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SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO Pós-graduação em Engenharia de Transportes El ti id d li d à I f t t d T tElasticidade aplicada à Infraestrutura de Transportes MAJ MONIZ DE ARAGÃO DEFORMAÇÕES: • Campo de deslocamentos; Componentes de deformação; Relações deformação-deslocamento; Deformação linear específica numa direção qualquer; Deformações Principaisespecífica numa direção qualquer; Deformações Principais. Referências bibliográficas: • Introdução à Teoria da Elasticidade, Villaça, S. F., Taborda Garcia, L. F., COPPE/UFRJ, 4ª Ed., 2000. • Theory of Elasticity, Timoshenko, S. P., Goodier, J.N., McGraw-Hill Classic Textbook Reissue Series, 3rd Ed., 1970. Deformações: Campo de deslocamentosCampo de deslocamentos Solicitações externas atuando em um corpo deformável:Solicitações externas atuando em um corpo deformável: Mudança de forma e dimensõesdimensões Configuração inicial indeformada Configuração final deformada Deformações: Campo de deslocamentosCampo de deslocamentos Um ponto A do corpo que na configuração inicial tem as coordenadasUm ponto A do corpo, que na configuração inicial tem as coordenadas x, y, z, sofre um deslocamento u, e passa para a posição A*. wvu ,,u zyxvv ,, zyxuu ,, zyxww ,, zyxww ,, As coordenadas A* são então dadas por x+u, y+v, z+w, e o CAMPO DE DESLOCAMENTOS determinado pelas funções u, v, w. Deformações: Campo de deslocamentosCampo de deslocamentos Observações:Observações: • Tendo em vista a continuidade do sólido no processo de deformação, as funções escalares u, v, w devem ser contínuas e unívocas. • O campo de deslocamentos pode ser decomposto em duas parcelas: • Movimento de corpo rígido (translação do ponto) • Deslocamento com mudança de forma e dimensões do corpo (alongamentos, encurtamentos) O movimento do corpo rígido pode ser sempre eliminado mediante a• O movimento do corpo rígido pode ser sempre eliminado mediante a introdução adequada de vínculos. Ex: Deslocamento com mudança de dimensões Movimento de Corpo rígidomudança de dimensões Corpo rígido F Componentes de DeformaçãoComponentes de Deformação D f ã ( t i )• Deformação (strain) • Deformação linear específica Alongamento relativo s • Alongamento relativo Deformação no ponto A e na direção s: Relação entre o alongamento sofrido pelo segmento elementar e o seu comprimento inicial, ao passar da configuração inicial para aao passar da configuração inicial para a deformada. ss dsds ds dsds AB ABBA 1* *** Componentes de DeformaçãoComponentes de Deformação D f ã l ( h i t i )• Deformação angular (shearing strain) • Distorção st Distorção no ponto A associada às direções s, t : BACst *** ˆ 2 2 Redução do ângulo originariamente reto entre AB e BC. Componentes de DeformaçãoComponentes de Deformação O estado de deformação em um ponto A fica completamenteO estado de deformação em um ponto A fica completamente determinado se forem conhecidas as componentes de deformação (linear e angular) em três direções ortogonais. Referindo-se ao sistema cartesiano global xyz, tem-se as seguintes componentes de deformação: , , , , , yzxzxyzyx De forma análoga ao estado de tensões, conhecidas essas componentes é possível calcular a deformação linear numa direção qualquer, ou a d f ã l i d d di õ t i ideformação angular associada a um par de direções ortogonais quaisquer no ponto A. Componentes de DeformaçãoComponentes de Deformação Adeformação em todo o corpo fica determinada conhecendo-se o campo de deformações, ou seja, as componentes de deformação como funções de posição:como funções de posição: zyx zyx zyx z,y,x z,y,x yy xx zyx z,y,x z,y,x xzxz xyxy z,y,xzz z,y,xyzyz Relações Deformação – Deslocamento ( d d t i )(coordenadas cartesianas) Sejam (A*) (B*) (C*) as projeções de A* B* C* no plano xy Logo:Sejam (A ), (B ), (C ) as projeções de A , B , C no plano xy. Logo: O deslocamento (de primeira ordem) na direção x do ponto B é igual a: du dx x u devido ao aumento de dx x u da função u com o aumento da coordenada x Relações Deformação - Deslocamentoç ç Sejam (A*) (B*) (C*) as projeções de A* B* C* no plano xy Logo:Sejam (A ), (B ), (C ) as projeções de A , B , C no plano xy. Logo: cosBAudxuudx ** cosBAudxxudx cosCAvdyvvdy ** cosCAvdyyvdy *** BAˆC BAC 2 dx x v sen ** BAsen dy y u ** CA ysen Relações Deformação - Deslocamentoç ç Hipótese de pequenas mudanças de configuração; Hipótese de pequenas mudanças de configuração; Componentes de deformação consideradas muito pequenas em presença da unidade; y**** x **** dyCACA dxBABA 1 1 y ****** BAˆCBAˆC xy****** BACBAC 22 1 1 cos ;sen cos ;sen Relações Deformação - Deslocamentoç ç Reescrevendo se as equações tem se: Reescrevendo-se as equações, tem-se: x u1dxuBAudx x uudx xx cos** xx y v1dyvCAvdy y vvdy yy cos** yy xyxy*** BAˆC 2 vu 2 vdxx vdx x v sen xyxy xdxBAsen x** 1 dyudyu Com as projeções nos outros dois planos cartesianos, são obtidas as demais expressões das yudy y y CA y ysen y** 1 relações deformação- deslocamento. Relações Deformação – Deslocamento LinearesRelações Deformação Deslocamento Lineares Na notação cartesiana: ,,,, 321 zyxxxx Na notação cartesiana: ,,,, ,,,, 321 321 wvuuuu zyxxxx ...,,...,, xyxx1211 u 1vu1 v x u y x xzxz xyxy 1wu1 2 1 x v y u 2 1 z w y z y yzyz xzxz 2 1 y w z v 2 1 2xz2 z 2yz2 x é o alongamento relativo da projeção em x de um segmento elementar originalmente na direção x. x é o alongamento relativo de um segmento elementar na direção x. Relações Deformação – Deslocamento LinearesRelações Deformação Deslocamento Lineares Na notação cartesiana:Na notação cartesiana: ,,,, 321 wvuuuu zyxxxx v x u x ...,,...,, ,,,, xyxx1211 321 wvuuuu w y v y zz x é o alongamento relativo da projeção em x de um segmento elementar originalmente na direção x. x é o alongamento relativo de um segmento elementar na direção x. Deformações angularesç g vuyxxy y w z v xy zyyz yxxy x w z u yz zxxz Deformações angularesç g yxxyyxxy x v y u 2 1 2 1 2 1É conveniente imaginar uma rotação de corpo rígido do elemento em torno zxxzzxxz x w z u xy 2 1 2 1 2 1 222p g do eixo transversal de forma a se obter uma deformação angular igual sofridapor cada uma das faces zyyzzyyz y w z v 2 1 2 1 2 1transversais, com magnitude igual à metade de distorção total no plano. Tensor Assim, modificando-se as relações para deformações angulares para xy ,yz e xz , obtém-se o tensor (de deformações), que é uma entidade matemática que obedece a certas leis de transformação:matemática que obedece a certas leis de transformação: xzxyxx yzyyyx xzxyxx zzzyzx Notar que os termos da diagonal principal representam as deformações lineares enquanto os termos situados fora da diagonal, cujos valores são simétricos em relação à diagonal, são as deformações transversais (angulares). Convenção de sinais nas deformaçõesç ç Deformação linear positiva: extensão do comprimento unitário Deformação angular positiva: redução do ângulo originariamente retoredução do ângulo originariamente reto Deformação linear numa direção qualquerç ç q q Na figura abaixo um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s éNa figura abaixo, um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s é representado na sua configuração inicial. co-senos diretores:co senos diretores: xs ds dx ,cos ysds dym ds ,cos zsds dzn ,cos Deformação linear numa direção qualquerç ç q q Após a deformação o segmento passa para a posição P*Q* de comprimento ds*Após a deformação o segmento passa para a posição P Q de comprimento ds . As projeções dos deslocamentos up e uq sobre a direção s são dadas por: wnvmuuu PPs ddus ds ds uu sPsQs Deformação linear numa direção qualquerç ç q q Considerando se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:Considerando-se a hipótese de pequenas mudanças de configuração: dsudsduuds s * ds du ds dsuds ds uds ds dsds s ss s * Desenvolvendo a derivada direcional da função u nadirecional da função u na direção s.... Deformação linear numa direção qualquerç ç q q Desenvolvendo a derivada direcional da função u na direção s.... ssss udzdudydudxdudu ç ç ss udsdzdsdydsdxds n dz wnvmudm dy wnvmud dx wnvmud mn dy dw dz dvn dz du dx dwm dy du dx dvn dz dwm dy dv dx du 222 mnnmnm 222 mnnmnm yzxzxyzyxs Deformação linear numa direção qualquerç ç q q s xzxyxx T n m n m yzyyyxs M nn zzzyzx 222 mnnmnm yzxzxyzyxs 222 Deformação linear numa direção qualquerç ç q q mnnmnm yzxzxy 2 z 2 y 2 xs A expressão acima nos dá a deformação linear em torno de um ponto em uma direção qualquer (definida pelos seus co-senos diretores) em funçãoç q q ( p ) ç das deformações lineares segundo os eixos coordenados e das distorções nos planos coordenados. Vê-se assim que as deformações segundo três eixos coordenados, ou seja, um tensor de deformações, é suficiente para definir o ESTADO DE DEFORMAÇÃO em torno de um ponto qualquer (assim como nas tensões). Deformação angular numa direção qualquerç g ç q q Analogamente pode-se demonstrar que a distorção entre duas direçõesAnalogamente, pode se demonstrar que a distorção entre duas direções s e t pode ser colocada como: tstsxytsztsytsxst mmnn2mm22 tstsyztstsxz tstsxytsztsytsxst mnnmnn Deformações Principaisç p Pode-se mostrar pela análise das expressões anteriores de deformação linear ePode se mostrar pela análise das expressões anteriores de deformação linear e distorção segundo direções arbitrárias, ou pelas propriedades dos Tensores, que o Tensor deformação segundo três novas coordenadas x’, y’, z’ pode ser colocado como: xzxyxxxzxyxxzxyxxxzxyxxx '''''''''''' colocado como: zzzyzx yzyyyx zzzyzx yzyyyx zzyzxz zyyyxy zzyzxz zyyyxy ''' ''' ''' ''' '''''' '''''' onde )'cos()'cos()'cos( ),'cos(),'cos(),'cos('''131211 zyyyxy zxyxxxzxyxxx R onde: ),'cos(),'cos(),'cos( ),cos(),cos(),cos( ''' ''' 333231 232221 zzyzxz zyyyxy zzyzxz zyyyxy R tRεR ε 'Lei de Transformação do Tensor de 2ª ordem: Deformações Principaisç p Tal como na análise de tensões pode se considerar por hipótese que num pontoTal como na análise de tensões, pode-se considerar por hipótese que num ponto de um sólido em estado de deformação existem três direções ortogonais (principais) em relação às quais a distorção é nula. As deformações lineares em tais direções são as deformações principais: Pelas propriedades dos tensores as três direções principais (ortogonais) 321 ,, 321 Pelas propriedades dos tensores, as três direções principais (ortogonais) correspondem à representação do tensor deformação segundo uma matriz diagonal. Logo, as raízes da equação característica do tensor de deformações correspondem às deformações principais, e seus coeficientes são denominados p ç p p , de invariantes do estado de deformação. Deformações Principaisç p Seja a direção “e” ma direção principal onde há apenas ma deformação Seja a direção “e” uma direção principal, onde há apenas uma deformação sem distorções: mm yzyyyx xzxyxx ee nn zzzyzx 00 n m n m zzzyzx yzyyyx xzxyxx e e e 00 00 00 0 n mεexyz Iε zzzyzxe n As deformações principais são os autovalores da matriz (tensor) de deformaçõesAs deformações principais são os autovalores da matriz (tensor) de deformações Deformações Principaisç p 0eij Idet 0yzeyyx xzxyex ezzyzx 0JJJ 3e2 2 e1 3 e JJJ 3e2e1e 321iizyx1J 323121 zzy yzy zzx xzx yyx xyx 2J yxyy 321 xzxyx 3J 321 zzyzx yzyyx3J Deformações Principais: sólidos isotrópicosç p p Tensões Principais, Deformações principais, Direções Principais Deformações Principais: sólidos isotrópicosç p p T õ P i i i D f õ i i i Di õ P i i iTensões Principais, Deformações principais, Direções Principais Deformações Principais: sólidos isotrópicosç p p Tensões Principais, Deformações principais, Direções Principais Deformações Principais: sólidos isotrópicosç p p T õ P i i i D f õ i i i Di õ P i i iTensões Principais, Deformações principais, Direções Principais Rosetas de Deformaçõesç yxOBxy 2 Compatibilidade de Deformaçõesp ç é preciso garantir a integrabilidade das relações• é preciso garantira integrabilidade das relações deformações-deslocamentos; bt ã d d d l t• obtenção de um campo de deslocamentos cinematicamente admissível, representado por funções contínuas e unívocas;contínuas e unívocas; • preservação do meio sólido no processo (de forma a não surgirem trincas ou fissuras);surgirem trincas ou fissuras); • uma maneira de se assegurar que as deformações sejam tí i é i i i d d l tcompatíveis é iniciar um campo de deslocamentos contínuo e unívoco e desenvolver as deformações a partir deste campo de conformidadedeste campo de conformidade. Compatibilidade de Deformaçõesp ç u 1vu1 v x u y x xyxy 1wu1 2 1 x v y u 2 1 z w y z y yzyz xzxz 2 1 y w z v 2 1 2xz2 z 2yz2 32 ux 0 222 xyyx22 yxy 32 vy 022 yxxy yyx 0 222 xzzx 22 xyx y 332 vuxy 0 0 222 22 zxxz yzzy xzzx 22 xyyxyx xy 022 zyyz yzy Bibliografia ComplementarBibliografia Complementar Exemplos numéricos práticos: Shames, I. H., Introdução à Mecânica dos Sólidos, Prentice Hall 1983 (Cap 3 e 12)Hall, 1983 (Cap. 3 e 12) Propriedades dos Tensores:p Reddy, J.N., “Energy Principles and Variationl Methods in Applied Mechanics”, John Wiley & Sonx, 2nd Ed., 2002 (Capítulo 2 3)(Capítulo 2.3) Círculo de Mohr Círculo de Mohr Beer Johnston, Resistência dos Materiais Riley, Mecânica dos Materiais
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