Lista_P3_GABARITO

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GABARITO – GAAL – LISTA P3 
1. Retas 
1) a)Sejam B=(−5,2,3) e C=(4,−7,−6).Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e 
simétrica para a reta BC. Verifique se D = (3, 1, 4) pertence a essa reta. 
 
Respostas:
 
2) Obtenha as equações paramétricas da reta que contém o ponto (1, 4,−7) e é paralela à 
reta de equações paramétricas 
 
x=1-2t 
y=4-3t 
z=-7 
 
3) Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica da reta que contém o ponto 
A = (2, 0, −3) e é paralela à reta descrita pelas equações (1 − x)/5 = 3y/4 = (z + 3)/6. 
 
 
4) Escreva equações na forma simétrica da reta que contém o ponto A = (2, 0, −3) e o ponto 
médio do segmento de extremidades (1, 3, 5) e (3, −3, 1). 
 
R: x=2;y=0; (z-3)/6=t 
 
 
5) Sejam A = (3, 6, −7), B = (−5, 2, 3) e C = (4, −7, −6). a) verifique que A, B e C são vértices 
de um triângulo. b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa 
ao vértice C. 
 
6)Dados os pontos A = (0, 0, 1), B =(1,2,1) e C=(1,0,1).Obtenha equações paramétricas das 
retas que contém a bissetriz interna e as externas do triângulo ABC relativa ao vértice C. 
 
6). r1 interno r2 externo 
 
 
 
7) Dados os pontos A = (1,4,0), B=(2,1,−1) e C=(1,2,2). Verifique que esses pontos são 
vértices de um triângulo e escreva uma equação vetorial da reta que contém a altura relativa 
ao vértice B. 
 
 
 
8) Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica da retas que contém o 
ponto P = (−1, 3, 1) e é perpendicular à retar: (x−1)/2=(y−1)/4=z. (Retas perpendiculares se 
intersectam em exatamente um ponto.) 
 
 R: 
(x,y,z)=(-1,3,1)+t(-26,11,8) 
(x+1)/-26=(y-3)/11=(z-1)/13 
 x=-1-26t 
s: y=3+11t 
 z=1+8t 
 
9) Dados as retas r : X = (0, 1, 0) + λ(1, 0, 0) e s : (−1, 2, −7) + λ(2, 1, −3), obtenha uma 
equação vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a �⃗� = (1, −5, −1). 
 
 
10) Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém o ponto P=(2,−1,1) e é reversa com 
as retas r : X = (1, 1, 4) + λ(2, 1, −1) e s: (0, 3, 1) + λ(1, 4, 2). 
 
 
11) Verifique se as retas r : X = (1, 1, 1) + λ(2, 1, −3) es : X = (0, 1, 0) + λ(−1, 2, 0) são 
ortogonais. Caso sejam, verifique se são perpendiculares. 
 
 
12) Para m=-5 as retas são ortogonais; no entanto como os 3 vetores são L.I., por 
consequência não são coplanares e portanto, as retas r e s são reversas e não 
perpendiculares. 
 
13) Obtenha equações da retat perpendicular comum às retasr : X = (4, 3, 3)+λ(2,−1,3) e s: 
2 − 2x = y = −z. 
 
 
 
14) Obtenha equações na forma simétrica da reta que contém o ponto P = (0, 0, 0) e é 
perpendicular ao plano π : X = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 1) + µ(−1, 1, 0). 
R: x=y; z=0 
 
15) Dados os pontos A = (2, 4, -1), B = (6, 2, 5) e C = (0, 5, -4). Verifique que esses pontos 
são colineares e dê a equação reduzida da reta. 
R: São colineares 
Eq. reduzida: x=2y+10 
 z=-3y+11 
 
16) Fazendo o produto misto formado pelos 3 vetores (2 vetores direcionais) e o vetor da reta 
formada pelos pontos entre as retas, percebe-se que é diferente de zero, portanto, são L.I. 
Consequentemente estes vetores não são coplanares, ou seja, que geram um espaço e 
portanto, as retas não são concorrentes e sim reversas. Além é claro de não serem 
coincidentes, paralelas, nem tampouco ortogonais. 
 
17) 
a) As retas são paralelas e coincidentes 
b) As retas são paralelas. 
c) As retas não são paralelas ou coincidentes, não são ortogonais, não se interceptam, 
ou seja, também não são concorrentes. Desta forma, são reversas. 
 
18) 
a) As retas não são paralelas ou coincidentes, não são ortogonais. São reversas. 
b) As retas não são paralelas ou coincidentes, não são ortogonais e pelo produto misto 
(L.D) são coplanares e logo, concorrentes e se interceptam no ponto P=(3,2,2) 
c) As retas são paralelas, mas não coincidentes. 
 
19) 
θ=arcos((2√5)/5)=26,56º 
 
20) 
θ=arcos((5√14)/21)=27,01º 
 
21) a) As Equações gerais dos planos são: 
α: x+y+z-6=0 
β: -2x-z+5=0 
 
b) Os ângulos entre α e β: 
θ=arcos(3/√15)=39,23º 
 
c) A reta que passa por A e é perpendicular à intersecção do plano α com o plano xy (reta 
laranja) 
X=(1,2,3)+t(1,1,-2) 
 
d) Mostre que o ponto B pertence à reta encontrada no item anterior 
(2,3,1)=(1+t, 2+t,3-2t) 
Como para t=1 se chega ao ponto pretendido tem-se que o ponto pertence a reta. 
 
 
2. PLANOS 
1) As equações vetoriais são: 
 
a) 𝜋: 𝑋 = (1,2,0) + 𝑝(1,1,0) + 𝑞(2,3, −1) 
b) 𝜋: 𝑋 = (1,2,0) + 𝑝(0,−3,−1) + 𝑞(2,1,0) 
c) 𝜋: 𝑋 = (1,2,0) + 𝑝(0,−3,−1) + 𝑞(−1,−1,−1) 
d) 𝜋: 𝑋 = (1,0,1) + 𝑝(1,1,−2) + 𝑞(0,−1,−1) 
e) 𝜋 não está determinado. 
 
 
Já as equações paramétricas de a) por exemplo, substituindo as letras gregas “lambda” e 
“mi” por p e q, respectivamente, temos: 
a) x = 1 + p + 2q 
y = 2 + p + 3q 
z = -q 
 
As questões b) c) d) e e) seguem o modelo acima. 
 
 
2) As equações paramétricas do plano que contém o ponto A =(1,1-2) e é paralela ao plano: 
 
3) Obtenha as equações paramétricas dos planos coordenados: xy, xz, yz 
a) xy 
𝜋 = A + p�⃗� + q𝑣 
Passa por A=(0,0,0) e tem vetores �⃗� = (1,0,0) e 𝑣 = (0,1,0) 
 
 x=p 
 y=q 
 z=0 
 
b) yz 
𝜋 = A + p�⃗� + q𝑣 
Passa por A=(0,0,0) e tem vetores �⃗� = (0,1,0) e 𝑣 = (0,0,1) 
 
 x=0 
 y=p 
 z=q 
 
c) xz 
𝜋 = A + p�⃗� + q𝑣 
Passa por A=(0,0,0) e tem vetores �⃗� = (1,0,0) e 𝑣 = (0,0,1) 
 
 x=p 
 y=0 
 z=q 
 
4) Verifique se o vetor �⃗� é paralelo ao plano 𝜋:4x -6y+z-3=0, nos casos 
a) �⃗� = (−1,−2,3) 
O vetor não é paralelo a 𝜋 
 
b) �⃗� = (0,1,6) 
O vetor é paralelo 𝜋 
 
c) �⃗� = (3,2,0) 
O vetor é paralelo a 𝜋 
 
d) �⃗� = (−3,2,24) 
O vetor é paralelo a 𝜋 
 
5) Dada a equação paramétrica, obtenha uma equação geral do plano 
R: 𝜋; 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 10 = 0 
 
6) Dado o plano 𝜋: 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 5 = 0 obtenha as equações paramétricas do plano 
Tomando três pontos quaisqueres do plano, por exemplo A=(0,0,5), B=(-1,0,1) e 
C=(-1,-1,-1), um ponto P=(x,y,z) 
Temos 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1,0,−4), 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1,−1,−6), Temos então que 𝜋: (x,y,z)=A+p𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗+q𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Com isto, as equações paramétricas do plano são: 
 
 x=-p-q 
𝜋: y=-q 
 z=5-4p-6q 
 
 
7) a) Obtenha as equações gerais dos três planos 
‘ 
b) Verifique que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto e determine-o: 
 
 
8) Verifique que o ponto P=(4,1,-1) não pertence a r:X=(2,4,1)+t(1,-1,2) e obtenha a 
equação geral do plano determinado por r e P. 
 
De fato, supondo que P seja um ponto da reta percebe-se que o ponto não faz parte da 
reta. Já a equação geral do plano pode ser determinada a partir do produto misto, entre os 
três vetores, o vetor diretor da reta, o vetor formado entre o ponto da reta e o ponto P, e o 
vetor formado pelo Ponto P e um Ponto qualquer do Plano (x, y, z) 
 
9) Encontre o ângulo entre os planos -y+1=0 e y+z+2=0. 
 
θ=arcos(√2/2)=45º 
 
10) Seja α o plano que passa pelos pontos A=(1,1,1) e B=(1,0,1), C=(1,1,0) e β o plano que 
passa pelos pontos P=(0,0,1) e Q=(0,0,0) e é paralelo ao vetor î+ ĵ. Ache o ângulo entre α e 
β. 
 
(vetor normal α) do plano �⃗⃗� 1 = (1,0,0) 
(vetor normal β) do plano �⃗⃗� 2 = (−1,1,0) 
 θ=arcos(√2/2)=45º 
 
11) Ache o ângulo entre o plano 2x-y+z=0 e o plano que passa pelo ponto P=(1,2,3) e é 
perpendicular ao vetor î-2ĵ+^k. Ao mudar as coordenadas do ponto P, a resposta se altera? 
Porque? 
�⃗⃗� 1 = (2,−1,1) 
�⃗⃗� 2 = (1,−2,1) 
θ=arcos(5/6)=33,55º 
Não, pois os vetores normais não mudam. P só nos diz em que local está o plano, sem P, 
seria possível um campo infinito de planos paralelos. 
 
 
3. FIGURAS E SIMETRIA 
 
1) A diagonal BC de um quadrado ABCD está contida na reta r : X = (1, 0, 0) + λ(0, 1, 1). 
Conhecendo A = (1, 1, 0), determine os outros vértices. 
 
2) O vértice de uma pirâmide regular é P = (√2, 2, 0) e sua base é um quadrado ABCD contido 
no planoπ : x − z = 0. Sendo A = (0, 2, 0), determine os outros três vértices e o volume da 
pirâmide. 
 
 
3) Determine os vértices B, C e D de um quadrado ABCD, sabendo que A = (0, −19, 4),um 
lado está contido no plano π1 : 2x − 2y + z = 15, outro, no plano π2 : 2x + y − 2z = 0, e o 
plano do quadrado é perpendicular à reta interseção do quadrado. 
 
 
4) Determine Q, projeção ortogonal o ponto P sobre a reta r, nos casos: a) P = (11, 15, 9), r: 
x − 2y + z + 7 = 0 = x + y − 2z − 14. b) P é o ortocentro do triângulo de vértices A=(2,1,−1), 
B=(1,−2,0) e C=(12,6,−1) e r é a reta determinada por M = (−2, 6, 10) e N = (0, 4, 7). 
 
 
5) Obtenha o ponto simétrico do ponto P = (0, 2, 1) em relação á reta r : (x + 2)/3 = y = z. 
R: (10/11, -4/11, 7/11) 
 
6) Obtenha o ponto simétrico de P = (4, 0, 1) em relação ao plano π : 4y − 2z + 3 = 0 
R: (4, -2/5, 6/5) 
 
7) São dados o ponto P=(2,1,0), a reta r:λ(2,1,0) e o plano π:x+y+z−3=0. Para cada ponto Q, 
seja Q’ a projeção ortogonal de Q sobre π. Determine os pontos Q de r tais que triângulo 
PQQ’ tenha área 18√6 
 
 
8)Sejam π : x + y − z = 3 e a retar que contém os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, −1, −1). 
Obtenha uma equação vetorial da reta simétrica de r em relação a π. 
 
 
 
4. INTERSEÇÕES 
1) Obtenha os pontos de r : X = (1, 1, 1) + λ(2, 0, 1) que pertencem ao plano 
π: x + 3y − 2z +1 
 
 
2) Obtenha os pontos de π 1 : X = (1, 0, 0)+λ(2, 1, 1)+μ(0, 0, 1) que pertencem a π 2 : 
x+y+z−1=0 
 
 
3) Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto (1, 1, 2) e é paralelo ao plano 
π : x − y + 2z + 1 = 0. 
 
 
4) O vetor (1, 1, m) é normal ao plano π, que contém a interseção dos planos π 1 : x − y + z 
+ 1= 0 e Oyz . Determine m e obtenha uma equação geral de π. 
 
R: m = -1. 
π: x+y-z+d=0- 
 
 
5) Dados π 1 : X = (1, −2, 0) + λ(1, 0, −1) + μ(0, 0, −1) e π 2 : X = (1, 0, 3) + λ(1, 2, 0) + 
μ(−1,1, −1), obtenha uma equação vetorial de π 1 ∩ π 2 . 
 
 
6) NO EXERCÍCIO FALTA A EQUAÇÃO DO PLANO π2 PORTANTO POR FALTA DE 
DADOS O RESULTADO NÃO TEM SOLUÇÃO. 
 
7) Seja π 1 : 2x + y + 3z + 1 = 0 e π 2 : X = (1, 1, 1) + λ(1, 1, 0) + μ(2, −1, m ). Estude a 
posição relativa dos planos e verifique se existe algum m para que os planos sejam 
perpendiculares. 
 
 
 
 
 
5. DISTÂNCIAS 
 
1) Calcule a distância do ponto P = (1, −1, 4) à reta r : (x − 2)/4 = y/(−3) = (1 − z)/2. 
 
 
2)Obtenha os pontos de interseção dos planos π1:x+y=2 e π2: x=y+z que distam √(14/3) da 
reta s: x = y = z + 1. 
 
3)Calcule a distância do ponto P = (0, 0, −6) ao plano π : x − 2y − 2z − 6 = 0. 
 
R: 2 
 
4)Calcule a distância do ponto de interseção de r :X=(1,3,4)+λ(1,2,3) e s: X=(1,1,0) + 
λ(−1,0,1) ao plano determinado por t: X=(0,1,0)+λ(0,6,1) e h:x=y−6z+8=2x−3 
 
 
5)Obtenha os pontos da reta r : x = 2 − y = y + z que distam √6 do plano π : x − 2y−z=1. 
 
 
6)Determine os pontos da retar : X =(0,1,1)+λ(1,1,2) que equidistam dos planos π1: 
x+2y−z−3 = 0 e π2 : x − y + 2z = 1. 
 
 
7) Calcule a distância entre as retas r :X=(2,1,0)+λ(1,−1,1) e s:x+y+z=2x−y−1= 0. 
 
 
8) Determine a reta r que contém o ponto A = (1, 3, −1), é paralela ao plano π : x + z = 2 e 
dista 3 da reta s : x − z = y + 2 = z − x + 4. 
 
 
9) Calcule a distância entre a reta r :X=(1,9,4)+λ(3,3,3) e o plano π:X=(5,7,9)+λ(1,0,0) + 
µ(0,1,0). 
R: 0 
 
10) Dados os planos π1 : x + y + z − 1 =0,π2 :3x+y−z=0 e π3:y+z=0,seja π o plano que 
contém π1 ∩ π2 e é perpendicular a π3. Calcule a distância de π a r: X=(1,2,3)+λ(1,1,1). 
 
R: d=0 
 
11) Calcule a distância entre os planos π : 2x − y + 2z + 9 = 0 e π2 : 4x − 2y + 4z − 21 = 0. 
 
 
12) O plano π é determinado pelas retas r : x + z = 5 = y + 4 e s :X=(4,1,1)+λ(4,2,−3). 
Obtenha equações gerais dos planos que distam 2 de π.