Transformada qd0

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MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO 
TRIFÁSICA 
 
Alex Natal1, Fabio Eduardo Dembinski2, Gabriela Estrada3, Guilherme de Almeida Viana4, 
Samira Consoni5 
Departamento de Engenharia Elétrica – Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Via do Conhecimento, Km 1 – Pato Branco, Paraná, Brasil. 
 
 
 
Resumo – Este trabalho possui o objetivo de apresentar a 
modelagem matemática de uma máquina de indução 
trifásica utilizando o sistema de referência dinâmico qd0. 
Através de simulação poderá ser verificado o 
comportamento da máquina com esse sistema de 
referência. 
 
 
Palavras-Chave – Modelo Dinâmico, Máquina de Indução, 
Park, Clark, Circuito Equivalente. 
 
 
 
I. INTRODUÇÃO 
 
Todas as máquinas para funcionar corretamente, é 
necessário um modelo matemático adequado a planta a ser 
controlada, assim, as variáveis podem ter uma resposta 
constante em regime permanente. 
Para controlar o MIT (Modelo de Indução Trifásico) se faz 
necessário usar do artifício das transformadas, pois, a tensão e 
a corrente possuem uma forma senoidal, variando com o 
tempo por causa das mudanças da posição do rotor, fazendo 
com que haja um problema no acoplamento do estator e rotor. 
O modelo qd0, que é um sistema de referência fictício 
usando q como eixo de quadratura e d como eixo direto, 
fazendo com que estes eixos assumam uma posição arbitrária 
alinhando assim com a velocidade do rotor ou do estator, ele é 
utilizado para modelar o controle, de forma que as variáveis 
tensão e corrente se tornem constantes. 
Em síntese o modelo da máquina passa por um processo 
algébrico de transformação, o qual utiliza as transformadas de 
Park e Clark, as variáveis de estado passam para a referência 
qd0, assim são aplicadas as técnicas de controle e por fim faz-
se a transformada inversa para as variáveis reais, sendo assim 
aplicar os níveis de tensão e corrente solicitados no controle 
na máquina. 
 
 II. MODELAGEM POR EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
Antes de se introduzir uma análise as transformadas de 
Clark e de Park, será necessário introduzir a modelagem das 
equações diferenciais dá máquina de indução trifásica. 
As máquinas de indução trifásicas com rotor bobinado e 
com rotor em gaiola são simétricas. Apresentam estruturas 
magnéticas cilíndricas tanto no rotor quanto no estator. 
Para a modelagem matemática da máquina, serão feitas 
algumas hipóteses simplificativas, a fim de minimizar a 
complexidade do estudo. 
Será necessário considerar que os três enrolamentos 
estatóricos são iguais entre si, que os enrolamentos rotóricos 
são iguais entre si, que os ângulos elétricos entre os 
enrolamentos são iguais, tanto no estator quanto no rotor, o 
entreferro é considerado constante, o circuito magnético é 
considerado ideal, ou seja, a saturação não existe. A 
distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro é 
radial e senoidal, a máquina será considerada bipolar. Não 
serão consideradas as perdas magnéticas. 
Essas considerações terão como finalidade estabelecer que 
o fluxo total seja o somatório do fluxo das três fases do rotor e 
do estator. Os enrolamentos do estator e do rotor possuem 
indutâncias próprias constantes, como consequência da 
igualdade dos enrolamentos tem-se que a indutância e 
resistência das três fases do estator são iguais entre si, assim 
como as do rotor. Como consequência do defasamento igual 
entre os enrolamentos, tem-se que a indutância mútua entre 
dois enrolamentos do estator são iguais, assim como do rotor. 
Por fim temos que as indutâncias mútuas entre os 
enrolamentos estatóricos e rotóricos são funções senoidais do 
deslocamento angular, como está representado na Figura 1. 
Temos então a convenção de que a máquina será tratada 
como um receptor e as equações das tensões terão a forma 
representada pela Equação 1. 
dt
d
iRv aaaa


 (1) 
 
Onde representa o fluxo total que envolve o enrolamento 
“a”. 
 
Figura 1-Representação simbólica dos enrolamentos do 
estator e do rotor. 
Fonte: Ivo Barbi (1) 
 
 
As equações das indutâncias mútuas entre os 
enrolamentos estatóricos e rotóricos podem ser representadas 
da seguinte forma: 
)
3
4
cos(
)
3
2
cos(
cos
31
21
11








SRRS
SRRS
SRRS
MM
MM
MM
 (2) 
)
3
2
cos(
cos
)
3
4
cos(
32
22
12








SRRS
SRRS
SRRS
MM
MM
MM
 (3) 





cos
)
3
4
cos(
)
3
2
cos(
33
23
13
SRRS
SRRS
SRRS
MM
MM
MM



 (4) 
A partir dessas definições, podem-se deduzir as equações 
do fluxo, das tensões e do torque para, enfim, chegar às 
equações finais da máquina. 
A. Equações do fluxo 
Os fluxos estatóricos poderão ser representados conforme 
a matriz em (5), tal representação foi alcançada pela 
superposição. 
 




















































1
1
1
332313
322212
312111
3
2
1
3
2
1
R
R
R
RSRSRS
RSRSRS
RSRSRS
s
s
s
sss
sss
sss
S
S
S
i
i
i
MMM
MMM
MMM
i
i
i
LMM
MLM
MML


 (5) 
 
Conforme dado acima, tem-se que a tensão pode ser 
representada por (1), com isso se obtém a equação da tensão 
no rotor e no estator em (6). 
dt
d
iRv
dt
d
iRv
s
sss
R
RRR




(6) 
 
As componentes
RR
e
sR
, são obtidas a partir da 
multiplicação deles por uma matriz identidade que tem 
dimensão de acordo com o número de fases, nesse caso 3x3. 
A partir das equações do fluxo, obtêm-se as seguintes 
equações para a tensão do rotor e do estator: 
 
dt
d
i
L
dt
di
L
dt
di
LiRv
dt
d
i
L
dt
di
L
dt
di
LiRv
R
SRR
SR
s
sssss
s
RSs
RS
r
RRRRR












)(
)(
)(
)((7) 
 
 
As componentes 
RSL
 e 
SRL
, são determinadas pela 
seguinte relação e equação: 
 





























































cos
3
4
cos
3
2
cos
3
2
coscos
3
4
cos
3
4
cos
3
2
coscos
SR
T
RSSR MLL
 (8) 
 
B. Equações do torque 
Pode-se definir o torque, quando se trata de dois 
enrolamentos, no caso do rotor e do estator, a partir da 
seguinte equação: 
 
dt
dM
iiT SRRS


 (9) 
A partir da Equação (9) e de algumas simplificações da 
indutância mútua e própria, chega-se a seguinte expressão: 
 
 
i
L
iT T





2
1
 (10) 
 
Em que a representação de 
 L
é: 
 
 
 
  







RRRS
SRSS
LL
LL
L


 (11) 
 
Agora que se tem a modelagem por equações diferenciais 
da máquina de indução trifásica (MIT), pode-se fazer uma 
comparação futura com o modelo da máquina por 
transformadas de Clarke e de Park. 
 
III. TRANSFORMADAS DE PARK E DE CLARK 
 
Considerando a análise de tais transformadas é necessário 
entender o comportamento das fases do motor, quando este é 
alimentado por uma tensão senoidale o que é um sistema de 
coordenadas arbitrário. 
Quando o motor de indução é alimentado por uma tensão 
senoidal, suas fases são defasadas entre si, em um ângulo de 
120° elétricos. As fases do estator são fixas e produzem um 
fluxo em direção especifica (fase as gera fluxo na direção de 
0° e as fases bs e cs nas direções de 120° e 240°). A interação 
entre esses fluxos gera o campo girante do motor. (Teixeira, 
2012).Esse comportamento já foi descrito na Figura 1. 
No que diz respeito ao sistema de coordenadas arbitrário, 
este consiste na transformação de um sistema de coordenadas 
com três eixos para um sistema com dois eixos. No caso 
estudado, tais coordenadas referem-se as fases a, b e c e ao 
 
modelo d, q a ser apresentado posteriormente. (Teixeira, 
2012) 
Particulamene essas transformadas tem fundamental 
importância no quesito de controle de máquinas. São 
tuilizadas com afinalidade de reduzir a complexidade na 
repersentação do modelo, visando o controle vetorial. Os 
modelos de transfomação abordados a seguir, além de 
apresentar uma simplificação nas equações, são os mais 
apropriados para efeitos de controle vetorial, o qual é 
necessário para implementação de controladores de 
velocidade, torque e posição da máquina. 
 
A. Transformada de Clark 
 
É uma transformação linear que simplifica modelos 
simétricos trifásicos, ou seja, transforma ima máquina 
simétrica trifásica em uma máquina simétrica bifásica, 
mantendo constante potência, torque e número de polos. 
Transforma o sistema de coordenadas abc para um sistema 
αβ0. 
A projeção do vetor espacial em um referencial estático e 
duas coordenadas ortogonais pode ser realizado com a matriz 
linear utilizada na transformada de Clarke, eliminando-se a 
última linha em virtude de não haver componente de 
sequência zero. 
Deve-se salientar que a sequência zero do sinal, só existirá 
em sistemas a 4 fios, desiquilibrados (para o caso de 
correntes) ou sistemas desbalanceados (para o caso das 
tensões). 
A Figura 2 apresenta o diagrama fasorial que representa 
esta transformação. 
 
 
 
Figura 2 - Diagrama fasorial da transformada de Clark 
Fonte: Adaptado de (Krause, 1995) 
 
B. Transformada de Park 
 
A Transformada de Park tem uma importância muito 
grande no estudo das máquinas elétricas, pois consiste de uma 
transformação linear que simplifica as equações das 
máquinas, introduzindo um conjunto de variáveis hipotéticas 
(Ivo,1985) 
Analisando fisicamente, transforma uma máquina bifásica 
com enrolamentos estátoricos fixos e enrolamentos retóricos 
girantes, em enrolamentos estátoricos fixos e retóricos 
pseudo-estacionários, semelhante a um servo-motor de 
corrente contínua. 
Essa transformada converte o sistema αβ em um sistema 
de dois vetores ortogonais (qd) e que giram em sincronismo 
com a frequência da rede. 
A Figura 3 mostra o diagrama fasorial de tal transformada. 
 
 
Figura 3 - Diagrama fasorial da transformada de Park 
Fonte: Adaptado de (Krause, 1995) 
 
 
IV. MODELO qd0 
 
 
A. Obtenção da transformação αβ0 
 
Ao analisar duas estruturas, uma bifásica na Figura 4 e 
uma trifásica na Figura 5, observa-se que os enrolamentos que 
os compõem são respectivamente n2 e n3. Quando os 
enrolamentos são percorridos por uma corrente, eles 
produzem uma força magneto motriz F. (Barbi) 
 
Figura 4-Circuito bifásico simétrico. 
 
 
 
Figura 5-Circuito trifásico simétrico. 
 
Será feita uma transformação que permitirá encontrar 
Fα e Fβ em função de F1, F2 e F3 para que a estrutura bifásica 
produza uma força magneto motriz parecida com a trifásica. 













3
4
cos
3
2
cos

 cba FFFF
 (12) 
 
 
 













3
4
3
2
0

 senFsenFF cb
 (13) 
 
Temos então: 
 
cba FFFF
2
1
2
1

 (14) 
 
cb FFF
2
3
2
3
0 
 (15) 
Assim, as equações expressas em forma de matriz ficam: 
























c
b
a
F
F
F
F
F
23230
21211

 (16) 
Mas, a força magneto motriz pode ser expresso em função 
da corrente e do número de espiras do enrolamento: 
 
















i
i
n
F
F
2
 (17) 
 





















c
b
a
c
b
a
i
i
i
n
F
F
F
3
 (18) 
 
Substituindo as equações (17) e (18) na equação (16) 
temos: 
 







































c
b
a
i
i
i
aaa
n
n
i
i
i
2
3
2
3
0
2
1
2
1
1
2
3
0


 (19) 
 
Consideremos que: 
 



















aaa
n
n
A
2
3
2
3
0
2
1
2
1
1
2
3
 (20) 
 
A potência de um sistema matricial é dada por: 
iVP t 
 (21) 
 
 Pabc igual a Pαβ0, para transformada de Clarck teremos 
que: 
 
00  iViV
t
abc
t
abc 
 (22) 
 
Alterando o sistema bifásico da transformada de Clark 
para o sistema trifásico, temos: 
 
abc
t
abc
t
abc
t
abc AiVAiV 
 (231) 
 
Assim: 
 
IAAt 
 (24) 
 
A seguir, temos então a matriz de transformação para 
potência invariante de Clark: 



















2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
0
2
1
2
1
1
3
2
A
 (25) 
 
Para tensões constantes, a matriz A se torna: 
 



















2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
0
2
1
2
1
1
3
2
A
 (26) 
 
Sendo assim, temos a matriz A que define a transformação 
αβ0 ou trifásica bifásica: 
 
abciAi 0
 (27) 
 
0
1
iAiabc 

 (28) 
 
abcVAV 0
 (29) 
 
 
B. Propriedades da Transformação qd0 
 
O sistema qd0 está relacionado a transformada de Park, 
que está relacionado ao sistema bifásico αβ0. A figura 
relaciona αβ0 e qd0. 
 
Figura 6-Diagrama fasorial αβ0 e qd0. 
 
Decompondo-se os vetores de αβ para o sistema qd 
sabendo que o ângulo varia, obtêm-se: 
 











 










i
i
sen
sen
i
i
q
d
cos
cos (30) 
 
Comparando o sistema qd0 com o sistema trifásico abc, a 
matriz K que define a transformação de coordenadas é dada 
por: 
 












































2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
3
2
cos
3
2
coscos
3
2 







sensensenK
 (31) 













































2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
3
2
cos
3
2
coscos
3
2 







sensensenK
 (32) 
 
Portanto, a transformada de Park é dada por: 
 





















c
b
a
o
d
q
i
i
i
K
i
i
i
 (33) 
 
0
1
qdabc iKi 

 (34) 
 





















c
b
a
o
d
q
V
V
V
K
V
V
V
 (35) 
 
 
 
 IV. CIRCUITO EQUIVALENTE PARA O 
MODELO DINÂMICO 
 
Para análise do circuito equivalente de um motor 3ϕ de 
indução utiliza-se do modelo qd0 abordado anteriormente. 
Para tal, é necessário separar a matriz de transformação para o 
estator e para o rotor (Barbi). 
A Figura 7 apresenta o diagrama fasorial que relaciona a 
posição do estator e do rotor em relação a qd0. 
 
 
Figura 7 – Diagrama relacionando estator, rotor e qdo 
 
Com base na Figura 7 e na matriz de transformação K 
(Equação 32) obtemos as matrizes de transformação para o 
estator e para o rotor, apresentadas a seguir: 













































2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
3
2
cos
3
2
coscos
3
2 







sensensenK s
 (36) 













































2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
3
2
cos
3
2
coscos
3
2 







sensensenK r
 (37) 
Sabendo que a tensão no estator e no rotor de um motor de 
indutância variável é dada por: 
 








dt
d
irV
dt
d
irV
abcr
abcrrabcr
abcS
abcSSabcS


 (38) 
Podemos então escrever a tensão no rotor e no estator no 
sistema qd0: 
 
 













dt
Kd
KiKrKV
dt
Kd
KiKrKV
rqdr
rrqdrrrrqd
SqdS
sSqdSSsSqd
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0


 (39) 
 
Fazendo a análise da Equação 39 temos que as tensões no 
estator e no rotor para o sistema qd0 serão dadas por: 
 












dt
d
irV
dt
d
irV
dt
d
irV
s
sss
ds
qsdssds
qs
dsqssqs
0
00





 (402) 
  
 












dt
d
irV
dt
d
irV
dt
d
irV
r
rrr
dr
qrrdrrdr
qr
drrqrrqr
0
00





 (41) 
Onde ω se refere a velocidade angular do sistema de 
referência qd0 e ωr é a velocidade angular elétrica do rotor. 
As equações de fluxo no sistema qd0 são: 
 
 
 








slss
drmdsmlsds
qrmqsmlsqs
iL
iLiLL
iLiLL
00


 (42) 
 
 








rlrr
drmlrdsmdr
qrmlrqsmqr
iL
iLLiL
iLLiL
00


 (43) 
 
Sendo que Lls, Llr é a indutância de dispersão do estator e rotor 
respectivamente e Lm é a indutância de magnetização. Através 
das equações de tensão e fluxo é possível expressar o circuito 
equivalente do motor de indução. Salientando que o circuito 
do rotor é todo referido ao lado do estator (Krause, 1995). 
A Figura 8 apresenta o circuito equivalente para o motor 
no sistema qd0: 
 
 
Figura 8 – Circuito Equivalente 
 
Através do circuito equivalente em regime permanente por 
fase do motor de indução trifásico é possível obter os 
parâmetros do modelo dinâmico. Com a realização dos 
ensaios a vazio e de rotor bloqueado obtém-se os parâmetros 
do circuito em regime e a partir desses valores encontra-se os 
parâmetros do modelo dinâmico. 
 
V. CONCLUSÕES 
 
Conclui-se que o fluxo do rotor alinhado com o eixo direto, 
não promove fluxo de quadratura, assim, o fluxo sempre 
estará orientado com o eixo direto fazendo com que o controle 
influencie apenas nessa direção, desacoplando os eixos. 
A modelagem da máquina de indução trifásica através do 
modelo qd0 permite a utilização das técnicas de controle 
convencionais. A transformação de coordenadas possibilita 
alinhar o fluxo do rotor ou do estator ao longo dos eixos direto 
e de quadratura. 
Utiliza-se o fluxo do estator, tendo em vista uma menor 
sensibilidade a variações dos parâmetros, não produzindo uma 
relação linear entre torque e escorregamento, o que torna uma 
desvantagem, pois não ocorre desacoplamento dos eixos, 
havendo componente tanto no direto quanto no de quadratura. 
Contudo para aplicar as técnicas de controle utiliza-se em 
geral o sistema de referência qd0 alinhado com o fluxo do 
rotor. Ressalta-se que o eixo 0 não foi desenvolvido pelo fato 
que está modelagem foi realizada para máquinas equilibradas, 
a existência desse eixo implica na alteração dos módulos dos 
vetores. 
 
BIBLIOGRAFIA 
BARBI, I. (s.d.). Teoria Fundamental do Motor de 
Indução. Disponível em: 
<http://www.ivobarbi.com/PDF/livros/cap4.pdf >. Acesso em 
27 de junho de 2016. 
 
KRAUSE, P.C. (1995). Analysis of Electric Machinery and 
Drive Systems. IEEE Press. 
 
TEIXEIRA, D.C. Controle Vetorial do Motor de Indução 
operando na Região de Enfraquecimento de campo. 
Disponível em: 
<https://www3.dti.ufv.br/sig_del/consultar/download/91>. 
Acesso em 26 de junho de 2016.