EP16 2017 1 Questoes

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP16 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Exerc´ıcio 1 Encontre o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es.
a) −|3− 4x| < −5 (AP2 - 2012.2)
b) 2(x+ 5)2 ≥ 2x+ 14 (AP2 - 2012.2)
c) |2x+ 3| − 2 > 3 (AP2 - 2013.1)
d) |11− x2| > 2 (AP2 - 2014.1)
Exerc´ıcio 2 Resolva cada um dos sistemas
a)
{
y + x2 − 2x = −4
x+ y = −8 (AP2 - 2012.2)
b)
{
3x− 4y = −27
5x− 2y = 11 (AP2 - 2013.2)
Exerc´ıcio 3 Represente, no mesmo plano cartesiano, o gra´fico de cada uma das equac¸o˜es do sistema
do Exerc´ıcio 2, item a). Localize tambe´m, graficamente, a(s) soluc¸a˜o (soluc¸o˜es) encontrada(s) para
esse sistema, caso exista(m).
Exerc´ıcio 4 (AP2 - 2012 .2)
Certo produto tem sua demanda dada por uma func¸a˜o afim. Ale´m disso, quando o produto e´ vendido
a 2 reais, a demanda e´ de 3000 unidades e, se o prec¸o for elevado a 6 reais, a demanda cai para 1000
unidades. Sabe-se, ainda, que a oferta deste produto e´ dada pela fo´rmula Q(x) = 500(x2 − 3x).
a) Qual a fo´rmula da func¸a˜o D(x) que representa a demanda relacionada a este produto em func¸a˜o
de seu prec¸o x?
b) Qual e´ o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta (prec¸o m´ınimo do produto) e qual o valor acima do
qual na˜o ha´ demanda (prec¸o ma´ximo)?
c) Qual o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio do produto?
Exerc´ıcio 5 (AP2 - 2013.1)
Considere que as func¸o˜es de demanda e oferta de certo produto sa˜o dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P
2
4
+ 2 e Q(P ) =
2
3
P − 1
3
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q nos da˜o a demanda e a oferta em milho˜es de unidades.
Me´todos Determin´ısticos I EP16 2
a) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for de R$0,90?
b) Qual e´ o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo?
c) Qual e´, aproximadamente, o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo
mesmo?
d) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto?
e) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e oferta deste produto.
Exerc´ıcio 6 (AP2 - 2013.2)
Seja f : R −→ R dada por
f(x) =
x2
4
− x
2
− 6.
a) Encontre as ra´ızes de f;
b) Encontre qual o valor m´ınimo assumido por f(x) e o valor de x no qual este m´ınimo se realiza.
Exerc´ıcio 7 Determine o dom´ınio da func¸a˜o
f(x) =
x− 1√
x2 − 5x
3
− 2
3
+
√
2x− 4,
na forma de intervalo.
Exerc´ıcio 8 (AP3 2015-2) Considere o sistema S de equac¸o˜es:
S :
{
x2 − 6x− y = 0 (i)
2x− y = 7. (ii)
a) Determine as soluc¸o˜es do sistema, se existirem.
b) Fac¸a os esboc¸os dos gra´ficos de (i), (ii) e marque, tambe´m, os pontos encontrados no item a)
(se existirem).
Exerc´ıcio 9 (AP2 - 2016.1 [ampliada]) Vamos imaginar que o bairro B esta´ representado no plano
cartesiano, de forma que a origem e´ o ponto onde o Hospital H se encontra, o norte e o sul sa˜o
representados no eixo y e o leste e o oeste sa˜o representados no eixo x. Sabe-se que uma casa
noturna sera´ constru´ıda no bairro e que sua localizac¸a˜o, no plano, corresponde ao ponto
(
−2
5
, 3
)
.
Uma fam´ılia deseja comprar uma casa neste bairro e a localizac¸a˜o da casa nova sera´ representada,
no plano, por (x, y).
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Me´todos Determin´ısticos I EP16 3
a) Pedro, o marido, exige que o corretor procure apenas casas localizadas em pontos (x, y), tais
que a abscissa x diste mais do que 3km da abscissa da futura casa noturna. Qual e´ a inequac¸a˜o
modular (na varia´vel x) que o corretor deve resolver para encontrar os valores de x que satisfazem
a exigeˆncia de Pedro? Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e o apresente na forma de um
intervalo ou de uma unia˜o de intervalos.
b) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano
que satisfazem a` condic¸a˜o imposta por Pedro.
c) Maria, a esposa de Pedro, que e´ matema´tica, disse que ele na˜o podia ignorar a ordenada y e
pediu para o corretor procurar uma casa tal que sua distaˆncia ao ponto onde seria constru´ıda a
casa noturna fosse maior do que 3km. Qual e´ a inequac¸a˜o (nas varia´veis x e y) que o corretor
tera´ que resolver para atender a restric¸a˜o que Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a
inequac¸a˜o.
d) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano
que satisfazem a` condic¸a˜o imposta por Maria.
e) Mais tarde, preocupada com seu marido, que trabalha no hospital H, ela ligou para o corretor e
incluiu uma nova condic¸a˜o: a distaˆncia da casa ao Hospital H deveria ser menor ou igual a 1km.
Qual e´ a nova inequac¸a˜o que o corretor tera´ que resolver para atender esta u´ltima restric¸a˜o que
Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a inequac¸a˜o.
f) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano
que satisfazem a` nova condic¸a˜o imposta por Maria.
g) [Este item na˜o constava da questa˜o original] O filho do casal, estudante de direito, vendo a aflic¸a˜o
do corretor, resolveu colocar mais lenha na fogueira e disse que so´ aceitava se mudar se a ordenada
y da casa satisfizesse a inequac¸a˜o
2
(
3
2
− y
)2
− 3y
(
y − 5
3
)
≤
(
4
−√3
)2
.
Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o do filho.
h) O corretor, cansado de tantas inequac¸o˜es, procurou a casa mais bonita. Ela esta´ localizada no
ponto
(
−2
5
,
1
4
)
. Ele apresentou a casa a` fam´ılia. Maria ficou satisfeita? Por queˆ?
i) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Como Maria na˜o conseguiu convencer o corretor,
por meio das inequac¸o˜es, de que a casa que ele ofereceu na˜o era adequada, resolveu fazer um
esboc¸o mostrando regia˜o que atende a`s duas condic¸o˜es por ela impostas, e a casa oferecida. Fac¸a
este esboc¸o.
Exerc´ıcio 10 (AP2 - 2016.2) Uma pesquisa de mercado buscou identificar os gastos mensais dos
consumidores com sau´de e alimentac¸a˜o, em uma certa populac¸a˜o. Depois de processados os dados,
estimou-se que a me´dia do gasto mensal com sau´de era de R$210,00, e o gasto me´dio mensal com
alimentac¸a˜o era de R$352,00. Estes dados, pore´m, possuem uma margem de erro!
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Me´todos Determin´ısticos I EP16 4
(a) A margem de erro e de uma pesquisa e´ o valor ma´ximo, em mo´dulo, da diferenc¸a entre o valor
obtido pela pesquisa e o valor real. Assim, se mc e´ o valor correto e mp e´ o valor obtido na
pesquisa, tem-se sempre que
|mc −mp| 6 e.
Se a margem de erro do gasto me´dio em sau´de e´ de R$ 20,00 e a margem de erro dos gastos
com alimentac¸a˜o e´ de R$ 30,00, determine o intervalo ao qual pode pertencer o gasto
me´dio real com sau´de e o intervalo ao qual pode pertencer o gasto me´dio real com
alimentac¸a˜o.
(b) Considere um sistema de coordenadas no plano que tenha os gastos com sau´de no eixo horizontal
e os gastos com alimentac¸a˜o no eixo vertical. Como exemplo, um gasto de R$100,00 com sau´de
e R$200,00 com alimentac¸a˜o estaria representado no ponto (100, 200).
Verifique se os pontos a seguir podem representar gastos me´dios reais. Justifique sua
resposta.
(i) (200, 380) (ii) (240, 30)
(c) Considere o sistema de coordenadas no plano especificado no item (b). Isto e´, o eixo horizon-
tal representa os gastos com sau´de e o o eixo vertical representa os gastos com alimentac¸a˜o.
Represente o ponto correspondente aos gastos me´dios obtidos na pesquisa no sistema
de eixos fornecido no caderno de resposta. Neste mesmo sistema de eixos, esboce a
regia˜o onde pode estar o ponto correspondente aos gastos me´dios reais, de acordo com
o que voceˆ respondeu no item (a). (Por esboc¸ar a regia˜o, entenda que voceˆ devera´ delimitar
claramente a regia˜o e hachurar a partea` qual seus pontos pertencem, como feito em EPs e/ou
questo˜es da AD.)
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