Campos e Ondas (4)

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Campos e Ondas 
Prof.: Manoel Gibson
I. Propagação de Ondas Planas 
 
1. Uma onda plana uniforme com amplitude 100e
j0
 V/m 
em z = 0 propaga-se na direção +z na frequência de 100 MHz 
em um meio homogêneo, isotrópico e dissipativo cujas 
constantes são: μr = 1, εr = 4 e σ = 22,22 mS. Determine: 
a) a constante de atenuação α, em dB/m; 
b) a constante de fase β, em rad/m; 
c) a constante de propagação γ; 
d) o comprimento de onda no meio, em metros; 
e) a velocidade de fase, em m/s; 
f) a impedância característica do meio, em ohms; 
g) a expressão do campo elétrico em função do tempo e da 
distância; 
h) a expressão do campo magnético em função do tempo e 
da distância; 
i) a profundidade de penetração em metros; 
j) a intensidade do campo elétrico, quando a onda 
penetrar 20 metros no material; 
k) a intensidade do campo magnético, quando a onda 
penetrar 20 metros no material; 
l) a densidade de potência da onda em z = 0; 
m) a densidade de potência da onda em z = 20 metros. 
 
2. Ao afastar-se de uma fonte isotrópica pontual, a onda 
eletromagnética vai tomando a forma de uma onda plana, 
ou seja, os pontos de mesma fase (superfície isofásica) estão 
contidos em um plano. Após uma determinada distância 
podemos considerar esta onda uma onda plana uniforme, na 
qual os campos elétricos e magnéticos estão em fase no 
tempo e são ortogonais no espaço. A direção da propagação 
da energia e as componentes elétricas e magnéticas são 
ortogonais entre si, caracterizando uma onda transversal 
eletromagnética, TEM. Considere agora a seguinte situação: 
uma onda plana uniforme desloca-se em um meio sem 
perdas (não-dissipativo, σ = 0) cuja constante dielétrica é 
igual a 5. A frequência de operação é de 1,8 GHz. A 
intensidade r.m.s. do campo magnético é de 2,5 mA/m na 
região considerada. Determine: 
a) a impedância característica do meio na região 
considerada; 
b) a relação entre o campo elétrico e o campo magnético 
em qualquer região do meio considerado; 
c) a interpretação física da impedância característica no 
meio; 
d) a velocidade de propagação relativa da onda 
eletromagnética neste meio; 
e) a interpretação física da velocidade de propagação 
relativa da onda eletromagnética neste meio 
f) o comprimento de onda neste meio; 
g) a interpretação física do comprimento de onda neste 
meio; 
h) o índice de refração do meio; 
i) a interpretação física do índice de refração no meio; 
j) o ângulo de afastamento da normal neste meio de uma 
onda oriunda do ar (N = 450) fazendo um ângulo de 25º com 
a normal à interface; 
k) o ângulo crítico (Brewster, retorno ou de reflexão total), 
considerando o ar (N = 450) e o meio considerado; 
l) a interpretação física do ângulo crítico; 
m) o valor médio do vetor de Poynting na região 
considerada; 
n) o valor médio da potência em uma área de 0,5 m
2
, 
normal à direção de propagação na região considerada; 
o) o valor médio da potência em uma área de 0,5 m
2
, 
fazendo um ângulo de 45º em relação à direção de 
propagação na região considerada; 
p) considerando-se que a intensidade de campo foi medida 
a 10 metros da fonte, determine a potência efetivamente 
irradiada em relação à isotrópica na direção considerada; 
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q) a densidade de potência a uma distância de 100 metros 
da fonte; 
r) o valor médio da potência em uma área de 0,5 m
2
, 
normal à direção de propagação a 100 metros da fonte; 
s) o valor médio da potência em uma área de 0,5 m
2
, 
fazendo um ângulo de 45º em relação à direção de 
propagação a 100 metros da fonte; 
t) a constante de fase do meio; 
u) a interpretação física da constante de fase; 
v) a variação de fase em um trecho de 47,5 cm; 
w) o tempo para um pulso nessa frequência deslocar-se 12 
km neste meio; 
x) a constante de atenuação do meio; 
y) a interpretação física da constante de atenuação; 
z) a atenuação sofrida pela onda eletromagnética ao 
propagar-se 150 metros no meio. 
 
3. Considere uma onda plana uniforme senoidal 
propagando-se em um dielétrico sem perdas no qual a 
permeabilidade relativa seja igual a 1 e a constante 
dielétrica seja igual a 4 na frequência de operação. Medidas 
indicam que a intensidade de pico do campo magnético na 
região considerada é de 0,5 mA/m. A frequência de 
operação é de 35 GHz. Determine: 
a) a impedância característica do meio; 
b) a velocidade de onda relativa do meio em porcentagem; 
c) o índice de refração do meio; 
d) a intensidade do campo elétrico na região de medida do 
campo magnético; 
e) o valor médio do vetor de Poynting; 
f) o valor médio da potência em uma área de 1,5 mm
2
 
normal à direção de propagação; 
g) a atenuação sofrida pela onda após 0,15 m de 
propagação no meio. 
h) a variação de fase após 0,15 m de propagação no meio; 
i) a distância no meio para a qual a diferença de fase é de 
0,2π rad. 
j) o comprimento de onda da frequência de operação no 
meio considerado. 
 
4. Uma onda plana uniforme com amplitude 5e
j20graus 
 
mV/m propaga-se no vácuo na direção +z em 5,4 GHz e 
incide perpendicularmente contra um meio dissipativo cujos 
parâmetros são: permeabilidade relativa igual a 1, constante 
dielétrica igual a 4 e condutividade igual a 22,2 mS. 
Determine: 
a) a constante de atenuação em dB/m no meio dissipativo; 
b) a constante de fase em rad/m no meio dissipativo; 
c) a constante de atenuação em dB/m no vácuo; 
d) a constante de fase em rad/m no vácuo; 
e) o comprimento de onda da onda no meio dissipativo, em 
centímetros; 
f) o comprimento de onda da onda no vácuo, em 
centímetros; 
g) a velocidade de fase no meio dissipativo em 
porcentagem; 
h) a velocidade de fase no vácuo em porcentagem; 
i) a impedância característica do meio dissipativo, em 
ohms; 
j) a impedância característica do vácuo, em ohms; 
k) o coeficiente de reflexão; 
l) a expressão do campo elétrico incidente em função do 
tempo; 
m) a expressão do campo elétrico refletido em função do 
tempo; 
n) a expressão do campo elétrico que se propaga no meio 
dissipativo; 
o) a expressão do campo magnético incidente em função 
do tempo; 
p) a expressão do campo magnético refletido em função do 
tempo; 
q) a expressão do campo magnético que se propaga no 
meio dissipativo; 
r) a profundidade de penetração, em milímetros; 
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s) a intensidade do campo elétrico após penetrar 30 cm no 
meio dissipativo; 
t) a variação de fase do campo elétrico ao penetrar 30 cm 
no meio dissipativo. 
 
5. Considere a seguinte situação: uma onda plana 
uniforme na frequência de 1,2 GHz propaga-se dentro de um 
reservatório com glicerina, cujo εr = 50. Medidas dentro do 
recipiente indicam que a intensidade rms do campo 
magnético é 2,5 mA/m. Determine: 
a) a impedância característica do meio; 
b) a velocidade relativa da onda no meio; 
c) o índice de refração do meio; 
d) o campo elétrico no meio; 
e) O valor médio do valor de Poynting; 
f) o valor médio da potência em uma área de 0,5 m
2
, 
normal à direção de propagação; 
g) a atenuação sofrida pela onda após 1 metro de 
propagação no meio, em dB. 
 
6. Ao deslocar-se em um meio dissipativo a onda 
eletromagnética transfere energia para este meio, o que 
resulta em uma atenuação por propagação. Considere o 
sinal oriundo de uma BTS operando na frequência de 1,8 
GHz incidindo em um solo com εr = 4 e σ = 22,2 mS. A onda 
incide normal ao material e nesse ponto sua amplitudeé 
dada por 100
ej0 
 mV/m. Determine: 
a) a constante de atenuação, em dB/m; 
b) a constante de fase, em rad/m; 
c) a constante de propagação; 
d) o comprimento de onda no meio, em metros; 
e) a velocidade de fase, em m/s; 
f) a impedância característica do meio, em ohms; 
g) a expressão do campo elétrico em função do tempo e da 
distância; 
h) a expressão do campo magnético em função do tempo e 
da distância; 
i) a profundidade de penetração, em metros; 
j) a intensidade do campo elétrico, quando a onda 
penetrar 20 metros no material. 
 
7. As placas paralelas de um capacitor têm áreas de 
10cm
2
 cada uma e estão separadas por uma distância de 1 
cm. O capacitor é preenchido com um material dielétrico 
com Ɛ = 4Ɛ0 e a tensão no capacitor é dada por v(t) = 
20cos(2π10
6
t) volts. Determine a corrente de deslocamento. 
[Ulaby] 
 
8. Um capacitor coaxial de comprimento l = 6 cm usa um 
material dielétrico com Ɛr = 9. Os raios dos condutores 
cilíndricos medem 0,5 cm e 1 cm. Se a tensão aplicada no 
capacitor for v(t) = 100cos(120πt), determine a corrente de 
deslocamento. [Ulaby] 
 
9. Uma onda eletromagnética que se propaga no oceano 
tem um campo elétrico variante no tempo dado por E = E0 
cos(ωt) âz V/m. Se a permissividade da água é 81Ɛ0 e a 
condutividade é igual a 4 S/m, determine a razão entre os 
módulos da densidade de corrente de condução e da 
densidade de corrente de deslocamento para cada uma das 
seguintes frequências: [Ulaby] 
a) 1 kHz; 
b) 1 MHz; 
c) 1 GHz; 
d) 100 GHz. 
 
10. Uma onda acústica que se desloca na direção x em um 
fluido (líquido ou gás) é caracterizada por uma pressão 
diferencial p(x,t). A unidade de pressão é o newton por 
metro quadrado (N/m
2
). Determine uma expressão para 
p(x,t) para uma onda senoidal que se desloca na água na 
direção positiva de x, dado que a frequência é 1 kHz, a 
velocidade do som na água é 1,5 km/s, a amplitude da onda 
é 10 N/m
2
 e p(x,t) apresenta seu valor máximo em t = 0 e x = 
0,25m. Considere a água como um meio sem perdas. [Ulaby] 
 
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11. Um feixe laser de luz que se propaga na atmosfera é 
caracterizado por uma intensidade de campo elétrico dado 
por E(x,t) = 150e
−0,03x
cos(3×10
15
t − 10
7
x) V/m. Onde x é a 
distância à partir da fonte. A atenuação se deve à absorção 
dos gases pela atmosfera. Determine: [Ulaby] 
a) a direção de deslocamento da onda; 
b) a constante de fase da onda; 
c) a velocidade de propagação da onda; 
d) a atenuação característica da atmosfera em dB/km; 
e) a profundidade pelicular; 
f) a amplitude da onda a 200 metros da fonte. 
 
12. O campo elétrico de uma onda eletromagnética é dado 
por: E(z,t) = 10cos(π107
t
 + πz/15 + π/6) V/m. Determine: 
a) a direção de propagação da onda; 
b) a frequência da onda; 
c) o comprimento de onda; 
d) a velocidade de fase; 
e) o valor de pico; 
f) o valor eficaz (r.m.s.). [Ulaby] 
 
13. Uma onda eletromagnética se propaga na direção z em 
um meio que apresenta perdas com uma constante de 
atenuação α = 0,5 Np/m. Se a amplitude do campo elétrico 
da onda é de 100 V/m em z = 0, qual a distância alcançada 
pela onda antes que sua amplitude seja reduzida para: 
[Ulaby] 
a)10 V/m; 
b) 1 V/m; 
c) 1 µV/m. 
 
14. O campo elétrico de uma onda plana em 1 MHz que se 
desloca na direção positiva de z no ar aponta na direção x. 
Obtenha as expressões para E(z,t) e H(z,t) Se o valor de pico 
de E for 1,2π mV/m e E for máximo em t = 0 e z = 50 m. Faça 
o gráfico de tais campos como uma função de z em t = 0. 
[Ulaby] 
 
15. Uma onda plana uniforme em 10 MHz se propaga em 
um meio não-magnético com µ = µ0 e Ɛr = 9. Determine: 
a) a velocidade de fase; 
b) o número de onda; 
c) o comprimento de onda; 
d) a impedância intrínseca do meio. [Ulaby] 
 
16. O fasor do campo elétrico de uma onda plana uniforme 
em 300 MHz que se propaga em um meio sem perdas com 
uma impedância intrínseca de 188,5 Ω é dado por Ê = 
10×e
−j4πy
 âz mV/m. Determine: [Ulaby] 
a) o fasor do campo magnético associado; 
b) a expressão instantânea para E(y,t), caso o meio seja não 
magnético. 
 
17. Se o fasor do campo magnético de uma onda plana que 
se propaga em um meio com impedância intrínseca Z = 100 
Ω é dado por H = (10ây + 20 âz) e
−j4x
 mA/m, determine o 
fasor do campo elétrico associado e a expressão do seu valor 
instantâneo. Considere uma frequência de 1,2 GHz. [Ulaby] 
 
18. Uma onda plana uniforme se propaga para baixo na 
direção positiva de z na água do mar, sendo que o plano x-y 
indica a superfície do mar e z = 0 um ponto imediatamente 
abaixo da superfície. Os parâmetros constitutivos da água do 
mar são: Ɛr = 80, µr = 1 e σ = 4 S/m. Se o campo magnético 
em z = 0 for dado por H(0,t) = 100 × cos(2π×10
3
t +15º) ây 
mA/, 
a) Obtenha as expressões para E(z,t) e H(z,t); 
b) Determine a profundidade na qual a amplitude de E é 1% 
de seu valor em z = 0. [Ulaby] 
 
19. Os parâmetros constitutivos do cobre são: µ = µ0, Ɛ = Ɛ0 
e σ = 5,8 × 10
7
 S/m. Considerando que esses parâmetros são 
independentes da frequência, ao longo de qual faixa de 
frequência do espectro eletromagnético o cobre é bom 
condutor? [Ulaby] 
 
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20. Ao longo de qual faixa de frequência pode o solo seco, 
com Ɛr = 1, µr = 1 e σ = 10
−4
 S/m, ser considerado um meio 
dielétrico de baixa perda? [Ulaby] 
 
21. Para uma onda que se propaga em um meio com 
profundidade pelicular igual a 1 mm, qual é a amplitude de E 
a uma distância de 3 mm, comparada com o valor inicial? 
[Ulaby] 
 
22. Um submarino a uma profundidade de 200 metros 
utiliza uma antena de fio para receber transmissões de sinais 
em 1 kHz. Determine a densidade de potência incidente no 
submarino devido ao campo magnético dado por H(0,t) = 
100 × cos(2π×10
3
t +15º) ây mA/. Os parâmetros constitutivos 
da água do mar são: Ɛr = 80, µr = 1 e σ = 4 S/m. [Ulaby] 
 
23. Um radar de aeronave que opera em 10 GHz utiliza 
uma antena de varredura de feixe estreito montada na parte 
frontal da aeronave, atrás de um radome dielétrico. 
Considere que a constante dielétrica do material do radome 
é igual a 9. Determine sua espessura para que o radome seja 
transparente ao sinal do radar. Devido a limitações 
mecânicas, a espessura do material é de pelo menos 1,2 cm. 
[Ulaby] 
 
24. Um feixe de luz amarela localizado no ar com 
comprimento de onda igual a 0,6 µm incide paralelamente à 
normal de uma superfície de vidro. Se a superfície está 
localizada no plano z = 0 e a permissividade relativa do vidro 
é 2,25, determine: [Ulaby] 
a) a velocidade de propagação da onda no vidro; 
b) as localizações dos pontos de máximo do campo elétrico 
no ar; 
c) a localização do ponto de máximo do campo elétrico 
mais próximo da interface; 
d) o coeficiente de reflexão; 
e) a taxa de onda estacionária; 
f) a fração da potência incidente transmitida para o vidro. 
 
25. Uma onda TEM polarizada em x, na frequência de 1 
GHz, se propaga no ar na direção positiva de z e incide em 
uma superfície metálica que coincide com o plano x−y em z = 
0. Se a amplitude do campo elétrico da onda incidente for 12 
mV/m e a superfície metálica for feita de cobre, com µr = 1, 
Ɛr = 1 e σ = 5,8 × 10
7
 S/m, obtenha as expressões para os 
campos instantâneos elétrico e magnético no ar. Considere a 
superfície metálica com uma grande profundidade pelicular 
(não ocorre reflexãomúltipla). 
 
 
 
Equações aplicáveis 
 
a) Velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas 
no vácuo: 
smc /1
00εµ
= 
Equação 1 
Onde: 
µ0: permeabilidade magnética do vácuo, 4×π×10
−7
 H/m; 
ε0: permissividade elétrica do vácuo, 8,854 ×10
−12
 F/m. 
 
b) Impedância característica do vácuo: 
ohmsohmsZ pi
ε
µ 120
0
0
0 == 
Equação 2 
 
c) Dielétricos sem perdas (α = 0 Np/m): 
mrad /εµωβ ××= 
Equação 3 
 
sm
c
v
rr
p /
εµβ
ω
×
== 
Equação 4 
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m
rr εµ
λ
β
piλ
×
==
02 
Equação 5 
 
ohmsZZ
r
c
ε
0
= 
Equação 6 
 
d) Dielétricos com perdas: 
mNp /1
'
"1
2
'
2/1
2








−





+×
×
=
ε
εεµ
ωα
 
Equação 7 
 
mrad /1
'
"1
2
'
2/1
2








+





+×
×
=
ε
εεµ
ωβ
 
Equação 8
 
 
ohmsjZc "' εε
µ
−
=
 
Equação 9
 
 
e) Condutores (geral): 
''
"
tan
εω
σ
ε
εθ
×
==
 
Equação 10
 
mNp /1
'
1
2
'
2/1
2








−





×
+×
×
=
εω
σεµ
ωα
 
Equação 11
 
mrad /11
2
'
2/1
2








+





×
+×
×
=
εω
σεµ
ωβ
 
Equação 12
 
f) Bons condutores (tan(θ) >> 1): 
σµpiβα ×××== f 
Equação 13 
 
ohmsjZc δσδσ ×+×=
11
 
Equação 14 
 
 
metrosf σµpiδ ×××= /1 
Equação 15 
 
 
λ = 2 × π × δ metros 
Equação 16 
 
 
vp = ω × δ m/s 
Equação 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II. Linhas de Transmissão 
 
O modelo geral de linha de transmissão é mostrado na figura 
a seguir. O modelo é válido apenas para cabos metálicos, 
incluídos par telefônico, cabo telefônico, par trançado e 
cabo coaxial e representa um comprimento elementar da 
linha. 
 
 
Figura 1: Linha de transmissão com perdas 
 
Onde: 
R: resistência por unidade de comprimento, Ω / m; 
L: indutância por unidade de comprimento, H / m; 
G: condutância por unidade de comprimento, S / m; 
C: capacitância por unidade de comprimento, F / m. 
 
A resistência R é o modelo para as perdas ôhmicas 
introduzidas pela linha de transmissão. Quanto maior o 
comprimento da linha maior será a perda ôhmica. 
 
A indutância L é o modelo para as perdas no campo 
magnético, já que a linha de transmissão é um condutor 
percorrido por corrente variável no tempo. Esta indutância 
leva a linha de transmissão a comportar-se como um filtro 
passa – baixa. Quanto maior o comprimento da linha maior 
será a indutância. 
 
A condutância G é o modelo para as perdas pelo dielétrico, 
caracterizadas pela polarização das moléculas do dielétrico e 
pela impedância finita entre os condutores da linha, devido 
ao isolamento entre elas. Quanto maior o comprimento da 
linha maior será a condutância. 
 
A capacitância C é o modelo para as perdas no campo 
elétrico, já que a linha de transmissão é basicamente dois 
condutores separados por um dielétrico. A capacitância leva 
a linha de transmissão a comportar-se como um filtro passa 
– baixa. Quanto maior o comprimento da linha maior será a 
capacitância. 
 
 
26. Uma determinada linha de transmissão apresenta uma 
resistência característica igual a 12,1 Ω / km. Determine a 
resistência de um segmento de 50 metros desta linha. 
 
 
A impedância característica de uma linha de transmissão 
relaciona a tensão e a corrente em um ponto qualquer da 
linha e pode ser calculada a partir de seus parâmetros 
concentrados por: 
 
CjG
LjR
i
v
Z
tl
tl
ohms ω
ω
+
+
==
,
,
,0 
Equação 18: Impedância característica 
 
Para freqüência de operação muito elevadas (microondas), 
ou quando os termos R e G podem ser desprezados tem-se a 
impedância característica de uma linha de transmissão é 
dada por: 
 
C
LZ ohmsC =, 
Equação 19: Impedância característica - aproximação 
Onde: 
L: indutância característica da linha de transmissão, H/m; 
C: capacitância característica da linha de transmissão, F/m. 
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27. Para uma determinada linha de transmissão os 
parâmetros característicos são: 
R: 1,2 Ω / 100 m; G: 22 mS / 100m; L: 3,0 μH / 100m; 
C: 1200 pF / 100 m. 
Determine a impedância característica nas freqüências de: 
a) 100 kHz; 
b) 1 MHz; 
c) 10 MHz; 
d) 20 MHz. 
 
Os resultados acima comprovam a tendência da linha para 
uma impedância característica de aproximadamente 50 
ohms, para freqüência mais elevadas. A questão é 
determinar-se o comportamento de atenuação desta linha 
em freqüência mais elevadas, o que veremos a seguir. 
 
O parâmetro de transmissão característico de atenuação e 
retardo de uma linha de transmissão é dado por: 
 
( ) ( )CjGLjRj ωωβαγ +×+=+= 
Equação 20: Parâmetro da linha 
Onde: 
α: atenuação característica da linha, Np/m; 
β: retardo de fase, rad/m; 
R: resistência por unidade de comprimento, Ω / m; 
L: indutância por unidade de comprimento, H / m; 
G: condutância por unidade de comprimento, S / m; 
C: capacitância por unidade de comprimento, F / m. 
 
Onde 1Np = 8,686 dB. 
 
 
28. Para uma determinada linha de transmissão os 
parâmetros característicos são: 
R: 1,2 Ω / 100 m; G: 22 mS / 100m; L: 3,0 μH / 100m; 
C: 1200 pF / 100 m. 
Determine a atenuação da linha nas freqüências de: 
a) 100 kHz; 
b) 1 MHz; 
c) 10 MHz; 
d) 20 MHz. 
 
 
Linhas sem perdas 
 
Uma linha sem perdas não apresenta os termos resistivo e 
condutivo. No entanto, a ausência destes parâmetros não 
significa que a linha não oferece um comportamento 
diferente para freqüências diferentes. Como pode ser 
claramente observado do modelo da figura acima, a linha 
continua comportando-se como uma estrutura passa – 
baixa. O que podemos afirmar que o parâmetro de 
atenuação é desprezível para o comprimento da linha e a 
freqüência de operação. 
 
 
Figura 2: Linha sem perdas 
 
A impedância característica desta linha é dada por: 
 
C
Z
C
LZ ohmsohmsC
ε
×==
,0, 
Equação 21: Impedância característica - linha sem perdas 
Onde: 
Z0: impedância característica do vácuo, igual a 120 ×pi ohms; 
L: indutância característica da linha de transmissão, H/m; 
Campos e Ondas 9 de 31 
 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas fevereiro/2010 
 
C: capacitância característica da linha de transmissão, F/m; 
εεεε: permissividade elétrica do dielétrico, em F/m. 
 
 
29. Uma linha de transmissão sem perdas apresenta 
impedância característica de 50 ohms e uma auto-indutância 
característica igual a 0,08 μH / m. Determine a capacitância 
de um segmento de 4,0 metros desta linha. 
 
 
A velocidade de propagação da onda nesta linha é dada por: 
 
CL
v sm
×
=
1
/ 
Equação 22: Velocidade de propagação 
Onde: 
L: indutância característica da linha de transmissão, H/m; 
C: capacitância característica da linha de transmissão, F/m. 
 
 
A constante de fase é dada por: 
 
CLradmrad ××= ωβ / 
Equação 23: Constante de fase 
Onde: 
L: indutância característica da linha de transmissão, H/m; 
C: capacitância característica da linha de transmissão, F/m. 
 
O tempo de propagação na linhaé dado por: 
ω
β l
ts
×
=
 
Equação 24: Tempo de propagação 
Onde: 
ββββ: retardo de fase da linha de transmissão, rad/m; 
l: comprimento da linha de transmissão, m; 
ωωωω: freqüência angular de operação, rad/s. 
 
A permissividade elétrica de um dielétrico é dada por: 
 
0εεε ×= r 
Equação 25: Constante dielétrica 
Onde: 
εεεεr: constante dielétrica do material, adimensional; 
εεεε0: permissividade do vácuo, igual a 36×pi / 10
−
9
 F/m. 
 
A velocidade de propagação da energia eletromagnética em 
um dielétrico é dada por: 
 
r
sm
c
v
ε
=/ 
Equação 26: Velocidade de propagação 
Onde: 
c: velocidade de propagação das ondas eletromagnética no 
vácuo, 3 × 10
8
 m/s; 
εεεεr: constante dielétrica do material, adimensional. 
 
 
30. A constante dielétrica de um material é igual a 2,1. 
Determine a velocidade de propagação das ondas 
eletromagnéticas nesta linha. 
 
 
A velocidade de fase ou velocidade relativa de propagação 
em um dielétrico é dada por: 
 
%1001% ×=
r
v
ε
 
Equação 27: Velocidade relativa 
 
Campos e Ondas 10 de 31 
 
 
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31. A constante dielétrica de um material é igual a 2,1. 
Determine a velocidade relativa de propagação ou de fase 
das ondas eletromagnéticas nesta linha. 
 
 
O quadro a seguir apresenta o valor da constante dielétrica 
de alguns materiais utilizados como dielétricos em linhas de 
transmissão. 
 
Quadro 1: Constante dielétrica 
Isolamento Constante 
dielétrica, εr 
vp % 
PE (polietileno) sólido 2,3 66 
PE anti Chama 2,6 62 
PE Expandido 1,32 87 
PTFE Sólido 2,07 69,5 
PTFE Expandido 1,56 80 
Teflon FEP 
PVC 3 a 6 
Ar com suporte em hélice 
de PE 
1,11 95 
 
 
O modelo geral de gerador, linha de transmissão sem perdas 
e impedância de carga adotado para nossa análise é 
mostrado abaixo. 
 
 
Figura 3: Linha de transmissão carregada 
Onde: 
Ug: tensão de pico do gerador, em volts; 
Zg: impedância do gerador, em ohms; 
Zl: impedância de carga, em ohms; 
Zin: impedância refletida na entrada dos terminais de saída 
do gerador, em ohms; 
Zout: impedância refletida na nos terminais de saída da carga, 
em ohms; 
Vinc: tensão incidente, em volts; 
Vref: tensão refletida, em volts; 
ZC: impedância característica da linha de transmissão. 
Geralmente 50 Ω em sistemas de RF e 75 Ω em sistemas de 
TV a cabo; 
l: comprimento da linha, em metros; 
β: constante de fase da linha; 
vl: velocidade de propagação na linha, m/s; 
λl: comprimento de onda na linha, em metros. 
 
As seguintes relações se aplicam: 
 
a) Impedância refletida na saída 
( )
( )ltgZjZ
ltgZjZ
ZZ
g
g
Cout
×××+
×××+
×= β
β
0
0
 
Equação 28: Impedância refletida de saída 
 
b) Impedância refletida na entrada 
( )
( )ltgZjZ
ltgZjZZZ
L
L
in
×××+
×××+
×= β
β
0
0
0 
Equação 29: Impedância refletida de entrada 
 
 
Se l = n ×λ / 2, onde n = 0, 1, 2, 3 ... então tg(β×l) = 0, logo 
Zout = Zg e Zin = ZL 
Se l = n × λ / 4, onde n = 1, 3, 5, 7 ... então tg(β×l) = ±∞, logo 
Zout = ZC
2
 / Zg e Zin = ZC
2
 / ZL 
 
Observe então que: 
Se l = λ / 2, então tg(β×l) = 0. 
Se l = λ / 2 + λ / 4, então tg(β×l) = ∞. 
Se l = λ / 2 + λ / 2 = λ, então tg(β×l) = 0. 
Se l = λ + λ / 4, então tg(β×l) = ∞. 
Campos e Ondas 11 de 31 
 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas fevereiro/2010 
 
 
A cada um quarto de comprimento de onda (λ / 4) a 
impedância é o inverso da referência e a cada meio 
comprimento de onda (λ / 2) a impedância de repete. 
 
Como aplicar um curto na fonte? Ou seja, qual deve ser a 
impedância de carga, ZL, para que se reflita um curto na 
fonte? A resposta é obtida fazendo-se Zin = 0 na equação 31. 
Assim: ZL = −j × ZC × tg(β×l), de modo que se Z0 é real tem-se 
ZL é necessariamente uma impedância reativa, ou 
puramente capacitiva ou puramente indutiva. 
 
Se tg(β×l) > 0, tem-se uma reatância capacitiva. 
Cálculo do valor do capacitor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
)(2
1
ltgZfC C ×××××
= βpi 
Equação 30: Curto capacitivo 
 
Se tg(β×l) < 0, tem-se uma reatância indutiva. 
Cálculo do valor do indutor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
f
ltgZL C
××
××
=
pi
β
2
)(
 
Equação 31: Curto indutivo 
 
 
Qual a impedância refletida se a carga for um curto – 
circuito (ZL = 0)? 
A resposta é fazendo-se ZL = 0 na equação 12. 
Assim: Zin = j × ZC × tg(β×l), de modo que se ZC é real tem-se 
ZL é necessariamente uma impedância reativa, ou 
puramente capacitiva ou puramente indutiva. 
 
Se tg(β×l) < 0, tem-se uma reatância capacitiva. 
Cálculo do valor do capacitor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
)(2
1
ltgZfC o ×××××
= βpi 
Equação 32: Curto capacitivo 
 
Se tg(β×l) > 0, tem-se uma reatância indutiva. 
Cálculo do valor do indutor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
f
ltgZL
××
××
=
pi
β
2
)(0
 
Equação 33: Curto indutivo 
 
Qual a impedância refletida se a carga for um circuito aberto 
(ZL = ∞)? 
A resposta é fazendo-se ZL = ∞ na equação 12. 
Assim: Zin = ZC / [j× tg(β×l)], de modo que se ZC é real tem-se 
ZL é necessariamente uma impedância reativa, ou 
puramente capacitiva ou puramente indutiva. 
 
Se tg(β×l) > 0, tem-se uma reatância capacitiva. 
Cálculo do valor do capacitor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
)2
)(
CZf
ltgC
×××
×
=
pi
β
 
Equação 34: Circuito aberto capacitivo 
 
Se tg(β×l) < 0, tem-se uma reatância indutiva. 
Cálculo do valor do indutor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
)(2 ltgf
ZL C
××××
= βpi 
Equação 35: Curto circuito indutivo 
Campos e Ondas 12 de 31 
 
 
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Atenção!!! “β×l” é expresso em radianos. 
 
 
Coeficiente de reflexão 
 
a) Na saída 
outl
outl
l ZZ
ZZ
+
−
=ρ 
Equação 36: Coeficiente de reflexão de saída 
 
b) Na entrada 
gin
gin
in ZZ
ZZ
+
−
=ρ 
Equação 37: Coeficiente de reflexão de entrada 
 
Taxa de Onda Estacionária 
a) Na saída 
l
l
outVSWR ρ
ρ
−
+
=
1
1
 
Equação 38: Taxa de Onda Estacionária de saída 
 
b) Na entrada 
in
in
inVSWR ρ
ρ
−
+
=
1
1
 
Equação 39: Taxa de Onda Estacionária de entrada 
 
Velocidade de propagação na linha 
r
l
c
v
ε
=
 
Onde: 
vl: velocidade de propagação na linha, em m/s; 
c: velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas np 
vácuo, 3 ×10
8
 m/s; 
εr: constante dielétrica da linha. 
 
Constante de fase na linha 
ll
l
v
f××
=
×
=
pi
λ
piβ 22 
Equação 40: Constante de fase 
 
ATENÇÃO: Observe que na equação acima utilizamos o 
comprimento de onda na linha e NÃO o comprimento de 
onda no vácuo. 
 
ATENÇÃO: Observe ainda que na equação acima utilizamos a 
velocidade de propagação na linha e NÃO a velocidade de 
propagação da onda no vácuo. 
 
Comprimento de onda na linha 
f
vl
l =λ 
Equação 41: Comprimento de onda na linha 
 
 
Perda de transmissão 
a) Na saída 
( )






×
+
×=
out
out
dBoutl VSWR
VSWRT
4
1log10
2
10,, 
Equação 42: Perda de Transmissão na saída 
 
 
b) Na entrada 
( )





×
+
×=
in
in
dBinl VSWR
VSWRT
4
1log10
2
10,, 
Equação 43: Perda de Transmissão na entrada 
 
 
Relação de Onda Estacionária – ROE 
 
Campos e Ondas 13 de 31 
 
 
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Diz-se que um sistema está casado quando as impedâncias 
de entrada e saída são iguais. Um transmissor de 50 ohms 
está casado com um cabo quando este cabo também possui 
uma impedância característica de 50 ohms, e por sua vez o 
cabo está casado quando está ligado a uma antena cuja 
impedância também é de 50 ohms. O mesmo é válido para 
receptores. 
Sistemas não casados são um desperdício de potência. Um 
parâmetro que fornece a relação entre quanto de potência 
está se entregando à carga e quanto realmente está sendo 
aproveitado é a taxa de onda estacionária. Infelizmente 
poucos parâmetros em telecomunicações são tão mal 
entendidos e mal aplicados. 
 
A Taxa de Onda Estacionária (TOE) ou a Relação de Onda 
Estacionária (ROE) ou VSWR (Voltage Standig Wave Ratio), 
ou Coeficiente de Onda Estacionária (COE), relaciona a 
tensão incidente na carga com a tensão refletida. Como só é 
transmitido o que vai para a carga e não o que retorna creio 
que você já descobriu quem é o bandido. Além de não ser 
aproveitado na transmissão, o sinal refletido na linha se 
volta contra o transmissor e dependendo de certos valores 
pode vir mesmo a danificá-lo. 
O valor ideal da taxa de onda estacionária é 1, ou 1 : 1, lê-se 
1 para 1. Nesta situação, toda energia entregue ao sistema é 
aproveitada e transmitida. Só que isto é um sonho. Na 
prática, imperfeições no sistema, no cabo, no casamento, ou 
até mesmo se está chovendo ou não podem afastar esse 
valor do valor ótimo. E mesmo que em determinado sistema 
o valor da relação de onda estacionária seja de 1: 1 pode ser 
que nada esteja sendo transmitido. Como isso é possível? 
Basta ligar um resistor de 50 ohms na saída de um cabo de 
50 ohms, ligado na outra extremidade em um transmissor de 
50 ohms que nada vai ser transmitido. Claro o sistema está 
casado. Meça agora em qualquer ponto a ROE e você vai 
achar 1:1. Só que neste caso nem, um micro watt de 
potência está sendo efetivamente irradiado. 
Cuidado! A ROE é um bom indicador, mas não é perfeito. 
Conheça a teoria do que você está fazendo. O que é preciso 
é colocar potência para fora, o máximo possível, e na 
recepção, receber o máximo de sinal. A ROE é um indicador 
do que pode estar acontecendo, mas não deixe que ela o 
iluda. Veja quanto você perdendo utilizando a tabela abaixo, 
que mostra o efeito da Taxa de Onda Estacionária de 
Tensão, VSWR, na potência transmitida. Para um 
transmissor uma ROE de 1:1 indica que toda a potência está 
sendo aplicada à carga. Se a carga é a antena, o cabo ou uma 
resistência de 50 ohms, a ROE não sabe. No entanto se a 
ROE subir para 2:1, você já sabe que só 90% da potência 
disponível está sendo entregue. Se o transmissor for de 1 W 
só cerca de 900 mW estão sendo transferidos para a carga. 
Se o valor subir para 5:1, só cerca de 50 % ou 500 mW estão 
sendo entregues. 
Como regra geral a ROE é mais eficiente para dizer que está 
ruim do que para dizer se está bom. 
 
As relações entre a taxa de onda estacionária, o coeficiente 
de reflexão e as impedâncias envolvidas são mostradas 
abaixo. 
 
1
1
VSWR
ρ
ρ
+
=
−
 
Equação 44: Taxa de onda estacionária 
Onde: 
VSWR: relação de onda estacionária, adimensional (1 ≥ 
VSWR ≥ ∞); 
ρ: coeficiente de reflexão, adimensional ( − 1 ≤ ρ ≤ 1). 
 
L C
L C
Z Z
Z Z
ρ −=
+
 
Equação 45 
Onde: 
Zl: impedância de carga, em ohms; 
Zc: impedância característica, em ohms. 
Campos e Ondas 14 de 31 
 
 
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O quadro a seguir apresenta alguns valores de VSWR, perda 
de retorno, perda de transmissão, coeficiente de reflexão, 
porcentagem de potência transmitida e porcentagem de 
potência refletida. 
 
Quadro 2: Taxa de onda estacionária, ROE ou VSWR 
VSWR 
TOE 
COE 
Return 
Loss, (dB) 
Transmission 
Loss, (dB) 
Coeficiente 
de reflexão 
de tensão 
Potência 
Trans, % 
Potência 
Ref, % 
1,00 ∞∞∞∞ .00 0.00 100.0 0.0 
1,10 26.4 .01 0.05 99.8 0.2 
1,20 20.8 .04 0.09 99.2 0.8 
1,30 17.7 .07 0.13 98.3 1.7 
1,70 11.7 .30 0.26 93.3 6.7 
1,80 10.9 .37 0.29 91.8 8.2 
1,90 10.2 .44 0.31 90.4 9.6 
2,00 9.5 .51 0.33 88.9 11.1 
2,50 7.4 .88 0.43 81.6 18.4 
3,00 6.0 1.25 0.50 75.0 25.0 
4,00 4.4 1.94 0.60 64.0 36.0 
5,00 3.5 2.55 0.67 55.6 44.4 
7,00 2.5 3.59 0.75 43.7 56.2 
9,00 1.9 4.44 0.80 36.0 64.0 
15,0 1.2 6.30 0.88 23.4 76.6 
20,0 0.9 7.41 0.90 18.1 81.9 
30,0 0.6 9.04 0.94 12.5 87.5 
38,2 0.5 10.00 0.95 10.0 90.0 
 
Podemos ainda definir a perda de retorno e a perda de 
transmissão, dadas por: 
 
)(log20,Re 10 ρ×=dBLossturn 
Equação 46: Perda de retorno 
 
 
( )




−
×= 210 1
1log10,
ρ
dBLossonTransmissi 
Equação 47: Perda de Transmissão 
 
A porcentagem de potência efetivamente entregue à carga e 
a porcentagem de potência refletida de volta para o gerador 
são dadas por: 
 
2100%,Re ρ×=fletidaPotência 
Equação 48: Potência refletida 
 
 
( )2, % 100 1Potência Transmitida ρ= × − 
Equação 49: Porcentagem de potência transmitida 
 
 
 
32. Você ficou encarregado de fazer uma série de medidas 
em um segmento de 10 metros de cabo coaxial 7/8”C com 
dielétrico polietileno, na freqüência de 2 GHz. Para o 
comprimento dado considere o cabo sem perdas. Em 
seguida você colocou em uma extremidade do cabo uma 
carga constituída por um resistor de 47 ohms em paralelo 
com 13 pF. A fonte de sinal é um gerador em 2GHz, com 500 
mV de amplitude de pico. Determine: 
a) o coeficiente de onda estacionária na extremidade do 
cabo junto ao gerador para a carga resistiva - capacitiva; 
b) a impedância refletida devido à um curto circuito na 
carga na distância de 9,890707101m. 
(2,0 pontos cada item) 
 
33. Você foi encarregado de realizar uma série de medidas 
em um circuito modelado por um gerador de varredura com 
amplitude de pico de saída de 1volt alimentando um resistor 
de 100 ohms e um capacitor em série de 22 pF. As medidas 
serão efetuadas sobre o capacitor. Determine: 
Campos e Ondas 15 de 31 
 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas fevereiro/2010 
 
a) a variação percentual da tensão de saída em aberto e 
carregada, considerando-se que o instrumento de medida é 
modelado por um resistor de 50 ohms; 
b) a variação percentual da freqüência de corte em aberto 
e carregado, considerando-se que o instrumento de medida 
é modelado por um resistor de 50 ohms em paralelo com 
um capacitor de 8 pF. 
(1,5 pontos cada item) 
 
34. Você ficou encarregado de fazer uma série de medidas 
em um segmento de cabo coaxial 7/8”C com dielétrico 
polietileno, na freqüência de 2 GHz. Inicialmente você fez 
uma medida de atenuação em um segmento de 10 metros e 
obteve uma atenuação de 0,3 dB. Em seguida colocou uma 
carga de 50 ohms em uma extremidade do cabo e obteve 
uma impedância refletida na outra extremidade de 50 ohms. 
Em seguida colocou uma carga constituída por um resistor 
de 47 ohms em paralelo com 13 pF. Determine: 
a) se o valor da atenuação medida está em conformidade 
com a especificação do cabo; 
b) se a impedância refletida de 50 ohms confere com a 
teoria; 
c) a impedância refletida na outra extremidade do cabo, 
desprezando as sem perdas do cabo, para a carga resistiva - 
capacitiva; 
d) a relação de onda estacionáriana extremidade oposta do 
cabo, neste caso; 
e) a porcentagem de potência refletida na carga, neste 
caso; 
f) a porcentagem de potência refletida na extremidade do 
gerador; 
g) a potência entregue a linha devido a um transmissor de 
40 watts; 
h) a potência entregue a carga para uma potência aplicada 
a linha de 40 watts 
i) a impedância refletida devido à um circuito aberto na 
distância de 4,97m; 
j) a impedância refletida devido à um curto circuito na 
distância de 4,97m; 
k) a impedância refletida devido à um circuito aberto na 
distância de 9,8907071m; 
l) a impedância refletida devido à um curto circuito na 
distância de 9,890707101m; 
m) o retardo introduzido pelos 10 metros de cabo; 
n) o tempo gasto para um pulso de 1 ns percorrer 
totalmente 10 m de cabo. 
Dados: 
• Equação da impedância refletida em um cabo sem 
perdas. 
ohms
ltgZjZ
ltgZjZZZ
L
L
entrada )(
)(
0
0
0
×××+
×××+
×= β
β
 
 
Onde “Z0” é a impedância característica da linha (ohms), “Zl” 
é a impedância de carga (ohms), “β” é a constante de fase 
da linha (rad/m) e “l” é o comprimento da linha (metros). 
 
• Constante de fase de uma linha de transmissão 
mrad
f rMHz /
300
2 εpiβ ×××= 
 
Onde εr é a constante dielétrica do dielétrico usado na linha 
de transmissão. 
 
Respostas 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
j) k) l) 
m) n) 
 
 
35. Um circuito RC série com R = 120 ohms e C = 18 pF é 
alimentado por um gerador ideal de tensão na freqüência de 
1,8 GHz e com 1mV de pico de amplitude. Determine: 
Campos e Ondas 16 de 31 
 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas fevereiro/2010 
 
a) a tensão em aberto sobre o capacitor (módulo e fase); 
b) a tensão sobre o resistor (módulo e fase); 
c) a freqüência de corte do circuito RC; 
d) o tempo para a tensão de saída alcançar 90% do valor 
final caso o sinal de entrada seja uma onda quadrada; 
e) o módulo da tensão sobre o capacitor medida com um 
instrumento modelado por um resistor de 50 ohms; 
f) o erro percentual na medida de tensão acima; 
g) o módulo da tensão sobre o capacitor medida com um 
instrumento modelado por um resistor de 50 ohms em 
paralelo com um capacitor de 5 pF; 
h) o erro percentual na medida de tensão acima; 
i) a variação percentual na freqüência de corte 
considerando-se a medida do item “g”. 
 
Respostas 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
 
36. Um cabo coaxial com dielétrico polietileno e 5,0 metros 
de comprimento é terminado por uma carga modelada por 
um circuito RC paralelo. Os valores são R = 55 ohms e C = 2 
pF. A freqüência de teste é 2 GHz. Determine: 
a) o coeficiente de onda estacionária na carga, 
considerando-se um gerador de 50 ohms na outra 
extremidade do cabo; 
b) a porcentagem de potência perdida pelo descasamento 
da carga; 
c) a impedância refletida na outra extremidade do cabo; 
d) a taxa de onda estacionária nos terminais do gerador; 
e) a porcentagem de potência perdida pelo descasamento 
da impedância refletida; 
f) a perda por descasamento. 
 
Respostas 
a) b) c) 
d) e) f) 
 
37. Um cabo coaxial cuja impedância característica é 50 
ohms, apresenta na freqüência de 500 MHz uma velocidade 
de fase de 66%. Um segmento de 1,2 metros desse cabo é 
terminado por uma carga modelada por um resistor de 47 
ohms. Determine: 
a) a perda por transmissão na saída (em dB); 
b) a impedância refletida na extremidade oposta da carga. 
(valor 3,0 pontos. Cada item 1,5 pontos) 
 
38. Um segmento de 1,3 metros de cabo coaxial cuja 
impedância característica é 50 ohms é terminado por uma 
carga constituída por um resistor de 75 ohms em série com 
um capacitor de 2 (dois) nF. A freqüência do sinal de 
excitação é 300 MHz. O conjunto é alimentado por um 
gerador senoidal cuja impedância de saída característica é 
50 ohms e tensão de pico 25 volts. A velocidade de fase da 
linha de transmissão é de 52%. Determine: 
a) A especificação de instalação determina que o valor 
máximo da perda por transmissão seja de 0,25 dB. Verifique 
se a instalação acima atende a esta especificação; 
b) o valor da impedância refletida a 52 cm da carga na 
forma resistor – elemento reativo; 
c) o valor da impedância refletida a 0,65 m do gerador, na 
configuração série; 
d) a potência dissipada sobre a carga. 
(valor 4,0 pontos. Cada item 1,0 ponto) 
 
Resposta: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
39. Um segmento de cabo coaxial de 1 metro de 
comprimento, cuja impedância característica é 50 ohms é 
terminado por uma carga modelada por um resistor de 45 
Campos e Ondas 17 de 31 
 
 
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ohms em paralelo com8 pF na freqüência de 5,0 GHz. O 
dielétrico do cabo coaxial é um material cuja constante 
dielétrica é igual a 9. O cabo pode ser considerado sem 
perdas para o segmento em questão. Na outra extremidade 
do cabo é ligado um transmissor de 50 ohms de impedância 
de saída com potência de saída igual a 2,0 watts. Determine: 
a) a potência efetivamente aplicada à carga; 
b) a impedância refletida à distância de 20,5 cm da carga, 
quando esta é um curto circuito; 
c) a ROE nos terminais do gerador; 
d) a menor distância dos terminais da carga para a qual um 
curto circuito de carga é refletido como um capacitor 
que entre em ressonância em 5 GHz quando ligado a 
um indutor de 0,1 nH. 
(valor da questão 4,0 pontos; 1,0 ponto cada item) 
 
40. Com relação à impedância vista por um gerador ligado 
a uma linha de transmissão sem perdas, o circuito será 
ressonante em: 
I – série, se a linha tiver comprimento λ/4 e terminar em 
aberto. 
II – paralelo, se a linha tiver comprimento λ/2 e terminar 
em aberto. 
III – série, se a linha tiver comprimento λ e terminar em 
aberto. 
IV – paralelo, se a linha tiver comprimento λ/4 e terminar 
em curto-circuito. 
V – paralelo, se a linha tiver comprimento λ/2 e terminar 
em curto-circuito. 
 
Indique os itens corretos. Justifique. 
Resposta: 
I: 
II: 
III: 
IV: 
V: 
 
41. Um transmissor em 150 MHz entrega 100 W a uma 
antena com 10 dBi de ganho. Nessas condições, determine a 
potência disponível em uma antena receptora com 
aproximadamente 16 dBi de ganho e área efetiva de 4π m
2
, 
distante 10 km do transmissor e em condições de espaço 
livre. 
Resposta: 
 
42. Determine perda de potência total em uma linha de 
transmissão se o coeficiente de onda estacionária medido no 
final desta linha é 4 e o percentual de 9% da potência 
fornecida pelo gerador é observado novamente na entrada 
da linha, em um processo de reflexão. 
Resposta: 
 
43. Uma antena transmissora operando em uma 
freqüência f0 tem uma impedância de entrada igual a 60 + 
j30 Ω e área efetiva de π m
2
. Essa antena é utilizada em um 
sistema receptor, ligada diretamente em uma linha de 
transmissão de 50 Ω, que está perfeitamente casada a uma 
carga resistiva. Fazendo-se incidir sobre a referida antena 
uma onda plana com um campo igual a 13 μV/m, determine 
a potência transferida para a carga. 
Resposta: 
 
44. Suponha que se deseje simular um circuito ressonante 
LC em paralelo na freqüência de 100 MHz e que se disponha 
de um cabo coaxial com fator de velocidade unitário e 
perdas condutoras desprezíveis. Nessa situação, o circuito 
ressonante pode ser obtido utilizando-se um trecho desse 
cabo com 75 cm de comprimento e em curto circuito. 
Certo ou errado? Justifique. 
 
45. Considere-se que o transmissor de uma estação esteja 
conectado à antena por meio de uma linha de transmissão 
coaxial. Nesse caso,é suficiente medir, por meio de 
equipamento adequado, o coeficiente de onda estacionária 
Campos e Ondas 18 de 31 
 
 
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na linha de transmissão, e, a partir desse parâmetro, calcular 
a potência radiada. Certo ou errado? Justifique. 
 
46. A figura a seguir ilustra o resultado de medida da perda 
de retorno versus VSWR, ou coeficiente de onda 
estacionária, de um sistema de radiação composto por uma 
linha de transmissão conectada a uma antena. Considerando 
essas informações, julgue os seguintes itens. 
 
Figura 4: VSWR 
 
47. Sabendo-se que a referência para a medida 
mencionada é a entrada da linha de transmissão, é correto 
afirmar que, no momento da realização da medida, o 
módulo do coeficiente de reflexão na entrada da linha é 
igual a 0,5 para a freqüência de 2 GHz. Certo ou errado? 
Justifique. 
 
48. Para um sistema radiante, a perda de retorno mostrada 
é equivalente à potência radiada pela antena, em dBW, 
subtraída da potência entregue à linha de transmissão pelo 
gerador , em dBW. Certo ou errado? Justifique. 
 
49. Considere a seguinte situação. Pedro, um técnico em 
telecomunicações, foi escalado para realizar a manutenção 
em um sistema transmissor que apresentava defeito. 
Suspeitando que esse defeito encontrava-se no sistema 
radiante, Pedro desconectou o cabo coaxial que ligava o 
sistema radiante ao transmissor e mediu com equipamentos 
adequados a VSWR desse sistema. O valor obtido por Pedro 
para a VSWR foi igual a 1. Nessa situação, a suspeita de 
Pedro estava correta, pois há curto-circuito no sistema 
irradiante. Certo ou errado? Justifique. 
 
 
Figura 5: Medida de Potência de Transmissão 
 
Um dos problemas encontrados em sistemas de 
comunicação via radio é a determinação precisa da 
intensidade de campo elétrico na região de campo distante. 
Considerando a figura acima, que ilustra uma montagem 
para a medida de campo elétrico em um ponto localizado a 
uma distância d de uma antena transmissora, julgue os itens 
subseqüentes. 
 
50. A medida correta do campo no ponto de recepção deve 
levar em consideração interferência multipercurso, reflexões 
de superfícies metálicas ou objetos dielétricos usados na 
montagem e imprecisões no valor dos ganhos das antenas. 
Certo ou errado? Justifique. 
 
51. Independente da freqüência do sinal gerado pela fonte, 
para que a medida seja realizada em condição de campo 
distante, é necessário que o ponto de recepção esteja 
distante de 200 vezes a maior dimensão da antena. Certo ou 
errado? Justifique. 
 
52. Considere que a potência efetivamente irradiada (ERP) 
pela antena seja igual a 1 kW e que a propagação ocorra em 
condição de espaço livre. Considere ainda que, nessa 
Campos e Ondas 19 de 31 
 
 
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situação, a intensidade de campo elétrico em uma distância 
d = 7 km, tenha sido igual a 90 dBμV/m. Se a distância 
aumentar para d = 14 km, a intensidade do campo elétrico 
será reduzida a 45 dBμV/m. Certo ou errado? Justifique. 
 
53. Na montagem ilustrada, o equipamento utilizado para 
medir a freqüência do sinal pode ser um analisador de 
espectro. Por meio do analisador de espectro, é possível 
verificar o sinal gerado no domínio da freqüência e obter, 
inclusive, informações acerca de freqüências espúrias. Certo 
ou errado? Justifique. 
 
54. O acoplador direcional dual mostrado na montagem é 
um dispositivo que possui um amplificador de baixo ruído 
para compensar a potência refletida causada pela 
descontinuidade na entrada da antena. Assim, a potência 
transmitida, monitorada no medidor de potência incidente, 
pode ser conhecida com boa precisão. Certo ou errado? 
Justifique. 
 
55. Na manutenção de uma estação radiobase de um 
sistema celular, o uso de um acoplador bidirecional em 
associação com um circulador a ferrite na freqüência de 
transmissão permite avaliar, por meio de um osciloscópio, 
degradações da razão entre a potência do sinal e a potência 
de ruído de intermodulação de terceira ordem dos 
amplificadores de transmissão de classe C. Certo ou errado? 
Justifique. 
 
56. Uma linha de transmissão sem perdas apresenta uma 
impedância característica igual a 50 ohms. Medidas em um 
segmento de 100 metros desta linha indicaram um valor de 
autoindutância igual a 8 µH. Determine a capacitância de um 
segmento de 4 metros deste cabo. 
 
57. Uma linha de transmissão com baixas perdas apresenta 
uma impedância característica igual a 50 ohms e uma 
capacitância distribuída por unidade de comprimento igual a 
100 pF/m. Medidas realizadas no cabo indicam que após 15 
metros de cabo o sinal é reduzido a 80% de seu valor 
original. Determine: 
a. o retardo introduzido por 25 metros de cabo na 
freqüência de 100 MHz; 
b. a atenuação em dB, introduzida por 25 metros de cabo; 
c. a atenuação por unidade de comprimento. 
 
58. Uma linha de transmissão com 100 metros de 
comprimento é operada na freqüência de 10,0 MHz e 
apresenta uma atenuação de 0,002 Np/m. A velocidade de 
fase é igual a 90% e a impedância característica é igual a 50 
ohms. Determine a impedância de carga, caso a impedância 
refletida na entrada seja igual a 30 – j10 ohms. 
 
59. Uma determinada linha de transmissão apresenta 
impedância característica igual a 50 ohms e deve entregar 1 
kW a uma carga. Segundo o fabricante a tensão r.m.s. na 
linha deve ser inferior a 250 volts. Determine: 
a. a VSWR máxima de operação na linha para que não 
ocorra danos à mesma; 
b. o nível de potência que deve ser fornecido pelo 
gerador. 
 
60. Deseja-se uma linha de transmissão com impedância 
característica igual a 50 ohms. O cabo coaxial deve ter o 
diâmetro interno igual a 1 cm e o material de espaçamento 
uma constante dielétrica igual a 4. Determine o valor do 
diâmetro do condutor externo. 
 
61. Uma linha paralela de transmissão apresenta um 
espaçamento de 10 cm e uma impedância característica de 
600 ohms. Determine o diâmetro requerido para o fio. 
 
62. Uma linha de transmissão cuja impedância 
característica é igual a 50 ohms com 100 metros de 
comprimento é operada em 2 GHz, com uma atenuação de 
0,002 Np/m. Medidas realizadas indicaram uma velocidade 
Campos e Ondas 20 de 31 
 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas fevereiro/2010 
 
de fase igual a 2,7 x 10
8
 m/s. Uma carga igual a 30 – j10 
ohms é ligada na extremidade da linha. Determine: 
a) a atenuação total da linha em dB; 
b) a constante de fase; 
c) o coeficiente de reflexão na carga; 
d) a VSWR na carga; 
e) a perda de transmissão na carga 
 
63. Uma linha de transmissão apresenta os seguintes 
parâmetros distribuídos: R = 147,2 Ω/km, C = 50 nF/km, L = 
22 nH/km e G = 30 mS/km. Determine: 
a) a impedância característica; 
b) a atenuação em dB/km na freqüência de 800 Hz; 
c) a atenuação, em dB, de 1.5 km de linha. 
 
64. Um cabo paralelo cuja impedância característica é igual 
a 300 ohms é ligado a uma fonte cuja impedância de saída é 
300 ohms, tensão eficaz 60 volts e freqüência de operação 
100 MHz. A velocidade de propagação na linha é de 2,5 x 10
8
 
m/s. O comprimento da linha é de 2 metros. 
a) uma carga de 300 ohms é ligada na extremidade oposta 
do gerador. Determine: o coeficiente de reflexão na carga, a 
taxa de onda estacionária, a tensão na carga e a potência 
fornecida pelo gerador à carga. 
b) considere uma segunda carga de 300 ohms ligada em 
paralelo à primeira. Determine: o coeficiente de reflexão na 
carga, a taxa de onda estacionária, a tensão nacarga e a 
potência fornecida pelo gerador à nova carga. 
c) as cargas são agora substituídas por um capacitor – 300 
ohms. Determine: o coeficiente de reflexão na carga, a taxa 
de onda estacionária, a tensão na carga e a potência 
fornecida pelo gerador à carga. 
 
65. Uma antena do tipo dipolo sintonizada na freqüência 
de operação é ligada em uma linha de transmissão cuja 
impedância característica é 50 ohms. Determine a taxa de 
onda estacionária. O dipolo é substituído por um dipolo 
dobrado também sintonizado na freqüência de operação. 
Determine o novo coeficiente de onda estacionária. Em qual 
das duas situações anteriores a perda por descasamento é 
menor? Justifique. 
 
66. As constantes de LF de uma linha de transmissão por 
km em 1000 Hz são: R = 6 ohms, L = 2,2 mH, C = 0,005 µF e G 
= 0,25 µS. Determine: 
a. a impedância de carga para a qual não haverá reflexões 
na linha; 
b. a atenuação, em dB, em 100 km de linha; 
c. o retardo introduzido em 10 km de linha. 
 
67. Uma linha de transmissão apresenta os seguintes 
parâmetros característicos: R = 10,4 ohms, L = 3,666 mH, G = 
0,8 µ S e C = 0,00835µF, para a freqüência angular de 5000 
rad / segundo, determine: 
a. a impedância característica; 
b. a constante de propagação; 
c. a velocidade de fase; 
d. a atenuação após 10 km de linha, em dB; 
O retardo introduzido em 10 km de linha. 
 
68. Na freqüência de 1590 Hz os parâmetros característicos 
de uma determinada linha de transmissão são: R = 10 
mΩ/m, G = 1 µS/m, C = 1 nF/m e L = 1 µH/m. Para esta 
freqüência de operação determine: 
a. a atenuação característica; 
b. a atenuação devido à 50 metros desta linha; 
c. a variação de fase em 50 metros desta linha; 
d. a tensão a 100 metros do gerador, na situação de carga 
casada para uma tensão de entrada igual a V(s) = 0,775;0
o
. 
 
69. Os parâmetros característicos de uma linha são R = 28 
ohms / km e C = 0,040 µF /km. Na freqüência de 1600 Hz os 
efeitos da indutância e da condutância são desprezíveis. O 
cabo é carregado com indutores de 88 mH e resistência de 
3,7 ohms a cada 2000 metros de intervalo. Determine o 
decréscimo em atenuação devido ao carregamento em 1600 
Campos e Ondas 21 de 31 
 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas fevereiro/2010 
 
Hz e o valor aproximado da freqüência de corte; R = 10,4 
ohms, L = 0,0037 H, G = 0,8 µ S e C = 0,00835µF. Porque tal 
solução não é mais adotada nos modernos circuitos de 
telefonia? 
 
70. Os parâmetros distribuídos de uma linha de 
transmissão em 5000 rad/s são: R = 10,4 ohms/km, L = 3,67 
mH / km, G = 0,8 µ S /km e C = 0,00835µF / km. Bobinas de 
carregamento com 246 mH cada e com 7,3 ohms são 
adicionadas à linha em intervalos de 7,88 km. Determine: 
a. o valor da impedância característica da linha; 
b. o valor da constante de propagação característica da 
linha; 
c. a velocidade de propagação característica da linha; 
d. a impedância modificada; 
e. a constante de propagação modificada; 
f. a velocidade de propagação modificada. 
 
71. Um gerador em 1000 Hz, 1 volt rms é ligado em uma 
linha com 1000 km de extensão carregada com a impedância 
característica. Os parâmetros por km são R = 10,4 ohms, L = 
0,0037 H, G = 0,8 µ S e C = 0,00835µF. Determine: 
a. a constante de propagação; 
b. a velocidade de fase; 
c. a impedância característica; 
d. a tensão a 100 km do gerador, considerando a fase inicial 
igual a zero radianos; 
e. a velocidade de fase; 
f. a potência fornecida na extremidade da linha. 
 
72. Uma linha de transmissão em UHF com impedância 
característica de 50 ohms é carregada com uma impedância 
de 50 + j50 ohms. Determine: 
a. o coeficiente de reflexão; 
b. a taxa de onda estacionária de tensão (VSWR); 
c. a perda de retorno; 
d. a perda de transmissão; 
e. a porcentagem de potência transmitida; 
f. a porcentagem de potência refletida. 
 
73. Uma determinada linha de transmissão apresenta 
impedância característica igual a 50 ohms. Determine a taxa 
de onda estacionária com as seguintes cargas: 
a. ZL = 70 + j0 ohms; 
b. ZL = 800 + j0 ohms; 
c. ZL = 650 – j475 ohms. 
 
74. Uma antena dipolo cuja impedância é 100 ohms 
puramente resistiva deve ser casada em 100 MHz por meio 
de uma linha aberta com 600 ohms de impedância 
característica por meio de um stub em curto. Determine o 
ponto de ligação e o comprimento do stub. Supor que a 
linha e o stub não introduzem perdas e apresentam a 
mesma impedância característica. 
 
75. Defina os seguintes termos e seu significado físico: 
a. Constante de atenuação; 
b. Impedância característica; 
c. Velocidade de fase. 
 
76. Defina os seguintes termos e seu significado físico: 
a. Onda estacionária; 
b. Coeficiente de reflexão; 
c. Taxa de onda estacionária de tensão (VSWR); 
d. Perda de transmissão (transmission loss); 
e. Perda por descasamento (mismatch loss); 
f. Perda por retorno (return loss). 
 
77. Um transmissor cuja potência de saída é de 100 watts é 
ligado a uma linha de transmissão em cuja extremidade 
oposta está ligada uma antena. A VSWR na saída do 
transmissor é de 1,3. A perda no cabo é de 1,5 dB. A VSWR 
na ligação cabo-antena é de 1,3. Determine a potência 
efetivamente aplicada à antena. 
 
Campos e Ondas 22 de 31 
 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas fevereiro/2010 
 
78. Uma determinada linha de transmissão opera em ω = 
10
8
 rad/s, com α = 8 dB/m, β = 1 rad/m e Z0 = 60 + j40 Ω, 
apresenta 2 metros de comprimento. Considere a linha 
conectada a uma fonte 10;0
o
, Zg = 40 Ω e está conectada à 
uma carga de 20 + j50 Ω, determine: [Sadiku] 
a. o coeficiente de reflexão na carga; 
b. a taxa de onda estacionária na carga; 
c. a impedância de entrada; 
d. o coeficiente de reflexão na fonte; 
e. a taxa de onda estacionária na fonte; 
f. a corrente na entrada da linha; 
g. a corrente na metade da linha; 
h. a impedância refletida na metade da linha 
 
79. Em uma determinada linha de transmissão sem perdas, 
de 30 metros de comprimento, com impedância 
característica de 50 ohms e operando em 2 MHz é 
terminada por uma carga ZL = 60 + j40 ohms. Se a 
velocidade de propagação relativa na linha é de 60%, 
determine: 
a. o coeficiente de reflexão na carga; 
b. a taxa de onda estacionária na carga; 
c. a impedância de entrada refletida na entrada da linha. 
 
 
Respostas dos exercícios 
 
26) A resistência ôhmica desta linha, para um trecho de 50 
metros, é igual a 12,1 Ω / km × 0,05 km = 605 mΩ. 
 
27) 
a) 10,1 Ω, ângulo 28,8 graus; 
b) 28,5 Ω, ângulo 43,2 graus; 
c) 49 Ω, ângulo 44,8 graus; 
d) 49,7 Ω, ângulo 44,9 graus. 
 
28) 
a) 1,93 dB / 100 metros; 
b) 5,75 dB / 100 metros; 
c) 33,4 dB / 100 metros; 
d) 65,8 dB / 100 metros. 
Pelos resultados acima observa-se que esta linha não é 
adequada para utilização em freqüências acima de 20 MHz. 
 
29) 
C
LZC = , logo ( ) mpFZ
LC
C
/32
50
1008,0
2
6
2 =
×
==
−
 
Clinha = 4 m × 32 pF/m = 128 pF. 
 
30) v = 3 ×10
8
 / (2,1)
1/2
 = 207.019.667,8 m/s. 
 
31) v = 100% / (2,1)
1/2
 = 69 %. 
 
 
 
Equações aplicáveis 
 
a) Constante de Atenuação: 
)()( CjGLjRj ωωβαγ +×+=+= 
Equação 50 
 
b) Impedância característica: 
)(
)(
,0 CjG
LjRZ ohms ω
ω
+
+
= 
Equação 51 
 
c) Coeficiente de Reflexão: 
GL
GL
ZZ
ZZ
+
−
=ρ 
Equação 52 
 
d) Taxa de Onda Estacionária de Tensão: 
ρ
ρ
−
+
=
1
1
VSWR 
Campos e Ondas 23 de 31 
 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas fevereiro/2010Equação 53 
 
e) Porcentagem de Potência Transmitida: 
%100)1(% 2 ×−= ρtP 
Equação 54 
 
f) Porcentagem de Potência Refletida: 
%100Pr% 2 ×= ρ 
Equação 55 
 
g) Perda de Transmissão (Transmission Loss): 
( )






×
+
×=
=





−
×=
VSWR
VSWR
TLdB
4
1log10
||1
1log10
2
10
210 ρ
 
Equação 56 
 
h) Perda de Retorno (Return Loss): 
||log20 10 ρ×=dBRL 
Equação 57 
 
 
Cabo Coaxial 
i) Resistência por unidade de comprimento de cabo 
coaxial em ohm por metro: 
mMS
rMHz
cmcm
mS
Hz
mm
m
f
ba
f
ba
R
/
3
/
/
10
11
11
2
1
σ
µ
σ
µpi
pi
×
×






+=
=
××






+=Ω
 
Equação 58 
Onde: 
acm: diâmetro interno em centímetros; 
bcm: diâmetro externo em centímetros; 
fMHz: frequência de operação em MHz; 
μr: permeabilidade magnética relativa do material condutor; 
σMS/m: condutividade do condutor em MS/m. 
 
 
j) Indutância por unidade de comprimento de cabo 
coaxial em nano henry por metro: 






××=
a
bL rmnH ln200/ µ 
Equação 59 
Onde: 
acm: diâmetro interno em centímetros; 
bcm: diâmetro externo em centímetros; 
μr: permeabilidade magnética relativa do material condutor. 
 
k) Condutância por unidade de comprimento de cabo 
coaxial em pico siemen por metro: 
( )
a
bG
mpS
mpS ln
2 /
/
σpi ××
= 
Equação 60 
Onde: 
acm: diâmetro interno em centímetros; 
bcm: diâmetro externo em centímetros; 
σpS/m: condutividade do dielétrico em pS/m. 
 
l) Capacitância por unidade de comprimento de cabo 
coaxial em pico farad por metro: 
( )
a
bC
r
mpF ln
55,55
/
ε×
= 
Equação 61 
Onde: 
acm: diâmetro interno em centímetros; 
bcm: diâmetro externo em centímetros; 
εr: constante dielétrica do dielétrico. 
 
m) Impedância característica de cabo coaxial sem perdas 
em alta frequência (aproximação) em ohm: 
Campos e Ondas 24 de 31 
 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas fevereiro/2010 
 






×=Ω
a
bZ
r
10,0 log
138
ε 
Equação 62 
Onde: 
acm: diâmetro interno em centímetros; 
bcm: diâmetro externo em centímetros; 
εr: constante dielétrica do dielétrico. 
 
n) Frequência de corte de cabo coaxial em giga hertz 
(aproximação): 
r
GHzc ba
f
ε×+×
=
)(2
75,6
, 
Equação 63 
 
o) Profundidade pelicular em micro metro: 
mMSMHz
m f /
4
102
10
σpi
δ µ
×××
= 
Equação 64 
Onde: 
fMHz: frequência de operação em MHz; 
σMS/m: condutividade do condutor em MS/m. 
 
 
p) Impedância refletida 
)(
)(
0
0
0, ltgZjZ
ltgZjZZZ
L
L
ohmsin β
β
××+
××+
×= 
Equação 65 
Onde: 
Z0: impedância característica da linha na frequência de 
operação, em ohms; 
ZL: impedância de carga, em ohms; 
β: constante de fase da linha, em rad/m; 
l: comprimento da linha, em metros. 
 
q) Comprimento de onda no cabo coaxial 
00,3
.
m
GHz r rf
λλ
ε ε
= = 
Equação 66 
 
r) Constante de fase no cabo coaxial 
/
2
rad m
m
piβ λ= 
Equação 67 
 
s) Velocidade de fase no cabo coaxial 
p
r
c
v
ω
β ε= = 
Equação 68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campos e Ondas 25 de 31 
 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas fevereiro/2010 
 
III. Carta de Smith 
 
80. Para uma impedância característica de linha igual a 50 
ohms, localize e determine utilizando a carta de Smith: 
a) a impedância Za = 50 + j100 ohms; 
b) a impedância Za*. Compare com o valor obtido pelo 
cálculo. Comente sobre a exatidão do método gráfico; 
c) a admitância Ya = 1 / Za. Compare com o valor obtido 
pelo cálculo. Comente sobre a exatidão do método gráfico; 
a. a admitância Ya*. Compare com o valor obtido pelo 
cálculo. Comente sobre a exatidão do método gráfico. 
 
81. Para uma impedância característica de linha igual a 50 
ohms e uma impedância de carga igual a 50 + j100 ohms, 
determine utilizando a carta de Smith: 
a) o coeficiente de reflexão de tensão. Compare com o 
valor obtido pelo cálculo. Comente sobre a exatidão do 
método gráfico; 
b) a Taxa de Onda Estacionária de tensão, VSWR. Compare 
com o valor obtido pelo cálculo. Comente sobre a exatidão 
do método gráfico; 
c) a Perda de Retorno. Compare com o valor obtido pelo 
cálculo. Comente sobre a exatidão do método gráfico. 
 
82. Uma carga é modelada por um resistor de 100 ohms 
em série com um indutor de 31,83 nH em 500 MHz. 
Determine: 
a) a impedância da carga; 
b) a impedância normalizada da carga para uma impedância 
característica de 50 ohms; 
c) o coeficiente de reflexão para esta carga; 
d) a taxa de onda estacionária para esta carga. 
 
83. Uma carga é modelada por uma resistor de 100 ohms 
em série com um capacitor de 3,183 pF em 500 MHz. 
Determine: 
a) a impedância da carga; 
b) a impedância normalizada da carga para uma impedância 
característica de 50 ohms; 
c) o coeficiente de reflexão para esta carga; 
d) a taxa de onda estacionária para esta carga. 
 
84. Uma carga é modelada por um resistor de 100 ohms 
em paralelo com um capacitor de 3,183 pF em 500 MHz. 
Determine: 
a) a impedância da carga; 
b) a impedância normalizada da carga para uma impedância 
característica de 50 ohms; 
c) o coeficiente de reflexão para esta carga; 
d) a taxa de onda estacionária para esta carga. 
 
85. Determine a impedância refletida por um curto circuito 
nas condições dadas a seguir. Considere a impedância 
característica da linha igual a 50 ohms e a linha sem perdas. 
a) 0,1 λ da carga; 
b) 0,25 λ da carga; 
c) 0,33 λ da carga; 
d) 0,5 λ da carga; 
e) 0,8 λ da carga; 
f) 1 λ da carga. 
 
86. Determine a impedância refletida por um circuito 
aberto nas condições dadas a seguir. Considere a 
impedância característica da linha igual a 50 ohms e a linha 
sem perdas. 
a) 0,1 λ da carga; 
b) 0,25 λ da carga; 
c) 0,33 λ da carga; 
d) 0,5 λ da carga; 
e) 0,8 λ da carga; 
f) 1 λ da carga. 
 
87. A impedância normalizada refletida por um curto 
circuito em uma linha é +j2,5 ohms. Considerando-se uma 
impedância característica de 50 ohms e a linha sem perdas 
Campos e Ondas 26 de 31 
 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas fevereiro/2010 
 
determine a distância mínima até o curto circuito. Considere 
a frequência de operação igual a 500 MHz e a velocidade 
relativa na linha igual a 65%. 
 
88. A impedância normalizada refletida por um curto 
circuito em uma linha é −j2,5 ohms. Considerando-se uma 
impedância característica de 50 ohms e a linha sem perdas 
determine a distância mínima até o curto circuito. Considere 
a frequência de operação igual a 500 MHz e a velocidade 
relativa na linha igual a 65%. 
 
89. Medidas realizadas em uma linha fendida cujo 
dielétrico é o ar indicaram um valor máximo de tensão igual 
a 3 volts e um valor mínimo de tensão igual a 1 volt. 
Determine a taxa de onda estacionária de tensão. 
 
90. Medidas realizadas em uma linha fendida cujo 
dielétrico é o ar indicaram um valor máximo de tensão igual 
a 3 volts e um valor mínimo de tensão igual a 1 volt. 
Considerando-se que a distância entre dois mínimos 
consecutivos é de 10 cm, determine: 
a) a frequência de operação da linha; 
b) a impedância de carga. 
 
91. O dielétrico de uma determinada linha de transmissão 
coaxial é o polietileno. Determine o comprimento mínimo 
de uma linha sem perdas cuja impedância característica é 50 
ohmspara que um curto reflita um circuito aberto. 
Considere a frequência de operação igual a 500 MHz. 
 
92. O dielétrico de uma determinada linha de transmissão 
coaxial é o polietileno. Determine o comprimento mínimo 
de uma linha sem perdas cuja impedância característica é 50 
ohms para que um circuito aberto reflita um curto. 
Considere a frequência de operação igual a 500 MHz. 
 
93. O dielétrico de uma determinada linha de transmissão 
coaxial é o polietileno. Determine o comprimento mínimo 
de uma linha sem perdas cuja impedância característica é 50 
ohms para que um curto reflita um circuito LC paralelo 
equivalente na ressonância. Considere a frequência de 
operação igual a 500 MHz. 
 
94. O dielétrico de uma determinada linha de transmissão 
coaxial é o polietileno. Determine o comprimento mínimo 
de uma linha sem perdas cuja impedância característica é 50 
ohms para que um circuito aberto reflita um circuito LC série 
equivalente na ressonância. Considere a frequência de 
operação igual a 500 MHz. 
 
95. Uma impedância de 25+j100 ohms é aplicada a uma 
linha de transmissão cuja impedância característica é 50 
ohms. Considere a frequência de operação igual a 500 MHz. 
Determine: 
a) a impedância refletida a 0,15 λ da carga; 
b) o coeficiente de reflexão nesse ponto; 
c) o Coeficiente de Onda Estacionária de tensão nesse 
ponto; 
d) a distância até o primeiro máximo de tensão; 
e) a distância até o primeiro mínimo de tensão. 
 
96. Em uma determinada linha de transmissão sem perdas, 
de 30 metros de comprimento, com impedância 
característica de 50 ohms e operando em 2 MHz é 
terminada por uma carga ZL = 60 + j40 ohms. Se a 
velocidade de propagação relativa na linha é de 60%, 
determine: 
a) o coeficiente de reflexão na carga; 
b) a Relação de Onda Estacionária de tensão na carga; 
c) a perda de transmissão na carga; 
d) a perda de retorno na carga; 
e) a impedância de entrada refletida na entrada da linha de 
transmissão; 
f) a impedância refletida na entrada da linha; 
g) o coeficiente de reflexão na entrada da linha; 
h) a taxa de onda estacionária na entrada da linha; 
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i) a perda de transmissão na entrada da linha; 
j) a perda de retorno na entrada da linha; 
k) a distância da carga até o primeiro máximo de tensão; 
l) a distância da carga até o primeiro mínimo de tensão. 
m) A corrente na entrada da linha supondo um gerador com 
valor de pico de 2,5 volts e fase relativa zero. [Sadiku] 
 
97. Uma antena é modelada por em 900 MHz por um 
resistor de 47 ohms em paralelo com 12 pF e ligada a um 
cabo coaxial com 5 metros de comprimento, cuja 
impedância característica é 50 ohms e dielétrico polietileno. 
Determine: 
a) o coeficiente de reflexão na antena; 
b) a perda de transmissão na antena; 
c) a perda de retorno na antena; 
d) a taxa de onda estacionária na antena; 
e) a impedância refletida na extremidade oposta da antena; 
f) o coeficiente de reflexão na extremidades oposta da 
antena; 
g) a taxa de onda estacionária na extremidade oposta da 
antena; 
h) a perda de transmissão na extremidade oposta da 
antena; 
i) a perda de retorno na extremidade oposta da antena; 
j) a distância da antena até o primeiro mínimo de tensão 
na linha de transmissão; 
k) a distância da antena até o primeiro máximo de tensão 
na linha de transmissão. 
 
98. Projete uma estrutura de casamento para adaptar uma 
carga de 25+j100 ohms para uma linha de transmissão com 
50 ohms de impedância característica e obter-se um 
coeficiente de reflexão teórico igual a zero, na frequência de 
900 MHz. 
 
 
 
 
 
 
IV. Guias e Cavidades de microondas 
 
99. Um guia de onda retangular com lado 2b e um guia de 
onda circular de diâmetro 2r apresentam a mesma área da 
seção reta. Caso o comprimento de onda de corte do guia de 
onda retangular seja 4b, determine o comprimento de onda 
do guia circular. (REA) 
 
100. Determine a freqüência de corte do primeiro modo de 
ordem mais elevada para uma linha coaxial de 50 ohms com 
dielétrico a ar e cujo condutor interno apresenta um raio de 
2 mm. (REA) 
 
101. Determine as primeiras quatro freqüências de corte 
relativas a frequência de corte do modo dominante para os 
três seguintes casos de guias de onda retangulares: b/a = 1; 
b/a = ½ e b/a = 1/3. Considerando-se a = 3 cm determine os 
modos de propagação para f = 9 GHz. (REA) 
 
102. Determine o comprimento de onda e a frequência de 
corte para os modos TE11 e TE10 para um guia de onda 
retangular com largura e altura iguais a “a” e “b”, 
respectivamente. Qual é o significado do TE10? (REA) 
 
103. Um guia de onda retangular com dielétrico ar 
apresenta dimensões 10 cm e 6 cm. Determine as 
freqüências de corte pra os modos TM10, TM20, TM11 e TM21. 
(REA) 
 
104. Uma cavidade de ressonância retangular apresenta o ar 
como dielétrico e dimensões 4 x 2 x 4 cm. Determine as três 
freqüências mais baixas de oscilação e especifique os modos 
de oscilação. (REA) 
 
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105. Projete um guia de onda retangular com dielétrico ar, 
para operação em 12 GHz, no modo TE10 com 25% de fator 
de segurança. Ou seja, requer-se que o modo com a próxima 
freqüência de corte superior opere a 25% abaixo de sua 
freqüência de corte. (REA) 
 
106. Determine todos os modos que podem ser 
transmitidos em um guia de onda retangular cujas 
dimensões são 4x2 cm, com dielétrico ar. Suponha que o 
guia é excitado a 3 GHz e 6 GHz. (REA) 
 
107. Um guia de onda retangular com dimensões a = 2,5 cm 
e b = 1 cm deve operar abaixo de 15,1 GHz. Quantos modos 
TE e TM podem ser transmitidos pelo guia se o mesmo é 
preenchido com um meio caracterizado por σ = 0, ε = 4ε0, 
μr= 1? Calcule as freqüências de corte dos modos. [Sadiku] 
 
108. Em um guia de onda retangular, para o qual a = 1,5 cm, 
b = 0,8 cm, σ = 0, μ = μ0 e ε = 4ε0, o campo magnético é dado 
por: 
mAztsen
b
y
a
x
senH x /)10(
3
cos2 11 βpipi −×











=
Determine: 
a) o modo de operação; 
b) a frequência de corte; 
c) a constante de fase β; 
d) a constante de propagação γ; 
e) a impedância intrínseca da onda, η. [Sadiku] 
 
109. Um guia de onda padrão, contendo ar e de dimensões 
a = 8,636 cm e b = 4,318 cm, é alimentado por um cabo 
coaxial com uma portadora de 4 GHz. Determine se o modo 
TE10 irá se propagar. Se este for o caso, calcule a velocidade 
de fase e a velocidade de grupo. [Sadiku] 
 
 
Equações aplicáveis 
 
a) Guia de Onda Retangular (dielétrico ar): 
 
Modo TE TE/TM Modo TM 
mn
o
mn
kZZh
,
0
, β
×
=
 
 - 
- 
o
mn
mn k
Z
Ze ,0
,
β×
=
 
 22
,






+





=
b
m
a
nkc mn
pipi 
 2
,,
2
, mneomn kk −=β 
 
22,
2






+





=
b
m
a
n
c mnλ
 
 
o
ok λ
pi2
= 
 
 22
, 2






+





×=
b
m
a
ncfc mn
 
 
 
1
2
,
,
−





= f
fc
c
mn
mn
ω
α 
 
 
ko >kcm,n: o modo se propaga 
ko < kcm,n: o modo decai rapidamente 
 
O modo mais baixo de propagação TE é o TE1,0 
O modo mais baixo de propagação TM é o TM1,1 
 
 
b) Guia de Onda circular: 
 
Valores de pn m para modos TM 
n pn1 pn2 pn3 
0 2,405 5,520 8,654 
1 3,832 7,016 10,174 
2 5,135 8,417 11,620