EN2611_comdig_parte4_1.0p4simple_3T2013

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EN2611 
Comunicação Digital 
Prof. Ivan R. S. Casella 
ivan.casella@ufabc.edu.br 
3T2013 
Transmissão 
em Banda-Base 
Formatação de Pulsos 
Critério de Nyquist 
 Na análise clássica de comunicação em banda base (e.g. 
codificação de linha) é comum a utilização de pulsos 
retangulares transmitidos através de canais lineares sem 
distorção e banda infinita 
 
 A utilização de pulsos retangulares é a melhor escolha? 
– Pulsos retangulares apresentam lóbulos laterais grandes, 
reduzindo a eficiência espectral (usados apenas para aplicações 
em fibras ópticas, cabos coaxiais etc)‏ 
– Se o canal for limitado em banda (e.g. canais telefônicos), algumas 
componentes de freqüência do sinal serão fortemente atenuadas 
causando distorção‏ 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 Efeito da utilização de Pulsos Retangulares 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
0 5 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
t (10-3 second)
P
ul
se
 W
av
ef
or
m
 s
(t)
-2000 0 2000
10
-1
10
0
10
1
frequency f (Hz)
P
ul
se
 S
pe
ct
ru
m
 |S
(f)
|
-2000 0 2000
10
-1
10
0
10
1
frequency f (Hz)
P
ul
se
 S
pe
ct
ru
m
 |S
(f)
|
ideal spectrum
Pulsos retangulares apresentam 
lóbulos laterais grandes 
O espectro de freqüência de uma 
seqüência de pulsos retangulares a 1Kbps, 
apresenta componentes significativas 
muito maiores que 1KHz 
 Na prática, os canais apresentam banda limitada e os 
pulsos transmitidos tendem a se espalhar temporalmente 
durante as transmissões 
– Essa dispersão temporal pode causar uma sobreposição dos 
pulsos em intervalos adjacentes, ocasionando erros no receptor 
 Esse fenômeno de sobreposição dos pulsos é denominado 
de Interferência Intersimbólica (ISI)‏ 
– Se a largura de banda do sinal for maior que a largura de banda do 
canal, algumas componentes de freqüência do sinal serão filtradas 
pelo canal 
– Se o pulso for mais longo que o intervalo de símbolo (efeito passa-
baixa do canal), ocorrerá ISI e, conseqüentemente, poderão ocorrer 
erros de detecção 
 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 Interferência Intersimbólica (ISI)‏ 
 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
Transmission 
Channel 
Pulso de Entrada Pulso de Saída 
Pulso de Entrada Pulso de Saída Band-unlimited Channel 
f 
H(f)‏ 
Band-limited Channel 
f 
H(f)‏ 
t t 
t t –B B 
 Dado o sistema PAM representado abaixo: 
 
 
 
 
 Tem-se que o sinal transmitido pode ser representado por: 
 
 
 
 A saída do canal linear é dada por: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
Code 
Pulso 
hT(t)‏ 
Canal 
hC(t)‏ 
Detector 
hR(t)‏ 
Decisor 
 tx nd
 
0ou1
na
 tr  ty  sTny 
 
0ou1
ˆ
na
   



n
sTn nTthdtx
     tnnTthdtr
n
sXn  


     ththth TCX 
)(tn
 A saída do Detector é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde  é uma fator de escala dado por: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
     tnnTthdty
n
sn 0 



     ththth RX 
     thtntn R0
Note que quando hR(t) for 
casado com hX(t), a SNR 
será máxima no instante 
de amostragem Ts 
       thththth RTC 
                RCTRCT HHHHthththth 
  10 h
Neste estudo, |Hc()| será 
considerado constante na 
faixa de passagem 
 Após a amostragem, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 Para não haver ISI, é necessário que: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
     
   

  

AWGNRuído
s
ISI
kn
ssn
DesejadoSinal
k
s
n
ssns
kTnnTkThdd
kTnnTkThdkTy
0
0









  0
   
ISI
kn
ssn nTkThd
  10 h
 Neste caso, tem-se que: 
 
 
 
 Assim, o desempenho do sistema passa a ser degradado 
apenas pelo ruído AWGN 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
   

AWGNRuído
s
DesejadoSinal
ks kTndkTy 0 
 Como projetar pulsos que gerem ISI zero e ocupem a 
menor banda de freqüência possível? 
– Pode-se projetar um filtro de transmissão para uma forma mais 
apropriada 
– Em seguida projetar um filtro de recepção que seja casado 
adequadamente de forma que a resposta total do sistema: 
 
 
– Resulte em ISI zero 
– Existem 2 técnicas de projeto: 
• Filtro Ideal de Nyquist (conceito teórico, porém irrealizável)‏ 
• Filtro de Cosseno Levantado (amplamente usado na prática)‏ 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
       thththth RTC 
 Filtro Ideal de Nyquist 
– Harray Nyquist (1889-1976)‏ 
– Pós-graduação em Yale 
– Trabalhou no Bell Labs AT&T 
– Maiores contribuições 
• Primeira análise quantitativa do ruído térmico 
• Estabilidade do controle de realimentação 
(Nyquist Plot)‏ 
• Inventor do VSB 
• Teoria da amostragem: 
– Requisitos de largura de banda necessária para 
transmitir a informação (1924)‏ 
– Determinação da Freqüência de amostragem 
mínima para transmissão da informação (1928)‏ 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 Teorema da Amostragem de Nyquist e Filtro de Nyquist 
– Um sinal analógico de banda B pode ser representado, sem perda 
de informação, por um seqüência de tempo-discreto através do 
processo de amostragem a uma freqüência duas vezes maior que 
a banda do sinal analógico (fs = 2B Hz)‏ 
– De forma inversa, uma seqüência de tempo-discreto com fs 
amostras por segundo pode ser convertida, sem perda de 
informação, num sinal analógico com banda B = fs/2 Hz 
– De forma similar, uma seqüência de símbolos com Rs símbolos por 
segundo pode ser transmitida numa forma de onda em banda base 
ocupando uma banda B = Rs/2 Hz 
• B é a mínima banda possível para uma transmissão sem ISI 
• Teoricamente possível através do uso de um filtro ideal de Nyquist 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
Note a diferença: 
Amostragem: B  B  fs/2 
Transmissão: Rs  B  Rs/2 
 O Critério de Nyquist assume que a ISI será zero apenas 
nos instantes de amostragem: 
 
 
 
 Assim, como a amostragem da resposta ao impulso h(t) 
equivale à multiplicação por um trem de impulsos, tem-se: 
 
 
 
 Convertendo para o domínio da freqüência, tem-se: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 






00
01
n
n
Tnh s
       tnTtthth
n
s   


  1
21





 
 

n ss T
n
T
H
 s
n s
T
T
n
H 




 



 2
Deseja-se que ISI 
seja zero ( = dirac) 
s
n s
T
T
n
H 




 



 2Equivale    



n
sn nFH  22
1
 Considerando apenas o espectro de frequência 
correspondente a apenas 2 termos de frequência positiva: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
  s
s
T
T
HH 




 

 2
sT
2
 H





 

sT
H


2
0





 

sT
H


2
sT
2

sT
Caso em que Ts < 1/(2B) 
Banda do Canal 
W = 2··B 
 
Rs > 2B 
sT

sT


W 
Aumenta Rs 
Não atende o 
Critério de Nyquist 
 Considerando apenas o espectro de frequência 
correspondente a apenas 2 termos de frequência positiva: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
  s
s
T
T
HH 




 

 2
sT
2
 H





 

sT
H


2
0





 

sT
H


2sT
2

sT
W 
 
Rs = 2B 
sT

sT


Banda do Canal 
W = 2··B 
Constante 
sT
W


Caso em que Ts = 1/(2B) 
Não atende o 
Critério de Nyquist 
 Considerando apenas o espectro de frequência 
correspondente a apenas 2 termos de frequência positiva: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
  s
s
T
T
HH 




 

 2
sT
2
 H





 

sT
H


2
0





 

sT
H


2
sT
2

sT
W 
 
Rs = 2B 
sT

sT


Banda do Canal 
W = 2··B 
Constante 
sT
W


Único sinal que elimina ISI 
e transmite à máxima taxa 
2B numa banda B 
Caso em que Ts = 1/(2B) 
Atende o Critério 
de Nyquist 
 Considerando apenas o espectro de frequência 
correspondente a apenas 2 termos de frequência positiva: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
  s
s
T
T
HH 




 

 2
sT
2
 H





 

sT
H


2
0





 

sT
H


2
sT
2

sT
W 
 
Rs < 2B 
sT

sT


Banda do Canal 
W = 2··B 
 

 1
sT
W
Caso em que Ts > 1/(2B) 
Vários sinais atendem 
o Critério de Nyquist 
Elimina ISI, mas transmite 
à uma taxa menor que 2B 
numa banda B 
 Considerando apenas o espectro de frequência 
correspondente a apenas 2 termos de frequência positiva: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
  s
s
T
T
HH 




 

 2
sT
2
 H





 

sT
H


2
0





 

sT
H


2
sT
2

sT
W 
 
Rs = B 
sT

sT


Banda do Canal 
W = 2··B 
sT
W
2

Caso em que Ts > 1/(2B) 
Vários sinais atendem 
o Critério de Nyquist 
Elimina ISI, mas transmite 
à uma taxa menor que 2B 
numa banda B 
 Resumindo 
– Para sistemas em banda base, a largura de banda necessária para 
detectar 1/Ts pulsos (símbolos) por segundo é 1/(2Ts) Hz 
 
– Para o canal ideal de Nyquist, a máxima taxa de transmissão de 
símbolo por Hz é 2 símbolos/s/Hz 
• A eficiência de largura de banda (Rb /B) é dada pela taxa de bits por Hz 
de largura de faixa 
• Mede a eficiência com que uma técnica de sinalização utiliza os 
recursos de largura de banda 
 
– Importante: o critério de Nyquist trata pulsos e não bits 
• Para saber a eficiência em termos de bits precisamos saber quantos 
bits cada símbolo representa 
• Exemplo: para n = 6 bits por símbolo, a máxima eficiência de largura 
de banda sem ISI é 12 bits/s/Hz 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 Assim, considerando um canal limitado em banda: 
 
 
– Para Ts < 1/(2B) ou Rs=1/Ts > 2B 
• Não é possível projetar um sistema com ISI zero 
 
– Para Ts = 1/(2B) ou Rs=1/Ts = 2B 
• Transmitindo a taxa de Nyquist (maior taxa possível em B), tem-se o 
menor valor de Ts possível para projetar um sistema com ISI zero 
• Existe apenas um pulso possível para atender a esse requisito: 
 
 
 
– Para Ts > 1/(2B) ou Rs=1/Ts < 2B 
• Transmitindo a uma taxa menor que a de Nyquist, existem muitos 
pulsos que permitem projetar um sistema com ISI zero 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
W  0C
  





 t
T
Sath
s

 Canal Ideal de Nyquist 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
A mínima largura de banda necessária para detectar 
Rs símbolos/s sem ISI é Rs/2 Hz 
Isto é possível quando a resposta em frequência do 
sistema H() = C()  HT()  HR() for retangular, 
como mostrado abaixo: 
|H()| 
 
sT


sT

Ts –Ts 
t 
 th
sT
 1
1 
Canal Ideal de Nyquist Pulso Ideal de Nyquist 
   tWSath 
sT
W


 Canal Ideal de Nyquist 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
A mínima largura de banda necessária para detectar 
Rs símbolos/s sem ISI é Rs/2 Hz 
Isto é possível quando a resposta em frequência do 
sistema H(f) = C(f)  HT(f)  HR(f) for retangular, como 
mostrado abaixo: 
|H(f)| 
f 
sT2
1

sT2
1
Ts –Ts 
t 
 th
sT
 1
Canal Ideal de Nyquist Pulso Ideal de Nyquist 
1 
   tWSath 
– Note que h(t) é zero a intervalos igualmente espaçados de múltiplos 
de Ts, a partir da origem ou do centro do pulso 
– Portanto, considerando que Ts=1/(2B) (intervalo de Nyquist), pode-
se verificar que os pulsos com esse formato, espaçados de Ts, não 
irão se sobrepor nos instantes de amostragem 
– Na prática, esse filtro apresenta alguns inconvenientes 
• Um filtro ideal é não-causal e não é realizável 
• Requer sincronismo de alta precisão 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
Ts –Ts 
 sTnth 
t 
 O 1o critério de Nyquist é comumente chamado de “Zero 
Forcing”, pois força a ocorrência de zeros nos instantes de 
amostragem diferentes do centro do pulso 
 
 A banda de Nyquist é igual a  / Ts rad/s ou 1/(2Ts) Hz 
– A mínima banda necessária para transmitir 1 / Ts símbolos/s sem ISI 
– A máxima taxa de símbolos 2B símbolos/s que pode ser transmitida 
sem ISI requer uma banda de B Hz 
 
 A transmissão do pulso de Nyquist de mínima banda é 
impraticável devido a taxa lenta de decaimento do Sa(Wt) 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 O espectro de freqüência plano resultante do pulso de 
Nyquist ideal é impossível de ser implementado 
– Resposta ao impulso com decaimento lento (1 / t) 
– Resposta ao impulso não-causal 
– Resposta ao impulso com duração infinita 
– Sensibilidade a erros de sincronismo 
– Resposta ao impulso precisa ser truncada na prática gerando 
– erros de truncamento (Gibbs) 
 
 Assim, é necessário modificar o critério de projeto para 
atender aos seguintes requisitos: 
– Resposta ao impulso com decaimento mais rápido (1 / t 3) 
– Permitir o uso de mais espectro de freqüência (Excess Bandwith) 
– Não restringir ISI zero apenas nos instantes de amostragem 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
Solução: estender a banda B para um valor no intervalo [B, 2B] 
 Filtro de Cosseno Levantado 
– Um filtro que atende aos requisitos de ISI zero, apresentando zeros 
em intervalos regulares de tempo (exceto no centro do pulso), para 
Ts > 1/(2B) é o Filtro de Cosseno Levantado: 
 
 
 
 
 
– A resposta ao impulso correspondente é dada por: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 
 
     
 

























W
WWW
W
sen
T
WT
H s
s





10
11
2
1
2
10
Note que o segundo Termo 
da direita é da forma 
sen(x)/x, mantendo os 
cruzamentos de zeros 
   
 
  







2
21
cos


tW
tW
tWSath
sT
W


 Filtro de Cosseno Levantado 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 
sT


sT

sT
2
sT
2

sT
1

sT2
1

sT2
1
sT
1
 O parâmetro  é denominado de fator de “Roll-off” 
– Note que quando  = 0, tem-se a representação de um filtro passa-
baixa ideal, cuja resposta é dada por: 
 
 
 
 
– Para o caso em que  = 1, tem-se uma característica “Full-cosine 
Roll-off”, cuja resposta de freqüência é dada por: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 






















W
W
W
T
H
s
20
2
2
cos1
2


 






W
WT
H
s



0
0 sT
W


 Pode-severificar que a banda ocupada pelo filtro de 
cosseno levantado varia de: 
 
 
 
 
 
 A relação entre Banda/Taxa depende naturalmente de  
– Se a taxa de transmissão desejada é de 1/Ts pulsos por segundo, a 
banda necessária será: 
Formatação de Pulsos - Nyquist sT
W

min
sT
W
2
max
sT
B


2
1
min
sT
B
1
max
rd/s Hz 
 
sT
B



2
1 
Hz 
W = 2.B rd/s 
s
e
T
B


2

Banda de Excesso 
 Diagrama de Olho 
– É uma técnica usada para medir a ISI, ou a confiabilidade da 
detecção de símbolo de uma forma prática no osciloscópio 
• Olho Aberto: pouca ISI, baixa taxa de erro, confiabilidade alta 
• Olho Fechado: muita ISI, alta taxa de erro, confiabilidade baixa 
– Como gerar o diagrama de olho? 
• Gerar um gráfico através da sobreposição periódica do sina recebido 
(com passo Ts) sobre a mesma escala de tempo (duração de símbolo)‏ 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 Diagrama de Olho – PAM 
 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 Diagrama de Olho 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 O Diagrama de Olho oferece as seguintes informações: 
– Instante de Amostragem Ótimo 
• Corresponde ao ponto de máxima abertura do diagrama 
– Interferência Intersimbólica (ISI)‏ 
• Corresponde a uma distorção na amplitude do sinal no instante de 
amostragem, representando o fechamento parcial do olho 
– Margem de Ruído do Sistema 
• Corresponde à amplitude da abertura do diagrama 
– Sensibilidade do Sistema a Erros Temporais 
• Corresponde a taxa de fechamento do olho com a variação do instante 
de amostragem 
– Jitter do Sistema 
• Corresponde a uma distorção nos instantes de cruzamento por zero, 
ocasionando num tempo de amostragem diferente do ótimo (caso o 
sincronismo seja obtido a partir desses cruzamentos) 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 Diagrama de Olho 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Diagrama de Olho
Janela de Símbolos
0 5 10 15 20 25 30
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Seqüência de Símbolos x Forma de Onda
Tempo (t)
Filtro Raised Cosine 
  = 0.6 
 Diagrama de Olho 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
0 5 10 15 20 25 30
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Seqüência de Símbolos x Forma de Onda
Tempo (t)
Filtro Raised Cosine 
  = 0.6 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Diagrama de Olho
Janela de Símbolos
Incluindo instantes 
iniciais e finais 
 Diagrama de Olho 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
Ref Lvl
-15 dBm-15 dBm
Ref Lvl
-15 dBm-15 dBm
CF 40 MHz
SR 2 MHz
 
Eye [I]
Demod BPSK
 A 
Meas Signal
REAL
T1
0 2SYMBOLS
 -1.5
 1.5
TS1
TS2
Date: 6.FEB.2002 09:42:47
Ref Lvl
-15 dBm-15 dBm
Ref Lvl
-15 dBm-15 dBm
CF 40 MHz
SR 2 MHz
 
Eye [I]
Demod BPSK
 A 
Meas Signal
REAL
T1
0 2SYMBOLS
 -1.5
 1.5
TS1
TS2
Date: 6.FEB.2002 09:40:09
Ref Lvl
-15 dBm-15 dBm
Ref Lvl
-15 dBm-15 dBm
CF 40 MHz
SR 2 MHz
 
Eye [I]
Demod BPSK
 A 
Meas Signal
REAL
T1
0 2SYMBOLS
 -1.5
 1.5
TS1
TS2
Date: 6.FEB.2002 09:38:46
Filtro Raised Cosine 
  = 0.2 
Filtro Raised Cosine 
  = 0.5 
Filtro Raised Cosine 
  = 0.99 
 Diagrama de Olho 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
Filtro Raised Cosine 
  = 0.5 
Ref Lvl
-15 dBm-15 dBm
Ref Lvl
-15 dBm-15 dBm
CF 40 MHz
SR 2 MHz
 
Eye [I]
Demod BPSK
 A 
Meas Signal
REAL
T1
0 2SYMBOLS
 -1.5
 1.5
TS1
TS2
Date: 6.FEB.2002 09:40:09
Ref Lvl
-15 dBm-15 dBm
Ref Lvl
-15 dBm-15 dBm
CF 40 MHz
SR 2 MHz
 
Eye [I]
Demod BPSK
 A 
Meas Signal
REAL
T1
0 2SYMBOLS
 -1.5
 1.5
TS1
TS2
Date: 6.FEB.2002 09:45:24
SNR = 15 dB SNR =  
 Filtro de Raiz de Cosseno Levantado 
– A aplicação de um filtro de cosseno levantado a um sistema pode 
ser realizada, utilizando um filtro no processo de transmissão e um 
no processo de recepção com a seguinte função de transferência: 
 
 
 
 
 
– A resposta ao impulso correspondente é dada por: 
 
 
 
– Note que 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 
 
     
 

























W
WBW
W
sen
T
WT
G s
s





10
11
2
1
2
10
 
       
 241
141cos4
s
s
s Tt
tWsentTtW
T
tg





 



sT
W


    HG 
3
1
t

 Exemplo: Uma linha telefônica apresenta banda de 
3.5KHz. Calcule a taxa de dados em bps que pode ser 
transmitida se for usado sinalização binária com pulsos de 
cosseno levantado e  = 0.25 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 
sT
B



2
1 
W = 2.B rd/s 
 
 
Kbps
T
R
T s
s
s
6.5
25.01
1071
2
25.01
105.3
3
3 






 Exemplo: Um canal de comunicação ocupa uma banda de 
75KHz e é utilizado para transmitir dados binários a uma 
taxa de 0.1Mbps usando um filtro de cosseno levantado. 
Determine  
Formatação de Pulsos - Nyquist 
s
s
R
T
1

 
5.0
102
1
1075
5
3 





 
sT
B



2
1 
sTs
5
6
10
101.0
1 


 Exemplo: Dado um canal de comunicação com a seguinte 
característica: 
 
 
 
 
 Determine a magnitude de HT(t) e HR(t) para um sistema 
binário transmitindo a uma taxa de 4800 bps 
– Como a banda do canal é de 4800 Hz e a taxa de símbolos é de 
4800 Hz, tem-se que: 
 
 
– Desta forma, tem-se que o roll-off deve ser igual a 1: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
  Hzfpara
f
fHC 4800
4800
1
1
2









4800 BRs
 
112
2
1



s
s
R
B
RB 
 Exemplo: cont. 
– Assim, o espectro do filtro Raised-Cosine para  = 1, pode ser 
representado por: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
 


















s
s
s
s
RC
Rf
Rf
R
f
T
fH
0
2
cos2

s
s
T
R
1

 






















W
W
W
T
H
s
20
2
2
cos1
2

  






















W
W
TfT
H
ss
20
2
2
2
cos1
2




  








s
s
R
f
Tf
2
coscos1 2

 Exemplo: cont. 
– A Resposta de magnitude do sistema é dada por: 
 
 
 
– Assumindo que a resposta do filtro de transmissão seja: 
 
 
 
 
 
– Pode-se obter a resposta do filtro de recepção fazendo: 
Formatação de Pulsos - Nyquist 
       fHfHfHfH RCRCT 
   


















s
s
s
s
RCT
Rf
Rf
R
f
T
fHfH
0
2
cos

 
 
  

















s
s
ss
s
C
RCR
Rf
Rf
R
f
R
f
T
fH
fH
fH
0
2
cos
3
2 
Sinalização 
de 
Resposta Parcial 
 Sinalização Duobinária 
– Como visto, é necessário reduzir a taxa de símbolo transmitida, 
abaixo da taxa de Nyquist de 2B símbolos/s, para possibilitar o uso 
de filtros realizáveis, como o filtro de cosseno levantado, onde: 
 
 
 
 
– Em 1963, Adam Lender mostrou que é possível transmitir 2B 
símbolos/s numa banda de B Hz sem a necessidade do uso de um 
filtro ideal (espectro retangular) 
– Lender usou uma técnica denominada de Sinalização Duobinária 
que consiste basicamente em introduzir uma quantidade controlada 
de ISI na seqüência transmitida 
• Introduzindo interferência correlacionada entre os pulsos e mudando a 
estratégia de detecção, é possível cancelar a interferência no receptor 
e atingir a taxa de símbolos ideal de 2B símbolos/s 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
 


1
2 B
Rs
Hz 
 Sinalização Duobinária 
– É um caso especial que leva a um filtro fisicamente realizável que 
ocupa uma banda de B Hz sem a necessidade do uso de um filtro 
ideal , relaxando a restrição de ISI Zero para: 
 
 
 
 
 
– Considerando a fórmula de interpolação ideal por funções 
Sampling, onde o intervalo de amostragem corresponde ao 
intervalo de Nyquist, ou seja, Ts = 1/2B, tem-se que: 
 
 
 
– Assim, tem-se que: 
 
 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
 


 

demais
n
Tnh s
0
1,01
      
k
s ktWSakThth 
 








demais
n
n
Tnh s
0
11
01
      tWSatWSath
s
s
R
T
W  

– Fazendo algumas manipulações matemáticas, resulta em: 
 
 
 
 
 
– Cujo espectro H() é dado por: 
 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
  We
WW
H W
j








 

 

para
2
cos
2
2
 
 
 tWtW
tW
th



1
sen
s
s
R
T
W  

 Características da Sinalização Duobinária 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
 
 
 tWtW
tW
th



1
sen









WW 2
cos
2 
 H th
W
Ts


  W
j
e
WW
H 










 2
2
cos
2


W2
WW
sssssss
 Codificação 
– Na operação de codificação, a seqüência binária a ser transmitida 
xk é convertida numa seqüência de pulsos polares (1) 
– Em seguida, a seqüência polarizada é codificada da seguinte 
forma: 
 
 
– Onde o atraso de um símbolo e a operação de soma é realizada 
por um filtro digital simples 
– Os pulsos codificados não são, portanto, independentes 
– Por fim, os pulsos são submetidos a um filtro retangular ideal. 
Apesar da presença de um filtro ideal, é possível uma 
implementação prática sem problemas 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
1 kkk xxy
 Decodificação 
– Na operação de decodificação, a ISI introduzida entre símbolos 
adjacentes no processo de codificação é eliminada facilmente no 
detector através da seguinte regra: 
 
 
 
 
 
 
– Note que a codificação duobinária pode acarretar em propagação 
de erros, já que o símbolo detectado num dado instante depende 
do símbolo detectado no instante anterior 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
)inverte(ˆˆEntão0ˆSe
)0símbolo(1ˆEntão2ˆSe
)1símbolo(1ˆEntão2ˆSe
1


kkk
kk
kk
xxy
xy
xy
 Sinalização Duobinária – Codificação 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
 Exemplo de Sinalização Duobinária – Codificação 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
Sequência de 
Entrada 
0 0 1 0 1 1 0 
Amplitude 
Polar (xk) 
-1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 
Sequência 
Codificada (yk) 
-2 0 0 0 2 0 
Regra de Codificação: 
1 kkk xxy
 Exemplo de Sinalização Duobinária – Decodificação 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
Sequência 
Codificada (yk) 
-2 0 0 0 2 0 
Sequência 
Decodif. Polar 
-1 +1 -1 +1 +1 -1 
Sequência 
Decodificada 
0 1 0 1 1 0 
Regra de Decodificação: 
)inverte(ˆˆEntão0ˆSe
)0símbolo(1ˆEntão2ˆSe
)1símbolo(1ˆEntão2ˆSe
1


kkk
kk
kk
xxy
xy
xy
 Sinalização Binária x Duobinária 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
 Sinalização Duobinária 
 Amplitudes dos pulsos 
correlacionadas 
 Requer menor BW 
 3 níveis 
 Sinalização Binária 
 Amplitudes dos pulsos 
descorrelacionadas 
 BW maior que a duobinária 
 2 níveis 
Conclusão: a sinalização duobinária requer uma 
banda menor que a binária para uma transmissão sem 
ISI, mas requer uma potência de transmissão maior 
Para uma dada probabilidade de erro de bit, a sinalização 
duobinária requer um aumento de aprox. 2.5dB da SNR em 
relação a sinalização binária. Entretanto, a banda ocupada é de 
1/(1+) daquela ocupada pela sinalização binária 
 Sinalização Duobinária Modificada 
– Na sinalização duobinária, a resposta em freqüência H() e 
conseqüentemente a PSD do pulso transmitido são diferentes de 
zero na origem 
– Esta é uma característica indesejável em muitas aplicações, pois 
vários canais de comunicação não podem transmitir informação em 
torna da freqüência zero 
– Além disto, a presença da componente DC impede a utilização de 
circuitos de acoplamento AC (capacitores e transformadores) 
– Para corrigir esta deficiência, pode-se empregar a sinalização 
duobinária modificada ou resposta parcial de classe IV 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
 Sinalização Duobinária Modificada 
– Um outro caso especial que leva a um filtro aproximado fisicamente 
realizável onde: 
 
 
 
 
– Portanto, h(t) é dado por: 
 
 
 
– Para Ts = 1/2B , o espectro H() é dado por: 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
       tWSatWSath
  W
WW
j
H 




 
  parasen2
s
s
R
T
W  

 








demais
n
n
Tnh s
0
11
11
 Características do Sinal Duobinário Modificado 
Resposta Parcial com ISI Controlada 





 

WW

sen
2
 H th
W
2

       tWSatWSath   




 

WW
j
H
 sen2
ssssssss
 Está forma especial de correlação pode, então, ser obtida 
subtraindo-se os pulsos polarizados espaçados de dois 
intervalos de sinalização (2Ts) ao invés de apenas um 
 Assim, a saída do filtro de conversão da sinalização 
duobinária modificada pode ser representada por: 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
2 kkk xxy
 Sinalização Duobinária Modificada – Codificação 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
kx
2 kkk xxy
 Sinalização Duobinária Modificada com Precodificação 
– Nesse caso, o pré-codificador também é implementado com 
um atraso de 2Ts segundos 
– A saída do filtro de conversão da sinalização duobinária modificada 
pode ser representada por: 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
2 kkk wwy
 Sinalização Duobinária Modificada – Codificação 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
2 kkk wwy2 kkk wxw
kw
kx
2kw
 Forma Generalizada da Sinalização de Resposta Parcial 
– A sinalização duobinária é baseada na correlação de 2 bits 
consecutivos de entrada 
– Pode-se generalizar esse esquema através da correlação de 3 ou 
mais bits consecutivos de entrada, resultando numa Forma 
Generalizada da Sinalização de Resposta Parcial 
– Assim como na sinalização duobinária, embora haja uma forte 
correlação entre os símbolos poli-binários resultantesda forma 
generalizada, a detecção dos bits transmitidos pode ser obtida de 
forma independente dos demais símbolos 
– A principal vantagem desse esquema é a redistribuição do espectro 
de potência nas baixas freqüências 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
 Forma Generalizada da Sinalização de Resposta Parcial 
– Pode-se obter características interessantes aumentando a ISI 
controlada. Entretanto, à medida que são selecionadas mais 
amostras diferentes de zero, o problema de unraveiling da ISI 
controlada começa a se tornar complexo 
– Em geral, a classe dos sinais limitados em banda que possuem a 
forma: 
 
 
– E cujo espectro é dado por: 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
  




 
 


ntWSa
W
n
hth
n
)(
  We
W
h
W
H
n
W
n
j





 
 



   para
 Forma Generalizada da Sinalização de Resposta Parcial 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
 Forma Generalizada da Codificação Correlativa 
– A transmissão de dados binários em um canal de banda base pode 
ser realizada a uma taxa igual à de Nyquist de 2B símbolos/s, 
usando filtros realizáveis 
– Diferentes formatos espectrais podem ser produzidos, apropriados 
para a aplicação em questão 
– No entanto, estas propriedades são obtidas ao custo de um 
aumento da SNR para obter a mesma probabilidade de erro de 
detecção em presença de ruído (em relação a sinalização binária) 
devido ao aumento no número de níveis de sinal utilizados 
Resposta Parcial com ISI Controlada 
Equalização 
de 
Canal 
 Equalização 
– Processo de filtragem que permite ajustar a resposta de freqüência 
total do sistema, em função das características do canal de 
propagação ou outras fontes de distorção, para eliminar ou reduzir 
a ISI 
 
– O equalizador pode ser fixo ou adaptativo dependendo de como os 
seus coeficientes são ajustados 
 
– Existem vários critérios de otimização dos coeficientes do 
equalizador para eliminar a ISI e maximizar a SNR 
 
Equalização 
LS 
ZF 
MSE 
CM 
MLSE 
 Equalização Zero Forcing (ZF)‏ 
– Considere a figura abaixo: 
 
 
 
– A resposta total do sistema é dada por: 
 
 
– Assumindo que a saída do equalizador é amostrada a cada Ts, 
tem- se, pelo Primeiro Critério de Nyquist para ISI-zero, que: 
Equalização 
         fHfHfHfHfH RECTo 
K
T
k
fH
k s
o 








sT
f


2
1
 
 fH
K
fH
C
E 
Considerando que TX e RX 
atendem ao 1o critério de Nyquist 
Filtro TX 
hT(t)‏ 
Canal 
hC(t)‏ 
Filtro RX 
hR(t)‏ 
Decisor 
sm Tnt Equalizador 
hE(t)‏ 
– Deste modo, de maneira simples, um equalizador que resulte em 
ISI zero é apenas um filtro inversor 
• Resposta de freqüência deve ser o inverso da resposta do canal de 
comunicação repetida à freqüência de amostragem (1/Ts)‏ 
– Esse equalizador é normalmente aproximado por um filtro FIR ou 
filtro transversal 
– A resposta ao impulso é dada por: 
 
 
 
– De modo que: 
Equalização 
   



N
Nn
snE Tntcth 
  



N
Nn
Tnfj
nE
secfH
2
 Efeito da Equalização sobre um Canal com 
Desvanecimento Seletivo em Freqüência do Canal 
Equalização 
Freq. 
S
p
e
c
tr
a
l 
d
e
n
s
it
y
 
Bcoerente 
Bs 
BW TX > BW Canal 
Bsig > Bcoerente 
 Modelo Equivalente em Tempo Discreto (FIR) para um 
Canal com Desvanecimento Seletivo em Freqüência 
Equalização 
Ts Ts Ts Ts 
0h 1
h
lh 2Lh 1Lh
   



1
0
L
l
sl Tltxhtp
 tx
Independente do formato de pulso escolhido, pode ocorrer 
ISI devido a presença de componentes de multipercurso 
 Equalização Linear – Filtro Transversal Linear 
– Um das estruturas de equalização mais utilizadas é a estrutura 
transversal linear: 
 
Equalização 
 sTNtp   sTNtp  2 tp  sTtp 
Ts Ts Ts Ts 
  sTNtp  12
Nc 1N
c
0c 1Nc Nc
 tpeTaps: 2N + 1 
Delays: 2NTs 
Note a semelhança com o modelo de canal 
Equalização 
Zero-Forcing 
– Vamos considerar, sem perda de generalidade, que o valor de 
pico do pulso distorcido se encontre na entrada do equalizador 
no instante t = 0 e que o pulso distorcido apresente ISI em ambos 
os lados 
– Assim, se o pulso distorcido for carregado até o centro do 
equalizador, sua saída pode ser representada por: 
 
 
 
– Amostrando a saída em tk= k Ts + N Ts , tem-se que: 
 
 
 
 Onde, 
Equalização 
   



N
Nn
ssnE TNTntpctp
2N + 1 taps, atraso até 
o ponto central de NTs 
  



N
Nn
nknkE pctp
   nkpTnTkpp CssCnk 
Equação tem a forma de uma 
convolução de tempo discreto 
 Equalização Linear – Filtro Transversal Linear 
Equalização 
 sTNtp   sTNtp  2 tp  sTtp 
Ts Ts Ts Ts 
  sTNtp  12
Nc 1N
c
0c 1Nc Nc
 tpeTaps: 2N + 1 
Delays: 2NTs 
– Idealmente, se deseja que o equalizador elimine completamente a 
ISI, de modo que: 
 
 
 
– Mas isso não é possível, pois a condição de ISI zero só pode ser 
mantida por 2 N + 1 instantes de amostragem, já que só há 2 N + 1 
coeficientes disponíveis (seriam necessários infinitos) 
– Assim, o que se pode fazer é escolher os coeficientes do 
equalizador de modo que: 
 
 
 
– Forçando os N valores de cada lado do pico de p(tk) para zero 
(Equalização Zero-Forcing) 
Equalização 
 






00
01
k
k
tp kE
tk= (k + N) Ts 
 






Nk
k
tp kE
,,10
01

– Os coeficientes correspondentes podem ser obtidos fazendo: 
 
 
 
– Usando uma representação matricial, tem-se: 
Equalização 
 
 
  





 




Nk
k
pcNkptp
N
Nn
nknE
TNk
kE
s
,,10
01

   
   
   
   
   

E
N
N
c
c
c
pNp
NpNp
NpNp
NpNp
Npp
pcP







































































 
0
1
0
02
11
11
20
0





  





EpcP 
– Onde, 
Equalização 
 TE 010 p
 TNN CCC   0C
   
   
   
   
   
12
12
02
11
11
20







































 N
N
pNp
NpNp
NpNp
NpNp
Npp
  





P
– Essa equação descreve o critério Zero-Forcing 
– A estratégia dessa equalização é ótima no sentido de minimizar a 
soma dos valores de pico de ISI de uma forma simples 
– Entretanto, ela apresenta uma amplificação excessiva do ruído nas 
freqüências onde ocorrem grandes atenuações do sinal 
– Adicionalmente, quando o canal de transmissão é a PSTN ou um 
canal Wireless, os valores de p(tk) não são conhecidos 
antecipadamente 
– Assim, torna-se necessário o uso de sequências de símbolos de 
treinamento (símbolos conhecidos), antes do envio da informação 
– Um equalizador adaptativo incorpora um microprocessador para 
automatizar esse processo 
Equalização 
 Exemplo: Considere o projeto de um Equalizador ZF de 3 
Taps para eliminar a ISI do pulso distorcidoabaixo: 
Equalização 
 p = [ 0 0.1 1 -0.2 0.1 ] 
 k = [ -2 -1 0 1 2 ] 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
– Assim, tem-se que: 
 
 
 
– De modo que: 
 
 
 
 
– Assim, 
Equalização 
 
 
  





 




10
01
1
1
1 k
k
pckptp
n
nknE
TNk
kE
s
     
     
      
































 
0
1
0
012
101
210
1
0
1
c
c
c
ppp
ppp
ppp



































0
1
0
12.01.0
1.012.0
01.01
1
0
1
c
c
c



































0
1
0
12.01.0
1.012.0
01.01
1
1
0
1
c
c
c
– Assim, tem-se que: 
 
 
 
 
– O pulso resultante, comparado com o pulso distorcido é: 
 
 
 
Equalização 




















 
2017.0
9606.0
0960.0
1
0
1
c
c
c
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Equalização Zero-Forcing
Tempo
A
m
pl
itu
de
 
 
sem Equal.
com Equal.
tk = k + 1 -2 -1 0 1 2 3 4 ] 
– Como era de se esperar, a ISI nos pontos vizinhos são muito 
próximas de zero 
– Entretanto, o equalizador ZF produz uma pequena quantidade de 
ISI nos pontos mais distantes 
– Os valores amostrados da resposta do equalizador são obtidos por 
(mostrando apenas os índices por simplicidade): 
 
 
 
Equalização 
  



N
Nn
nknkE pctp
              0.11.02.0196.02.0096.010 Ep
  011 Ep
              0096.00.02.0096.01.0096.012 Ep
              056.02.02.01.096.00096.012 Ep
              002.0096.00096.013 Ep
              02.01.02.0096.00096.013 Ep




















 
2017.0
9606.0
0960.0
1
0
1
c
c
c
 p = [ 0 0.1 1 -0.2 0.1 ] 
 k = [ -2 -1 0 1 2 ] 
  011 Ep
– Os valores amostrados da resposta do equalizador são obtidos por 
(mostrando apenas os índices por simplicidade): 
 
 
 
Equalização 
  



N
Nn
nknkE pctp
  11010000110110   pcpcpcpE




















 
2017.0
9606.0
0960.0
1
0
1
c
c
c
 p = [ 0 0.1 1 -0.2 0.1 ] 
 k = [ -2 -1 0 1 2 ] 
              0.11.0201.01960.02.0096.010 Ep
  01111010211111   pcpcpcpE
              01201.02.0960.01.0096.011 Ep
  21111010011111   pcpcpcpE
              00201.01.0960.01096.011 Ep
– Assim, a saída do equalizador será: 
 
 
 
– Desconsiderando o atraso NTs, para carga inicial do equalizador 
(pico já posicionado no centro do equalizador no instante zero), 
tem-se que: 
 
 
 
 
Equalização 
 pE = [ 0 -0.0096 0 1 2.8e-17 0.056 0.0202 ] 
 tk = [ -2 -1 0 1 2 3 4 ] 
 pE = [ 0 -0.0096 0 1 2.8e-17 0.056 0.0202 ] 
 k = [ -3 -2 -1 0 1 2 3 ] 
– Para um Equalizador ZF de 9 Taps, tem-se: 
 
Equalização 
-6 -4 -2 0 2 4 6
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Equalização Zero-Forcing
Tempo
A
m
pl
itu
de
 
 
sem Equal.
com Equal.
 pE  [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] 
 tk = [ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ] 
 k = [ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ] 
tk = k + 4 -2 0 2 4 6 8 10 ] 
Equalização 
MMSE 
 Equalização MMSE 
– Minimizar o erro médio quadrático (MMSE) entre a saída y(n) e o 
sinal desejado e d(n) 
 
Equalização 
      nwnwn N 10  w
     nnny T xw 
     
     nnnd
nyndne
T
xw 

 1 Nnx nx  1nx
Ts Ts Ts Ts 
 nw0
 nw1  nwN 1
 nd
 ne
 ny
 2 Nnx
 nwN 2
– 
+ 
      1 Nnxnxn x
 Critério de Wiener 
– No critério de Wiener, se deseja determinar o vetor w que minimiza 
o erro médio quadrático (MMSE) entre y(n) e d(n) 
– Deste modo, a função custo pode ser representada por: 
 
 
– Assim, tem-se que: 
 
 
– Necessário conhecer as características estatísticas do sinal de 
entrada 
• Matriz de autocorrelação Rxx e vetor de correlação-cruzada pxy 
– Coeficientes atualizados a cada novo símbolo recebido 
• Canal estático converge para a solução de Wiener 
• Canal variante permite rastrear as variações do canal 
Equalização 
          22 nyndEneEnJ w
                HTTW nnndnnndEnJ xwxw 
– O resultado da aplicação do critério de Wiener é dado por: 
 
 
– De modo que: 
 
 
– Onde, 
 é o vetor de correlação-cruzada entre o sinal de entrada 
x(n) e o sinal desejado d(n) 
 é a matriz de autocorrelação do sinal de entrada x(n) 
 
 
 
 
Equalização 
    wXXdX  HH EE
wRR  xxxd
xxR
xdR
– Pode-se obter uma estimativa determinística da matriz Rxx, através 
da matriz de convolução completa, fazendo: 
 
 
 Onde, 
Equalização 
XXR  Hxx
 
   
 
   
   
 
14
12
00
10
01
1
00








































 N
N
Nx
NxNx
NxNx
Nx
NxNx
Nx
  






X
Se Ncoeff = N 
 4N + 1 
Caso contrário fica 
 2N + 2Ncoeff + 1 
– De forma similar, pode-se obter uma estimativa determinística do 
vetor de correlação-cruzada Rxd através da matriz de convolução 
completa e do vetor de sinal desejado, fazendo: 
 
• 
 Onde, para a transmissão de um único pulso, tem-se: 
 
 
Equalização 
dXR  Hxd
 T010 d
 
   
 
   
   
 
14
12
00
10
01
1
00








































 N
N
Nx
NxNx
NxNx
Nx
NxNx
Nx
  






X
Se Ncoeff = N 
 4N + 1 
Caso contrário fica 
 2N + 2Ncoeff + 1 
– Para obteruma estimativa estocástica de Rxx e Rxd, pode-se tira a 
média temporal de várias matrizes determinísticas obtidas de um 
conjunto maior de dados de entrada 
• À medida que um novo símbolo é recebido, se estima a nova 
matriz/vetor e se obtém a média temporal 
 
 
 
 
 
– Pode-se notar a complexidade dessa implementação, pois a 
cada iteração se deve calcular a inversa de Rxx para estimar 
os símbolos transmitidos (ou considerar que as 
características do canal são estáticas e aplicar o algortimo 
em Batch) 
Equalização 



M
m
m
H
mxx
M 1
1
XXR 


M
m
m
H
mxd
M 1
1
dXR
 Exemplo: Considere o projeto de um Equalizador MMSE 
de 3 Taps para eliminar a ISI do pulso distorcido abaixo: 
Equalização 
 p = [ 0 0.1 1 -0.2 0.1 ] 
 t = [ -2 -1 0 1 2 ] 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
– Assim, tem-se que para um Equalizador de 3 Taps: 
 
 
 
Equalização  
   
     
   
 
514
312
100
010
101
010
001






























 N
N
p
pp
ppp
pp
p
  
X



















2.000
12.00
1.012.0
01.01
001.0
X














05.11.002.0
1.005.11.0
02.01.005.1
xxR











1.0
1
2.0
xdR
XXR  Hxx dXR 
H
xd
– Assim, para um Equalizador de 3 Taps, tem-se que: 
 
 
Equalização 




















 
1849.0
9609.0
0954.0
1
0
1
c
c
c
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Equalização MMSE
Tempo
A
m
pl
itu
de
 
 
sem Equal.
com Equal.
pE= [ -0.0095 0.00065 0.998 -0.0072 -0.0369 ] 
– Para um Equalizador MMSE de 5 Taps , tem-se que: 
 
 
Equalização 



































0167.0
3397.0
9631.0
1998.0
0424.0
2
1
0
1
2
c
c
c
c
c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Equalização MMSE
Tempo
A
m
pl
itu
de
 
 
sem Equal.
com Equal.
pE= [ 0 0.00094 -3.603e-6 -3.733e-5 0.999 -0.00158 0.00666 0.0301 
-0.00483] 
– Para um Equalizador MMSE de 9 Taps , tem-se que: 
 
 
Equalização 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Equalização MMSE
Tempo
A
m
pl
itu
de
 
 
sem Equal.
com Equal.
pE= [ 0 8.91e-8 -2.17e-7 -2.98e-6 -3.88e-6 2.22e-5 8.63e-5 -4.6e-5 
0.999 -0.0015 0.0066 0.030 -0.0048 0 0 0 0 ] 
8.912e-7 
-1.108e-5 
8.280e-5 
-0.00089 
0.009298 
-0.09398 
0.9588 
0.2044 
-0.04834 
Equalização 
LMS 
 Algoritmo Least Mean Square - LMS 
– Para simpliifcar o processo de equalização seguindo o critério de 
Wiener, pode-se utilizar o algoritmo adaptativo LMS 
– Ele é baseado no algoritmo de busca do gradiente descendente 
apresentado abaixo: 
Equalização 
– Basicamente, o algoritmo LMS executa a seguinte operação: 
 
 
 
 
 
– De modo que: 
 
Equalização 
       nnenn xww  1






















































Erro
de
Sinal
Entrada
de
Vetor
oAprendizad
de
Taxa
esCoeficient
de
AnteriorVetor 
esCoeficient
de
Vetor Novo
 Convergência do Processo Adaptativo – Algoritmo LMS 
Equalização 
 Convergência do Processo Adaptativo – Algoritmo LMS 
Equalização 
 Equalização Turbo 
Equalização 
 Equalização Turbo 
– Proposto inicialmente por Douillard, Jézéquel e Berrou [DJB95] 
• Originalmente, equalização e decodificação baseadas no SOVA 
– Abordagem unificada (conjunta) de equalização e decodificação de 
FEC empregando processamento iterativo da informação 
 
Equalização 
FIM