1 Resumo de Geometria Analílica Cônicas Elipse, Hipérbole e Parábola Concluído

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CÔNICAS
As cônicas são: ELIPSE, HIPÉRBOLE E PARÁBOLA.
ELIPSE
1.1 CONSTRUÇÃO DA ELIPSE 
Considere dois pontos fixos A e B e um pedaço de corda ( > ) pressa aos extremos desse segmento, conforme ilustra a figura a seguir:
Assim, esticando a corda, temos que:
DEFINIÇÃO, ELEMENTOS E PROPRIEDADES:
ELEMENTOS:
 Focos 
 : Distância focal 
 : Eixo maior 
 : Eixo menor 
 Centro da elipse 
 : Semieixo maior
 : Semieixo menor
 : Semi-distância focal
PROPRIEDADES:
i) 
 
ii) ( Pela definição de elipse) 
iii) Excentricidade da elipse:
 Como 
Obs: , pois 
DEFINIÇÃO:
Elipse é conjunto de infinitos pontos coplanares, tal que .
Obs: 2a é uma cte.
Onde:
P(x,y) é um ponto qualquer da elipse; 
F1 e F2 são os focos da elipse e
= 2a é a medida do eixo maior da elipse:
Considere:
O que acontece na elipse se ? 
O que acontece com a excentricidade da elipse?
 (Elipse vira um círculo)
 (Elipse achata)
	
EQUAÇÕES DA ELIPSE
DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO REDUZIDA DA ELIPSE COM .
Lembrete: Ou ainda
	Pela definição de Elipse, temos: 
 ou ainda: (É a mesma coisa)
 
 
~
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
 ¨
 ¨
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
 Foi uma grande sacada colocar – c em evidência 
Aplicando a propriedade distributiva em 
Mas como na elipse, temos que: , logo: 
 ¨
Onde: 
Lembrete: O “a” vem debaixo do “x”. Aí //x.
 : Centro da Elipse
 : Semieixo maior
 : Semieixo menor
 (Observe que o vem logo abaixo do termo 
DEMOSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO REDUZIDA DA ELIPSE COM 
 
 
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
~
¨
¨
 
¨
Mas como: 
¨
Onde: 
Lembrete: O “a” vem debaixo do “y”. Aí //y.
 : Centro da Elipse
 : Semieixo maior 
 : Semieixo menor
 (Observe que o vem logo abaixo do termo 
Alguns livros trazem a seguinte fórmula para a equação reduzida da elipse:
1.4 OBSERVAÇÃO:
Observe as fórmulas reduzidas da elipse: para e para. Note que a diferença entre elas é que foi invertido com . 
Se o centro for , onde e , temos que as equações da elipse são:
 , se 
 , se 
EXEMPLOS:
Considere a elipse de eixo maior igual a 10 e semidistância focal, 3: Determine:
A medida do eixo menor
A excentricidade da elipse:
O gráfico de de centro , sabendo que :
Equação reduzida e geral da elipse:
Faça o que se pede:
Que cônica representa a curva de equação: ? Justifique:
Construa o gráfico e determine as coordenadas do centro e de seus vértices.
HIPÉRBOLE 
ELEMENTOS E PROPRIEDADES 
 
 Elementos: 
 : Eixo real
: Eixo imaginário
 : Centro
: Distância focal
 Propriedades:
 
 
EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE 
EQUAÇÃO REDUZIDA DA HIPÉRBOLE COM // 
 
Demonstração: 
 
Mas como: 
 
 
Mas como:
	 
Equação Reduzida da Hipérbole
Com // 
 
2.2.1 EQUAÇÃO REDUZIDA DA HIPÉRBOLE COM //
De modo análogo, se uma hipérbole tem centro no ponto e //, sua equação relativamente ao sistema é:
Demonstração:
 (I)	
Pela figura temos que , logo 
Assim, aplicando a definição de módulo em (I), temos:
 
 
Mas como: 
 
EXEMPLO
Construa o gráfico da hipérbole: 
372
2.4 OBSERVAÇÕES:
i) Fica mais claro para o entendimento dos alunos se for feita a construção de uma hipérbole no Geogebra mostrando essa propriedade que caracteriza a hipérbole . Veja o modelo exposto no vídeo do Vestibulândia, aula 63 do Nerkie (conteúdo de hipérbole).
ii) A definição de hipérbole é a seguinte: 
	Sejam dois pontos distintos F1 e F2 do plano cartesiano e 2a uma distância qualquer. O lugar geométrico dos possíveis valores do ponto P tais que formam uma hipérbole.
 3. PARÁBOLA 
3.1 DEFINIÇÃO ELEMENTOS E PROPRIEDADES
3.1.1 DEFINIÇÃO 
	Sejam um plano , uma reta e um ponto . Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de e .
 S e P são pontos da parábola 
 
3.1.2 ELEMENTOS 
r: diretriz da parábola
p: parâmetro da parábola
f: foco
v: vértice
3.1.3 PROPRIEDADES
(i) 
(ii) 
3.2 EQUAÇÕES DA PARÁBOLA
	1° Caso:
	2° Caso:
	
	
	
	
	3° Caso:
	4° Caso:
	
	
	
	
	
	
3.3 DEMONSTRAÇÃO DAS EQUAÇÕES PARABÓLICAS
3.3.1 1° Caso: 
 
 
3.3.2 2° Caso:
 
 
 
¨
3.3.3 3° Caso: 
 
 
 
 
¨
3.3.4 4° Caso:
 
Observe que no eixo y os pontos são negativos, assim devemos fazer:. Na verdade, isso é o módulo, mas como sabemos que os números b e b’ são maiores que os números a e a’, podemos fazer assim:
 
 
 
 
¨
3.4 OBSERVAÇÕES:
(i) Se mantermos a “regra” e fizermos o, maior – menor, dentro da fórmula da distância também funciona. Ou seja, se usarmos a seguinte fórmula, ela resulta no mesmo resultado:
Mudamos de lugar
(ii) Essa possibilidade surge quando ao estudarmos distância entre dois pontos, notamos que não há problema em trocar esses termos de lugar.
4. OBSERVAÇÕES GERAIS
(i) Em todas as demonstrações para obtenção de equação realizadas nessa secção de cônica consideramos um ponto genérico pertencente a cada uma das figuras analisadas (Elipse, Hipérbole e Parábola). Assim, é com base nele e nas propriedades relativas a cada tópico que construímos tudo o que foi explanado até aqui apresentadas.
5. EXERCÍCIOS
5.1 ELIPSE
EXERCÍCIOS
352 Determine as equações das elipses seguintes:
	a)
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
	f) 
353. Determine as coordenadas dos focos de cada elipse do problema anterior 
354. O ponto é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados, escreva a equação da elipse.
355. As metades do eixo maior e da distância focal de uma elipse medem, respectivamente, 5 cm e 4 cm, e seu centro é o ponto . Se o eixo menor é paralelo ao eixo coordenado Ox, escreva a equação reduzida da elipse.
356. Dê a equação da elipse que passa pelos pontos , e .
357. Calcule a distância focal e a excentricidade da elipse 
358. Determine a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto e tem foco . 
359. Ache as coordenadas dos focos da elipse de equação: .
360. Construa o gráfico da cônica cuja equação e obtenha as coordenadas dos focos.
361. Determine os focos da cônica de equação .
362. De o centro C, o eixo maior a e o eixo menor b da elipse 
363. Determine os focos da cônica de equação 
364. Qual a equação do conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a e e 68?
365. Os pontos e estão sobre uma elipse cujos focos são e. Calcule o perímetro do triângulo .
5.2 HIPÉRBOLE 
EXERCÍCIOS
366. Determine as equações das hipérboles seguintes:
	a) 
	b) 
	c) 
	d)
367. Obtenha a distância focal da hipérbole cuja equação é: 
368. Calcule a excentricidade da hipérbole cuja equação é: 
369. Construa os gráficos das cônicas e . São coincidentes?
370. Determine
as coordenados dos focos da hipérbole cuja equação é .
371. Obtenha os focos da cônica cuja equação é .
372. Determine a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada.
5.3 PARÁBOLA 
ATIVIDADE PRÁTICA
Demonstre que que a equação da parábola de vértice , parâmetro p e de concavidade voltada para a esquerda é dada por .
Demonstre que que a equação da parábola de vértice , parâmetro p e de concavidade voltada para cima é dada por .
Obter a equação da parábola de e vértice .
Determinar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação .
Determine o parâmetro, as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o gráfico de cada uma das seguintes parábolas de equações dadas:
	
 
	
 
	
	
A reta de equação , intercepta a parábola de equação , nos pontos A e B, determinando sobre a parábola a corda AB. Qual o comprimento dessa corda?
Determine os pontos de interseção da parábola de equação com a circunferência de e raio.
A parábola de foco e diretriz de equação é tangente a reta t, de equação . Calcule o valor real de k.
Determine a equação das seguintes parábolas 
	
de foco (3,0) e diretriz 
	
de foco e diretriz 
Determinar a equação da parábola cujo vértice é a origem dos eixos coordenados, o eixo de simetria é o eixo y e a curva passa pelo ponto .
Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação 
Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação 
Determinar a equação da parábola cujo eixo de simetria é vertical e que passa pelos pontos , e , sendo B o vértice.
Uma parábola tem foco e diretriz dada pela reta de equação .
Determine as coordenadas do vértice dessa parábola;
Calcule a distância do p do vértice ao foco;
Obtenha a equação dessa parábola.
O senhor é o meu pastor,
nada me faltará.
Ele me faz repousar em pastos verdejantes.
Leva-me junto das águas de descanso;
refrigera minha alma.
Guia-me pelas veredas da justiça
por amor do seu nome.
Ainda que ande pelo vale da sombra da morte,
não temerei mal nenhum,
porque tu estas comigo,
o bordão e o teu cajado me consolam.
Preparas uma mesa
na presença de meus adversários;
unges minha cabeça com óleo;
e o meu cálice transborda.
Bondade e misericórdia
certamente me seguirão
todos os dias da minha vida;
e habitarei na casa do senhor
para todo o sempre.
(Salmo 23)
Fonte: 3ª Lista de Exercício de Geometria Analítica
6. RECONHECIMENTO DE UMA CÔNICA 
 Circunferência.
 Elipse. .
 Hipérbole..
 
 
Estou meio na dúvida se , mas acho que é isso mesmo. 28-06-17.