Aula Cálculo II - Prof. Paschoal

Prévia do material em texto

Professor: Rockfeller
Ponto crítico: ponto de mudança de sentido da curva.
Revisão Cálculo I:
xxf
xxf
2)('
)( 2
=
=
7
8
8)('
)(
xxf
xxf
=
=
x
xxf
xxxf
2
1)('
)(
2
112
1
2
1
==
==
−=− 22
3
63.2)('
2)(
xxxf
xxf
==
=
123)('
)(
2
23
−+=
−+=
xxxf
xxxxf
32)('
23)( 2
−=
+−=
xxf
xxxf
[ ]
22 )12(
5
)12(
2).2()12.(1)('
)12(
2)(
−
−
=
−
+−−
=
−
+
=
xx
xx
xf
x
x
xf
2
3
231232
3
2
3232)('
1)(
θ
θ
θθθθθ
θ
θ
θ
+
−
=+−=+=
+=
−=−−−g
g
22
2
22
22
2
2
)1(
14421)1(
2).2()1.(1)('
1
2)(
−
−−−
=−−−=
−
+−−
=
−
+
=
θ
θθθθθ
θ
θθθθ
θ
θθ
h
h
33
11
3
2
3
2
3 2
3
2
3
2)('
)(
xxxf
xxxf
==
=
−=−
regra da cadeia
[ ]
3 2
3
33
21
3
1
3
3
1
33
1).3().01()('
).3()(
x
x
xxxxxf
xxxf
++=





+++=
+=
−=−
33
2
31
2
1
2
1
2
11
.
2
1
.
2
1)('
1)(
xx
xxf
x
x
xf
−=−=−=
==
−=−−
−
( )
( ) ( )3 223
21
3
1
2
3
1
23 2
54
.
3
88.54
3
1)('
5454)(
−
=−=
−=−=
−=−
x
x
xxxh
xxxh
Cáculo II
segunda-feira, 18 de fevereiro de 2013
20:43
 Página 1 de Calc II 
xxxxxxxg
xxxg
++=++=
+=
=− 231122
22
918)16.()3(2)('
)3()(
θθ
θ
cos1.cos' ==
=
y
seny
θ
θ
seny
y
−=
=
'
cos
θ
θ
2sec'=
=
y
tgy
xsenxseny
xy
222.2'
2cos
−=−=
=
)12).(1(sec'
)1(
22
2
+−+=
−+=
xxxy
xxtgy
( ) ( )
22
53
22
)22()3(222
222
)3(21.)22()3(2.)22(
2
1)('
3.)22(3.22)(
2
1
2
1
2
1
+
+
=
+
+++
=++
+
+
=++++=
++=++=
−
x
x
x
xx
x
x
x
xxxxf
xxxxxf
Derivação de Exponencial:
xx
x
eey
ey
==
=
1.'
1212
1.)1(
2
1
'
1)1(
2
11
2
1
)1(1
2
1
2
1
+
=
+
=+−=
==
++
−=−
++
x
e
x
e
xy
eey
xx
xx
( )
xx
xy
xxy
3
32
'
3ln
2
2
+
+
=
+=
xec
x
x
xecxxy
xgxtgy
3cos3
2
sec.3)3.3cos(.
2
1
.sec.3'
3cot3
2
2
22
1
2
−=−+=
+=
−
22
2
cos.22.cos' xxxxy
senxy
==
=
2
211 2
1
1.
2
1
'
2
1
cos
x
sen
xseny
y






=−





−=






=
−=−−
Revisão Calc I
segunda-feira, 18 de fevereiro de 2013
21:29
 Página 2 de Calc II 
Rever tabela de derivadas / integrais
[ ]
2
22
2
2
2
sec3.sec.61.sec3.1..sec.sec2.3)('
sec3)(
x
xtgxx
x
xxtgxxx
xf
x
x
xf
−
=
−
=
=
θθθθθθ
θθθθθθθθθθθ
θθθ
2.42cos.cos4)('
2cos.cos42.42.2cos.cos222).(2)('
2.cos2)(
22
2222
2
sensenf
sensensensenf
senf
−=
+−=++−=
=
Derivação Implícita:
Quando não é possível separar as variáveis.
dx
d
dx
dy
dx
dx
yx
9
9
22
22
=+
=+
Taxa Relacional:
Uma escada com 5m está apoiada em uma parede. Se a base da escada deslizar a uma taxa de 1m/s, 
qual a velocidade de descida do topo da escada quando a base da escada está a 3m da parede.
y
x
y
x
dx
dy
x
dx
dyy
dx
dyy
dx
dx
x
−
=
−
=∴−=
=+
2
222
022
4m
3m
5m
parede
piso
escada
h = 5
x = 3
y = 4 dt
dx
sm /1
222 yxh +=
dt
dy
dt
dx
dt
dh 222
+=
0.21.20.22 =+⇒=+
dt
dyyx
dt
dyy
dt
dx
x sm
dt
dy /
4
3
8
6
4.2
3.2 −
=
−
=
−
=⇒
Integral:
c
xdxx +=∫ 8
8
7
significa que a resposta contempla infinitas soluções.
cx
xdxxdxx +=== ∫∫
5
5
44
5
.555 ∫∫ +== cxdxdx 333
c
xxdxxdxx +=== ∫∫
=+
3
2
2
3
2
3
2
3
2
31
2
1
Rev
terça-feira, 19 de fevereiro de 2013
19:18
 Página 3 de Calc II 
( )
∫∫∫∫
∫∫∫∫






=+
+−−− +=







+=





+
+−+=−+=−+
θθθθθθθθθ
θ
dddd
cx
xxdxxdxdxxdxxx
3
41
3
1
3
1
1223
1
23
2
23
22
222
3
23
3)3(
c++=
4
32
3
4
1- θθ
Integral
terça-feira, 19 de fevereiro de 2013
20:14
 Página 4 de Calc II 
c
x
dxxdx
x
dx
xx
dx
xx
+−==== ∫∫∫∫
− 21
.
11 2
3
2
3
2
1
cxxdxxdxxxdx
x
xdx
x
x
+=====
−−=+−
−
∫∫∫∫
3 23
2
3
21
3
5
23
1
2
3
1
2
3
2
3
2
3
.
∫
erioriteb
erioritea
suplim
inflim ..73
1
3
2
3
3332
1
2 au
xdxx =−⇒=∫ (gráfico y = x2)(gráfico área)
..
2
90
2
3
2
23
0
23
0 | auxxdx =−==∫
au
xdxx ..4
2
2
4
44
0
42
0
3 | ===∫ (gráfico y = x3)Definido
(gráfico y = x1/2)Definido..
3
20
3
2
3
2 |1
0
2
31
0
2
11
0
auxdxxdxxA =−==== ∫∫
Área da função y = sen(x) 0≤ π ≤ 2π
gráfico y = sen(x); intervalo: 0 - 2π
6
11
3
24
3
2
6
1.14
6
11
3
24
3
2
3
2
23
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
2
233
4
1
4
1
24
1
34
1
4
1
4
1
2
14
1
2
14
1 |||
=





−−





−−





−=
−−==−−=












 +
−=










 +
−= ∫∫∫∫∫
A
x
x
xdxdxxdxxdxxxdxxxA
..422
211)0cos2(coscos
211)0cos(coscos
21
22
2
0
01
|
|
auAAA
xdxsenxA
xdxsenxA
=−+=+=
−=−−=−−=−==
=++=−−=−==
∫
∫
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
Exercícios
segunda-feira, 25 de fevereiro de 2013
20:42
 Página 5 de Calc II 
Qual a área da região compreendida entre y1 senx e y2 = 1/2, 0 ≤ x ≤ π
gráfico y = sen(x) / y = 1/2
Interceptação dos pontos origina no eixo x os seguintes pontos:
x1 = π/6 = 30o , x2 = 5π/6 = 150
Resp: 0,685u.a.
Exemplo: y = 4 e y = 1, sendo 1 ≤ x ≤ 3 gráfico quadrático da área
∫ −
pi
0 2
1)( dxxsen
= 6u.a.|| 3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1 21
4
414
xxA
dxdxdxdxyy
−=
−=−=− ∫∫∫∫
Integral pro substituição:
dxdu
dx
du
xu
dxx
=
=
+=
+∫
2
2
12
)12( 2
∫ +
+
⇒+== c
x
c
uuduu
6
)12(
632
1)(
333
2
dxdu
dx
du
xu
dxx
=
=
+=
+∫
2
2
12
)12( 20
∫ ++=+= cxc
uduu 21
21
20 )12(
42
1
212
1)(
dxdu
dx
du
xu
dxxsen
=
=
+=
++∫
2
2
12
)22(
∫ +
+
⇒+
−
=+−= c
x
c
u
cu
du
usen
2
)12cos(
2
cos
cos
2
1
2
)(
Exercícios Rev.
segunda-feira, 25 de fevereiro de 2013
21:39
 Página 6 de Calc II 
dxdu
dx
du
xu
dx
x
dx
=
=
+=
+∫
1
3
3
∫ ++⇒+= cxcuu
du )3ln(ln
dxdu
dx
du
xu
dx
x
dx
=
=
−=
−
∫
1
2
)2( 4
c
x
c
x
c
u
c
uduu
u
du
+
−
−=+
−
−⇒+−=+
−
==
−−=+−
−
∫∫ 3
3314
4
4 )2(3
1
3
)2(
33
dxxdu
x
dx
du
x
x
u
dxxdxxe
x
dxdx
x
edx
x
e
x
xx
2
2
1
22
1
22
1
2
1
1
2.22
−
−
−
−−
−=
−=
==
+=+=
+
∫∫∫∫∫
c
x
e
x
x
eedxxduuduedxxe
x
xuuu
+−−
−=
−
+−=−=+−⇒−=
−=+−
−−−
∫∫∫∫
2
2
1
221).(
1
1121
242
Exemplos Rev
segunda-feira, 25 de fevereiro de 2013
22:02
 Página 7 de Calc II 
Mudança de professor: Paschoal
paschoal@ctcea.org.br
(21) 9326-0355
Métodos de Integração•
Integrais múltiplas•
Diferenciais parciais•
Cálculo Vetorial•
Bibliografia:
Thomas vol I/II
Sanes Stuart vol II
Arquivo Professor
Aula de reforço:
Sábado, dia 16/03,08:00 às 12:00
2
2
2
1
2
2
2
2
)'.(
2
2
2
22
x
x
x
xx
xxx
edxedxedxedxe
dxxedxedxe
====
==
∫∫∫∫
∫∫
+c
deve-se incluir no integrando o valor da derivada
c
e
xdxedxxedxxeI
x
x
x
x +===×= ∫∫∫ 222
1
2
2
2
2
2
2
2
2
integral imediata
..112122 2ln0)2ln(
2ln
0
2ln
0
2ln
0
22222 | aueeeexdxedxxe xxx =−=−=−=== ∫∫
OBS: ( ) ( ) 2ln2ln2ln 2212 =





= xe
x
=
ln
integral imediata ≠ integral por partes
∫∫
∫
∫
=
=⇒=⇒=
−=
==
dxedv
dxdudxxduxu
dxxevuIp
dxxeI
x
x
x
2
2
2
)'(
.
cx
e
ex
ee
x
edxexedxeexIp
edxev
x
x
xxx
x
xxx
x
x
+





−=−=−=−=−=
==
∫∫
∫
2
1
.
24
1
.
222
1
.
22
1
.
222
.
2
2
2
222
2
222
2
2
Ementa
segunda-feira, 4 de março de 2013
20:37
 Página 8 de Calc II 
xxx
x
edxevdxedv
dxxduxu
vduvuIp
dxexI
222
2
2
1
3)'73()73(
.
)73(
==⇒=
=−=⇒−=
−=
−=
∫
∫
∫
cx
e
ex
ee
x
edxexedxeexIp
x
x
xxx
xxxx +



−−=−−=−−=−
−
=−−= ∫∫ 2
3)73(
24
3)73(
222
3)73(
22
3
2
)73(3.
2
1
2
1).73(
2
2
222
2222
cxdxxsendxxsenxdxsen
csenxdxxx
csenxxdx
+−===×
+=
+=
∫∫∫
∫
∫
4cos
4
1
.4.4
4
1
4
4.4
4
44
)'(cos
cos
=1
( )
xx
xsenIp
x
x
xsen
xdxsenxxsendxsenxxsenxIp
xsenxdxvxdxdv
dxduxu
xdxx
2cos
4
5)35.(
2
2
2
2cos
2
5)35.(
2
22
2
5)35.(
2
2
.5.
2
12
2
1).35(
2
2
12cos2cos
535
2cos)35(
+−=





 −
−−=−−=−−=
==⇒=
=⇒−=
−
∫∫
∫
∫
+c
Rev
segunda-feira, 4 de março de 2013
21:48
 Página 9 de Calc II 
Resolva as integrais:
∫∫∫
∫
∫
+−=−−−=−=
−=⇒=⇒=
=⇒=
xdxxxxxdxxxxvduvuIp
xvsenxdxvsenxdxdv
xdxduxu
senxdxx
cos2cos2cos)cos.(.
cos
2
)4
22
2
2
xxsenxxsenxxsenxdxsenxxI
senxvxdxxvxdxdv
dxduxu
xdxxI
p cos)cos(..
coscos
cos
2
2
+=−−=−=
=⇒=⇒=
=⇒=
=
∫
∫
∫
cxxsenxxxxxsenxxxIp +++−=++−= cos22cos)cos(2cos 22
I2
∫∫ −=−= xdxexsenexdxeexsenIp
xxxx 2cos
3
22.
3
12cos2
3
1
3
1
.2 3333
xxx
x
eevdxedv
dxxsenduxu
xdxeI
333
3
3
1
.222cos
2cos2
==⇒=
−=⇒=
=
∫
∫
( )∫∫ ⇒+=−−= IpxdxsenexedxxseneexpI xxxx 23
22cos.
3
1)22(
3
1
3
1
.2cos2 3333
IpxexseneIpxexseneIp xxxx
9
42cos
9
22
3
1
3
22cos
3
1
3
22
3
1 3333
−−=





+−=
9)
23
2
3
3
2
3
312
1
3
2
1
3232
3)'1(
)1(
3
2
2
3
)1(
1
2
1
)1()1(313)5
xx
cx
xxdxxxdxxx
=+
++=
+
=
+
+
=+=+
+
∫∫
∫
∫
==⇒=
=⇒=
xxx
x
edxevdxedv
dxxduxsenu
xdxsene
333
3
3
1
2cos22
2
Exercícios
terça-feira, 5 de março de 2013
19:10
 Página 10 de Calc II 
cxxseneIp
xxseneIp
xexsene
IpIp
xexseneIpIp
x
x
xx
xx
+





−=






−=
−=
+
−=+
2cos
3
22
39
9
2cos
3
22
3
1
9
13
2cos
9
22
3
1
9
49
2cos
9
22
3
1
1/9
4
91
3
3
33
33
(continuação)
OBS:
∫
∫∫∫∫
=⇒=⇒=
==⇒=
===
xvdxvdxdv
dx
xx
dxduxu
xdxxdxdxxdxx
1ln
ln
2
1ln
2
1lnln 2
1
xx
B
xx
A
xx
dx
x
Bdx
x
Adx
xx
dx
xx
/)5()5/()5(
1
5)5(
1
5
1
2
−
+
−
=
−
−
+=
−
=
−
∫∫∫∫
ABAxBxAAxBxxA 5)(5)5(1 −+=+−=+−=
5
10 =→=+ BBA 5
115 −=→= AA
5
1
5
1
5
1
5
1
ln)5ln()5ln(ln)5ln(
5
1ln
5
1
55
1
5
15/15/1
xxxxxx
x
dx
x
dxdx
x
dx
x
I −−=−+−=−+=
−
+=+
−
= ∫∫∫∫
c
x
xI +−=
5
1
5
1
)5(ln
cxdx
x
+=∫ ln
1
OBS:
Para casa:
( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
=
=
=
+
=
=
+
=
=+
dxx
dttsen
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
xe
xdxx
dxxx
x
ln)11
)3()10
ln)8
1
)7
ln)6
)1()3
ln)2
)5()1
4
2
2
2
8
∫
∫
∫
∫
−+
++
−
+
=
−+
+
+=
dx
xxx
xx
dx
x
xx
dx
xx
x
cxdx
x
232
12
1
2
5
ln1
23
2
3
2
Ex.9
terça-feira, 5 de março de 2013
19:47
 Página 11 de Calc II 
Seja z = f(x,y) uma função contínua numa região R limitada do plano xy.
Então: ∫∫ dydxyxf ),( é a "integral dupla segundo Riemann"
OBS:
1) É uma integral dupla se, e somente se, F(x,y) for contínua em R e R for uma região limitada do plano.
2) O resultado de uma integral dupla por definição é um volume, pois F(x,y) é a altura do sólido.
3) Quando F(x,y) = 1, a integral dupla nos fornece a área da região do plano.
4) dA pode ser dxdy ou dydx. A ordem depende da região R1, que poderá ser do tipo T1 ou do tipo T2.
R
∫∫∫∫∫∫∫∫ +++=
RnRRR
dAyxFdAyxFdAyxFdAyxF ),(...),(),(),(
21
∑
=+→
∆−=
n
k
KK
xn
AkyxFv
1
** )(lim
∫∫∫∫ =
RR
dAyxfcdAyxcf ),(),( (c é uma constante)
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
−=−
+=+
RRR
RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf
dAyxgdAyxfdAyxgyxf
),(),()],(),([
),(),()],(),([
Exercício:
( ) ..24)0.20()4.24(22
2
222)22(
22
2
00.
2
)2(2.
22
),(2
),(
224
0
2
4
0
24
0
4
0
4
0
222
0
222
0
2
0
2
0
2
0
2
0
4
0
vuxxx
xdxxdxdxxV
xxx
y
xyydyxydyxdydyyxI
dydxyx
=+−+=+=





+=+=+=
+=





+−





+=





+=+=+==
∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫
vu
xdxxdxxv
x
xxy
xdyyxdyyxI
dydxyx
.
3
128
3
)0.(2
3
)4.(2
3
.222
2
2
0
2
2
2
.2
334
0
34
0
24
0
2
2
22222
0
2
22
0
22
0
2
2
0
24
0
| =−====
=





−=





===
∫∫
∫∫
∫∫
1)
2)
Integrais Múltiplas
segunda-feira, 11 de março de 2013
20:37
 Página 12 de Calc II 
(x + y)' = 1
elnx = x
|
|
8ln
1
8ln
1
8ln
1
8ln
1
8ln
1
00ln0ln
ln
0
ln
0
ln
0
8ln
1
).(.).(
...2
yyyyyy
yyyyyyy
y
yxy yx
y yx
edyeydyedyeydyeeyv
eeyeeeeeeedxeI
dydxe
−=−=−=
−=−=−===
∫∫∫∫
∫
∫∫
++++
+
88ln888.8ln)1().8(ln.3
..3
118ln8ln
8ln
1
8ln
1
| −=+−−=−−−=−=−=
==⇒=
=⇒=
−=⇒=
∫
∫
∫∫
eeeeeeeyedyeeyI
edyevdyedv
dyduyu
vduvuIpdyeyI
yyyy
yyy
y
..168ln8888ln8)(88ln8 18ln vueeeev +−=+−−=−−−=
xxxxxyxdysenyxdysenyxI
dydxsenyx
x
xx
x
+−=−−=−=== ∫∫
∫∫
cos)0cos.(cos)cos.(.2
.
|
0
00
00
pi
2
coscos)cos(
2
0000
x
xdxxxdxxdxxdxxxxv +−=+−−=+−= ∫∫∫∫
pipipipi
senxxdxxdxdv
dxduxu
xdxxI
=⇒=
=⇒=
−=
∫
∫
coscos
cos3
0
pi
[ ] [ ] ( )
vu
x
sensenI
xsenxxxsenxxxsenxxsenxdxsenxxI
.
2
2
2
0
2
2
2
2)1()1()0cos00()cos(3
cos.cos.)cos(.).(3
222
0
2
0
| pipipipipi pi
pi
+=





−+=+=+−−=−−−−−=
=−−=+−=−−−=−−= ∫
Exemplos
segunda-feira, 11 de março de 2013
21:33
 Página 13 de Calc II 
Cálculo de área
Fórmula geral da Integral:
(montar composição da área total do somatório de curvas)
y=x
y=x2
6
1
2
1
3
1
3
1
3
2
1
2
21
1;0)1(0
|
|
1
0
31
0
2
1
0
21
0
21
22
=−=
==
==
−=
==⇒−⇒=−⇒=
∫
∫
At
xdxx
x
xdx
AAAt
xxxxxxxx
..
3
4
3
164
3
16
3
82
3
22
4
4
16
4
21
2;0;0)2(022
|
|
1
0
32
0
2
1
0
42
0
322323
auAt
xdxx
xdxx
AAAt
xxxxxxxxxx
=−=
===
===
−=
←====−⇒=−⇒=
∫
∫
Revisão
terça-feira, 12 de março de 2013
18:53
 Página 14 de Calc II 
∫∫∫∫
=
=
→=
)(
)(
2
1
))(,(),( xgy
xgy
b
a
dAdydxyxfdAyxf
Tipo I
∫∫∫∫
=
=
→=
)(
)(
2
1
))(,(),( xhy
xhy
b
a
dAdxdyyxfdAyxf
Tipo II
Calcular a área da região R, compreendida em:
∫ ∫
∫∫
==
=
4
0
2
2
1
1
)(),(
x
x
R
dydxAv
dydxdAyxf
x = 0; x = 4; y = 1/2, y = x1/2 ; f(x,y)=Z=1
( )
41
4
1
4
1
2
1
2
2
2
=⇒





−⇒=
=





xxxxx
xx
a b
Y=g2(x)
Y=g1(x)
Y
xa b
Y=g2(x)
Y=g1(x)
Y
x
a
b
x=h2(y)
x=h1(y)
Y
x
a
b
x=h2(y)
x=h1(y)
Y
x
Y
RR Y = x Y = x 1/21/2
Y = Y = ½½ xx
X=4X=4
x
b
a
Y=g2(x)
Y=g1(x)
∫ ∫∫∫ = dydxyxfdAyxf ),(),(
∫ ∫∫∫ = dxdyyxfdAyxf ),(),(
dAdA
x
b
a
Y=g2(x)
Y=g1(x)
∫ ∫∫∫ = dydxyxfdAyxf ),(),(
b
a
Y=g2(x)
Y=g1(x)
∫ ∫∫∫ = dydxyxfdAyxf ),(),(
∫ ∫∫∫ = dxdyyxfdAyxf ),(),(
dAdA
Cálc área volume por int dupla
terça-feira, 12 de março de 2013
19:31
 Página 15 de Calc II 
3. Calcular o volume da Região R 
delimitada por y=x2+1 e x+y=3 e 
z=x2+y2
RR
x+y=3x+y=3
Y
x
x=yx=y22+1+1
x + y = 3 x = y2 + 1
Calcule o volume de R p/ Z = 5:
RR
Y=2xY=2x
Y
x
Y=xY=x22
2
RR
Y=2xY=2x
Y
x
Y=xY=x22
2
..
3
20
02.
3
52.5
3
55
32
2525)2(5
)2(5552
5
32
2
0
32
2
0
322
0
22
0
2
0
2
2
22
2
0
2
|
2
2
2
vuv
xx
xxdxxxdxdxxxv
xxydyI
dydxv
x
x
x
x
x
x
=
−



−=



−=





−=




−=−=
−===
==
∫∫∫
∫
∫ ∫
0231
1
3
1
3
22
22
=−+⇒−=+



+=
−=
→



+=
=+
yyyy
yx
yx
yx
yx
→
1
2
2
1
2
1
=
−=
−=
−=
y
y
P
S
..16,37
70
26012
3
)1(
3
)3(
2
3
)1(
3
)3(3
3
)1(
3
)3(2
)1(
3
)1()3(
3
)3(
3
)(2
)(),(
1
2
432
323
432
323
2432
323
22
32
2
33
1
2
33
1
22
1
2
3
1
22
2
2
2
vudyyyyyyV
yyyyyyyyyyyI
yyyyyyxyxdxyxI
dxdyyxdAyxf
y
y
y
y
y
y
R
==−−+
+
−
−
=
−−+
+
−
−
=−−−+
+
−
−
=






++
+
−





−+
−
=





+=+=
+⇒
∫
∫
∫ ∫∫∫
−
−
+
−
+
−
−
+
Exemplos
terça-feira, 12 de março de 2013
19:59
 Página 16 de Calc II 
Resolva as integrais duplas: ∫ ∫
−
+4
3
1
0 2 4
23 dxdy
x
x
∫ ∫
pi
0
1
0
3 2cos dxdyxe x
∫∫∫
∫∫
∫ ∫
−
+
+
⇒
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
dx
x
Bdx
x
Adx
x
x
v
x
xy
x
xdy
x
xdy
x
xI
dydx
x
x
)2()2(4
23
4
23
.
4
23
4
23
4
232
4
23
4
3 2
2
1
0
2
1
02
1
0 2
4
3
1
0 2
|
)2(
)2(
)2(
)2()2)(2(
23
)2()2(4
23
2
+
−
+
−
+
=
−+
+
=
−
+
+
=
−
+
x
x
B
x
x
A
xx
x
x
B
x
A
x
x
BABAxBBxAAxxxBxAx 22)(2223)2()2(23 +−+=++−=+⇒++−=+
1)



=+−
=+
222
3
BA
BA
222622)3(2
3
=⇒=+−⇒=+−−
−=
BBBB
BA
1)2(3 =−=A
[ ]
..57,15ln4ln6ln5ln24ln)23)(23ln()24)(24ln(
)2)(2ln()2ln()2ln(
)2ln(2)2ln(
2
2
2
1
4
23
22
4
3
22
1
0 2
vuv
xxxxv
xxdx
x
dx
x
dx
x
x
v
=−+=−=−+−−+=
−+=−++=
−++=
−
+
+
⇒
−
+
= ∫∫∫
baba
ba
b
a
xaxa
lnln).ln(
lnlnln
lnln
+=
−=





=
OBS:
2)
( ) ( ) ..4,859.2
39
9
.
39
901.
39
901.
39
90.2.
3
20.2cos.
39
92.
3
22cos.
39
9
2.
3
22cos.
39
92.
3
22cos.
3
1
.
13
9
2.
3
22cos.
3
1
9
132.
9
22cos.
3
1
9
4
9
42.
9
22cos.
3
1
3
22.
3
1
3
22cos.
3
1
2cos.
3
22.
3
2cos2.
33
.23
3
;2cos2;2
..2.3
2.
3
2)2cos(.
3
22.
33
).2cos(
3
;
222.2)'2.(2);2cos(
..)2cos(
)2cos().2cos()2cos()2cos(
)2cos(
3030.33
0
33
333
3333
3
333
3
33
3
3
333
3
33
0
3
3
1
0
31
0
31
0
3
0
1
0
3
|
|
vueeesenesenev
xsenxexsenxeIp
xsenxeIpxsenexeIpIp
IpxsenexeIpxsenexeIp
dxxexsenexeexsenI
edxevedvxduxsenu
duvvuxdxseneI
xdxsenexexdxseneexIp
edxevedv
xsenxsenxxsenduxu
duvvudxxeIp
xeyxedyxedyxe
dydxxe
xx
xxx
xxxx
x
xxx
x
xx
x
x
xxx
x
xx
x
xxxx
x
=−=+−+=





+−





+=






+=





+=






+=⇒+=+
−+=





−+=
−=−=
=====
−⇒=






−−=−−=
===
−=−=−==
−⇒=
===
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫ ∫
pipipi
pi
pi
pi
pipi
Ip
AV1 - 2012
segunda-feira, 18 de março de 2013
20:30
 Página 17 de Calc II 
ex. 2:
86 - 87 - 88
Lista de exercício para aula de sábado:
∫
∫
∫
∫
∫
−
+
dx
e
x
dxxx
dxxx
dxxe
dxxe
x
x
x
3
4
2
5
)32(
)7(
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
+
dx
x
x
dxx
xdxx
dxxdux
dxxx
dx
x
x
dxex x
)ln(ln
1ln
cos
1
1
2
∫
∫
∫
− dxxxe
xdxx
xdxxsen
x )(
5ln
8
22
2) Determine a área da escassez do produto no gráfico apresentado. Utilize a integração dupla.
y
x
174
2914
114
demanda
p = 174-6x oferta
p = x2 + 14
excesso
escassez
16
10
160
6
016060174146
146174
2
1
22
2
−=
=
−=
−=
=−+⇒=−++
+=−
x
x
P
S
xxxx
xx
10 ∫ ∫
−
+
10
0
6174
142
)1(x
x
dydx
área
limite de x
..7,96610.160
2
106
3
10
0.160
2
06
3
010.160
2
106
3
10160
2
6
3
1606
1606146174)14(61742
23
232310
0
2310
0
2
222
6174
14
6174
14 |
2
2
auA
x
xxdxxxA
xxxxxxydyI
x
x
x
x
=+−−=






+−−−





+−−=





+−−=+−−=
+−−=−−−=+−−===
∫
∫
−
+
−
+
continuação
segunda-feira, 18 de março de 2013
21:30
 Página 18 de Calc II 
Aula de reforço e Reposição
c
x
e
x
eex
edxexedxexeIp
edxevedvdxduxu
duvvudxex
xxx
x
x
xxx
x
xx
x
+




 −
=





−=−=−=−=
=====
−⇒
∫∫
∫
∫ ∫
25
125
25
1
525
1
.
5
.5.
5
1
.
5
1
.
5
.
5
.
5
5
;|,
...
555
5
5
555
5
35
5
cxx
x
xx
xdxxxxIp
xx
xdxxvxdv
dxduxu
duvvudxxx
++−+=+−+=+−+=
+=+
+
=+=+=
==
−⇒+
∫
∫
∫∫
10910999
9
9
88
8
)5(
90
1)5.(
9
)5(
10
1
.
9
1)5.(
9
)5(
9
1)5(
9
1
.
)1.()5(
9
1)'5.(
9
)5()5(;)5(
;
...)5(
c
xx
x
xx
xdxxxxdxxxxxxdxxxxIp
xdxxvxdvdx
x
duxu
duvvudxxx
+−=−=−=−=−=
=====
−⇒
∫∫∫
∫
∫∫
−−
93
.ln
3
.
3
1
3
.ln
3
1
3
.ln..
3
1
3
.ln..
33
.ln
3
;|1;ln
...ln
3333
2
3
13
3
1
33
3
22
2
∫∫
∫
∫∫
−⇒





−=
=====
−⇒
duvvuxdxxxxIp
xdxxvxdvxdusenxu
duvvusenxdxx
..cos.
33
.cos
3
.;|cos;
...
33
3
22
2
IpsenxxxxIpIpsenxxxxIp
dxxsenxsenxxIp
senxdxxvxdvxxduxu
+−=⇒





−−=





−=
======
∫
∫
.
33
.cos.
33
.cos
...
3
'
.cos;cos|3.
3
1
;
3
3333
2
3
22
3
Ip
cedxxedxexdxexdxex xx
x
xx +==== ∫∫∫∫
33
3
33
.
3
13
3
1
3
3
3
3
.
2
2
22
?????
cx
xxx
xdxxxxdxxxxdx
x
xx
xIp
xdxxvxdvdx
x
duxu
duvvuxdxx
+





−=−=−=−=−=
=====
−⇒
∫∫∫
∫
∫∫
3
1ln
363
.ln
3
1
3
.ln
33
.ln1.
33
.ln
3
;|1;ln
..ln
333
2
32333
3
22
2
cx
xxdxxxdxxx ++=+=
+
+
=+=+
+
∫∫ 2
3
3
2
3
312
1
3
22
1
332 )1(
3
2
2
3
)1(
1
2
1
)1(3.)1(13
cx
x
xxxxxxdxxxdx
x
x
xxdx
x
xxxdx
x
xxxIp
xdxvdxdv
x
duxu
duvvuxdxxdxdxxdxx
+−=−⇒−=−=−=−=−=
=====
−⇒===
∫∫∫∫
∫
∫∫∫∫∫
)1(ln
2
)ln.(
2
1ln.ln.ln.1.ln.1..ln
;|1;ln
..ln
2
1ln
2
1lnln 2
1
Reposição
sábado, 23 de março de 2013
08:00
 Página 19 de Calc II 
( ) ( ) ( ) ( )
3
ln
12
ln1
.lnln
312
2
2
xxdx
x
xdx
x
x
=
+
==
+
∫∫
( )
x
x
1
'ln =
( ) ( ) cxxxxdxxdxxxdx
x
x
++=+=+=+=+=
+ ∫∫∫
−− 1ln1ln1ln
2
12.)1(
2
1
2
2
..)1(
1
22
1
221212
2
(x2 +1)' = 2x
Frações Parciais:
ABAxBxAAxBxxA
x
B
x
A
xx
dx
x
Bdx
x
Adx
xx
dx
xx
xx
5)(5)5(1
5)5(
1
5)5(
1
5
1
/)5/(
2
−+=+−=+−=
−
+=
−
−
+=
−
=
−
−
∫∫∫∫
0 + 1 = x(A + B) -5A
5
1|
5
1
15
0
=−=⇒



=−
=+
BA
A
BA
5
1
5
1
5
1
5
1
)5.(ln)5ln(ln
5
ln)5ln()5ln(
5
1ln
5
1
5
1
5
11
5
1
5
5
1
5
1
−=−+==
−−
=−+−=
−
+−=
−
+
−
=
−−
∫∫∫∫
xxxxI
xx
xxdx
x
dx
x
dx
x
dx
x
I
ln a.b = lna + lnb
ln a/b = lna - lnb
∫∫∫∫∫ ++−+=+−
−
=
−−
− dx
x
Cdx
x
Bdx
x
Adx
xxx
xdx
xxx
x
)1()2()1)(2(
)24(
)2(
)24(
23
)1)(2()2( 2 +−=−− xxxxxx
( )
cxxxI
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
I
BCCCC
CBCB
A
A
CBA
CBA
ACBAxCBAxCxCxBxBxAAxAxx
xCxxBxxxA
x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxxxxx
+−−−+=
+
−
−
+=
+
−
+
−
+=
=+−=⇒−=⇒−=⇒=+++
+=⇒=−+−
=





−=−
=−+−
=++
−−+−+++=−+++−−=−
−++++−=
+
+
−
+=
+−
−
∫∫∫∫∫∫
−++−
)1ln(2)2ln()ln(
)1(
12)2(
11
)1(
2
)2(
11
15222630)52(1
52421
1
22
42
0
2)2()(2224
)2()1()1)(2()1()2()1)(2(
)24(
2222
)2(/)1(/)1)(2/(
cxxxxdx
x
dxdx
x
dxI
BB
BA
A
BAAxBxA
x
BA
x
x
dx
x
BAdxdx
x
x
x
+−+=−+=
−
+=
−
+=
=⇒=+−



=+−
=
+−=+−⇒
−
+=
−
−
+=
−
∫∫∫∫
∫∫∫
−
6
1/6/
)6ln()6ln(6
6
16
6
61
606
06
1
6)6(
616
66
Reposição
sábado, 23 de março de 2013
10:00
 Página 20 de Calc II 
c
x
x
xxI
xxxxdx
x
dx
x
dx
x
dx
x
I
BBBBB
ABA
BA
BA
BABAxBBxAAx
x
B
x
A
xx
xdx
x
Bdx
x
Adx
xx
x
xx
+
+
+
=++=
+++=+++−=
+
+
+
−=
+
+
+
−
=
=−=−⇒=++−
−=+−=⇒+−=



=+
=+
+++=+++=
+
+
+
=
++
+
⇒
+
+
+
=
++
+
−
−
++
∫∫∫∫
∫∫∫
2
)1(ln)1.()2ln(
)1ln()2ln()1ln(2)2ln(
1
12
2
11
1
2
2
1
2;132321
11)2(1
32
1
2)(2
1223
3
1223
3
2
21
21
2/1/
22
Reposição
sábado, 23 de março de 2013
12:00
 Página 21 de Calc II 
Integrais duplas por Coordenadas Polares:
R
θ
R. θ
x
y
θθθ
θ
ddrrsenRRf
ddrrdAyxf
..).,cos.(
...),(∫∫
( ) ( )22 1 xy −=
1
x
y




≤≤
≤≤
20
10
piθ
R
2
pi
( ) ( )
1
11
10
22
2222
2
=+
−=⇒−=
−≤≤
yx
xyxy
xy
( ) ( )
( ) ( ) vueeedede
eeeedrReI
ddrReddrRe
ddredydxe
RR
RsenR
senrr
x yx
.)1(
42
).1(
2
1).1(
2
11
2
11
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
..2
....
.
|
|
2
0
2
0
2
0
1
0
01
1
0
2
0
1
0
2
0
1
0
)(cos
2
0
1
0
).()cos.(1
0
1
0
222
2222
22
2
22
−=−=−=−=−
−=−===
=
→
∫∫
∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
+
+− +
pipiθθθ
θθ
θ
pi
pipi
pipi
θθ
pi
θθ
24 y−
2
pi
x=
22
3 pipi
−=
20
44)4()(
22
3
22
40
222222
2
2
2
4
0
22
2
≤≤
=+⇒−=⇒−=
−=
≤≤−
−≤≤
+∫ ∫
−
−
R
yxyxyx
y
yx
dxdyyx
y
pipi
..
3
8
2
.
3
16
3
16
3
82
3
8
3
..2
.....)(cos
..cos
|
|
2
0
2
0
2
0
22
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
222
2
2
2
0
22222
2
4
0
22
2
vudv
RddRRI
ddRRRddRRsenR
ddRRsenRRdxdyyx
y
pi
piθθ
θ
θθθθ
θθθ
pi
pi
pipi
pi
pi
====
===
=+
+→+
∫
∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
−
−
−
Coordenadas Polares
segunda-feira, 25 de março de 2013
20:35
 Página 22 de Calc II 
..
2
2.
4
1
4
1
4
1
4
1
4
.2
....)cos()(
11)1()(
11
11
)(
|
|
2
0
2
0
1
0
41
0
3
2
0
1
0
2
0
1
0
322
0
1
0
22221
1
1
1
22
2222222
22
1
1
1
1
22
2
2
2
2
vudv
RdRRI
dRdRdRdRRdRdRsenRRdxdyyx
yxyxyx
y
yxy
dxdyyx
y
y
y
y
pi
piθθ
θθθθθ
pi
pi
pi pipi
====
===
==+→+
=+⇒−=⇒−=
≤≤−
−≤≤−−
+
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
−
−
−−
−
−
−−
( )
( ) ( ) ( )∫∫∫
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫
+=+=+=
+=+→+
−
−
−−
1
0
21
0
21
0
2
2
0
1
0
2
0
1
0
222221
1
1
1
22
.
2
2
.1ln
2
1
.
2
2
.1ln.1ln2
..1ln..)cosln()ln(
2
2
dRRRdRRRdRRRI
ddRRRddRRsenRRdxdyyx
y
y
pi pi
θθθθ
continua...
Próximo Exercício:
∫ ∫
−
−
−−
+
1
1
1
1
22
2
2
)(y
y
dxdyyx
Exercício
segunda-feira, 25 de março de 2013
21:34
 Página 23 de Calc II 
use coordenadas polares e calcule as integrais
∫∫
+−
R
yx dAe )(
22 p/ a região contida em:
122 =+ yx
∫∫ −−
R
dAyx 229 p/ a região contida em:
x2 + y2 = 9, no primeiro e segundo quadrante.
dydxe
y
y
yx
∫ ∫
−
−
−−
+−2
2
4
4
)(
2
2
22
dydxyx
y
∫ ∫
−
+
1
0
1
0
22
2
)cos(
Dia 02/04 - Simulado
09/04 - AV1
Resolução 146 dxdyyxv ∫ ∫ 





+−=
3
0
4
0 2
14
Resolução 147 ( ) dxdyxv ∫ ∫ −= 40
3
0
6
Resolução 148 dydxv
y
y∫ ∫
−
=
2
0
4
5 dydxv
x
x∫ ∫
−
=
2
0
4
5 (149)
( ) dxdyyxv x∫ ∫ +− −−= 40 220 224Resolução 150
Resolução 152
Resolução 153
∫ ∫∫ ∫
∫∫
−+−
+−
=



≤≤
≤≤
=+
pipi θθ θθ
θ
2
0
1
0
2
0
1
0
)cos(
22
)(
....
10
1
22222
22
ddRReddRRe
R
yx
dAe
RsenRR
R
yx
1
2
1
2
1
2
12
).2(
2
1
2
).2(
2
2
..2
10)1(
1
0
1
0
1
0
1
0
22
2
2
2
| −−=−−=−=
−−=
−
−
=





−
−
=
−−−
−
−
−
∫∫∫
eeeeI
dRRedRRedRReI
R
R
R
R
..)1(
2).1(
2
1)1(
2
1)1(
2
1).1(
2
1
1
1
2
0
12
0
12
0
1 |
vuev
eededev
−−=
−−=−−=−−=−−=
−
−−−−
∫∫
pi
piθθθ
pi
pipi
1)
2)
3) 4)
Ex
terça-feira, 26 de março de 2013
18:50
 Página 24 de Calc II 
∫∫ −−
R
dAyx 229 Resolução 153 - 154
9
3
279.9
3
19
3
19
3
1)09()39(
3
1)9(
3
12
2
3
)9(
2
1
1
2
1
)9(
2
1
2
2)9(
2
2
.)9(2
232
3
2
3
22
3
2
30
2
3
2
3
0
2
3
2
3
0
1
2
1
23
0
2
1
23
0
2
1
2
==−=−=





−−=





−−−−=





−−=










−
−=










+
−
−=
−
−
=





−
−
−=
+
∫∫
RI
RRdRRRdRRRI
0
..999 |
0
0
vudv piθθ
pi
pi
=== ∫
Ex.
terça-feira, 26 de março de 2013
19:49
 Página 25 de Calc II 
x
y
R
∫∫
R Z
dAyxf
321
),(
dydx
dxdy
3
4
∫ ∫ 





+−
3
0
4
0 2
14 dydxyx
Z
4434421
( )
( ) ( ) ( )
..42
60183.20
2
3.420
2
4204204204
2044164
4
44)4(
4
)4(
2
14
2
142
23
0
3
0
23
0
3
0
3
0
3
0
3
0
24
0
24
0
4
0
4
0
4
0
||
||
vuv
x
xdxxdxdxdxxdxxv
xxx
yyxdyydyxdyyxI
=
+−=+−=+−=+−=+−=+−=
+−=++−=+−=+−=





+−=





+−=
∫∫∫∫∫
∫∫∫
x
y
R
4
3 ( )∫ ∫ −40
3
0
6 dydxx
( ) ( ) ( ) ( )
..4872244.18
2
4.318
2
3183183
183366662
24
0
4
0
24
0
4
0
4
0
3
0
3
0
3
0
||
|
vux
xdxxdxdxxv
xxyxdyxdyxI
=+−=+−=+−=+−=+−=
+−=−=−=−=−=
∫∫∫
∫∫
x
y
y = x
y = -x+4
Z=5 2424 =⇒=⇒+−= xxxx
2
4
2
R ∫ ∫
−2
0
4
5
y
y
dxdy
∫ ∫
+−2
0
4
5
x
x
dydx
( ) ( )[ ] [ ]
[ ] [ ] ..20402002.20
2
21020
2
102010
20105205545555
5
22
0
22
0
444
2
0
4
|
vux
xdxx
xxxxxydydy
dydx
x
x
x
x
x
x
x
x
=+−=−





+−=





+−=+−
+−=−+−=−+−===
∫
∫∫
∫ ∫
+−
+−+−
+−
26-03 - limp
terça-feira, 26 de março de 2013
20:19
 Página 26 de Calc II 
x
y
1
2
y = -2x + 2
∫ ∫
+−
−−
2
0
22
0
224
x
dydxyx
( ) ( )( ) ( ) [ ] ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 67,2067,2"'0
4
2
4
2
.
6
1
"
4
20.2
4
22.2
.
6
1
4
22
.
6
12.22
2
1
.
3
1
2
2
.22
3
1
3
22
"
67,2161633,582.8
2
28
3
22
4
228
2
8
3
2
4
28822'
3
228822
3
228822
3
2288222
3
2222.40
3
2222.4
3
.442
4
44
442
0
42
0
32
0
32
0
3
2342
0
2342
0
23
2
0
32
0
232
0
3
23
3
23
3
2
3
2
22
0
3
222
0
22
2
0
22
0
22
|
=+=+=∴=





−
−
−=





 +−
−
+−
−=
+−
−=−+−





−=





−
−
+−=
+−
=
=+−−=





+−−=





+−−=+−−=
+−
−+−−=
+−
−+−−=





 +−
−+−−=





 +−
−+−−=−




 +−
−+−−=





−−=−−=
−−
∫∫∫
∫
∫∫∫
∫
∫ ∫
+−
+−
+−
IIII
xdxxdxxdxxI
x
xxxdxxxxI
dxxdxxxxdxxxxxI
x
xxxI
x
xx
x
xx
yyxdyyxI
dydxyx
x
x
x
u.v.
x
y
1
y = x
y = 1
1)(
1
2
22
+−=
=+
yz
zy
∫∫
∫ ∫
+=+−=
+−
1
2
1
21 2
1
0
1 2
)1(1)(2
1)(
xx
x
dyydyyI
dydxy
cont
terça-feira, 26 de março de 2013
20:30
 Página 27 de Calc II 
..33,2167,1032
3
242.16
3
416416
41644
4
32
0
32
0
2
2
4
0
4
0
2
0
4
0
|
2
2
2
vu
x
xdxx
xydy
dydx
x
x
x
=−=





−=





−=−
−==
∫
∫
∫ ∫
−
−
−
y = 4 – x22
4
y
x
z = 4
4
4
2
4 - x2 - y = 0
x
y
y = 0
y = 4 - x2
cont
terça-feira, 26 de março de 2013
20:30
 Página 28 de Calc II 
1) Centróide, centro de gravidade:
Suponha um corpo rígido sofra ação de um campo gravitacional. Como este corpo é composto por várias 
partículas, cada uma delas está sendo afetada pela gravidade.Essas forças individuais podem ser substituídas 
por uma única força atuando em um ponto chamado de centro de gravidade do corpo.
2) Densidade de uma lâmina.
Considere um corpo muito fino e que esteja em um plano bidimensional. Tal corpo é chamado de lâmina, 
considerado homogêneo com composição uniforme. A densidade da lâmina é definida como sendo a sua massa 
por unidade de área. Logo:
Suponha que a lâmina seja colocada em um plano xy. A DENSIDADE no ponto (x,y) é especificada por 
ρ(x,y), chamada de função densidade.
A
M
=ρ
Que relaciona a massa M com a área A de uma pequena região retangular de LÂMINA, centrada no 
ponto (x,y).
3) Massa de uma lâmina:
Se uma lâmina com função contínua ρ(x.y) ocupa uma região R do plano (x,y), então sua massa total é 
dada por:
Logo:
AyxM
A
Myx
A
∆=∆⇒
∆
∆
=
→∆
),(
lim),(
0
ρ
ρ
∫∫=
R
dAyxM ),(ρ
plano (x,y)
(x,y)
área = ΔA
massa = ΔM
x
y
Ex:
Uma lâmina triangular de vértices (0,0), (0,1) e (1,0) tem função densidade ρ=xy. Calcule a massa total
(0,0) (0,1)
(1,0) y = -x + 1
[ ] [ ] [ ]
22
2
1)1)((2)(
2
0)1(
2
0)1(
22
2
),(
2
3
2222
1
0
21
0
1
0
1
0
|
x
x
xI
xx
x
x
x
x
xy
xxydyI
xydydxM
dAyxM
x
x
x
R
++=
+−−−=−+−=−+−===
=
=
+−
+−
+−
∫
∫ ∫
∫∫ρ
..
24
17
4
1
3
1
8
1
4
1
3
1
8
1
43822
1
342
1
22
2341
0
2341
0
1
0
234
2
3
mu
xxxxxxdxxxxM =++=++=





++=





++=





++= ∫
Aplicações de Integrais Duplas
segunda-feira, 1 de abril de 2013
20:29
 Página 29 de Calc II 
Centro de gravidade de uma lâmina:
Suponha que a aceleração devida a força da gravidade seja constante, agindo p/ baixo e suponha que uma 
lâmina ocupe uma região R no plano (x,y) horizontal. Pode ser mostrado que existe um ponto (x,y) único que 
pode ou não pertencer a região R, tal que o ponto de gravidade sobre a lâmina é equivalente ao de uma só 
força atuando no ponto (x,y). A esse ponto chamamos de centro de gravidade da lâmina.
Fómulas:
∫∫
∫∫
=
R
R
dAyx
dAyxx
x
),(
),(
ρ
ρ
∫∫
∫∫
=
R
R
dAyx
dAyxy
y
),(
),(
ρ
ρ
Representação gráfica:
força única atuando no CG
(x,y)
lâmina
y
x
y = y y = by = a
x = x
R
Nota Importante:
Observe que as fórmulas apresentam a massa M no denominador, o numerador p/ x é My e p/ y é Mx e 
é chamado de primeiro momento da lâmina em torno dos eixos x e y.
Região no plano (x,y)
∫∫==
R
dAyxx
RdemassaMy
M
x ),(1 ρ ∫∫==
R
dAyxy
RdemassaMx
My ),(1 ρ
_
_
Ex:
Calcule o C.G. da lâmina triangular:
(0,0) (1,0)
(0,1) y = -x + 1
M = Já calculada no ex. anterior
∫ ∫∫∫
∫ ∫∫∫
∫∫
+−
+−
===
===
==
1
0
1
0
1
0
1
0
60
1)(),(
60
1)(),(
24
17),(
x
R
x
R
R
dydxxyydAyxyMx
dydxxyxdAyxxMy
dAyxM
ρ
ρ
ρ
Logo:
Coordenadas do CG: 





85
2
,
85
285
2
24
17
60
1
===
My
M
x
85
2
24
17
60
1
===
Mx
My
Exemplo
segunda-feira, 1 de abril de 2013
21:04
 Página 30 de Calc II 
1) Funções de várias variáveis, seus domínios e imagens (5 exemplos).
2) Gráficos de funções de várias variáveis (5 exemplos).
3) Funções Vetoriais, lançamento de projéteis (5 exemplos).
4)Equações Paramétricas (5 exemplos).
INTEGRAIS TRIPLAS:
Para definir a integral tripla de f(x,y,z) em uma região R, vamos dividir a figura apresentada em vários 
volumes pequenos
Trabalho: 2 pontos
Prova: 8 pontos
Escolhemos um pontoarbitrário em qualquer pequeno volume, logo temos o produto:
kkkk Vzyxf ∆).,,(
Para cada pequeno volume somamos este produto para obter a soma de Rieman:
∑
=
∆
n
k
kkkk Vzyxf
1
).,,(
Se repetirmos o processo para todos os pequenos volumes, temos:
kkkk
nR
VzyxfdVzyxf ∆=
∞→
∫∫∫ ).,,().,,( lim
É denominada integral tripla de f(x,y,z) na região R para f for contínuo nesta região.
Propriedades das Integrais Triplas:
y
x
z 
Vol = ∆Vk
p(xk,yk,zk).ΔVk
∫∫∫∫∫∫ =
RR
dVzyxfcdVzyxfca ).,,().,,(.)
[ ] ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ±=±
RRR
dVzyxgdVzyxfdVzyxgzyxfb ),,(),,(),,(),,()
Se a região R for dividida em sub-regiões R1 e R2, como apresentado nas figuras, temos:
∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=
21
).,,().,,().,,(
RRR
dVzyxfdVzyxfdVzyxf
G1
G2
Trabalho de Campo - AV2
terça-feira, 16 de abril de 2013
18:14
 Página 31 de Calc II 
1) Calcule a Integral
∫ ∫ ∫ ++=
1
0
1
0
1
0
222 )( dzdydxzyxI
1
3
3
3
2
3
11.
3
2
3
1
.
3
2
33
2
3
2
3
2
3
1
3
11.
3
11.
3
12
.
33
1
3
1
3
12
3
11.1.
3
11
..
3
)(1
3
1
0
31
0
21
0
1
0
2
222
33
1
0
2
31
0
21
0
21
0
1
0
22
2222
3
1
0
22
31
0
21
0
21
0
21
0
222
==+=





+=






+=+=





+=
+=++=





++=






++=++=





++=
++=





++=






++=++=++=
∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
I
z
zdzzdzdzzI
zzzI
yzyydyzdyydydyzyI
zyzyI
xzxyxdxzdxydxxdxzyxI
10lnln)ln(13
1)0lnln.(1)ln(11112
1)0lnln.(1)ln(.111
.
11
1
01
1
1
01
1
11
01
1
11
1 1 1
|
|
|
=−===
=−====
=−====
=
∫
∫∫
∫∫
∫ ∫ ∫
ezdy
z
I
z
e
z
y
z
dy
yz
dy
yz
I
yz
e
yz
x
yz
dx
xyz
dx
yzx
I
dzdydx
xyz
I
e
e
e
ee
e
ee
e e e
Exemplo
terça-feira, 16 de abril de 2013
19:30
 Página 32 de Calc II 
Cálculo de Integrais Triplas em caixas retangulares:
Assim como as integrais duplas podem ser calculadas por duas integrações simples e sucessivas, o 
seguinte teorema pode ser aplicado:





≤≤
≤≤
≤≤
jzh
dyc
bxa
Se f forcontínua na região R, então: ∫∫∫ ∫ ∫ ∫=
R
b
a
d
c
j
h
dzdydxzyxfdvzyxf ),,(),,(
Nota: A integral interada do membro idreito pode ser substituída por qualquer uma das outras 
resultantes da alteração 
Ex: Calcule o volume da figura, sendo:





≤≤
≤≤
≤≤
20
40
30
z
y
x
..24
1
3
0
4
0
2
0
vuv
dzdydx
=
∫ ∫ ∫
2) Calcule 
∫∫∫ ++ dxdydzzyxf )(
Considerando as limitações:





−−≤≤
−≤≤
≤≤
yxz
xy
x
20
10
10
(plano)
y
x
z 
y = 1 - x
z = 2 – x - y
R
∫ ∫ ∫
− −−
−−
1
0
1
0
2
0
2
x yx
dzdydxyx
yxzdzI
yx
yx
−−===
−−
−−
∫ 22 |
2
0
2
0





 +−
−+−−=




 −
−−−−=





−−=−−=
−
−
∫ 2
2122
2
)1()1()1(2
2
223
2
2
21
0
21
0
xx
xxx
x
xxx
y
xyydyyxI
x
x






+−=




 −
+





−−=





−++−−=





−+−−−=
22
4
2
3
2
2
2
23
2
3
22
23
2
12
22
2
2
1323
2222
2
2
2 xxxxx
x
x
x
x
x
xx
xxI






+−=
2
2
2
33
2x
xI vuxxxxxxdxxxv .
3
2
6
169
6
111
2
3
62
3
3
.
2
1
2
2
2
3
2
2
2
3 32
1
0
3
2
1
0
321
0
2
=
+−
=





+−=





+−=





+−=





+−= ∫
y
x
z 
2
3
4
y = 4
x = 3
z = 2
Cálculo de Integrais Triplas
segunda-feira, 22 de abril de 2013
20:40
 Página 33 de Calc II 
Se Z = f(x,y), então podemos interpretar como os valores de Z variam se um dos valores das variáveis x e y
podem variar.
Por exemplo, A LEI DOS GASES PERFEITOS da física afirma que sob condições normais a pressão exercida por um 
gás é uma função do volume de gás e sua temperatura. Logo podemos estar interessado na variação do V se T 
for mantido constante e vice-versa.
CONCEITOS:
I - Taxa de Variação da Função
II - Coeficiente Angular da Reta Tangente
Sabe-se que dois problemas estão relacionados as DERIVADAS:
Sendo f uma função de duas variáveis surgem as questões:
a) Deseja-se calcular a taxa de variação de f(x,y) em relação a qual direção do ponto do domínio (xo,yo)?
b) Há infinitas retas no R3 que tangenciam a superfície do plano P, sendo assim, qual a relação da reta tangente 
que se deseja calcular o coeficiente angular, ou seja, a DERIVADA.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
x
z 
2
3
T1 (tangente)
ponto P
C2
T2 (tangente)
x0
y0
z0
p(x0,y0,z0)
z0 = f(x0,y0)C1
DEFINIÇÃO:
Derivada parcial de Z [f(x,y)] em relação a x:
b)
a)
Derivada parcial de Z em relação a y:
L
yxfLyxfyxf
dy
dyxfyZ
y
yy ∆
−∆+
===
→∆
=
),(),(lim)),(()( 0000
000
|
0
x
yxfyxxfyxf
dx
dyxfx
x
xx
∆
−∆+
==
→∆
=
),(),(lim)),(()( 0000
0000
|
0
Relembrando:
a) Derivada da função potência + regra da cadeia:
b) Função exponencial + regra da cadeia
( )
dx
du
unu
dx
d nn 1
.
−
=
c) Logarítmica + regra da cadeia:
dx
du
ee
dx
d uu
=
dx
du
u
u
dx
d 1)ln( =
d) seno + regra da cadeia
dx
du
usenu
dx
d
cos)( =
Derivadas Parciais
segunda-feira, 6 de maio de 2013
20:37
 Página 34 de Calc II 
cosseno + regra da cadeia: dx
du
usenu
dx
d
−=)(cos
a) de 1a ordem:
),( yxfZ =
x
ffx
∂
∂
=
y
ffy
∂
∂
=
Exemplos:
Calcule fx e fy:
∂ = derronde (letra grega)
yxyx
y
ffx
yxyx
x
z
x
ffx
yxyxyxfZ
yxp
220
//202
),(
|
),(
22
00
+−=+−=
∂
∂
=
−=+−=
∂
∂
=
∂
∂
=
+−==1) 2)
Exercícios:
12
.20)'2.(.
2
2222
+=
∂
∂
=
=+=
∂
∂
=
x
xx
ye
y
ffy
eyxey
x
ffx
22
3323
3
.123.4
82.4)'.(4
4)
22
222
2
yeye
y
ffy
exyxeyxey
x
ffx
yeZa
xx
xxx
x
==
∂
∂
=
===
∂
∂
=
=
35454545
44454545
45
).(4)').((
5).()').((
)cos()
yxyxsenyxyxsen
y
ffy
yxyxsenyxyxsen
x
ffx
yxZb
−=−=
∂
∂
=
−=−=
∂
∂
=
=
xxyxyxy
y
ffy
yxyxyxy
x
ffx
xyZc
).1(2)'1).(1(2
).1(2)'1.()1(2
)1()
12
2
−=−−=
∂
∂
=
−=−−=
∂
∂
=
−=
−
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )( )3.3cos.32
1.3cos.32
'3'.3.323)3(
)3()
22
2
−−−=
∂
∂
=
−−=
−−−=−=−=
∂
∂
=
−=
yxyxsen
y
ffy
yxyxsenfx
yxyxsenyxsenyxsenyxsen
x
ffx
yxsenZd
'.'.)'.(
ln.1..ln1)'.(ln'.
.ln)'.(.ln
ln)
uvvuvu
exe
y
xeye
y
xyye
y
y
e
y
ffy
eyyxyey
x
ffx
yeZe
xyxyxyxyxyxy
xyxy
xy
+=
+=+=+=
∂
∂
=
==
∂
∂
=
=
regra do produto
Ex: Thomas Vol II
11a ed
cap14.ex 14.3, 01 a 20
Derivadas Parciais
segunda-feira, 6 de maio de 2013
21:14
 Página 35 de Calc II 
Derivada parcial de 2a ordem:
Suponha que f seja uma função de duas variáveis x e y, essas funções podem elas mesmas ter derivadas 
parciais. Isso origina 4 possíveis derivadas parciais de 2a ordem de f, que são definidas por:
fxx
x
f
xx
f
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
Derivando duas vezes em relação a x
fyy
y
f
yy
f
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
Derivando duas vezes em relaçãoa y
fxy
x
f
yxy
f
=





∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂2
Derivando em relação a x e depois em relação a y
fyx
y
f
xyx
f
=





∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂2
Derivando em relação a y e depois em relação a x
Nota: Os dois últimos casos são chamados de derivadas parciais de 2a ordem mistas.
Importante: fxy = fyx
Exemplo:
Calcule fxx, fyy, fxy e fyx:
yxeyxfz 525),( +==
( )( ) ( ) ( )
( ) yxyxyx
yxyxyx
eeyxefxx
e
x
e
x
yxe
xx
f
x
fxx
525252
525252
202.10'52.10)2(
102.5'52.5
+++
+++
==+=
∂
∂
=
∂
∂
=+
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
( )( ) ( ) ( )
( ) yxyxyx
yxyxyx
eeyxefyy
efefyxeyy
f
y
fyy
525252
525252
1255.25'52.25)2(
255.5'52.5
+++
+++
==+=
∂
∂
=
∂
∂
=+
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
( )( ) ( ) ( )
( ) yxyxyx
yxyxyx
eeyxefxy
efefyxeyx
f
y
fxy
525252
525252
505.10'52.10)2(
102.5'52.5
+++
+++
==+=
∂
∂
=
∂
∂
=+
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
= fyx
em relação a x
em relação a y
Derivadas Parciais de Ordem Superior
terça-feira, 7 de maio de 2013
18:10
 Página 36 de Calc II 
a) Equações de Laplace Tridimensional: b) Laplace Bidimensional:
A equação de Laplace é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário T = f(x,y,z) no 
espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelo potenciais eletrostáticos.
02
2
2
2
=∂
∂
=∂
∂
y
f
x
f
Calor
b) Equação da onda
Unidimensional:
Estado bidimensional
2
2
2
2
2
x
w
c
t
w
∂
∂
=
∂
∂
placa
Exemplo:
Verifique se a função atende a equação Laplace:
xeyxfz y 2cos.),( 2−==
( )
xexxexsene
x
ffxx
xsene
x
xxsene
x
f
xx
f
yyy
yy
2cos.4)'2.(2cos.22.2)2(
2.2)'2.(2.
222
2
2
22
2
2
−−−
−−
−=−⇒−=
∂
∂
=
−
∂
∂
=−=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
( ) ( )
xeyxe
y
ffyy
xe
x
yxe
yy
f
yy
f
yy
yy
2cos.4)'2.(2cos.2)2(
2cos.2)'2.(2cos.
22
2
2
22
2
2
−−
−−
+=−−=
∂
∂
=
=−
∂
∂
=−
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
a)
b)
ba
02cos.42cos.4 22 =+− −− xexe yy
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
f
x
f
02
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
f
y
f
x
f 02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
f
x
f
Equações de Laplace
terça-feira, 7 de maio de 2013
19:16
 Página 37 de Calc II 
( )
( )
( )
( )
ysenexexeysenefyyfxx
ysenexexeysenexeysenexeyefyy
xeye
yy
f
yy
ffyy
xeysenefxx
xseneysene
xx
f
xx
ffxx
xeyseneza
xyyx
xyyxyxyx
yx
yx
yx
yx
.cos.cos..0
.cos.cos..cos.).(cos.cos.)2(
cos.cos.
cos..)2(
).(.
cos..)
2
2
2
2
−+−⇒=+
−=+−=+−=+=
+
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
−=
=−+
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
+=
Exemplo 2
terça-feira, 7 de maio de 2013
19:43
 Página 38 de Calc II 
a V e M.a V e M.a V e M.a V e M.
( ) 3,04,113,14,1
4,13,1
3,1..00032,0.3,1.00032,0.
.00032,0.),(
VMkVMk
V
E
MVkzMEf
−−−
−
==
∂
∂
==
k = 0,2
V = 10
M = 13
Regra da Cadeia p/ uma variável (revisão)
Teorema:
Sejam f e g funções diferenciáveis e h a função composta definida por h(x)=f(g(x)). 
Se u = g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto u = g(x), então a função composta h é 
derivável no ponto x e sua derivada é dada por:
dx
dg
dg
df
dx
df
xgxgfxgfxgf
.
),('))((')))'((()()'(
=
==o
Regra da Cadeia p/ funções de mais de uma variável:
A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função z = f(x,y) onde
x = g(t) e y = h(t), então:
73,04,1 10.58,4)10(3,1.)13.(00032,0.02,0 −− ==∂
∂
V
E
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz
..
∂
∂
+
∂
∂
=
Suponha que cada função de z = f(u,v) é uma função de duas variáveis tais que u = h(x,y) e v = g(x,y), e que 
todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
..
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
..
Ex: Desenhe o diagrama e escreva a fórmula:





=
=
=
)(
)(
),(
thy
tgx
yxfz
paradt
dz(w)
Exemplos
segunda-feira, 13 de maio de 2013
20:59
 Página 39 de Calc II 
2) Calcule (dw/dt), sendo:
dt
dw







=
=
=
+=
pit
ty
tx
yxw
sen
cos
22
t
dt
dy
y
y
w
tsen
dt
dx
x
x
w
cos
2
2
=
=
∂
∂
−=
=
∂
∂
3)
yytytsenxtytsenx
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw 21.20cos.2.2)(cos2)(2.. =+=+−=+−=
∂
∂
+
∂
∂
=





=
=
−=
ty
tsenx
yyxw
2
22
e
.
tt ete
dt
dy
yx
y
w
tsen
dt
dx
xy
x
w
22
2
2)'2.(
2
2
==
−=
∂
∂
=
=
∂
∂
)2(2cos.22).2(cos.2.. 2222 yxetxyeyxtxy
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw tt
−+=−+=
∂
∂
+
∂
∂
=
4) Fazer diagrama para w = (x,y,z)
x y z
x
w
∂
∂
y
w
∂
∂ z
w
∂
∂
dt
dx dt
dy
dt
dz
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
...
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
5) Trace o diagrama:
v
w
e
u
w
∂
∂
∂
∂



=
=
),(
),(
vufy
vufx
w = (x,y,z)
u v
y z
x
w
∂
∂
y
w
∂
∂ z
w
∂
∂
u v u v
u
z
z
w
u
y
y
w
u
x
x
w
u
w
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
...
v
z
z
w
v
y
y
w
v
x
x
w
v
w
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
...
Ex:
segunda-feira, 13 de maio de 2013
21:33
 Página 40 de Calc II 
[ ]
( )
0
3
2
20
3
0
3
0
3
0
3
0
3
20
3
20
3
0
3
0
3
.0)(
0
0
2
0
2
0
2
0
2
2
22
1
2
2.
2
1
2
12
2
1
2
2.
2
23
2
).(
.....2
03
0
.
2
2
22
2
2
222
2
|
|
−
−
−−−
−
−−−−






−=
−=
===





=
−=−=−=
−=======



≤≤−
≤≤
∫
∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫
y
eI
yydyeI
eydyedyyedyyeI
ydyyyeydydyyedyyyeI
yyeeeyeyydxe
y
ydx
y
y
eydxeydxeyI
y
yx
dydxey
y
y
yy
y
y
yyy
yyyy
y
xyy xyy xyy xyy xy
R
xy
1)
2)
P
Rm
T
V
P
TRmVT
P
Rm
T
V
.
...)'.(.
=∂
∂
==∂
∂
Rm
V
P
T
Rm
VPTP
Rm
V
P
T
.
.
.)'.(
.
=
∂
∂
==
∂
∂
111
..
..1
.
..1
.
.
.
.
..
2 −=−⇒−=−⇒−=−⇒−=− TRm
TRm
VP
TRm
Rm
V
P
Rm
V
TRm
m.R.T
1
..
−=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
P
T
T
V
T
P
V
P
TRmPV
2
2
1
..
...
...)'.(..
V
TRmVTRm
V
P
V
TRmPVTRm
V
P
−=−=
∂
∂
==
∂
∂
−
−
3)
[ ] [ ]
( ) ( ) ....2cos2.2cos2)'2.(.2cos
2cos.4)'2.(2cos.22.2)'2)(2.(
0
2cos),(
222
2
2
2222
2
2
2
2
2
2
2
yyy
yyyy
y
exex
y
yex
yy
z
xexxexsene
x
xxsene
xx
z
y
z
x
z
xezyxf
−−−
−−−−
−
−=−
∂
∂
=−
∂
∂
=
∂
∂
−=−=−
∂
∂
=−
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
==
4)
T H
),( HTfw =
T
w
∂
∂H
w
∂
∂
dt
dT
dt
dH
544,0.2,14,22885,0 −+−= HTHTw
dt
dw
)'.(cos)(cos
)2ln(
cos
2222
2
tsenttt
tsenH
tT
−=
=
=
H
T
w
dt
dH
H
w
dt
dT
T
w
dt
dw
2,1885,0
..
+=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
T
H
w
tsenttsent
dt
dT
2,14,22
.2)'.( 222
+−=
∂
∂
−=−=
Simulado
terça-feira, 14 de maio de 2013
19:23
 Página 41 de Calc II 





=
=
=












+−+−+=
===
1
80,0
30
2
2cos.2).2,14,22().2).(2,1885,0(
2
2cos.2
2
)'2.(2cos
2
)'2(
2
t
H
T
tsen
tTtsentH
dt
dw
tsen
t
tsen
tt
tsen
tsen
dt
dH
o
cont
terça-feira, 14 de maio de 2013
20:14
 Página 42 de Calc II 
Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis:
Teorema de valor extremo:
Seja f(x,y) uma função contínua em uma região fechada R, então a função f possui tanto máximo como mínimo.
Analisando um gráfico de uma função f de duas variáveis, nota-se pontos altos e baixos em suas vizinhanças 
imediatas. Tais pontos são chamados de máximo e mínimo relativos de f.
a) O mais alto ponto dentro do domínio de f, é chamado de: MÁXIMO ABSOLUTO.
b) O mais baixo dentro deste mesmo domínio é chamado de: MÍNIMO ABSOLUTO.
c) Seja f(x,y) possui máximo relativo em um ponto P(x0,y0). Se existe um círculo centrado em P, de modo que 
f(x0,y0) ≥ f(x,y), para todo ponto (x,y) do domínio f no interior do círculo, analogamente, esta função possui 
MÁXIMO ABSOLUTO em P se f(x0,y0) ≥ f(x,y) para todos os pontos P(x,y) do domínio f.
d) Para o MÍNIMO RELATIVO temos:
f(x0,y0) ≤ f(x,y)
p/ MÍNIMO ABSOLUTO
f(x0,y0) ≤ f(x,y)
dentro do domínio da função f
Resumo:
Se f possui máximo ou mínimo relativo, dizemos que ela possui extremo relativo no ponto.
Se possui MÁXIMO OU MÍNIMO ABSOLUTO, podemos dizer que ela tem EXTREMO ABSOLUTO no ponto.
Determinação dos extremos relativos:
Seja f uma função de duas variáveis, o ponto (x0,y0) é chamado de crítico se:
0| ),( 00 =∂∂ yxxf e 0| ),( 00 =∂∂ yxyf ou se uma ou ambas derivadas parciais de 1a ordem não existirem em (x0,y0).
Ponto de Sela:
Um ponto P(x0,y0,f(x0,y0)) é chamado de Ponto de Sela se: 0|| ),(),( 0000 =∂∂=∂∂ yxyx yfxf
Porém a função não possui nem mínimo nem máximo relativo no ponto, pois numa direção de decomposta 
como máximo e na outra como mínimo.
ponto p (x0,y0,z0)
y
x
z 
máximo
mínimo
Região R
fechada
Máximos e Mínimos
segunda-feira, 20 de maio de 2013
20:30
 Página 43 de Calc II 
Os pontos P e Q são pontos de máximo, porque qualquer 
deslocamento em sua vizinhança irá descer.
O ponto S é uma Sela porque nos sentidos SP e SQ sobe, 
mas no sentido SL ou ST desce.Ponto de Sela
Pmáx Qmáx
P
Q
T
L
f(x,y)
Teste da 2a derivada:
Seja f uma função de duas variáveis, dotada de derivadas parciais de 2a ordem contínuas em um círculo 
centrado no ponto (x0,y0), teremos:
||| ),(
22
),(2
2
),(2
2
000000
.
yxyxyx yx
f
y
f
x
fD 





∂∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
D = Discriminante
fyyfyx
fxyfxx
yxD =),( 00
Logo se:
⇒>
∂
∂
> 0,0 2
2
x
fD f tem mínimo relativo em (x0,y0)a)
b) ⇒<
∂
∂
> 0,0 2
2
x
fD f tem máximo relativo em (x0,y0)
c) ⇒< 0D f tem um ponto de Sela em (x0,y0)
d) ⇒= 0D nada se pode concluir
IMPORTANTE
Ponto de Sela
segunda-feira, 20 de maio de 2013
21:24
 Página 44 de Calc II 
1) Examine a função:
1033034
03)2(2
12
2)1(22
02
032
23),( 22
−=⇒=−−⇒=−+−
=−+−
→
=−−=⇒−=⇒
=+=
∂
∂
=
=−+=
∂
∂
=
+−++=
yyyy
yy
xyx
yx
x
ffy
yx
x
ffx
xyxyxyxf
P(2,-1) -> não se sabe dizer ainda se passa p/ máx/min ou p/ sela.
( )[ ]
( )
( )
( )
⇒>=
>
=−=
=+
∂
∂
=
=+
∂
∂
=
=−+
∂
∂
=
−=
02
0
3)1(2.2
12
22
232
.
2
,
2
00
fxx
D
D
yx
x
fxy
yx
y
fyy
yx
x
fxx
fxyfyyfxxD yx
Formulário:






∂∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=






∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=






∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
−=
yx
f
y
f
x
fxy
y
f
y
f
y
fyy
x
f
x
f
x
fxx
fxyfyyfxxD yxyxyx
2
2
2
2
2
2
.
.
.
)().()( 000000
D > 0 e fxx > 0 => mínimo relativo
D > 0 e fxx < 0 => máximo relativo
D < 0 => ponto de sela
D = 0 => nada se pode concluir
(1)
(2)
Exercícios
terça-feira, 21 de maio de 2013
19:08
 Página 45 de Calc II 
2)Examine a função:
2
042
04
03
0822
026
823),( 22
=
=−



=−+−
=−
=−+−=
=−=
−+−=
x
x
yx
yx
yxfy
yxfx
yyxyxyxf
62.33 ==⇒−=− yxy
( )
( )
( )
06
08412)2(2.6)(.
2822
2822
626
22
>=
>=⇒−=−−=−=
−=−+−
∂
∂
=
=−+−
∂
∂
=
=−
∂
∂
=
fxx
DfxyfyyfxxD
yx
x
fxy
yx
y
fyy
yx
x
fxx
Mínimo relativo no ponto (2,6)
3) Examine a função:



=⇒=⇒−=−⇒=−=
=⇒==
−+=
01ln)ln(101
002
),( 2
yeeefy
xxfx
eyxyxf
yyy
y
( )
( )
( )
02)1(2).(20).(2)(.
01
1
22
| )0,0(2 <−=⇒−=−=−−=−=
=−
∂
∂
=
−=−∂
∂
=
=∂
∂
=
DeefxyfyyfxxD
e
x
fxy
ee
y
fyy
x
x
fxx
yy
y
yy
ponto de sela em p(0,0)
4) Examine as funções:
Exercício
terça-feira, 21 de maio de 2013
19:23
 Página 46 de Calc II 
Imagine que você está de pé em uma colina apresentada na figura e quer determinar a inclinação da 
colina em relação ao eixo z. Se esta colina estiver representada pela função Z = f(x,y), você já saberia 
determinar as inclinações em duas direções diferentes, ou seja: a inclinação na direção de y seria dada 
por fy e na direção de x por fx.
Neste tópico da disciplina Calculo II você aprenderá que estas duas derivadas parciais podem ser usadas 
para encontrar a inclinação em qualquer direção.
Vetor Gradiente:
Seja Z = f(x,y) uma função de duas variáveis e as suas derivadas parciais.
Seja P(x0,y0) um ponto do plano e 
y
z
x
f
∂
∂
∂
∂
,
||
00
,
pp y
z
x
f
∂
∂
∂
∂ as derivadas parciaiscalculadas nesse ponto P0.
Chamamos de vetor gradiente :






∂
∂
∂
∂
=∇ ||
00
0 , pp
zp
y
z
x
z
y
x
z 
colina
superfície Z = f(x,y)
y
x
z 
k
vetores 
unitarios
p(x0,y0)
kji ,, i
X0
j
y0
retas tangentes
superfície qualquer
0zp∇
Nota: O vetor Gradiente
aponta p/ o local de maior velocidade de Z = f(x,y)
∇
Exemplo:
Determine da função dada no ponto p0:∇
jj
yx
y
yx
yx
y
z
yx
x
yx
yx
x
z
p
yxz
zp 220
2
10
1.22)'(
0
10
0.22)'(
)1,0(
)ln(
0
2)1,0(2222
22
2)1,0(2222
22
0
22
|
|
=+=∇
=
+
=
+
=
+
+
=
∂
∂
=
+
=
+
=
+
+
=
∂
∂



=
+=
Vetor Gradiente e Derivada Direcional
segunda-feira, 27 de maio de 2013
20:39
 Página 47 de Calc II 
ji
xyx
y
z
y
x
yy
x
xy
x
z
p
xyxyz
zp 46
42.1.21ln2ln
62
1
2'
)2,1(
ln.
0
|
|
)1,0(
2
)2,1(
22
0
2
+=∇
=+=+=
∂
∂
=+=+=+=
∂
∂



=
+=
0
Derivada Direcional (Inclinação):
Se Z = f(x,y) é uma função diferenciável de x e y com u = u,i + u2j um vetor unitário, então a DERIVADA 
DIRECIONAL de f(x,y) na direção de u é dada por:
Seja agora teremos que a derivada direcional é a direção assumida por aplicado no vetor 
u, logo para calcularmos, teremos:
)00 ,( yxz∇ )00 ,( yxz∇
)1(21 uy
z
u
x
zDuz ∂
∂
+∂
∂
=
)2(0jy
zi
x
z
zp ∂
∂
+∂
∂
=∇
Fazendo (2) em (1) teremos: uD zpuz .0∇=
Exemplo:
Ache a derivada direcional da função f(x,y) = 3x2y na direção a = 3i + 4j no ponto p(1,2):
vetor unitário:
5
4
5
3
5
43
43
43
22
jijiji
a
a
u +=
+
=
+
+
==
ji
x
y
z
xy
x
z
j
y
zi
x
z
zp
zp
312
31.33
122.1.66
2
)2,1(
2
)2,1(
|
|
+=∇
===
∂
∂
===
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=∇
5
48
5
12
5
36
5
4
5
3).312(. =+=





++=∇= jijiuD zpuz
inclinação da reta que passa pelo ponto p
Exemplo 2
segunda-feira, 27 de maio de 2013
21:11
 Página 48 de Calc II 
( )



+=
=
2,1
43
22
pip
jia
ysenxz
( ) ( )
( ) ( )
5
8
5
4
5
3).2(.
2
22.2cos.1.22cos.2)'2.(2cos.
02.2.1.22.2
5
4
5
3
5
43
43
43
2
2,1
22
2,1
22
|
|
−=





+−=∇=
−=∇
−====
∂
∂
===
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=∇
+=
+
=
+
+
==
jijuD
j
yxyyx
y
z
senysenx
x
z
j
y
zi
x
z
jijiji
a
a
u
zpuz
zp
zp
pi
pi
pi
pi
0
( )
( )



−
+=
−−=






+=
=
2,3
5
149
4,2
5
cos.
22
2
p
jia
yxz
p
jia
yxz
pi
Exemplo
segunda-feira, 27 de maio de 2013
21:46
 Página 49 de Calc II 
Você já aprendeu que existem diversas derivadas direcionais em um ponto (x,y) de uma superfície qualquer. 
Em muitas aplicações precisamos saber qual direção nos mover para que a função f(x,y) cresça mais 
rapidamente.
A essa direção chamamos de direção de maior crescimento e é dada pelo , logo teremos as seguintes 
propriedades do gradiente:
TEOREMA:
Seja f uma função diferenciável em (x,y), logo:
1) Se , então Duf(x,y) = 0 para qualquer u
2) A direção de crescimento máximo de f é dada por e o valor máximo de Duz é igual ao módulo de 
3) A direção de crescimento mínimo de f é dada por e o valor mínimo de 
Para visualizar estas propriedades do gradiente, imagine um esquiador descendo uma montanha. Se f(x,y) 
denota a altitude do esquiador, então indica a direção que ele deve seguir para buscar o caminho 
mais íngreme.
Exemplo: Para uma placa de metal aquecida
1) A temperatura de uma placa de metal obedece a função T(x,y) = 20 - 4x2 - y2, onde x e y são medidas em cm. 
Em qual direção, a partir do ponto p(2,-3) a temperatura cresce mais rapidamente? Qual a taxa de 
crescimento?
pz∇
0),( =∇ yx
),( yx∇
),( yx∇
),( yx∇− ),( yxDuz ∇−=
),( yxf∇−
Para AV2: uma integral tripla e duas integrais de área
iy
y
z
ix
x
z
j
y
zi
x
z
pz
6)3.(22
162.88
,
|
|
)3,2(
)3,2(
=−−=−=
∂
∂
−=−=−=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
−
− cm
ji
o
z
z p
/17)6()16(
616
22
=+−=∇
+−=∇
Lista de Exercício:
Calcule o gradiente:
)3,2()ln()
)4,3()cos()
)0,2(2)
)1,2(1053)
22
22
2
pyxzd
pyxzc
pxezb
pyxza
x
y
+=
−+=
=
+−=
Calcule a derivada direcional:
)1,2(),0,0(,cos)
0,
2
),,0(),cos()
)1,1(),1,3(,4) 22
Qpyezc
Qpyxzb
Qpyxza
x−
=






+=
−+=
pi
pi
3) Encontre a direção de crescimento:
)0,1(,)
)1,1(,)
2
22
pyseneyxb
pyxyxa
xy+
−++
Aplicações de Gradiente
terça-feira, 28 de maio de 2013
18:51
 Página 50 de Calc II 
jij
y
zi
x
z
y
y
z
x
z
pyxza
pz 103,
10)1(105.2
33
)1,2(1053)
2
)1,2(
)1,2(
2
|
|
−=
∂
∂
∂
∂
=∇
−=−=−=
∂
∂
==
∂
∂
+−=
Resolução
terça-feira, 28 de maio de 2013
20:20
 Página 51 de Calc II 
Calcular as áreas por integral dupla:
(8,3)
x
y
x
y
y = 4 - x2
y= x+2
y = 4 - x2
y = x
250 xy −=
y = 2x
y = x2
..2408.3][33
303][
8
0
8
0
3
0
3
0
8
0
3
0
auxdx
ydy
dydx
=−==
=−==
∫
∫
∫ ∫
2
4
40/
240/
=⇒=
==⇒=
yxp
xyp
..
3
16
3
88
3
)0()0(4
3
)2()2(4
3
44
40]4[][
332
0
32
0
2
224
0
4
0
2
0
4
0
2
2
2
au
x
xdxx
xxydy
dydx
x
x
x
=



−=





−−





−=





−=−
−=−−==
∫
∫
∫ ∫
−
−
−
∫ ∫
−5
0
50 2x
x
dydx
..
2
9
2
15
38
2
18
2
1
3
98
2
1
3
8
3
142
3
82
2
1
3
14
2
4
3
82
2
1
3
1
)2(2
2
)2(
3
)2(1.2
2
1
3
12
23
2
224]2[]4[][
23231
2
231
2
2
2224
2
4
2
1
2
4
2
2
2
2
auA
A
x
xxdxxxA
xxxxxxydy
dydx
x
x
x
x
x
x
=−=
−+−=+−−=+−−−=++−+−−=



−−
−
−−+−−=






−+
−
−
−
−−





+−−=





+−−=+−−=
+−−=−−−=+−−==
−
−
−
+
−
+
−
−
+
∫
∫
∫ ∫
2
1
2
1
0242
2020/
2
1
22
−=
=
−=
−=
=−+⇒−=+
−=⇒=+⇒=
x
x
p
s
xxxx
xxyp
Revisão
segunda-feira, 3 de junho de 2013
20:19
 Página 52 de Calc II 
Ache fx e fy:
a) Z = (x2 + y2)3/2
b) Z = cos2(3x - y2)
c) Z = exy.lny
b)
[ ] [ ] ( )( )
( ) ( )
[ ] )3().3cos(4)'3).(3().3cos(
3.3cos6
3.)3(.)3cos(2)3cos(
)3(cos
22222
22
2212222
22
yxsenyxyyxyxsenyx
y
z
yxsenyx
xyyxsenyxyx
x
z
yxz
−−=−−−−=
∂
∂
−−−=
−−−=−=
∂
∂
−=
−
a)
2
1
22
2
1
22
)(3
)(3
yxy
y
zfy
yxx
x
zfx
+=
∂
∂
=
+=
∂
∂
=
c)
xye
y
e
y
zfy
eyy
x
zfx
xyxy
xy
.ln.1.
.ln
+=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
Revisão AV2
segunda-feira, 3 de junho de 2013
20:28
 Página 53 de Calc II 
Nome: Jorge Leoncio
Matrícula: 201202211461
Disciplina: Cálculo II
Professor: Paschoal
Universidade Estácio de Sá - Campus P.XI
1) Funções de várias variáveis, seus domínios e imagens:
a)
Achar domínio das funções:
xyyxf −=),(
A condição de existência dessa função é y-x ≥ 0 (real) , portanto o seu domínio é 
b)
{ }0|),( 2 ≥−∈= xyRyxD
yx
xyxf
−
=
2
),(
2
A função é finita quando 2x-y ≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, tais que: 
c)
{ }xyRyxD 2|),( 2 ≠∈=
yx
xyxf
−
=
3
),(
2
A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que:
d)
{ }03|),( 2 >−∈= yxRyxD
{ }2),( RyxD ∈=
O domínio é todo o plano R2. Esta é uma função polinomial, pois sua lei de definição é um polinômio em duas 
variáveis:
e) 
A função tem seu domínio definido em todo o espaço inteiro, EXCETO na origem (0,0,0):
22),( yxyxf +=
222
1),,(
zyx
zyxf
++
=
{ })0,0,0(),,(|),,( 3 ≠∈= zyxRzyxD
Trabalho de Campo - AV2
 Página 54 de Calc II 
2) Gráfico das funções de várias variáveis:
xyyxf −=),(
yx
xyxf
−
=
2
),(
2
yx
xyxf
−
=
3
),(
2
22),( yxyxf +=
222
1),,(
zyx
zyxf
++
=
a) b)
c) d)
Como os gráficos de funções de três variáveis consistem em pontos (x,y,z,f(x,y,z)) em um espaço quadridimensional, não se pode esboçá-los 
de maneira eficaz no sistema de coordenadas tridimensionais de referência. Contudo, é possível ver como a função se comporta analisando 
suas superfícies de nível tridimensionais.
e)
zona de indeterminação
zona de indeterminação
zona de indeterminação
Trabalho de Campo - AV2
 Página 55 de Calc II 
3.1) Funções vetoriais:
a)
Para as funções dadas por u(t) = 2t3i - t2j, v(t) = (1/t)i + (sen t)j e f(t) = e-t, encontre: 
[ ])()( tutf
dt
d=
Como: e , tem-se:tetf −−=)(' tjittu 26)(' 2 −=
[ ]
jtteitet
dt
d
itteittetjitejttetutftutftutf
dt
d
tt
tttt
)2()3(2
)2()26()26()2).(()(').()().(')()(
2
232223
−+−=
−+−=−+−−=+==
−−
−−−−
b) [ ])()( tvtu
dt
d
+=
tjittu 26)(' 2 −= e jti
t
tv )(cos1)(' 2 +−= de maneira que:
[ ] jtti
t
tjti
t
tjittvtutvtu
dt
d )2(cos16)(cos1)26()(')(')()( 2222 −+





−=





+−+−=+=+=
c) [ ])().( tvtu
dt
d
=
[ ]
ttsentttttttsentttt
t
ttsent
t
t
dt
d
jti
t
jttjtseni
t
tjittvtutvtutvtu
dt
d
cos..24cos.2.26)).(cos(1).2()).(2(1).6(
)(cos1).2()(1).26()(').()().(')()(
222
2
32
2
232
−−=−−−=−+





−+−+





=






+−−+





+−−===+=
Usando as derivadas do item (b) e a regra do Produto Escalar, têm-se:
Observa-se que a derivada do produto escalar de funções vetoriais é uma função escalar.
3.2) Lançamento de projéteis:
d) Uma pedra é arremessada do Ponto P com uma velocidade de 10 m/s numa direção que forma um ângulo de 
45o com a horizontal, atingindo o ponto Q conforme indicado no esquema:
Considerando que a resistência do ar é desprezível, determine a distância d indicada no esquema, em metros:
Resolução:
Sendo um movimento bidimensional, é conveniente decompor em duas direções: VERTICAL (y) e HORIZONTAL (x). 
Na direção y, tem-se um MRUV com as seguintes equações:
( ) 200200 2
1)(.
2
1
ttsenvyttvyy y αθα ++=++=
vy0
com a = g = -10ms; 22 507,75,210
2
1))45(.(105,2 ttttseny −+=−+=
Para determinar qual o instante “t” em que a pedra chega ao solo basta fazer y = 0, e chega-se a:
O deslocamento horizontal (“d” na figura), nada mais é que o deslocamento na direção “x” durante t = 1,707s, 
logo:
05,207,75
0507,75,2
2
2
=−−
=−+=
tt
tty
707,1
292,0
5,0
414,1
2
1
+=
−=
−=
=
x
x
P
S
mtvtvx ox 07,12707,1).45cos(.10.cos.. 0 ==∆=∆=∆ θ
Trabalho de Campo - AV2
 Página 56 de Calc II 
3.2) Lançamento de Projéteis (continuação):
Um canhão é posicionado para atirar projéteis com velocidade inicial v0 diretamente acima de uma elevação de 
ângulo, como mostrado na figura. Que ângulo o canhão deve fazer com a horizontal de forma a ter o alcance 
máximo possível acima da elevação?
Análise do movimento no eixo horizontal (x), onde é o ângulo θ de inclinação do canhão em relação à horizontal:
θ
αθα
cos
cos.
cos0cos.
0
0
0
v
R
ttvR
tvxx x
=⇒+=
+=
Análise do movimento no eixo vertical (y):
2
0
2
00
2
10.
2
1
gttsenvsenR
attvyy y
−+=
++=
θθ
Substituindo-se (1) em (2):
(1)
(2)
α
θ
ααθ
θ
α
αθ
θ
α
θ
αθθ
θ
α
θ
αθθ
θθ
2
22
0
22
0
2
22
0
2
22
0
22
0
0
2
0
cos.
cos2
cos.
cos2
cos.
cos.
cos
cos.
2
1
cos
cos
.
cos
cos.
2
1
cos
cos.
..
2
10.
g
v
sentgR
v
gR
tg
v
Rgsensen
v
Rg
v
R
senvsenR
gttsenvsenR
−−=
−=−=⇒−=
−+=
Como R(θ) é uma função cujo ponto de máximo deve ser localizado, devemos identificar o valor de θ tal que 
dR/dθ = 0:
(3)
0sec)2cos(2
22
0
=
−
=
g
v
d
dR αθα
θ
(4)
Resolvendo-se (4) para θ encontramos duas possíveis soluções:






+
−
=
)2(
4
1
)2(
4
1
piα
piα
θ
Como , a resposta mais coerente é:20
piα << )2(
4
1
piαθ +=
Para , equação (3), pois como se trata de um ponto de máximo, a concavidade da curva nesse 
ponto deve ser voltada para baixo.
02
2
<
θd
Rd
Trabalho de Campo - AV2
 Página 57 de Calc II 
4) Equações Paramétricas
a) Sejam V = (1, 0,2) e P0 = (1,0,0) um vetor e um ponto quaisquer do espaço, respectivamente. 
Determine a reta r que possui a direção de V e contém o ponto P0.
Solução: V é o vetor diretor da reta r que passa pelo ponto P0. Tomando P = (x, y, z) como um ponto 
genérico da reta , tem-se: tVPP =0
Como: ),,1()0,0,1(0 zyxzyxPP −=−−−= )2,0,1( ttttV =





=
=
+=
tz
y
tx
r
2
0
1
:
e segue que a equação 
paramétrica de r é:
Para cada valor de t teremos um ponto pertencente à reta r :
Para t = 0 temos P0 = (1, 0, 0) representado pela cor amarela;
para t = 1 temos P1 = (2, 0, 2) representado pela cor vermelha;
para t = 2 temos P2 = (3, 0, 4) representado pela cor azul;
para t = 3 temos P3 = (4, 0, 6) representado pela cor verde;
para t = 4 temos P4 = (5, 0, 8) representado pela cor rosa;
para t = 5 temos P5 = (6, 0, 10) representado pela cor laranja;
Ao ligar-se todos esses pontos obteremos um segmento da reta r representada pela cor preta:
b) Sejam V = (2,0,0) e P0 = (-2,0,2) um vetor e um ponto quaisquer do espaço, respectivamente. Determine a reta r 
que possui a direção de V e contém o ponto P0.
Tomando-se P = (x,y,z) como um ponto genérico da reta, teremos que P pertence a r se e somente se: tVPP =0
)2,,2()2,0,2(0 −+=−−+= zyxzyxPP )0,0,2( ttttV =





=
=
+−=
2
0
22
:
z
y
tx
r
Como: e a equação paramétrica 
de r é dada por:
c) Retas coincidentes:





+=
−=
+=
tz
ty
tx
r
23
1
52
:As equações paramétricas:





+=
−=
+−=
tz
ty
tx
r
21
2
53
:
com P0 = (2,1,3) e V = (5,-1,2)
e com P0 = (-3,2,1) e V = (5,-1,2)
representam a mesma reta, mas descrevem o movimento de duas partículas que partiram de pontos 
iniciais distintos com a mesma velocidade.
Trabalho de Campo - AV2
 Página 58 de Calc II 
4) Equações Paramétricas (continuação)
d) Determine uma equação da reta r, simétrica da reta





=
=
+=
2
21
:
z
ty
tx
s t ϵ |R em relação ao plano α: x - y +z +1 = 0
Observa-se que se S e Q são pontos da reta s então S1 e Q1, simétricos de S e Q, 
respectivamente, em relação ao plano α são pontos da reta r.
De , temos que s e α são concorrentes. Seja
Então, I = (1 + 2t,t,2) e 1 + 2t - t + 2 + 1 = 0
Logo, t = -4 e I(-7, -4,2). Assim, as equações paramétricas da reta n, normal a α e 
concorrente com a reta s em S(1,0,2) são:
0)1,1,1).(0,1,2(. =−=αnvs α∩= sI}{





+=
−=
+=
tz
ty
tx
n
2
1
:
Considerando , temos I1 = (1 + t,-t,2 + t) e 1 + t + t + 2 + t + 1 = 0. Logo: e portanto:α∩= nI }{ 1 3
4
−=t






−=
3
2
,
3
4
,
3
1
1I Daí, 





−=





−−+





−=+=
3
2
,
3
8
,
3
5
3
4
,
3
4
,
3
4
3
2
,
3
4
,
3
1
111 SIIS
Como I e S1 são pontos distintos de r podemos considerar 14
3 SIvr =
Assim, uma equação vetorial de r é: RhhX ∈−+−−= );2,5,4()2,4,7(
d) 
Trabalho de Campo - AV2
 Página 59 de Calc II