EP13 2017 1 questoes

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP13 � Métodos Determinísticos I � 2017-1
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aulas 13 e 14 do Caderno Didático.
Exercício 1 Num baú há 10 brinquedos diferentes. Pedro, Maria e Carlos, 3 crianças, abrem o baú
e Pedro pega 2 brinquedos, Maria pega 4 e Carlos pega 3 brinquedos. Para cada item a seguir, decida
se a relação entre conjuntos indicada é, ou não é, uma função. Justifique.
a) A relação entre o conjunto das crianças e o conjunto dos brinquedos do baú que liga cada
criança aos brinquedos pegos por ela.
b) A relação entre o conjunto das três crianças e o conjunto dos números naturais que associa
cada criança ao número de brinquedos que ela pegou.
c) A relação entre o conjunto dos brinquedos do baú e o conjunto das crianças que liga cada
brinquedo do baú à criança que o pegou.
d) A relação entre o conjunto dos brinquedos pegos e o conjunto das crianças que associa cada
brinquedo pego à criança que o pegou.
Exercício 2 Considere a função f , dada por
f(x) = −3x
(
x+
2
3
)
+ x2, x ∈ R.
Determine o que é pedido em cada item a seguir.
a) f
(
1
2
)
b) f (a− b) , a, b ∈ R c) f (x2) , x ∈ R
Exercício 3 Em cada item a seguir, considere as funções dadas por suas regras e encontre o domínio
das mesmas. Isto é, para cada caso, encontre o maior subconjunto de R para o qual a regra faz
sentido, ou seja, o maior subconjunto de R, de modo que se aplicarmos a regra dada a um elemento
deste conjunto, obteremos um número real.
a) f1(x) =
√
x+ 5 b) f2(x) =
3
√
x+ 5
c) f3(x) =
√
x2 − 49 +√−(x− 2)(x− 9) d) f4(x) = x+ 2
x− 1
e) f6(x) =
1
x2 − 5x+ 6
Métodos Determinísticos I EP13 2
Exercício 4 Verifique se as funções f e g dadas abaixo são iguais.
f(x) =
√
(x− 2)(x− 3) e g(x) =
√
(x− 2)
√
(x− 3).
Exercício 5 Considere a função f dada a seguir.
f(x) =
√
−3x2 − 5x+ 2.
a) Determine, na forma de intervalo, o domínio da função f .
b) Determine, na forma de intervalo, os valores de x pertencentes ao domínio de f para os quais
3 + (f(x))2 ≥ x|x− 1|+ 5.
Uma Observação!!!
É importante lembrar que, para traçar gráficos de funções afins, precisamos determinar dois pontos
do gráfico. O ideal é que sejam fornecidas as interseções com os eixos coordenados.
Para traçar gráficos de funções quadráticas, precisamos de três pontos, e geralmente escolhemos as
duas raízes (quando houver) e o vértice. Caso a função quadrática não tenha raízes reais ou tenha
apenas uma (que coincidirá com o vértice), podemos então traçar o gráfico determinando o vértice
e mais dois pontos. Uma sugestão para estes dois outros pontos é escolher um determinado valor
para y e achar os valores de x correspondentes. Por exemplo, o valor de y pode ser a interseção da
parábola com o eixo y. Sem exibir os dois pontos para funções afins e os três pontos para funções
quadráticas, sua resposta não será considerada suficientemente justificada. Fique atento.
Exercício 6 Esboce os gráficos das funções dadas a seguir.
a) f(x) = x2 − x− 2 b) g(x) = x2 + 4x+ 6
c) h(x) = −x+ 7 d) r(x) = 2x− 5
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Métodos Determinísticos I EP13 3
Algumas das respostas do exercício anterior você pode conferir acessando as páginas
• http://www.uff.br/cdme/afim/afim-html/AP1.html , para funções lineares, e
• http://www.uff.br/cdme/quadratica/quadratica-html/QP1.html , para funções qua-
dráticas.
Neste site, você pode fazer variar os parâmetros das funções (os números das fórmulas)
e enquanto isso vê como se altera o gráfico da função com as variações que você está
produzindo. Confira, com certeza isso vai lhe ajudar!
Exercício 7 Considere as funções f(x) = −x2 + 6x + 10 e g(x) = 3x − 8. Encontre o conjunto
dos valores de x para os quais f(x) ≥ g(x).
A questão a seguir foi adaptada da página
http://www.uff.br/cdme/afim/afim-html/AP7.html
Nesta página você encontra a versão eletrônica do problema, com animações que ilustram a
questão. Se estiver conectado à internet, não deixe de dar uma olhada na versão eletrônica.
Basta entrar na página indicada acima.
Exercício 8 Às 11 horas da manhã certa caixa d'água de 1000 litros que encontra-se cheia começa
a perder água por um furo na base com vazão constante. Às 17 horas, ela está com 850 litros.
Responda:
a) A que horas a caixa fica com 700 litros?
b) A que horas a caixa fica com 500 litros?
c) Encontre a função V (t) que para cada t nos dá o volume de água na caixa após t horas.
d) Esboce o gráfico da função V .
e) Quanto tempo levará para que a caixa fique vazia?
Exercício 9 Certo banco cobra taxa de juros diária no cheque especial de 0,3% (isto é, 9% mensal).
Nessas condições se você ficar devendo 1000 reais por x dias no cheque especial, vai pagar como
encargos (juros) um valor
y = 1000× 0, 3
100
× x.
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Métodos Determinísticos I EP13 4
Já o cartão de crédito deste mesmo banco, em caso de atraso de pagamento, cobra uma multa fixa
de 2% mais juros diários de 0,2% (isto é, 6% ao mês) sobre o valor devido. Portanto, se você ficar
devendo 1000 reais no cartão de crédito por x dias (até um mês), terá como encargos (juros +
multa) o valor
y = 1000× 2
100
+ 1000× 0, 2
100
× x.
a) Uma pessoa fica devendo 1000 reais a esse banco por dez dias. Quanto pagará de encargos se
a dívida for no cheque especial?
b) Ainda devendo 1000 reais por 10 dias, quais serão os encargos se a dívida for no cartão de
crédito?
c) Devendo 1000 reais por 30 dias, quais são os encargos se a dívida for no cheque especial e
quais são os encargos se a dívida for no cartão de crédito?
d) Imagine que uma pessoa precisa contrair uma dívida de 1000 reais nesse banco por menos de
um mês e sabe que levará exatamente x dias para pagar a dívida. Quanto deve ser x para que
o cartão de crédito seja mais vantajoso?
Exercício 10 A empresa de telefonia FALE oferece aos seus clientes diversos planos de serviço para
celulares. Veja alguns deles:
• Plano 60: o cliente paga 60 reais e tem direito a falar 60 minutos para qualquer número fixo
ou móvel (franquia de 60 minutos). Por cada minuto que exceda os 60 da franquia, o cliente
deve pagar mais 90 centavos.
• Plano 110: o cliente paga 80 reais e tem direito a falar 110 minutos para qualquer número
fixo ou móvel (franquia de 110 minutos). Por cada minuto que exceda os 110 da franquia, o
cliente deve pagar mais 60 centavos.
O Plano 60 pode ser modelado pela função f : R+ → R+, onde R+ = {x ∈ R;x ≥ 0}, dada por:
f(t) =
{
60 , se t ≤ 60 (isto é, se a pessoa falar até 60 minutos)
60 + 0.9(t− 60) , se t > 60 (isto é, se a pessoa falar mais que 60 minutos)
Acima, t é o tempo das chamadas feitas pelo cliente e f(t) nos dá quanto o cliente pagará por esse
tempo usando o Plano 60.
Já o Plano 110 é modelado pela pela função g : R+ → R+ dada por:
g(t) =
{
80 , se t ≤ 110
80 + 0.6(t− 110) , se t > 110.
Acima, t também indica o tempo das chamadas feitas pelo cliente e g(t) nos dá quanto o cliente
pagará por esse tempo usando o Plano 110.
A seguir vemos os gráficos de cada uma dessas funções:
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Considerando as informações acima, responda aos itens a seguir.
a) Se uma pessoa fala sempre 70 minutos por mês, quanto ela pagará se usar o Plano 60? E se
usar o Plano 110?
b) Se a pessoa falar sempre 100 minutos, quanto ela pagará mensalmente com cada um dos planos
acima?
c) Quanto a pessoa deve falar mensalmente para que o Plano 60 seja mais vantajoso? Qual deve
ser o consumo mensal para que o Plano 110 seja mais em conta?
d) A empresa FALE oferece ainda um terceiro plano, o Plano 170. Neste plano o clientepaga
100 reais por mês e usufrui de uma franquia de 170 minutos. Cada minuto excedente custa
50 centavos. Encontre a função h : R+ → R+ que modela este plano, esboce sobre a figura
acima o gráfico da função h e descubra qual deve ser o consumo mensal para que este plano
seja mais vantajoso que os outros dois.
Exercício 11 Acesse na internet a página
http://www.uff.br/cdme/c1d/c1d-html/c1d-br.html
e tente resolver os 6 primeiros desafios.
Exercício 12 Considere as funções f(x) = 7− 4x e g(x) = 6x2 + 5x− 6. A função F é definida
como
F (x) =
√
g(x)√
f(x)
.
a) Esboçe o gráfico da função f
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b) Esboçe o gráfico da função g
c) Determine o ponto em que a função g atinge seu mínimo. Qual é este valor mínimo?
d) Determine, na forma de intervalo ou de uma união finita de intervalos, o domínio da função F
Exercício 13 O salário de um vendedor é formado de uma parte fixa igual a R$ 1.050,00, mais
2, 5% do valor das vendas efetivadas no mês.
a) Considere que a variável x representa o valor das vendas efetivadas. Determine uma expressão
que relacione o salário em função de x.
b) Em um mês que o salário foi de R$ 1.730,00, qual foi o valor das vendas?
c) Seu empregador lhe fez uma proposta de diminuir a parte fixa em 15% e aumentar a porcentagem
sobre o valor das vendas realizadas para 3%. Determine a função salário que representa a proposta
feita pelo empregador.
d) Esboce o gráfico da função salário da Questão 8 e o da função salário proposto na Questão 10
em um mesmo sistema de eixos.
e) O funcionário possui uma média de vendas em torno de R$ 28.000,00. Ele deve aceitar a proposta
do empregador, pois será mais vantajosa para ele, ou deve recusar, pois lhe será prejudicial?
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