Matemática Aplicada CONTEÚDO III

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Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) III 
 
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Unidade 3. 
Equações, plano cartesiano e funções 
Daniel de Freitas Barros Neto 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
• Oferecer os conceitos e manipulações básicas de equações; 
• Definir e construir um plano cartesiano, explorando a ideia de representação 
gráfica; 
• Trazer o conceito introdutório de funções, alguns de seus tipos e suas 
representações gráficas. 
TÓPICOS DE ESTUDO 
Equações, plano cartesiano e representação gráfica 
// Equações 
// Plano cartesiano e representação gráfica 
 
Funções: conceito, domínios, imagens e gráficos 
// Conceituação, domínio e imagem 
// Gráficos 
 
Equações, plano cartesiano e representação gráfica 
O estudo dos números e das variáveis abre a possibilidade de definir 
expressões matemáticas, como expressões numéricas (números e operações) 
e algébricas (números, operações e variáveis). A partir das expressões, é 
possível iniciar o estudo de outro objeto matemático importante para o campo 
da matemática aplicada, as equações. 
O estudo inicial das equações numéricas e algébricas as define e discute os 
aspectos da relação de igualdade que as compõem. Um deles é a propriedade de 
transitividade da igualdade. Tendo em vista as propriedades da igualdade e o conceito 
de equação, é preciso saber como usar tais propriedades com o intuito de determinar 
raízes de uma equação, chamadas de soluções. 
Outro tema é a representação gráfica com base em retas reais. Para que ela 
seja admissível, um objeto matemático conhecido como plano cartesiano representa 
pontos e regiões determinadas por pares ordenados e equações. 
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Fornecendo conceitos introdutórios de equações algébricas e numéricas, se 
manipulam algebricamente as equações de modo a determinar seu valor numérico ou 
o de sua variável. Além disso, conceitos introdutórios ao plano cartesiano são úteis ao 
estudo algébrico e geométrico das funções. 
EQUAÇÕES 
Um dos principais objetos da matemática aplicada são as expressões 
numéricas e algébricas. A primeira é uma expressão matemática que contém somente 
números e operações matemáticas: 
 
Já as expressões algébricas são expressões matemáticas compostas por 
números, operações e variáveis: 
 
Para trabalhar no contexto da matemática pura e da matemática aplicada, as 
expressões são estudadas tendo em conta o conceito de equação matemática, o que 
permite o desenvolvimento algébrico e numérico, possibilitando a atribuição de um 
valor numérico a uma expressão numérica, ou a atribuição de um valor numérico a 
uma variável numa expressão algébrica. 
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Uma equação é definida como uma afirmação de que duas expressões 
matemáticas são iguais. As equações podem aludir tanto a expressões numéricas 
quanto a expressões algébricas: 
1 + 1 = 2 
A equação anterior é uma das menos complexas da aritmética e utilizada para 
alfabetizar matematicamente. O que a caracteriza como uma equação é o fato de que 
a expressão numérica à esquerda da igualdade (1+1) é apontada como equivalente a 
expressão à direita da igualdade (2), algo que se dá pela inserção do símbolo de 
igualdade (=) entre as expressões. Outra equação numérica válida é: 
2 · 3 + 5 = 11 
O que caracteriza esse objeto matemático como uma equação é que há um 
símbolo de igualdade (=) que separa duas expressões, a do lado esquerdo (2 · 3 + 5) 
e a do lado direito (11). Portanto, com a equação numérica, o resultado numérico da 
expressão 2 · 3 + 5 é 11. Considerando a equação a seguir: 
7 · 5 + 3 = 35 + 3 
A equação aponta que as expressões 7 · 5 + 3 e 35 + 3 são iguais. 
Considerando, agora, outra equação: 
35 + 3 = 38 
Essa equação aponta que as expressões 35 + 3 e 38 são iguais e isso é 
verificado como válido pelas regras inerentes à operação de adição. Destaca-se aqui, 
porém, que é possível construir a seguinte equação com base nas duas anteriores: 
7 · 5 + 3 = 38 
Logo, como 7 · 5 + 3 = 35 + 3 e 35 + 3 = 38, por consequência, 7 · 5 + 3 = 38. 
Desse modo, por meio do conceito de equação, definido com base na igualdade entre 
expressões, são efetuados os cálculos e estruturadas novas relações: 
I. (3 · 2 + 7 · 5) · 3 = (6 + 35) · 3 
II. (6 + 35) · 3 = (41) · 3 
III. (41) · 3 = 123 
 
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O exemplo apresenta três equações I, II e III, todas válidas por conta das 
propriedades relacionadas às operações de soma e multiplicação. Ainda de acordo 
com a transitividade da igualdade, se estabelece uma nova equação: 
(3 · 2 + 7 · 5) · 3 = 123 
Em suma, quando se trabalha com cálculos matemáticos, o conceito de 
equação e transitividade da igualdade ajuda a transitar de uma expressão numérica a 
outra e, por fim, estabelecer uma igualdade, construindo uma nova equação com a 
primeira expressão numérica e a expressão numérica composta por apenas um 
número, denominado resultado. Nesse caso, o resultado da expressão numérica (3 · 2 
+ 7 · 5) · 3 é 123. É possível colocar equações algébricas, com números, operações 
e variáveis: 
 
Tal como as equações numéricas, as equações algébricas determinam uma 
relação de igualdade entre duas expressões, sendo uma ou mais delas algébricas. As 
três equações algébricas citadas têm uma relação de igualdade entre expressões 
algébricas e expressões numéricas. 
 
Tal como as equações numéricas, as equações algébricas determinam uma 
relação de igualdade entre duas expressões, sendo uma ou mais delas algébricas. As 
três equações algébricas citadas têm uma relação de igualdade entre expressões 
algébricas e expressões numéricas. 
Anteriormente, com as equações numéricas, foi exibida uma maneira de 
calcular o resultado de uma expressão numérica com base no estabelecimento de 
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equações e aproveitando a transitividade da igualdade. Com as equações algébricas, 
por serem compostas por variáveis, o objetivo é distinto. 
Busca-se encontrar o valor das variáveis a partir de propriedades da relação de 
igualdade e da transitividade. Os valores das variáveis encontrados são o que tornam 
a equação verdadeira, isto é, valores que, quando substituídos, fazem valer a 
igualdade: 
3x + 1 = 4 
Para que a equação anterior seja verdadeira, deve existir um valor numérico 
para x de tal modo que a igualdade com a expressão 4 seja mantida. Supondo que x = 
3, tem-se que: 
3x + 1 = 43 
 (3) + 1 = 4 
Como a expressão à esquerda da igualdade agora é numérica, seu resultado é 
calculado como já visto: 
3(3) + 1 = 4 
 9 + 1 = 4 
 10 = 4 
A equação numérica resultante, 10 = 4, uma vez que o número 10 não é igual 
a 4, é matematicamente falsa, pois o valor de x = 3 não satisfez a equação algébrica 
e tal valor de x não interessa para o estudo da matemática aplicada. Supondo 
que x = 1, tem-se que: 
 
3x + 1 = 4 
 3(1) + 1 = 4 
Como a expressão à esquerda da igualdade é uma expressão numérica, seu 
resultado é calculado como já visto: 
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3(1) + 1 = 4 
 3 + 1 = 4 
 4 = 4 
A equação numérica resultante desse processo foi 4=4, uma relação de 
igualdade matematicamente verdadeira, pois o valor de x satisfez a equação algébrica 
e esse é um valor de x que interessa ao estudo da matemática aplicada no contexto 
dessa equação algébrica. 
 
Dá-se o nome de soluções ou raízes da equação aos valores de x que 
satisfazem equações algébricas e as tornam verdadeiras. Um dos principais objetivos 
do trabalho com equações algébricas é encontrar essas raízes das equações. Para 
isso, no entanto, se usam propriedades algébricas referentes à relação de igualdade. 
 
Quadro 1. Propriedade i da igualdade. 
A propriedade do Quadro 1 trata da adição de um termo em ambos os lados da 
igualdade. Caso um número real C seja adicionado a ambos os ladosda igualdade, 
obtém-se uma equação equivalente: 
x - 7 = 18 
Na equação algébrica do exemplo, adiciona-se à equação o termo 7 em ambos 
os lados da igualdade. Desse modo, tem-se como equação equivalente: 
x - 7 = 18 
 x - 7 + 7 = 18 + 7 
A mesma propriedade é aplicada para uma equação numérica: 
1 = 1 
Adicionando o termo 3 dos dois lados da igualdade, tem-se: 
1 + 3 = 1 + 3 
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Efetuando os cálculos, a propriedade não alterou a validade da igualdade: 
1 + 3 = 1 + 3 
4 = 4 
A mesma propriedade é aplicada para números negativos, como a adição do 
termo -2 na equação algébrica a seguir: 
- x2 + 3x = 2 
- x2 + 3x - 2 = 2 – 2 
O mesmo ocorre para uma equação numérica, como a adição do termo -3 na 
equação numérica a seguir: 
8 + 3 = 11 
 8 + 3 - 3 = 11 -3 
O cálculo de ambas as expressões numéricas faz com que se perceba como a 
propriedade não alterou a validade da equação: 
8 + 3 - 3 = 11 -3 
8 + 0 = 8 
8 = 8 
Pode-se adicionar variáveis positivas e negativas às equações algébricas. Por 
exemplo, considere a adição de -x em ambos os lados da igualdade da equação 
algébrica a seguir: 
x + 3 = 2x + 1 
 x + 3 - x = 2x + 1 – x 
Outra propriedade referente à igualdade é apresentada pelo Quadro 2. 
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Quadro 2. Propriedade II da igualdade. 
Essa propriedade enuncia que, considerando três termos A, B e C não nulos e 
dada a equação A = B, multiplicar ambos os lados da igualdade por C gera uma 
equação equivalente. Em síntese, multiplicar ambos os lados por C faz com que a 
equação se mantenha válida: 
3 + 7 = 10 
Calculando ambos os lados, se verifica que a validade da equação se manteve: 
3 + 7 = 10 
 (3 + 7) · 2 = 10 · 2 
Efetuando a multiplicação por 2 em ambos os lados da igualdade, tem-se: 
(3 + 7) · 2 = 10 · 2 
(10) · 2 = 20 
20 = 20 
A mesma propriedade é aplicada numa equação algébrica, considerando a 
equação a seguir sendo multiplicada por x em ambos os lados da igualdade: 
 
 
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O objetivo de conhecer essas propriedades relacionadas à igualdade é calcular 
as raízes ou soluções das equações através delas, além de ser uma maneira de 
encontrar as soluções de uma equação algébrica, a equação linear, que auxilia no 
entendimento da equação da reta. Uma equação linear numa variável é uma equação 
equivalente à forma: 
ax + b = 0 
Os coeficientes a e b são números reais, enquanto x designa uma variável: 
3x - 2 = 0 
 x + 1 = 0 
 4x - 5 = 3 
A primeira equação tem coeficientes a = 3 e b = -2. Já a segunda, a= 1 e b = 1. 
A terceira equação também é linear, pois ela pode ser escrita da forma anterior, apesar 
de exigir uma manipulação algébrica com base nas propriedades vistas antes: 
4x - 5 = 3 
 4x - 5 - 3 = 3 - 3 
 4x - 8 = 0 
Assim, a terceira equação tem coeficientes a = 4 e b = -8. Porém, há uma forma 
sucinta de identificar equações lineares, basta apenas verificar se o grau da equação 
é igual a 1, ou seja, se a potência de x pertencente a essa equação é somente 1: 
 
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Levando em conta a classificação do que é uma equação linear e as 
propriedades válidas para a igualdade, se calculam as raízes das equações lineares. 
Para encontrar a solução dessas equações, a variável em um dos lados da igualdade 
é isolada. 
 Exemplo 1 
Considerando a equação linear a seguir: 
3x + 2 = 0 
Adicionando o termo -2 em ambos os lados da equação, tem-se: 
3x + 2 = 0 
 3x + 2 - 2 = - 2 
3x = - 2 
 
 
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Exemplo 2 
Considerando a equação algébrica abaixo: 
 
O primeiro passo é verificar se a equação algébrica é linear. Para isso, há uma 
averiguação do grau, ou seja, se todas as potências de x são 1. Como essa condição 
é verdadeira, a equação é linear e é possível valer-se das propriedades da igualdade 
para encontrar uma solução para essa equação. Com objetivo de isolar a 
variável x em um dos lados da igualdade, multiplicam-se ambos os lados pelo termo 
3: 
 
Em seguida, soma-se 3x em ambos os lados da igualdade: 
2x = 12 - 3x 
 2x + 3x = 12 - 3x + 3x 
5x = 12 
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PLANO CARTESIANO E 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Um tema importante para o estudo das equações em matemática aplicada é o 
plano cartesiano, ou plano de coordenadas. Por meio do plano cartesiano, é possível 
representar equações e funções. Para definir o plano cartesiano, é concebida a 
construção de uma reta que representa o conjunto numérico dos números reais (ℝ), 
a reta real. De antemão, é preciso recordar as características de tal conjunto numérico. 
O Quadro 3 apresenta as características de cada um dos conjuntos. 
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Quadro 3. Conjuntos numéricos. 
Com base nos elementos pertencentes ao conjunto dos números reais, se 
constrói uma representação desse conjunto por meio da reta numérica dos reais, 
como no Quadro 4. 
 
Quadro 4. Reta dos números reais. 
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Partindo da representação do conjunto dos números reais (ℝ) por uma reta 
numérica, se constrói o plano cartesiano, um plano que considera a interseção de 
duas retas reais perpendiculares entre si, que se intersecionam no 0 de cada uma das 
linhas, como se nota no Diagrama 1. 
 
Diagrama 1. Plano cartesiano. 
O ponto de interseção das duas retas, chamado de origem, é determinado por 
O. A reta horizontal é o eixo x, ou eixo das abcissas, enquanto a reta vertical do plano 
cartesiano é o eixo y, ou eixo das ordenadas. Qualquer ponto P pertencente ao plano 
possui uma coordenada em x e uma em y. O Diagrama 2 reproduz a ideia, 
considerando um ponto P com coordenadas a e b. 
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Diagrama 2. Ponto p e suas coordenadas 
A coordenada é como um endereço de cada ponto, já que apontam um local 
específico dentro do plano de coordenadas. A dupla coordenada inerente a cada 
ponto do plano é chamada de par ordenado e há uma escrita específica para tanto. 
Por exemplo, no caso de P, seu par ordenado é escrito (a, b). 
EXPLICANDO 
Como o plano cartesiano aborda a interseção de duas retas 
reais, todo ponto é denominado par ordenado. Porém, se fossem 
consideradas mais retas reais, as coordenadas de cada ponto seriam 
uma tripla ordenada. A ideia pode ser estendida a planos que 
contenham inúmeras retas reais ortogonais, compondo planos com 
quadras ordenadas ou até mais. 
A primeira coordenada dentro dos parênteses sempre diz respeito à 
coordenada do eixo x daquele ponto, enquanto a segunda refere-se à coordenada do 
eixo y daquele ponto, como nos pontos de coordenada (1,1), (3,2), (-2,0) e (3,-1) 
representados no Diagrama 3. 
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Diagrama 3. Pontos no plano cartesiano. 
No plano cartesiano, não se indicam apenas pontos, mas um local específico 
do espaço com duas coordenadas, sendo também possível representar regiões 
graficamente. As regiões são locais no plano com inúmeros pontos e determinadas 
por relações, tais como igualdade, maior que, menor que, menor ou igual e maior ou 
igual, como as regiões x > 0 e x = 1 no Diagrama 4. 
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Diagrama 4. Regiões no plano cartesiano. 
Toda a capacidade representativa do plano cartesiano é muito útil para a 
matemática aplicada. Porém, o principal objetivo da utilização do plano cartesiano em 
representações gráficas é para objetos matemáticos conhecidos como funções. 
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VAMOS REFORÇAR O QUE APRENDEMOS 
ATÉ AGORA? 
 
Funções: conceito, domínios, imagens e 
gráficosA matemática é um campo de conceitos abstratos que sistematiza seu 
trabalho com formas, quantidades, espaços, medidas, variações, estimativas e 
afins. O estudo de matemática pura ou aplicada, muitas vezes, envolve o 
trabalho com um objeto matemático conhecido como função. As funções 
estabelecem relações entre conjuntos por meio de uma regra algébrica que 
associa elementos de um conjunto a outro. 
 
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Partindo do conceito introdutório de função, é possível obter uma definição para 
o objeto matemático, demonstrado em diversos exemplos de funções como afins, 
logarítmicas, exponenciais, quadráticas e modulares, bem como os conceitos de 
domínio, imagem e contradomínio de uma função, levando em consideração os 
conjuntos associados pela regra funcional. 
Os gráficos de cada uma das funções são representações geométricas das 
funções e possuem formas que variam conforme a função e com base no objeto 
matemático conhecido como plano cartesiano, apresentado na seção anterior. Por 
isso, é vital reconhecer os conceitos introdutórios de função e seus gráficos de modo 
a identificar as funções, os conjuntos numéricos e as representações gráficas, dando 
ênfase na alteração da forma dos gráficos por meio de mudanças em seus parâmetros 
algébricos. 
CONCEITUAÇÃO, DOMÍNIO E IMAGEM 
 
A natureza do conceito de função se dá pelo entendimento de uma relação 
entre conjuntos. O Diagrama 5 traz a relação entre dois conjuntos numéricos D e E. 
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Diagrama 5. Relação entre dois conjuntos. Fonte: STEWART, 2003. (Adaptado). 
A relação entre conjuntos é dada por uma regra f, que associa valores do 
conjunto D (valores de entrada) a valores do conjunto E (valores de saída). O conjunto 
do qual partem as flechas é o domínio, e o conjunto no qual chegam as flechas é o 
contradomínio. Todos os valores que pertencem a E e são associados ao outro 
conjunto compõem a imagem. 
Os conjuntos D e E são genéricos, isto é, não concernem a um conjunto 
numérico específico. Eles são qualquer conjunto pertencente ao Quadro 1 e podem 
haver regras que relacionam elementos do conjunto dos naturais (ℕ) aos racionais 
(ℚ), outras que relacionam elementos dos inteiros aos reais (ℝ), tudo depende do 
contexto. 
As relações entre conjuntos são dadas entre conjuntos dos números reais (ℝ). 
Em resumo, os conjuntos D e E são conjuntos dos números reais associados a valores 
do conjunto dos números reais a outros valores do conjunto dos números reais. Para 
que ocorra a associação, se concebe o valor de um conjunto a ser submetido à regra 
de associação (f) que aponta à qual valor ele deve ser associado. Com o intuito de 
tornar mais evidente a afirmação, há a regra: 
ACRESCER A UM NÚMERO REAL UMA UNIDADE. 
O que essa regra enuncia é que, considerando um número real, se soma a ele 
uma unidade. Assim, o número real 1 é associado ao número real 2 e o número real -
0,5, ao número real 0,5, e assim por diante. Primeiramente, é considerado um número 
com o qual realiza-se uma regra matemática para computar outro número. O 
Diagrama 6 representa a dinâmica de aplicação da regra matemática. 
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Diagrama 6. Relação como “máquina”. Fonte: STEWART, 2003. (Adaptado). 
A Associação dos dois conjuntos também é representada no Diagrama 7. 
 
Diagrama 7. Relação dos conjuntos reais Fonte: STEWART, 2003. (adaptada). 
A partir dessas definições e conceitos, é definida algebricamente o que é uma 
função f, dentro do contexto dos números reais (ℝ): 
f : A → B e A⊂ ℝ , B⊂ ℝ 
Uma função f é uma relação que associa valores de um conjunto A a valores 
de um conjunto B, ambos subconjuntos dos conjuntos dos reais. Vale ressaltar que, 
para que f seja uma função, todo elemento pertencente ao conjunto A deve ter apenas 
uma correspondência no conjunto B, uma vez que não se observam duas setas saindo 
de um mesmo ponto de A e chegando em B quando a regra f se tratar de uma função. 
A fim de ilustrar o entendimento, a representação algébrica da função anterior que 
associa um elemento dos reais a outro elemento acrescido de uma unidade: 
f (x) = x + 1 
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Para que se compreenda o funcionamento da regra, se substitui o x por cada 
um dos números reais, como os números empregados anteriormente (-0.5 e 1). 
Substituindo x por -0,5, tem-se: 
f (x) = x +1 
 f (-0,5) = (-0,5) + 1 
 f (-0,5) = 0,5 
Desta forma, o número a ser associado ao -0,5 é o número 0,5. Aplicando o 
mesmo no número 1: 
Desse modo, o número associado ao 1 é o 2. A mesma regra é aplicada para 
todos os números reais, lembrando que uma função pode ser representada de outra 
maneira. Em vez de considerar f (x), pode-se optar pela letra y. A função abaixo é 
equivalente a função f (x) = x + 1: 
y = x + 1 
Comparando a representação algébrica com as equações, funções não 
passam de equações, expressões algébricas definidas por meio de uma relação de 
igualdade (=). Não obstante, nem todas as equações se enquadram na definição de 
função, pois há funções que relacionam os conjuntos de números reais. 
A primeira função a ser definida é a função afim, ou função polinomial de primeiro 
grau. Uma função afim f : ℝ → ℝ é definida na forma f (x) = ax + b, sendo 
que a e b são números reais, e a ≠ 0: 
f (x) = x 
f (x) = 2x - 3 
f (x) = x + 1 
f (x) = 7x 
Essas funções afins podem ser escritas em outra forma algébrica: 
y = x 
y = 2x - 3 
y = x + 1 
y = 7x 
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A forma algébrica evidencia a representação conhecida como equação e, 
nesse caso, as equações descritas na forma y = ax + b são conhecidas como 
equações da reta. Outra função é a função quadrática ou função polinomial do 
segundo grau. Uma função quadrática f : ℝ → ℝ, é definida na forma f (x) 
= ax2 + bx + c, sendo que a, b e c pertencem aos reais, com a ≠ 0: 
f (x) = x2 + 1 
 f (x) = - x2 - 5 
 f (x) = 3x2 - 7x 
 
f (x) = 2x 
 f (x) = 7x 
Uma função diferente das demais está relacionada aos logaritmos, a função 
logarítmica. A função é definida de modo que f : ℝ → ℝ, logo, seu domínio e 
contradomínio referem-se ao conjunto dos números reais. Ela é descrita 
algebricamente da seguinte forma: f (x) = loga⁡x. 
ASSISTA 
É interessante estabelecer conexões entre as funções nessa seção. A função 
logarítmica relaciona-se com a função exponencial, essa relação é explicitada no 
vídeo Grings - Log8 - Funções Logarítmica e Exponencial. O conhecimento da 
relação permite a resolução de diversos problemas. 
O coeficiente é um número real de tal forma que a > 0 e a ≠ 1. Já a variável x é 
um número real positivo não nulo, x > 0 ∈ ℝ: 
Por fim, a última função é a modular. É importante destacar que, apesar de ser 
uma função f : ℝ → ℝ, ela se distingue das demais num aspecto formal. Essa função 
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possui duas regras associadas a ela, sendo que cada uma das regras a ser executada 
depende do valor de entrada: 
 
O valor da função varia dependendo do sinal de seu valor de entrada, ou seja, 
caso x seja positivo, a função vale x, caso x seja negativo, a função vale -x. 
EXEMPLIFICANDO 
A ideia por trás da utilização da função modular, muitas vezes, 
está associada à medida de distância. Isso ocorre porque todo valor 
da imagem da função f (x) = |x| é positivo, independentemente do 
valor de x. Portanto, a imagem de cada valor da função é a distância 
até a origem. Por exemplo: f (x) = |-5| = 5, isso significa que o número 
-5 está a 5 unidades da origem. 
VAMOS REFORÇAR O QUE APRENDEMOS 
ATÉ AGORA? 
 
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GRÁFICOS 
As funções são definidas num contexto geométrico com base em 
representações elaboradas num plano cartesiano. Parafunções anteriores, é 
necessário definir o gráfico de uma função pelo conjunto: 
ℝ² = ℝ x ℝ = {(x,y)∈ ℝ2/ x ∈ ℝ e y ∈ ℝ} 
A definição enuncia que ℝ² é um conjunto formado por elementos (x, y), 
chamados de pares ordenados, em que x e y são números reais. O conjunto é, 
basicamente, a construção de um plano cartesiano. Com essa definição, é possível 
construir a representação de todos os pares ordenados que constituem ℝ² como 
(x, f(x)), ou seja, com um valor real x e com sua imagem real f(x). A representação 
dos pares ordenados (x, f(x)) recebe o nome de gráfico da função f. Considerando um 
exemplo de função afim, a função f(x) = 2x, tem seu gráfico delineado como no 
Diagrama 8. 
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Diagrama 8. Gráfico de f(x) = 2x. 
As representações gráficas das funções permitem a observação de padrões 
geométricos. No caso, uma função afim tem seu gráfico descrito por uma reta e, por 
conta disso, a equação y = ax + b recebe o nome de equação da reta, e ax + b = 0, 
de equação linear. Outra função, a quadrática, tem seu gráfico representado por uma 
parábola, como se nota no Diagrama 9. 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) III 
 
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Diagrama 9. Gráfico de duas funções quadráticas. 
As duas funções representadas pelo Diagrama 9 são: 
x2 + 2x + 1 
- x2 + 2x +1 
Ambas possuem termos muito similares, porém, apenas o primeiro termo 
contém o sinal oposto, indicando que a representação gráfica de funções de um 
mesmo tipo é dada de forma diferente caso os parâmetros assim sejam. A parábola 
de x2 + 2x + 1 está com sua concavidade voltada para cima, já a parábola de - x2 + 2x 
+ 1 está com sua concavidade voltada para baixo. 
As funções logarítmica e exponencial também sofrem alterações em seu 
formato geométrico quando se alteram parâmetros de seus termos. 
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Diagrama 10. Gráfico de funções logarítmicas e exponenciais. 
É possível identificar que elas têm um formato similar em diferentes seções do 
plano cartesiano. Isso se verifica algebricamente por meio de suas definições, que 
possuem uma relação intrínseca. Por fim, o gráfico de funções modulares é visto no 
Diagrama 11. 
 
Diagrama 11. Gráfico de funções modulares. 
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A definição de função modular consiste em não permitir que o argumento do 
módulo, o valor que está entre | | seja negativo. Logo, uma consequência geométrica 
de |x| é que todos os valores de x negativos são “refletidos” para cima do eixo x. A 
mudança desses parâmetros faz apenas com que essa função se torne mais 
“pontuda” ou menos “pontuda”. 
VAMOS REFORÇAR O QUE APRENDEMOS 
ATÉ AGORA? 
 
 
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Agora é a hora de sintetizar tudo o que aprendemos 
nessa unidade. Vamos lá?! 
SINTETIZANDO 
Nesta unidade, foram proporcionados conceitos e manipulações 
básicas de equações, além das discussões teóricas da conceituação de 
equações algébricas e numéricas, e como operá-las com base nas 
propriedades da relação de igualdade, possibilitando o trabalho com 
equações algébricas objetivando o cálculo das raízes ou soluções. 
Foram definidos e construídos o plano cartesiano, explorando a ideia 
de representação gráfica, sem contar o conceito de reta real, construindo um 
plano formado pela interseção de duas retas desse tipo, dando origem ao 
plano cartesiano, objeto matemático capaz de auxiliar no processo de 
representação de pontos, regiões e funções. 
Tendo base para o início do estudo de funções, foram expostos alguns 
de seus tipos e suas representações gráficas. Ao final, foi apresentado o 
conceito introdutório de função como uma regra de associação entre 
conjuntos, definidos como o conjunto dos números reais e explicado o que 
é uma função e como ela é operada matematicamente, bem como se 
examinaram diferentes funções, como afins, quadráticas e modulares, 
conhecendo sua definição formal e sua representação gráfica por meio do 
plano cartesiano. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
GRINGS - Log8 - Funções Logarítmica e Exponencial. Postado por 
omatematico.com. (16min. 47s.). son. color. port. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=LUzfvhcnhoE>. Acesso em: 17 jun. 
2020 
STEWART, J. Calculus: early transcendentals. 6 ed. Belmont, CA: 
Thomson Brooks/Cole, 2003. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=LUzfvhcnhoE