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Questão 1/5 - Análise Matemática NOTA 100 Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1. Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que: A Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável. B Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua. C Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes. D Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável. E Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável. Leia o fragmento de texto a seguir. “(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como: A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1. 2007. p. 210-211. Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2). Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada. A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2) B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x C h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2) D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1 Questão 3/5 - Análise Matemática Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x representado na figura a seguir. Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir. I. limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ II. limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ III. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ IV. limx→0+f(x)=−∞limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ V. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e São corretas apenas as afirmativas: A III e V B I e III C I e IV D II e V E II, III e V Questão 4/5 - Análise Matemática O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que o conjunto de valores de xx para os quais ela converge é um intervalo de centro x0x0. Esse intervalo pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a RR ou até mesmo reduzir-se a um único ponto. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159. Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R) Assinale a alternativa que contém os valores para x=1. A e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯ B e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯ C e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯ D e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯ E e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯
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