Exercicios 6 a 10 - 2x

Prévia do material em texto

As Linhas de Força e as linhas Equipotenciais interceptam-se ortogonalmente. Determinar as linhas de força do campo elétrico gerado por dois fios paralelos de material condutor, carregados com cargas opostas de mesma intensidade, encontrando as trajetórias ortogonais da família x2 + y2 + 1 = 2 Cx. Sugestão: Usar o fator integrante u(y) = y - 2
	
	
	
	Será : y2 - 1 = Ky
	
	
	Será :x2 - 1 = Ky
	
	
	Será :x2+ y2 - 1 = Ky
	
	
		Será :x2+  1 = Ky
	
	
	Será :x2+ y2 = Ky
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	{(x,y)  3|  x+y ≥ - 2}
	
	
	{(x,y)  2|  x+y ≥ 2}
	
	
	{(x,y)  2|  x+y2 ≥ 2}
	
	
	 {(x,y)  2|  x+y = 2}
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dado um conjunto de funções  {f1,f2,...,fn}{f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem n:
W(f1,f2,...,fn)W(f1,f2,...,fn) = ⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n−1f2n−1...fnn−1⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦[f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1]
Calcule o Wronskiano  formado pelas funções na primeira linha,pelas  primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as funções:
                               f(x)f(x)= e2xe2x  ;
                             g(x)g(x)=senxsenx     e     
                             h(x)=x2+3x+1h(x)=x2+3x+1
Determine o   Wronskiano  W(f,g,h)W(f,g,h) em xx= 00.
	
	
	
	-2     
	
	
	 7
	
	
	 2      
	
	
	 1       
	
	
	 -1     
	
Explicação:
Calculando-se o Wronskiano, encontra-se W= -2.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2).
	
	
	
	o Limite será 9.
	
	
	o Limite será 1.
	
	
	o Limite será 12.
	
	
	o Limite será 5.
	
	
	o Limite será 0.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não.
d2ydt2+sen(t+y)=td2ydt2+sen(t+y)=t
	
	
	
	1ª ordem e linear.
	
	
	1ª ordem e não linear.
	
	
	2ª ordem e linear.
	
	
	3ª ordem e linear.
	
	
	2ª ordem e não linear.
	
Explicação:
A ordem de uma ED é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação e, nesse caso, temos uma ED de segunda ordem e não linear por causa do sen(t+y)sen(t+y)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Seja y1 = cos x e y2 = sen x soluções  particulares da equação y + y = 0. Calcule o Wronskiano.
	
	
	
	O Wronskiano será 3.
	
	
	O Wronskiano será 1.
	
	
	O Wronskiano será 13.
	
	
	O Wronskiano será 5.
	
	
	O Wronskiano será 0.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dinâmica populacional - Sabendo que o modelo de crescimento populacional supõe que a taxa de crescimento de uma população dy/dt é proporcional a população presente naquele instante y(t), portanto podemos descreve-lo como um problema de Valor Inicial dy/dt = k y onde y(0) = y0. Com base nessa informação, encontre a solução do problema de crescimento populacional (problema de valor inicial) sabendo que  y0 = 3 e que em 10 dias havia 240 indivíduos.
	
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 7ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 56t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) = t2 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 45t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 3 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80 t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) =  ekt + t. Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 3 e4t . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 80 t/10
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0
	
	
	
	y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t)
	
	
	y(t)=53e−t+23e−(4t)y(t)=53e-t+23e-(4t)
	
	
	y(t)=43e−t − 13e4ty(t)=43e-t - 13e4t
	
	
	y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)y(t)= - 43e-t - 13e-(4t)
	
	
	y(t)=43e−t+13e−(4t)y(t)=43e-t+13e-(4t)
	
Explicação:
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: m²+5m+4=0m²+5m+4=0...(1)
Raízes: m1=−1;m2=−4m1=−1;m2=−4   ... A resposta típica é: y(t)=C1e−t+C2e−4ty(t)=C1e−t+C2e−4t....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
y(0)=1;y′(0)=0y(0)=1;y′(0)=0
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: C1=43;C2=−13C1=43;C2=−13
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
y(t)=y(t)=43e−t−13e−4t43e−t−13e−4t
 
		1.
		Resolver a equação diferencial 4𝑥 − 𝑦² = 1, com a condição y(2) = 2:
	
	
	
	𝑦 = 𝑥² − 𝑥 + 2
	
	
	𝑦 = 2𝑥² + 𝑥 - 2
	
	
	𝑦 = − 𝑥 + 8
	
	
	𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 10
	
	
	𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 8
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sabendo que y1 = cos x e y2 = sen x são soluções particulares da equação y + y = 0 utilizando o princípio de superposição podemos afirmar que:
I - y = c1 sen x + c2 cos x também é solução da equação.
II - y = c1 sen x + c2 cos x não é solução da equação.
III - y1/y2 é LI
IV - o Wronskiano nos garante que se y1 e y2 são LI, entao o W(y1,y2) é dirente de zero em cada ponto num intervalo aberto I.
	
	
	
	Apenas I, III e IV são verdadeiras.
	
	
	Todas as afirmações são verdadeiras,
	
	
	Apenas IV é verdadeiras
	
	
	Apenas I e II são verdadeiras.
	
	
	Apenas I e IV são verdadeiras.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine c1c1 e c2c2 de modo que f(x)=c1e2x+c2ex+2senxf(x)=c1e2x+c2ex+2senx satisfaça as seguintes condições iniciais: f(0)=0f(0)=0 e f'(0)=1f′(0)=1. Marque a única resposta correta.
	
	
	
	c1=e−1c1=e-1
c2=e+1c2=e+1
	
	
	c1=−1c1=-1
c2=−1c2=-1
	
	
	c1=−1c1=-1
c2=1c2=1
	
	
	c1=−1c1=-1
c2=2c2=2
	
	
	c1=−1c1=-1
c2=0c2=0
	
Explicação:
O chamado, problema de condição inicial, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma ED pode admitir, escolhamos uma curva-solução, em um mesmo ponto, que atenda ao projeto/processo em estudo.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0).
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	tende a zero
	
	
	tende a x
	
	
	tende a 9
	
	
	tende a 1
	
	
	
	 
		
	
		5.
		 Sobre Transformadas de Laplace podemos afirmar:
1.  É um método simples.
2. Serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral.
3. Equação Diferencial são resolvidas através de integrais e derivadas.
4. Serve para transformar uma Equação algébrica com condições iniciais em uma equação Diferencial  , de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral.
5.  É um método complexo.
	
	
	
	As alternativas 2 e 3 estão corretas.
	
	
	As alternativas 1,2 e 3 estão corretas.
	
	
	As alternativas 1 e 3 estão corretas.
	
	
	As alternativas 2,3 e 5 estão corretas.
	
	
	As alternativas 1,3 e 4 estão corretas.
	
Explicação:
As alternativas 1,2 e 3 estão corretas.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine o Wronskiano W(senx,cosx)W(senx,cosx)
	
	
	
	0
	
	
	cos x
	
	
	senx cosx
	
	
	1
	
	
	sen x
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Seja a função f(x,y)=2x³+xy. A derivada na direção do vetor v=3i-4j, no ponto P=(1,-2) tem valor de:
	
	
	
	8/5
	
	
	11/2
	
	
	10/3
	
	
	13/4
	
	
	18/7
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine a solução da equação diferencial x2 y + xy + 9y = 0, x > 0
	
	
	
	y = c1 sen ( ln x) + c2 sen (3ln x)
	
	
	y = c1 cos (3 ln x) + c2 sen (3ln x)
	
	
	y =  c2 sen (3ln x)
	
	
	y = c1 cos (3 ln x)
	
	
	y = c1 cos ( ln x) + c2 sen (ln x)
		1.
		Das alternativas a seguir identifique qual é a solução para o problema de valor inicial y´´+16y=0, y(0)=0 e y´(0)=1.
	
	
	
	cosx2cosx2
	
	
	1/4 sen4x
	
	
	sen4xsen4x
	
	
	cosxcosx
	
	
	senxsenx
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Um dos métodos de solução de uma EDLH é chamado de Método de Redução de Ordem, no qual é dada uma solução, por exemplo y1y1 e calcula-se a outra solução y2y2, pela fórmula abaixo:
 y2=y1∫e−∫(Pdx)y21dxy2=y1∫e-∫(Pdx)y12dx
Assim, dada a solução y1 =cos(4x)y1 =cos(4x), indique a única solução correta de y2y2 para a equação y''−4y=0y′′-4y=0 de acordo com as respostas abaixo:
	
	
	
	sec(4x)sec(4x)
	
	
	cos−1(4x)cos-1(4x)
	
	
	tg(4x)tg(4x)
	
	
	sen−1(4x)sen-1(4x)
	
	
	sen(4x)sen(4x)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é SOMENTE correto afirmar que
(I) A forma geral das equações diferenciais de 1a ordem é F(x,y,y´)=0 .
(II) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma: dydx=F(x,y)dydx=F(x,y).
(III) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma M dx+ N dy=0  onde M=M(x,y)  e N=N(x,y) são continuas no intervalo considerado.
 
	
	
	
	(III)
	
	
	(I)
	
	
	(II)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule a Transformada  Inversa de Laplace, f(t)f(t),  da função: F(s)=2s2+9F(s)=2s2+9, com o uso adequado  da Tabela:
L(senat) =as2+a2L(senat) =as2+a2,
L(cosat)= ss2+a2L(cosat)= ss2+a2
	
	
	
	f(t)=23sen(4t)f(t)=23sen(4t)
	
	
	f(t)=13sen(3t)f(t)=13sen(3t)
	
	
	f(t)=23sen(t)f(t)=23sen(t)
	
	
	f(t)=23sen(3t)f(t)=23sen(3t)
	
	
	f(t)=sen(3t)f(t)=sen(3t)
	
Explicação:
No texto são informadas duas transformadas uma do seno e outra do cosseno. Aplicando a tabela das transformadas identificam-se os parâmetros necessários para dar a resposta correta. 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Calcule a Transformada  Inversa de Laplace, f(t)f(t),  da função: F(s)=2s2+9F(s)=2s2+9, com o uso adequado  da Tabela:
L(senat) =as2+a2L(senat) =as2+a2,
L(cosat)= ss2+a2L(cosat)= ss2+a2
	
	
	
	f(t)=23sen(t)f(t)=23sen(t)
	
	
	f(t)=13sen(3t)f(t)=13sen(3t)
	
	
	f(t)=23sen(3t)f(t)=23sen(3t)
	
	
	f(t)=sen(3t)f(t)=sen(3t)
	
	
	f(t)=23sen(4t)f(t)=23sen(4t)
	
Explicação:
Solução com o uso da tabela dada na questão.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Calcule f(t)f(t) se F(s)=1(s−1)(s−2)(s−3)F(s)=1(s−1)(s−2)(s−3) e marque a única resposta correta.
	
	
	
	12et−23e2t+12e3t12et−23e2t+12e3t
	
	
	et−e2t+e3tet−e2t+e3t
	
	
	12et−e2t+12e−2t12et−e2t+12e−2t
	
	
	12et−e2t+12e3t12et−e2t+12e3t
	
	
	12et−e−t+12e3t12et−e−t+12e3t
	
Explicação:
Calcule f(t)f(t)pelo método das frações parciais e o da ocultação para calcular os coeficientes das exponenciais.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Marque a única resposta correta para f(t)f(t) se F(s)=10−s(s−1)(s−2)F(s)=10−s(s−1)(s−2)
	
	
	
	−9et+8e−t−9et+8e−t
	
	
	−2et−8e2t−2et−8e2t
	
	
	et+8e2tet+8e2t
	
	
	−9et+8e2t−9et+8e2t
	
	
	9e3t+8e2t9e3t+8e2t
	
Explicação:
Uso  do método das frações parciais com denominadores distintos.
Frações parciais: -9/(s-1) + 8/(s-2)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dado F(s)=2s(s−1)(s+2)F(s)=2s(s−1)(s+2)calcule f(t)f(t) e marque a única resposta correta
	
	
	
	f(t)=23e−t+43e−2tf(t)=23e−t+43e−2t
	
	
	f(t)=23et−43e−2tf(t)=23et−43e−2t
	
	
	f(t)=−23et+43e−2tf(t)=−23et+43e−2t
	
	
	f(t)=13et+43e−2tf(t)=13et+43e−2t
	
	
	f(t)=23et+43e−2tf(t)=23et+43e−2t
	
Explicação:
Calcula-se f(t)=23et+43e−2tf(t)=23et+43e−2t usando o método das Frações Parciais juntamente com o método do cálculo da Transformada de Exponenciais.
Frações parciais: 2/(3.(s-1) + 4/3(s+2)
	
		1.
		Resolva a equação diferencial    exdydx=2xexdydx=2x  por separação de variáveis.
	
	
	
	y=−12e−x(x−1)+Cy=-12e-x(x-1)+C
	
	
	y=e−x(x+1)+Cy=e-x(x+1)+C
	
	
	y=e−x(x−1)+Cy=e-x(x-1)+C
	
	
	y=−2e−x(x+1)+Cy=-2e-x(x+1)+C
	
	
	y=12ex(x+1)+Cy=12ex(x+1)+C
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja a função
 f(x)=x2cos(x)f(x)=x2cos(x)
Podemos afirmar que f é uma função:
	
	
	
	Par
	
	
	Impar
	
	
	é par e impar simultâneamente
	
	
	nem é par, nem impar
	
	
	Dependendo dos valores de x f pode ser par ou impar.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja y + 5 y+ 6 y = 0 uma equaçao diferencial de 2 ordem. Encontre a solução geral desta equação.
	
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 e-4x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 ex, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 e+ c2 e5x+1, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 e-2x + c2 e-3x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex+ c2 e5x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a solução geral da equação diferencial x2 (d2 y/ dx2 ) - 2 x (dy/dx) + 2y = x3 , x > 0
	
	
	
	y = c1 et + c2 e2t + (1/2) e3t
	
	
	y =  (1/2) e3t
	
	
	y = c1 et + c2 e2t
	
	
	y = c1 et
	
	
	y = c1 et +  (1/2) e3t
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A solução da equação diferencial (y-sen(x))dx + (sen(y) +ex)dy=0  é
	
	
	
	cos(x) - cos(y)+yex
	
	
	sen(y) - cos(x)+yex
	
	
	sen(x) + cos(y)+ex
	
	
	cos(y) - cos(x)+y
	
	
	sen(x) - cos(x)+ex
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O elemento químico rádio (Ra) presente em um pedaço de chumbo se decompõe a uma taxa que é proporcional à sua quantidade presente. Se 10% do Ra decompõem em 200 anos, qual é porcentagem da quantidade original de Ra que estará presente no pedaço de chumbo após 1000 anos?
	
	
	
	40,00%
	
	
	80,05%
	
	
	59,05%
	
	
	70,05%
	
	
	60,10%
	
Explicação: resolver a EDO dQ/dt=-kQ por varáveis separáveis
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dada  função F(t) = 2t2 - 3t +4.  Use a transformada de Laplace para determinar F(s)
	
	
	
	3s2 -2s + 4
	
	
	4s2 - 3s + 4
	
	
	12s + 2/s - 3/s2
	
	
	4/s3 -  3/s2 + 4s-1
	
	
	4/s -3/s2 + 4/s3
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 6 anos, quando ela triplicará? Sugestão: dN/dt = kN
	
	
	
	20 anos
	
	
	2 anos
	
	
	5 anos
	
	
	10 anos
	
	
	1 anos
		1.
		Seja y = C1e-2t + C2e-3t  a solução geral da EDO  y" + 5y´ + 6y = 0.  Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y`(0) = 3.
	
	
	
	y = 9e-2t - 7e-3t
	
	
	y = e-2t - e-3t
	
	
	y = 9e-2t - e-3t
	
	
	y = 3e-2t - 4e-3t
	
	
	y = 8e-2t + 7e-3t
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: `e^(y).(dy/dx + 1) = 1.
	
	
	
	`lne^(y)  = c
	
	
	`e^(y)  = c - y
	
	
	ln(ey−1)=c−xln(ey-1)=c-x
	
	
	`y - 1 = c - x
	
	
	`e^(y)  = c - x
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Classificando a equação diferencial entre: separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
dy/dx = x/y + y/x +1 concluimos que ela é:
	
	
	
	separavel
	
	
	exata
	
	
	não é equação doiferencial
	
	
	homogenea
	
	
	linear
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Se a solução geral da equação diferencial exata (3x2 - y3)dx + (2y - 3xy2)dy = 0
é x3 - y3x + y2 = C, então a solução que satisfaz a condição inicial y(0)=3 é:
 
	
	
	
	x3- y3x + y2 = 3
	
	
	x3- y3 = 0
	
	
	x3+ y2 = 0
	
	
	x3- y3x + y2 = 0
	
	
	x3- y3x + y2 = 9
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3y'+6y+sen(x) +(y")³=3y'+6y+tan(x) +y"'+3yy'+y'
	
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	ordem 2 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 2
	
	
	ordem 3 grau 1
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Marque dentre as opções abaixo a solução da equação diferencial dydx=(1+y2).exdydx=(1+y2).ex para x pertencente a o inervalo [−π2,π2][-π2,π2]
	
	
	
	y=sen(ex+C)y=sen(ex+C)
	
	
	y=2.cos(2ex+C)y=2.cos(2ex+C)
	
	
	y=tg(ex+C)y=tg(ex+C)
	
	
	y=2.tg(2ex+C)y=2.tg(2ex+C)
	
	
	y=cos(ex+C)y=cos(ex+C)7.
		Indique qual é a solução da equação diferencial:
xdx+ydy=xy(xdy−ydx)xdx+ydy=xy(xdy-ydx)
	
	
	
	1+y²=C(lnx−x²)1+y²=C(lnx-x²)
	
	
	1+y=C(1−x²)1+y=C(1-x²)
	
	
	seny²=C(1−x²)seny²=C(1-x²)
	
	
	C(1 - x²) = 1
	
	
	1+y²=C(1−x²)1+y²=C(1-x²)
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100ºF em uma sala com temperatura constante de 0ºF. Se após, 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF. Determine o tempo, aproximadamente, necessário para a barra chegar a temperatura de 25ºF.
	
	
	
	30 minutos.
	
	
	1 hora.
	
	
	40 minutos.
	
	
	50 minutos.
	
	
	20 minutos.
	
Explicação:
Esse problema é resolvido com uma EDO da forma dT/ dt = -k(T-0), resolvendo, T = 100 - ce-kt . Como T(0) = 50, c = 50
T = 100e-kt. Fazendo T(20) = 50, achamos k = -ln(0,5) / 20
Fazendo 100e-kt = 25, achamos kt = -ln0,25, logo t = 20ln0,25 / ln0,5 = 40