Cálculo III Lista 3

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PUCPR – Escola Politécnica 
Cálculo III – Lista 3. Transformada de Laplace 
Referência: ZILL, D. G., CULLEN, M. R.; Equações Diferenciais. Vol. 1. Pearson Makron Books, 
2001 
1. Use a definição para calcular ℒ{𝑓(𝑡)} 
a. 𝑓(𝑡) = {
2𝑡 + 1, 0 ≤ 𝑡 < 1
0, 𝑡 ≥ 1
 
b. 𝑓(𝑡) = {
0, 0 ≤ 𝑡 <
𝜋
2
0, 𝑡 ≥
𝜋
2
 
c. 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑒4𝑡 
d. 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡 cos 𝑡 
e. 𝑓(𝑡) = 𝑡 sen 𝑡 
f. 𝑓(𝑡) = 𝑡2 + 6𝑡 − 3 
g. 𝑓(𝑡) = 1 + 𝑒−2𝑡 
2. Encontrar a transformada inversa pedida 
a. ℒ−1 {
1
𝑠4
} 
b. ℒ−1 {
(𝑠+2)2
𝑠3
} 
c. ℒ−1 {
1
𝑠2
−
1
𝑠
+
1
𝑠−2
} 
d. ℒ−1 {
4
𝑠
+
6
𝑠2
+
1
𝑠+8
} 
e. ℒ−1 {
1
4𝑠+1
} 
f. ℒ−1 {
4𝑠
4𝑠2+1
} 
g. ℒ−1 {
1
4𝑠2+1
} 
h. ℒ−1 {
𝑠
𝑠2+2𝑠−3
} 
i. ℒ−1 {
𝑠
(𝑠2+4)(𝑠+2)
} 
3. Encontre 𝐹(𝑠) = ℒ{𝑓(𝑡)} ou 𝑓(𝑡) = ℒ−1{𝐹(𝑠)} domo indicado. 
a. ℒ{𝑡𝑒−6𝑡} 
b. ℒ{𝑡3𝑒−2𝑡} 
c. ℒ{𝑒𝑡 sen 3𝑡} 
d. ℒ{𝑒5𝑡 senh 3𝑡} 
e. ℒ−1 {
1
(𝑠−1)4
} 
f. ℒ−1 {
5𝑠
(𝑠−2)3
} 
g. ℒ{(𝑡 − 1)𝒰(𝑡 − 1)} 
h. ℒ{𝑡𝒰(𝑡 − 2)} 
 
4. Escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a transformada 
de Laplace da função dada. 
a. 𝑓(𝑡) = {
2, 0 ≤ 𝑡 < 3
−2, 𝑡 ≥ 3
 
b. 𝑓(𝑡) = {
0, 0 ≤ 𝑡 < 1
𝑡2, 𝑡 ≥ 1
 
c. 𝑓(𝑡) = {
sen 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 < 2𝜋
0, 𝑡 ≥ 2𝜋
 
5. Encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral. 
a. ℒ {∫ 𝑒𝜃𝑑𝜃
𝑡
0
} 
b. ℒ {∫ 𝜃𝑒𝑡−𝜃𝑑𝜃
𝑡
0
} 
c. ℒ {∫ sen 𝜃 cos(𝑡 − 𝜃) 𝑑𝜃
𝑡
0
} 
d. ℒ{1 ∗ 𝑡3} 
e. ℒ{1 ∗ 𝑒−2𝑡} 
f. ℒ{𝑡2 ∗ 𝑡𝑒𝑡} 
 
6. Use convolução para encontrar 𝑓(𝑡). 
a. ℒ−1 {
1
𝑠(𝑠+1)
} 
b. ℒ−1 {
1
𝑠(𝑠2+1)
} 
c. ℒ−1 {
1
(𝑠+1)(𝑠−2)
} 
Transformada de uma função periódica. Seja 𝑓(𝑡) contínua por partes em [0, ∞) e de 
ordem exponencial. Se 𝑓(𝑡) for periódica de período 𝑇, então ℒ{𝑓(𝑡)} =
1
1−𝑒−𝑠𝑇
∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑇
0
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 
7. Encontre a transformada de Laplace da função periódica dada. 
a. 𝑓(𝑡) = sen 𝑡, 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡) 
b. 𝑓(𝑡) = cos 𝑡, 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)