ANÁLISE-REAL-1

Prévia do material em texto

1 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................. 2 
2 O QUE É ANÁLISE REAL ................................................................................ 3 
3 HISTÓRIA DA ANÁLISE REAL ........................................................................ 4 
4 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO ................................................... 9 
5 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS AO COMPLEXOS ...................... 15 
5.1 História do Conjunto Numérico ................................................................ 15 
5.2 Conjunto dos Números Naturais ao Números Complexos ...................... 20 
6 SÍMBOLOS DE PERTINÊNCIA ..................................................................... 21 
7 NÚMEROS INFINITO .................................................................................... 24 
8 CONJUNTOS ABERTOS, CONJUNTOS FECHADOS, UNIÃO E 
INTERCÇÃO DE INTERVALOS ..................................................................................... 27 
8.1 Intervalo Limitado .................................................................................... 27 
8.2 Intervalos Llimitados ................................................................................ 29 
9 INTERVALOS REAIS - UNIÃO E INTERSECÇÃO ........................................ 31 
10 CONJUNTOS COMPACTOS – HISTÓRIA DE GEORG CANTOR ............ 32 
11 EQUAÇÃO EXPONENCIAL ....................................................................... 34 
11.1 Resolução de Equações Exponenciais ................................................ 34 
12 LOGARITMO .............................................................................................. 37 
13 BIBLIOGRAFIA ........................................................................................... 42 
 
 
 
2 
 
1 INTRODUÇÃO 
Prezado aluno! 
 
O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante ao 
da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um aluno 
se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma pergunta, para 
que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é que esse aluno faça 
a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a resposta. No espaço 
virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas poderão ser 
direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em tempo hábil. 
Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa 
disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das 
avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora que lhe 
convier para isso. 
A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida 
e prazos definidos para as atividades. 
 
Bons estudos! 
 
3 
 
2 O QUE É ANÁLISE REAL 
 
Fonte: //juaresdutra.blogspot.com/ 
Análise é o ramo da matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo 
cálculo diferencial e integral, tendo surgido justamente da necessidade de prover 
formulações rigorosas às ideias intuitivas do cálculo. Sendo hoje uma disciplina muito 
mais ampla, tais tópicos são tratados em uma subdivisão chamada análise real. 
Se a Análise surgiu do estudo dos números e funções reais, sua abrangência 
cresceu de forma a estudar os números complexos, bem como espaços mais gerais, 
tais como os espaços métricos, espaços formados e os espaços lineares topológicos. 
Embora seja difícil definir exatamente o que seja análise matemática e delinear 
precisamente seu objeto de estudo, pode-se dizer grosseiramente que a análise se 
dedica ao estudo das propriedades topológicas em estruturas algébricas. 
Em matemática, o conceito de sucessão (português europeu) ou sequência (português 
brasileiro) tem significado similar ao uso comum da palavra, mas recebe uma definição 
precisa. Formalmente falando, uma sequência é uma função cujo domínio é um 
conjunto contável totalmente ordenado. Define-se o tamanho de uma sequência pelo 
número de elementos que esta possuí, podendo existir sequências infinitas ou finitas. 
Análise consiste no exame detalhado sobre determinada matéria ou assunto, 
observando todos os pormenores que formam cada parte de um todo. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Portugu%C3%AAs_europeu
https://pt.wikipedia.org/wiki/Portugu%C3%AAs_brasileiro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Portugu%C3%AAs_brasileiro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_%28matem%C3%A1tica%29
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_cont%C3%A1vel
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ordem_total
 
4 
 
Uma análise é o mesmo que um estudo detalhado sobre algo, podendo ser 
aplicada em diferentes áreas do conhecimento como forma de observar 
minuciosamente determinado tema. 
 
 
Fonte: www.abrilexame.files.wordpress.com 
Do ponto de vista sociológico e artístico, por exemplo, a análise corresponde ao 
comentário crítico e avaliativo que alguém faz sobre certa obra, como filme, livro, peça 
teatral e etc. O objetivo dessa análise é esmiuçar o conteúdo, interpretando as 
informações contidas nas entrelinhas do trabalho. 
3 HISTÓRIA DA ANÁLISE REAL 
Concebemos a análise matemática "não apenas como uma tentativa de fornecer 
rigor e fundamento ao cálculo, mas como um conjunto de objetos histórico-matemáticos 
que criaram necessidades que não existiam, e para elas dispensaram esforços que 
culminaram em uma crise de fundamentos e no estabelecimento de novas concepções. 
A histórico da matemática mostra que as ideias, dúvidas e críticas que foram 
surgindo não devem ser ignoradas diante de uma organização linear da matemática. 
 
5 
 
Ele revela que esse tipo de organização axiomática surge apenas após as disciplinas 
adquirirem maturidade, de forma que a matemática está em constante reorganização. A 
história pode evidenciar que a matemática não se limita a um sistema de regras e 
verdades rígidas, mas é algo humano e envolvente. 
Enquanto dois séculos atrás funções eram pensadas como fórmulas que 
descreviam relações entre duas variáveis envolvendo expressões algébricas (na visão 
de Euler), a definição moderna de função não é tão limitada. Na educação matemática 
é frequente esquecer que o conceito de função foi o resultado de um longo 
encadeamento do pensamento matemático desenvolvido vagarosamente. Ao contrário, 
na escola básica esse conceito é em geral introduzido muito cedo como uma base para 
a introdução de outros conceitos. 
É claro que com essa grande variedade de significados técnicos [infinito 
potencial, infinito atual, infinito ordinal, infinitésimo], que frequentemente possuem 
propriedades diferentes, e mesmo conflitantes, os possíveis significados intuitivos que 
emergem em vários contextos também são variados e conflitantes. De fato, é bastante 
frequente encontrarmos ao longo de pesquisas de natureza cognitiva imagens 
conceituais associadas com infinito. Elas são geralmente transitórias, instáveis e 
conflitantes. 
O conceito matemático de limite é uma noção particularmente difícil, típica da 
natureza de pensamento matemático avançado. Ele ocupa uma posição central que 
permeia a análise matemática toda. 
 
 
Fonte: www.images.comunidades.net 
 
6 
 
Uma das maiores dificuldades no ensino e aprendizagem está não somente em 
sua riqueza e complexidade, mas também na extensão para a qual os aspectos 
cognitivos não podem ser produzidos puramente a partir da definição matemática. A 
diferença entre a definição e o próprio conceito é didaticamente muito importante. 
Ainda, se pensarmos que o ensino não se resume ao acúmulo de conteúdos e 
regras, mas a um conjunto de atitudes críticas em relação ao conhecimento, a história 
se manifesta como um dos mais importantes desafios para professores e alunos de 
matemática. 
Uma análise histórica e epistemológica permiteque professores compreendam 
porque determinado conceito é difícil para o estudante (como, por exemplo, o conceito 
de função, o conceito de limite, mas também frações, operações com zero etc.) e pode 
ajudar na abordagem e desenvolvimento didático. 
Com as seguintes palavras, Poincaré (1908) começou sua palestra no 
quarto Congresso Internacional de Matemática em Roma: "Para prever o futuro 
da matemática, o verdadeiro método é estudar a sua história e o seu estado 
presente". 
 
 
Fonte: www.4.bp.blogspot.com 
 
7 
 
Embora ele próprio nunca tenha se dedicado à história da matemática, a 
partir de sua observação, tanto historiadores quanto pesquisadores puderam 
obter uma orientação metodológica valiosa, nem tanto para satisfazer uma 
profecia improvável sobre o estado futuro da matemática, mas, sobretudo, para 
encontrar na história as origens e motivações das teorias contemporâneas, e 
para achar no presente a exposição mais proveitosa possível dessas teorias. 
Já Félix Klein fez, em sua própria casa, seminários sobre a história da 
matemática para um seleto grupo de participantes. Esses seminários foram publicados 
posteriormente por Courant e Neugebauer são considerados até hoje como uma das 
mais valiosas e compreensíveis a respeito da história da matemática no último século. 
A concepção de história que Poincaré e Klein tinham não é, evidentemente, a 
mesma contida neste texto, que, ao tentar valorizar um aspecto 
histórico/epistemológico, poderia se aproximar de uma abordagem típica da história 
conceitual. No entanto, é importante destacar que, dentro dessa abordagem, temos 
consciência das fragilidades inerentes a ela, muitas delas decorrentes da 
impossibilidade de se recuperar tanto a totalidade dos acontecimentos quanto o próprio 
passado, impossibilitando o despojamento e fazendo com que o nosso relato seja 
apenas um construto pessoal que contém reconstituições de coisas que talvez nunca 
tenham sido construídas como tal. Ademais, as fontes que aqui foram usadas podem 
indicar, àqueles que se sentirem impelidos e motivados a fazê-lo, caminhos de estudos 
mais profundos e essenciais. 
Nessa direção, apresentamos alguns fatos que marcaram a com solicitação de 
certos conceitos, no contexto do movimento chamado de aritmetização da análise, e 
que se constituíram no que hoje chamamos de análise matemática ou análise real, ou 
simplesmente análise. Focamo-nos, para isso, nos eventos ocorridos no decurso do 
século XIX – que representamos simbolicamente como o período compreendido entre a 
publicação do Cours d’Analysede Cauchy, em 1821 e a tese de doutorado de 
Lebesgue, em 1902; obras essas escolhidas por conta da importância que tiveram 
nessa época e têm neste texto. Tomamos essa decisão por considerar que já há 
suficiente material histórico sobre o período anterior acessível em língua portuguesa. 
 
8 
 
Isso não quer dizer que não faremos incursões a certos aspectos do desenvolvimento 
da análise referentes a séculos anteriores, até porque foi essa matemática que 
influenciou, estimulou e serviu de base aos matemáticos que estudaremos. 
 
 
Fonte: www.1.bp.blogspot.com 
O que precedeu o que hoje denominamos de análise foi o desenvolvimento do 
cálculo, que no período de Isaac Newton e Gottfried Leibniz "consistia de um conjunto 
de regras especiais e técnicas para diferenciação e integração, juntamente com a 
geometria de coordenadas desenvolvida desde Descartes". 
Alguns autores consideram que a análise, pensada como um objeto 
independente, começou a se estabelecer em meados do século XVII durante a 
revolução científica, tendo vários nomes de destaque, como Johannes Kepler, Galileu 
Galilei, René Descartes, Pierre de Fermat, Christiaan Huygens, além dos já citados 
Newton e Leibniz, contribuído para sua origem. Além desses, também outros 
matemáticos do mesmo período deram importantes contribuições com trabalhos que 
aplicavam métodos da análise em disciplinas das ciências naturais. Por exemplo, em 
mecânica e dinâmica temos os trabalhos de Leonhard Euler (1736), Jean le Rond 
d’Alembert (1743) e Joseph-Louis Lagrange (1788), em mecânica dos fluidos temos 
Daniel Bernoulli (1738) e em mecânica dos movimentos dos corpos celestes temos 
 
9 
 
Pierre Simon Laplace. Outra teoria que recebeu contribuições com o desenvolvimento 
da análise foi a da probabilidade e estatística, sobretudo com os trabalhos de Jacques 
Bernoulli (1713). 
4 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
 
Fonte: www.i.ytimg.com 
O teorema fundamental do cálculo é a base das duas operações centrais do 
cálculo, diferenciação e integração, que são considerados como inversos um do outro. 
Isto significa que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois 
diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. Este teorema é de importância 
central no cálculo tanto que recebe o nome teorema fundamental para todo o campo de 
estudo. Uma consequência importante disto, às vezes chamada de segundo teorema 
fundamental do cálculo, permite computar integrais utilizando a anti derivada da função 
a ser integrada. 
O teorema fundamental do cálculo estabelece a importante conexão entre o 
Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se 
determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_do_c%C3%A1lculo
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_do_c%C3%A1lculo#Parte_II
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_do_c%C3%A1lculo#Parte_II
https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiderivada
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Integral
 
10 
 
partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, mas 
apenas aparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação. 
Barrow, professor de Newton em Cambridge, descobriu que os dois problemas 
estão intimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e 
integração são processos inversos. Entretanto, foram Newton e Leibniz, 
independentemente, que exploraram essa conexão e desenvolveram o Cálculo. 
 
 
 Fonte: www.imaginariopuro.files.wordpress.com 
Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar 
a área de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular 
a soma de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim usando 
a primitiva da função envolvida. 
Em geral, os cursos de Cálculo começam por um breve estudo dos números 
reais e um curso de Análise Matemática tem início por um estudo bastante completo e 
rigoroso destes números. A razão é simples. No Cálculo e na Análise, estuda-se o 
comportamento de funções e o comportamento de uma função depende dos três 
elementos importantes que a compõem: 
 
 
Domínio, Contradomínio e Lei de Definição 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
https://pt.wikipedia.org/wiki/Professor
https://pt.wikipedia.org/wiki/Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/Leibniz
 
11 
 
 
 
 
Assim, é importante ter clareza sobre as propriedades dos números reais, para 
compreender as funções de uma variável real. Esta compreensão dos números reais 
não é tão simples como parece. O problema começa pelo método de introdução dos 
reais: o método construtivo ou o método axiomático. 
 
 
Fonte: www.hypescience.com 
O interessante é que na ponta inicial do método construtivo também está o 
método axiomático. Na realidade, o método axiomático fundamenta toda teoria 
matemática. Por isso, vamos falar um pouco dele. Compreender como se faz 
matemática é algo vital para um professor de Matemática. Ninguém pode ensinar algo 
que não sabe,que não compreende. 
Equações matemáticas não são apenas úteis – também podem ter uma beleza 
própria. Muitos cientistas admitem ter preferência por uma ou outra fórmula não só por 
causa da função, mas pela sua forma, e as verdades simples e poéticas que contém. 
Algumas equações, como E=mc² de Einstein, roubam as luzes dos holofotes, 
mas existem equações menos famosas que têm mais apelo entre cientistas. 
 
12 
 
E=mc² é uma equação da física moderna utilizada como parte da Teoria ou 
Princípio da Relatividade, desenvolvida pelo físico alemão Albert Einstein. 
A famosa equação determina a relação da transformação da massa de um objeto 
em energia e vice-versa, sendo que "E" é a energia, "m" a massa e "c" é a velocidade 
da luz ao quadrado, considerada a única constante do Universo. 
 
 
 Fonte: www.upload.wikimedia.org 
Sabendo que a velocidade da luz é de aproximadamente 300.000 km/s, a Teoria 
da Relatividade supõe que caso uma massa consiga superar a velocidade da luz, 
conseguiria ultrapassar a barreira do tempo e espaço. 
Em comparação com os atuais padrões tecnológicos, uma "pequena" quantidade 
de massa, viajando no vácuo na velocidade da luz, produziria uma quantidade de 
energia muito "grande". 
A equação acima foi formulada por Albert Einstein como parte da revolucionária 
Teoria Geral da Relatividade, em 1915. A teoria mudou a forma como os cientistas 
entendem a gravidade, ao descrever a força como sendo uma deformação no tecido do 
espaço-tempo. 
A Educação Matemática, área do conhecimento de característica multidisciplinar, 
vem se ocupando há décadas com problemas relacionados ao ensino e aprendizagem 
 
13 
 
da Matemática. Os resultados de pesquisas nessa área, respaldadas em teorias sobre 
o desenvolvimento cognitivo bem como a formação do pensamento, incluindo aí o 
pensamento matemático, foram sendo aceitos pela comunidade científica internacional. 
Essas teorias, em geral referem-se ao desenvolvimento cognitivo e/ou formação 
do pensamento de jovens nas faixas etárias dos alunos da educação básica. Essa é 
numa das razões pela qual a atenção principal dos educadores matemáticos 
inicialmente estivesse voltada a esse nível de ensino. 
 
 
Fonte: www.i0.wp.com 
A Comissão Internacional de Instrução Matemática (ICMI), constituída no 
Congresso da União Internacional de Matemática de Roma em 1908, contava em 1914 
com a adesão de vinte e oito países e já havia recebido uma grande quantidade de 
valiosos relatórios, dos quais os das Ilhas Britânicas formavam dois volumes de 
Relatórios Especiais, publicados pelo Conselho da Educação em 1912. Em 1928, em 
Bolonha, decidiu-se reativar a Comissão que se encontrava praticamente inativa e esse 
ano é visto como sendo o do reinício das atividades, culminando com duas sessões 
durante o Congresso de Matemáticos de Zurique. 
 
14 
 
Ensinar significando uma troca que se baseia na tomada de consciência dos 
conhecimentos e necessidades do estudante, o que possibilita o estabelecimento de 
algum diálogo entre aluno e professor. 
Em relação ao processo de ensino, o professor identifica e tenta aplicar teorias 
de aprendizagens atualizadas. Quanto à Matemática, julga que devem ser feitas 
tentativas a fim de encorajar os alunos a descobrir resultados por eles próprios, 
permitindo que percebam que essa ciência é mais do que um conjunto de 
habilidades/algoritmos cuja reprodução é tradicionalmente solicitada nas avaliações. 
 
 
 Fonte: www.2.bp.blogspot.com 
O estudo identificou mudanças que tiveram profundo impacto no ensino da 
matemática no nível universitário. Uma delas foi o grande aumento do número de 
estudantes no ensino superior. 
Em algumas universidades pesquisadas, embora tenha havido uma duplicação 
do número de alunos matriculados, não houve semelhante aumento do número de 
estudantes em matemática. Por outro lado, houve considerável mudança no rendimento 
médio dos estudantes do primeiro ano. 
 
15 
 
O autor refere que muitos especialistas indicam que essa situação se deu no 
início dos anos 80 e enfatizam sua preocupação com o que veem como uma espiral 
descendente da matemática na comunidade. 
5 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS AO COMPLEXOS 
5.1 História do Conjunto Numérico 
 
Fonte: www.conceitos.com 
Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras mudanças na 
organização de todos os conceitos matemáticos foram necessárias. A concepção dos 
conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor, que 
pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou diversos estudos sobre os 
conjuntos numéricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos. 
A construção de todos os conjuntos numéricos que hoje possuímos parte de 
números inteiros usados apenas para contar até os números complexos que possuem 
vasta aplicabilidade nas engenharias, nas produções químicas, entre outras áreas. 
Definir conjunto é algo tão primitivo que se torna uma tarefa difícil. Entretanto, 
 
16 
 
compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números, enfim, elementos 
com características semelhantes. 
Sendo assim, os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos 
dos números que possuem características semelhantes. Nesta seção, a concepção 
desses conjuntos será abordada, visando à compreensão dos elementos que 
constituem cada um dos conjuntos numéricos. 
Temos então os seguintes conjuntos numéricos: 
 Conjunto dos números Naturais ( ); 
 Conjunto dos números Inteiros ( ); 
 Conjunto dos números Racionais ( ); 
 Conjunto dos números Irracionais ( ); 
 Conjunto dos números Reais ( ); 
 Conjunto dos números Complexos ( ); 
 
 
Fonte: www.lh6.googleusercontent.com 
Iniciamos com o Conjunto dos Números Naturais, onde por volta de 4000 antes 
de Cristo, algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de 
bronze. Aldeias situadas às margens dos rios transformavam-se em cidades. A vida ia 
ficando mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças, sobretudo ao 
 
17 
 
desenvolvimento do comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em 
quantidades superiores às suas necessidades. Com isso, algumas pessoas puderam se 
dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, 
comerciantes e administradores. Como consequência desse desenvolvimento, surgiu a 
escrita, dando o início da História. 
Os egípcios usavam símbolos para representar números, que indicavam 
quantidades. Assim, partindo dessa necessidade, se passou a representar quantidades 
através de símbolos, que no caso dos números naturais, vieram com a finalidade de 
contagem. 
Por volta de 3000 antes de Cristo, um antigo faraó de nome Sesóstris decretou: 
"... reparte-se o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o 
rio levar qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandará funcionários 
examinarem e determinarem por medida, a extensão da perda." (PAVIANI e 
SOUZA) 
O rio Nilo atravessava uma vasta planície. Uma vez por ano, na época das 
cheias, as águas do Nilo subiam muitos metros acima do seu leito normal, inundando 
uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as águas baixavam, deixava 
descoberta uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo. 
Desde a Antiguidade, as águas do Nilo fertilizavam os campos, beneficiando a 
agricultura do Egito, sendo neste vale o grande desenvolvimento da civilização egípcia. 
Quando os funcionários eram chamados, levavam consigo cordas de um 
determinado tamanho. Assim deu-se o surgimento dos números racionais, pois nem 
sempre as medidas tiradas pela corda eram inteiras, tendo que ser a corda dividida em 
pedaços iguais, aparecendo as seguintes expressões: uma corda inteira mais metade, 
e assim sucessivamente. 
Durante muito tempo, os matemáticos acreditavam que qualquer problema 
prático poderia ser resolvido operando somente com números naturais e fracionários.Não sentiam necessidade de nenhum outro tipo de número. 
Por volta de 530 antes de Cristo, existia na Grécia uma espécie de sociedade 
secreta, cujos membros ficaram conhecidos com o nome de pitagóricos. Eram assim 
chamados porque o mestre da sociedade era o famoso filósofo e matemático Pitágoras 
http://matematica-na-veia.blogspot.com/2008/01/histria-das-primeiras-medies-parte-ii.html
http://matematica-na-veia.blogspot.com/2008/02/aprendendo-contar-com-pedras.html
http://matematica-na-veia.blogspot.com/2008/02/aprendendo-contar-com-pedras.html
http://matematica-na-veia.blogspot.com/2008/02/pitgoras-de-samos-em-3-tempos.html
 
18 
 
de Samos. Os Pitagóricos eram grandes estudiosos da Matemática, mas não tinham a 
menor preocupação em obter resultados práticos. 
Pitágoras dizia que tudo era número, ou seja, que qualquer fato da natureza 
podia ser explicado por meio dos números naturais. 
Lidando com números de várias maneiras, os pitagóricos acabaram descobrindo 
propriedades interessantes e curiosas. Segundo Pitágoras, dependendo da soma de 
seus fatores, um número poderia ser perfeito, deficiente ou excessivo, dando início ao 
famoso teorema de Pitágoras e, assim, aos números irracionais. 
Na passagem da Idade Média para a Idade Moderna, os países da Europa 
Ocidental sofreram profundas transformações. Era o grande desenvolvimento do 
comércio e das cidades. A expansão da atividade comercial fez com que os europeus 
procurassem novas terras, nas quais encontrassem novas mercadorias para vender na 
Europa. Paralelamente a essas mudanças econômicas, políticas e sociais houve o 
florescimento da arte, da cultura e das ciências. Essa revolução cultural ficou conhecida 
como Renascimento. 
Em meio a essas grandes mudanças, a Matemática e em geral as Ciências 
Naturais também se desenvolveram. 
A partir do Renascimento o conceito de número evoluiu muito. Pouco a pouco, o 
número foi deixando de ser associado somente à prática pura e simples do cálculo. O 
grande desenvolvimento científico da época do Renascimento exigia uma linguagem 
matemática que pudesse expressar também os fenômenos naturais que estavam sendo 
estudados. Até então, já se conheciam os números naturais, fracionários e os 
irracionais, que os matemáticos chamavam de números reais. 
Cada vez mais era sentida a necessidade de um novo número para enfrentar os 
problemas colocados pelo desenvolvimento científico do Renascimento. Discutia-se 
muito sobre esse novo número. Mas ele era tão difícil de enquadrar-se nos números já 
conhecidos que os matemáticos o chamavam de número absurdo, porém os chineses 
já entendiam que o número poderia ser compreendido por excessos ou faltas, utilizando 
palitos na resolução de problemas. Também os matemáticos da Índia trabalhavam com 
esses "números estranhos". 
http://matematica-na-veia.blogspot.com/2008/02/pitgoras-de-samos-em-3-tempos.html
http://matematica-na-veia.blogspot.com/2008/02/descobrindo-o-teorema-de-pitgoras-em.html
 
19 
 
O grande matemático Brahmagupta, nascido em 598, dizia que os números 
podiam ser entendidos como pertences ou dívidas. 
A partir daí os matemáticos começaram a escolher uma melhor notação para 
expressar o novo número, que não indicaria apenas quantidade, mas também 
representasse o ganho ou a perda, surgindo assim o número com sinal, positivo ou 
negativo, conhecido com número inteiro. 
 
Com base nos estudos desenvolvidos pelos matemáticos da época, surge o 
Conjunto dos Números Reais, onde todos os números vistos acima fazem parte, ou 
seja, todo número natural, racional, irracional e inteiro, é também um número real. 
Por volta de 1500, o pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: 
“O quadrado de um número positivo, bem o como de um número negativo, é 
positivo”. Não existe raiz quadrada de um número negativo. (PAVIANI e 
SOUZA) 
Tudo começou quando Cardano, em 1545, publicou um trabalho e propôs o 
seguinte problema: " Divida 10 em duas partes de modo que seu produto seja igual a 
40". 
Esse problema, dizia ele, era manifestamente impossível, mas mesmo assim, 
tinha com solução: 
5 + √+15 e 5 - √-15 Concluiu, porém, que essas expressões eram 
"verdadeiramente sofísticas e sua manipulação inútil". (PAVIANI e SOUZA) 
 
Cardano já havia deparado com essas raízes ao resolver equações de terceiro 
grau, que resultaram no resultado: 
x = ∛2+√-121+∛2-√-121, se vendo diante de um dilema; sabia ele que √-121 
não existia, mas por outro lado, que 4 era a solução. (PAVIANI e SOUZA) 
Cardano não encontrou explicação, tendo como mérito chamar atenção para o 
problema. 
O passo seguinte foi dado por Bombelli, em 1560. Observando a equação acima, 
ocorreu-lhe que talvez as duas raízes cúbicas fossem expressas do tipo P+√-q e p- √-q 
 
20 
 
e que essas, somadas da maneira usual, dessem 4. O próprio Bombelli achou sua ideia 
louca, e foi a partir dela que conseguiu provar que as raízes cúbicas encontradas por 
Cardano, realmente somadas resultavam 4. 
As raízes quadradas de números negativos continuaram aparecendo no século 
XVI, XVII e XVII, perturbando ainda mais os matemáticos. O mal-estar que esses 
símbolos provocavam está nos nomes que lhe foram atribuídos: "impossíveis", 
"místicos", "fictícios" e "imaginários". 
Foi uma publicação de Gauss, em 1831, que mudou totalmente esse quadro, 
chamando esses números de números complexos. O pensamento de Gauss consistia 
em olhar para os números a e b do símbolo a + b √-1 como coordenadas de um ponto 
em um plano cartesiano, dando uma representação geométrica visível. 
Bastou isso para que a existência dos números complexos ficasse 
definitivamente estabelecida. 
 
5.2 Conjunto dos Números Naturais ao Números Complexos 
Conjunto dos números naturais (N): São os números naturais. 
N= {0,1,2,3,4,5,6, ... } 
Conjunto dos números inteiros (Z): são os números negativos, junto com os 
números naturais. 
Z= {..., −3, −2, −1,0,1,2,3, ...} 
Conjunto dos números racionais (Q): Adição dos números fracionários aos 
conjuntos dos números inteiros. 
Q= {−1, −25, 43, 5, ...} 
Conjunto dos números irracionais (IR) ou (I): O conjunto dos números irracionais 
é composto por todos os números que não são possíveis de se descrever como uma 
fração. É o caso das raízes não exatas, como 2–√, 3–√, 5–√, e do número π, do 
logaritmo neperiano , o número de ouro ϕ (fi), por exemplo. 
I = {… - 1, 234537..., 3,34527..., 5,3456...} 
http://matematica-na-veia.blogspot.com/2007/09/gaussmais-que-um-matemtico.html
http://matematica-na-veia.blogspot.com/2008/03/representao-de-conjuntos.html
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-irracionais/
http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo-natural/
 
21 
 
Este conjunto não está contido em nenhum dos outros três, ou seja, nenhum 
número irracional é racional, inteiro ou natural e nenhum número natural, inteiro ou 
racional é irracional. 
Conjunto dos números reais (R): Da reunião do conjunto dos números racionais 
com os números irracionais obtemos o conjunto dos números reais. Podemos dizer que 
o conjunto dos números reais é formado por todos os números que podem ser 
localizados em uma reta numérica. 
Assim, todo número que é irracional é real, assim como os naturais, inteiros e 
racionais. 
R = {… -4, -3, -2, -1,23, 0, + 1, 1, 2, 3,34527..., 5, 6, 7, ...} 
Conjunto dos números complexos (C): Existem ainda conjuntos maiores, que 
englobam todos. Um exemplo é o conjunto dos números complexos. São números que 
possuem uma parte real e uma arte imaginária, chamada de “i”. São números da forma 
a+bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. 
6 SÍMBOLOS DE PERTINÊNCIA 
 
Fonte: conexaoestudante.com.br 
 
Quando um elemento está em um conjunto, dizemos que ele pertence a esse 
conjunto. Exemplos:http://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais/
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/
 
22 
 
F = {0, 2, 4, 6, 8, ...} 
2 ∈ F - lê-se: 2 pertence a F. 
3 ∉ F - lê-se: 3 não pertence a F. 
Já entre conjuntos, é errado usar a relação de pertinência. Assim, utilizamos as 
relações de inclusão. Exemplos: 
G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} 
F ⊂ G - lê-se: F está contido em G. 
G ⊄ F- lê-se: G não está contido em F 
G ⊃ F - lê-se: G contém F. 
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } 
ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. 
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto 
no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O 
conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o 
conjunto universo. 
 
 
Fonte: www.brasilescola.uol.com.br 
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. 
 
23 
 
A B = {x/x A ou x B} 
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4} 
 
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. 
A B = { x: x A e x B } 
 
Exemplo: Se A= {a, e, i, o, u} e B= {1, 2, 3, 4} então A B=Ø. 
 
Exemplo: Dados os conjuntos A= {-3, -2, -1, 0} e B= { -1, 0, 1}, temos: A B= {-1, 
0}. 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. 
A-B = {x: x A e x B} 
 
Exemplo: Dados os conjuntos A= {-4, -3, -2, -1, 0} e B= { -3, -2, -1, 0, 1}, temos: 
A-B= { -4, -3}. 
 
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a 
diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. 
CAB = A-B = {x: x A e x B} 
 
Exemplo: Dados os conjuntos A= {-4, -3, -2, -1, 0} e B= {-2, -1, 0}, temos: CAB= 
A – B = { -4, -3}. 
 
24 
 
7 NÚMEROS INFINITO 
 
Fonte: www.thumbs.dreamstime.com 
Infinito (do latim infinítu, símbolo: ∞) é um adjetivo que denota algo que não tem 
início nem fim, ou não tem limites, ou que é inumerável. É também um nome que 
representa o que não tem limites. Usado em sentido figurado pode significar Deus, o 
Absoluto ou o Eterno. 
É um conceito usado em vários campos, como a matemática, filosofia e a 
teologia. É representado com o símbolo ∞, e na matemática é uma noção quase-
numérica usada em proposições. Distingue-se entre infinito potencial e infinito atual. 
O infinito pode ser visto de muitas perspectivas. A intuição percebe-o como uma 
espécie de "número" maior do que qualquer outro. Para algumas tribos primitivas é algo 
maior que três, representando "muitos", algo incontável. Para um fotógrafo o infinito 
começa a dez metros da lente, ao passo que para um cosmólogo pode não ser 
suficiente para conter o universo. Para um filósofo é algo que tem a ver com a 
eternidade e a divindade. Mas é na matemática que o conceito tem as suas raízes mais 
profundas, sendo a disciplina que mais contribuiu para a sua compreensão. 
Os números surgem com a necessidade de organizar e ordenar as coisas 
(objetos e ideias) que compõe nosso dia a dia. À medida que sofisticamos as nossas 
relações como pessoas, vamos necessitando cada vez mais de maiores números. Uma 
criança com seu mundo de objetos (mãe, alguns brinquedos e o resto que ainda não 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teologia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cosm%C3%B3logo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3sofo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Eternidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Divindade
 
25 
 
faz sentido) precisará de menos números para organizar seus objetos e ideias do que 
um adulto (principalmente se ele for um economista que em geral lida com números 
gigantescos). Alguns índios brasileiros dentro de sua sabedoria, não precisam de 
muitos números e a verdade é que usam dois algarismos para formar seus únicos três 
números: Um, Um Um = dois (o casal). Vivem bem assim, sem grandes confusões e 
nenhuma aritmética. Esses mesmos índios nos acham muito estranhos e 
desnecessariamente complicados. Nos apelidam de Seres do dinheiro e das horas. 
Vivem sem esses dois conceitos. O tempo é o seu próprio tempo e não faz sentido 
dividi-lo em tantos números... e o dinheiro é (para eles) ridículo e desnecessário, fonte 
apenas de muitos números e aborrecimentos. 
 
 
 Fonte: www.miblog004.files.wordpress.com 
Feliz ou infelizmente, a complexidade intelectual que atingimos através dos 
tempos, exige de nós, a capacidade de articular com uma quantidade de números cada 
vez maior. Se por um lado, isso nos expulsa do paraíso da ingenuidade onde éramos e 
formávamos a natureza e seus mistérios, por outro nos abre também as portas de 
novas percepções. 
Quem são na realidade estes seres de matéria abstrata e irresponsável que 
inventamos sem cessar dia e noite? O que são os números? 
Os números podem ser vistos como símbolos que representem quantidades. 
Foram e serão sempre necessários para contar objetos. Estes são os números naturais, 
1,2,3... 
 
26 
 
Associamos para cada objeto a ser contado um número natural, começando do 1 
e seguindo a sequência crescente em que eles se apresentam. Quando concluímos a 
contagem de um certo conjunto de objetos, o número associado ao último objeto 
contado é o número total de elementos do conjunto, que chamamos a Cardinalidade do 
conjunto. Para saber então, quantos elementos tem um conjunto, basta associar cada 
um de seus elementos a um número natural em sequência e tomar o último natural 
associado. 
1,2,3.. 
 
O maior de todos os números, para uma criança pequena, pode ser o 100 ou o 
1000 ou mesmo10000000000000, mas se nos perguntarmos seriamente sobre o maior 
número natural, não será difícil perceber que ele não existe. Imaginemos que de fato 
ele exista e que tenha um nome e que se chame Longínquo. Ora, se a cada número n 
segue sempre o seu sucessor, que é igual a n+1, também a Longínquo, seguirá 
Longínquo + 1, que destituirá deste a qualidade de último e maior de todos os números. 
 
 
Fonte: www.hypescience.com 
Desta maneira, os naturais são um exemplo claro de um conjunto infinito, isto é, 
que não tem fim, que nunca se acaba. Curioso também, que se perguntarmos aos 
nossos amigos ou parentes o que é infinito e pedirmos exemplos de conjuntos infinitos, 
poderemos escutar que infinito é o número de grãos de areia na praia de Copacabana, 
 
27 
 
ou o número de estrelas no céu, ou mesmo o número de pontos num segmento de reta. 
Analisando esses exemplos podemos entender melhor o que é o infinito. 
8 CONJUNTOS ABERTOS, CONJUNTOS FECHADOS, UNIÃO E INTERCÇÃO DE 
INTERVALOS 
 
Fonte: www.i.ytimg.com 
Pode-se representar o conjunto dos números reais associando cada número x ∈ 
R a um ponto de uma reta r. assim se convencionarmos uma origem O, associando a 
ela o zero, adotamos uma unidade e um sentido positivo para esta reta, teremos aquela 
que denominamos reta orientada. 
 
Seja a e b números reais com a < b. os subconjuntos de R a seguir são 
chamados intervalos. 
8.1 Intervalo Limitado 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_aberto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_fechado
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais/
 
28 
 
 
Fonte: www.blogdoenem.com.br 
Intervalo fechado: Números reais maiores ou iguais a, a menores ou iguais a b. 
 
Intervalo: [a, b] 
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} 
Este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre a e b, inclusive 
a e b. 
Intervalo aberto: Números reais maiores do que a e menores do que b. 
 
Intervalo: ]a, b[ 
Conjunto: {x ∈ R | a < x < b} 
Este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre a e b,não 
incluindo a e b. 
 
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: Números reais maiores ou 
iguais a, a menores do que b. 
 
Intervalo: [a, b[ 
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x < b} 
 
29 
 
Este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre a e b, incluindo 
a e não incluindo b. 
Intervalo fechado à direita e abertos à esquerda: Números reais maiores do 
que a e menores ou iguais a b. 
 
Intervalo: ]a, b] 
Conjunto: {x ∈ R | a < x ≤ b} 
Este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre a e b, não 
incluindo a e incluindo b. 
8.2 Intervalos Llimitados 
 
Fonte: www.hostel.ufabc.edu.br 
Semi reta esquerda, fechada, de origem b: Números reais menores ou iguais a 
b. 
 
Intervalo: ]-∞ ,b] 
Conjunto: {x ∈ R | x ≤ b} 
 
 
30 
 
 
Fonte: www.1.bp.blogspot.com 
Semi reta esquerda, aberta, de origem b: Números reais menores que b. 
 
Intervalo: ]-∞ ,b[ 
Conjunto: {x ∈ R | x< a} 
Semi reta direita, fechada, de origem a: Números reais maiores ou iguais a a. 
 
Intervalo: [a,+∞ [ 
Conjunto: {x ∈ R | x ≥ a} 
 
Semi reta direita, aberta, de origem a: Números reais maiores que a. 
 
Intervalo: ]a, +∞ [ 
Conjunto: {x ∈ R | x>a} 
Reta numérica: Números reais. 
 
Intervalo: ] ∞- ,+∞ [ 
Conjunto: R 
 
31 
 
9 INTERVALOS REAIS - UNIÃO E INTERSECÇÃO 
As operações de União, Interseção e Diferença de intervalos obedecem às 
mesmas definições dadas para operações com conjuntos, sendo que, 
preferencialmente, devem ser feitas através da representação geométrica desses 
intervalos. 
União de Intervalos – É o intervalo formado por todos os elementos que 
pertençam a um dos intervalos ou ao outro intervalo. 
Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [1, 3]; B = [2, 5). A união desses 
intervalos será representada graficamente: 
 
Logo, A ∪ B = [1, 5) 
 
Interseção de Intervalos – É o intervalo formado pelos elementos comuns aos 
dois intervalos. 
Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [2, 5) e B = [3, 6). A interseção 
desses intervalos será representada graficamente: 
 
Logo, A ∩ B = [3, 5) 
 
Interseção de Intervalos (A – B) – É o intervalo formado pelos elementos que 
pertencem ao intervalo A mas que não pertencem ao intervalo B. 
 
32 
 
Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [0, 3] e B = [1,5]. A diferença A – 
B será o intervalo [0, 1). Observe que a extremidade 1 ficou aberta na resposta por 
pertencer ao intervalo B e, pela definição, a diferença A – B deve ser formada apenas 
pelos elementos que estão no intervalo A mas não estão no intervalo B. 
 
Logo, A - B= [0, 1) 
10 CONJUNTOS COMPACTOS – HISTÓRIA DE GEORG CANTOR 
Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor nasceu em São Petersburgo, Rússia, 
em 3 de março de 1845. Filho de Georg Woldemar Cantor e Maria Bohm, foi o primeiro 
dos seis filhos do casal. 
Em 1856, a família Cantor mudou-se para Frankfurt, na Alemanha, em 
decorrência da doença pulmonar que o pai contraíra, exacerbada pelo clima úmido do 
Báltico. Neste período, o jovem Cantor frequentou escolas particulares e, com quinze 
anos, foi admitido no Darmstadt Gymnasium. Em uma carta daqueles primeiros dias no 
liceu, Georg Woldemar escreveu ao filho: 
 
33 
 
 
Fonte: www.upload.wikimedia.org 
“Encerro com estas palavras: seu pai, ou melhor, seus pais e todas as outras 
pessoas da família, tanto na Rússia como na Alemanha e na Dinamarca, têm os 
olhos voltados para você como o mais velho, e esperam que você seja nada 
menos que um Theodor Schaeffer e depois, se Deus quiser, quem sabe um 
astro brilhante no horizonte da ciência. ” 
Theodor Schaeffer era professor de Cantor no Liceu, e aparentemente o pai viu 
nele um modelo para o sucesso do fllho no futuro. Georg Cantor guardara consigo essa 
carta desde os tempos da escola, como se quisesse extrair das palavras do pai a força 
que precisava para enfrentar os difíceis rumos que seguira sua vida. 
Já na adolescência, sentiu-se atraído pela matemática. Em 1862, começou a 
estudar matemática no Instituto Politécnico em Zurique, mas logo conseguiu se 
transferir para a Universidade de Berlim, de mais prestígio. A mudança para Berlim lhe 
ofereceu a oportunidade de ouro de aprender matemática com os mestres; entre seus 
professores estavam Karl Weiertrass, Ernest Eduard Kummer e Leopold Kronecker. 
Embora tenha sobraído em todas as disciplinas, sentiu-se atraído pela teoria dos 
 
34 
 
conjuntos. Em 1867, escreveu uma brilhante dissertação nessa área sobre um 
problema estudado por Gauss. 
Cantor continuou a estudar a teoria dos números gaussianos e fez contribuições 
importantes para a disciplina, as quais foram publicadas em periódicos matemáticos no 
decorrer dos anos. 
Em Halle, Cantor começou o estudo das funções com base nos métodos de 
Weiertrass, que o levou ao conceito de convergência. Ele se envolveu profundamente 
com os métodos de infinito potencial utilizados em matemática desde os gregos 
antigos, depois aperfeiçoados pelos analistas em Berlim. 
Cantor chegou à noção de infinito - infinito real, e não a infinidade potencial de 
limites por séculos utilizadas pelos matemáticos - sem considerar diretamente os 
números, mas sim os conjuntos. Foi por intermédio da ideia de Weiertrass de definir 
números irracionais como limites de sequências racionais que ele chegou a essa linha 
de pensamento. 
Além de ser o primeiro na história a lidar com o infinito verdadeiro, Cantor 
também se tornou conhecido como o pai da teoria dos conjuntos. 
11 EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Para ser considerada equação, uma expressão precisa ter pelo menos uma 
incógnita, que é um número desconhecido representado por uma letra, e uma relação 
de igualdade. Dessa maneira, as equações exponenciais são aquelas que possuem 
pelos menos uma incógnita no expoente e bases positivas diferentes de 1. 
Assim, são exemplos de equações exponenciais: 
4x + 2 + 16x = 8 
16x + 42x = 32 
11.1 Resolução de Equações Exponenciais 
Resolver uma equação é encontrar o valor numérico das incógnitas que 
aparecem nela. Para isso, é preciso ter clareza sobre os seguintes conteúdos: 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-1-o-grau-com-uma-incognita.htm
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressao-algebrica.htm
 
35 
 
Resolução de equações do primeiro grau; 
Propriedades de potências. 
Além disso, existe uma propriedade das equações exponenciais que é 
indispensável para sua resolução: 
ax = ay ↔x = y (a > 0 e a diferente de 1) 
O que essa propriedade garante é que, se duas potências de mesma base são 
iguais, os expoentes dessas potências também são. 
Veja um exemplo: 
3x = 27 
Observe que 27 é igual a 33. Substituindo esse valor na equação, teremos: 
3x = 33 
Note que as bases são iguais. Agora podemos usar a propriedade das equações 
exponenciais e escrever: 
x = 3 
 
Exemplos: 
1º – Resolva a equação: 2x + 4 = 64. 
Solução: 
2x + 4 = 64 
Observe que 64 é uma potência de base 2, pois 64 = 26. Substituindo esse valor 
na equação, teremos: 
2x + 4 = 26 
Usando a propriedade das equações exponenciais, teremos: 
x + 4 = 6 
Para finalizar, basta calcular a equação resultante. 
x = 6 – 4 
x = 2 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/potencias.htm
 
36 
 
 
Fonte: www.slideplayer.com.br 
2º – Calcule o valor de x na equação: 
16x = 1 
4x 
Solução: 
Nesse exemplo, usaremos uma propriedade de potência que permite inverter a 
base que está na forma de fração. Queremos que a incógnita esteja no numerador para 
facilitar os cálculos, então, sabendo que, ao inverter a base de uma fração, invertemos 
também o sinal de seu expoente, podemos reescrever a equação dada da seguinte 
maneira: 
16x = 1 
 4x 
16x = 4– x 
Agora repetimos os procedimentos usados no exemplo anterior para obter: 
42x = 4– x 
2x = – x 
2x + x = 0 
3x = 0 
x = 0 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracao.htm
 
37 
 
3º – Calcule o valor de x na equação: 
(2/5)3x = 25/4Solução: Observe que 25 é o resultado de uma potência de base 5, e 4 é 
resultado de uma potência de base 2. Além disso, 25 está no numerador e o 4 está no 
denominador da segunda fração. A primeira fração está invertida nesse sentido. 
Para inverter uma fração, basta trocar o sinal de seu expoente. Observe: 
(2/5) 3x = 25/4 
(5/2)– 3x = 25/4 
Reescrevendo a segunda fração na forma de potência e aplicando uma das 
propriedades de potências, teremos: 
(5/2)– 3x = (5/2)2 
Observe que as bases são iguais. Agora basta usar a propriedade das equações 
exponenciais para obter: 
– 3x = 2 
x = – 2/3 
12 LOGARITMO 
O logaritmo teve a sua origem no século XVII, no ano de 1614. O conceito foi 
criado por John Napier, o responsável pela elaboração da primeira tábua de logaritmo, 
que era uma tabela com números que apresentava o valor das mantissas (parte 
decimal do logaritmo). Outro estudioso muito importante para a formalização do 
logaritmo foi Joost Burgi. Ele desenvolveu os seus estudos paralelamente aos de 
Napier, mas divulgou os seus resultados tardiamente, pois somente em 1620 que 
publicou suas tábuas. Nessa época, as tábuas de Napier já estavam difundidas por 
todo o continente europeu. 
 
 
38 
 
 
Fonte:www.brasilescola.uol.com.br 
A palavra logaritmo é formada pela junção das palavras gregas lógos e arithmós, 
que significam razão e número, respectivamente. A primeira vez que esse termo 
apareceu na língua portuguesa foi no livro Via Astronômica, no ano de 1677. 
O logaritmo surgiu para facilitar os cálculos relacionados com a trigonometria. A 
ideia inicial era substituir contas mais elaboradas, como divisões por subtrações, 
multiplicação por soma, potenciação por multiplicação e radiciação por divisão 
(expoente fracionário). 
O uso do logaritmo neperiano ou logaritmo natural apresentava algumas 
dificuldades relacionadas com a operacionalização dos cálculos. Isso porque utilizava 
como base 1/e, que é um número irracional e tem valor aproximado de 2,718... 
Houve, então, a necessidade de se ter uma base em que as operações com 
logaritmos fossem realizadas mais facilmente. Por esse motivo, Henry Briggs adaptou a 
base de logaritmos criada por Joost Burgi, tornando-a uma base decimal. 
Formulação do logaritmo: 
O logaritmo nos dias de hoje possui a sua formulação bem definida e 
estruturada, que é dada por: 
Sejam a e b dois números reais positivos (a ≠ 1, b > 0 e a > 0), denomina-se 
logaritmo de a na base b o expoente x (loga b = x), sendo bx = a: 
 
39 
 
logb a = x 
bx = a 
a = logaritmando ou antilogaritmo 
b = base do logarítmo 
x = logaritmo 
 
 
Fonte: www.engenhariae.com.br 
 
Exemplos de cálculos com logaritmos: 
Para entender melhor essa definição, vamos utilizá-la nos exemplos a seguir: 
1) Encontre o valor dos logaritmos: 
a) log3 9 = x 
loga b = x → log3 9 = x 
a = 3 = base 
b = 9 = logaritmando 
x = logaritmo 
Como loga b = x ↔ bx = a, então: 
log3 9 = x ↔ 3x = 9. 
3x = 9 → Fatore o logaritmando 9. 
 
40 
 
A fatoração é: 9 = 3 . 3 = 32 
3X = 32 → Como a base é o número 3 e temos uma igualdade, podemos então 
igualar os expoentes para encontrar o valor de x. 
x = 2 
Substituindo x por 2 no log, temos: 
log3 9 = x → log3 9 = 2 
 
b) log5 125 = x 
loga b = x → log5 125 = x 
a = 5 = base 
b = 125 = logaritmando 
x = logaritmo 
Como loga b = x ↔ bx = a, então: 
log5 125 = x ↔ 5x = 125. 
5x = 125 → Fatore o logaritmando. 
5X = 53 → Como a base é o número 5 e temos uma igualdade, podemos então 
igualar os expoentes para encontrar o valor de x. 
x = 3 
Substituindo x por 3 no log, temos: 
log5 125 = x → log5 125 = 3 
 
 
Fonte: www.image.isu.pub 
 
41 
 
c) log25 (0,2) = x 
loga b = x → log25 0,2 = x 
a = 25 = base 
b = 0,2 = 
2:2
10:2
 =1/5 logaritmando 
x = logaritmo 
Como loga b = x ↔ bx = a, então: 
log25 0,2 = x ↔ 25 x = 0,2 
log25 0,2 = x ↔ 25 x = 1/5 
25𝑥=1/5 → fatore o 25 e revele o expoente de 1/5. 
(52) x = 5-1 → Como a base é o número 5 e temos uma igualdade, podemos 
igualar os expoentes para encontrar o valor de x. 
2x = - 1 
x = -1/2 
Substituindo x por -1/2 no log, temos: 
log25 0,2 = x ↔ log25 0,2 = -1/2 
 
A noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em Matemática, 
resume-se no seguinte princípio: depois de cada número inteiro existe sempre 
um outro. (J. Tannery) 
 
Sem a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos 
maravilhosos da Astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a 
navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade. (Amoroso Costa) 
 
 
42 
 
13 BIBLIOGRAFIA 
ALVES, Marcos Teixeira. O CONJUNTO DE CANTO. Disponível em 
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/119561/Marcos.pdf?sequence=1
Acesso dia 03/07/17. 
BARONI, Rosa Lúcia Sverzut, OTERO-GARCIA, Sílvio César. ASPECTOS DA 
HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA DE CAUCHY A LEBESGUE. Disponível em 
<https://alsafi.ead.unesp.br/bitstream/handle/11449/126211/ISBN9788579836015.pdf?s
equence=1&isAllowed=y> Acesso dia 22/06/17. 
CAMPOS, Leonardo. CRÍTICA | REAL – A HISTÓRIA POR TRÁS DO PLANO. 
Disponível em <http://www.planocritico.com/critica-real-a-historia-por-tras-do-plano/> 
Acesso dia 22/06/17. 
CATTAI, Adriano Pedreira. ÁNALISE REAL. Universidade do Estado da Bahia — 
UNEB Semestre 2009. Disponível em 
<http://www.ebah.com.br/content/abaaabfaiad/introducao-a-analise-real> Acesso dia 
12/06/17. 
FILHO, Benigno Barreto, SILVA, Claudio Xavier. MATEMÁTICA. Volume Único: Ensino 
Médio. São Paulo. Ed. FTD. 2000. 
FRANÇA, Michele Viana Debus de. CONJUNTOS - OPERAÇÕES: RELAÇÕES DE 
PERTINÊNCIA E INCLUSÃO. Disponível em 
 <https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/conjuntos---operacoes-relacoes-
de-pertinencia-e-inclusao.htm> Acesso dia 28/06/17. 
GROSSMANN, cesar. AS 11 MAIS BELAS EQUAÇÕES MATEMÁTICAS. Disponível 
em <http://hypescience.com/as-11-mais-belas-equacoes-matematicas/> Acesso dia 
23/06/17. 
KUBRUSLY, Ricardo S. O TAMANHO DO INFINITO. Disponível em 
<http://www.dmm.im.ufrj.br/~risk/diversos/tamanho.html> Acesso dia 29/06/17. 
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/119561/Marcos.pdf?sequence=1Acesso
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/119561/Marcos.pdf?sequence=1Acesso
http://www.ebah.com.br/content/ABAAABFAIAD/introducao-a-analise-real
https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/conjuntos---operacoes-relacoes-de-pertinencia-e-inclusao.htm
https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/conjuntos---operacoes-relacoes-de-pertinencia-e-inclusao.htm
http://hypescience.com/author/cesar/
http://www.dmm.im.ufrj.br/~risk/diversos/tamanho.html
 
43 
 
ME. Ensino Médio: TEORIA DOS CONJUNTOS. Disponível em 
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm>Acesso dia 
28/06/17. 
MOREIRA, Luiz Paulo. EQUAÇÃO EXPONENCIAL. Brasil Escola. Disponível em < 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-exponencial.htm> Acesso dia 
23/06/17. 
OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. CONJUNTOS NUMÉRICOS. Disponível em 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm> Acesso dia 
23/06/17. 
OLIVEIRA, Naysa. LOGARITMO. Disponível em 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/logaritmo.htm> Acesso dia 03/07/2017. 
PAVIANI, Letícia, SOUZA, Taís Cristina de. CONJUNTOS NUMÉRICOS – HISTÓRIA. 
Disponível em <http://matematica-na-veia.blogspot.com.br/2008/03/conjuntos-numricos-
histria.html> Acesso dia 27/06/17. 
RIBEIRO, Thyago. INTERVALO. Disponível em 
<http://www.infoescola.com/matematica/intervalo/> Acesso dia 03/07/17. 
SÁ, Ilydio. Universidade do estado do rio de janeiro instituto de aplicação Fernando 
Rodrigues da Silveira. REVISÃO: INTERVALOS REAIS. CAp/UERJ – Álgebra – 1ª 
Série do Ensino Médio. Disponível em 
<http://www.magiadamatematica.com/intervalosreais.pdf> Acesso dia 03/07/17. 
SIGNIFICADOS. SIGNIFICADO DE ANÁLISE. Disponível em 
<https://www.significados.com.br/analise/> Acessodia 22/06/17. 
SIGNIFICADO DE E=mc². Disponível em <https://www.significados.com.br/e-mc2/> 
Acesso dia 23/06/17. 
SILVA, Benedito Antonio da. DIFERENTES DIMENSÕES DO ENSINO E 
APRENDIZAGEM DO CÁLCULO. Disponível em 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-exponencial.htm
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/logaritmo.htm
http://matematica-na-veia.blogspot.com.br/2008/03/conjuntos-numricos-histria.html
http://matematica-na-veia.blogspot.com.br/2008/03/conjuntos-numricos-histria.html
http://www.infoescola.com/autor/thyago-ribeiro/28/
http://www.infoescola.com/matematica/intervalo/
http://www.magiadamatematica.com/intervalosreais.pdf
 
44 
 
<https://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/viewFile/7101/5993> Acesso dia 
23/06/17. 
SILVA, Daniel Duarte da. CONJUNTOS NUMÉRICOS. Disponível em 
<http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/> Acesso dia 27/06/17. 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO. Disponível em 
<http://ecalculo.if.usp.br/integrais/teo_fund_calculo/teo_fund_calculo.htm> Acesso dia 
23/06/17. 
WEBER, Olívio A., SODRÉ, Ulysses. ENSINO SUPERIOR: CÁLCULO: NÚMEROS 
REAIS. Disponível em 
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/nreais/nreais.htm> 
Acesso dia 23/06/17. 
http://www.infoescola.com/autor/daniel-duarte-da-silva/3323/
http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/
http://ecalculo.if.usp.br/integrais/teo_fund_calculo/teo_fund_calculo.htm
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/nreais/nreais.htm