EP13 2017 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP13 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 16 do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Trace os gra´ficos das curvas de demandas descritas pelas func¸o˜es apresentadas abaixo.
a) D = −P 2 + 9 b) D = −P/2 + 3
Soluc¸a˜o:
Observe que por se tratar de uma aplicac¸a˜o pra´tica, onde a varia´vel P representa prec¸o e a varia´vel
D representa quantidade, devemos ter que
P ≥ 0 e D ≥ 0.
Sendo assim, na para´bola que representa o gra´fico da curva demanda no item (a) e na reta que
representa o gra´fico da curva demanda no item (b), devemos retirar as partes com P e D negativos.
a)
b)
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Exerc´ıcio 2 Trace os gra´ficos das curvas de ofertas descritas pelas func¸o˜es apresentadas abaixo.
a) Q = (P 2 − 5P + 4)/6, sendo 10 o prec¸o ma´ximo;
b) Q = P/3− 1, sendo 12 o prec¸o ma´ximo.
Soluc¸a˜o:
Mais uma vez, por se tratar de uma aplicac¸a˜o pra´tica, onde a varia´vel P representa prec¸o e a varia´vel
Q representa quantidade, devemos ter que
P ≥ 0 e Q ≥ 0.
Sendo assim, na para´bola que representa o gra´fico da curva oferta no item (a) e na reta que repre-
senta o gra´fico da curva oferta no item (b), devemos retirar as partes com P e Q negativos. Ale´m
disso, devemos obedecer aos prec¸os ma´ximos estipulados.
a)
b)
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Exerc´ıcio 3 Considerando as func¸o˜es de oferta e de demanda em cada item, encontre o prec¸o de
equil´ıbrio e a quantidade de equil´ıbrio.
a) Q = (P 2 − P )/2, com prec¸o ma´ximo sendo 5, e D = −P 2/8 + 8
b) Q = (P 2 − 5P + 4)/5, com prec¸o ma´ximo sendo 10, e D = −P/3 + 4
Soluc¸a˜o:
a) Para encontrar o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio temos que descobrir para qual valor de P
obtemos D = Q:
D = Q ⇔ P
2 − P
2
=
−P 2
8
+ 8
⇔ 4P 2 − 4P = −P 2 + 64
⇔ 5P 2 − 4P − 64 = 0.
Vamos resolver esta u´ltima equac¸a˜o por Bhaskara:
∆ = 16− 4 · 5 · (−64) = 16 + 1280 = 1296
⇔ P = 4±
√
1296
10
=
4± 36
10
⇔ P = 4 + 36
10
= 4 ou
4− 36
10
= −16
5
.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 4.
Resulta enta˜o, que D = Q quando
P =
4 + 36
10
= 4.
Para esse valor de P , temos que
Q = (42 − 4)/2 = −42 + 64 = 6 = −4
2
8
+ 8 = D.
Portanto, o prec¸o de equil´ıbrio e´ 4 e a quantidade de equil´ıbrio e´ 6.
O gra´fico a seguir ilustra as curvas de oferta e demanda e o ponto de intersec¸a˜o que corresponde
aos valores de equil´ıbrio de prec¸o e quantidade.
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b) Para encontrar o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio temos que descobrir para qual valor de P
obtemos D = Q:
D = Q ⇔ −P/3 + 4 = (P 2 − 5P + 4)/5
⇔ 4P 2 − 4P = −P 2 + 64
⇔ 5P 2 − 4P − 64 = 0.
Vamos resolver esta u´ltima equac¸a˜o por Bhaskara:
∆ = 100− 4 · 3 · (−48) = 100 + 576 = 676
⇔ P = 10±
√
676
6
=
10± 26
6
⇔ P = 10 + 26
6
= 6 ou
10− 26
6
= −8
3
.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 6
Resulta enta˜o, que D = Q quando
P =
10 + 26
6
= 6.
Para esse valor de P , temos que
Q = (62 − 5 · 6 + 4)/5 = 10/5 = 2 = −4
2
8
+ 8 = D.
Portanto, o prec¸o de equil´ıbrio e´ 6 e a quantidade de equil´ıbrio e´ 2.
O gra´fico a seguir ilustra as curvas de oferta e demanda e o ponto de intersec¸a˜o que corresponde
aos valores de equil´ıbrio de prec¸o e quantidade.
Exerc´ıcio 4 Encontre o prec¸o de equil´ıbrio e a quantidade de equil´ıbrio considerando a func¸a˜o de
demanda D = −P
2
10
+3 e a func¸a˜o de oferta Q = 1, 5P −2, tendo 5 como prec¸o ma´ximo. Justifique
sua resposta.
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Soluc¸a˜o:
Para encontrar o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio temos que descobrir para qual valor de P obtemos
D = Q:
D = Q ⇔ −P
2
10
+ 3 = 1, 5P − 2
⇔ −P
2
10
+ 3− 1, 5P + 2 = 0
⇔ −P
2
10
− 1, 5P + 5 = 0
⇔ −P 2 − 15P + 50 = 0.
Vamos resolver esta u´ltima equac¸a˜o por Bhaskara:
∆ = (−15)2 − 4 · (−1) · (50) = 225 + 200 = 425
⇔ P = −(−15)±
√
425
(−2) =
15± 5√17
(−2)
⇔ P = 15 + 5
√
17
(−2) ≈ −17, 81 ou
15− 5√17
(−2) ≈ 2, 81.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´
15− 5√17
(−2) ≈ 2, 81.
Resulta enta˜o, que D = Q quando
P =
15− 5√17
(−2) ≈ 2, 81.
Para esse valor de P , temos que
Q = 1, 5× 2, 81− 2 = 2, 215 = −(2, 81)
2
10
+ 3 = D.
Portanto, o prec¸o de equil´ıbrio e´ 2,81 e a quantidade de equil´ıbrio e´ 2,215.
Exerc´ıcio 5 Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o
dadas, respectivamente, por
D(P ) = −2P 2 + 7P + 9 e Q(P ) = 8P − 6,
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
a) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$1,20?
b) Qual o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 5 milho˜es de unidades?
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c) Qual e´ o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo?
d) Qual o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta para ele?
e) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da demanda e da oferta
referentes a este prec¸o?
f) Determine o prec¸o do produto para o qual a demanda e´ ma´xima? Qual e´ este valor ma´ximo
da demanda?
g) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e de oferta deste produto.
Soluc¸a˜o:
a) Vamos substituir P = 1, 2 na func¸a˜o demanda D. Neste caso, temos que
D(1, 2) = −2(1, 2)2 + 7.(1, 2) + 9 = 14, 52.
Resposta: 14,52 milho˜es de unidades.
b) Vamos igualar a func¸a˜o demanda D a 5 e encontrar os valores de P correspondentes.
−2P 2 + 7P + 9 = 5 ⇔ 2P 2 − 7P − 4 = 0⇔ P = 7±
√
49 + 32
4
⇔ P = 4 ou P = −1/2.
Como trata-se de um problema de aplicac¸a˜o pra´tica e P e´ a varia´vel que representa prec¸o, e prec¸o e´
um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, devemos desprezar o valor negativo e ficar apenas com
o valor positivo de P , que e´ P = 4.
Resposta: O prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 5 milho˜es de unidades e´ R$4,00.
c) Encontramos o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo,
verificando quando temos a demanda igual a zero. Neste caso, temos que
D = 0 ⇔ −2P 2 + 7P + 9 = 0
⇔ 2P 2 − 7P − 9 = 0
⇔ P = 9/2 ou P = −1.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 9/2 = 4, 5.
Resposta: O prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo, e´ R$4,50.
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d) Encontramos o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo, verificando
quando temos a oferta igual a zero. Neste caso, temos que
Q = 0 ⇔ 8P − 6 = 0
⇔ P = 6/8 = 3/4 = 0.75.
Resposta: O prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta para ele, e´ R$0,75.
e) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda, D, e oferta, Q.
D = Q ⇔ −2P 2 + 7P + 9 = 8P − 6
⇔ −2P 2 + 7P + 9− 8P + 6 = 0⇔ −2P 2 − P + 15 = 0
⇔ 2P 2 + P − 15 = 0⇔ P = −1±
√
1 + 120
4
⇔ P = −1± 11
4
⇔ P = 5/2 ou P = −3.
Como prec¸o e´ um valormaior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 5/2 = 2.5.
Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio para este produto e´ R$2,50.
f) O gra´fico da func¸a˜o demanda, D, e´ a para´bola y = −2P 2 + 7P + 9. Observe que esta para´bola
possui concavidade voltada para baixo, pois a = −2 < 0. Desta forma, a demanda e´ ma´xima no
ve´rtice da para´bola. O prec¸o pedido e´ portanto o P do ve´rtice, que chamaremos de Pv. Temos assim
que
Pv = − b
2a
= − 7
(−2) · 2 =
7
4
= 1, 75.
Por outro lado, o valor ma´ximo da demanda, D, e´ o y do ve´rtice, que chamaremos de yv. Temos
assim que
yv = −∆
4a
= −(7)
2 − 4 · (−2) · 9
4 · (−2) =
19 + 72
8
=
121
8
= 15, 125.
Desta forma, temos que a demanda ma´xima e´ de 15,125 milho˜es de unidades e ela ocorre quando o
prec¸o do produto e´ de R$1,75.
g) Observe que pelos itens (c) e (d), temos que a variac¸a˜o de P e´: 0, 75 ≤ P ≤ 4, 5, pois o prec¸o
ma´ximo do produto e´ de R$4,50, uma vez que acima deste valor na˜o ha´ demanda pelo produto, e
prec¸o m´ınimo do produto e´ de R$0,75, uma vez que abaixo deste valor na˜o ha´ oferta do produto.
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Exerc´ıcio 6 Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o
dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 4P + 5 e Q(P ) = 5P
2
− 5,
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
a) Quais sa˜o os prec¸os ma´ximo do produto (valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo)? E
qual e´ o prec¸o m´ınimo (valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta)?
b) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da demanda e da oferta
referentes a este prec¸o?
c) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e de oferta deste produto, destacando os
pontos onde a oferta ou a demanda sa˜o iguais a zero, os pontos de equil´ıbrio e o ponto de
demanda ma´xima.
Soluc¸a˜o:
a) Encontramos o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo,
verificando quando temos a demanda igual a zero. Neste caso, temos que
D(P ) = 0 ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 0
⇔ P 2 − 4P − 5 = 0
⇔ P = −1 ou P = 5.
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Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e fica-
mos apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 5. Assim, o prec¸o ma´ximo do produto e´ R$5,00.
Encontramos o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo, verificando
quando temos a oferta igual a zero. Neste caso, temos que
Q(P ) = 0 ⇔ 5P
2
− 5 = 0
⇔ 5P
2
= 5
⇔ P = 5 · 2
5
= 2.
Assim, o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta para ele, e´ R$2,00.
b) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda, D, e oferta, Q.
D(x) = Q(x) ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 5P
2
− 5
⇔ −2P 2 + 8P + 10 = 5P − 10
⇔ −2P 2 + 3P + 20 = 0
⇔ 2P 2 − 3P − 20 = 0
⇔ P = −(−3)±
√
(−3)2 − 4 · 2 · (−20)
2 · 2
⇔ P = 3±
√
169
4
=
3± 13
4
⇔ P = 4 ou P = −10
4
.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 4. Assim, o prec¸o de equil´ıbrio e´ de R$ 4,00.
A demanda e a oferta correspondentes a este prec¸o e´ de D(P ) = Q(P ) = 5·4
2
− 5 = 5, isto e´, 5
milho˜es de unidades.
c) Ja´ vimos, na questa˜o anterior, que D(5) = 0, Q(2) = 0 e D(4) = Q(4) = 5. Repare que o ponto
de equil´ıbrio sera´ enta˜o (4, 5).
O gra´fico da func¸a˜o oferta Q e´ uma reta, pois ela e´ uma func¸a˜o de polinomial 1o grau. E, como
ja´ conhecemos dois de seus pontos (2, 0) e (4, 5), podemos esboc¸ar a reta.
O gra´fico da func¸a˜o demanda D e´ uma para´bola. Ja´ conhecemos as duas ra´ızes −1 e 5. O ve´rtice
(xv, yv) desta para´bola representa o ponto de demanda ma´xima, e suas coordenadas sa˜o dadas
por
xv = − b
2a
= − 4
2 · (−1) = 2
yv = −∆
4a
= −4
2 − 4 · (−1) · 5
4 · (−1) = −
36
−4 = 9.
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Assim, o ve´rtice e´ o ponto (2, 9).
Esboc¸ando as func¸o˜es, temos
Mas ja´ vimos que os prec¸os para os quais ha´ demanda e oferta satisfazem 2 6 P 6 5, assim,
podemos esboc¸ar o gra´fico das func¸o˜es apenas para estes valores de P , como abaixo:
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