Relatório PICME 2016.2

Prévia do material em texto

1 
 
 
Universidade Federal de Pernambuco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Programa de Iniciação Científica e 
Mestrado – PICME 
Igor de Barros Nonato 
2° período – 2016.2 – Licenciatura em Matemática – UFPE CAA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lajedo, 01 de março de 2017 
2 
 
Universidade Federal de Pernambuco 
Departamento de Matemática-CCEN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoremas e Propriedades sobre Matrizes, 
Determinantes e Aplicações para o Cálculo de 
Sistemas e Vetores 
 
 
 
 
 
 
Relatório apresentado ao PICME, para avaliação do 
desempenho nas atividades do semestre letivo. 
Disciplinas: Matemática I; 
Geometria Analítica; 
Estatística; 
Professores: Jeremias B. Santos 
Felipe Sinesio Trajano de Arruda 
Paulo Roberto Câmera de Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lajedo, 01 de março de 2017 
3 
 
Conteúdo: 
1. Introdução.................................................................................................................................04 
2. Desenvolvimento........................................................................................................... ........04 
3. Teoria das Matrizes..............................................................................................................04 
3.1 Definição................................................................................................................ .................04 
3.1 Adição de Matrizes......................................................................................................... ....05 
3.2 Produto de Matrizes..................................................................................................... .....05 
3.3 Matrizes Transposta...................................................................................................... ....06 
4. Determinantes................................................................ ........................................................06 
4.1 Definição................................................................................................................ ................06 
4.2 Cofator.............................................................................. .......................................................07 
4.3 Determinante de uma Matriz de ordem n ≥ 3.......................................................07 
4.4 Propriedades........................................................................................................................07 
4.5 Teorema de Cauchy........................................................................................................ ...08 
4.6 Adição de Determinantes...............................................................................................08 
4.7 Teorema de Jacobi........................................................................................................ .....09 
4.8 Matriz Adjunta....................................................................................................................10 
4.9 Matriz Inversa........................................................................................................... ..........11 
5. Sistemas..................................................................................................................... ...............11 
5.1 Teorema de Cramer........................................................................................................ ..11 
6. Calculo Vetorial................................................................................................................... ..13 
6.1 Produto Vetorial......................................................................................................... .......13 
6.2 Produto Misto.....................................................................................................................14 
7. Conclusão................................................................................................. ...............................15 
8. Bibliografia.............................................................................................. ...............................15 
 
4 
 
 
1. Introdução 
 
Neste segundo período possuiu três disciplina de conteúdo matemático, a 
disciplina de Geometria Analítica, Estatística e Matemática I. Esse relatório foca mais 
na apresentação dos conhecimentos adquiridos nesta última disciplina, 
apresentamos definições, propriedades, demonstrações de teoremas sobres 
matrizes e determinantes e suas aplicações na soluções de sistemas e no cálculo 
vetorial.. 
 
2. Desenvolvimento 
 
A disciplina de Matemática I obtinha a seguinte ementa: Estudo das funções 
polinomiais, funções racionais, exponenciais e logarítmicas. Estudo das progressões 
aritméticas e geométricas. Matrizes, determinantes e sistemas lineares. Tinha como 
objetivo fazer um estudo aprofundado das funções polinomiais, racionais, exponenciais 
e logarítmicas, introduzir o conceito de sequência numérica, dando ênfase as 
progressões aritméticas e geométricas. Além disso introduzir o conceito de matriz , 
sistemas lineares e determinantes e fazer o estudo aprofundado de propriedades 
associadas a esse conceito. E sua metodologia adotada foi a de Aulas expositivas, 
resolução de problemas, atividades em sala, etc. 
A disciplina de Geometria Analítica obtinha a seguinte ementa: Sistemas de 
coordenadas. Cálculo vetorial e operações vetoriais básicas no plano e no espaço. Retas 
e planos. Cônicas. O objetivo era introduzir o aluno ao estudo da geometria fazendo uso 
de vetores. A metodologia foi a de aulas com quadro branco e piloto. 
A disciplina de Estatística tinha como ementa: Análise exploratória de dados. 
Noções de probabilidade. Amostragem e estimação. E tinha como objetivo ao final da 
disciplina, o aluno deverá ter condições de organizar e descrever conjuntos de dados e 
dominar os fundamentos básicos de probabilidade e de inferência estatística. 
 
 
3. Teoria das matrizes 
3.1 Definição 
Dados dois números, m e n, naturais e não nulos, chama-se matriz m por n 
(indica-se m x n) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linhas 
e n colunas. 
[
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
] 
Em uma matriz qualquer M, cada elemento é indicado por 𝑎𝑖𝑗. O índice i indica 
a linha e o índice j a coluna ás quais o elemento pertence. 
5 
 
3.2 Adição de Matrizes 
Dadas duas matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚 × 𝑛e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚 × 𝑛, chamasse soma A + B a 
matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚 × 𝑛 tal que 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗, para todo i e todo j. 
Exemplo: 
[
7 8
9 9
] + [
0 1
2 3
] = [
7 + 0 8 + 1
9 + 2 9 + 3
] = [
7 9
11 12
] 
3.3 Produto de Matrizes 
Dadas duas matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚 × 𝑛e 𝐵 = (𝑏𝑗𝑘)𝑛 × 𝑝, chamasse produto A B 
a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑘)𝑚 × 𝑝 tal que 
𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 ∙ 𝑏1𝑘 + 𝑎𝑖2 ∙ 𝑏2𝑘 + 𝑎𝑖3 ∙ 𝑏3𝑘 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛 ∙ 𝑏𝑛𝑘 = ∑𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝑏𝑗𝑘
𝑛
𝑗=1
 
Para todo 𝑖 ∈ {1, 2, … ,𝑚} e todo 𝑘 ∈ {1, 2, … , 𝑝} 
 Exemplo: 
[
1 5 2
−1 4 7
] [
1 −1
2 3
−3 0
] = 
[
1 ∙ 1 + 5 ∙ 2 + 3 ∙ (−1) 1 ∙ (−1) + 5 ∙ 3 + 2 ∙ 0
−1 ∙ 1 + 4 ∙ 2 + 7 ∙ (−3) −1 ∙ (−1) + 4 ∙ 3 + 7 ∙ 0
] = [
8 7
−16 13
] 
 
 Teorema: 
 Seja I a matriz identidade n x n cuja entrada na linha i e coluna j é 
{
1 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
0 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
AI = IA = A para qualquer matriz 𝐴𝑚 × 𝑛. 
 Prova: 
I) Sendo 𝐼 = (𝛿𝑖𝑗)𝑛 × 𝑛 e B = AI = (𝑏𝑖𝑗)𝑚 × 𝑛, temos: 
𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 ∙ 𝛿1𝑗 + 𝑎𝑖2 ∙ 𝛿2𝑗 + 𝑎𝑖3 ∙ 𝛿3𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝛿𝑗𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛 ∙ 𝛿𝑛𝑗 = 
= 𝑎𝑖1 ∙ 0 + 𝑎𝑖2 ∙ 0 + 𝑎𝑖3 ∙ 0 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑗 ∙ 1 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛 ∙ 0 = 𝑎𝑖𝑗 
para todos i e j, então AI = A 
 
II) Analogamente. 
 
 
6 
 
3.4 Matriz Transposta 
Dada umamatriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛, chama-se transposta de A a matriz 𝐴
𝑡 =
 (𝑎′𝑗𝑖)𝑛 ×𝑚 tal que 𝑎′𝑗𝑖 = 𝑎𝑖𝑗, para todo i e todo j. 
Exemplo: 
𝐴 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ⇒ 𝐴𝑡 = [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] 
 
Teorema: 
1) (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 
Prova: 
Sendo 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚 × 𝑛 e 
(𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐶𝑡 = (𝑐′𝑗𝑖)𝑛 × 𝑚, temos: 
𝑐′𝑗𝑖 = 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎′𝑗𝑖 + 𝑏′𝑗𝑖 para todos i, j. 
 
2) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 ∙ 𝐵𝑡 
Prova: 
Sendo 𝐴𝐵 = 𝐶 = (𝑐𝑖𝑘)𝑚 × 𝑝 e (𝐴𝐵)
𝑡 = 𝐶𝑡 = (𝑐′𝑘𝑖)𝑝 × 𝑚, resulta: 
𝑐′𝑘𝑖 = 𝑐𝑖𝑘 = ∑𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝑏𝑗𝑘
𝑛
𝑗=1
= ∑𝑎′𝑗𝑖 ∙ 𝑏′𝑘𝑗
𝑛
𝑗=1
 
 
4. Determinantes 
4.1 Definição 
Seja M uma matriz com n linhas e n colunas. Existe uma função f com as 
seguintes propriedades: 
1. f é n-linear e alternada nas linhas da matrizes; 
2. f(𝐼𝑛) = 1 
3. n=1, f(A) = 𝑎11 
4. n=2, f(A) = 𝑎11 ∙ 𝑎22 − 𝑎12 ∙ 𝑎21 
Esta função se denomina determinante. O determinante de uma matriz A 
representa-se por |𝐴| ou por det (𝐴). 
 
 
 
7 
 
4.2 Cofator 
Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2; seja 𝑎𝑖𝑗 um elemento de M. 
Definimos menor complementar do elemento 𝑎𝑖𝑗, e indicamos por 𝐷𝑖𝑗 , como sendo 
o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M. E 
definimos cofator de 𝑎𝑖𝑗, e indicamos por 𝐴𝑖𝑗 , o número (−1)
𝑖+𝑗 ∙ 𝐷𝑖𝑗 . 
Exemplo: 
𝑀 = [
2 3 −2
1 4 8
7 5 3
] ⇒ 𝐴12 = (−1)
1+2 ∙ |
1 8
7 3
| = (−1)(3 − 56) = 53 
 
4.3 Determinante de uma Matriz de ordem n ≥ 3 
Seja M uma matriz de ordem n. Definimos determinante da matriz M da 
seguinte forma: 
𝑀 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛… …
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
… …
… 𝑎𝑛𝑛
] ⇒ |𝑀| = 𝑎11 ∙ 𝐴11 + 𝑎21 ∙ 𝐴21 + ⋯+ 𝑎𝑛1 ∙ 𝐴𝑛1
= ∑𝑎𝑖1 ∙ 𝐴𝑖1
𝑛
𝑖=1
 
 
4.3.1 Teorema Fundamental de Laplace 
O determinante de uma matriz M, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos 
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Isto é: 
𝑀 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛… …
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
… …
… 𝑎𝑛𝑛
] ⇒ |𝑀| = ∑𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝐴𝑖𝑗
𝑛
𝑖=1
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖; 
𝑜𝑢 |𝑀| = ∑𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝐴𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑗 
4.4 Propriedades 
1) det 𝑀𝑡 = det M 
2) 𝑎1𝑗 = 𝑎2𝑗 = 𝑎3𝑗 = ⋯𝑎𝑛𝑗 = 0 ⟹ det𝑀 = 0 
3) 𝑀 =
[
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12
𝑎21
…
𝑎22
…
… 𝑎1𝑛
…
…
𝑎2𝑛
…
𝑎𝑖1
…
𝑎𝑖2
…
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
…
…
𝑎𝑖𝑛
…
… 𝑎𝑛𝑛]
 
 
 
 
; 𝑀′ =
[
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12
𝑎21
…
𝑎22
…
… 𝑎1𝑛
…
…
𝑎2𝑛
…
𝐾 ∙ 𝑎𝑖1
…
𝐾 ∙ 𝑎𝑖2
…
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
…
…
𝐾 ∙ 𝑎𝑖𝑛
…
… 𝑎𝑛𝑛 ]
 
 
 
 
 
8 
 
det𝑀′ = 𝐾 ∙ det𝑀 
4) Se trocamos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), 
obteremos uma nova matriz M’ tal que det 𝑀′ = −det𝑀. 
5) Se uma matriz M tem duas filas paralelas formadas por elementos 
respectivamente iguais, então det𝑀 = 0 
 
4.5 Teorema de Cauchy 
A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz M, 
ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero. 
Prova: 
Seja 
𝑀 =
[
 
 
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12
𝑎21
…
𝑎22
…
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
…
𝑎𝑟1…
𝑎𝑠1…
𝑎𝑟2…
𝑎𝑠2…
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
…
…
𝑎𝑟𝑛…
𝑎𝑠𝑛…
… 𝑎𝑛𝑛]
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em M a s-ésima linha pela r-ésima, obtemos a matriz 
𝑀′ =
[
 
 
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12
𝑎21
…
𝑎22
…
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
…
𝑎𝑟1…
𝑎𝑟1…
𝑎𝑟2…
𝑎𝑟2…
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
…
…
𝑎𝑟𝑛…
𝑎𝑟𝑛…
… 𝑎𝑛𝑛]
 
 
 
 
 
 
 
Pela propriedade 5, det𝑀′ = 0 
Desenvolvendo det M’ pela s-ésima linha, 
det𝑀′ = 𝑎𝑟1 ∙ 𝐴𝑠1 + 𝑎𝑟2 ∙ 𝐴𝑠2 + ⋯+ 𝑎𝑟𝑛 ∙ 𝐴𝑠𝑛 = 0 
Observamos que os cofatores dos elementos da a-ésima linha de M são os 
mesmos que os da s-ésima linha de M’. E conclui-se a prova. A demonstração é 
análoga se tomarmos em M duas colunas. 
 
4.6 Adição de determinantes 
Seja M uma matriz de ordem n, em que os elementos da j-ésima coluna são 
tais que: 
𝑎1𝑗 = 𝑏1𝑗 + 𝑐1𝑗 
9 
 
𝑎2𝑗 = 𝑏2𝑗 + 𝑐2𝑗 
𝑎3𝑗 = 𝑏3𝑗 + 𝑐3𝑗 
⋮ 
𝑎𝑛𝑗 = 𝑏𝑛𝑗 + 𝑐𝑛𝑗 
Então teremos det𝑀 = det𝑀′ + det 𝑀", aonde M’ é a matriz que se obtém 
substituindo os elementos 𝑎𝑛𝑗 da j-ésima coluna de M por 𝑏𝑛𝑗 (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛), e M” é a 
matriz que se obtém substituindo os elementos 𝑎𝑛𝑗 da j-ésima coluna de M por 
𝑐𝑛𝑗 (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛), 
Prova: 
Desenvolvendo det𝑀 pela j-ésima coluna: 
det𝑀 = (𝑏1𝑗 + 𝑐1𝑗) ∙ 𝐴1𝑗 + (𝑏2𝑗 + 𝑐2𝑗) ∙ 𝐴2𝑗 + ⋯+ (𝑏𝑛𝑗 + 𝑐𝑛𝑗) ∙ 𝐴𝑛𝑗 = 
det𝑀 = 𝑏1𝑗 ∙ 𝐴1𝑗 + 𝑏2𝑗 ∙ 𝐴2𝑗 + ⋯+ 𝑏𝑛𝑗 ∙ 𝐴𝑛𝑗 + 𝑐1𝑗 ∙ 𝐴1𝑗 + 𝑐2𝑗 ∙ 𝐴2𝑗 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑗 ∙ 𝐴𝑛𝑗 
det𝑀 = det 𝑀′ + det𝑀" 
 
4.7 Teorema de Jacobi 
Adicionando a uma fila de uma matriz M de ordem n, uma outra fila paralela, 
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M’, tal 
que det M’ = det M. 
Prova: 
𝑀 =
|
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑝 … 𝑎1𝑗 … 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑝 … 𝑎2𝑗 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32…
𝑎𝑛1
…
𝑎𝑛3
… 𝑎3𝑝 … 𝑎3𝑗 … 𝑎3𝑛
…
…
… … … … …
𝑎𝑛𝑝 … 𝑎𝑛𝑗 … 𝑎𝑛𝑛
|
|
 
⇓ 
𝑀′ =
|
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑝 … (𝑎1𝑗 + 𝐾 ∙ 𝑎1𝑝) … 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑝 … (𝑎2𝑗 + 𝐾 ∙ 𝑎2𝑝) … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32…
𝑎𝑛1
…
𝑎𝑛3
… 𝑎3𝑝 … (𝑎3𝑗 + 𝐾 ∙ 𝑎3𝑝) … 𝑎3𝑛
…
…
… … … … …
𝑎𝑛𝑝 … (𝑎𝑛𝑗 + 𝐾 ∙ 𝑎𝑛𝑝) … 𝑎𝑛𝑛
|
|
 
⇓ 
10 
 
det𝑀′ =
|
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑝 … 𝑎1𝑗 … 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑝 … 𝑎2𝑗 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32…
𝑎𝑛1
…
𝑎𝑛3
… 𝑎3𝑝 … 𝑎3𝑗 … 𝑎3𝑛
…
…
… … … … …
𝑎𝑛𝑝 … 𝑎𝑛𝑗 … 𝑎𝑛𝑛
|
|
+
|
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑝 … 𝐾 ∙ 𝑎1𝑝 … 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑝 … 𝐾 ∙ 𝑎2𝑝 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32…
𝑎𝑛1
…
𝑎𝑛3
… 𝑎3𝑝 … 𝑘 ∙ 𝑎3𝑝 … 𝑎3𝑛
…
…
… … … … …
𝑎𝑛𝑝 … 𝐾 ∙ 𝑎𝑛𝑝 … 𝑎𝑛𝑛
|
|
= 
⇓ 
det 𝑀′ =det𝑀 + 𝐾 ∙ det𝑀" = det𝑀 + 𝐾 ∙ 0 = det 𝑀 
 
4.8 Matriz adjunta 
 5.8.1 Matriz dos cofatores 
 Seja M uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de matriz dos cofatores 
de M, e indicamos por M’, a matriz que se obtém de M, substituindo cada elemento 
de M por seu cofator. 
 
 5.8.2 Matriz adjunta 
 Seja M uma matriz quadrada de ordem n e M’ a matriz dos cofatores de M, 
chamamos de matriz adjunta de M, e indicamos por 𝑀 a transposta da matriz M’, isto 
é, 𝑀= (M’)𝑡. 
 Teorema: 
M ∙ 𝑀 = det𝑀 ∙ 𝐼𝑛 
Prova: 
M ∙ 𝑀 = (𝑏𝑖𝑘) = ∑𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝐵𝑗𝑘
𝑛
𝑗=1
= ∑𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝐴𝑘𝑗
𝑛
𝑗=1
 
Logo, se 𝑖 = 𝑘 ⇒ 𝑏𝑖𝑘 = det𝑀 (𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒) 
se 𝑖 ≠ 𝑘 ⇒ 𝑏𝑖𝑘 = 0 (𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦) 
Conclui-se que M ∙ 𝑀 é a matriz: 
[
det𝑀 0
0 det𝑀
… 0
… 0
⋮ ⋮
0 0
⋱ ⋮
… det𝑀
] = det𝑀 ∙ 𝐼𝑛 
11 
 
 
4.9 Matriz Inversa 
Dada uma matriz inversível M, chama-se inversa de M a matriz 𝑀−1 (que é 
única) tal que 𝑀 ∙ 𝑀−1 = 𝐼𝑛. 
Teorema: 
𝑀−1 =
1
det 𝑀
∙ 𝑀 
Prova: 
Usando o teorema anterior temos: 
𝑀 ∙ (
1
det𝑀
∙ 𝑀) =
1
det𝑀
∙ (𝑀 ∙ 𝑀) =
det𝑀
det𝑀
∙ 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛 
Segue-se, por definição de matriz inversa, que: 
𝑀−1 =
1
det 𝑀
∙ 𝑀 
5. Sistemas 
Um sistema de equações é um conjunto 
𝑆 {
𝐸1 = 𝑎11 ∙ 𝑥1 + 𝑎12 ∙ 𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑒1
𝐸2 = 𝑎21 ∙ 𝑥1 + 𝑎22 ∙ 𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑒2
……………………………………………………
𝐸𝑛 = 𝑎𝑛1 ∙ 𝑥1 + 𝑎𝑛2 ∙ 𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑒𝑛
 
de equações a uma ou mais variáveis reais, as quais devem ser satisfeitas 
simultaneamente. Aqui, 𝐸1, … , 𝐸𝑛 representam expressões envolvendo uma ou mais 
variáveis reais. Resolver um sistema significa encontrar todos os valoresdas 
variáveis que satisfaçam todos as equações do sistema ao mesmo tempo. 
 Lembrando a definição de produto de matrizes, notemos que o sistema linear 
S pode ser escrito na forma matricial. 
[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
⋱ ⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
] ∙ [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] = [
𝑒1
𝑒2
⋮
𝑒𝑛
] 
 
5.1 Teorema de Cramer 
Seja S um sistema linear com número de equações igual ao de incógnitas. 
[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
⋱ ⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
] ∙ [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] = [
𝑒1
𝑒2
⋮
𝑒𝑛
] 
12 
 
Fazendo 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
⋱ ⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
] , 𝑋 = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] 𝑒 𝐶 = [
𝑒1
𝑒2
⋮
𝑒𝑛
] 
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐶 
 Se det 𝐴 ≠ 0, então o sistema será possível e terá solução única, tal que 
𝑥𝑖 =
det 𝐴𝑖
det 𝐴
 ∀𝑖 ∈ (1,2,3, … , 𝑛) 
Aonde 𝐴𝑖 é a matriz obtida de A, substituindo-se a i-ésima coluna pela coluna dos 
termos independentes das equações do sistema. 
 Prova: 
1) Provemos que o sistema matricial 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐶 admite solução única. 
Por hipótese, det 𝐴 ≠ 0, logo ∃ 𝐴−1. Consideremos a matriz 𝑋0 = 𝐴
−1 ∙ 𝐶 e 
provemos que ela é solução da equação matricial 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐶. 
𝐴(𝐴−1 ∙ 𝐶) = (𝐴 ∙ 𝐴−1) ∙ 𝐶 = 𝐼𝑛 ∙ 𝐶 = 𝐶 
O que prova a existência da solução 𝑋0 = 𝐴
−1 ∙ 𝐶. Para provarmos que 𝑋0 =
𝐴−1 ∙ 𝐶 é única, admitimos que 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐶 tenha outra solução 𝑋0′. Então: 
𝑋0
′ = 𝐼𝑛 ∙ 𝑋0
′ = ( 𝐴 ∙ 𝐴−1) ∙ 𝑋0
′ = 𝐴−1 ∙ (𝐴 ∙ 𝑋0
′) = 𝐴−1 ∙ 𝐶 = 𝑋0 
Concluímos assim, que 𝑋0 é efetivamente solução única de 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐶. Por 
outro lado, já vimos que 𝐴−1 pode ser calculada pela fórmula 
𝐴−1 =
1
det 𝐴
∙ 𝐴 =
1
det 𝐴
∙ [
𝐴11 𝐴21
𝐴12 𝐴22
⋯ 𝐴𝑛1
⋯ 𝐴𝑛2
⋮ ⋮
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛
⋱ ⋮
⋯ 𝐴𝑛𝑛
] 
 
𝑋0 = 𝐴
−1 ∙ 𝐶 =
1
det 𝐴
∙ [
𝐴11 𝐴21
𝐴12 𝐴22
⋯ 𝐴𝑛1
⋯ 𝐴𝑛2
⋮ ⋮
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛
⋱ ⋮
⋯ 𝐴𝑛𝑛
] ∙ [
𝑒1
𝑒2
⋮
𝑒𝑛
] = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] 
Concluísse que 
𝑥𝑖 =
1
det 𝐴
∙ (𝐴1𝑖 ∙ 𝑒1 + 𝐴2𝑖 ∙ 𝑒2 + ⋯+ 𝐴1𝑛 ∙ 𝑒𝑛) 
𝑥𝑖 =
1
det 𝐴
∙ det 𝐴𝑖 =
det 𝐴𝑖
det 𝐴
 
 
13 
 
6. Cálculo Vetorial 
6.1 Produto vetorial 
Dado dois vetores �⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� e 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗� , definisse 
produto vetorial dos vetores �⃗� e 𝑣 , e representado por �⃗� × 𝑣 , como: 
 �⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| 
E com uso das propriedades de determinantes é fácil ver certas propriedades 
do produto vetorial como: 
1) �⃗� × �⃗� = 0 
2) �⃗� × 𝑣 = −𝑣 × �⃗� 
3) �⃗� ×(𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� × 𝑣 + �⃗� × �⃗⃗� 
4) (𝑚 ∙ �⃗� )× 𝑣 = 𝑚 ∙ (�⃗� × 𝑣 ) 
5) �⃗� ∙ (�⃗� × 𝑣 ) = 𝑣 ∙ (�⃗� × 𝑣 ) = 0 
Prova: 
�⃗� ∙ (�⃗� × 𝑣 ) = (𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� ) ∙ |
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| 
= (𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� ) ∙ (|
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| ∙ 𝑖 − |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| ∙ 𝑗 + |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| ∙ �⃗� ) = 
= |
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| ∙ 𝑥1 − |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| ∙ 𝑦1 + |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| ∙ 𝑧1 = 
= |
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| = 0 
6) |�⃗� × 𝑣 |2 = |�⃗� |2 ∙ |𝑣 |2 − (�⃗� ∙ 𝑣 )2. (Identidade de Lagrange) 
A identidade acima pode ser escrita como: 
(�⃗� × 𝑣 ) ∙ (�⃗� × 𝑣 ) = (�⃗� × �⃗� ) ∙ (𝑣 × 𝑣 ) − (�⃗� ∙ 𝑣 )2 
7) |�⃗� × 𝑣 | = |�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ sin 𝜃 
Prova: 
|�⃗� × 𝑣 |2 = |�⃗� |2 ∙ |𝑣 |2 − (�⃗� ∙ 𝑣 )2 
|�⃗� × 𝑣 |2 = |�⃗� |2 ∙ |𝑣 |2 − (|�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ cos 𝜃)2 
|�⃗� × 𝑣 |2 = |�⃗� |2 ∙ |𝑣 |2 − |�⃗� |2 ∙ |𝑣 |2 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 
|�⃗� × 𝑣 |2 = |�⃗� |2 ∙ |𝑣 |2 ∙ (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃) 
|�⃗� × 𝑣 |2 = |�⃗� |2 ∙ |𝑣 |2 ∙ (𝑠𝑖𝑛2𝜃) ⇒ |�⃗� × 𝑣 | = |�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ sin 𝜃 
14 
 
Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores �⃗� e 𝑣 mede a 
área do paralelogramo ABCD determinado por �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
 
 De fato, a área ABCD = |𝑣 | ∙ h. Temos também quem h = |�⃗� | ∙ sin 𝜃, 
Área ABCD = |�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ sin 𝜃 = |�⃗� × 𝑣 | 
 
 6.2 Produto Misto 
 Dados os vetores �⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� , 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗� e �⃗⃗� = 𝑥3𝑖 +
𝑦3𝑗 + 𝑧3�⃗� , chamasse produto misto dos vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� ao número real �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ). 
Indicasse o produto misto por (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ). Tendo em vista que 
𝑣 × �⃗⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| = |
𝑦2 𝑧2
𝑦3 𝑧3
| ∙ 𝑖 − |
𝑥2 𝑧2
𝑥3 𝑧3
| ∙ 𝑗 + |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
| ∙ �⃗� 
�⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) = |
𝑦2 𝑧2
𝑦3 𝑧3
| ∙ 𝑥1 − |
𝑥2 𝑧2
𝑥3 𝑧3
| ∙ 𝑦1 + |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
| ∙ 𝑧1 = |
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| 
 Propriedades: 
1) (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = -(𝑣 , �⃗� , �⃗⃗� ) 
2) �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) = (�⃗� × 𝑣 ) ∙ �⃗⃗� 
3) (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� + 𝑟 ) = (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) + (�⃗� , 𝑣 , 𝑟 ) 
4) (�⃗� , 𝑣 , 𝑚 ∙ �⃗⃗� ) = (�⃗� , 𝑚 ∙ 𝑣 , �⃗⃗� ) = (𝑚 ∙ �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = 𝑚 ∙ (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) 
Geometricamente, o produto misto (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) em módulo mede o volume do 
paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores �⃗� = 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e , �⃗⃗� =
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
A 
B 
C 
D 
h 
𝜽 
�⃗� 
𝑣 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe se que o volume V do paralelepípedo é: 
𝑉 = (área da base) × (altura) = 𝐴𝑏 ∙ ℎ 
Mas 𝐴𝑏 = |𝑣 ×�⃗⃗� | e ℎ = |�⃗� | ∙ |cos 𝜃|, logo 
𝑉 = |𝑣 ×�⃗⃗� | ∙ |�⃗� | ∙ |cos 𝜃| 
Fazendo 𝑣 ×�⃗⃗� = 𝑎 temos 
𝑉 = |𝑎 | ∙ |�⃗� | ∙ |cos 𝜃| = |𝑎 ∙ �⃗� | = |�⃗� ∙ 𝑎 | = |�⃗� ∙ (𝑣 ⃗⃗⃗ × �⃗⃗� )| = |(�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� )| 
 
 
7. Conclusão 
A greve ocorrida no meio desse período, atrapalhou bastante no andamento 
das disciplinas, em especial nas de estatística e geometria analítica. Não permitindo 
ver todo o conteúdo planejado na ementa. Somente a disciplina de Matemática I que 
foi possível estudar tudo, e por isso nesse relatório eu dediquei maior parte a 
amostrar demonstrações dos fatos relevantes que foi visto nessa disciplina. Nesse 
próximo período haverá apenas duas cadeiras com o conteúdo matemático, Calculo 
I e Matemática II. Minhas expectativas são boas, e espero aprender bastante, 
principalmente na disciplina de Cálculo I, por se tratar de um conhecimento novo 
para mim, estou ansioso e espera no próximo relatório apresentar várias 
demonstrações sobre o conteúdo. Novamente a participação do PICME me 
propulsionou estudar mais e ir mais fundo no que foi ensinado na sala de aula. 
 
8. Biografia 
Iezzi, Gelson. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 4 Sequencias, 
Matrizes, Determinantes e Sistemas, 10º Edição, SARAIVA S.A. Livreiros Editores, São Paulo. 
𝑣 ×�⃗⃗� 
D 
�⃗� 
𝜃 C 
A 
B 
𝑣 
�⃗⃗� 
ℎ 
16 
 
Iezzi, Gelson. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 6 Complexos, 
Polinômios e Equações, 10º Edição, SARAIVA S.A. Livreiros Editores, São Paulo. 
A. Caminha. (2013). Tópicos de Matemática Elementar, Vol. 1, 2º edição, Sociedade 
Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro. 
Morgado, Augusto (2016). Análise Combinatória e Probabilidade, 10º edição, 
Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro. 
Steinbruch, Alfredo. (1987). Geometria Analítica, 2° edição, Pearson.