Lista Binomial

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Métodos Quantitativos
Lista de Exercícios Binomial
Exercícios do livro-texto
Fonte: Levine, David M.
 Estatística: Teoria e Aplicações
Capítulo: Cap. 4
Exercícios nos : 
4.47 - 4.48 - 4.49 - 4.50 - 4.51 - 4.52 - 4.53
4.47)Determine a média aritmética e o desvio padrão da variável aleatória X:
a) Se n = 4 e p = 0,10
b) Se n = 4 e p = 0,40
c) Se n = 5 e p = 0,80
d) Se n = 3 e p = 0,50
Resp:
a) Média = np = (4)(0,1) = 0,4
Desvio = (npq)1/2 = (4.0,1.0,9)1/2 = 0,6
b) Média = np = (4)(0,4) = 1,6
Desvio = (npq)1/2 = (4.0,4.0,6)1/2 = 0,98
c) Média = np = (5)(0,8) = 4
Desvio = (npq)1/2 = (5.0,8.0,2)1/2 = 0,89
d) Média = np = (3)(0,5) = 1,5
Desvio = (npq)1/2 = (3.0,5.0,5)1/2 = 0,87
4.48) Admite-se a elevação ou o decréscimo no preço de uma ação, entre o inicio e o final de um dia de transações, como sendo eventos aleatórios igualmente prováveis. Qual é a probabilidade de que uma ação apresente uma elevação e seu preço de fechamento em cinco dias consecutivos?
Resp:
P(x) = n! px(1-p)n-x
 x!(n-x)! 
P(5) = 5! 0,55(0,5)0 = 0,0313
 5!(5-5)! 
4.49) Registros de certificados de garantia mostram que a probabilidade de que um carro novo necessite de um reparo inerente à garantia, nos primeiros 90 dias, é de 0,05. Se uma amostra de três carros novos for selecionada:
a) Qual é a probabilidade de que nenhum deles necessite de um reparo inerente à garantia?
b) Qual é a probabilidade de que pelo menos um deles necessite de um reparo inerente à garantia?
c) Qual é a probabilidade de que mais de um deles necessite de um reparo inerente à garantia?
d) Qual a média aritmética e o desvio padrão da distribuição de probabilidade?
Resp:
P(x) = n! px(1-p)n-x
 x!(n-x)! 
a) P(0) = 3! 0,050(0,95)3 = 85,73%
 0!(3-0)! 
b) Pr(x>=1)= 1 - Pr (x<1) = 1-Pr(0) = 1 - 3! 0,050(0,95)3 = 14,26%
 0!(3-0)! 
c) Pr (x>1) = 1 - Pr(x<=1) = 1-Pr(0)-Pr(1)
		 = 1 - 3! 0,050(0,95)3 - 3! 0,051(0,95)2
 0!(3-0)! 			 1!(3-1)! 
 = 0,73%
d) Média = np = (3)(0,05) = 0,15
Desvio = (npq)1/2 = (3.0,05.0,95)1/2 = 0,3775
4.50)De acordo com um artigo recente do Wall Street Journal, 4 entre 10 navegadores da Wide Web que visualizam propaganda na Internet lembram-se dela. 
Suponha que uma amostra aleatória de 5 navegadores da Web fosse selecionada e fosse perguntado se eles se recordam de uma determinada propaganda na Internet, a qual tivessem anteriormente acessado. Admita p=0,4 para responder:
a)Qual a média aritmética da distribuição de probabilidade?
b) Qual o desvio padrão da distribuição de probabilidade?
c) Qual é a probabilidade de que nenhum dos navegadores da Web, venha a lembrar-se da propaganda?
d) Qual é a probabilidade de 1, dentre os navegadores da Web, venha a lembrar-se da propaganda?
e) Qual é a probabilidade de 2, dentre os navegadores da Web, venha a lembrar-se da propaganda?
f) Qual é a probabilidade de que 3 ou mais, dentre os navegadores da Web, venha a lembrar-se da propaganda?
Resp:
a) Média = np = (5)(0,4) = 2 = 200%
b) Desvio = (npq)1/2 = (5.0,4.0,6)1/2 = 1,0954 = 109,54%
c) P(0) = 5! 0,40(0,6)5 = 7,78%
 0!(5-0)! 
d) P(1) = 5! 0,41(0,6)4 = 25,92%
 1!(5-1)! 
e) P(2) = 5! 0,42(0,6)3 = 34,56%
 2!(5-2)! 
f) Pr (x>=3)=1-Pr(x<=2) = 1 – P(0) - P(1) - P(2) = 1-0,6826 = 31,74%
4.51) Em um serviço de atendimento ao cliente de empresas telefônicas em relação à velocidade com a qual podem ser reparados problemas em serviços domiciliares, indicam que a probabilidade de que problemas relacionados a serviços residenciais possam ser reparados no mesmo dia é de 0,70.
a) Para os cinco primeiros problemas relatados em um determinado dia, qual a probabilidade de que todos os cinco sejam reparados no mesmo dia?
b) Para os cinco primeiros problemas relatados em um determinado dia, qual a probabilidade de que pelo menos três sejam reparados no mesmo dia?
c) Para os cinco primeiros problemas relatados em um determinado dia, qual a probabilidade de que menos de dois sejam reparados no mesmo dia?
d) Qual a média aritmética e o desvio padrão da distribuição de probabilidade?
Resp:
a)P(5) = 5! 0,75(0,3)0 = 16,81%
 5!(5-5)! 
b) Pr (x>=3) = 1 - Pr (x<=2) = 1 – P(0)-P(1)-P(2) = 
1 - 5! 0,70(0,3)5- 5! 0,71(0,3)4 - 5! 0,72(0,3)3
 0!(5-0)! 1!(5-1)! 2!(5-2)!
 = 1 – 0,0024 – 0,0284 – 0,1323 = 83,69%
c) Pr (x<=1) = P(0)+P(1) = 5! 0,70(0,3)5- 5! 0,71(0,3)4 = 3,08%
 0!(5-0)! 1!(5-1)!
d) Média = np = (5)(0,7) = 3,5 = 350%
Desvio = (npq)1/2 = (5.0,7.0,3)1/2 = 1,02 =102,47%
4.52) Um aluno está fazendo uma prova de múltipla escolha, na qual cada pergunta tem 4 opções. Como ele não tem conhecimento da matéria decide adotar a seguinte estratégia: colocar 4 bolas (A, B, C e D) em uma caixa. Aleatoriamente seleciona uma bola por pergunta na caixa e recoloca na caixa. Existem 5 perguntas de múltipla escolha na prova.
a) Qual a probabilidade de que ele obtenha 5 respostas corretas?
b) Qual a probabilidade de que ele obtenha pelo menos 4 respostas corretas?
c) Qual a probabilidade de que não obtenha resposta correta?
d) Qual a probabilidade de que ele obtenha não mais do que 2 respostas corretas?
e) Qual a média aritmética e o desvio padrão da distribuição de probabilidade?
f) Suponha que a prova tenha 50 perguntas de múltipla escolha e que 30 ou mais respostas corretas sejam um resultado que permita a aprovação. Qual a probabilidade de que ele seja aprovado na prova seguindo sua estratégia?
Resp:
 a)P(5) = 5! 0,255(0,75)0 = 0,10%
 5!(5-5)! 
b)Pr(x>=4) = 1-Pr(x<=3) = 1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)=
=1- 5!0,250(0,75)5- 5!0,251(0,75)4- 5!0,252(0,75)3
 0!(5-0)! 1!(5-1)! 2!(5-2)!
 - 5!0,253(0,75)2
 0!(5-3)!
=1 – 0,2373 – 0,3955 – 0,2637 – 0,0879 = 1,56% 
c) P(0) = 5! 0,250(0,75)5 = 23,73%
 0!(5-0)! 
d) Pr (x<=2) = P(0)+P(1)+P(2)
= 5!0,250(0,75)5- 5!0,251(0,75)4- 5!0,252(0,75)3
 0!(5-0)! 1!(5-1)! 2!(5-2)!
=0,2373 + 0,3955 + 0,2637 = 89,65% 
e) Média = np = (5)(0,25) = 1,25 = 125%
Desvio = (npq)1/2 = (5.0,25.0,75)1/2 = 0,9682 = 96,82%
f) Pr (x>=30) = 1 - Pr (x<=29) = 0,000016% no excel ou pela normal:
Normal:
np = (50)(0,25) = 12,5 > 5
npq = (50)(0,25)(0,75) = 9,375 > 5
Pr (x>=30) = Pr (z>= 30-12,5) = Pr (z>=5,71) = 1-0,99997 = 0,00003
 3,0619
0,0030% aproximação máxima da normal pela tabela
4.53) Quando um cliente faz um pedido a Rudy´s Supplies, um sistema de informações contábeis (AIS) automaticamente faz uma análise, para verificar se o cliente excedeu seu limite. Registros passados indicam que a probabilidade de que clientes excedam seus limites de créditos é de 0,05. Admita que, em um determinado dia, 20 clientes façam pedidos.
a) Qual a média aritmética e o desvio padrão do número de clientes que excederam seus limites de credito?
b) Qual a probabilidade de que nenhum cliente exceda seu limite?
c) Qual a probabilidade de que um cliente exceda seu limite?
d) Qual a probabilidade de que dois ou mais clientes excedam seus respectivos limites?
Resp:
a) Média = np = (20)(0,05) = 1 = 100%
Desvio = (npq)1/2 = (20.0,05.0,95)1/2 = 0,9747 = 97,47%
b) P(0) = 20! 0,050(0,95)20 = 35,85%
 0!(20-0)! 
c) P(1) = 20! 0,051(0,95)19 = 37,74%
 1!(20-1)! 
d) Pr (x>=2) = 1 - Pr (x<=1) = 1 – P(0) – P(1)
=1- 20!0,050(0,95)20- 20!0,051(0,95)19
 0!(20-0)!1!(20-1)! 
=1 – 0,3585 – 0,3774 = 26,42% 
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