EDO - Ordem Superior

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Universidade Federal da Bahia - UFBA
Instituto de Matema´tica - IM
Disciplina: MATA04 - Ca´lculo C
Professor: Fellipe Antonio
NOME:
2a Lista de Exercı´cios: EDO de Ordem Superior e Sistemas Lineares
Observac¸a˜o: A maioria das questo˜es dessa lista foi retirada do livro “To´picos: Se´ries e Equac¸o˜es
Diferenciais, 3a Edic¸a˜o”. Caso necessa´rio, confiram a pa´gina e a questa˜o no mesmo.
BLOCO 1: Tipos Especiais de E.D.O. de Ordem Superior
1) Resolva as equac¸o˜es abaixo: (cf. Livro p.182)
(a) xy′′′ = 2 R. y = x2 lnx+ c1x2 + c2x+ c3
(b) xy′′ − y′ = x2ex R. y = (x− 1)ex + c1x2 + c2
(c) x2y′′ + xy′ = 1 R. 2y = (lnx)2 + c1 lnx+ c2
(d) xy′′ + y′ = 0 R. y = c1 + c2 lnx
(e) (x+ 1)y′′ − (x+ 2)y′ + x+ 2 = 0 R. y = (c1ex + 1)x+ c2
(f) 2yy′′ = 1 + (y′)2, y(1) = 2, y′(1) = 1 R. 4y = x2 + 2x+ 5
(g) yy′′ + (y′)2 = (y′)3, y(0) = 1, y′(0) = 1 R. y = x+ 1
(h) yy′′ − (y′)2 = y4, y(0) = 1, y′(0) = 0 R. y = sec x
(i) xy′′′ + y′′ = 1 R. 2y = x2 + c1x lnx+ c2x+ c3
BLOCO 2: E.D.O. Lineares de Ordem Superior
2) Dadas as equac¸o˜es lineares homogeˆneas abaixo, com suas respectivas soluc¸o˜es particulares,
determine uma outra soluc¸a˜o L.I a soluc¸a˜o dada. (cf. Livro p.189)
(a) xy′′ − (x+ 2)y′ + 2y = 0, y1 = ex R. y2 = x2 + 2x+ 2
(b) xy′′ − y′ = 0, y1 = 1 R. y2 = x2
(c) xy′′ + (2 + x)y′ + y = 0, y1 =
1
x
R. y2 =
e−x
x
(d) xy′′ + 2y′ + xy = 0, y1 =
sen x
x
R. y2 =
cos x
x
(e) x2(lnx− 1)y′′ − xy′ + y = 0, y1 = x R. y2 = lnx
(f) xy′′ + (x− 1)y′ − y = 0, y1 = e−x R. y2 = x− 1
3) Resolva as equac¸o˜es abaixo (cf. Livro p.194-195):
(a) y′′ + y′ − 2y = 0 R. y = c1e−2x + c2ex
(b) y′′ − 10y′ + 25y = 0 R. y = c1e5x + c2xe5x
(c) y′′ − 5y′ + 4y = 0, y(0) = 5, y′(0) = 8 R. y = 4ex + e4x
(d) y′′ + 4y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2 R. y = sen 2x
(e) y′′ + 2y′ = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0 R. y = 1
(f) y(4) + y = 0 R.y = e
x√
2 (c1cos
x√
2
+ c2sen
x√
2
) + e
−x√
2 (c3cos
x√
2
+ c4sen
x√
2
)
(g) y′′′ − 3y′′ + 4y = 0 R. y = c1e−x + c2e2x + c3xe2xx
# DICA para letra (f): Seja z = a+ bi um nu´mero complexo. Se a = rcos θ, b = rsen θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi e
a2 + b2 = r2, θ = arctan
b
a
, enta˜o z = a+ bi = rcosθ + irsen θ = rei(θ+2kpi), k ∈ Z e
n
√
z =
n
√
rcosθ + irsen θ =
n
√
rei(θ+2kpi) = n
√
rei
θ+2kpi
n , k = 0, 1 . . . , n− 1.
4) Resolva as equac¸o˜es abaixo, utilizando o me´todo de Lagrange. (cf. Livro p.200)
(a) y′′ − y
′
x
= x R. y =
x3
3
+ c1x
2 + c2
(b) y′′ + y = cotg x R. y = c1cos x+ c2sen x+ (sen x) ln(cossec x− cotg x)
(c) y′′ + 4y = sec 2x R. y = c1cos 2x+ c2sen 2x+
x
2
sen 2x+
1
4
cos 2x ln(cos 2x)
(d) y′′ − 6y′ + 9y = e
3x
x2
R. y = c1e
3x + c2xe
3x − e3x lnx
# DICA: Observe que todas essas equac¸o˜es sa˜o lineares e na˜o homogeˆneas. Assim voceˆ precisara´ resolver
primeiro as equac¸o˜es homogeˆneas associadas, para isso voceˆ tera´ que perceber que essa equac¸a˜o e´ um
dos tipos especiais estudados no Bloco 1.
5) Para cada equac¸a˜o linear abaixo, e´ fornecida uma soluc¸a˜o particular y1 da equac¸a˜o ho-
mogeˆnea associada. Encontre o Sistema Fundamental de Soluc¸o˜es (S.F.S.) da equac¸a˜o ho-
mogeˆnea associada, em seguida resolva as equac¸o˜es usando o me´todo de Lagrange. (cf. Livro
p.200).
(a) xy′′ + (x+ 2)y′ + y = e−x, y1 =
1
x
R. y = c1
1
x
+ c2
e−x
x
− e−x
(b) x2y′′ − 2xy′ + 2y = x3, y1 = x2 R. y = c1x+ c2x2 + x
3
2
(c) x2y′′ − xy′ = 3x3, y1 = 1 R. y = c1 + c2x2 + x3
(d) xy′′ + (x+ 2)y′ + y = e−x, y1 = x−1 R. y =
c1
x
+ c2
e−x
x
− e−x
6) Utilizando o me´todo dos coeficientes a determinar, encontre as soluc¸o˜es das equac¸o˜es na˜o
homogeˆneas: (cf. Livro p.206-207)
(a) y′′ − 5y′ + 6y = 2ex R. y = c1e2x + c2e3x + ex
(b) y′′ − 2y′ + y = (x+ 1)ex R. y = c1e−x + c2xe−x + x
4
ex
(c) y′′ + 9y = x2e3x + 6 R.y = c1cos(3x) + c2sen(3x) +
(x2
18
− x
27
+
1
162
)
e3x +
2
3
(d) y′′′ − 4y′′ + 5y′ − 2y = 2x+ x3 R. y = c1ex + c2xex + c3e2x − x− 4
(e) y′′′ − 2y′′ + y′ = 2ex + x3 R. y = c1ex + c2xex + c3 + x2ex + x
4
4
+ 2x3 + 9x2 + 24x
(f) y′′′ − y′ = xe−x + 2cos(x) R. y = c1ex + c2e−x + c3 +
(x2 + 3x
4
)
e−x − sen(x)
(g) y′′ − 7y′ + 6y = sen(x) R. y = c1ex + c2e6x + 5sen(x) + 7cos(x)
74
(h) y′′ + 9y = (x+ 1)e3x R. y = c1cos(3x) + c2sen(3x) +
( x
18
+
1
27
)
e3x
7) Deˆ apenas a forma da soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es abaixo: (cf. Livro p.207)
(a) y(4) − y′′′ − y′′ + y′ = x2 + 4 + xsen(x) (b) y(4) + 2y′′′ + 2y′′ = 3ex + 2xe−x + e−xcos(x)
8) Determine a EDOL homogeˆnea de coeficientes constantes, de menor ordem, que admite
como soluc¸a˜o particular a func¸a˜o (cf. Livro p.207)
(a) y = 2ex − xe−3x R. y′′′ + 5y′′ + 3y′ − 9y = 0
(b) y = 3x+ 5e2xsen(x) R. y(4)− 4y′′′ + 5y′′ = 0
# DICA: Lembre-se do que e´ uma EDOL homogeˆnea com coeficientes constantes. Veja que as soluc¸o˜es
particulares acima lhe permitem conhecer algumas ra´ızes caracter´ısticas; monte a equac¸a˜o caracter´ıstica
de menor grau que tem essas ra´ızes (lembrando de pensar como as multiplicidades interferem na escrita
da soluc¸a˜o). Depois disso basta usar a equac¸a˜o caracter´ıstica pra escrever a EDO.
9) Encontre as soluc¸o˜es gerais assumindo x > 0 : (cf. Livro p.210)
(a) x2y′′ + 2xy′ − 6y = 0 R. y = x
3
3
+ c1x
2 + c2
(b) y′′ − y = cotg x R. y = c1cos x+ c2sen x+ (sen x) ln(cossec x− cotg x)
(c) y′′ + 4y = sec 2x R. y = c1cos 2x+ c2sen 2x+
x
2
sen 2x+
1
4
cos 2x ln(cos 2x)
(d) y′′ − 6y′ + 9y = e
3x
x2
R. y = c1e
3x + c2xe
3x − e3x lnx