Slides Teoria dos Números Parte I UNIP

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Unidade I 
TEORIA DOS NÚMEROS
Prof. Gastón A. C. Henriquez
Introdução
 Este curso visa apresentar, de forma 
mais elaborada, os objetivos da disciplina 
Teoria dos Números e sua vinculação 
com o projeto pedagógico e político 
do curso. 
Introdução
 Essa perspectiva defende não ser 
concebível estudar qualquer disciplina 
de licenciatura como algo estanque, sem 
vinculação pedagógica com disciplinas 
específicas, e muito menos utilizá-la 
como mero atrativo inicial para oscomo mero atrativo inicial para os 
conteúdos a serem ministrados. 
Possibilidades de ação política
 O objetivo é sistematizar o conhecimento 
que a humanidade acumulou nesta área, 
mas sem perder de vista as análises dos 
contextos social, histórico e cultural que 
proporcionam a possibilidade de 
compreensão da ciência de modo maiscompreensão da ciência de modo mais 
abrangente e, em consequência, uma 
ação política mais efetiva na esfera da 
educação.
História da matemática
 A matemática desenvolveu-se de acordo 
com condições e necessidades históricas. 
 Os povos da Idade da Pedra eram 
nômades e viviam da caça de pequenos 
animais selvagens, das frutas, castanhas 
e raízes. Habitavam, em geral, porções 
menos inóspitas da África, sul da Europa, 
sul da Ásia e América Central. 
História da matemática
 As mudanças climáticas obrigaram os 
homens e as mulheres a se adaptarem 
a um ambiente progressivamente hostil 
e a seguir os animais em fuga para 
lugares com condições para todas 
as formas de vidaas formas de vida. 
 Emergem, assim, após 3000 a.C., 
comunidades agrícolas densamente 
povoadas ao longo do rio Nilo na África, 
dos rios Tigre e Eufrates no Oriente Médio 
e ao longo do rio Amarelo na China nase ao longo do rio Amarelo na China, nas 
quais a ciência e a matemática começam 
a se desenvolver.
História da matemática
 Essa espécie de “revolução agrícola” 
criou novas necessidades, tais como o 
desenvolvimento da engenharia em 
construções de sistemas de barragens e 
irrigações; e também registros das 
estações das chuvas e das enchentes; eestações das chuvas e das enchentes; e 
traçados de mapas que especificavam as 
valas de irrigação. 
História da matemática
 Há dificuldades em localizar, no tempo, 
as descobertas em matemática. 
As comunidades não se comunicavam 
com facilidade e os materiais de escrita 
sobre as descobertas na Antiguidade 
não se preservaram em decorrêncianão se preservaram, em decorrência 
da fragilidade dos materiais utilizados 
para esse fim. 
Interatividade
Assinale a alternativa falsa:
a) A matemática primitiva, no Egito, se 
desenvolveu em função de uma 
“revolução agrícola”. 
b) Análises dos contextos social, histórico eb) Análises dos contextos social, histórico e 
cultural proporcionam uma ação política 
mais efetiva na esfera da educação.
c) Há dificuldades em localizar, no tempo, as 
descobertas em matemática. 
d) A história da matemática é linear ed) A história da matemática é linear e 
organizada.
e) A matemática desenvolveu-se de acordo 
com condições e necessidades 
históricas.
A sensação numérica e a faculdade 
abstrata de contar
 É preciso diferenciar a forma como o 
número é concebido por diferentes 
grupos humanos. Nem sempre qualquer 
pessoa é capaz de conceber qualquer 
número abstrato. Inúmeras hordas 
“primitivas” como os zulus e os“primitivas”, como os zulus e os 
pigmeus da África, os aranda e os 
kamilarai da Austrália, os aborígenes das 
ilhas Murray e os botocudos do Brasil, 
percebem o número de modo um tanto 
qualitativo.qualitativo. 
Faculdade abstrata de contar
 A “faculdade abstrata de contar” 
constitui uma aquisição relativamente 
recente da inteligência humana. Esta 
capacidade humana está relacionada às 
funções psíquicas superiores que 
possibilitam ao interno estar em unidadepossibilitam ao interno estar em unidade 
com os meios externos de pensamento 
(linguagem conceitual, esquemas 
simbólicos, gráficos, algoritmos, entre 
outros).
Alguns sistemas de numeração 
existentes a partir da necessidade 
das sociedades em 
desenvolvimento
 Se dois conjuntos finitos e não vazios 
podem ser colocados em 
correspondência biunívoca, ou seja, se a 
cada elemento do primeiro é possível 
associar, de alguma maneira, um único 
elemento do segundo e vice versaelemento do segundo, e vice-versa, 
então há, entre esses conjuntos, sob o 
aspecto quantitativo, algo em comum. 
Diz-se que ambos têm o mesmo número 
de elementos ou a mesma cardinalidade. 
Os símbolos usados para indicar osOs símbolos usados para indicar os 
números chamam-se “numerais”.
Alguns sistemas de numeração
 Na Mesopotâmia, por volta de 4000 a.C, 
os sumérios desenvolveram a escrita 
cuneiforme, representada em placas de 
argila.
Quase simultaneamente, foi desenvolvida, 
no Egito, a forma de escrita hieroglífica que 
propiciou o desenvolvimento de mais duas 
formas para a escrita: 
 hierática - usada pelos sacerdotes, era 
uma escrita cursiva; 
 demótica - uma forma simplificada, 
usada para as situações de 
comércio e situações gerais 
do dia a dia.
Sistemas de numeração
 Os babilônios usavam um sistema 
numérico sexagesimal, isto é, com base 
no número 60. Eles utilizavam símbolos 
que variavam de significado conforme 
sua posição, constituindo, assim, o 
primeiro exemplo de escrita posicionalprimeiro exemplo de escrita posicional.
 Os numerais romanos foram os únicos 
utilizados em toda a Europa durante 
mais de um milhar de anos. O sistema 
derivou do sistema etrusco.
Numerais indo-arábicos
 O sistema de numeração atual, no qual 
se formam os números por justaposição 
dos dez dígitos, é quase sempre 
denominado “notação árabe”, porque 
aos árabes se atribui sua divulgação 
pelo mundo no século VIIpelo mundo no século VII. 
 Com os hindus, o “zero” ganhou o status
de número, uma vez que, até então, 
mesmo entre os gregos do período 
alexandrino, ele era usado apenas para 
indicar “ausência”indicar “ausência”.
Escola pitagórica
 Era um misto de escola e comunidade 
religiosa, em que coexistiam os estudos 
referentes à filosofia, à ciência e à 
matemática. Os ensinamentos eram 
transmitidos oralmente e com exigência 
da promessa de segredo Todas asda promessa de segredo. Todas as 
descobertas eram atribuídas a Pitágoras, 
de forma que não se sabe ao certo quais 
foram suas verdadeiras contribuições na 
produção desses conhecimentos. Em 
razão da tradição oral da escola, nenhumrazão da tradição oral da escola, nenhum 
documento original restou sobre a 
matemática pitagórica. 
Pitagóricos
 Os pitagóricos perceberam a ligação da 
matemática com a música e com a 
astronomia. O estudo teórico dos 
números era denominado “aritmética”, e 
os cálculos práticos, “logística”. Muitos 
conhecimentos da matemática pitagóricaconhecimentos da matemática pitagórica 
foram reunidos em “Os elementos”, de 
Euclides (c. 300 a.C.): uma obra em treze 
livros. Nela, é atribuída aos pitagóricos a 
distinção entre números pares e 
ímpares, a divisão de números emímpares, a divisão de números em 
primos e secundários (compostos) e a 
descoberta do número perfeito (número 
que é igual à soma de suas 
partes). 
Números racionais
 Os números inteiros são abstrações que 
surgiram em função da necessidade de 
contar coleções. Mas a vida cotidiana 
requer a medição de quantidades, como 
comprimento, peso e tempo. Para tanto, 
descobriu se a necessidade de númerosdescobriu-se a necessidade de números 
fracionários. Definiu-se, assim, o número 
racional como o quociente p/q, diferente 
de zero, de dois números inteiros.
Números irracionais
 Os pitagóricos descobriram que havia 
pontos na reta que não correspondiam a 
nenhum número racional. Em particular,eles provaram que não há nenhum 
número racional ao qual corresponda o 
ponto P reta em que OP é a diagonal deponto P, reta em que OP é a diagonal de 
um quadrado cujos lados medem uma 
unidade. Novos números foram 
associados a esses pontos: os números 
irracionais.
 Por algum tempo 2 foi o único Por algum tempo, 2 foi o único 
número irracional conhecido.
Interatividade 
Assinale a alternativa falsa:
a) Na cultura egípcia, a escrita hierática foi 
usada pelos sacerdotes.
b) Na cultura egípcia, a escrita demótica era 
uma forma simplificada de escrita.uma forma simplificada de escrita. 
c) O sistema de numeração dos egípcios 
baseava-se em dez números-chave: 0, 1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
d) Os pitagóricos descobriram os números 
irracionaisirracionais.
e) Para os pitagóricos, o estudo teórico dos 
números era denominado “aritmética”, e 
os cálculos práticos, “logística”.
Descrições de conjuntos
1. Enumerando-se, um a um, os seus 
elementos:
 Exemplo: A = {1, 2, 3, 4}
2. Descrevendo seus elementos através de 
uma propriedade:uma propriedade:
 Exemplo: A = {x є N / 1 ≤ x ≤ 4}
Subconjuntos de um conjunto
Exemplo: S = {2, 6, 9}
Subconjuntos de S:
 vazio: { } = 
 com apenas um elemento: {2}, {6}, {9}

com apenas dois elementos: 
 {2, 6}, {2, 9}, {6, 9}
 com três elementos: {2, 6, 9}
Observações:
1 t d j t A { } A1. para todo conjunto A, { } A
2. para todo conjunto A, A A


União entre conjuntos
Exemplo:
 A é o conjunto de todas as pessoas de 
20 anos.
 B é o conjunto de todos os estudantes 
de matemática.de matemática.
 AUB é o conjunto de todas as pessoas 
de 20 anos (que estudam ou não 
matemática) e de todos os estudantes de 
matemática (independentemente de sua 
idade).idade).
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6}, 
AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Intersecção de conjuntos
Exemplo:
 A é o conjunto de todas as pessoas de 
20 anos.
 B é o conjunto de todos os estudantes 
de matemática.de matemática.
 A B é o conjunto de todas as pessoas 
de 20 anos que são estudantes de 
matemática.
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6}, 

A B = {3, 4, 5}
Diferença entre conjuntos
Exemplo:
 A é o conjunto de todas as pessoas de 
20 anos.
 B é o conjunto de todos os estudantes 
de matemática.de matemática.
 A – B é o conjunto de todas as pessoas 
de 20 anos que não são estudantes de 
matemática.
 B – A é o conjunto de todos os 
estudantes de matemática que não têmestudantes de matemática que não têm 
20 anos.
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6}, 
A – B = {1, 2}, B – A = {6}
Produto cartesiano
 AxB = {(x,y) / x є A e y є B}
 Exemplo: 
 A = {3, 5}, B = {1, 2, 3}
 AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3)}
 BXA = {(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)}
 Observe que AxB é diferente de BxA.
Situações em que AxB = BxA:
1. A = { } ou B = { }
2 A B2. A = B
 Se A tem x elementos e B tem y 
elementos, então n(AxB) = x.y.
Relações sobre conjuntos
 Uma relação sobre um conjunto A é um 
subconjunto R do produto cartesiano 
AxA. 
Exemplo: A = {1, 2, 3}
AxA = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3),AxA {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), 
(3,1), (3,2), (3,3)}
Algumas possibilidades de R neste 
exemplo:
 {(1,3)}
 {(2,1), (3,2)}
 {(1,1), (2,2), (3,3)}
Propriedades das relações
 Se A tem n elementos, então AxA tem n.n
elementos e 2n.n relações.
Algumas relações podem ter as seguintes 
propriedades:
1. Reflexiva - para qualquer elemento a do1. Reflexiva para qualquer elemento a do 
conjunto A: aRa.
 Exemplo 1: A = N* e R a relação que 
leva cada número em todos os seus 
divisores. Como todo número é 
divisor de si mesmo, R é reflexiva.divisor de si mesmo, R é reflexiva.
 Exemplo 2: no conjunto A = {1, 2, 3}, a 
relação R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} é 
reflexiva.
Propriedades das relações
2. Simétrica: para quaisquer elementos a e 
b de A: Se aRb, então bRa.
 Exemplo: no conjunto A = {1, 2, 3}, a 
relação R = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)} é 
simétrica.
3. Transitiva: para quaisquer elementos a, 
b e c de A: Se aRb e bRc, então aRc.
Exemplo - no conjunto A = {1, 2, 3}, seja R a 
relação que leva cada elemento em 
números menores que ele:números menores que ele: 
 R = {(2,1), (3,1), (3,2)}
 Observe que 3R2 e 2R1. Logo, 3R1.
Relações de equivalência
 Definição: uma relação binária num 
conjunto A diz-se uma relação de 
equivalência se ela é reflexiva, simétrica 
e transitiva.
 Exemplo - no conjunto dos números 
inteiros, seja R a relação tal que: dados a
e b inteiros, aRb se a soma a+b é par.
Verifica-se que:
1. Se a é um número inteiro, então a + a é 
par, logo, aRa (reflexiva).par, logo, aRa (reflexiva).
2. Se a e b são inteiros e a + b é par, então 
b + a é par. Logo, se aRb, então bRa
(simétrica).
Relações de equivalência
3. Se a + b é par e b + c é par, então ocorre 
uma das duas seguintes situações: 
I. b é par e, portanto, a e c são pares.
II. b é ímpar e, portanto, a e c são ímpares.
 Nos dois casos a + c é soma de dois Nos dois casos, a + c é soma de dois 
números pares ou de dois números 
ímpares, que resulta em par.
 Logo, se aRb e bRc, então aRc
(transitiva).
Conclusão: R é uma relação de 
equivalência.
Interatividade
Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e R a relação que 
leva cada elemento x do conjunto A em 
elementos de A menores que x, assinale a 
afirmação verdadeira.
a) R é apenas reflexiva.
b) R é apenas simétrica.
c) R é apenas transitiva.
d) R é uma relação de equivalência.
e) R é apenas reflexiva e simétrica.
Relações de ordem
Propriedade antissimétrica.
Sejam: 
 A um conjunto não vazio.
 x e y elementos quaisquer de A.
 R uma relação binária em A.
 Se xRy e yRx, então x = y.
 Definição: se uma relação R em um 
conjunto A possui as propriedades 
reflexiva, antissimétrica e transitiva, , ,
então é dita uma relação de ordem. 
Nesse caso, o par (A, R) é dito uma 
estrutura de ordem.
Exemplo
O par (N, x≤ y) é uma estrutura de ordem, 
pois, dados quaisquer x, y e z pertencentes 
a N, tem-se que:
1. x ≤ x.
2. Se x ≤ y e y ≤ x, então x = y.2. Se x ≤ y e y ≤ x, então x y.
3. se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z.
 Além disso, dizemos que, dada a ordem 
(A,R), se todo subconjunto não vazio de 
A tem elemento mínimo, então (A,R) é 
boa ordem É fácil verificar que (N x ≤ y)boa ordem. É fácil verificar que (N, x ≤ y) 
é uma boa ordem.
O conjunto dos números inteiros
 Observe que o conjunto dos números 
inteiros, munido da relação x ≤ y, não é 
uma boa ordem.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
Se tomarmos o subconjunto B de Z:Se tomarmos o subconjunto B de Z:
B = { ..., -12, -11, -10}, verificamos que ele 
não possui elemento mínimo (não existe 
um elemento x de B tal que x seja menor 
que qualquer outro elemento de B). 
Portanto, (Z, x ≤ y) não é uma boa ordem.Portanto, (Z, x ≤ y) não é uma boa ordem.
Mais exemplos (1)
Em um plano α, é fixado um ponto O, sendo 
P e Q pontos quaisquer de α. Verificaremos 
que (α, OP = OQ) é uma estrutura de 
equivalência.
1. PO = OP (reflexiva).
2. Se PO = OQ, então OQ = OP (simétrica).
3. Se OP = OQ e OQ = OS, então OP = OS 
(transitiva).
Mais exemplos (2) 
Seja o conjunto α de todas as retas 
contidas em um determinado plano, dadas 
duas retas r e s de α, definimos que r é 
paralela a s (r//s) se e somente se:
 r = s
ou
 r s = { }
Verificaremos que (α, r//s) é uma estrutura 
de equivalência.

Demonstração do exemplo 2
1. r // r, pois r = r (reflexiva).
2. Se r // s, então s // r (simétrica).
3. Se r // s e s//t, então r // t (transitiva).
 Logo, a relação r // s em α é uma relação 
de equivalênciade equivalência.
Interatividade
O conjuntodos números inteiros (Z) é tal 
que:
a) Qualquer subconjunto de Z possui 
elemento mínimo.
b) Possui a propriedade reflexiva parab) Possui a propriedade reflexiva para 
qualquer relação binária R.
c) Se R é a relação x + y par em Z, então R é 
uma relação de equivalência.
d) Se R é a relação x ≥ y em Z, então R não 
possui a propriedade reflexivapossui a propriedade reflexiva.
e) Se R é a relação x ≥ y em Z, então R 
possui a propriedade simétrica.
ATÉ A PRÓXIMA!