01 RevMecTec&EqExternoCalcReac&EqInternoDiagEsf&ConvSinais

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Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 4
Domínio de análise
� Hipóteses e premissas adotadas no estudo da Análise Estrutural
� Simplificação: Estrutura discretizada (não contínua-ANSYS, ect) dividida em
partes de comportamentos isolados (barras), com a consideração da
transmissão de esforços entre essas partes.
� Estruturas em barras (Lineares): Comprimento preponderante em relação
às demais dimensões. Quando comparados à resultados experimentais,
possuem precisão razoáveis, para relações: C > 5 x (MAIOR (h; L)); e
excelentes quando >10.
� A barra é representada por uma linha contínua, que passa pelo centroíde da
seção transversal perpendicular ao comprimento longitudinal do elemento.
� O comportamento de uma estrutura em barras, pode ser determinado
através da combinação do comportamento de suas diversas barras.
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Domínio de análise
� Hipóteses e premissas adotadas no estudo da Análise Estrutural (cont.)
� Hipótese das pequenas deformações: os elementos e materiais,
apresentam deformações pequenas quando comparadas com as dimensões
das estruturas.
� Hipótese da seção plana (Navier-Bernouilli): Seções planas, permanecem
planas, normais e com dimensões inalteradas, após deformadas.
� Princípio da superposição dos efeitos: Várias ações externas simultâneas,
equivalem à superposição (soma) dessas ações separadamente.
� Teorema de Varignon: O Momento da resultante de um sistema de forças
em relação a um ponto é igual ao momento do sistema (∑MO), ou seja, a
soma algébrica dos momentos de todas as forças componentes em relação
ao mesmo ponto O.
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Conceitos Fundamentais da Mecânica Técnica
Força
As forças são grandezas vetoriais caracterizadas por: direção, sentido e
intensidade.
F1
F2
F3 F4
...
y
x
F1
F1y
F1x
θ
F1x = F1 . cos θ
F1y = F1 . sen θ 
Grupo de Forças
Conjunto de forças aplicadas em um único ponto
de um corpo.
Sistema de Forças
Conjunto de forças aplicadas simultaneamente em
pontos diversos de um mesmo corpo.
F2F1
F3
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Grandezas Fundamentais
Resultante de um Grupo ou Sistema de Forças
Resultante de um grupo ou sistema de forças, é a força que, atuando sozinha,
produz ação idêntica à produzida pelo grupo ou sistema de forças. A resultante pode
ser determinada por soluções gráficas (paralelogramo) ou analíticas (decomposição e
soma das componentes vetoriais).
Resultante de um Grupo de Forças
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Grandezas Fundamentais
Momento de uma Força
Momento de uma força é a tendência de uma força F1 fazer um corpo rígido
girar em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo e da distância de F1
ao eixo fixo. Sua unidade no sistema internacional é o newton x metros (N.m), sendo
comum o uso de combinações (kgf.mm) e (tf.m).
Momento de um binário
Formam um binário, duas forças que tenham o mesmo módulo, linhas de
ação paralelas e sentidos opostos. A soma das componentes das duas forças em
qualquer direção é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual
atuam, tendem a fazê-lo girar.
Momento de uma força
Momento de uma binário de forças
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Grandezas Fundamentais
Redução de um Sistema de Forças a um ponto
Analisando a figura abaixo, podemos afirmar que para reduzir um sistema de
forças a um determinado ponto do espaço, basta transferir todas as forças para este
ponto, acrescentando, para cada uma delas, seu momento em relação a este ponto.
Portanto, um sistema de forças é redutível a uma resultante de força e um
resultante de momento, em relação a qualquer ponto do espaço.
Teorema de Varignon - Resultante de um Sistema de Forças
O Momento da resultante de um sistema de forças em relação a um ponto é
igual ao momento do sistema, ou seja, a soma algébrica dos Momentos de todas as
forças componentes em relação ao mesmo ponto O.
F1
A
F1
A
F1
F1’
d
O
Redução de um sistema de forças
F1
O
MO MO = F1 x d
F1 = F1’
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Equilíbrio de corpos rígidos
Definição
� O corpo rígido é um sistema constituído de partículas (átomos, por
exemplo) agregadas de um modo tal que a distância entre as várias partes
que constituem o corpo não varia com o tempo.
Equilíbrio
� Um corpo rígido está em equilíbrio quando as forças externas que atuam
sobre ele formam um sistema de forças que não provoquem tendência de
translação nem rotação deste corpo.
� Portanto, a condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em
equilíbrio, submetido a um sistema de forças, é que estas forças satisfaçam
as equações fundamentais da estática.
ΣF = 0
ΣM = 0
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Equações de equilíbrio
Equações de equilíbrio da estática
� Decompondo cada força e cada momento em suas componentes
cartesianas, encontram-se seis equações para as condições de equilíbrio de
um corpo rígido no espaço.
No Espaço
ΣF = 0 => ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣFz = 0
ΣM = 0 => ΣMx = 0; ΣMy = 0; ΣMz = 0
No Plano
ΣF = 0 => ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣFz = 0
ΣM = 0 => ΣMx = 0; ΣMy = 0; ΣMz = 0
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣFz = 0
ΣMx = 0 
ΣMy = 0 
ΣMz = 0
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣFz = 0
ΣMx = 0 
ΣMy = 0 
ΣMz = 0
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Convenção de sinais - Equilíbrio Global
Convenção de Sinais – Forças Externas
� Forças
� Sentido positivo do eixo de coordenadas (ou “p/ cima ou direita”) => Positivo.
� Sentido negativo do eixo de coordenadas (ou “p/ baixo ou esquer.”) => Negativo.
� Momentos
� Anti-horário => Positivo.
� Horário => Negativo.
A convenção é global! Independe do lado 
de “entrada” para análise da estrutura.
Convenção adotada p/ Forças
Convenção adotada p/ Momentos
y
z
x
Eixo de Coordenadas
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Cálculo das reações de apoio
Exercícios propostos
1) 2)
3) 4)
2 kN/m
2,5 kN
4 kN3 kN 6 m
3,2 m
3 m
IR
R4
Fx = -2,5 kN
Fy = +12,4 kN
Fz = -7 kN
Mx = +51 kNm
My = -5,3 kNm
Mz = -44,4 kNm A
R1
HA = 0
VB = +72,5 kN
VA = +27,5 kN
A B
R2
VA = +10 kN
HA = +130 kN
HB = -110 kN
A
B
R3
VA = +30,2 kN
HB = -5 kN
VC = +35,8 kN
A
B
C
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Cálculo das reações de apoio
Exercícios propostos
1)
Reações de Apoio
∑Fx= 0 .: HA = 0
∑MA= - 10 x 2 - (15 x 6) x 3 + VB x 4 .: VB = 290/4 = 72,5 kN
∑Fy= 0 .: VA - 10 - 90 + VB => VA = 100 - 72,5 = 27,5 kN
A B
HA
VA
VB
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y
z
x*
R = 90kN = 15 x 6
3 m 3 m
Resultantes?
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Cálculo das reações de apoio
Exercícios propostos
2)
Reações de Apoio
∑MA= +50x6 -40x2 -HBx2 .: HB = 220/2 = +110 kN
∑Fx= 0 .: -20 -110 +HA => HA = +130 kN
∑Fy= 0 .: -50 +40 +VA .: VA = +10 kN
A
B
HA
VA
HB
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Cálculo das reações de apoio
Exercícios propostos
3)
Reações de Apoio
∑Fx= 0 = +5 -HB .: HB = +5 kN
∑MB= -VAx6 +10 +54x3 +27x2 -15x3 .:
VA = 181/6 = +30,17 kN
∑Fy= 0 .: +30,17 +15 -54 -27 +VC .:
VC = +35,83 kN
HB
VA
VC
Resultantes?
RT = 
���
�
= 27 kN
4m 2 m
RR = 6x9 = 54 kN
3 m 3 m
Trapézio?
L/3L/2
R = q x L
C.G.
R = 
���
�C.G.
q
p
hT
p = hT - q
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Cálculo das reações de apoio
Exercícios propostos
4) Reaçõesde Apoio
∑Fx= 0 .: Fx = -2,5 kN
∑Fy= 0 .: -6,4 -6 +Fy .: Fy = +12,4 kN
∑Fz= 0 .: + 3 + 4 + Fz .: Fz = -7 kN
∑Mx = -3x6 -4x6 -6x1,5 +Mx .:
Mx = +51 kNm
∑My = +4x3,2 -2,5x3 +My .: My = -5,3 kNm
∑Mz = +6,4x1,6 +6x3,2 +2,5x6 +Mz .:
Mz = -44,4 kNmA
Fx
Mx
Fz Mz Fy My
2 kN/m
2,5 kN
4 kN3 kN 6 m
3,2 m
3 m
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y
z
x*
Deve-se estabelecer a posição 
(ponto) do Eixo de Referência, 
principalmente, para cálculo dos 
momentos de equilíbrio.
Como era de se esperar, constatamos que:
Para => (i = x;y;z) => Forças (Fi), não geram Momentos (Mi)!
R = 6,4kN
1,6 1,6
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Esforços internos
� Consideremos o corpo da figura submetido ao conjunto de forças em equilíbrio
indicadas.
� Seccionemos o corpo por um plano P que o intercepta segundo uma seção S,
dividindo-o nas duas partes.
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Plano P
Seção ST
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Esforços internos
� A força resultante “R” e o momento resultante “m” que atuam na
parte da inferior é obtido pela redução do sistema de forças dessa
parte, em um ponto O, localizado no centróide da seção transversal
“S”, e vice-versa (parte superior).
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Seção ST
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Esforços internos
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� Os esforços na ST podem ser determinados:
(i) pelas resultantes das forças atuantes na parte inferior quando projetadas num
único ponto O; ou,
(ii) pela reação da parte superior a esses esforços resultantes (mesma direção,
sentidos opostos).
Observação: Conforme convenção de sinais (inverte p/ cada lado da ST), embora em
sentidos opostos, o esforço na ST será único (sentido/sinal e valor) nos Diagramas de
Esforços Finais.
� É indiferente calcular os esforços simples atuantes numa seção utilizando as forças
da parte superior ou inferior da estrutura, numa ST qualquer. Usaremos as forças
da parte que nos conduzir ao menor trabalho de cálculo.
Seção ST
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Esforços internos
Definição
� Esforço Seccionais ou Internos são efeitos estáticos que um conjunto
de cargas e reações de apoio provocam em cada uma das seções
transversais de estudo.
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Estrutura em equilíbrio
Parte Esquerda –
Equilibrada pelas 
resultantes da direita
Parte Direita –
Equilibrada pelas 
resultantes da esquerda
Resultantes dos esforços de cada lado da
seção, são opostas, se equilibram, pois a
estrutura como um todo também está em
equilíbrio estático! Opção (ii) slide anterior!
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Esforços internos
Conclusão
� Os esforços em uma dada seção transversal podem ser determinados
considerando as forças externas atuantes em apenas um dos lados dessa
seção, esquerdo OU direto. Uma vez que a estrutura encontra-se em
equilíbrio, e o sistemas de forças resultantes provenientes de ambos os
lados da estrutura se equivalem, em quaisquer seção ou ponto da
estrutura.
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Tipos de esforços 
possíveis numa 
estrutura, em uma 
ST qualquer.
Mf ; MT ; V ; N
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Esforços internos
� Esforço Normal (N): soma de todas as forças ligadas à 
seção por um lado OU pelo outro, projetadas na direção 
do eixo da barra - normal à seção. 
Positivo na tração (forças “saindo da seção”);
Negativo na compressão (forças “entrando na ST”).
� Esforço Cortante (Q): soma de todas as forças ligadas à 
seção por um lado OU pelo outro, projetadas na direção 
do transversal ao eixo da barra - paralela à seção 
(cisalhamento).
� Momento Fletor (M): soma de todos os momentos
produzidos pelas forças ligadas à seção por um lado OU
pelo outro, considerando-se apenas as componentes de 
momento em torno dos eixos do plano da seção 
transversal;
� Momento Torçor (T): soma de todos os momentos
produzidos pelas forças ligadas à seção por um lado OU
pelo outro, considerando-se apenas as componentes de 
momento em torno do eixo ortogonal à seção.
Tração
Compressão
Cortante
Flexão
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Torção
(Ebeling,2013)
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Diagrama dos esforços
� Os diagramas de esforços solicitantes são a representação gráfica da
intensidade e sentido dos esforços internos, ao longo do eixo dos
elementos de barra, fornecendo em cada ponto (seção “S”), a grandeza do
esforço solicitante analisado.
� Algumas abreviaturas utilizadas para designar os diagramas de esforços:
� DEN – Diagrama de esforços normais, ou ainda, DN;
� DEC – Diagrama de esforços cortantes, ou ainda, DQ;
� DMF – Diagrama de momentos fletores, ou ainda, DF;
� DMT – Diagrama de momentos torçores, ou ainda, DT.
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DQ/DN: valores positivos
são representados acima
da barra! 45
Diagrama dos esforços
S1 S2 S3
0
x+
y+
0 L
Mf+
4m 4m 3m 2m
Mf=+25
Q=+20
N=+20
Mf=+30
Q=+10
N=+10
Mf=-10
Q=-5
N=-5
0 L
Q+/N+
DMf: valores positivos
são representados 
abaixo da barra!
+25
+30
-10
+ +
-
+
+
- -
+20
+10
-5
Representação gráfica: Dada uma viga biapoiada, submetida à ações externas quaisquer,
gerando os esforços internos indicados, em seções quaisquer, conforme abaixo.
A linha de ligação 
entre os pontos varia 
em função do carreg. 
externo p/ cada tipo 
de diagrama, 
conforme veremos no 
decorrer do curso!
1º) Calculam-se os 
esforços nas seções 
de interesse;
2º) Plota-se os valores 
dos esforços 
transversalmente à 
barra (em escala);
3º) Ligam-se os 
pontos;
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Diagrama dos esforços
� Seções Principais de Cálculo
� Usualmente, os valores dos esforços são calculados nas seções principais:
� Nas extremidades das barras;
� Onde concorram duas ou mais barras;
� Nos vínculos externos: apoios;
� Nos vínculos internos: rótulas;
� No início e fim de carga/carregamento distribuído;
� Onde ocorram cargas concentradas e cargas-momento.
Observações: Evidentemente, no que tangem às cargas, conforme visto em aulas
anteriores, são consideradas àquelas aplicáveis à cada tipo de esforço.
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Orientações de desenho dos diagramas
Momento Fletor
� Calcula-se o Mf nas seções principais, e marca-se este valor
perpendicularmente ao eixo longitudinal da barra, já considerando o
sentido convencionado.
� A partir destes valores, traçam-se linhas retilíneas ligando todos estes
pontos. Essa linha, para desenhos em escala, representará o DMF ao longo
do trecho, barra, ou tramo de viga. Exceção ocorre em trechos onde exista
carregamento distribuído, posto que, há depender de sua geometria
(retangular, triangular, ect), deverá ainda, ser projetada à sua flecha
(parábolas 2º ou 3º, ect), normal ao eixo da barra, a partir dos pontos de
início e fim do carregamento.
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Orientações de desenho dos diagramas
Esforço Cortante
� Calcula-se o Q nas seções principais, e marca-se este valor
perpendicularmente ao eixo longitudinal da barra, já considerando o
sentido convencionado.
� A partir destes valores, traçam-se linhas retilíneas ligando todos estes
pontos. Essa linha, para desenhos em escala, representará o DEC ao longo
do trecho, barra, ou tramo de viga. Exceção ocorre em trechos onde exista
carregamento distribuído, posto que, há depender de sua geometria
(retangular,triangular, ect), a linha de fechamento dos pontos poderá ser
uma reta inclinada (retangular) ou ainda “meia-parábola” (triangular).
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Orientações de desenho dos diagramas
Esforço Normal
� Calcula-se o N nas seções principais, e marca-se este valor
perpendicularmente ao eixo longitudinal da barra, já considerando o
sentido convencionado.
� A partir destes valores, traçam-se linhas retilíneas ligando todos estes
pontos. Essa linha, para desenhos em escala, representará o DEN ao longo
do trecho, barra, ou tramo de viga, para a maioria dos casos usuais.
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Convenção de sinais - Equilíbrio Global
Convenção de Sinais – Forças Externas
� Forças
� Sentido positivo do eixo de coordenadas (ou “p/ cima ou direita”) => Positivo.
� Sentido negativo do eixo de coordenadas (ou “p/ baixo ou esquer.”) => Negativo.
� Momentos
� Anti-horário => Positivo.
� Horário => Negativo.
A convenção é global! Independe do lado 
de “entrada” para análise da estrutura.
Convenção adotada p/ Forças
Convenção adotada p/ Momentos
y
z
x
Eixo de Coordenadas
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Convenção de sinais - Esforços Internos
Convenção de Sinais – Esforços Internos
Esforço Normal de Tração => Positivo (“saindo” da seção).
Esforço Normal de Compressão => Negativo (“entrando” na seção).
Esforço Cortante => É positivo quando, “entrando” pela lado esquerdo for de baixo p/
cima, ou, provocar “giro” no sentido horário, sendo negativo quando contrário.
Evidentemente, “entrando” pelo lado direito, funciona de forma inversa.
Momento Fletor => É positivo quando, quando traciona as fibras inferiores
(deformação convexa), e negativo quando o contrário; ou, é positivo, quando
“entrando” pelo lado esquerdo da seção em análise, esse esforço gira no sentido
horário, sendo negativo quando em sentido contrário.
Posição do observador => Necessária para definir Esq./Dir. em relação ao referencial.
Mf+
N+
Q+
Lado inferior de cada barra (tracionada)
Observador
Esq.
Dir.
Dependem do lado de 
“entrada” para análise da 
estrutura na seção!
Esquerda de SDireita de S S S
N+
Q+
Mf+
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Convenção de sinais - Esforços Internos
Convenção de Sinais – Esforços Internos (cont.)
Momento Torçor => Analogamente ao esforço normal, adotaremos que o momento
torçor é positivo, quando o vetor seta dupla que o representa (regra mão-direita),
estiver no sentido da tração (“saindo” da seção), e negativo, se estiver no sentido da
compressão (“entrando” na seção).
(Sussekind,1981)
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Convenção de sinais - Resumo - Esforços
ds
N(-)
ds
N(+)
S
+
-
+
-
+
-
S
+
-
+
-
+
-
ds
Q(+)
ds
Q(-)
ds
Mf(-)
ds
Mf(+)
+
-
S
ds
T(+)
ds
T(-)
E
sf
o
rç
o
 N
o
rm
a
l
E
sf
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 C
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M
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o
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r
M
o
m
e
n
to
 F
le
to
r
S
+-+-
+
-
Bibliografia:
� SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo:
1981.
� SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.
� HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5ª ed. Editora Pearson
Prentice Hall, 2006.
� BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. 3ª ed. Makron
Books, 1995.