Lista de Retas e Planos

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear
Lista de Exercícios: Estudo Analítico de Retas e Planos
Prof. Lilian Caroline Xavier Candido
1. a) Sejam B = (−5, 2, 3) e C = (4,−7,−6). Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e
simétrica para a reta BC. Verifique se D = (3, 1, 4) pertence a essa reta.
b) Dados A = (1, 2, 3) e ~u = (3, 2, 1), escreva equações da reta que contém A e é paralela a ~u, nas
formas vetorial, paramétrica e simétrica. Obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta.
2. Escreva equações paramétricas dos eixos coordenados. Essas equações podem ser colocadas na forma
simétrica?
3. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétricas


x = 1 + λ
y = λ
z = 4 + 2λ
Verifique se os pontos P = (1, 3,−3) e Q = (−3, 4, 12) pertencem à reta.
4. Obtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto (1, 4,−7) e é paralela à reta de equações
paramétricas 

x = 200− λ
y =
√
3− 3λ
z = 0
5. Sejam B = (1, 1, 0) e C = (−1, 0, 1). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto
(3, 3, 3) e é paralela a BC.
6. Escreva equações nas formas paramétrica e simétrica da reta que contém o ponto A = (2, 0,−3) e é
paralela à reta descrita pelas equações 1−x
5
= 3y
4
= z+3
6
.
7. Sejam A = (1, 2, 3) e B = (−2, 3, 0). Escreva equações da reta AB nas formas vetorial, paramétrica
e simétrica e obtenha os pontos da reta que distam 2
√
19 de A.
8. Sejam A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0). Determine o ponto P da reta AB tal que
∥∥∥−−→PB
∥∥∥ = 3
∥∥∥−→PA
∥∥∥.
9. Sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0)+λ(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes
de A e B.
10. Sejam P = (2, 1,−1) e Q = (0,−1, 0). Determine um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo
ABC seja 9, nos casos:
a) A = (0, 3, 0), B = (6, 3, 3)
b) A = (−2, 3, 4), B = (−6,−1, 6)
c) A = (−1, 1, 2), B = (−5,−3, 4)
d) A = (1, 2, 7), B = (−5,−4,−5)
11. Escreva uma equação vetorial e equações paramétricas do plano π, utilizando as informações dadas
em cada caso.
a) π contém A = (1, 2, 0) e é paralelo aos vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (2, 3,−1).
b) π contém A = (1, 1, 0) e B = (1,−1,−1) e é paralelo ao vetor ~v = (2, 1, 0).
c) π contém A = (1, 0, 1) e B = (0, 1,−1) e é paralelo ao segmento de extremidades C = (1, 2, 1)
e D = (0, 1, 0).
d) π contém os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1,−1) e C = (1,−1, 0).
e) π contém os pontos A = (1, 0, 2), B = (−1, 1, 3) e C = (3,−1, 1).
12. Obtenha as equações paramétricas do plano que contém o ponto A = (1, 1, 2) e é paralelo ao plano


x = 1 + λ+ 2µ
y = 2λ+ µ
z = −λ
13. Obtenha equações paramétricas dos planos coordenados.
14. Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso.
a) π contém A = (1, 1, 0) e B = (1,−1,−1) e é paralelo a ~u = (2, 1, 0).
b) π contém A = (1, 0, 1) e B = (0, 1,−1) e é paralelo a CD, sendo C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0).
c) π contém A = (1, 0, 1), B = (2, 1,−1) e C = (1,−1, 0).
d) π contém A = (1, 0, 2), B = (−1, 1, 3) e C = (3,−1, 1).
e) π contém P = (1, 0,−1) e r : x−1
2
= y
3
= 2− z.
f) π contém P = (1,−1, 1) e r : X = (0, 2, 2) + λ(1, 1,−1).
15. Obtenha equações gerais dos planos coordenados.
16. Verifique se o vetor ~u é paralelo ao plano π : 4x− 6y + z − 3 = 0, nos casos:
a) ~u = (−1,−2, 3) b) ~u = (0, 1, 6) c) ~u = (3, 2, 0) d) ~u = (−3, 2, 24)
17. Dadas a equação paramétrica, obtenha uma equação geral do plano:
a)


x = 1 + λ− µ
y = 2λ+ µ
z = 3− µ
b)


x = 1 + λ
y = 2
z = 3− λ+ µ
c)


x = −2 + λ− µ
y = 2λ+ 2µ
z = λ+ µ
d)


x = λ− 3µ
y = λ+ 2µ
z = 3λ− µ
18. Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do plano.
a) 4x+2y−z+5 = 0 b) 5x− y − 1 = 0 c) z − 3 = 0 d) y − z − 2 = 0
19. O plano π1 contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1); o plano π2 contém Q = (−1,−1, 0) e é
paralelo a ~u = (0, 1,−1) e ~v = (1, 0, 1), e o plano π3 tem equaçãoX = (1, 1, 1)+λ(−2, 1, 0)+µ(1, 0, 1).
a) Obtenha equações gerais dos três planos.
b) Mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto e determine-o.
20. Mostre que o ponto P = (4, 1,−1) não pertence à reta r : X = (2, 4, 1) + λ(1,−1, 2) e obtenha uma
equação geral do plano determinado por r e P .
21. Obtenha os pontos de r : X = (1, 1, 1) + λ(2, 0, 1) que pertencem ao plano π, nos casos:
a) π : x− y − z = 0
b) π : x+ 3y − 2z + 1 = 0
c) π : 2x− y − 4z + 3 = 0
d) π é o plano xOz
22. Obtenha os pontos de π1 : X = (1, 0, 0)+λ(2, 1, 1)+µ(0, 0, 1) que pertencem a π2 = x+y+z−1 = 0.
23. Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção.
a) r : X = (1, 1, 0) + λ(1, 2, 3) s : X = (2, 3, 3) + µ(3, 2, 1)
b) r :


x = 1 + 2λ
y = λ
z = −1 + 3λ
s :


x = −1 + 4λ
y = −1 + 2λ
z = −2 + 6λ
c) r :


x = 2− 4λ
y = 4 + 5λ
z = 11
s : x
2
= y−1−2 = z
d) r : x−2
3
= y+2
4
= z s : x
4
= y
2
= z−3
2
24. Mostre que as retas r e s são concorrentes, determine o ponto comum e obtenha uma equação geral
do plano determinado por elas.
a) r :


x = λ
y = −λ
z = 1 + 4λ
s : x−1
3
= y−5
3
= 2+z
5
b) r :


x = 2− 2λ
y = 4 + λ
z = −3λ
s :


x = 1 + λ
y = −2λ
z = 2λ
c) r : x−3
2
= y−6
2
= z − 1 s : x
2
= y
8
= z+4
8
25. Obtenha a interseção da reta r com o plano π.
a) r : X = (−1,−1, 0) + λ(1,−1,−1) π : x+ y + z + 1 = 0
b) r : X = (−1,−1, 1) + λ(1,−1, 0) π : x+ y + z + 1 = 0
c) r : x− 3 = y − 2 = z+1
2
π : x+ 2y − z = 10
d) r : X = (−1,−1, 0) + λ(1,−1, 0) π : 2x+ 2y + z + 1 = 10
e) r :


x = 2λ
y = λ
z = 1− 3λ
π :


x = 1 + λ
y = −3 + µ
z = 1 + λ+ µ
26. Determine a interseção dos planos π1 e π2. Quando se tratar de uma reta, descreva-a por equações
paramétricas.
a) π1 : x+ 2y − z − 1 = 0 π2 : 2x+ y − z = 1
b) π1 : z − 1 = 0 π2 : y − 2x+ 2 = 0
c) π1 : x− y = 1− 3z π2 : 6z − 2y = 2− 2x
d) π1 : 3x− 4y + 2z = 4 π2 : −15x+ 20y − 10z = 9
27. Obtenha uma equação vetorial da interseção dos planos π1 e π2, se esta não for vazia.
a) π1 : X = (1,−2, 0) + λ(1, 0,−1) + µ(0, 0,−1) π2 : X = (1, 0, 3) + λ(1, 2, 0) + µ(−1, 1,−1)
b) π1 : X = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 0) + µ(1, 0, 1) π2 : X = (1,−1,−2) + λ(1, 0, 1) + µ(0, 1, 1)
c) π1 : X = (4, 4,−2) + λ(2, 2,−1) + µ(0, 1, 4) π2 : X = (−4,−2, 10) + λ(4, 5, 2) + µ(6, 8, 5)
d) π1 : X = (1, 0, 0) + λ(0, 1, 1) + µ(1, 2, 1) π2 : X = (0, 0, 0) + λ(0, 3, 0) + µ(−2,−1,−1)
28. Estude a posição relativa das retas r e s. Se r e s forem paralelas ou concorrentes, obtenha uma
equação geral do plano determinado por elas; se forem reversas, obtenha uma equação geral do plano
que contém r e é paralelo a s.
a) r : x+1
2
= y
3
= z+1
2
s : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0)
b) r : X = (8, 1, 9) + λ(2,−1, 3) s : X = (3,−4, 4) + λ(1,−2, 2)
c) r : x−1
3
= y−5
3
= z+2
5
s : x = −y = z−1
4
d) r : x+ 3 = 2y−4
4
= z−1
3
s : X = (0, 2, 2) + λ(1, 1,−1)
29. Sejam r : X = (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1,−1) + λ(1,m, 2m). Estude, segundo os valores de
m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado
por elas.
30. Estude, segundo os valores de m e n, a posição relativa das retas r e s. Obtenha, quando for o caso,
uma equação geral do plano determinado por elas.
r : X = (1,m, 0) + λ(1, 2, 1) s :
{
x = z − 2
y = nz − 1
31. Mostre que as retas r e s determinam um plano π e obtenha uma equação geral de π.
a) r : x− 1 = y = 2z s : x− 1 = y = z b) r : x−1
2
= y−3
3
= z
4
s : x
2
= y
3
= z−4
4
32. Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P ..
a) r : X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1) π : x− y − z = 2
b) r : x−1
2
= y = z π : X = (3,0, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(2, 2, 0)
c) r : X = (0, 0, 0) + λ(1, 4, 1) π : X = (1,−1, 1) + λ(0, 1, 2) + µ(1,−1, 0)
d) r : X = x+2
3
= y − 1 = z+3
3
π : 3x− 6y − z = 0
33. Calcule m para que r seja paralela a π.
r : X = (1, 1, 1) + λ(2,m, 1) π : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0) + µ(1, 0, 1)
34. Calcule m e n para que r esteja contida em π.
a) r : X = (n, 2, 0) + λ(2,m, 1) π : x− 3y + z = 1
b) r : X = (m, 3, n) + λ(1, 1, n) π : nx− ny +mz = 1
35. Para que valores de m a reta r : x−1
m
= y
2
= z
m
é transversal ao plano π : x+my + z = 0?
36. Sejam r : X = (n, 2, 0)+λ(2,m, n) e π : nx− 3y+ z = 1. Usando, em cada caso, a informação dada,
obtenha condições sobre m e n.
a) r e π são paralelos; b) r e π são transversais; c) r está contida em π.
37. A reta t é paralela a xOz, está contida em π : x+ 2y − z = 2, e é concorrente com s. Obtenha uma
equação vetorial de t, nos casos:
a) s : X = (2, 1, 1) + λ(1, 0, 2) b) s : X = (2, 1, 1) + λ(0, 1, 1)
38. Estude a posição relativa dos planos π1 e π2.
a) π1 : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1) + µ(−1, 2, 1) π2 : X = (1, 0, 0) + λ(1,−1, 0) + µ(−1,−1,−2)
b) π1 : X = (4, 2, 4) + λ(1, 1, 2) + µ(3, 3, 1) π2 : X = (3, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 1, 4)
c) π1 : 2x− y + 2z − 1 = 0 π2 : 4x− 2y + 4z = 0
d) π1 : x− y + 2z − 2 = 0 π2 : X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, 3) + µ(−1, 1, 1)
39. Calcule m para que os planos π1 : X = (1, 1, 0) + λ(m, 1, 1) + µ(1, 1,m) e π2 : 2x+ 3y + 2z + n = 0
sejam paralelos distintos, nos casos:
a) n = −5 b) n = 1
40. Mostre que os planos
π1 :


x = −λ+ 2µ
y = mλ
z = λ+ µ
π2 :


x = 1 +mλ+ µ
y = 2 + λ
z = 3 +mµ
são transversais, qualquer que seja o número real m.
41. Estude a posição relativa dos planos π1 : 2x+y+3z+1 = 0e π2 : X = (1, 1, 1)+λ(1, 1, 0)+µ(2,−1,m).
42. Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares.
a) r : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) s : X = (2, 4, 4) + λ(−1, 1,−1)
b) r : x+ 3 = y = z
3
s : x−4
2
= 4−y−1 = −z
c) r : x−1
2
= y−3
5
= z
7
s : X = (1, 3, 0) + λ(0,−7, 5)
d) r : X = (0, 1, 0) + λ(3, 1, 4) s : X = (−1, 1, 0) + λ(1, 0, 1)
e) r : X = (2,−5, 1) + λ(3,−2,−1) s : x−4
2
= y−2
3
= z+4−5
43. Sejam r : X = (1, 1, 1) + λ(1, 1, 1) e s : X = (1, 2, 0) + λ(2, 3,m). Verifique se existe algum valor de
m tal que r e s sejam ortogonais ou perpendiculares.
44. Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:
a) π contém A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 3)
b) π : x− 2y + 4z + 1 = 0
c) π : X = (1, 2, 0) + λ(1,−1, 1) + µ(0, 1,−2)
45. Dados π1 : X = (1,−2, 0) + λ(1, 0,−1) + µ(0, 0,−1) e π2 : X = (1, 0, 3) + λ(1, 2, 0) + µ(−1, 1,−1),
obtenha uma equação vetorial de π1 ∩ π2.
46. Verifique se r e π são perpendiculares:
a) r : X = (0, 0, 4) + λ(1,−1, 1) π : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) + µ(1, 0, 1)
b) r : X = (3, 1, 4) + λ(−1, 0, 1) π : X = (1, 1, 1) + λ(0, 2, 0) + µ(1, 1, 1)
c) r : X = (1, 1, 0) + λ(3,−3, 1) π : 6x− 6y + 2z − 1 = 0
47. Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto P e é perpendicular ao plano π.
a) P = (1, 3, 7), π : 2x− y + z = 6
b) P = (1,−1, 0), π : X = (1,−1, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1)
c) P = (1, 2, 3), π : 2x+ y − z = 2
d) P = (0, 0, 0), π : X = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 1) + µ(−1, 1, 0)
48. Obtenha uma equação geral do plano π que contém o ponto P e é perpendicular à reta r.
a) P = (0, 1,−1) r : X = (0, 0, 0) + λ(1,−1, 1)
b) P = (0, 0, 0) r contém A = (1,−1, 1) e B = (−1, 1,−1)
49. Verifique se π1 e π2 são perpendiculares:
a) π1 : X = (1,−3, 4) + λ(1, 0, 3) + µ(0, 1, 3) π2 : X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 6) + µ(1,−1, 0)
b) π1 : X = (1, 1, 1) + λ(−1, 0,−1) + µ(4, 1, 1) π2 : X = (3, 1, 1) + λ(1,−3,−1) + µ(3, 1, 0)
c) π1 : X = (4, 3, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(3, 1, 0) π2 : y − 3z = 0
d) π1 : x+ y − z − 2 = 0 π2 : 4x− 2y + 2z = 0
50. Estude a posição relativa dos planos π1 : 2x+y+3z+1 = 0 e π2 : X = (1, 1, 1)+λ(1, 1, 0)+µ(2,−1,m)
e verifique se existe algum valor de m para o qual π1 e π2 sejam perpendiculares.
51. Obtenha a media angular em radianos entre a reta r e o plano π.
a) r : x = y = z π : z = 0
b) r : X = (0, 0, 1) + λ(−1, 1, 0) π : 3x+ 4y = 0
c) r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1,−2) π : x+ y − z − 1 = 0
52. Obtenha um vetor diretor da reta que é paralela ao plano π : x + y + z = 0 e forma ângulo de 45o
com o plano π1 : x− y = 0.
53. Calcule a medida angular entre os planos π1 e π2.
a) π1 : 2x+ y − z − 1 = 0 π2 : x− y + 3z − 10 = 0
b) π1 : X = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 0, 0) π2 : x+ y + z = 0
c) π1 : X = (0, 0, 0) + λ(1, 0, 0) + µ(1, 1, 1) π2 : X = (1, 0, 0) + λ(−1, 2, 0) + µ(0, 1, 0)
54. Calcule a distância entre os pontos P e Q, nos casos:
a) P = (0,−1, 0), Q = (−1, 1, 0) b) P = (−1,−3, 4), Q = (1, 2,−8)
55. Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B.
a) r : x− 1 = 2y = z A(1, 1, 0) B(0, 1, 1)
b) r : X = (0, 0, 4) + λ(4, 2,−3) A(2, 2, 5) B(0, 0, 1)
c) r : X = (2, 3,−3) + λ(1, 1, 1) A(1, 1, 0) B(2, 2, 4)
56. Calcule a distância do ponto P à reta r.
a) P = (0,−1, 0), r : x = 2y − 3 = 2z − 1
b) P = (1, 0, 1), r : x = 2y = 3z
c) P = (1,−1, 4), r : x−2
4
= y−3 =
1−z
2
d) P = (−2, 0, 1), r : X = (1,−2, 0) + λ(3, 2, 1)
57. Obtenha os pontos da interseção dos planos π1 : x+ y = 2 e π2 : x = y + z que distam
√
14
3
da reta
s : x = y = z + 1.
58. Calcule a distância do ponto P ao plano π.
a) P = (0, 0,−6) π : x− 2y − 2z − 6 = 0
b) P =
(
1, 1, 15
6
)
π : 4x− 6y + 12z + 21 = 0
c) P = (9, 2,−2) π : X = (0,−5, 0) + λ (0, 5
12
, 1
)
+ µ(1, 0, 0)
d) P = (1, 1, 1) π : 2x− y + 2z − 3 = 0
59. Determine os pontos da reta r que equidistam dos planos π1 e π2.
a) r : X = (0, 1, 1) + λ(1, 1, 2) π1 : x+ 2y − z − 3 = 0 π2 : x− y + 2z = 1
b) r : x− 1 = 2y = z π1 : 2x− 3y − 4z − 3 = 0 π2 : 4x− 3y − 2z + 3 = 0
60. Calcule a distância entre as retas r e s.
a) r : x+4
3
= y
4
= z+5−2 s : X = (21,−5, 2) + λ(6,−4,−1)
b) r : x−1−2 = 2y = z s : X = (0, 0, 2) + λ
(−2, 1
2
, 1
)
c) r : x = y−3
2
= z − 2 s : x− 3 = y+1
2
= z − 2
61. Calcule a distância entre a reta r e o plano π.
a) r : X = (1, 9, 4) + λ(3, 3, 3) π : X = (5, 7, 9) + λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0)
b) r : x = y − 1 = z + 3 π : 2x+ y − 3z − 10 = 0
c) r é o eixo das abcissas; π : y + z =
√
2
62. Calcule a distância entre os planos π1 e π2.
a) π1 : 2x− y + 2z + 9 = 0 π2 : 4x− 2y + 4z − 21 = 0
b) π1 : x+ y + z = 0 π2 : x+ y + z + 2 = 0
c) π1 : x+ y + z = 52 π2 : X = (2, 1, 2) + λ(−1, 0, 3) + µ(1, 1, 0)
d) π1 : x+ y + z = 0 π2 : 2x+ y + z + 2 = 0
e) π1 : x+ y + z = 52 π2 : X = (2, 0, 0) + λ(−1, 0, 1) + µ(−1, 1, 0)
63. Representar graficamente os planos de equações:
a) x+ y − 3 = 0
b) z = −2
c) 2y + 3z − 6 = 0
d) 3x+ 4y + 2z − 12 = 0
64. Seja o paralelepípedo de dimensões 2, 3 e 4, representado a seguir:
x
y
z
G
FE
D
C B
A
Determinar:
a) as equações da reta que contém o segmento AF ;
b) as equações da reta que contém o segmento AB;
c) as equações da reta que contém o segmento EF ;
d) as equações da reta que contém o segmento AC;
e) as equações da reta que passa pelos pontos O e F ;
f) as equações paramétricas da reta que contém o segmento OA;
g) a equação do plano que contém a face ABCD;
h) a equação do plano que contém a face ABGF ;
65. O plano π : x + y − z − 2 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular a área
do triângulo ABC.
66. Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x+2y−4z−12 = 0 e pelos planos coordenados.
Respostas
1. a) Forma vetorial: X = (4,−7,−6) + λ(1,−1,−1)
Forma paramétrica:


x = 4− λ
y = −7 + λ
z = −6 + λ
Forma simétrica: x−4−1 =
y+7
1
= z+8
1
D não pertence à reta
b) Forma vetorial: X = (1, 2, 3) + λ(3, 2, 1)
Forma paramétrica:


x = 1 + 3λ
y = 2 + 2λ
z = 3 + λ
Forma simétrica: x−1
3
= y−2
2
= z−3
1
Vetores diretores unitários: ± (3,2,1)√
142. Ox :


x = λ
y = 0
z = 0
Oy :


x = 0
y = λ
z = 0
Oz :


x = 0
y = 0
z = λ
3. Vetores diretores: (1, 1, 2) e (−1,−1,−2). P não. Q não.
4.


x = 1− λ
y = 4− 3λ
z = −7
5.


x = 3 + 2λ
y = 3 + λ
z = 3− λ
6. Forma paramétrica:


x = 2− 15λ
y = 4λ
z = −3 + 18λ
Forma simétrica: x−2−15 =
y
4
= z+3
18
7. Forma vetorial: X = (1, 2, 3) + λ(−3, 1,−3)
Forma paramétrica:


x = 1− 3λ
y = 2 + λ
z = 3− 3λ
Forma simétrica: x−1−3 = y − 2 = z−3−3
Os pontos são (7, 0, 9) e (−5, 4,−3)
8.
(
3
4
, 7
4
, 15
4
)
ou
(
3
2
, 5
2
, 15
2
)
9. (1, 0, 0)
10. a) (2, 1,−1) ou (22
9
, 13
9
,−11
9
)
b) Não existe C
c) Qualquer ponto da reta PQ é solução.
d) Não existe C
11. a) Forma vetorial: X = (1, 2, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(2, 3,−1)
Forma paramétrica:


x = 1 + λ+ 2µ
y = 2 + λ+ 2µ
z = −µ
b) Forma vetorial: X = (1, 1, 0) + λ(0, 2, 1) + µ(2, 1, 0)
Forma paramétrica:


x = 1 + 2µ
y = 1 + 2λ+ µ
z = λ
c) Forma vetorial: X = (1, 0, 1) + λ(1,−1, 2) + µ(1, 1, 1)
Forma paramétrica:


x = 1 + λ+ µ
y = −λ+ µ
z = 1 + 2λ+ µ
d) Forma vetorial: X = (1,−1, 0) + λ(−1,−2, 1) + µ(0, 1, 1)
Forma paramétrica:


x = 1− λ
y = −1− 2λ+ µ
z = λ+ µ
e) π não está determinado
12.


x = 1 + λ+ 2µ
y = 1 + 2λ+ µ
z = 2− λ
13. Oxy :


x = λ
y = µ
z = 0
Oxz :


x = λ
y = 0
z = µ
Oyz :


x = 0
y = λ
z = µ
14. a) x− 2y + 4z + 1 = 0
b) 3x− y − 2z − 1 = 0
c) 3x− y + z − 4 = 0
d) o plano não está determinado
e) 3x− 2y − 3 = 0
f) x+ z − 2 = 0
15. Oxy : z = 0 Oxz : y = 0 Oyz : x = 0
16. a)Não b)Sim c)Sim d)Sim
17. a) 2x−y−3z+7 = 0 b) y − 2 = 0 c) y − 2z = 0 d) 7x+ 8y − 5z = 0
18. a)


x = λ
y = µ
z = 5 + 4λ+ 2µ
b)


x = λ
y = −1 + 5λ
z = µ
c)


x = λ
y = µ
z = 3
d)


x = λ
y = 2 + λ
z = µ
19. a) π1 : x+ y + z − 1 = 0; π2 : x− y − z = 0; π3 : x+ 2y − z − 2 = 0
b)
(
1
2
, 2
3
,−1
6
)
20. 8x+ 6y − z − 39 = 0
21. a) (3, 1, 2)
b) Não existem
c) Todos os pontos de r
d) Não existem
22. São os pontos da reta r : X = (1, 0, 0) + λ(2, 1,−3)
23. a) Concorrentes em (2, 3, 3)
b) Não são concorrentes.
c) Concorrentes em (22,−21, 11)
d) Não são concorrentes
24. a) (−2, 2, 7) − 17x+ 7y + 6z − 6 = 0
b) (−2, 6,−6) − 4x+ y + 3z + 4 = 0
c) (1, 4, 0) 4x− 7y + 6z + 24 = 0
25. a) {(−2, 0, 1)}
b) É a reta r
c) {(5, 4, 3)}
d) É o conjunto vazio
e)
{(−2
3
,−1
3
, 2
)}
26. a)


x = λ
y = λ
z = −1 + 3λ
b)


x = λ
y = −2 + 2λ
z = 1
c) A interseção é o plano π1 (igual a π2)
d) A interseção é vazia (planos paralelos, distintos)
27. a) X = (3,−1, 5) + λ(3, 0, 2)
b) A interseção é vazia
c) A interseção é o próprio plano π1 (igual a π2)
d) X = (4, 5, 3) + λ(2, 3, 1)
28. a) Reversas. 4x− 2y − z + 3 = 0
b) Concorrentes. 4x− y − 3z − 4 = 0
c) Concorrentes. 17x− 7y − 6z + 6 = 0
d) Reversas. 5x− 4y + z + 22 = 0
29. Se m = 2
3
as retas são concorrentes e determinam o plano de equação 2x− y − z = 0. Se m 6= 2
3
as
retas são reversas.
30. Se n = 2 as retas são paralelas distintas para todo m e determinam o plano π : (m+1)x− 3y+ (5−
m)z + 2m− 1 = 0
31. a) x− y − 1 = 0; r e s são concorrentes em P = (1, 0, 0)
b) 8x− 4y − z + 4 = 0; r e s são paralelas distintas
32. a) r e π são transversais; P (1, 0,−1)
b) r é paralela a π
c) r é transversal a π; P
(−1
9
,−4
9
,−1
9
)
d) r é paralela a π
33. 2
34. a) m = 1, n = 7 b) m = 0, n = −1
3
35. Para qualquer valor não-nulo
36. a) m = n 6= ±√7 b) m 6= n c) m = n = ±√7
37. a) X = (3, 1, 3) + λ(1, 0, 1) b) Não existe a reta t
38. a) iguais b) transversais c) paralelos distintos d) transversais
39. a) Não existe m; b) −5
2
40.
41. Os planos são transversais, qualquer que seja m.
42. a) Perpendiculares
b) Perpendiculares
c) Perpendiculares
d) Não são ortogonais
e) Não são ortogonais
43. As retas são ortogonais se m = −5. Não existe m tal que sejam perpendiculares.
44. a) (1, 0, 0) b) (1,−2, 4) c) (1, 2, 1)
45. X = (0,−2, 3) + λ(3, 0, 2)
46. a) Não b) Sim c) Sim
47. a) X = (1, 3, 7) + λ(2,−1, 1)
b) X = (1,−1, 0) + λ(−1, 0, 1)
c) X = (1, 2, 3) + λ(2, 1,−1)
d) X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 0)
48. a) x− y + z + 2 = 0 b) x− y + z = 0
49. a) Não b) Sim c) Sim d) Sim
50. Os planos são transversais, qualquer que seja m. Os planos são perpendiculares se, e somente se,
m = 9.
51. a) arcsen
(√
3
3
)
b) arcsen
√
2
10
c) arcsen 2
√
2
3
52. (−2 +√3, 1, 1−√3) e (−2−√3, 1, 1 +√3)
53. a) arccos
(
2√
66
)
b) arccos 1√
3
c) pi
4
54. a)
√
5; b)
√
173
55. a) Não existem tais pontos
b) Qualquer ponto de r é solução
c) (5, 6, 0)
56. a)
√
5; b)
√
34
7
; c)
√
270
29
; d)3
√
10
7
57. (2, 0, 2) e (0, 2,−2)
58. a)2; b)7
2
; c)94
13
; d)0
59. a)
(
2
5
, 7
5
, 9
5
)
e
(−2
3
, 1
3
,−1
3
)
b) (3, 1, 2) e (−1,−1,−2)
60. a)13; b)
√
41
21
; c)5
√
30
6
61. a)0; b)0; c)1
62. a)13
2
; b) 2√
3
; c)0; d)0; e) 1
2
√
3
63.
64. a)
{
x = 2
y = 4
b)
{
y = 4
z = 3
c)
{
x = 2
z = 0
d)


x = 2t
y = 4t
z = 3
e)


x = 2t
y = 4t
z = 0
f)


x = 2t
y = 4t
z = 3t
g) z = 3
h) y = 4
65. 2
√
3
66. 12