APOL ANÁLISE MATEMÁTICA NOTA 100

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CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA - DISTÂNCIA
AVALIAÇÃO » NOVO
Atenção. Este gabarito é para uso exclusivo do aluno e não deve
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âmbito cível e criminal.
$
PROTOCOLO: 20200804158806936F73DF %
CARINA PEREIRA MACEDO - RU: 1588069 Nota: 100
Disciplina(s):
Análise Matemática
Data de início: 04/08/2020 12:10
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 07/08/2020 16:51
Questão 1/10 - Análise Matemática
Considere o seguinte trecho de texto a seguir:
 
 “A soma de uma série é o limite da sequência de 
somas parciais. Deste modo, quando escrevemos 
, queremos dizer que, somando um 
número suficientes de termos da série, podemos 
chegar tão perto quanto quisermos do número 
. Observe que 
”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto 
integralmente, ele está disponível em: 
 
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage 
Learning , v. 2. 2011. p. 653.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise 
Matemática referentes à séries numéricas, assinale 
a alternativa que contém apenas séries 
convergentes.
Nota: 10.0
Questão 2/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real é limite da sequência 
 quando, para todo número real , dado 
 arbitrariamente, pode-se obter tal que todos 
os termos x com índice cumprem a 
condição . Escreve-se então 
. [...] Em vez de , escreve-
se também , ou 
. Esta última expressão lê-se ‘ tende para 
’ ou ‘converge para ’. Uma sequência que possui 
limite diz-se convergente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto 
integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 
9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24.
Dada a sequência .
Considerando estas informações e os conteúdos do 
livro-base Análise Matemática sobre sequências 
numéricas, é correto afirmar que a sequência dada 
converge para:
Nota: 10.0
Questão 3/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir:
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, 
a linguagem geométrica segundo a qual nos 
referimos ao corpo como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ 
em vez de ‘número real’, traduziremos ‘ ’ por ‘ 
está à esquerda de ’, dados , 
interpretaremos o valor absoluto como 
‘distância do ponto ao ponto ’ e, finalmente, 
veremos o intervalo como o segmento de reta 
cujos extremos são os pontos e .”
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto 
integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de 
Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada, 2013. p. 162.
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise 
Matemática sobre noções topológicas da reta, 
analise as afirmativas a seguir e marque V para as 
afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas 
falsas.
 
I. ( ) O ponto 
 é um ponto interior do conjunto 
.
II. ( ) O conjunto 
 não possui pontos de acumulação.
III. ( ) O ponto 
 é um ponto de acumulação do conjunto 
.
IV. ( ) O ponto 
 é um ponto de aderência do conjunto 
.
 
Assinale a alternativa que contém a sequência 
correta:
Nota: 10.0
Questão 4/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que a sequência é limitada quando o 
conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando 
existem números reais e tais que 
 para todo ”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto 
integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de 
Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada, 2013. p. 101.
De acordo com estas informações e os conteúdos do 
livro-base Análise Matemática, assinale a afirmativa 
correta:
Nota: 10.0
Questão 5/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
 
 “As séries de funções mais importantes da Análise 
são as do tipo 
, 
 são escalares
 que são chamadas séries de potências.”
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto 
integralmente, ele está disponível em: 
 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de 
Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada,2008,p. 384.}
 Conforme os conteúdos estudados no livro-base 
Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir 
e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para 
as afirmativas falsas.
I. ( ) A série de Maclaurin ocorre quando 
 isto é 
 
 são escalares
.
II. ( ) Podemos escrever 
 como 
 para 
. 
III. ( ) Podemos escrever 
 como 
 para 
.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
Questão 6/10 - Análise Matemática
“Se alguém me perguntasse o que é que todo 
estudante de Ensino Médio deveria saber de 
matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução 
figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o 
primeiro contato com a noção de infinito em 
Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, 
é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os 
conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução 
Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos primeiros números ímpares é 
.
 
PORQUE
 
II.
 Dados os números ímpares: 
se tivermos dois ímpares a soma será 
 números ímpares a soma será 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa 
correta:
Nota: 10.0
Questão 7/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
 
"Sejam 
 e 
. O quociente 
 tem sentido para 
, logo define uma função 
, cujo valor 
 é a inclinação da secante (reta que liga os 
pontos 
 e 
 no gráfico de 
 em relação ao eixo 
."
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto 
integralmente, ele está disponível em: 
 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: 
IMPA, 1999. p. 88.}
Conforme os conteúdos estudados no livro-base 
Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir 
e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para 
as afirmativas falsas.
I. ( ) Dizemos que uma função 
 é derivável em 
 quando é derivável em todos os pontos de 
 pertencentes a 
.
II. ( ) Sejam 
, 
 e 
 um ponto de acumulação de 
 pertencente ao conjunto 
. Assim a função 
 é derivável no ponto 
 quando existe o limite a seguir: 
III. ( ) Informalmente podemos dizer que a noção 
geométrica da derivada 
 é a inclinação da reta tangente à função 
 no ponto 
.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
Questão 8/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico de uma função 
 representado na figura a seguir.
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função 
e nos conteúdos estudados no livro-base Análise 
Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. 
 e 
II. 
 e 
III. 
 e 
IV. 
 e 
V. 
 e 
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
Questão 9/10 - Análise Matemática
“O conceito de relação de equivalência é relevante 
para todos os ramos da Matemática. Em linhas 
gerais, tal conceito surge como uma forma de 
generalizar a relação de igualdade, no sentido de 
que, elementos de um dado conjunto, mesmo 
distintos, cumprem papel equivalente”.
 
Considere o conjunto 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise 
Matemática referentes à relações entre conjunto 
assinale a única alternativa que contém uma relação 
de equivalência do conjunto dado:
 
 
Nota: 10.0
Questão 10/10 - Análise Matemática
Leia o excerto de texto a seguir. 
 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou 
indagar sobre a continuidade de uma função, e o 
domínio e o contradomínio da mesma devem possuir 
um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se 
chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, 
espaços topológicos são conjuntos equipados com 
estruturas tais que entre eles tem sentido falar em 
limites e continuidades de funções”.
 
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise 
Matemática com respeitoà conceitos topológicos, 
enumere, na ordem sequencial, as definições – em 
linguagem não formal – que se relacionam a cada um 
dos elementos a seguir:
 
 
 
 
1. Conjunto aberto
 
2. Ponto interior
 
3. Conjunto fechado
 
4. Ponto de acumulação
 
5. Conjunto compacto
 
6. Ponto aderente
 
 
 
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um 
ponto do conjunto diferente dele.
 
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e 
limitado.
 
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes 
pertencem à ele.
 
( ) É um ponto que possui uma vizinhança 
inteiramente contida no conjunto.
 
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de 
elementos do conjunto.
 
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são 
interiores.
 
 
Agora marque a sequência correta:
 
 
Nota: 10.0
!!
n=1 an = s
s
!!
n=1 a
n = limn"! !ni=1 ai
A , , 
B
, , 
C
, , 
D , , 
E , , 
!!
n=1
1
n
!!
n=1
1
n2
!!
n=1 n
!!
n=1
1
n2
!!
n=1 2
n+1 !!
n=1 1
n
!!
n=1
1
n2
!!
n=1
1
2n+1
!!
n=1
(#1)n
n
Você acertou!
A série
 é uma p-série com
, logo, é convergente.
A série
 é uma série
geométrica com
, logo, converge. A
série
 converge pelo
teste de Leibniz. (livro-base,
capítulo 2).
&
!!n=1
1
n2
p = 2 > 1
!!n=1
1
2n+1
|p| = < 1
1
2
!!n=1
(#1)n
n
!!
n=1
1
n
!!
n=1
1
n2
!!
n=1
1
n3
!!
n=1 n
3 !!
n=1 n
2 !!
n=1 n
a
(xn) ! > 0
n0 $ N
n n > n0
|xn # a| < !
a = limn$N xn a = lim xn
a = limn$N xn a = limn"! xn
xn " a xn
a a
( )
n$N
1
2n
A
B
C
D 1
E 0
1
2
!
#!
Você acertou!
Dado , escolhemos 
 tal que , isto
é, . Assim, se 
 temos que 
.
Portanto, . (livro-base,
Capítulo 2).
&
! > 0
n0 $ N n0 > log2
1
!
< !1
2n0
n > n0
%% # 0%% = %% %% = < < !
1
2n
1
2n
1
2n
1
2n0
lim = 01
2n
R
a < b a
b x, y $ R
|x # y|
x y
[a, b]
a b
x = 1
X = {1} & [ , 2]3
2
X = {n | n $ N}
x = 0
X = { | n $ N}1
2
x = 0
X = { | n $ N}1
2
A V-V-F-V
B F-F-V-V
C V-F-F-V
D V-F-V-F
E F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que contém a
sequência correta é a letra e). A
afirmativa I está incorreta, pois
qualquer intervalo centrado em
 não está contido no
conjunto
. A afirmativa II está correta,
pois para qualquer
, com
, é fácil ver que existem
vizinhanças de
 que não contém pontos de
 e para os pontos
, existem vizinhanças de
 que contém apenas o ponto
. Logo, não existem pontos de
acumulação. A afirmativa III está
correta, pois qualquer vizinhança
de zero contém um ponto
diferente de zero que pertence
ao conjunto
. A afirmativa IV está correta
pois zero é o limite da sequência
 que é formada por pontos
de
. (livro-base, Capítulo 3).
&
x = 1
X
x $ R
x ' X
x
X
x $ X
x
x
X
( )1
n
X
(xn)
a b a ( (xn) ( b
n $ N
A A sequência é divergente
B
C , para todo 
D
E A sequência é limitada.
( )
n$N
sin(n)
n
lim = 0
sin(n)
n
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b),
pois e é
uma sequência limitada. (livro-
base, Capítulo 2)
&
lim = 01n (sin(n))
%
%
%
% (
sin(n)
n
1
2 n $ N
lim = 1
sin(n)
n
( )
n$N
sin(n)
n
!!0 an(x # x0)
n = a0 + a1(x # x0) + ) + an(x # x
(a0, a1, ) $ R
)
x0 = 0
f(x) = !!0 Cnx
n = C0 + C1x + C2x2 + ) + Cnxn
(C0, C1, ) $ R
)
ex
ex = !!0
xn
n!
x $ R
sin(x)
sin(x) = !!0 * x
2n+1
(#1)n
(2n + 1)!
x $ R
A F – F – F
B F – V – V
C V – V – F
D V – F – V
E V – V – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira como
consequência da série de Taylor
(p.154). A afirmativa II é
verdadeira pois a expansão de
 pode ser escrita desta
maneira(p.185). A afirmativa III é
verdadeira pois a expansão de
 (livro-base p.153,154 e
185).
&
ex
sin(x)
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está 
disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da 
Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
n
n2, n + 1
1, 3, 5, 7, 9, 11, ) 2n # 1 (n
n = 2 S = 1 + 3 =
5 S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
A As asserções I e II são proposições
verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da primeira.
B As asserções I e II são proposições
verdadeiras, mas a II não é uma
justificativa correta da primeira.
C A asserção I é uma proposição
verdadeira , e a II é uma proposição
falsa.
D A asserção I é uma proposição falsa, e
a II é uma proposição verdadeira.
E As asserções I e II são proposições
falsas.
Você acertou!
Apesar das duas afirmações
serem verdadeiras, a segunda
não é uma justificativa da
primeira porque não prova que a
proposição seja verdadeira para
todo . Ela mostra apenas
dois casos particulares. Para
justificar a veracidade da
primeira afirmação pode-se usar
o Princípio da Indução Finita
(livro-base, capítulo 1).
&
n > 2
f : X " R
a $ X
q(x) =
f(x) # f(a)
x # a
x , a
q : X # {a} " R
q(x)
(a, f(a))
(x, f(x))
f
x
X " R
X
x
X
X - R
f : X " R
x0
X
X
f
x0
f .(x) = limx"x0
f(x) # f(x0)
x # x0
f .(x0)
f
x0
A F – F – F
B F – V – V
C V – V – F
D F – V – F
E V – V – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira por
ser uma consequência da
definição(p.111). A afirmativa II é
correta pois expressa a definição
de derivada em um ponto (p.111)
e a afirmativa III é correta porque
corresponde à interpretação
geométrica da derivada(livro
base - p.111 e 112).
&
f(x) = (1 + )x1
x
f(x) = (1 + )x1
x
limx"! f(x) = !
limx"#! f(x) = #!
limx"! f(x) = e
limx"#! f(x) = #!
limx"0+ f(x) = 1
limx"0# f(x) = !
limx"0+ f(x) = #!
limx"0# f(x) = !
limx"0+ f(x) = 1
limx"! f(x) = e
A III e V
B I e III
C I e IV
D II e V
E II, III e V
Você acertou!
A afirmativa I está incorreta
porque
 e
. A afirmativa
II está incorreta porque
. A afirmativa
III está correta. A afirmativa IV
está incorreta porque
. A afirmativa
V está correta (livro-base,
Capítulo 3).
&
limx"! f(x) = e
limx"#! f(x) = e
limx"#! f(x) = e
limx"0+ f(x) = 1
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está 
disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. 
Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18.
A = {1, 2, 3, 4}
A
B
C
D
E
R = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (
Você acertou!
Essa relação é reflexiva, pois 
. É simétrica pois para cada
par que pertence à o seu simétrico 
 também pertence à . E essa relação é
transitiva pois se os pares e 
o par também pertence à (livro-base,
capítulo 1).
&
(x, x) $ R, /x $ A
(x, y) R
(y, x) R
(x, y) (y
(x, z) R
R = {(2, 3), (4, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (
R = {(2, 1), (3, 1)}
R = {(2, 1), (2, 3), (2, 4), (1, 1), (2, 2), (
R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 1), (2, 2), (
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está 
disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de 
Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e 
Aplicada, 2013. p. 161. 
A 6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1
B 4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3
C 2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3
07/08/2020 16:57
Página 1 de 1
Resposta correta: E 4-5-3-2-6-1