teste1 A3 1 17 FUNDMEC LUIZPAULO

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GANARITO DO 1o TESTE DE FUNDAMENTOS DE MECAˆNICA – Turma A2 – 05/04/2017
Dados : ;
dtn
dt
= ntn−1 ;
∫
tn dt =
tn+1
n+ 1
;
d (senωt)
dt
= ω cosωt ;
∫
senωt dt = −
cosωt
ω
.Parte A - Questo˜es: (2,5 pontos, Q1=Q2=0,5 ponto; Q3=1,5 ponto): Diante de cada questa˜o abaixo,
responda ou comente as afirmativas feitas, corrigindo as que estiverem errado e (mesmo se a afirmativa
estiver correta) justifique com suas palavras.
Q1- (A) E´ poss´ıvel um corpo possuir acelerac¸a˜o vetorial na˜o nula e, ao mesmo tempo, ter sua velocidade
de mo´dulo constante. (B) E´ poss´ıvel fazer uma curva com acelerac¸a˜o nula.
A afirmativa (A) esta´ CORRETA. A definic¸a˜o de acelerac¸a˜o vetorial e´ ~a = d~vdt e a velocidade e´ um vetor.
Caracterizam um vetor seu mo´dulo, direc¸a˜o e sentido. Se qualquer dessas propriedades variar, mesmo que as
outras fiquem constantes, o vetor varia. Portanto, nada impede que o vetor velocidade mantenha seu mo´dulo
constante e varie a direc¸a˜o e/ou o sentido, fazendo com que a acelerac¸a˜o seja na˜o nula. Ja´ a afirmativa (B)
esta´ INCORRETA. Se um corpo faz uma curva, a direc¸a˜o de seu movimento varia, pois na˜o e´ retil´ıneo.
Como a velocidade esta´ sempre na direc¸a˜o do movimento, a velocidade num movimento em curva varia no
mı´nimo por este variar sua direc¸a˜o, e a acelerac¸a˜o na˜o pode ser nula.
Q2- Quais das expresso˜es vetoriais a seguir esta˜o corretas? Os produtos entre vetores “escalar” e “vetorial”
sa˜o representados por · e ×, respectivamente. O que esta´ errado com as expresso˜es incorretas?
a– ~A · ( ~B · ~C) – INCORRETO, pois ~B · ~C e´ um escalar e o produto escalar so´ tem sentido entre vetores
b– ~A× ( ~B · ~C) – INCORRETO, pois ~B · ~C e´ um escalar e o produto vetorial so´ tem sentido entre vetores
c– ~A · ( ~B × ~C) – CORRETO, e o resultado sera´ um escalar
d– ~A× ( ~B × ~C) – CORRETO, e o resultado sera´ um vetor
e– ~A+( ~B · ~C) – INCORRETO, pois na˜o se pode somar um vetor com um escalar, e ~B · ~C e´ um escalar.
Q3– Considere um corpo que possui sua velocidade dada pela equac¸a˜o ~v(t) = Axˆ+(B+Ct)yˆ+(D senEt)zˆ,
em m/s quando t e´ dado em segundos. A posic¸a˜o do corpo em t=0 s e´ ~r(0) = 0xˆ+F yˆ+0zˆ, A,B,C,D,E
e F sa˜o constantes e xˆ, yˆ, zˆ sa˜o os unita´rios cartesianos. Calcule o que se pede e justifique seus resultados.
Q3.a– Calcule a velocidade vetorial inicial do corpo.
A velocidade inicial e´ a velocidade calculada no tempo t = 0, ~v(0) = Axˆ+Byˆ + 0zˆ.
Q3.b– Calcule sua acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo, ~a(t).
A acelerac¸a˜o e´ definida como sendo a derivada da velocidade em relac¸a˜o ao tempo, ~a(t) = d~v(t)dt , ou seja,
~a(t) = 0xˆ+ Cyˆ + (DE cosEt)zˆ
Q3.c– Calcule sua posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo, ~r(t).
A relac¸a˜o entre posic¸a˜o e velocidade e´, por definic¸a˜o, ~r(t) − ~r(0) =
t∫
0
~v(t) dt, ou ~r(t) = ~r(0) +
t∫
0
~v(t) dt,
Usando os dados, calculamos que ~r(t) = (At)xˆ +
(
F +Bt+ C t
2
2
)
yˆ +
[
− (cos(Et)−1)
E
]
zˆ
Q3.d– Calcule o produto escalar entre sua acelerac¸a˜o e sua posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo, ~a · ~r.
O produto escalar pode ser calculado na forma geome´trica, ~a · ~r = |~a| |~r| cos θa,r, onde θa,r e´ o aˆngulo entre
os vetores ~a(t) e ~r(t), ou anal´ıtica, ~a · ~r = axrx + ayry + azrz . Na˜o temos informac¸a˜o do valor de θa,r
(que certamente depende do tempo) mas conhecemos as componentes, resultado das partes Q3.b– e Q3.c–.
Portanto, ~a · ~r = C
(
F +Bt+ C t
2
2
)
− (DE cosEt)
[
(cos(Et)−1)
E
]
Q3.e– Calcule a componente z do produto vetorial entre sua velocidade e sua acelerac¸a˜o, ~v × ~a.
O produto vetorial pedido pode ser calculado como o determinante
~v × ~a =
∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
vx(t) vy(t) vz(t)
ax(t) ay(t) az(t)
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
A B + Ct D senEt
0 C DE cosET
∣∣∣∣∣∣
a componente z desse produto vetorial e´ AC.
Parte B - Problema (2,5 pontos: P1.a=1,0; P1.b=0,7; P1.c=0,8)
P1– Dois blocos de massas m e M esta˜o
apoiados sobre um plano inclinado
do aˆngulo θ em relac¸a˜o a` horizontal,
ligados por uma corda ideal (sem
massa e inextens´ıvel) que passa por
uma roldana ideal (sem massa e sem
atrito em seu eixo), como mostrado
na figura ao lado. Ha´ atrito en-
tre os blocos e entre o de baixo e a
superf´ıcie do plano, cujo coeficiente
cine´tico vale µ e o sistema fica pa- θ
m Mµ
F
rado se deixado livre. Uma forc¸a F e´ feita, paralelamente ao plano para baixo, no bloco de baixo, de
forma a fazer os blocos se movimentarem com velocidade constante sem arrebentar a corda. Deˆ suas
respostas em termos de m, M , g, µ, e θ.
P1.a– Fac¸a um diagrama com todas as forc¸as que atuam nos dois blocos, nas duas partes da corda e na
roldana. Identifique as reac¸o˜es correspondentes, p.ex., ligando-as por linhas. Pode usar a figura ou,
se quiser, fac¸a outras, uma para cada parte.
P1.b– Calcule o valor da tensa˜o na corda de cima. Quanto vale a tensa˜o na corda de baixo? Justifique.
P1.c– Determine, ainda em termos dos dados, o valor da forc¸a F para que os blocos se movimentem com
velocidade constante.
Soluc¸a˜o
P1.a– Veja a figura, onde as forc¸as esta˜o esquematizadas
θ
θ
F
N1
T
Fa1
Fa1
T
T Fe
T
T
TFa2
Mg T
N1
N2
T
mg
θ
e os pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o relevantes para o problema esta˜o ligados por linhas tracejadas vermelhas. No
teste era necessa´rio somente desenhar as forc¸as, mas aqui explico cada uma delas.
No corpo de cima atuam:
1- seu peso (vertical para baixo, valor mg, exercido pela Terra, que sofre a reac¸a˜o, na˜o mostrada na figura);
2- a normal N1, que o bloco de baixo faz sobre ele (perpendicular ao plano, para cima, realizada pelo bloco
de baixo, que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura);
3- a forc¸a de atrito Fa1, que o bloco de baixo faz sobre ele (paralela ao plano, oposta ao movimento,
portanto para baixo, realizada pelo bloco de baixo, que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura);
4- a forc¸a que a parte de cima da corda faz sobre ele, T (na direc¸a˜o da corda, paralela ao plano, para cima,
exercida pela corda que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura).
Como a corda na˜o possui massa, a resultante sobre ela e suas partes tem que ser nula e as tenso˜es de um
lado e do outro (e ao longo de toda a corda) sa˜o iguais. Na parte de cima da corda atuam:
5- a forc¸a que o bloco de cima faz sobre ela, T (na direc¸a˜o da corda, paralela ao plano, para baixo, exercida
pelo bloco de cima que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura);
6- a forc¸a que a parte de cima da roldana faz sobre ela, T (na direc¸a˜o da corda, paralela ao plano, para
cima, exercida pela roldana que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura).
Como a roldana na˜o possui nem massa e nem atrito em seu eixo, a soma das forc¸as que atuam nela tem
que ser nula. E, para que na˜o rode descontroladamente, as tenso˜es das cordas em suas bordas teˆm que ser
iguais. Na roldana atuam:
7- a forc¸a que a parte de cima da corda faz sobre ela, T (na direc¸a˜o da corda, paralela ao plano, para
baixo, exercida pela parte de cima da corda que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura);
8- a forc¸a que a parte de baixo da corda faz sobre ela, T (na direc¸a˜o da corda, paralela ao plano, para
baixo, exercida pela parte de baixo da corda que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura);
9- a forc¸a que o eixo da roldana faz sobre ela, de modo que fique parada, anulando as forc¸as que as partes
da corda fazem na roldana.
Na parte de baixo da corda atuam:
10- a forc¸a que o bloco de baixo faz sobre ela, T (na direc¸a˜o da corda, paralela ao plano, para baixo, exercida
pelo bloco de baixo que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura);
11- a forc¸a que a parte de baixo da roldana faz sobre ela, T (na direc¸a˜o da corda, paralela ao plano, para
cima, exercida pela roldana que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura).
Finalmente, no corpo de baixo atuam:12- seu peso (vertical para baixo, valorMg, exercido pela Terra, que sofre a reac¸a˜o, na˜o mostrada na figura);
13- a normal N1, que o bloco de cima faz sobre ele (perpendicular ao plano, para baixo, realizada pelo bloco
de cima, que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura);
14- a forc¸a de atrito Fa1, que o bloco de cima faz sobre ele (paralela ao plano, oposta ao movimento entre
os dois, portanto para cima, realizada pelo bloco de cima, que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura);
15- a forc¸a que a parte de baixo da corda faz sobre ele, T (na direc¸a˜o da corda, paralela ao plano, para
cima, exercida pela corda que sofre a reac¸a˜o, mostrada na figura);
16- a normal N2, que a superf´ıcie do plano faz sobre ele (perpendicular ao plano, para cima, realizada pela
superf´ıcie do plano, que sofre a reac¸a˜o, na˜o mostrada na figura);
17- a forc¸a de atrito cine´tico Fa2, que a superf´ıcie do plano faz sobre ele (paralela ao plano e oposta ao
movimento, portanto, para cima, realizada pela superf´ıcie do plano, que sofre a reac¸a˜o, na˜o mostrada
na figura);
18- a forc¸a F do enunciado.
P1.b– Calcule o valor da tensa˜o na corda de cima. Quanto vale a tensa˜o na corda de baixo? Justifique.
Analisando as forc¸as sobre o bloco de cima, vemos que ele na˜o se movimenta perpendicularmente ao plano
e, portanto, a componente da forc¸a resultante sobre ele perpendicular ao plano deve ser nula, de onde se
obte´m a normal N1
N1 −mg cos θ = 0 −→ N1 = mg cos θ. (1)
O movimento dos blocos ocorre com velocidade constante e, portanto, a componente da forc¸a resultante no
bloco de cima na direc¸a˜o paralela ao plano tambe´m deve ser nula, e obtemos o valor da tensa˜o na corda de
cima. Considerando o sentido de subir o plano como sendo positivo
T − Fa1 −mg sen θ = 0 −→ T = mg sen θ + Fa1 = mg(sen θ + µ cos θ), (2)
onde usamos, na Eq.(2) o fato de o atrito ser cine´tico (µN). Como a corda na˜o possui massa na˜o pode ter
resultante. Como a roldana tambe´m na˜o possui massa e nem atrito em seu eixo, ale´m de ter a resultante das
forc¸as sobre ela nula, para na˜o girar descontroladamente, o valor das forc¸as que as partes da corda fazem em
sua borda tem que ser igual. Portanto, o valor da tensa˜o na parte de baixo da corda e´ o mesmo que na parte
de cima. Se a corda tivesse massa na˜o desprez´ıvel, se a roldana tivessa a massa na˜o desprez´ıvel ou atrito no
seu eixo, as tenso˜es na˜o seriam iguais.
P1.c– Determine, ainda em termos dos dados, o valor da forc¸a F para que os blocos se movimentem com
velocidade constante.
Analisando as forc¸as sobre o bloco de baixo, vemos que ele na˜o se movimenta perpendicularmente ao plano
e, portanto, a componente da forc¸a resultante sobre ele perpendicular ao plano deve ser nula, de onde se
obte´m a normal N2, usando a Eq.(1),
N2 −N1 −Mg cos θ = 0 −→ N2 = (M +m)g cos θ. (3)
O movimento do bloco de baixo tambe´m ocorre com velocidade constante e, portanto, a componente da
forc¸a resultante no bloco de baixo na direc¸a˜o paralela ao plano tambe´m deve ser nula. Ja´ obtivemos o valor
da tensa˜o na corda na Eq.(2). Ainda considerando o sentido de subir o plano como sendo positivo
T + Fa1 + Fa2 −Mg sen θ − F = 0 −→ F = T + Fa1 + Fa2 −Mg sen θ. (4)
Usando os resultados obtidos na Eq.(2) e o fato de os atritos serem cine´ticos, obtemos com as Eqs.(3) e (4),
F = mg(sen θ + µ cos θ) + µmg cos θ + µ(m+M)g cos θ −Mg sen θ. (5)
Simplificando
F = (m−M)g sen θ + (3m+M)gµ cos θ (6)