[Álgebra Linear] Vetor e Valor Próprio (Resumo)

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função com domínio 
igual ao contra-dominio. 
VETOR E VALOR PRÓPRIO 
 
Def.: Dado um operador linear 𝑇: 𝑉 → 𝑉. Um vetor, �⃗� ∈ 𝑉 com �⃗� ≠ 0⃗⃗, é vetor próprio do operador 
𝑻, caso existe 𝜆 ∈ ℝ, tal que, 𝑇(�⃗�) = 𝜆�⃗�, no qual, 𝜆 é o valor próprio de 𝑇. 
 
 Determinação dos valores e valor próprio 
Dado o operador linear 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑛, cuja matriz canônica 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛1
⋮
𝑎𝑛2
⋱ ⋮
… 𝑎𝑛𝑛
), temos: 
Autovalores 
 𝑑𝑒𝑡 (
𝑎11 − 𝜆 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 − 𝜆 … 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛1
⋮
𝑎𝑛2
⋱ ⋮
… 𝑎𝑛𝑛 − 𝜆
) = 0 
Autovetores 
 (
𝑎11 − 𝜆 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 − 𝜆 … 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛1
⋮
𝑎𝑛2
⋱ ⋮
… 𝑎𝑛𝑛 − 𝜆
) ∙ (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
) = 0 
 
i. Seja �⃗� o vetor associado ao valor próprio 𝜆 do operador linear 𝑇, o vetor 𝛼�⃗� (𝛼 ≠ 0), também é 
vetor próprio de 𝑇 associado a 𝜆. 
ii. Se 𝜆 é um valor próprio de 𝑇, o conjunto 𝑆𝜆 de todos os vetores �⃗� ∈ 𝑉 (incluindo 0⃗⃗) associados ao 
valor 𝜆, é um subespaço vetorial de 𝑉. 
iii. Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, os mesmos valores próprios. 
 
 Diagonalização de operadores 
Teorema: vetores próprios associados a valores próprios distintos de um operador linear são 𝐿𝐼. 
Sendo 𝐿𝐼, formam uma base. 
Corolários: Se 𝑇: 𝑉 → 𝑉 é linear com 𝑛 valores próprios distintos e 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, então o conjunto 
{𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗⃗} dos correspondentes vetores próprios é uma base de 𝑉. 
 
• Teorema: Seja 𝑇 um operador linear em ℝ3 que admite valores próprios 𝜆1, 𝜆2 e 𝜆3 distintos, 
associados a 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) e 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3) respectivamente, então o 
conjunto 𝑃 = {𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗} é base do ℝ
3 e 𝑃 = (
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
) diagonaliza a matriz canônica de 𝑇, no 
qual, [𝑇]𝑝 = (
𝜆1 0 0
0 𝜆2 0
0 0 𝜆3
). 
Def.: A matriz 𝐴 (canônica de 𝑇) é diagonalizavél quando existe uma matriz inversível 𝑃, tal que, 
𝑃−1𝐴𝑃 seja diagonal. 
 Diagonalização de uma matriz simétrica (Propriedades) 
i. A equação características de uma matriz simétrica tem apenas raízes reais. 
ii. Se 𝑇: 𝑉 → 𝑉 é um operador linear simétrico com valores próprios distintos, então os vetores próprios 
são ortogonais. 
iii. Para determinar uma matriz ortogonal 𝑃 que diagonaliza uma matriz simétrica, basta normalizar 
cada vetor da matriz.