Relatório PICME 2016.1

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Universidade Federal de Pernambuco Programa de Iniciação Científica e Mestrado – PICME Igor de Barros Nonato 1° período – 2016.1 – Licenciatura em Matemática – UFPE CAA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Lajedo, 28 de fevereiro de 2015 
 
 
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Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Matemática-CCEN Demonstrações sobre Teoremas, Propriedades e Gráficos das Funções Afins e Quadráticas. Relatório apresentado ao PICME, para avaliação do desempenho nas atividades do semestre letivo. Disciplina: Matemática Básica Professor: Jeremias B. Santos Lajedo, 28 de fevereiro de 2015 
 
 
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Conteúdo: 1. Introdução.................................................................................................................................04 2. Desenvolvimento...................................................................................................................04 3. Função Afim.............................................................................................................................05 4. Teorema de Caracterização das Funções Afins........................................................05 5. Gráfico da Função Afim.......................................................................................................06 6. Função Quadrática................................................................................................................08 7. Forma Canônica.....................................................................................................................08 8. Gráfico da Função Quadrática..........................................................................................09 9. Conclusão..................................................................................................................................11 10. Bibliografia...............................................................................................................................11 11. Anexos........................................................................................................................................12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Introdução Nesse primeiro período possuiu apenas uma disciplina de conteúdo matemático, a disciplina de Matemática Básica. No presente relatório apresentamos definições, propriedades, demonstrações de teoremas e gráficos sobre as funções afim e quadrática. 
2. Desenvolvimento 
 A disciplina possuía a seguinte ementa: Álgebra Básica. Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos. Sistemas de Coordenadas Cartesianas. Relações e Teoria Básica das Funções de uma variável. Funções Polinomial do 1º e 2º grau. Função exponencial. Função Logarítmica. Os objetivos do componente eram conceituar, classificar, identificar propriedades, estabelecer relações e executar operações no âmbito da lógica matemática, da teoria dos conjuntos, dos conjuntos numéricos e das principais funções elementares (Polinômios do 1º e 2º grau, Exponencial e Logarítmica). A metodologia utilizada pelo professor foi de exposição dialogada; Resolução de exercícios por ele mesmo; Resolução de problemas e exercícios (individualmente ou em grupo) a serem feito na classe e extraclasse; Proposição sistemática de desafios lógicos, numéricos e geométricos como recurso didático. 
 A forma de avaliação foi em prova escrita com questões abertas envolvendo aspectos conceituais, formais e operacionais da disciplina. Avaliação da lista de problemas envolvendo os itens do conteúdo programático. (As provas então em anexos no final desse relatório). Conteúdo Programático: . Álgebra Básica (Potencias, Radicais, Racionalização de denominadores, Dízimas Periódicas, Expressões algébricas); . Noções de lógica matemática (Sentenças e operações lógicas, Implicações lógicas, Métodos de demonstrações); . Teoria dos Conjuntos (Definições, Operações entre conjuntos, Propriedades); . Conjuntos Numéricos (Números Naturais, Números Inteiros, Números Racionais. Números Irracionais, Números Reais); . Relações; Relações binárias; Relações binárias em um conjunto; Relações de equivalência; Ordens parciais; . Teoria básica das funções reais de uma variável: conceito, domínio, imagem, propriedades inversa e composta; . Principais funções elementares: Polinomiais do primeiro grau, função xn, recíproca; 
 
 
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. Função exponencial; . Função logarítmica. 
3. Função Afim Um aplicação de R em R recebe o nome de função afim quando a cada 𝑋𝑋 ∈ ℝ associa o elemento (𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) ∈ ℝ em que 𝑎𝑎 ≠ 0 e 𝑏𝑏 são números reais dados. 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Decorre da definição: I. 𝑏𝑏 = 𝑓𝑓(0) II. 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓(1) − 𝑓𝑓(0) III. 𝑎𝑎 = [𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)]
ℎ
 Demonstração: III. 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥+ℎ) + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑏𝑏
ℎ
 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑎𝑎ℎ − 𝑎𝑎𝑥𝑥
ℎ
 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎ℎ
ℎ
 = 𝑎𝑎 Notemos que a função linear 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎, é um caso especial da função afim, quando 𝑏𝑏 = 0. 
4. Teorema de Caracterização das Funções Afins Seja 𝑓𝑓: ℝ → ℝ monótona e injetiva. Se a diferença 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) depende apenas de ℎ mas não de 𝑎𝑎, então 𝑓𝑓 é uma função afim. Demonstração: Trataremos apenas do caso em que f é crescente pois o outro é análogo. Pela hipótese feita sobre f, a função 𝜑𝜑: ℝ → ℝ dada por 𝜑𝜑(ℎ) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎), está bem definida. Evidentemente 𝜑𝜑 é crescente. Além disso, ∀ ℎ ∈ ℝ vale. 
𝜑𝜑(ℎ + 𝑘𝑘) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ + 𝑘𝑘) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = [𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ + 𝑘𝑘) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ)] + [𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)] = φ(k) + 𝜑𝜑(ℎ) Analogamente 𝜑𝜑(2ℎ) = 2 ∙ 𝜑𝜑(ℎ). Então analogamente denovo se vê que 
𝜑𝜑(𝑛𝑛ℎ) = 𝑛𝑛 ∙ 𝜑𝜑(ℎ), ∀ 𝑛𝑛 ∈ ℕ. Tem-se ainda 
𝜑𝜑(−ℎ) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎 − ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = − [𝑓𝑓(𝑎𝑎) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎 − ℎ)] = − 𝜑𝜑(ℎ) 
 
 
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Segue-se que ∀ 𝑛𝑛 ∈ ℕ e todo ℎ ∈ ℝ vale 
𝜑𝜑�(−𝑛𝑛)ℎ� = 𝜑𝜑 (−𝑛𝑛ℎ) = −𝜑𝜑(𝑛𝑛ℎ) = −[𝑛𝑛 ∙ 𝜑𝜑(ℎ)] = (−𝑛𝑛) ∙ 𝜑𝜑(ℎ) Pelo Teorema Fundamental da Proporcionalidade, aonde 𝑓𝑓(𝑎𝑎 ∙ 𝑚𝑚) = 𝑚𝑚 ∙
𝑓𝑓(𝑎𝑎),∀ 𝑚𝑚, 𝑎𝑎 ∈ ℝ, logo 𝜑𝜑 é linear. Tomando: 
𝑎𝑎 = 𝜑𝜑(1) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + 1) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 
𝜑𝜑(ℎ) = 𝜑𝜑(ℎ ∙ 1) = ℎ ∙ 𝜑𝜑(1) = ℎ ∙ 𝑎𝑎,∀ℎ ∈ ℝ 
ℎ ∙ 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎),∀𝑎𝑎,ℎ ∈ ℝ Trocando h por x: 
𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑓𝑓(ℎ + 𝑎𝑎) − 𝑓𝑓(ℎ) h = 0 
𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) − 𝑓𝑓(0) f(0) = b 
𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) − 𝑏𝑏 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 E o teorema está demonstrado. 
5. Gráfico da Função Afim Teorema: O gráfico cartesiano da função 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 (𝑎𝑎 ≠ 0) é 𝑢𝑢𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 Demonstração: Dado três pontos quaisquer e distintos dois a dois, A, B e C de coordenadas cartesianas (𝑎𝑎1, 𝑎𝑎𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏), (𝑎𝑎2, 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏) e (𝑎𝑎3, 𝑎𝑎𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏), respectivamente. Para provarmos que esses pontos sempre pertencem a mesma reta, mostremos inicialmente , que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. I. 𝑓𝑓(𝑎𝑎1) = 𝑎𝑎𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏 II. 𝑓𝑓(𝑎𝑎2) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 III. 𝑓𝑓(𝑎𝑎3) = 𝑎𝑎𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏 
 
 
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Calculando as tangentes de 𝛼𝛼 e 𝜃𝜃: tan𝛼𝛼 = [𝑓𝑓(𝑎𝑎2) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎1)]/(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1) tan𝛼𝛼 = [𝑎𝑎(𝑎𝑎2) − 𝑎𝑎(𝑎𝑎1)]/(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1) tan𝛼𝛼 = [𝑎𝑎(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1)]/(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1) tan𝛼𝛼 = 𝑎𝑎 tan 𝜃𝜃 = [𝑓𝑓(𝑎𝑎3) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎2)]/(𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2) tan 𝜃𝜃 = [𝑎𝑎(𝑎𝑎3) − 𝑎𝑎(𝑎𝑎2)]/(𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2) tan 𝜃𝜃 = [𝑎𝑎(𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2)]/(𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2) tan 𝜃𝜃 = 𝑎𝑎 Os ângulos 𝛼𝛼 e 𝜃𝜃 tem tangentes iguais, logos 𝛼𝛼 e 𝜃𝜃 são iguais. Os triângulos ABD e BCE são retângulos com dois ângulos iguais, então são semelhantes. Concluísse então que os pontos A, B e C estão alinhados. Outra forma de se demonstrar o gráfico da função afim é através do teorema da Condição de Alinhamento para três pontos. Teorema:Três pontos A(𝑎𝑎1,𝑓𝑓(𝑎𝑎1)),𝐵𝐵(𝑎𝑎2, 𝑓𝑓(𝑎𝑎2)) e C(𝑎𝑎3, 𝑓𝑓(𝑎𝑎3)) são colineares se, e somente se, suas coordenas verificam a igualdade: 
 �𝑎𝑎1 𝑦𝑦1 1𝑎𝑎2 𝑦𝑦2 1
𝑎𝑎3 𝑦𝑦3 1� = 0 
 �𝑎𝑎1 𝑎𝑎𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏 1𝑎𝑎2 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 1
𝑎𝑎3 𝑎𝑎𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏 1� = 
𝑎𝑎1(𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏) + 𝑎𝑎3(𝑎𝑎𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏) + 𝑎𝑎2(𝑎𝑎𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏) - 𝑎𝑎3(𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏) - 𝑎𝑎1(𝑎𝑎𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏) - 
𝑎𝑎2(𝑎𝑎𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏) = 
𝑎𝑎1(𝑎𝑎𝑎𝑎2) + 𝑎𝑎1(𝑏𝑏) + 𝑎𝑎3(𝑎𝑎𝑎𝑎1) + 𝑎𝑎3(𝑏𝑏) + 𝑎𝑎2(𝑎𝑎𝑎𝑎3) + 𝑎𝑎2(𝑏𝑏) - 𝑎𝑎3(𝑎𝑎𝑎𝑎2) − 𝑎𝑎3(𝑏𝑏) − 
𝑎𝑎1(𝑎𝑎𝑎𝑎3) − 𝑎𝑎1(𝑏𝑏) − 𝑎𝑎2(𝑎𝑎𝑎𝑎1) − 𝑎𝑎2(𝑏𝑏) = 
𝑎𝑎1(𝑎𝑎𝑎𝑎2) + 𝑎𝑎3(𝑎𝑎𝑎𝑎1) + 𝑎𝑎2(𝑎𝑎𝑎𝑎3) - 𝑎𝑎3(𝑎𝑎𝑎𝑎2) − 𝑎𝑎1(𝑎𝑎𝑎𝑎3) − 𝑎𝑎2(𝑎𝑎𝑎𝑎1) = 
𝑎𝑎1(𝑎𝑎2) − 𝑎𝑎2(𝑎𝑎1) + 𝑎𝑎3(𝑎𝑎1) − 𝑎𝑎1(𝑎𝑎3) + 𝑎𝑎2(𝑎𝑎3) - 𝑎𝑎3(𝑎𝑎2) = 0 A igualdade se mantem e o teorema está demonstrado. 
 
 
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6. Função Quadrática Uma aplicação 𝑓𝑓 de ℝ em ℝ recebe o nome de função quadrática ou do 2º grau quando associa a cada 𝑎𝑎 ∈ ℝ o elemento (𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐) ∈ ℝ, em que 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 são números reais dados e 𝑎𝑎 ≠ 0. 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 (𝑎𝑎 ≠ 0) 
7. Forma Canônica Para um estudo analítico mais detalhado da função quadrática, vamos primeiramente transformá-la em outra forma mais conveniente, chamada forma canônica. 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑎𝑎) + 𝑐𝑐 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎 �𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2𝑎𝑎�2 − 𝑏𝑏²4𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎 �𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2𝑎𝑎�2 + −𝑏𝑏2 + 4𝑎𝑎𝑐𝑐4𝑎𝑎 Escrevendo 𝑚𝑚 = −𝑏𝑏/2𝑎𝑎 e 𝑘𝑘 = (−𝑏𝑏2 + 4𝑎𝑎𝑐𝑐)/4𝑎𝑎: 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 −𝑚𝑚)2 + 𝑘𝑘 Verifica-se que 𝑘𝑘 = 𝑓𝑓(𝑚𝑚). Com essa notação ∀ 𝑎𝑎 ∈ ℝ, temos a chamada forma canônica do trinômio 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐. Conclui-se da forma canônica 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 𝑚𝑚)2 + 𝑘𝑘 que quando 𝑎𝑎 > 0 a função atinge o menor valor 𝑘𝑘 para 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚. E para quando 𝑎𝑎 < 0 o maior valor de 𝑓𝑓 também vale 𝑘𝑘 para 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚. Através da forma canônica também podemos obter os zeros da função, ou seja os valore de 𝑎𝑎 para 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 0. 
𝑎𝑎(𝑎𝑎 −𝑚𝑚)2 + 𝑘𝑘 = 0 (𝑎𝑎 −𝑚𝑚)2 = −𝑘𝑘
𝑎𝑎
 
(𝑎𝑎 −𝑚𝑚)2 = 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐4𝑎𝑎² 
 
 
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𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2𝑎𝑎 = ±√𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐2𝑎𝑎 
𝑎𝑎 = −𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐2𝑎𝑎 Uma formula bastante conhecida com formula de Bhaskara, nome dado em homenagem ao matemático Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matemático indiano do século XII. 
 
8. Gráfico da Função Quadrática 
Teorema: 
O gráfico cartesiano da função 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 (𝑎𝑎 ≠ 0) é uma parábola. 
Demonstração: Primeiro vamos definir o que é uma parábola: Considerando em um plano uma reta d e um ponto F fora dela. A parábola de foco F e diretriz d é o conjunto de pontos do plano que são equidistantes do ponto F e da reta d. I. Propriedades sobre a parábola Teorema: Dado uma reta g perpendicular a diretriz com A sendo a intersecção, e traçando h a mediatriz de FA, o ponto B, sendo a intersecção entre g e h, faz parte da parábola. 
 
 Demonstração: Seja E o ponto de intersecção entre FA e h, para provarmos que B pertence a parábola, mostraremos que FB = BA. Para isso basta provar que os triângulos FBE e BAE são congruentes. 
 
 
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 Pelo caso de congruência LAL, os triângulos FBE e BAE possuem o mesmo lado em comum EB. FBE e BAE também são triângulos retângulos e por último os segmentos FE e EA são iguais, pois a reta h cortou FA ao meio. E está demonstrado essa propriedade. II. Translação da função quadrática Toda função do 2º grau do tipo 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 é translação da função 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2. E pela forma canônica 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 −𝑚𝑚)2 + 𝑘𝑘, deduzimos que o termo (𝑎𝑎 −𝑚𝑚)2 é a translação horizontal e o termo 𝑘𝑘 é a translação vertical da função. Ou seja para provarmos que o gráfico de 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 é uma parábola, bastamos provar que o gráfico 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 é uma parábola. Teorema: O gráfico da função 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 é uma parábola. Demonstração: A função 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 é uma função par, porque 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(−𝑎𝑎), logo ela é simétrica ao eixo Y. Pela definição de parábola podemos tirar que ela também possui um eixo de simetria aonde o foco se localiza nesse eixo. Então se 𝑓𝑓(𝑎𝑎) é uma parábola, ela possui foco no eixo y. Vamos considerar o caso em que 𝑎𝑎 > 0, pois o outro é simétrico. A função 𝑓𝑓(𝑎𝑎) tem ponto de mínimo igual a 0, para 𝑎𝑎 = 0, então as coordenadas de F, B e A são respectivamente (0, 𝑛𝑛), (𝑎𝑎, 𝑎𝑎𝑎𝑎2) e (𝑎𝑎,−𝑛𝑛), sendo n a distância entre a origem e o foco. Os segmentos FB e BA são iguais; 
𝐹𝐹𝐵𝐵 = �(𝑎𝑎 − 0)2 + (𝑎𝑎𝑎𝑎2 − 𝑛𝑛)² 
𝐵𝐵𝐵𝐵 = |𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑛𝑛| 
 
 
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�(𝑎𝑎 − 0)2 + (𝑎𝑎𝑎𝑎2 − 𝑛𝑛)² = |𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑛𝑛| 
�𝑎𝑎2 + (𝑎𝑎𝑎𝑎2)2 − 2𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎2 + 𝑛𝑛² = |𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑛𝑛| 
𝑎𝑎2 + (𝑎𝑎𝑎𝑎2)2 − 2𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎2 + 𝑛𝑛2 = (𝑎𝑎𝑎𝑎2)2 + 2𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎2 + 𝑛𝑛² 
𝑎𝑎2 + −2𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎2 = 2𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎2 4𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2 = 0 (4𝑎𝑎𝑛𝑛 − 1)𝑎𝑎2 = 0 Então ∀ 𝑎𝑎 ∈ ℝ quando 𝑛𝑛 = 1 4𝑎𝑎⁄ a igualdade se manterá. E com isso o teorema está demonstrado. 
9. Conclusão A disciplina de Matemática Básica proporcionou uma boa revisão sobre as operações básicas e conceitos matemáticos importantes. O professor conseguiu explanar a disciplina de modo a excitar o pensamento que tudo que fazemos na matemática deve ser demonstrado, e as técnicas para isso foi passado muito bem. Os conhecimentos aprendidos nesse período com certeza vão ser muito uteis para toda minha formação Acadêmica. A participação no PICME me proporcionou estudar mais e ir mais a fundo nos conteúdos ensinado em sala de aula. Estou ansioso para estudar as disciplinas matemática que estão por vim e fazer do PICME uma ótima ferramenta para melhor aprendizado. 
10. Bibliografia Lima, Elon Lages. (2010). Temas e Problemas, 3º edição, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro. Iezzi, Gelson. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 1 Conjuntos 
e Funções, 10º Edição, SARAIVA S.A. Livreiros Editores, São Paulo. Iezzi, Gelson. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 2 
Logaritmos, 10º Edição, SARAIVA S.A. Livreiros Editores, São Paulo. Iezzi, Gelson. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 7 Geometria 
Analítica, 10º Edição, SARAIVA S.A. Livreiros Editores, São Paulo. 
 
 
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11. Anexos 
 
 
 
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