Relatório Refração em Lentes (corrigido)

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Refrac¸a˜o em Lentes
Luan Bottin de Toni(246851)
Grupo: Luan, Fabio, Augusto, Ramon
Professora: Cilaine Veronica Teixeira
3 de outubro de 2015
Resumo
Este experimento apresenta alguns me´todos para se obter a
distaˆncia focal de lentes delgadas convergentes e divergentes, anali-
sando suas limitac¸o˜es e poss´ıveis fontes de erro.
1 Introduc¸a˜o
Lente e´ um sistema o´ptico constitu´ıdo por um meio homogeˆneo e trans-
parente limitado por duas superf´ıcies curvas ou uma superf´ıcie curva e uma
plana. Uma lente podera´ ser convergente ou divergente. Se um feixe lumi-
noso incidir numa lente e for refratado de modo a convergir num ponto, este
ponto sera´ o foco e a lente sera´ chamada de lente convergente. Se um feixe
luminoso incidir numa lente e for refratado de modo a divergir, sendo que
os prolongamentos dos feixes sera˜o convergidos para um ponto, este sera´ o
foco e a lente sera´ divergente.
Na˜o se tem certeza quando foram criadas as primeiras lentes. No se´culo
XIII surgiram os primeiros o´culos utilizando um cristal de rocha com pro-
priedades de ampliac¸a˜o de imagens. Desde esta e´poca as lentes teˆm sido
muito utilizadas em aplicac¸o˜es de instrumentos o´pticos como o microsco´pio
e o telesco´pio.
O presente experimento esta´ limitado ao estudo de lentes delgadas, cu-
jas espessuras sa˜o consideradas pequenas em comparac¸a˜o com as distaˆncias
geralmente associadas com as propriedades o´pticas. As lentes delgadas obe-
decem a` equac¸a˜o dos pontos conjugados:
1
f
=
1
s
+
1
s′
(1)
onde: f e´ a distaˆncia focal da lente e tem valor positivo para lentes conver-
gentes e negativo para lentes divergentes; s e´ a distaˆncia do objeto a` lente,
esta distaˆncia e´ positiva se o objeto esta´ no lado da luz incidente e negativa
1
caso contra´rio; s′ e´ a distaˆncia da imagem a` lente, sendo positiva se a ima-
gem e´ formada pelos raios de luz (real) e negativa se esta for formada pelo
prolongamento desses raios (virtual).
Outra forma de obter a distaˆncia focal de uma lente e´ atrave´s do Me´todo
de Bessel, mantendo-se fixa a distaˆncia entre o objeto e o anteparo e variando
a posic¸a˜o da lente convergente para que produza uma imagem n´ıtida no
anteparo em duas posic¸o˜es diferentes. Sendo a distaˆncia entre essas duas
posic¸o˜es da lente D e a distaˆncia entre o objeto e o anteparo A, como
mostra a figura abaixo:
Figura 1: Montagem para o me´todo de Bessel. Formam-se imagens n´ıtidas
no anteparo para duas posic¸o˜es da lente.
Para a lente na primeira posic¸a˜o temos que s′1 = A−s1, da mesma forma,
na posic¸a˜o dois: s′2 = A− s2. Substituindo esses valores na equac¸a˜o 1:
1
f
=
1
s1
+
1
A− s1 ;
1
f
=
1
s2
+
1
A− s2
que, para uma u´nica soluc¸a˜o de f , devemos ter que A = s2 + s1. Pela figura
1 vemos que D = s2 − s1. Logo:
s2 =
A + D
2
; s1 =
A−D
2
Portanto, na equac¸a˜o 1 temos:
1
f
=
1
A−D
2
+
1
A+D
2
2
Resolvendo a equac¸a˜o acima para f obtemos a expressa˜o do me´todo de
Bessel:
f =
A2 −D2
4A
(2)
Para encontrar a distaˆncia focal de uma lente divergente fez-se com que
raios de luz paralelos incidissem em uma lente divergente e, apo´s refratados,
passassem por um orif´ıcio de diaˆmetro d a uma distaˆncia z da lente formando
uma imagem de diaˆmetro y, conforme mostra a figura abaixo:
Figura 2: Raios paralelos incidindo em uma lente divergente, passando por
um orif´ıcio e formando uma imagem no anteparo.
Na figura 2 vemos dois triaˆngulos semelhantes com ve´rtices no foco f ,
um deles de base d e outro de base y. Logo:
d
z + f
=
y
x + f
Isolando a distaˆncia focal na equac¸a˜o acima obtemos:
f =
xd− yz
y − d (3)
Ha´ va´rias maneiras de obter a distaˆncia focal de uma lente delgada con-
vergente ou divergente experimentalmente. Este relato´rio tem por objetivo
utilizar diferentes me´todos para obtenc¸a˜o dessa distaˆncia.
2 Materiais Utilizados
Foram utilizados os seguintes materiais:
• Fonte de luz;
3
A distância focal de uma lente divergente também pode ser obtida através da equação dos pontos conjugados
• Banco o´ptico com cavaleiros;
• Lentes convergentes;
• Lentes divergentes);
• Espelho plano;
• Anteparos;
• Paqu´ımetro (precisa˜o 0,05mm);
• Trena (precisa˜o 0,1cm).
3 Procedimento de coleta de dados
Foram utilizados neste experimento cinco me´todos para calcular a distaˆncia
focal de lentes:
1. Para obter a distaˆncia focal de uma lente convergente a partir da
equac¸a˜o dos pontos conjugatos (1) foram alinhados sobre um banco
o´ptico uma vela, lente e anteparo de forma que gerasse uma imagem
n´ıtida no anteparo (figura 3), medindo a distaˆncia do objeto e da
imagem com uma trena foi poss´ıvel encontrar a distaˆncia focal da
lente, que e´ tambe´m informada pelo fabricante (f=200mm).
Figura 3: Objeto produzindo uma imagem real no anteparo.
2. O segundo me´todo utilizado para encontrar a distaˆncia focal foi o
me´todo de Bessel representado na figura 1. A distaˆncia da vela ate´ o
anteparo (A) foi fixada e medida com uma trena, enta˜o procurou-se
duas posic¸o˜es para a lente (f=200mm) nas quais formassem imagens
n´ıtidas no anteparo e calculou-se a diferenc¸a entre essas posic¸o˜es (D).
Foram feitas quatro medidas para a distaˆncia D, sempre deixando a
distaˆncia A fixa, e assim e´ poss´ıvel encontrar f pela equac¸a˜o 2.
4
3. Neste me´todo procurou-se as posic¸o˜es do foco objeto (ponto onde se
deve colocar um objeto punctiforme para que sua imagem se forme
no infinito) e do foco imagem (ponto onde se forma a imagem de um
objeto colocado no infinito) de uma lente convergente. Para encon-
trar a distaˆncia focal objeto alinhou-se um pequeno orif´ıcio iluminado
por tra´s com um clip que servira´ de objeto, uma lente convergente e
um espelho plano (figura 4). Quando o clip estiver no foco da lente,
emergira´ desta raios paralelos que sera˜o refletidos pelo espelho e ira´
formar a imagem no ponto de origem, este me´todo tambe´m e´ chamado
de me´todo dos raios invertidos. O espelho foi levemente inclinado para
que a imagem ficasse vis´ıvel ao lado do orif´ıcio.
Figura 4: Determinando o foco objeto de uma lente convergente.
Para a obtenc¸a˜o do foco imagem, montou-se o feixe de luz, a lente
convergente e o anteparo alinhados de forma que raios paralelos inci-
dissem na lente e formassem uma imagem n´ıtida do anteparo (figura
5). A distaˆncia da lente ao anteparo sera´ a distaˆncia focal imagem.
Figura 5: Determinando o foco imagem de uma lente convergente.
4. A fim de obter-se a distaˆncia focal de uma lente divergente, foi montado
um esquema representado na figura 6. Primeiramente foi alinhado o
objeto, a lente convergente e o anteparo de tal modo que criasse uma
imagem n´ıtida no anteparo e anotou-se esta posic¸a˜o da imagem. Apo´s
isso, introduziu-se uma lente divergente entre a lente convergente e
o anteparo. Dessa forma, a imagem criada anteriormente pela lente
convergente servira´ como obeto virtual para a lente divergente. Por
5
fim, localizou-se a imagem formada pela lente divergente movendo o
anteparo e a lente. A distaˆncia s e´ definida como a distaˆncia entre
a lente divergente e a posic¸a˜o inicial do anteparo onde foi formada a
imagem pela lente convergente; e s′ a distaˆncia entre a lente divergente
e a posic¸a˜o final do anteparo.
Figura 6: Imagem formada no anteparo por lentes convergente e divergente.
5. Outra forma aqui utilizada para obter-se a distaˆncia focal de uma
lente divergente foi atrave´s do esquema da figura 2, onde raios quase
paralelos (obtidos focando-se o canha˜o de luz na parede do laborato´rio)
incidem em uma lente divergente (f=-100mm) e passam por um orif´ıcio
formando uma imagem no anteparo. Medindo-se as distaˆncias e o
tamanho da imagem no anteparo com uma trena, e o diaˆmetro do
orif´ıcio com um paqu´ımetro, podemosencontrar a distaˆncia focal da
lente atrave´s da equac¸a˜o 3.
4 Dados Experimentais e Ana´lise
Primeiramente o grupo buscou observar, de forma qualitativa, a formac¸a˜o
de imagens por uma lente convergente montando um esquema semelhante
a` da figura 3. Observou-se que para qualquer posic¸a˜o do objeto a` esquerda
do foco (s > f) era poss´ıvel enxergar a imagem do objeto no anteparo com
sua orientac¸a˜o invertida, a figura 3 mostra exatamente este caso, notamos
que o tamanho da imagem variava conforme a posic¸a˜o do objeto mudava,
sendo menor para grandes distaˆncias e maior quando o objeto encontrava-se
pro´ximo ao foco da lente. Pelo fato de ser poss´ıvel observar a imagem no
anteparo significa que esta imagem e´ real.
Ao posicionarmos o objeto entre o foco e o ve´rtice da lente (s < f)
ja´ na˜o e´ poss´ıvel observar a imagem formada no anteparo, foi necessa´rio
olhar diretamente para a lente que, neste caso, se comporta como uma lupa,
sendo assim, a imagem formada nessa situac¸a˜o e´ virtual, direita e maior que
o objeto.
Apesar de o grupo na˜o ter observado, e´ interessante mencionar o que
ocorre quando o objeto esta´ exatamente no foco da lente (s = f), pela
6
equac¸a˜o 1 vemos que nesse caso s′ → ∞, ou seja, na˜o ha´ imagem formada
pois teoricamente esta deveria se formar no infinito.
A seguir encontra-se a ana´lise dos dados obtidos para cada me´todo des-
crito anteriormente.
4.1 Equac¸a˜o dos pontos conjugados para lente convergente
Neste me´todo mediu-se a distaˆncia do objeto s e da imagem s′ com a
incerteza da trena, estes valores encontram-se na tabela abaixo juntamente
com a distaˆncia focal f calculada atrave´s da equac¸a˜o 1 com sua incerteza
propagada e, ainda, o erro considerando o valor dado pelo fabricante (f =
200mm).
Tabela 1: Dados medidos e calculados para o primeiro me´todo.
s(mm) s′(mm) f(mm) Erro
401, 5(±0, 5) 395, 5(±0, 5) 199, 2(±0, 5) 0, 4%
Vemos que o me´todo e´ bastante satisfato´rio para a obtenc¸a˜o da distaˆncia
focal, mostrando um erro de apenas 0,4% em relac¸a˜o ao valor fornecido pelo
fabricante. E´ interessante notar que este me´todo e´ va´lido apenas quando
o objeto encontra-se antes do foco da lente, pois desse modo forma-se uma
imagem real, poss´ıvel de ver no anteparo. Se o objeto estiver entre o foco e
a lente a imagem formada sera´ virtual e se ele estiver no foco a imagem se
formara´ no infinito impossibilitando sua visualizac¸a˜o.
4.2 Me´todo de Bessel para lente convergente
Como explicado anteriormente, neste me´todo fixou-se a distaˆncia A en-
tre o objeto e o anteparo e mediu-se quatro vezes a distaˆncia D referente
a` distaˆncia das duas posic¸o˜es da lente onde formava-se uma imagem n´ıtida
no anteparo. A tabela abaixo mostra os valores de D medidos e sua me´dia,
tomando como incerteza o desvio padra˜o da me´dia. Sendo que D foi calcu-
lado subtraindo a posic¸a˜o inicial da posic¸a˜o final, sua incerteza nesse caso e´
duas vezes a incerteza da trena.
Tabela 2: Distaˆncias medidas entre as posic¸o˜es da lente que formavam ima-
gem n´ıtida e sua me´dia calculada.
D(mm) D¯(mm)
245(±1) 237(±1) 255(±1) 264(±1) 250(±5)
Com o valor de D¯ calculado e o valor de A medido, pode-se calcular a
distaˆncia focal f da lente utilizando a equac¸a˜o 2 propagando sua incerteza e,
da mesma forma como anteriormente, comparar o valor obtido com o valor
fornecido (f = 200mm). Os valores encontram-se na tabela abaixo:
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Tabela 3: Valores medidos e calculados para o me´todo de Bessel.
A(mm) D¯(mm) f(mm) Erro
875, 5(±0, 5) 250(±5) 201, 0(±0, 7) 0,5%
O valor encontrado aproxima-se do valor fornecido para a distaˆncia focal
da lente, gerando um erro de apenas 0,5%, que e´ um resultado satisfato´rio.
4.3 Determinando foco objeto e foco imagem para lente con-
vergente
Utilizou-se o me´todo dos raios invertidos (figura 4) para encontrar o
foco objeto da lente convergente, que e´ a distaˆncia onde a imagem torna-se
n´ıtida ao lado da origem dos raios como explicado anteriormente. O valor
encontrado para a distaˆncia focal objeto foi de f = 205, 0(±0, 5)mm.
Para encontrar a distaˆncia focal imagem fez-se incidir raios paralelos na
lente e procurou-se a posic¸a˜o do anteparo onde a imagem tornava-se n´ıtida
(figura 5). O valor encontrado foi de f ′ = 285, 0(±0, 5)mm.
Notamos que os valores encontrados diferem bastante, o que na˜o esta´ de
acordo com a teoria, pois os valores do foco imagem e foco objeto para lentes
delgadas devem ser os mesmos. Tendo em vista que a distaˆncia focal da lente
informada pelo fabricante e´ de f = 200mm, podemos supor que houve uma
grande fonte de erro na obtenc¸a˜o do foco imagem principalmente. Para a
imagem ser formada no foco da lente e´ necessa´rio que os raios incidentes
estejam paralelos, para isso o grupo procurou focar o canha˜o de luz na
parede do laborato´rio, e´ poss´ıvel que na obtenc¸a˜o dos dados esses raios ja´
na˜o estivessem mais paralelos gerando a fonte de erro aqui observada.
4.4 Equac¸a˜o dos pontos conjugados para lente divergente
Para encontrar a distaˆncia focal de uma lente divergente atrave´s da
equac¸a˜o 1 foi necessa´rio criar uma imagem com uma lente convergente que
sera´ utilizada como objeto virtual (figura 6). Na tabela abaixo encontra-
se o valor medido para o objeto virtual e a imagem da lente divergente
juntamente com a distaˆncia focal calcula pela equac¸a˜o 1 e sua incerteza
propagada. Neste caso a lente divergente na˜o possuia valor informado pelo
fabricante, impossibilitando o ca´lculo do erro.
Tabela 4: Dados medidos e calculados para a lente divergente.
s(mm) s′(mm) f(mm)
−50, 0(±0, 5) 140, 0(±0, 5) −78(±1)
Nota-se que a distaˆncia do objeto aqui e´ negativa, pois trata-se de um
objeto virtual. Assim a distaˆncia focal tambe´m e´ negativa, por ser uma
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lente divergente. Este me´todo mostra-se bastante interessante pois, apesar
da lente divergente formar imagens virtuais quando se utiliza um objeto real
e apenas uma lente, e´ poss´ıvel fazer uma combinac¸a˜o de lentes de forma que
a imagem formada pela lente divergente seja real e, assim, pode-se observa´-la
em um anteparo e calcular sua distaˆncia focal.
4.5 Determinando foco imagem de uma lente divergente
Outra forma de determinar a distaˆncia focal de uma lente divergente e´
atrave´s do me´todo 5 explicado na sec¸a˜o Procedimento de coleta de dados.
Os valores medidos da figura 2 encontram-se na tabela abaixo, sendo que
foram medidos com uma trena, com excessa˜o do diaˆmetro do orif´ıcio d que
foi medido com um paqu´ımetro. A lente utilizada possuia um valor para o
foco informado pelo fabricante (f = −100mm), sendo assim, calculamos o
foco atrave´s da equac¸a˜o 3 propagando sua incerteza e comparamos com o
valor fornecido.
Tabela 5: Dados medidos e calculados para o atual me´todo.
d(mm) x(mm) z(mm) y(mm) f(mm) Erro
20, 00(±0, 03) 389, 0(±0, 5) 195, 0(±0, 5) 34, 0(±0, 5) −82(±1) 18%
O valor encontrado pela equac¸a˜o 3 fornece o mo´dulo da distaˆncia focal,
sendo que se trata de uma lente divergente, foi introduzido um sinal negativo
no valor calculado. Este valor ficou relativamente distante do fornecido pelo
fabricante, essa discrepaˆncia pode ter sido causada pelo fato de os raios na˜o
estarem incidindo suficientemente paralelos na lente ou, ainda, por erro na
medic¸a˜o das quatro grandezas usadas na fo´rmula.
5 Conclusa˜o
Vimos neste experimento cinco formas distintas para calcular a distaˆncia
focal de uma lente delgada, treˆs para lente convergente e duas para diver-
gente. Alguns me´todos mostraram-se mais eficazes por envolverem menos
varia´veis e serem menos complexos, por exemplo, os me´todos que envolviam
incideˆncia de raios paralelos na lente na˜o se mostraram ta˜o precisos pela
dificuldade de conseguir tal condic¸a˜o. Ainda pode ter ocorrido erros relacio-
nados a`s medic¸o˜es e a` interpretac¸a˜o do grupo quanto a` nitidez das imagensprojetadas.
9
9,9/10
Refereˆncias
[1] EUGENE HECHT Optics, Addison Wesley Longman Inc., 4a ed., San
Francisco, 2002.
[2] WIKIPEDIA, Lens (optics). Dispon´ıvel em: https://en.wikipedia.
org/wiki/Lens_(optics). Acessado em 02/10/2015.
[3] H. M. NUSSENZVEIG, Curso de F´ısica ba´sica - vol. 4 - O´tica, Relati-
vidade, F´ısica Quaˆntica, editora Edgard Blu¨cher, 1a edic¸a˜o, 1997.
[4] D. HALLYDAY, R. RESNICK & J. WALKER, Fundamentos de F´ısica
vol.4 - O´ptica e F´ısica Moderna, editora LTC, 8a edic¸a˜o, 2010.
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	Introdução
	Materiais Utilizados
	Procedimento de coleta de dados
	Dados Experimentais e Análise
	Equação dos pontos conjugados para lente convergente
	Método de Bessel para lente convergente
	Determinando foco objeto e foco imagem para lente convergente
	Equação dos pontos conjugados para lente divergente
	Determinando foco imagem de uma lente divergente
	Conclusão