x− y| ≥ ||x| − |y||.
3. ∀x, y ∈ R : |xy| = |x||y|.
4. ∀x ∈ R : −|x| ≤ x ≤ |x|.
5. ∀x ∈ R, a ∈ R+ : |x| ≤ a⇔ −a ≤ x ≤ a.
Demonstração:
1. Se x ≥ 0 e y ≥ 0, então x + y ≥ 0 e |x| + |y| = x + y, portanto |x + y| = |x| + |y|. Se x ≤ 0 e y ≤ 0, então
x+ y ≤ 0, |x+ y| = −x− y, |x|+ |y| = −x− y e |x+ y| = |x|+ |y|. Se x < 0 < y e |x| < |y|, então x+ y ≥ 0,
|x+ y| = x+ y e |x|+ |y| = −x+ y; ora neste caso x+ y < −x+ y, uma vez que x < 0. Analogamente se trata
o caso x < 0 < y e |x| > |y|.
2. Da alínea anterior, conclui-se que
|x|(= |x− y + y|) ≤ |x− y|+ |y|
|y|(= |y − x+ x|) ≤ |y − x|+ |x| = |x− y|+ |x|.
Então |x− y| ≥ |x| − |y| e |x− y| ≥ |y| − |x|, portanto |x− y| ≥ ||x| − |y||.
3. Trivial.
4. Trivial.
5.
|x| ≤ a ⇔ (x ≥ 0 e x ≤ a) ou (x ≤ 0 e − x ≤ a)
⇔ 0 ≤ x ≤ a ou − a ≤ x ≤ 0
⇔ −a ≤ x ≤ a.
Definição 1.2.3 Seja A ⊂ R.
1. Diz-se que A é majorado (ou limitado superiormente) sse existe M ∈ R tal que ∀x ∈ A x ≤M . Um número
M nestas condições diz-seum majorante de A.
2. Diz-se que A é minorado (ou limitado inferiormente) sse existe m ∈ R tal que ∀x ∈ A m ≤ x. Um número
m nestas condições diz-se um minorante de A.
3. Diz-se que A é limitado sse existe l ∈ R tal que ∀x ∈ R |x| ≤ l.
Observações:
1. O conjunto dos majorantes de um conjunto não vazio, A, é minorado (por qualquer elemento de A).
2. O conjunto dos minorantes de um conjunto não vazio, A, é majorado (por qualquer elemento de A).
3. O conjunto A é limitado sse é majorado e minorado.
Definição 1.2.4 1. Chama-se máximo (ou último elemento) de um conjunto A a um majorante de A que
pertence a A.
2. Chama-se mínimo (ou primeiro elemento) de um conjunto A a um minorante de A que pertence a A.
Observações:
1.2. RELAÇÃO DE ORDEM 3
1. Um conjunto majorado pode não ter máximo e um conjunto minorado pode não ter mínimo.
2. Um conjunto não pode ter mais de um máximo nem mais de um mínimo.
Propriedades de N e Z:
1. Qualquer parte não vazia de N tem primeiro elemento.
2. Qualquer parte majorada não vazia de N tem último elemento.
3. Qualquer parte minorada não vazia de Z tem primeiro elemento.
4. Qualquer parte majorada não vazia de Z tem último elemento.
Definição 1.2.5 Seja A ⊂ R.
1. Diz-se que M é o supremo de A sse M for o mínimo do conjunto dos majorantes de A. Notação: M = supA.
2. Diz-se que m é o ínfimo de A sse m for o máximo do conjunto dos minorantes de A. Notação: m = inf A.
Propriedade de R: Qualquer parte majorada de R tem supremo.
Observação: Esta propriedade de R, assim como as propriedades de N e Z mencionadas acima, não serão aqui
demonstradas. Demonstrá-las só teria sentido no contexto de uma construção ou descrição axiomática dos números,
o que está para alem dos objectivos deste curso.
Lema 1.2.6 1. Seja A uma parte majorada de R e seja M o conjunto dos majorantes de A. Então o conjunto
−A = {−a, a ∈ A} é minorado e o conjunto dos minorantes de −A é −M.
2. Seja A uma parte minorada de R e sejaM o conjunto dos minorantes de A. Então o conjunto −A = {−a, a ∈ A}
é majorado e o conjunto dos majorantes de −A é −M.
Demonstração:
1. Seja x ∈ −M. Então x = −x em que x é um majorante de A, isto é ∀a ∈ A a ≤ −x. Resumindo,
∀x ∈ −M∀a ∈ A x ≤ −a, de onde ∀a ∈ A x ≤ −a, isto é, ∀x ∈ −M∀a ∈ A x ≤ a, portanto qualquer
elemento de −M é um minorante de −A. Reciprocamente, seja x um minorante de −A. Então ∀a ∈ A x ≤ −a,
de onde ∀a ∈ A a ≤ −x, portanto −x é um majorante de A, isto é, −x ∈M, ou seja, x ∈ −M.
2. Demonstração análoga. �
Proposição 1.2.7 Qualquer parte minorada de R tem ínfimo.
Demonstração: Seja A uma parte minorada de R. Então, pelo lema anterior, sabemos que −A é majorado; pela
propriedade de R enunciada acima, existe sup(−A), designemo-lo por s. Então s é o mínimo do conjunto M dos
majorantes de −A, e é imediato que −s é o máximo de −M , mas, pelo lema anterior, −M é o conjunto dos minorantes
de A, logo −s é o ínfimo de A. �
Proposição 1.2.8 (trivial) Se supA ∈ A então supA é o máximo de A; se inf A ∈ A então inf A é o mínimo de A.
Proposição 1.2.9 Seja A um conjunto não vazio e M um majorante de A. Então
M = supA sse ∀� > 0 ∃a ∈ A : M − � < a.
Demonstração: 1. Suponhamos que M = supA e seja � > 0. Por definição de supremo, M − � não é um majorante de
A (porque o supremo de A é o menor dos majorantes de A). Então existe um elemento a de A tal que a > M − �.
2. Suponhamos que M é um majorante de A tal que ∀� > 0 ∃a ∈ A : M − � < a.
Seja M ′ um número menor do que M e seja � = M −M ′. Tem-se � > 0, portanto existe a ∈ A tal que a > M − �,
masM−� = M ′, portantoM ′ não é majorante de A. Conclui-se que nenhum númeroM ′ menor do queM é majorante
de A, logo M é o supremo de A. �
Proposição 1.2.10 Seja A um conjunto não vazio e m um minorante de A. Então
m = inf A sse ∀� > 0 ∃a ∈ A : a < m+ �.
Demonstração: análoga à anterior �
4 CAPÍTULO 1. PROPRIEDADES BÁSICAS DOS NÚMEROS
Proposição 1.2.11 1. Se B é majorado (resp. minorado) e A ⊂ B, então A é majorado (resp. minorado).
2. Se A e B são majorados (resp. minorados) então A ∩B e A ∪B são majorados (resp. minorados).
Demonstração: trivial.
Proposição 1.2.12 Sejam A e B dois conjuntos limitados não vazios.
1. A ⊂ B ⇒ inf B ≤ inf A ≤ supA ≤ supB
2. sup(A ∪B) = max{supA, supB}
3. Se A ∩B 6= ∅ então sup(A ∩B) ≤ min{supA, supB}
4. inf(A ∪B) = min{inf A, inf B}
5. Se A ∩B 6= ∅ então inf(A ∩B) ≥ max{inf A, inf B}
6. Se A e B forem intervalos e A∩B 6= ∅ então sup(A∩B) = min{supA, supB} e inf(A∩B) = max{inf A, inf B}.
7. Se ∀a ∈ A ∀b ∈ B a ≤ b então supA ≤ inf B, e supA = inf B sse ∀� > 0 ∃a0 ∈ A, b0 ∈ B : b0 − a0 < �.
Demonstração:
1. Seja m um minorante de B. Então ∀b ∈ B m ≤ b. Como ∀a ∈ A : a ∈ B, tem-se ∀a ∈ A m ≤ a. Conclui-se que
todos os minorantes de B são minorantes de A, logo inf B (que é um minorante de B) é um minorante de A e
portanto é menor ou igual do que inf A (que é o maior dos minorantes de A).
Mostra-se analogamente que supA ≤ supB.
É trivial que inf A ≤ supA (porque A 6= ∅, portanto ∃a ∈ A, e então inf A ≤ a ≤ supA).
2. De A ⊂ A∪B e B ⊂ A∪B conclui-se, pela alínea anterior, que supA ≤ sup(A∪B) e supB ≤ sup(A∪B), logo
max{supA, supB} ≤ sup(A ∪ B). Por outro lado, max{supA, supB} ≥ supA e max{supA, supB} ≥ supB,
portanto max{supA, supB} é um majorante de A e um majorante de B, ou seja, é um majorante de A ∪ B e
portanto é maior ou igual do que sup(A ∪B).
3. De A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B, conclui-se, pela alínea 1., que sup(A ∩ B) ≤ supA e sup(A ∩ B) ≤ supB, logo
sup(A ∩B) ≤ min{supA, supB}.
4. Análoga à demonstração de 2.
5. Análoga à demonstração de 3.
6. Sejam a1 e a2 os extremos do intervalo A e b1 e b2 os extremos do intervalo B. Então supA = a2, inf A = a1,
supB = b2 e inf B = b1. Por outro lado, A ∩ B é um intervalo de extremos max{a1, b1}, min{a2, b2}, portanto
inf(A ∩B) = max{a1, b1} e sup(A ∩B) = min{a2, b2}.
7. Seja a ∈ A. Como ∀b ∈ B a ≤ b, conclui-se que a é um minorante de B, logo a ≤ inf B. Então ∀a ∈ A a ≤ inf B,
isto é, inf B é um majorante de A, portanto supA ≤ inf B.
Suponhamos que supA = inf B, sejam α = supA = inf B e δ > 0. Por se ter α = supA, existe a0 ∈ A tal que
a0 > α − δ; por se ter α = inf B, existe b0 ∈ B tal que b0 < α + δ. Então b0 − a0 < 2δ. Seja agora � > 0;
aplicando o raciocínio anterior a δ = �/2, vemos que existem a0 ∈ A, b0 ∈ B tais que b0 − a0 < �.
Por outro lado, se supA < inf B, então ∀a ∈ A, b ∈ B, tem-se b−a ≥ inf B−supA, portanto, se � < inf B−supA,
não existem a0 ∈ A, b0 ∈ B tais que b0 − a0 < �. �
Proposição 1.2.13 Se A 6= ∅ é tal que ∀x, y ∈ A : |x− y| < l, então existe um intervalo fechado, I, de comprimento
l, tal que A ⊂ I.
Demonstração: Seja a ∈ A; para todo o x ∈ A, tem-se |x−a| < l, logo a− l < x < a+ l, portanto A é limitado. Sejam
α = inf A, β = supA e I = [α, β]; tem-se obviamente A ⊂ I, portanto basta mostrar que β − α ≤ l.
l l
l
22
1.2. RELAÇÃO DE ORDEM 5
Suponhamos que β − α > l, e seja � = β−α−l2 ; existem a1 ∈ A tal que a1 < α+ � e a2 ∈ A tal que a2 > β − �, isto
é, a1 < α+β−l2 e a2 >
β+α+l
2 . Mas então a2− a1 > β+α+l2 − α+β−l2 = l, o que contradiz a hipótese sobre A. Conclui-se
que β − α ≤ l. �
Observação: não existe necessariamente um intervalo aberto I, de comprimento l, tal que A ⊂ I.
Teorema 1.2.14 (do encaixe de intervalos) Para cada n ∈ N seja In = [an, bn] um intervalo. Se ∀n ∈ N In+1 ⊂
In então
⋂
n∈N
In 6= ∅.
Demonstração: De In+1 ⊂ In conclui-se que se k < l então Il ⊂ Ik e portanto al ≥ ak e bl ≤ bk. Seja A = {ai, i ∈ N}
e B = {bj , j ∈ N}, e sejam n ∈ N e m ∈ N. Se p designar o máximo de {n,m} temos an ≤ ap ≤ bp ≤ bm,
portanto ∀x ∈ A ∀y ∈ B x ≤ y. Conclui-se da alínea 7 da proposição 1.2.12 que supA ≤ inf B. É imediato que
∀n ∈ N [supA, inf B] ⊂ In, portanto ∅ 6= [supA, inf B] ⊂
⋂
n∈N
In. �
Exemplos
1. A =]2, 3[
{majorantes de A} = [3,+∞[; {minorantes de A} =]−∞, 2]
supA = 3; inf A = 2; A não tem máximonem mínimo.
2. A = {2}∪] 52 , 3[
{majorantes de A} = [3,+∞[; {minorantes de A} =]−∞, 2]
supA = 3; inf A = 2; A não tem máximo; minA = 2.
3. A = { 1−nn ;n ∈ N}
{majorantes de A} = [0,+∞[; {minorantes de A} =]−∞,−1]
supA = 0; inf A = −1; maxA = 0; A não tem mínimo.
4. A = {x ∈ Q : x2 ≤ 3}
{majorantes de A} = [√3,+∞[; {minorantes de A} =]−∞,−√3]
supA =
√
3; inf A = −√3; A não tem máximo nem mínimo.
5. A = {x ∈ R \Q : x2 ≤ 3}
{majorantes de A} = [√3,+∞[; {minorantes de A} =]−∞,−√3]
supA =
√
3; inf A = −√3; maxA = √3; minA = −√3
6. A = {5}
{majorantes de A} = [5,+∞[; {minorantes de A} =]−∞, 5]
supA = 5; inf A = 5; maxA = 5; minA = 5
Observação: ∀A ⊂ R : inf A = supA⇔ A é constituido por um único elemento.
7. A = {2, 3}; B = [2, 3]
maxA = supA = 3; maxB = supB = 3
minA = inf A = 2; minB = inf B = 2
Neste caso, A ⊂ B, A 6= B e supA = supB, inf A = inf B.
8. A = {0, 1, 2}; B =]− 1, 5]
maxA = supA = 2; maxB = supB = 5
minA = inf A = 0; inf B = −1; B não tem mínimo
Neste caso, A ⊂ B, A 6= B e supA < supB, inf A > inf B.
9. A = [1, 2[∪{6}; B = [0, 2[∪{4}
maxA = supA = 6; maxB = supB = 4
minA = inf A = 1; minB = inf B = 0
A ∩B = [1, 2[; sup(A ∩B) = 2; min(A ∩B) = inf(A ∩B) = 1; A ∩B não tem máximo
Neste caso sup(A ∩B) < min{supA, supB}; inf(A ∩B) = max{inf A, inf B}.
6 CAPÍTULO 1. PROPRIEDADES BÁSICAS DOS NÚMEROS
10. A = { 1n , n ∈ N}; B = {1− 1n , n ∈ N}
maxA = supA = 1; supB = 1; B não tem máximo
A não tem mínimo; inf A = 0; minB = inf B = 0
A ∩B = { 12}; max(A ∩B) = sup(A ∩B) = min(A ∩B) = inf(A ∩B) = 12
Neste caso sup(A ∩B) < min{supA, supB}; inf(A ∩B) > max{inf A, inf B}.
11. A = [0, 1]; B = {2}
maxA = supA = 1; maxB = supB = 2
minA = inf A = 0; minB = inf B = 2
Neste caso ∀a ∈ A ∀b ∈ B : a < b e supA < inf B
12. A = {0, 1}; B = {1 + 1n2 , n ∈ N}
maxA = supA = 1; maxB = supB = 2;
minA = inf A = 0; inf B = 1; B não tem mínimo
Neste caso ∀a ∈ A ∀b ∈ B : a < b e supA = inf B
1.3 Princípio de indução
Seja A um conjunto de números naturais tal que 1 ∈ A e ∀n ∈ N (n ∈ A⇒ n+ 1 ∈ A). Então A = N.
Exemplos de demonstração por indução
1. ∀n ∈ N : 1 + 13 + 19 + · · ·+ 13n = 3
n+1−1
2.3n+1
Demonstração: Seja A = {n ∈ N; 1 + 13 + 19 + · · ·+ 13n = 3
n+1−1
2.3n }
Tem-se 1 ∈ A porque 1 + 13 = 9−12.3 .
Suponhamos que m ∈ A, isto é, que 1 + 13 + 19 + · · ·+ 13m = 3
k+1−1
2.3m . Então
1 + 13 +
1
9 + · · ·+
1
3m +
1
3m+1 =
3m+1 − 1
2.3m +
1
3m+1
= (3
m+1 − 1).3 + 2
2.3m+1
= 3
m+2 − 3 + 2
2.3m+1
= 3
m+2 − 1
2.3m+1
isto é, m+ 1 ∈ A.
De 1 ∈ A e m ∈ A⇒ m+ 1 ∈ A conclui-se que A = N. �
2. ∀n ∈ N :
n∑
k=0
Cnk = 2n, em que Cnk = (
n
k) = n!
k!(n− k)! .
Demonstração: Comecemos por verificar que ∀k ∈ {1, 2, . . . , n} se tem Cn+1k = Cnk + Cnk−1. Com efeito, tem-se
Cnk + Cnk−1 =
n!
k!(n− k)! +
n!
(k − 1)!(n− k + 1)!
= n!(n+ 1− k) + n!k
k!(n+ 1− k)!
= n!(n+ 1)
k!(n+ 1− k)!
= Cn+1k
Seja agora A = {n ∈ N : ∑nk=0 Cnk = 2n}.
Tem-se 1 ∈ A, porque C10 + C11 = 1 + 1 = 21.
1.3. PRINCÍPIO DE INDUÇÃO 7
Suponhamos que m ∈ A, isto é, que ∑mk=0 Cmk = 2m. Então
m+1∑
k=0
Cm+1k = C
m+1
0 +
m∑
k=1
Cm+1k + C
m+1
m+1
= 1 +
(
m∑
k=1
(Cmk + Cmk−1)
)
+ 1
= Cm0 +
m∑
k=1
Cmk +
m∑
k=1
Cmk−1 + Cmm
=
m∑
k=0
Cmk +
m∑
k=0
Cmk
= 2m + 2m porque m ∈ A
= 2m+1
De 1 ∈ A e m ∈ A⇒ m+ 1 ∈ A conclui-se que A = N. �
3. Seja (xn)n a sucessão definida por
{
x1 = 1
xn+1 = x
2
n
2 ∀n > 1
Então ∀n ∈ N : xn < 2.
Demonstração: Seja A = {n ∈ N : xn < 2}. Tem-se 1 ∈ A porque x1 = 1 < 2.
Suponhamos que m ∈ A, isto é, que xm < 2. É fácil ver que ∀n ∈ N : xn > 0, portanto de xm < 2 conclui-se que
x2m < 4, logo x2m/2 < 2, isto é, xm+1 < 2. Portanto m+ 1 ∈ A.
Conclui-se que A = N. �
4. ∀n ∈ N : n(n2 + 5) é múltiplo de 6.
Demonstração: Seja A = {n ∈ N;n(n2 + 5) é múltiplo de 6}. Tem-se 1 ∈ A porque 1.(12 + 5) = 6, e 6 é múltiplo
de 6.
Suponhamos que m ∈ A, isto é, que m(m2+5) é múltiplo de 6, ou seja, que existe k ∈ N tal que m(m2+5) = 6k.
Então
(m+ 1)((m+ 1)2 + 5) = m((m+ 1)2 + 5) + (m+ 1)2 + 5
= m(m2 + 5 + 2m+ 1) +m2 + 2m+ 6
= m(m2 + 5) + 3m2 + 3m+ 6
= 6k + 3m(m+ 1) + 6
= 6(k + 1) + 3m(m+ 1).
Mas m(m+ 1) é par (porque m é par ou m é ímpar e neste caso m+ 1 é par), portanto 3m(m+ 1) é múltiplo
de 6. Tem-se então que (m+ 1)((m+ 1)2 + 5) é a soma de dois múltiplos de 6, portanto é múltiplo de 6, isto é,
m+ 1 ∈ A.
Conclui-se que A = N. �
5. ∀n ∈ N : 2n < 3n!
Demonstração: Seja A = {n ∈ N : 2n < 3n!}. Tem-se 1 ∈ A porque 21 = 2 < 3 = 3.1!.
Suponhamos que m ∈ A, isto é, que 2m < 3m!. Então 2m+1 = 2.2m < 2.3m! ≤ (n+ 1).3m! = 3(m+ 1)!, isto é,
m+ 1 ∈ A. Conclui-se que A = N. �
Exemplos de subconjuntos de R que verificam 1 ∈ A e ∀x ∈ R (x ∈ A⇒ x+ 1 ∈ A) e tais que A 6= R
N, Z, Q, N ∪ (R \Q), [1,+∞[, ]− 2,+∞[, {x ∈ R : 6x ∈ Z}, ∪n∈N[n, n+ 12[
8 CAPÍTULO 1. PROPRIEDADES BÁSICAS DOS NÚMEROS
Capítulo 2
Funções (reais de variável real)
O objectivo principal deste curso é o estudo de funções reais de variável real, isto é, em que o domínio e o conjunto
de chegada são partes de R. No entanto, uma grande parte das noções e resultados vistos neste capítulo aplicam-se a
funções definidas em quaisquer conjuntos.
2.1 Generalidades sobre funções
Seja f : A −→ B uma função de domínio A e conjunto de chegada B (a não confundir com contradomínio).
Definição 2.1.1 Chama-se contradomínio de f ao conjunto das imagens por f de elementos de A, isto é, {f(a); a ∈
A}, ou ainda {b ∈ B;∃a ∈ A : f(a) = b}. Notação: f(A) ou Im(f).
Definição 2.1.2 1. Diz-se que f é sobrejectiva sse f(A) = B, isto é, sse ∀b ∈ B ∃a ∈ A : f(a) = b.
2. Diz-se que f é injectiva sse elementos distintos de A têm sempre imagens distintas, isto é, sse
∀a1, a2 ∈ A : f(a1) = f(a2)⇒ a1 = a2.
3. Diz-se que f é bijectiva sse f é sobrejectiva e injectiva, isto é, sse ∀b ∈ B ∃1a ∈ A : f(a) = b.
Exemplos:
1. f : R −→ R
x 7→ 2x+ 5
f é bijectiva porque para cada y ∈ R,
f(x) = y ⇔ 2x+ 5 = y ⇔ x = y − 52 ,
portanto existe um único x ∈ R tal que f(x) = y.
2. f : ]−∞, 0[∪[2,+∞[ −→ R
x 7→ 2x+ 5
f não é sobrejectiva, uma vez que, por exemplo, não existe x ∈]−∞, 0[∪[2,+∞[ tal que f(x) = 7.
f é injectiva, pois f(x1) = f(x2)⇒ 2x1 + 5 = 2x2 + 5⇒ x1 = x2.
3. f : R −→ R
x 7→ x2 − 6x+ 4
f não é injectiva, pois f(2) = f(4) = −4.
f(R) = [−5,+∞[
Se y < −5, não existe x ∈ R tal que x2 − 6x + 4 = y (porque 62 − 4(4 − y) < 0). Se y ≥ −5 então
f(3 +
√
y + 5) = f(3−√y + 5) = y, portanto y ∈ f(R).
Observações: 1. f não é sobrejectiva
2. Se y = −5 existe um único x ∈ R tal que f(x) = y; trata-se de x = 3. Se y > −5 existem duas soluções da
equação f(x) = y, pois 3 +
√
y + 5 6= 3−√y + 5.
9
10 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL)
4. f : ]4,+∞[ −→ [−5,+∞[
x 7→ x2 − 6x+ 4
f é injectiva. De facto, suponhamos que f(x1) = f(x2) = y. Então x1 = 3 +
√
y + 5 ou x1 = 3 −
√
y + 5 e
x2 = 3+
√
y + 5 ou x2 = 3−
√
y + 5. Mas x1 ∈]4,+∞[, x2 ∈]4,+∞[ e 3−
√
y + 5 ≤ 3. Logo x1 = x2 = 3+
√
y + 5.
f(]4,+∞[) =]− 4,+∞[
Demonstração: Se y > −4, então 3 + √y + 5 > 4 e f(3 + √y + 5) = y, portanto y ∈ f(]4,+∞[). Se y ≤ −4,
então não existe x ∈]4,+∞[ tal que f(x) = y, porque ou y < −5, caso em que já vimos não existir x ∈ R tal que
x2− 6x+ 4 = y, ou −5 ≤ y ≤ −4, caso em que as soluções em R de x2− 6x+ 4 = y são 3 +√y + 5 e 3−√y + 5,
mas 3 +
√
y + 5 ≤ 4 e 3−√y + 5 ≤ 4.
5. f : ]2,+∞[ −→ [−5,+∞[
x 7→ x2 − 6x+ 4
f não é injectiva, porque f( 52 ) = f(
7
2 ) = − 194 .
f é sobrejectiva, porque para y ∈ [−5,+∞[ existe x ∈]2,+∞[ tal que f(x) = y. Basta tomar x = 3 +√y + 5.
6. f : [0, 1] −→ [−1, 4]
x 7→ x2 − 6x+ 4
f é bijectiva.
Demonstração: Seja y ∈ [−1, 4]. A equação x2 − 6x + 4 = y tem como soluções reais x = 3 + √y + 5 e
x = 3−√y + 5. Ora 3 +√y + 5 6∈ [0, 1] e 3−√y + 5 ∈ [0, 1], portanto a equação f(x) = y tem uma e uma só
solução.
Definição2.1.3 1. Seja f : A −→ B e A′ ⊂ A. Chama-se restrição de f a A′ à função f|A′ : A′ −→ B
x 7→ f(x).
2. Seja f : A −→ B e A′′ ⊃ A. Diz-se que g : A′′ −→ B é um prolongamento de f a A′′ sse ∀a ∈ A : g(a) = f(a)
(isto é, se f = g|A).
Observação: Em geral existe mais de um prolongamento de f a A′′.
Exemplo : f : [1, 4] −→ R
x 7→ x− 3
, g1: R −→ R
x 7→ x− 3
, g2: R −→ R
x 7→
 x− 3, se x ∈ [1, 4]1, se x ≥ 4−2, se x ≤ 1
,
g3: [0, 10] −→ R
x 7→
{
x− 3, se x ≥ 1
−x2 − 1, se x ≤ 1
, g4: R −→ R
x 7→
 x− 3, se x ∈ [1, 4]x2 − 3, se x ≤ 1
x3, se x > 4
g1, g2, g3 e g4 são prolongamentos de f .
f é a restrição a [1, 4] de g1, de g2, de g3 e de g4.
Definição 2.1.4 Sejam f : A −→ B, A1 ⊂ A, B1 ⊂ B.
1. Chama-se imagem de A1 por f ao contradomínio de f|A1 (={f(a); a ∈ A1} = {b ∈ B;∃a ∈ A1 : f(a1) = b})
Notação: f(A1)
2. Chama-se imagem recíproca de B1 por f ao conjunto {a ∈ A : f(a) ∈ B1}. Notação: f−1(B1).
Observação: f−1(B) = A.
Exemplos:
1. f : R −→ R
x 7→ 3
f(R) = f({0}) = f([2, 3]) = f(Q) = {3}
Qualquer que seja A1 ⊂ R, A1 6= ∅, tem-se f(A1) = {3}.
f−1({0}) = f−1([−5,−1[) = f−1({pi}) = f−1({0} ∪ {4}) = ∅
f−1({3}) = f−1(Q) = f−1(R) = f−1([0, 4]) = f−1(]−∞, 3]) = R
Para cada B1 ⊂ R tem-se
{
f−1(B1) = R, se 3 ∈ B1
f−1(B1) = ∅, se 3 6∈ B1
2.1. GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES 11
2. f : ]− 10, 10[ −→ R
x 7→ x2
f([0, 1]) = [0, 12 ]; f(Q∩]− 10, 10[) = Q∩]− 5, 5[; f({5}) = { 52}
f−1(]3, 4[) =]6, 8[; f−1(]0,+∞[) =]0, 10[; f−1(]3, 7]) =]6, 10[; f−1([−8, 2]) =]− 10, 4]
3. f : R −→ R
x 7→ x2 − 8x
f(]2, 6[) = [−16,−12[; f(R) = [−16,+∞[;f([4,+∞[) = [−16,+∞[; f({0, 3, 5, 8}) = {−15, 0}
f−1({0}) = {0, 8}; f−1({−7}) = {1, 7}; f−1(]−∞,−16]) = {4}; f−1(R+) =]−∞, 0[∪]8,+∞[;f−1(R−) =]0, 8[
4. f : R −→ R
x 7→
 x+ 3, se x < −5x2, se x ∈ [−5, 0]1
x , se x > 0
f(R) =]−∞,−2[∪[0,+∞[; f(]− 1, 1[) = [0, 1[∪]1,+∞[; f([−6,−1]) = [−3,−2[∪[1, 25]; f({-1,1})={1}
f−1(]−∞, 4]) =]−∞,−5[∪[−2, 0]∪[ 14 ,+∞[; f−1([0, 1]) = [−1, 0]∪[1,+∞[;f−1({2}) = {−
√
2, 12}; f−1(]−2, 0[) =∅
5. idA: A −→ A
x 7→ x
(função identidade em A)
∀A1 ⊂ A : idA(A1) = A1
∀A1 ⊂ A : id−1A (A1) = A1
6. Seja A ⊂ R.
χA: R −→ R
x 7→
{
1 se x ∈ A
0 se x 6∈ A
(função característica de A)
χA(A1) =
 {1} se A1 ⊂ A{0} se A1 ∩A = ∅{0, 1} se A1 ∩A 6= ∅ e A1 6⊂ A
χ−1A (B1) =

R se {0, 1} ⊂ B1
A se 1 ∈ B1, 0 6∈ B1
R \A se 1 6∈ B1, 0 ∈ B1
∅ se 1 6∈ B1, 0 6∈ B1
Proposição 2.1.5 Seja f : A −→ B.
1. Qualquer que seja A1 ⊂ A tem-se A1 ⊂ f−1(f(A1)).
2. f é injectiva sse ∀A1 ⊂ A : A1 = f−1(f(A1)).
3. Qualquer que seja B1 ⊂ B tem-se f(f−1(B1)) ⊂ B1.
4. f é sobrejectiva sse ∀B1 ⊂ B : f(f−1(B1)) = B1.
5. A1 ⊂ A2 ⇒ f(A1) ⊂ f(A2)
6. B1 ⊂ B2 ⇒ f−1(B1) ⊂ f−1(B2)
Demonstração:
1. Seja A1 ⊂ A. Se a ∈ A1, então, por definição de f(A1) tem-se f(a) ∈ f(A1). Mas, por definição de f−1(f(A1)),
isso quer dizer que a ∈ f−1(f(A1)).
2. Suponhamos que f é injectiva e seja A1 ⊂ A. Pela alínea anterior, tem-se A1 ⊂ f−1(f(A1)). Seja x ∈ f−1(f(A1)),
isto é f(x) ∈ f(A1). Então existe a ∈ A1 tal que f(a) = f(x), por definição de f(A1). Mas f é injectiva, portanto
a = x, isto é, x ∈ A1.
Suponhamos agora que ∀A1 ⊂ A : A1 = f−1(f(A1)). Sejam x1, x2 ∈ A tais que f(x1) = f(x2) e ponhamos
X1 = {x1}. Tem-se X1 = f−1(f(X1)); mas f(x2) = f(x1) ∈ f(X1), portanto x2 ∈ f−1(f(X1)) = X1 = {x1},
isto é, x1 = x2.
12 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL)
3. Sejam B1 ⊂ B e y ∈ f(f−1(B1)). Então existe x ∈ f−1(B1) tal que y = f(x); mas x ∈ f−1(B1), logo f(x) ∈ B1,
isto é, y ∈ B1.
4. Suponhamos que f é sobrejectiva. Seja B1 ⊂ B. Pela alínea anterior, tem-se f(f−1(B1)) ⊂ B1. Seja y ∈ B1.
Como f é sobrejectiva, existe x ∈ A tal que f(x) = y. Mas y = f(x) ∈ B1, isto é, x ∈ f−1(B1), portanto
y ∈ f(f−1(B1)).
Suponhamos agora que ∀B1 ⊂ B : f(f−1(B1)) = B1. Seja y ∈ B. Então f(f−1({y})) = {y}, isto é, por definição
de f(f−1({y})) existe x ∈ f−1({y}) tal que f(x) = y.
5. trivial
6. trivial �
Proposição 2.1.6 Seja f : A −→ B.
1. ∀A1, A2 ⊂ A : f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2)
2. ∀A1, A2 ⊂ A : f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2)
3. ∀B1, B2 ⊂ B : f−1(B1 ∪B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2)
4. ∀B1, B2 ⊂ B : f−1(B1 ∩B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2)
Demonstração:
1. De A1 ⊂ A1 ∪ A2 e A2 ⊂ A1 ∪ A2 conclui-se que f(A1) ⊂ f(A1 ∪ A2) e f(A2) ⊂ f(A1 ∪ A2). Então
f(A1) ∪ f(A2) ⊂ f(A1 ∪A2).
Por outro lado, se y ∈ f(A1) (resp. f(A2)) então existe x ∈ A1 (resp. A2) tal que f(x) = y; mas tem-se
A1(resp. A2) ⊂ A1 ∪A2, portanto x ∈ A1 ∪A2, logo y ∈ f(A1 ∪A2).
2. De A1 ∩ A2 ⊂ A1 e A1 ∩ A2 ⊂ A2 conclui-se que f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) e f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A2), portanto
f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2)
3. Dizer que x ∈ f−1(B1 ∪B2) é equivalente a dizer que f(x) ∈ B1 ∪B2, o que é equivalente a dizer que f(x) ∈ B1
ou f(x) ∈ B2, o que é equivalente a dizer que x ∈ f−1(B1) ou x ∈ f−1(B2), o que é equivalente a dizer que
x ∈ f−1(B1) ∪ f−1(B2).
4. análoga à anterior. �
Exemplos:
1. f : R −→ R
x 7→ x4 + 1
f−1(f({0})) = {0}
f−1(f({1})) = f−1({2}) = {−1, 1} 6= {1}
f−1(f([−1, 3])) = f−1([1, 82]) = [−3, 3] 6= [−1, 3]
f(f−1({2})) = {2}
f(f−1(R)) = f(R) = [1,+∞[ 6= R
f(f−1({0})) = f(∅) = ∅ 6= {0}
2. f : R −→ R
x 7→ x2
A1 = [0,+∞[; A2 =]−∞, 0]; A1 ∩A2 = {0}
f(A1) = f(A2) = [0,+∞[; f(A1 ∩A2) = {0} 6= [0,+∞[= f(A1) ∩ f(A2)
A′1 = {1, 2}; A′2 = {2, 3}; A′1 ∩A′2 = {2}
f(A′1) = {1, 4}; f(A′2) = {4, 9}; f(A′1 ∩A′2) = {4} = f(A′1) ∩ f(A′2)
2.1. GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES 13
3. f : R \ {0} −→ R
x 7→ 1x2
A1 = {1}; A2 = {1, 2};
f(A1) = {1}; f(A2) = {1, 14};
A′1 = {1}; A′2 = {−1, 1};
f(A′1) = {1}; f(A′2) = {1};
Neste caso A′1 ⊂ A′2, A′1 6= A′2 e f(A′1) = f(A′2).
Definição 2.1.7 Seja f : R −→ R
1. Diz-se que f é par sse ∀x ∈ R : f(−x) = f(x).
2. Diz-se que f é ímpar sse ∀x ∈ R : f(−x) = −f(x).
3. Diz-se que f é periódica sse existe p ∈ R \ {0} tal que
∀x ∈ R : f(x+ p) = f(x); (*)
um número p ∈ R que verifica a condição (*) diz-se um período de f .
Observações:
1. Se f é ímpar, então f(0) = 0.
2. Se f é par e ímpar, então f é a função nula.
3. Se p é um período de f , então ∀n ∈ Z, np tambem é um período de f .
4. Se f é periódica, contínua (ver capítulo 3) e não constante, o conjunto {p ∈ R+; p é um período de f} tem
mínimo; em geral, a expressão “o período def” refere-se a este mínimo do conjunto dos períodos positivos de f .
Exemplos:
1. f : R −→ R
x 7→ xn
, n ∈ N
f é par se n for par; f é ímpar se n for ímpar.
2. f : R −→ R
x 7→ 2x
f é ímpar.
3. f : R −→ R
x 7→ x− 5
f nem é par nem ímpar.
4. f : R −→ R
x 7→ x− [x]
f é periódica; o período de f é 1.
5. f : R −→ R
x 7→
{
0 se x ∈ Q
1 se x 6∈ Q
f é periódica; qualquer número racional diferente de 0 é um período de f .
6. f : R −→ R
x 7→ sen x
f é ímpar; f é periódica; o período de f é 2pi.
7. f : R −→ R
x 7→ cos(5x+ 2)
f é periódica; o período de f é 2pi5 .
8. f : R −→ R
x 7→ sen 4x cos(6x− 1)
f é periódica; o período de f é pi.
14 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL)
2.2 Soma, multiplicação e composição de funções
Dadas duas funções f, g : A −→ B, designa-se por f + g a função A −→ B
x 7→ f(x) + g(x)
e por f.g a função
A −→ B
x 7→ f(x).g(x)
Se g nunca se anular designa-se por
f
g
a função A −→ B
x 7→ f(x)g(x)
Seja f : A −→ B e g : B −→ C. Define-se a composta g ◦ f : A −→ C por g ◦ f(x) = g(f(x)).
Exemplos:
1. f : R −→ R
x 7→
{
x, se x > 1
x− 1, se x ≤ 1
g: R −→ R
x 7→
{ √
x, se x ≥ 0
x2, se x < 0
f + g: R −→ R
x 7→
 x− 1 + x
2, se x < 0
x− 1 +√x, se 0 ≤ x ≤ 1
x+
√
x, se 1 < x
f.g: R −→ R
x 7→
 (x− 1)x
2, se x < 0
(x− 1)√x, se 0 ≤ x ≤ 1
x
√
x, se 1 < x
2. f : R −→ R
x 7→
{
x2, se x ≤ 0
x− 3, se x > 0
g: R −→ R
x 7→
{
2x, se x ≥ 1
−x+ 3, se x < 1
g(f(x)) =
{
2f(x), se f(x) ≥ 1
−f(x) + 3, se f(x) < 1 =

2x2, se x ≤ 0 e f(x) ≥ 1
2(x− 3), se x > 0 e f(x) ≥ 1
−x2 + 3, se x ≤ 0 e f(x) < 1
−(x−3) + 3, se x > 0 e f(x) < 1
=

2x2, se x ≤ 0 e x2 ≥ 1
2(x− 3), se x > 0 e x− 3 ≥ 1
−x2 + 3, se x ≤ 0 e x2 < 1
−(x− 3) + 3, se x > 0 e x− 3 < 1
=

2x2, se x ∈]−∞,−1]
2(x− 3), se x ∈ [4,+∞[
−x2 + 3, se x ∈]− 1, 0]
−x+ 6, se x ∈]0, 4[
g ◦ f : R −→ R
x 7→

2x2, se x ∈]−∞,−1]
2(x− 3), se x ∈ [4,+∞[
−x2 + 3, se x ∈]− 1, 0]
−x+ 6, se x ∈]0, 4[
Proposição 2.2.1 Sejam f : A −→ B e g : B −→ C.
1. Se f é injectiva e g é injectiva então g ◦ f é injectiva.
2. Se f é sobrejectiva e g é sobrejectiva então g ◦ f é sobrejectiva.
3. Se g ◦ f é injectiva e f é sobrejectiva então g é injectiva.
4. Se g ◦ f é sobrejectiva e g é injectiva então f é sobrejectiva.
5. Se g ◦ f é injectiva então f é injectiva.
6. Se g ◦ f é sobrejectiva então g é sobrejectiva.
Demonstração:
1. Sejam x1, x2 ∈ A tais que (g ◦ f)(x1) = (g ◦ f)(x2), isto é, g(f(x1)) = g(f(x2)). Como g é injectiva conclui-se
que f(x1) = f(x2); mas f é injectiva, portanto isso implica que x1 = x2.
2. Seja z ∈ C. Como g é sobrejectiva, existe y ∈ B tal que g(y) = z; como f é sobrejectiva, existe x ∈ A tal que
f(x) = y. Mas então (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z.
3. Sejam y1, y2 ∈ B tais que g(y1) = g(y2). Como f é sobrejectiva, existem x1, x2 ∈ A tais que f(x1) = y1 e
f(x2) = y2. Então (g ◦ f)(x1) = g(y1) = g(y2) = (g ◦ f)(x2), e de g ◦ f ser injectiva deduz-se que x1 = x2,
portanto y1 = y2.
4. Seja y ∈ B e seja z = g(y). Como g ◦ f é sobrejectiva, existe x ∈ A tal que (g ◦ f)(x) = z = g(y). Mas como g é
injectiva tem-se então f(x) = y.
2.2. SOMA, MULTIPLICAÇÃO E COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 15
5. Sejam x1, x2 tais que f(x1) = f(x2). Então (g ◦ f)(x1) = (g ◦ f)(x2); mas g ◦ f é injectiva, portanto x1 = x2.
6. Seja z ∈ C. Como g ◦ f é sobrejectiva, existe x ∈ A tal que (g ◦ f)(x) = z. Então z = g(y), em que y = f(x).
�
Exemplos:
1. f : R −→ R
x 7→
{ 1
1−x , se x ≤ 0
x+ 1, se x > 0
; g: R −→ R
x 7→ x2
g ◦ f : R −→ R
x 7→
{ 1
(1−x)2 , se x ≤ 0
(x+ 1)2, se x > 0
Neste caso g ◦ f é injectiva, f é injectiva mas g não é injectiva.
2. f : ]−∞, 2] −→ R
x 7→ 1− x
; g: R −→ R+0
x 7→ |x+ 1|
g ◦ f : ]−∞, 2] −→ R+0
x 7→ |2− x|
Neste caso g ◦ f é sobrejectiva, g é sobrejectiva mas f não é sobrejectiva.
3. f : [0, 1] −→ [−5, 5]
x 7→ 2x
; g: [−5, 5] −→ [−5, 5]
x 7→ x
g ◦ f : [0, 1] −→ [−5, 5]
x 7→ 2x
Neste caso g é sobrejectiva mas g ◦ f não é sobrejectiva.
4. f : ]− 10, 10[ −→ R+
x 7→ |x|
; g: R+ −→ R
x 7→ √x
g ◦ f : ]− 10, 10[ −→ R
x 7→ √|x|
Neste caso g é injectiva mas g ◦ f não é injectiva.
Definição 2.2.2 Seja f : A −→ B.
1. Diz-se que g : B −→ A é inversa à direita de f sse f ◦ g = idB.
2. Diz-se que g : B −→ A é inversa à esquerda de f sse g ◦ f = idA.
3. Diz-se que g é inversa de f sse g é inversa à direita e inversa à esquerda de f . Notação: f−1
Exemplos:
1. f : R −→ R
x 7→ x3
; f−1: R −→ R
x 7→ 3√x
2. f : R −→ R+0
x 7→ x2
; g1: R+0 −→ R
x 7→ √x
g2: R+0 −→ R
x 7→ −√x
; g3: R+0 −→ R
x 7→
{ √
x, se x ∈ Q
−√x, se x 6∈ Q
g1, g2 e g3 são inversas à direita de f ; nenhuma é inversa à esquerda de f ; f não tem inversa à esquerda.
3. f : ]−∞, 1] −→ R
x 7→ x2 − 4x
g1: R −→ ]−∞, 1]
x 7→
{
2−√x+ 4, se x ≥ −3
0, se x < −3
; g2: R −→ ]−∞, 1]
x 7→
{
2−√x+ 4, se x ≥ −4
x, se x < −4
g1 e g2 são inversas à esquerda de f ; nenhuma è inversa à direita de f ; f não tem inversa à direita.
16 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL)
4. f : R −→ ]−∞, 5[
x 7→

2x+ 4 se x ≤ −2
x2 + 1 se x ∈]− 2, 0]
x
x+1 se x > 0
; f−1: ]−∞, 5[ −→ R
x 7→

x−4
2 se x ≤ 0
x
1−x se x ∈]0, 1[
−√x− 1 se x ∈ [1, 5[
Observação: f não pode ter mais do que uma inversa. De facto, se g1 e g2 são inversas de f , tem-se
g1 = g1 ◦ (f ◦ g2) = (g1 ◦ f) ◦ g2 = g2.
Proposição 2.2.3 Seja f : A −→ B.
1. f tem inversa à direita sse f é sobrejectiva.
2. f tem inversa à esquerda sse f é injectiva.
3. f tem inversa sse f é bijectiva
Demonstração:
1. Suponhamos que g é inversa à direita de f ; então f ◦ g = idB é sobrejectiva, logo f é sobrejectiva.
Por outro lado, se f é sobrejectiva, para cada x ∈ B escolha-se um elemento ax de f−1({x}) (f−1({x}) não é
vazio porque f é sobrejectiva); seja g a função definida por g: B −→ A
x 7→ ax
Então ∀x ∈ B : f(g(x)) = x, isto
é, g é uma inversa à direita de f .
Observação: g não é necessariamente determinada por f , uma vez que para cada x ∈ B se pode escolher como
g(x) qualquer dos elementos de f−1({x}) e este conjunto pode ter mais de um elemento.
2. Suponhamos que g é uma inversa à esquerda de f ; então g ◦ f = idA é injectiva, logo f é injectiva.
Por outro lado, se f é injectiva, seja a0 um elemento qualquer de A e seja g a função definida por
g : B −→ A
x 7→
{
o único elemento a ∈ A tal que f(a) = x, se x ∈ f(A)
a0, se x 6∈ f(A)
Seja a ∈ A e b = f(a). Então g(f(a)) = g(b) e g(b) é o único elemento a′ de A tal que f(a′) = b; ora f(a) = b,
portanto a′ = a. Conclui-se que g ◦ f(a) = a, isto é, g é uma inversa à esquerda de f .
Observação: g não é necessariamente determinada por f , uma vez que as imagens por g de elementos que não
pertencem ao contradomínio de f não interferem com o facto de g ser ou não inversa à esquerda de f .
3. Do que foi visto em 1. e 2. conclui-se que se f tem inversa então f é bijectiva. Suponhamos que f é bijectiva e
seja g a função definida por g: B −→ A
x 7→ o único elemento a de A tal que f(a) = b
Então é fácil verificar que g é a inversa de f . �
Observação: Se f : A −→ B é uma função injectiva, então a função f : A −→ f(A)
x 7→ f(x)
é bijectiva e portanto tem
inversa. Por abuso de notação designa-se frequentemente por f−1 a função f−1 : f(A) −→ A.
2.3 Monotonia, máximos e mínimos
Definição 2.3.1 Seja f : A −→ B.
1. Diz-se que f é crescente sse ∀x1, x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).
2. Diz-se que f é estritamente crescente sse ∀x1, x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
3. Diz-se que f é decrescente sse ∀x1, x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2).
4. Diz-se que f é estritamente decrescente sse ∀x1, x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
5. Diz-se que f é monótona sse f é crescente ou decrescente.
6. Diz-se que f é estritamente monótona sse f é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
2.3. MONOTONIA, MÁXIMOS E MÍNIMOS 17
Observação: “f é monótona” não é equivalente a ∀x1, x2 ∈ A : (f(x1) ≤ f(x2) ou f(x2) ≤ f(x1)).
Exemplos:
1. f : R −→ R
x 7→ x+ 5
f é estritamente crescente, crescente, estritamente monótona e monótona.
2. f : R− −→ R
x 7→ x2
f é estritamente decrescente, etc.
3. f : R −→ R
x 7→
{ 1
x , se x 6= 0
0, se x = 0
f não é crescente (por exemplo 1 < 2 e f(1) > f(2)).
f não é decrescente (por exemplo −1 < 1 e f(−1) < f(1)).
4. f : R −→ R
x 7→
{
0, se x < 0
x3 + 3, se x ≥ 0
f é crescente mas não estritamente crescente.
Proposição 2.3.2 Se f : A −→ B é uma função bijectiva estritamente crescente (resp. estritamente decrescente) en-
tão f−1 : B −→ A tambem é estritamente crescente (resp. estritamente decrescente).
Demonstração: Seja f : A −→ B uma função bijectiva estritamente crescente e sejam y1, y2 ∈ B tais que y1 < y2;
queremos mostrar que f−1(y1) < f−1(y2). Como f−1 é bijectiva, não se pode ter f−1(y1) = f−1(y2). Por outro lado,
se f−1(y1) > f−1(y2), como f é estritamente crescente, ter-se-ia f(f−1(y1)) > f(f−1(y2)), isto é, y1 > y2, o que é
contrário à hipótese. Conclui-se que f−1(y1) < f−1(y2).
Demonstra-se analogamente o caso em que f é estritamente decrescente. �
Definição 2.3.3 Se A1 ⊂ A diz-se que f é crescente (resp. estritamente crescente, decrescente, estritamente
decrescente) em A1 sse f|A1 é crescente (resp. estritamente crescente, decrescente, estritamente decrescente).
Observação: De f ser crescente (resp. estritamente crescente, decrescente, estritamente decrescente) em A1 e em
A2 não se pode concluir que f é crescente (resp. estritamentecrescente, decrescente, estritamente decrescente) em
A1 ∪A2.
Exemplo: f : R −→ R
x 7→
{ 1
x , se x 6= 0
0, se x = 0
f é decrescente em ]−∞, 0[ e em ]0,+∞[ e não é decrescente em ]−∞, 0[∪]0,+∞[.
Definição 2.3.4 Seja f : A −→ B.
1. Diz-se que f é limitada sse f(A) é limitado (isto é, sse ∃l ∈ R ∀a ∈ A : |f(a)| ≤ l).
2. Diz-se que f é majorada sse f(A) é majorado (isto é, sse ∃M ∈ R ∀a ∈ A : f(a) ≤M).
3. Diz-se que f é minorada sse f(A) é minorado (isto é, sse ∃m ∈ R ∀a ∈ A : f(a) ≥ m).
4. Chama-se max(f) ao máximo de f(A) (caso exista).
5. Chama-se min(f) ao mínimo de f(A) (caso exista).
6. Chama-se sup(f) ao supremo de f(A) (caso exista).
7. Chama-se inf(f) ao ínfimo de f(A) (caso exista).
8. Diz-se que f tem um máximo global em a sse f(a) = max(f) (isto é ∀x ∈ A : f(x) ≤ f(a)).
9. Diz-se que f tem um mínimo global em a sse f(a) = min(f) (isto é ∀x ∈ A : f(x) ≥ f(a)).
18 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL)
10. Diz-se que f tem um máximo estrito global em a sse f(a) = max(f) e ∀x ∈ A, x 6= a : f(x) < f(a).
11. Diz-se que f tem um mínimo estrito global em a sse f(a) = max(f) e ∀x ∈ A, x 6= a : f(x) > f(a).
12. Diz-se que f tem um máximo local em a sse existe algum intervalo aberto I contendo a tal que f|I∩A tenha
um máximo global em a.
13. Diz-se que f tem um mínimo local em a sse existe algum intervalo aberto I contendo a tal que f|I∩A tenha um
mínimo global em a.
14. Diz-se que f tem um máximo estrito local em a sse existe algum intervalo aberto I contendo a tal que f|I∩A
tenha um máximo estrito global em a.
15. Diz-se que f tem um mínimo estrito local em a sse existe algum intervalo aberto I contendo a tal que f|I∩A
tenha um mínimo estrito global em a.
Proposição 2.3.5 Se f, g : A −→ R são funções majoradas (resp. minoradas), então f + g é majorada (resp. mino-
rada) e sup(f + g) ≤ sup(f) + sup(g) (resp. inf(f + g) ≥ inf(f) + inf(g)).
Demonstração: Suponhamos f e g majoradas. Tem-se ∀x ∈ A : f(x) ≤ sup(f) e g(x) ≤ sup(g). Então (f + g)(x)(=
f(x) + g(x)) ≤ sup(f) + sup(g), logo f + g é majorada por sup(f) + sup(g), portanto sup(f + g) ≤ sup(f) + sup(g).
A demonstração é análoga para o ínfimo. �
Exemplos:
1. f : R −→ R
x 7→ x2 − 2x+ 1
f não é majorada; f é minorada; min(f) = 0; f tem um mínimo estrito global em 1.
2. f : R −→ R
x 7→ senx
f é limitada; max(f) = 1; min(f) = −1; para cada k ∈ Z, f tem um máximo global (e um máximo estrito local)
em 2kpi+ pi2 ; f tem um mínimo global (e um mínimo estrito local) em 2kpi− pi2 ; f não tem máximo estrito global
nem mínimo estrito global em nenhum ponto.
3. f : R −→ R
x 7→
{
0, se x ≤ 0
−x, se x ≥ 0
f não é minorada; f é majorada; max(f)=0; para cada x ≤ 0 f tem um máximo global em x; f não tem máximo
estrito global nem local em nenhum ponto; para cada x < 0 f tem um mínimo local em x.
4. f : R −→ R
x 7→ x3 − 3x
f não é majorada nem minorada; f tem um máximo estrito local em −1 e um mínimo estrito local em 1.
5. f : [1, 5] −→ R
x 7→ 3x
f é limitada; max(f) = 15; min(f) = 3; f tem um máximo estrito global em 5 e um mínimo estrito global em 1.
6. f : R −→ R
x 7→
{ −2x, se x < 0
2x+ 1, se x ≥ 0
f não é majorada; f é minorada; f não tem mínimo; inf(f)=0.
7. f : [0, 1] −→ R
x 7→ x
, g: [0, 1] −→ R
x 7→ 1− x
, f + g: [0, 1] −→ R
x 7→ 1
inf(f) + inf(g) = 0 < 1 = inf(f + g); sup(f + g) = 1 < 2 = sup(f) + sup(g).
Definição 2.3.6 Seja f : A −→ B e a ∈ A.
2.3. MONOTONIA, MÁXIMOS E MÍNIMOS 19
1. Diz-se que f é crescente em a sse existe um intervalo aberto I contendo a tal que{ ∀x ∈ I ∩A, x > a⇒ f(x) ≥ f(a)
∀x ∈ I ∩A, x < a⇒ f(x) ≤ f(a)
2. Diz-se que f é decrescente em a sse existe um intervalo aberto I contendo a tal que{ ∀x ∈ I ∩A, x > a⇒ f(x) ≤ f(a)
∀x ∈ I ∩A, x < a⇒ f(x) ≥ f(a)
3. Diz-se que f é estritamente crescente em a sse existe um intervalo aberto I contendo a tal que{ ∀x ∈ I ∩A, x > a⇒ f(x) > f(a)
∀x ∈ I ∩A, x < a⇒ f(x) < f(a)
4. Diz-se que f é estritamente decrescente em a sse existe um intervalo aberto I contendo a tal que{ ∀x ∈ I ∩A, x > a⇒ f(x) < f(a)
∀x ∈ I ∩A, x < a⇒ f(x) > f(a)
Observações:
1. f ser crescente (resp. decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente) em a não é equivalente a f
ser crescente (resp. decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente) em {a}; f é sempre crescente
(resp. decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente) em {a}.
2. Se f é crescente (resp. decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente) num intervalo aberto,
então é crescente (resp. decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente) em qualquer ponto desse
intervalo, mas f pode ser crescente (resp. decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente) num
ponto a e não ser crescente (resp. decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente) em nenhum
intervalo aberto contendo a.
Exemplos:
1. f : R −→ R
x 7→

−2, se x 6∈ Q e x > 0
−1, se x ∈ Q e x > 0
0, se x = 0
1, se x ∈ Q e x < 0
2, se x 6∈ Q e x < 0
f é estritamente decrescente em 0 e no entanto não existe nenhum intervalo aberto I contendo 0 tal que f seja
decrescente em I; f não é decrescente em nenhum outro ponto de R.
2. f : R −→ R
x 7→
{
2x+ xsen 1x , se x 6= 0
0, se x = 0
f é contínua (ver capítulo 3) e estritamente crescente em 0 mas não existe nenhum intervalo aberto I contendo
0 tal que f seja crescente em I.
Proposição 2.3.7 Seja f : [a, b] −→ R.
1. f é crescente (resp. decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente) em a sse f tem um mínimo
(resp. máximo, mínimo estrito, máximo estrito) local em a.
2. f é crescente (resp. decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente) em b sse f tem um máximo
(resp. mínimo, máximo estrito, mínimo estrito) local em b.
Demonstração: Se f é crescente em a existe um intervalo aberto I =]a− δ, a+ δ[ tal que
∀x ∈ I ∩ [a, b]
{
x > a⇒ f(x) ≥ f(a)
x < a⇒ f(x) ≤ f(a)
Mas I ∩ [a, b] = [a, a+ δ[, portanto ∀x ∈ I ∩ [a, b] : f(x) ≥ f(a), logo f tem um mínimo local em a.
20 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL)
Reciprocamente, se f tem um mínimo local em a, então existe um intervalo aberto I =]a − δ, a + δ[ tal que
∀x ∈ I ∩ [a, b] : f(x) ≥ f(a). Mas I ∩ [a, b] = [a, a+ δ[, portanto
∀x ∈ I ∩ [a, b]
{
x > a⇒ f(x) ≥ f(a)
x < a⇒ f(x) ≤ f(a)
de onde se conclui que f é crescente em a.
Os outros casos demonstram-se de maneira análoga. �
2.4 Gráficos
Dados dois conjuntos não vazios A e B, define-se o produto cartesiano A×B por
A×B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}.
Seja f : A −→ B.
Definição 2.4.1 O gráfico de f é o subconjunto de A×B
Gr(f) = {(a, f(a)); a ∈ A} = {(a, b) ∈ A×B; b = f(a)}.
Seja X ⊂ A × B. Dizer que X é o gráfico de alguma função f : A −→ B, equivale a dizer que qualquer “recta
vertical” (isto é, qualquer conjunto Ya = {(a, y); y ∈ B}, a ∈ X) intersecta X num e num só ponto. Se f : A −→ B e
a ∈ A, então
{(a, y); y ∈ B} ∩Gr(f) = {(a, y); y = f(a)} = {(a, f(a))}.
Portanto qualquer recta vertical intersecta Gr(f) num único ponto.
Supondo agora que X ⊂ A×B e que qualquer recta vertical intersecta X num único ponto, seja f a função definida
por f : A −→ B
x 7→ o único ponto b de B tal que (x, b) ∈ X
. Então Gr(f) = X. �
Proposição 2.4.2 1. f é sobrejectiva sse qualquer “recta horizontal” (isto é, qualquer conjunto Xb = {(x, b);x ∈
A}, b ∈ Y ) intersectar Gr(f).
2. f é injectiva sse nenhuma recta horizontal intersectar Gr(f) em mais do que um ponto.
3. f é bijectiva sse qualquer recta horizontal intersectar Gr(f) num único ponto.
Demonstração:
1. f é sobrejectiva sse ∀b ∈ B ∃a ∈ A : f(a) = b, isto é, sse ∀b ∈ B ∃a ∈ A : (a, b) ∈ Gr(f), isto é, sse qualquer recta
horizontal intersecta Gr(f).
2. f é injectiva sse ∀x1, x2 ∈ A : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2, isto é, sse ∀x1, x2 ∈ A, y ∈ B : (x1, y) ∈
Gr(f) e (x2, y) ∈ Gr(f) ⇒ x1 = x2, ou ainda, sse∀y ∈ B : {(a, y); a ∈ A} ∩ Gr(f) não tem mais de um
elemento, o que acontece sse qualquer recta horizontal intersecta Gr(f) no máximo num ponto.
3. consequência trivial de 1. e 2. �
Se A e B são dois conjuntos não vazios, chama-se projecção de A × B em A (resp. de A × B em B) à função
p1 : A×B −→ A
(x, y) 7→ x
(resp. p2 : A×B −→ B
(x, y) 7→ y
).
Proposição 2.4.3 Seja f : A −→ B, A1 ⊂ A, B1 ⊂ B.
1. f(A1) é a projecção sobre B de Gr(f) ∩ (A1 ×B).
2. f−1(B1) é a projecção sobre A de Gr(f) ∩ (A×B1).
Demonstração:
1. Se y ∈ f(A1) então existe x ∈ A1 tal que f(x) = y, portanto (x, y) ∈ Gr(f) ∩ (A1 × B), ou seja, y pertence à
projecção sobre B de Gr(f) ∩ (A1 ×B).
Reciprocamente, se y pertence à projecção sobre B de Gr(f) ∩ (A1 × B), então existe um x ∈ A tal que
(x, y) ∈ Gr(f)∩ (A1×B). De (x, y) ∈ A1×B conclui-se que x ∈ A1, e de (x, y) ∈ Gr(f) conclui-se que y = f(x),
logo y ∈ f(A1).
2.4. GRÁFICOS 21
2. Se x ∈ f−1(B1), então f(x) ∈ B1, portanto (x, f(x)) ∈ Gr(f) ∩ (A×B1), ou seja, x pertence à projecção sobre
A de Gr(f) ∩ (A×B1).
Reciprocamente, se x pertence à projecção sobre A de Gr(f) ∩ (A × B1), então existe y ∈ B tal que (x, y) ∈
Gr(f) ∩ (A× B1). De (x, y) ∈ A× B1 conclui-se que y ∈ B1, e de (x, y) ∈ Gr(f) conclui-se que y = f(x), logo
f(x) ∈ B1, isto é, x ∈ f−1(B1). �
Proposição 2.4.4 1. f é par sse o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo dos yy.
2. f é ímpar sse o gráfico de f é simétrico em relação à origem.
Demonstração:
1. f é par sse ∀x ∈ R : f(−x) = f(x), isto é, sse ∀x ∈ R : (x, y) ∈ Gr(f) ⇔ (−x, y) ∈ Gr(f), mas isto quer dizer
que o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo dos yy.
2. f é ímpar sse ∀x ∈ R : f(−x) = −f(x), isto é, sse ∀x ∈ R : (x, y) ∈ Gr(f) ⇔ (−x,−y) ∈ Gr(f), mas isto quer
dizer que o gráfico de f é simétrico em relação à origem. �
Proposição 2.4.5 Seja f : A −→ B uma função bijectiva. Então o gráfico de f−1 : B −→ A é o simétrico do gráfico
de f relativamente à recta de equação y = x.
Demonstração: Tem-se
(a, b) ∈ Gr(f) ⇔ b = f(a)
⇔ f−1(b) = a
⇔ (b, a) ∈ Gr(f−1)
Ora (a, b) e (b, a) são pontos simétricos em relação à recta de equação y = x, de onde se conclui que os pontos do
gráfico de f−1 são os simétricos dos pontos do gráfico de f relativamente à recta de equação y = x. �
Exemplos:
1. f : [0, 7] −→ R
x 7→ x2 − 6x+ 4
; g: [−2, 2] −→ R
x 7→ x4 + 1
1 2 3 4 5 6 7
f
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
-2 -1 1 2
g
0.5
1
1.5
2
2.5
2. f : [1, 4] −→ R
x 7→ x− 3
; g1: [0, 6] −→ R
x 7→
{
x− 3 se x ≥ 1
−x2 − 1 se x < 1
; g2: [0, 6] −→ R
x 7→

x− 3 se x ∈ [1, 4]
x2 − 3 se x ≤ 1
x2
10 se x > 4
g1 e g2 são prolongamentos de f ; f é a restrição de g1 e de g2.
22 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL)
1 2 3 4 5 6
f
-4
-2
0
2
4
1 2 3 4 5 6
g1
-2
-1
1
2
3
1 2 3 4 5 6
g2
-3
-2
-1
1
2
3
3. f1: [−3, 3] −→ R
x 7→ x− [x]
; f2: [−4, 4] −→ R
x 7→ cos(5x+ 2)
; f3: [−4, 4] −→ R
x 7→ sen 4x cos(6x− 1)
f1, f2 e f3 são periódicas; os respectivos períodos são 1, 2pi/5 e pi.
-3 -2 -1 1 2 3
 
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4 -2 2 4
f2
-1
-0.5
0.5
1
-4 -2 2 4
f3
-1
-0.5
0.5
1
4. f : [−3, 3] −→ R
x 7→ x4/2− 3x2 + 1
; g: [−2, 2] −→ R
x 7→ x3 − x
f é par; g é ímpar.
-3 -2 -1 1 2 3
f
-2
2
4
6
-2 -1 1 2
g
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
5. f : [−3, 6] −→ R
x 7→
{
x2 se x ≤ 0
x− 3 se x > 0
; g: [−3, 6] −→ R
x 7→
{
2x se x ≥ 1
−x+ 3 se x < 1
;
g ◦ f : [−3, 6] −→ R
x 7→

2x2 se x ∈ [−1, 0]
2x− 6 se x ∈]0, 4]
−x2 + 3 se x < −1
−x+ 6 se x ≥ 4
2.4. GRÁFICOS 23
-2 2 4 6
f
-2
2
4
6
8
-2 2 4 6
g
2
4
6
8
10
12
-2 2 4 6
gof
-6
-4
-2
2
6. f : [−4, 4] −→ [0, 16]
x 7→ x2
; g1: [0, 16] −→ [−4, 4]
x 7→ √x
; g2: [0, 16] −→ [−4, 4]
x 7→
{ √
x se [x] par
−√x se [x] ímpar
g1 e g2 são inversas à direita de f .
-4 -2 2 4
f
2.5
5
7.5
10
12.5
15
2.5 5 7.5 10 12.5 15
g1
1
2
3
4
2.5 5 7.5 10 12.5 15
g2
-4
-2
2
4
7. f : [−1, 1] −→ [−6, 5]
x 7→ x2 − 4x
; g1: [−6, 5] −→ [−1, 1]
x 7→
{
2−√x+ 4 se x ≥ −3
1
2 se x < −3
;
g2: [−6, 5] −→ [−1, 1]
x 7→
{
2−√x+ 4 se x ≥ −4
x se x < −4
g1 e g2 são inversas à esquerda de f .
-1-0.5 0.5 1
f
-2
2
4
-6 -4 -2 2 4
g1
-1
-0.5
0.5
1
-6 -4 -2 2 4
g2
-6
-4
-2
2
8. f : [−4,+∞[ −→ [−4, 5[
x 7→

2x+ 4 se x ∈ [−4,−2]
x2 + 1 se x ∈]− 2, 0]
x
x+1 se x > 0
; f−1: [−4, 5[ −→ [−4,+∞[
x 7→

x−4
2 se x ∈ [−4, 0]
x
1−x se x ∈]0, 1[
−√x− 1 se x ∈ [1, 5[
24 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL)
-4 -2 2 4 6
f
-4
-2
2
4
-4 -2 2 4
 -1
f
-4
-2
2
4
6
9. f : [−6pi, 6pi] −→ R
x 7→
{
2x+ xsen 1x se x 6= 0
0 se x = 0
-0.1-0.05 0.05 0.1
f
-0.2
-0.1
0.1
0.2
10. Os exemplos seguintes mostram casos em que f−1(f(C)) 6= C e f(f−1(D)) 6= D.
f(C)
C
 -1
f (f(C))
 -1
f (D)
D
 -1
f( f (D))
Observações:
1. Dada uma função f : A −→ R e a ∈ R, o gráfico da função g: {x : x− a ∈ A} −→ R
x 7→ f(x− a)
é o translatado
do gráfico de f de |a| unidades na horizontal (para a direita se a > 0, para a esquerda se a < 0).
2.4. GRÁFICOS 25
2. Dada uma função f : A −→ R e a ∈ R, o gráfico da função g: A −→ R
x 7→ f(x) + a
é o translatado do gráfico
de f de |a| unidades na vertical (para cima se a > 0, para baixo se a < 0).
Exemplo
f : R −→ R
x 7→ x22
; f1: R −→ R
x 7→ (x−2)22
; f2: R −→ R
x 7→ x22 − 1
; f3: R −→ R
x 7→ (x+1)22 + 2
;
-3 -2 -1 1 2 3
f
1
2
3
4
-1 1 2 3 4 5
f1
1
2
3
4
-3 -2 -1 1 2 3
f2
-1
1
2
3
-4 -3 -2 -1 1 2
f3
1
2
3
4
5
6
26 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL)
Capítulo 3
Limites e continuidade
3.1 Limites
As figuras seguintes mostram gráficos de funções que ilustram o significado geométrico da existência de lim
x→a f(x).
f1
a
l
f1(a)
f2
a
l1
l2
f2(a)
f3
a
f3(a)
f4
a
f5
a
f5(a)
Tem-se lim
x→a f1(x) = l 6= f(a); limx→a+ f2(x) = l2; limx→a− f2(x) = l1; não existe limx→a f2(x); limx→a f3(x) = f3(a); não existe
lim
x→a+
f4(x) nem lim
x→a−
f4(x); lim
x→a f5(x) = f5(a).
Definição 3.1.1 1. Diz-se que a é um ponto de acumulação (resp. ponto de acumulação à direita, ponto
de acumulação à esquerda) de um conjunto A sse para qualquer δ > 0 existe x ∈]a − δ, a + δ[∩(A \ {a}),
(resp. x ∈]a− δ, a[∩A, x ∈]a, a+ δ[∩A).
2. Diz-se que a é um ponto de acumulação bilateral de A sse a é um ponto de acumulação à direita de A e a
é um ponto de acumulação à esquerda de A.
Seja f : A −→ B.
Observação: Sempre que se escrever f(x), supõe-se que x pertence ao domínio de f , embora isso por vezes não
seja explicitamente mencionado, para não sobrecarregar a exposição.
Definição 3.1.2 1. Diz-se que l é limite de f quando x tende para a sse a é ponto de acumulação de A e
∀� > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− l| < �.
27
28 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
2. Diz-se que l é limite à esquerda de f quando x tende para a sse l for limite de f|A∩]−∞,a[ quando x tende
para a.
3. Diz-se que l é limite à direita de f quando x tende para a sse l for limite de f|A∩]a,+∞[ quando x tende
para a.
Proposição 3.1.3 Se l1 e l2 são limites de f quando x tende para a então l1 = l2.
Demonstração: Suponhamos que l1 6= l2; então |l1−l2| > 0. Seja δ1 > 0 tal que 0 < |x−a| < δ1 ⇒ |f(x)−l1| < |l1−l2|/2
(existe tal δ1 porque l1 é limite de f quando x tende para a). Seja δ2 > 0 tal que 0 < |x−a| < δ2 ⇒ |f(x)−l2| < |l1−l2|/2
(existe tal δ2 porque l2 é limite de f quando x tende para a). Sejaagora δ = min{δ1, δ2} e seja x ∈]a− δ, a+ δ[\{a}.
Então
0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− l1| < |l1 − l2|/2 e |f(x)− l2| < |l1 − l2|/2
⇒ |(l1 − f(x)) + (f(x)− l2)| ≤ |l1 − f(x)|+ |f(x)− l2| < |l1 − l2|/2 + |l1 − l2|/2 = |l1 − l2|
⇒ |l1 − l2| < |l1 − l2|
o que é impossível. Conclui-se que l1 = l2. �
Notação: Se l é (o único) limite de f quando x tende para a, escreve-se lim
x→a f(x) = l; se l é (o único) limite à esquerda
de f quando x tende para a, escreve-se lim
x→a−
f(x) = l; se l é (o único) limite à direita de f quando x tende para a,
escreve-se lim
x→a+
f(x) = l.
Proposição 3.1.4 1. Seja a um ponto de acumulação bilateral de A. Então lim
x→a f(x) = l sse limx→a+ f(x) = l e
lim
x→a−
f(x) = l.
2. Seja a um ponto de acumulação à esquerda mas não à direita (resp. à direita mas não à esquerda) de A. Então
lim
x→a f(x) = l sse limx→a+ f(x) = l (resp. sse limx→a− f(x) = l).
Demonstração:
1. Para um ponto de acumulação bilateral a de A, é trivial que se l é limite de f quando x tende para a então l é
limite à direita de f quando x tende para a e l é limite à esquerda de f quando x tende para a.
Suponhamos que lim
x→a+
f(x) = l e lim
x→a−
f(x) = l e seja � > 0. Sejam δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
a < x < a+ δ1 ⇒ |f(x)− l| < � e a− δ2 < x < a⇒ |f(x)− l| < �.
Se δ = min{δ1, δ2}, então
0 < |x− a| < δ ⇒ a < x < a+ δ ou a− δ < x < a
⇒ a < x < a+ δ1 ou a− δ2 < x < a
⇒ |f(x)− l| < �
Logo ∀� > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− l| < �.
2. demonstração trivial �
Proposição 3.1.5 Existe l ∈ R tal que lim
x→a f(x) = l sse a é ponto de acumulação de A e ∀� > 0 ∃δ > 0 ∀x, x
′ ∈
]a− δ, a+ δ[\{a} : |f(x)− f(x′)| < �.
Demonstração: Suponhamos que l = lim
x→a f(x) e seja � > 0; existe então δ > 0 tal que 0 < |x−a| < δ ⇒ |f(x)−l| < �/2.
Sejam x, x′ ∈]a−δ, a+δ[\{a}; então tem-se 0 < |x−a| < δ e 0 < |x′−a| < δ, portanto |f(x)−l| < �/2 e f(x′)−l| < �/2,
de onde
|f(x)− f(x′)| = |f(x)− l + l − f(x′)| ≤ |f(x)− l|+ |l − f(x′)| < �/2 + �/2 = �.
Suponhamos agora que ∀� > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈]a− δn, a+ δn[\{a} : |f(x)−f(x′)| < �. Para cada n ∈ N, seja δn > 0
tal que ∀x, x′ ∈]a−δ, a+δ[\{a} : |f(x)−f(x′)| < 1/n e tal que δn < δn−1 se n > 1. Seja xn um ponto do domínio de f
tal que |xn−a| < δn. Então, para x ∈]a− δn, a+ δn[\{a} tem-se |f(x)−f(xn)| < 1/n, portanto f(]a− δn, a+ δn[\{a})
está contido no intervalo [f(xn)− 1/n, f(xn) + 1/n], que tem comprimento 2/n. Daqui podemos concluir a existência
de uma sucessão decrescente de intervalos fechados In, tal que
3.1. LIMITES 29
1. ∀n ∈ N comprimento de In ≤ 2/n;
2. ∀n ∈ N : f(]a− δn, a+ δn[\{a}) ⊂ In.
Basta pôr I1 = [f(x1)− 1, f(x1) + 1] e In+1 = In ∩ [f(xn+1)− 1n+1 , f(xn+1) + 1n+1 ] para n ≥ 1.
Pelo teorema do encaixe de intervalos, existe l ∈ ⋂n∈N In; tem-se mesmo ⋂n∈N In = {l}, visto que o comprimento
de In tende para 0. Vejamos que l é limite de f quando x tende para a. Para todo o � > 0 sejam n ∈ N tal que
n > 3/�, δ = δn e an 6= a tal que |an − a| < δ e an pertence ao domínio de f ; se 0 < |x− a| < δ então
|f(x)− l| ≤ |f(x)− f(an)|+ |f(an)− l| < 1/n+ |f(an)− l|.
Ora f(an) e l pertencem a In, logo |f(xn) − l| ≤ 2/n, portanto |f(x) − l| < 1/n + 2/n = 3/n < �. Conclui-se que
lim
x→a f(x) = l. �
Exemplos:
1. f : R −→ R
x 7→ 3x+ 1
lim
x→5
f(x)=16
Demonstração: Seja � > 0. Queremos mostrar que existe δ > 0 tal que 0 < |x− 5| < δ ⇒ |f(x)− 16| < �. Mas
|f(x) − 16| = |3x + 1 − 16| = |3x − 15| = 3|x − 5|. Então |x − 5| < �/3 ⇒ |f(x) − 16| < �, isto é, basta tomar
δ = �/3. �
2. f : R −→ R
x 7→
{
x se x ≤ 0
2x+ 2 se x > 0
Não existe lim
x→0
f(x); lim
x→0+
f(x)=2; lim
x→0−
f(x)=0
Demonstração: Para x > 0 tem-se f(x) > 2 e para x < 0, f(x) < 0. Então, se δ > 0 tem-se f(δ/2) > 2 e
f(−δ/2) < 0, logo f(δ/2) − f(−δ/2) > 2. Conclui-se que se � = 1 então ∀δ > 0 ∃x = δ/2, x′ = −δ/2 : 0 <
|x|, |x′| < δ e |f(x)− f(x′)| > �. Logo não existe lim
x→0
f(x).
Para x > 0, tem-se f(x) − 2 = 2x + 2 − 2 = 2x. Logo se 0 < x < δ, então |f(x) − 2| < 2δ. Conclui-se que
∀� > 0 ∃δ > 0 : 0 < x < δ ⇒ |f(x)− 2| < � (para cada � > 0 basta tomar δ = �/2). Logo lim
x→0+
f(x)=2.
Para x < 0 tem-se f(x) = x. Logo se −δ < x < 0 então |f(x)| = |x| < δ. Conclui-se que ∀� > 0 ∃δ > 0 : −δ <
x < 0⇒ |f(x)| < � (para cada � > 0 basta tomar δ = �). Logo lim
x→0−
f(x)=0. �
3. f : R −→ R
x 7→ x2
; a ∈ R
lim
x→a f(x)=a
2
Demonstração: Suponhamos a ≤ 0 (a demonstração para a > 0 é análoga). Seja � > 0. Queremos mostrar que
existe δ > 0, tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ |x2 − a2| < �. Ora |x2 − a2| = |x − a||x + a|. Se |x − a| < 1 então
−1 < x − a < 1, de onde 2a − 1 < x + a < 2a + 1, e, portanto, |x + a| < max{|2a − 1|, |2a + 1|}, que é 1 − 2a
porque a < 0; logo |x+ a| < 1− 2a. Então, se δ = min{1, �1−2a} tem-se, para todo o x tal que |x− a| < δ,
|x2 − a2| = |x− a||x+ a|
< |x− a|(1− 2a) (porque |x− a| < 1)
<
�
1− 2a (1− 2a) (porque |x− a| <
�
1−2a ).
= �
�
4. f : R \ {0} −→ R
x 7→ cos(1/x)
Não existe lim
x→0+
f(x) nem lim
x→0−
f(x).
Demonstração: Para qualquer inteiro k 6= 0 tem-se f( 12kpi ) = 1 e f( 12kpi ) = −1, isto é, arbitrariamente próximo
de 0 dos dois lados temos pontos cuja imagem é 1 e pontos cuja imagem é −1. Mais precisamente, sejam � = 1,
δ > 0. e k um número inteiro positivo tal que 2kpi > 2/δ (então tambem 2kpi + pi > 2/δ); para x1 = 12kpi e
30 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
x2 = 12kpi , tem-se |x1 − x2| ≤ |x1| + |x2| < δ e |f(x1) − f(x2)| = 1 − (−1) = 2 > �. Então existe � > 0 tal que
para todo o δ > 0 existem x1 = 12kpi e x2 =
1
2kpi+pi maiores do que 0 tais que |x1 − x2| < δ e |f(x1)− f(x2)| > �.
Conclui-se da proposição anterior que não existe lim
x→0+
f(x). De maneira análoga se conclui que não existe
lim
x→0−
f(x). �
5. f : R \ {0, 1} −→ R
x 7→ x2x−1 sen 1x
lim
x→0
f(x)=0
Demonstração: Para x tal que 0 < |x| < 1/2 tem-se |x− 1| > 1/2, portanto |x2/(x− 1)| < 2|x2|. Por outro lado,
para qualquer x 6= 0 tem-se | sen(1/x)| ≤ 1.
Seja agora � > 0. Ponhamos δ = min{1/2, �/2} e seja x tal que 0 < |x| < δ; por se ter δ ≤ 1/2, deduz-se
que 0 < |x| < 1/2, portanto |f(x)| = |x2/(x − 1)|| sen(1/x)| < 2|x|2 ≤ 2|x|;e por se ter δ ≤ �/2 deduz-se que
|x| < �/2. Conclui-se pois que se 0 < |x| < δ então |f(x)| < �. �
6. f : R \ {2} −→ R
x 7→ 1x−2
lim
x→3/2
f(x)=-2
Demonstração: f(x)− (−2) = 1x−2 + 2 = 2x−3x−2 = 2(x−3/2)x−2
Se |x− 3/2| < 1/4, então |x− 2| > 1/4, portanto 2(x−3/2)x−2 < 8|x− 3/2|. Para cada � > 0, seja δ = min{1/4, �/8}
e consideremos x tal que |x− 3/2| < δ. Por se ter δ ≤ 1/4, conclui-se que |f(x)− (−2)| < 8|x− 3/2|; por se ter
δ ≤ �/8 conclui-se que 8|x− 3/2| < �. Então, para x tal que 0 < |x− 3/2| < δ, tem-se |f(x)− (−2)| < �. �
Sejam f : A −→ B, l ∈ R, a ∈ R.
Definição 3.1.6 1. Diz-se que lim
x→+∞ f(x) = l sse A não é majorado e ∀� > 0 ∃R ∈ R : x > R⇒ |f(x)− l| < �.
2. Diz-se que lim
x→−∞ f(x) = l sse A não é minorado e ∀� > 0 ∃R ∈ R : x < R⇒ |f(x)− l| < �.
3. Diz-se que lim
x→a f(x) = +∞ sse a é ponto de acumulação de A e ∀R ∈ R ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) > R.
4. Diz-se que lim
x→+∞ f(x) = +∞ sse A não é majorado e ∀M ∈ R ∃R ∈ R : x > R⇒ f(x) > M .
Observações:
1. Define-se de maneira semelhante: lim
x→a f(x) = −∞, limx→a+ f(x) = +∞, limx→a− f(x) = +∞, limx→a+ f(x) = −∞,
lim
x→a−
f(x) = −∞, lim
x→+∞ f(x) = −∞, limx→−∞ f(x) = +∞, limx→−∞ f(x) = −∞.
2. As notações utilizadas nas definições anteriores pressupõem a prévia demonstração da unicidade do limite em
cada caso, demonstração essa que não será aqui feita por ser semelhante à demonstração da unicidade do limite
de f(x) quando x tende para a ∈ R.
Exemplos:
1. lim
x→+∞
3x+ cosx
x
= 3
Demonstração: Para x > 0 tem-se | 3x+cos xx − 3| = | cos xx | ≤ | 1x | = 1x . Para cada � > 0 seja R = 1/�; para x > R
tem-se 1x < �, portanto | 3x+cos xx − 3| < �. �
2. lim
x→−∞
x2 + 5
3x2 − 2x =
1
3
Demonstração: Tem-se ∣∣∣∣x2 + 53x2 − 2x − 13
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 3x2 + 153(3x2 − 2x) − 3x2 − 2x3(3x2 − 2x)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2x+ 159x2 − 6x
∣∣∣∣ .
Para x < 0 tem-se ∣∣∣∣ 2x+ 159x2 − 6x
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 + 15/x9x− 6
∣∣∣∣ ≤ 2|9x− 6| +
∣∣∣∣ 15/x9x− 6
∣∣∣∣ ;
3.1. LIMITES 31
ora |9x− 6| = 6− 9x, 16−9x < 16 , e 16−9x < − 19x , portanto
2
|9x− 6| +
∣∣∣∣ 15/x9x− 6
∣∣∣∣ = 26− 9x + |15/x|6− 9x < − 29x − 156x.
Então, se − 29x < �/2 e − 156x < �/2, tem-se
∣∣∣ x2+53x2−2x − 13 ∣∣∣ < �. Mas x < − 49� ⇒ − 29x < �/2 e x < − 5� ⇒ − 156x < �/2.
Conclui-se que, para cada � > 0, existe R ∈ R (R = min{− 49� ,− 5� }) tal que x < R⇒
∣∣∣ x2+53x2−2x − 13 ∣∣∣ < �. �
3. lim
x→1−
1
x2 − 1 = −∞
Demonstração: Para x tal que 0 < x < 1, tem-se 1 < x+ 1 < 2, portanto 12 <
1
x+1 < 1, de onde
1
x2−1 <
1
2(x−1) .
Seja R ∈ R; se R ≥ 0, pondo δ = 1, tem-se −δ < x− 1 < 0⇒ 1/2(x− 1) < 0 ≤ R, portanto 1/(x2 − 1) < R.
Se R<0, pondo δ = min{1,−1/(2R)}, tem-se
−δ < x− 1 < 0 ⇒ 1
x2 − 1 <
1
2(x− 1) (porque 0 < x < 1)
⇒ 12(x− 1) < −
1
2δ (porque −δ < x− 1 < 0)
⇒ 12(x− 1) < R (porque δ < −
1
2R ⇒ − 12δ < R)
�
4. f : R −→ R
x 7→ x cosx
Não existe lim
x→+∞ f(x)
Demonstração: Suponhamos que lim
x→+∞ f(x) = l ∈ R. Então existe R ∈ R tal que x > R⇒ |f(x)− l| < 1. Seja
k ∈ Z tal que 2kpi > |l|+ 1 e 2kpi > R. Então, para x = 2kpi, tem-se f(x) = 2kpi > |l|+ 1, portanto |2kpi− l| > 1,
o que é absurdo.
Por outro lado, se lim
x→+∞ f(x) = +∞, então existe R ∈ R tal que x > R ⇒ f(x) > 1, mas se k ∈ Z é tal que
kpi + pi/2 > R, então para x = kpi + pi/2 tem-se x > R e f(x) = 0.
Analogamente se mostra que não se tem lim
x→+∞ f(x) = −∞. �
5. lim
x→+∞x
n = +∞, para todo o n ∈ N.
Demonstração: Para cada M ∈ R, seja R = max{1,M}. Então
x > R ⇒ xn ≥ x (porque x > 1)
⇒ x > M (porque R ≥M)
⇒ xn > M
�
6. lim
x→−∞x
n =
{
+∞ se n par
−∞ se n ímpar
Demonstração: Se n é par, então
x < −1 ⇒ −x > 1
⇒ (−x)n ≥ −x
⇒ xn ≥ −x
Para cada M ∈ R seja R = min{−1,−M}. Então
x < R ⇒ x < −1
⇒ xn ≥ −x
⇒ xn > M
32 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
Se n é ímpar, então
x < −1 ⇒ −x > 1
⇒ (−x)n ≥ −x
⇒ −xn ≥ −x
⇒ xn ≤ x
Para cada M ∈ R seja R = min{−1,M}. Então
x < R ⇒ x < −1
⇒ xn ≤ x
⇒ xn < M
�
Proposição 3.1.7 Seja a ∈ R ∪ {−∞,+∞}, c, l1, l2 ∈ R.
1. lim
x→a c = c
2. lim
x→ax = a
3. Se lim
x→a f(x) = l1 e limx→a g(x) = l2, então limx→a(f + g)(x) = l1 + l2.
4. Se lim
x→a f(x) = l1 e limx→a g(x) = l2, então limx→a(f.g)(x) = l1l2.
5. Se lim
x→a f(x) = l1 6= 0 então limx→a 1/f(x) = 1/l1.
Demonstração: A demonstração só será feita no caso de a ∈ R; nos outros casos o raciocínio é análogo.
1. Seja � > 0; para qualquer δ > 0, em particular, por exemplo para δ = 1, tem-se 0 < |x− a| < δ ⇒ |c− c| < �.
2. Seja � > 0; se tomarmos δ = �, então 0 < |x− a| < δ ⇒ |x− a| < �.
3. Seja � > 0; sejam δ1, δ2 > 0 tais que
0 < |x− a| < δ1 ⇒ |f(x)− l1| < �/2 e 0 < |x− a| < δ2 ⇒ |g(x)− l2| < �/2.
Se tomarmos δ = min{δ1, δ2}, tem-se 0 < |x − a| < δ ⇒ |(f + g)(x) − (l1 + l2)| = |f(x) − l1 + g(x) − l2| ≤
|f(x)− l1|+ |g(x)− l2| < �/2 + �/2 = �.
4. Seja � > 0; tem-se
|(fg)(x)− l1l2| = |f(x)g(x)− l1l2| = |f(x)g(x)− l1g(x) + l1g(x)− l1l2| ≤ |g(x)||f(x)− l1|+ |l1||g(x)− l2|.
Se |g(x)||f(x)− l1| < �/2 e |l1||g(x)− l2| < �/2, então |(fg)(x)− l1l2| < �. Mas |l1||g(x)− l2| ≤ max{1, |l1|}|g(x)−
l2|, portanto
|g(x)− l2| < �2 max{1, |l1|} ⇒ |l1||g(x)− l2| <
�|l1|
2 max{1, |l1|} < �/2.
Por outro lado, |g(x)−l2| < 1⇒ l2−1 < g(x) < l2+1⇒ |g(x)| < |l2|+1. Se |g(x)−l2| < 1 e |f(x)−l1| < �2(|l2|+1) ,
então |g(x)||f(x)− l1| < (|l2|+ 1) �2(|l2|+1) = �/2. Ora existem δ1, δ2, δ′2 tais que 0 < |x− a| < δ1 ⇒ |f(x)− l1| <
�
2(|l2|1+) , 0 < |x− a| < δ2 ⇒ |g(x)− l2| < �2(max{1,|l1|}) , 0 < |x− a| < δ′2 ⇒ |g(x)− l2| < 1. Se δ = min{δ1, δ2, δ′2},
então 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)g(x)− l1l2| < �2 + �2 = �.
5. Se f(x) 6= 0 então
∣∣∣ 1f(x) − 1l1 ∣∣∣ = |f(x)−l1||f(x)||l1| . Mas, se |f(x)| > |l1|/2 então 1|f(x)||l1| < 2|l1|2 . Como l1 6= 0, existe
δ1 > 0 tal que 0 < |x − a| < δ1 ⇒ |f(x) − l1| < |l1|/2; então 0 < |x − a| < δ1 ⇒ l1 − |l1|/2 < f(x) <
l1 + |l1|/2 ⇒ |f(x)| > |l1|/2 (o que implica, em particular, f(x) 6= 0). Seja agora � > 0; do que vimos resulta
que, para x tal que 0 < |x− a| < δ1, se tem
∣∣∣ 1f(x) − 1l1 ∣∣∣ < 2|f(x)−l1||l1|2 . Mas, por outro lado, existe δ2 > 0 tal que
0 < |x− a| < δ2 ⇒ |f(x)− l1| < �|l1|2 = �|l1|2/2. Para δ = min{δ1, δ2}, tem-se então
0 < |x− a| < δ ⇒
∣∣∣∣ 1f(x) − 1l1
∣∣∣∣ < 2�|l1|22|l1|2 = �.
3.1. LIMITES 33
Observação: Os n.os 3,4,5 da proposição anterior são válidos quando l1 ou l2 são infinitos, se convencionarmos as
seguintes regras: se l ∈ R então l+(+∞)=(+∞)+ l = +∞, l/(+∞) = l/(−∞) = 0, l+(−∞)=(−∞)+ l = −∞; se l ∈
R \ {0}, l.(+∞) = (+∞).l = (sinal de l)∞, l.(−∞) = (−∞).l = (sinal contrário ao de l)∞, (+∞)/l = (sinal de l)∞,
(−∞).l = (sinal contrário ao de l)∞, (+∞).(+∞) = (−∞).(−∞) = +∞, (+∞).(−∞) = (−∞).(+∞) = −∞, (+∞)+
(+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞.
Exemplos:
1. lim
x→1
x2 + 3x
x3 − 5x2 = −1
2. lim
x→+∞
x2 + 1
x+ 1 = +∞
Neste caso, lim
x→+∞x
2 + 1 = +∞ e lim
x→+∞x+ 1 = +∞, portanto não se pode concluir nada sobre o limite do
quociente directamente a partir da proposição anterior. Mas, para x 6= 0, x2+1x+1 =
x+ 1x
1+ 1x
. Ora lim
x→+∞x+
1
x
=
lim
x→+∞x+ limx→+∞
1
x
= +∞+ 1lim
x→+∞x
= +∞+ 1+∞ = +∞+0 = +∞. Analogamente se conclui que limx→+∞ 1 +
1
x
=
1. Então lim
x→+∞
x2 + 1
x+ 1 = limx→+∞
x+ 1x
1 + 1x
= +∞1 = +∞.
3. lim
x→+∞
x+ 1
x2 + 1=0
Com efeito, para x 6= −1, x+ 1
x2 + 1 =
1
x2+1
x+1
e lim
x→+∞
x2 + 1
x+ 1 = +∞.
4. lim
x→3
x2 − 9
(x− 3)3 = +∞
Para x 6= 3, tem-se x2−9(x−3)3 = x+3(x−3)2 . Ora limx→3x+ 3 = 6 e limx→3(x− 3)
2 = 0, portanto lim
x→3
x2 − 9
(x− 3)3 = +∞.
5. lim
x→3
(x2 − 9)3
(x− 3)2 = 0
Para x 6= 3, tem-se (x2−9)3(x−3)2 = (x− 3)(x+ 3)3, de onde limx→3
(x2 − 9)3
(x− 3)2 = 0.6
3 = 0.
6. lim
x→3
x2 − 9
(x− 3)(x+ 1) = 3/2
Com efeito, para x 6= 3 tem-se x2−9(x−3)(x+1) = x+3x+1 , portanto limx→3
x2 − 9
(x− 3)(x+ 1) = 6/4 = 3/2.
7. lim
x→0
(
1
x2
− 1
x4
)
= −∞
Tem-se lim
x→0
1
x2
= +∞ e lim
x→0
1
x4
= +∞, portanto não se pode concluir nada sobre o limite da diferença direc-
tamente a partir da proposição anterior. Mas 1x2 − 1x4 = x
2−1
x4 , limx→0(x
2 − 1) = −1 e lim
x→0
1
x4
= +∞, portanto
lim
x→0
(
1
x2
− 1
x4
)
= lim
x→0
x2 − 1
x4
= (−1).(+∞) = −∞.
8. lim
x→0+
(
1 + x2
x
− 1
x(x+ 1)
)
= 1
lim
x→0+
1 + x2
x
= +∞ e lim
x→0+
1
x(x+ 1) = +∞; não se pode concluir nada sobre o limite da diferença directamente
a partir da proposição anterior. Mas, para x 6= 0,(
1 + x2
x
− 1
x(x+ 1)
)
= (1 + x
2)(x+ 1)− 1
x(x+ 1) =
x3 + x2 + x
x(x+ 1) =
x2 + x+ 1
x+ 1 ,
e lim
x→0+
x2 + x+ 1
x+ 1 = 1.
34 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
9. lim
x→+∞
sen x
x
=0
Tem-se
∣∣ sen x
x
∣∣ ≤ ∣∣ 1x ∣∣. Para cada � > 0 seja R = 1/�. Então x > R⇒ 1x < �.
Observação: Neste caso não existe limite do numerador mas existe limite do quociente.
Proposição 3.1.8 Sejam f : A −→ B e a um ponto de acumulação de A.
1. Seja α > 0. Então lim
x→a f(x) = l sse limx→a f|A∩]a−α,a+α[(x) = l.
2. Seja A1 ⊂ A tal que a é ponto de acumulação de A1. Se lim
x→a f(x) = l então limx→a f|A1(x) = l (o recíproco não é
verdadeiro).
3. Se lim
x→a f(x) = l e existe α > 0 tal que ∀x ∈]a − α, a + α[\{a} : f(x) ≥ 0 (resp. f(x) ≤ 0) então l ≥ 0 (resp.
l ≤ 0).
Demonstração:
1. consequência imediata da definição.
2. consequência imediata da definição.
3. Suponhamos que l < 0; então existia δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− l| < −l
⇒ f(x) < 0.
Mas 0 < |x− a| < α⇒ f(x) ≥ 0, portanto se β = min{α, δ}, então 0 < |x− a| < β ⇒ (f(x) ≥ 0 e f(x) < 0), o
que é absurdo. �
Proposição 3.1.9 Se f , g e h são funçõesde A em B tais que para todo o x ∈ A \ {a}, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), se fe g
têm limite em a e lim
x→a f(x)= limx→ah(x), então existe limx→a g(x) e limx→a g(x)= limx→a f(x).
Demonstração: Seja l = lim
x→a f(x) = limx→ah(x) e seja � > 0; Existem δ1, δ2 > 0 tais que 0 < |x−a| < δ1 ⇒ |f(x)− l| < �
e 0 < |x − a| < δ2 ⇒ |h(x) − l| < �. Então, para x tal que 0 < |x − a| < min{δ1, δ2}, tem-se l − � < f(x) < l + � e
l − � < h(x) < l + �, de onde l − � < g(x) < l + � (porque f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)), portanto |g(x)− l| < �. �
Exemplos:
1. f : R \ {0} −→ R
x 7→ |x|
Neste caso tem-se ∀x ∈ R \ {0} : f(x) > 0. No entanto não se tem lim
x→0
f(x) > 0
2. f : R −→ R
x 7→
{
1 se x ∈ Q
0 se x 6∈ Q
Tem-se lim
x→√2
f|R\Q(x) = 0, mas não existe lim
x→√2
f(x).
Proposição 3.1.10 1. Se f : A −→ R é monótona e a é um ponto de acumulação à esquerda de A (resp. ponto de
acumulação à direita de A), então existe lim
x→a−
f(x) (resp. lim
x→a+
f(x)).
2. Se f : A −→ R é monótona e A não é majorado (resp. minorado) então existe lim
x→+∞ f(x) (resp. limx→−∞ f(x)).
Demonstração:
1. Seja f : A −→ R crescente e suponhamos primeiro que f|A∩]−∞,a[ não é majorada. Seja R ∈ R; existe x0 ∈
A∩]−∞, a[ tal que f(x0) > R. Como f é crescente, x > x0 ⇒ f(x) ≥ f(x0) > R, ou seja, fazendo δ = a− x0,
0 < a− x < δ ⇒ x > x0
⇒ f(x) > R
3.2. CONTINUIDADE 35
logo lim
x→a−
f(x) = +∞.
Suponhamos agora que fA∩]−∞,a[ é majorada e seja s o seu supremo. Seja � > 0; existe x0 ∈ A∩] −∞, a[ tal
que f(x0) > s − �; como f é crescente, x > x0 ⇒ f(x) ≥ f(x0) > s − �. Então, fazendo δ = a − x0, tem-se
0 < a− x < δ ⇒ f(x) > s− �; como f(x) ≤ s, conclui-se que lim
x→a−
f(x) = s.
A demonstração da existência de limite à direita é semelhante.
2. análoga à anterior. �
3.2 Continuidade
Seja f : A −→ B.
Definição 3.2.1 1. Diz-se que f é contínua em a ∈ A sse a não é ponto de acumulação de A ou lim
x→a f(x) = f(a),
isto é, sse
∀� > 0 ∃δ > 0 : |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < �
2. Diz-se que f é contínua sse f for contínua em todos os pontos de A.
Proposição 3.2.2 Se f e g são duas funções de domínio A, ambas contínuas em a então f + g e f.g são contínuas
em a; se, para alem disso, g(a) 6= 0, então f/g é contínua em a.
Demonstração: consequência imediata da proposição 3.1.7 �
Proposição 3.2.3 Se f é contínua em a e f(a) > 0 (resp. f(a) < 0), então existe δ > 0 tal que ∀x ∈]a − δ, a + δ[:
f(x) > 0 (resp. f(x) < 0).
Demonstração: Suponhamos f(a) > 0. Existe δ > 0 tal que |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < f(a). Mas |f(x)− f(a)| <
f(a)⇒ 0 < f(x) < 2f(a), portanto |x− a| < δ ⇒ f(x) > 0. �
Proposição 3.2.4 Se f : A −→ B é contínua em a e a ∈ A1 ⊂ A, então f|A1 é contínua em a.
Demonstração: Consequência da proposição 3.1.8. �
Proposição 3.2.5 Se f , g e h são funções de A em B tais que para todo o x se tem f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), e se a ∈ A
é tal que f(a) = h(a) e f e h são contínuas em a, então g é contínua em a.
Demonstração: consequência da proposição 3.1.9 �
Exemplo: f : R −→ R
x 7→
{ −1 se x 6= 1
1 se x = 1
Tem-se f(1) > 0, mas qualquer que seja δ > 0 existe x ∈]1− δ, 1 + δ[ (por exemplo x = 1 + δ/2) tal que f(x) < 0
(f não é contínua em 1).
Proposição 3.2.6 Se f : A −→ B é contínua em a e g : B −→ C é contínua em f(a) então g ◦ f é contínua em a.
Demonstração: Seja � > 0; por g ser contínua em f(a), existe δ1 > 0 tal que |y − f(a)| < δ1 ⇒ |g(y) − g(f(a))| < �.
Por f ser contínua em a, para aquele δ1 > 0 existe δ > 0 tal que |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < δ1. Mas então
|x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < δ1 ⇒ |g(f(x))− g(f(a))| < �
Portanto ∀� > 0 ∃δ > 0 : |x− a| < δ ⇒ |(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(a)| < �. �
Proposição 3.2.7 Se f é contínua em a então existe algum intervalo aberto I contendo a tal que f|I∩A é limitada.
Demonstração: Existe δ > 0 tal que |x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < 1. Então, se x ∈ I =]a − δ, a + δ[ tem-se
f(a)− 1 < f(x) < 1 + f(a), portanto f|I∩A é majorada (por 1 + f(a)) e minorada (por f(a)− 1), logo é limitada. �
Teorema 3.2.8 Se f : [a, b] −→ B é contínua, então f é limitada e f tem máximo e mínimo.
36 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
Demonstração: Seja L = {x ∈ [a, b]; f|[a,x]é limitada}. O conjunto L é não vazio, visto que a ∈ L; é limitado, visto
que L ⊂ [a, b]; portanto tem supremo, que designaremos pos s. Suponhamos que s < b. Como f é contínua em s,
existe δ > 0 tal que f é limitada em ]s− δ, s+ δ[. Mas por s ser o supremo de L, existe s0 ∈]s− δ, s] tal que f[a,s0] é
limitada. Então f é limitada em [a, s0] e em ]s− δ, s+ δ[, portanto f é limitada em [a, s0]∪]s− δ, s+ δ[= [a, s+ δ[, que
implica, por exemplo, s + δ/2 ∈ L, e isto contradiz a hipótese de s ser majorante de L. Conclui-se assim que s = b.
Resta ver que b ∈ L. Por f ser contínua em b, existe δ > 0 tal que f é limitada em ]b− δ, b]. Por b ser o supremo de
L, existe s0 ∈]b− δ, b] tal que s0 ∈ L, isto é, tal que f[a,s0] é limitada. Então f é limitada em [a, s0]∪]b− δ, b], isto é f
é limitada em [a, b].
Vejamos agora que f tem um máximo. Seja s = sup f (sabemos que existe, pois já vimos que f é limitada). Se
s não pertencesse ao contradomínio de f , isto é, se ∀x ∈ [a, b] : f(x) < s, então a função g: [a, b] −→ R
x 7→ 1s−f(x)
seria uma função contínua não limitada (∀M ∈ R+ ∃x ∈ [a, b] : f(x) > s − 1/M , mas f(x) > s − 1/M equivale a
1
s−f(x) > M); ora já vimos que uma função contínua num intervalo fechado (neste caso g) é limitada. Conclui-se que
existe x tal que f(x) = s, isto é, que f tem um máximo.
Analogamente se mostra que f tem um mínimo. �
Exemplos:
1. f : ]− pi/2, pi/2[ −→ R
x 7→ tg x
f não é limitada.
2. f : [−1, 1] −→ R
x 7→
{
1/x2 se x 6= 0
0 se x = 0
f não é limitada (f não é contínua em 0).
3. f : ]− 2, 2[ −→ R
x 7→ x
f é contínua e limitada mas não tem máximo nem mínimo.
4. f : [−2, 2] −→ R
x 7→
{
x se |x| 6= 2
1 se |x| = 2
f é limitada mas não tem máximo nem mínimo (f não é contínua em −2 nem em 2).
Teorema 3.2.9 Seja f : [a, b] −→ R contínua tal que f(a).f(b) < 0. Então existe x0 ∈]a, b[ tal que f(x0) = 0.
Demonstração: Suponhamos que não existe nenhum zero de f em [a, b]. Vamos construir uma sucessão de intervalos
In = [an, bn] com as seguintes propriedades:
1. ∀n ∈ N : In+1 ⊂ In
2. comprimento de In= b−a2n−1
3. f(an)f(bn) < 0 (isto é, f(an) e f(bn) têm sinais opostos).
Ponhamos I1 = [a, b]. Dado In = [an, bn], seja c = an+bn2 ; então, de f(an)f(bn) < 0 conclui-se que f(an)f(c) < 0
ou f(bn)f(c) < 0. Se f(an)f(c) < 0, seja In+1 = [an, c] = [an+1, bn+1]; se f(bn)f(c) < 0, seja In+1 = [c, bn+1] =
[an+1, bn+1]. Tem-se obviamente In+1 ⊂ In e f(an)f(bn) < 0. Por outro lado, para todo o n ∈ N tem-se (comprimento
de In+1)=(comprimento de In)/2, e o comprimento de [a, b] é b−a, portanto (comprimento de In)= b−a2n−1 . Pelo teorema
do encaixe de intervalos,conclui-se que existe x0 ∈ ∩n∈NIn. Suponhamos que f(x0) > 0; então existe δ > 0 tal que
x ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩[a, b] ⇒ f(x) > 0. Se n for tal que b−a2n−1 < δ, então x0 ∈ In e (comprimento de In)< δ. Então
an, bn ∈]x0 − δ, x0 + δ[; mas f(an)f(bn) < 0, o que contradiz x ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩[a, b] ⇒ f(x) > 0. Se se supuser
que f(x0) < 0, chega-se a uma contradição análoga. Conclui-se que f(x0) = 0, contrariamente à hipótese que fizemos
sobre f .
Logo existe x0 ∈]a, b[ tal que f(x0) = 0. �
Corolário 3.2.10 1. (Teorema dos valores intermédios) Se f : [a, b] −→ R é contínua e c ∈ R é tal que f(a) <
c < f(b) ou f(a) > c > f(b), então existe x0 ∈]a, b[ tal que f(x0) = c.
2. Se f, g : [a, b] −→ R são contínuas e tais que f(a) < g(a) e f(b) > g(b) (ou f(a) > g(a) e f(b) < g(b)), então
existe x0 ∈]a, b[ tal que f(x0) = g(x0).
3.2. CONTINUIDADE 37
Demonstração:
1. Seja h: [a, b] −→ R
x 7→ f(x)− c
. Trata-se de uma função contínua tal que h(a)h(b) < 0. Logo existe x0 ∈]a, b[
tal que h(x0) = 0; mas h(x0) = 0 equivale a f(x0) = c.
2. Seja h: [a, b] −→ R
x 7→ f(x)− g(x)
. Trata-se de uma