Transformações Lineares - Apostila

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UDESC - UNIVERSIDADE ESTADUAL
DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIEˆNCIAS TECNOLO´GICAS - CCT
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - DMAT
APOSTILA DE A´LGEBRA LINEAR II
JONES CORSO
Joinville - SC - 2014
ii
Suma´rio
1 MATRIZES 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Operac¸o˜es com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Adic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Multiplicac¸a˜o por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Multiplicac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.4 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.5 Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.6 Poteˆncia de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.7 Trac¸o de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.8 Expresso˜es polinomiais envolvendo matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Matriz na forma escada reduzida por linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Operac¸o˜es elementares linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Posto de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Ca´lculo da inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 Ca´lculo da inversa por escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.1 Ca´lculo do determinante por triangulac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.2 Ca´lculo do determinante por difrentes me´todos . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Primeira lista de exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.1 Algumas respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Apeˆndice - Ca´lculo da inversa por adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 SISTEMA DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 25
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii
2.2 Sistemas e matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Soluc¸a˜o de um sistema por matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Segunda lista de exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Algumas respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Apeˆndice - Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 ESPAC¸OS VETORIAIS 41
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Intersecc¸a˜o de dois Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Combinac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Subespac¸os Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7 Soma de Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8 Base e Dimensa˜o de um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8.2 Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8.3 Dimensa˜o da Soma de Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.8.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.10 A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.11 Terceira lista de exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.11.1 Algumas respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES 83
4.1 Propriedades das Transformac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2 Transformac¸o˜es Lineares e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.1 Transformac¸a˜o linear associada a uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.2 Matriz de uma transformac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3 Composic¸a˜o de transformac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4 A Inversa de uma transformac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5 Quarta lista de exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5.1 Algumas respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
iv
5 OPERADORES LINEARES 117
5.1 Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.1 Transformac¸o˜es no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.2 Transformac¸o˜es no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 Propriedades dos operadores inversı´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3 Operadores autoadjuntos e ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4 Quinta lista de exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.1 Algumas respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 AUTOVALORES E AUTOVETORES 139
6.1 Autovalores e autovetores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.1.1 Polinoˆmio Caracterı´stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 Matrizes Semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3 Diagonalizac¸a˜o de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3.1 Matriz Diagonalizadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4 Calculando poteˆncias de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5 Sexta lista de exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.5.1 Algumas respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7 PRODUTO INTERNO 165
7.1 Normas, Distaˆncias e Aˆngulos em Espac¸os com Produto Interno . . . . . . . . . . . 169
7.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.2.1 Conjunto Ortogonal de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.2.2 Base ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.2.3 Base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.2.4 Coordenadas em relac¸a˜o a Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.2.5 Coordenadas em relac¸a˜o a Bases Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.3 Complementos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.4 Projec¸o˜es Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.5 Encontrando Bases Ortogonais e Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.5.1 Processo de Ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.6 Fatorac¸a˜o QR . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.6.1 Aplicac¸a˜o da fatorac¸a˜o QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.7 Soluc¸a˜o de Mı´nimos Quadrados de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 181v
7.8 Se´tima lista de exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8 APLICAC¸O˜ES 189
8.1 Aplicac¸o˜es da A´lgebra Linear na Engenharia Cartogra´fica . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.2 Aplicac¸o˜es de espac¸os vetoriais na computac¸a˜o gra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.3 Aplicac¸o˜es de autovalores e autovetores na engenharia civil . . . . . . . . . . . . . . 195
8.3.1 O Problema de autovalor na avaliac¸a˜o de modelos estruturais de edificac¸o˜es . 195
vi
Capı´tulo 1
MATRIZES
1.1 Introduc¸a˜o
Exemplo 1 A seguinte colec¸a˜o retangular de treˆs linhas e sete colunas descreve o nu´mero de horas
que um estudante se dedicou a treˆs mate´rias durante uma determinada semana:
segunda terc¸a quarta quinta sexta sabado domingo
Matema´tica 2 3 2 4 1 4 2
Biologia 0 3 1 4 3 2 2
Fı´sica 4 1 3 1 0 0 2
Se no´s suprimirmos os tı´tulos, ficaremos com a seguinte colec¸a˜o retangular de nu´meros com treˆs
linhas e sete colunas, denominada matriz:
A=

2 3 2 4 1 4 2
0 3 1 4 3 2 2
4 1 3 1 0 0 2

Umamatriz e´ um agrupamento retangular de nu´meros. Os nu´meros neste agrupamento sa˜o chama-
dos entradas da matriz.
O tamanho de uma matriz e´ descrita em termos do nu´mero de linhas (fileiras horizontais) e de
colunas (fileiras verticais) que conte´m.
Quando discutimos matrizes, e´ usual chamar as quantidades nume´ricas de escalares.
Exemplo 2
Definic¸a˜o 1.1 Chama-se matriz de ordem m× n a uma tabela de m · n elementos dispostos em m
2 1.2. Tipos de Matrizes
linhas e n colunas:
A=

a11 a12 ........ a1n
a21 a22 ........ a2n
...
...
am1 am2 ........ amn

Notac¸a˜o: Costumamos denotar as matrizes por letras latinas maiu´sculas:A, B, C, ...... Notac¸a˜o
mais compacta [ai j]m×n ou [ai j] quando na˜o e´ dado eˆnfase ao tamanho da matriz.
A entrada que ocorre na i-e´sima linha e j-e´sima coluna de uma matriz A e´ denotada por ai j.
1.2 Tipos de Matrizes
Matriz coluna
E´ a matriz de ordem m×1.
Exemplo 3 A= [1]1×1 , B=

1
2
3
4

4×1
, C =

1
2
3
...
999
1000

1000×1
Matriz linha
E´ a matriz de ordem 1×n.
Exemplo 4 A= [1]1×1 , D=
[
−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −10
]
1×8
Matriz Nula
E´ a matriz A=
[
ai j
]
m×n onde ai j = 0, para 1≤ i≤ m e 1≤ j ≤ n.
Exemplo 5
M =

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
 , N = [0]
Observac¸a˜o 1 Denotaremos frequ¨entemente a matriz nula por 0.
1.2. Tipos de Matrizes 3
Matriz quadrada
E´ a matriz de ordem n×n, ou seja, n linhas e n colunas.
A=

a11 · · · a1n
... . . .
...
an1 · · · ann

Os elementos da forma aii constituem a diagonal principal
Os elementos ai j em que i+ j = n+1 constituem a diagonal secunda´ria.
Exemplo 6
A= [0]1×1 , B=
 3 −2
1 −7

Matriz diagonal
Matriz diagonal e´ a matriz quadrada A=
[
ai j
]
onde ai j = 0 para i 6= j :
A=

a11 0 · · · 0 0
0 . . . · · · · · · 0
...
... . . . · · · ...
0
... · · · . . . 0
0 0 · · · 0 ann

Notac¸a˜o: diag(A) = {a11, · · · ,ann}
Exemplo 7
A= [0]1×1 , B=
 3 0
0 −11

Matriz identidade ou unita´ria
Temos a diagonal principal com elementos iguais a um e todos os outros elementos iguais a zero,
ou seja, ai j = 1 para i= j e ai j = 0 para i 6= j.
Tambe´m podemos dizer que e´ a matriz diagonal I onde diag(I) = {1, · · · ,1}.
Notac¸a˜o: In representa a matriz identidade de ordem n.
Observac¸a˜o 2 Como 1 e´ o elemento neutro da multiplicac¸a˜o entre nu´meros, a matriz identidade e´ o
elemento neutro da multiplicac¸a˜o de matrizes. E´ usual indicar [I].
4 1.2. Tipos de Matrizes
Exemplo 8
I2 =
 1 0
0 1
 , I100 =

1 0 · · · · · · 0
0 1 0 · · · 0
...
... . . . · · · ...
0 0 · · · . . . 0
0 0 · · · 0 1

Matriz transposta
Dada uma matriz A=
[
ai j
]
m×n , podemos obter uma outra matriz A
T =
[
bi j
]
n×m , cujas linhas sa˜o
as colunas de A, isto e´, bi j = a ji. AT e´ denominada a transposta de A.
A=

a11 a12 ........ a1n
a21 a22 ........ a2n
...
...
am1 am2 ........ amn

m×n
⇒ AT =

a11 a21 ........ am1
a12 a22 ........ am2
...
...
a1n a2n ........ amn

n×m
Exemplo 9
A=

1 2 3 4
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
⇒ A
T =

1 11 21 31
2 12 22 32
3 13 23 33
4 14 24 34

Exemplo 10
D=
[
−1 −2 −3 −4 −5
]
1×5
⇒ DT =

−1
−2
−3
−4
−5

5×1
Matriz sime´trica
Uma matriz quadrada S =
[
ai j
]
e´ sime´trica se ST = S, isto e´, se ai j = a ji. Assim, os elementos
simetricamente opostos a` diagonal principal sa˜o iguais.
Exemplo 11
S=

1 5 9
5 3 8
9 8 7
 , N =
 0 1
1 0

1.3. Operac¸o˜es com matrizes 5
Matriz anti-sime´trica
Uma matriz quadrada A=
[
ai j
]
e´ anti-sime´trica se AT =−A, isto e´, se ai j =−a ji. Assim,
i) os elementos da diagonal principal sa˜o todos nulos:
ii) os elementos simetricamente dispostos em relac¸a˜o a` diagonal principal sa˜o opostos.
Exemplo 12
A=

0 3 4
−3 0 −6
−4 6 0

Matriz triangular superior
A matriz quadrada A=
[
ai j
]
que tem os elementos ai j = 0 para i> j e´ chamada matriz triangular
superior.
Exemplo 13
A=

5 4 7 9
0 3 −8 4
0 0 −2 3
0 0 0 6
 , B=
 0 1
0 0
 , I10000
Matriz triangular inferior
A matriz quadrada A=
[
ai j
]
que tem os elementos ai j = 0 para i< j e´ chamada matriz triangular
inferior.
Exemplo 14
B=

5 0 0 0
4 3 0 0
7 4 −2 0
9 1 2 6
 , C =

1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2

1.3 Operac¸o˜es com matrizes
1.3.1 Adic¸a˜o
Dados A=
[
ai j
]
m×n e B=
[
bi j
]
m×n definimos A+B por,
A+B=
[
ai j+bi j
]
m×n
6 1.3. Operac¸o˜es com matrizes
Propriedades 1.1
1. A+B= B+A
2. A+(B+C) = (A+B)+C
3. A+0= A
1.3.2 Multiplicac¸a˜o por escalar
Seja A=
[
ai j
]
m×n e k um nu´mero real definimos kA por
kA=
[
kai j
]
m×n
Exemplo 15
−2
 2 10
1 −3
=
 −4 −20
−2 6

Propriedades 1.2
1. k(A+B) = kA+ kB
2. (k1+ k2)A= k1A+ k2A
3. 0A= 0
4. k1(k2A) = (k1k2)A
1.3.3 Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Sejam A=
[
ai j
]
m×n e B=
[
bi j
]
n×p , definimos A ·B por AB=
[
ci j
]
m×p , onde
ci j =
n
∑
k=1
aikbk j = ai1b1 j+ .....+ainbn j
Observe que o nu´mero de colunas de A deve ser igual ao nu´mero de linhas de B.
Exemplo 16
2 1
4 2
5 3

3×2
 1 −1
0 4

2×2
=

2 ·1+1 ·0 2 · (−1)+1 ·4
4 ·1+2 ·0 4 · (−1)+2 ·4
5 ·1+3 ·0 5 · (−1)+3 ·4
=

2 2
4 4
5 7

1.3. Operac¸o˜es com matrizes 7
Se os tamanhos das matrizes sa˜o tais que as operac¸o˜es indicadas podem ser efetuadas, enta˜o:
Propriedades 1.3 Multiplicac¸a˜o de matrizes
1. AI = IA= A
2. A(B+C) = AB+AC
3. (A+B)C = AC+BC
4. (AB)C = A(BC)
5. 0A= A0= 0
Observac¸a˜o 3 Note que, em geral AB 6= BA.
Propriedades 1.4 Matriz transposta
1. (A+B)T = AT +BT
2. (λA)T = λAT , onde λ e´ um nu´merto real
3. (AT )T = A
4. (AB)T = BTAT
Exemplo 17 Mostre que se A e´ uma matriz quadrada enta˜o A+AT e´ sime´trica e A−AT e´ anti-
sime´trica.
1.3.4 Matriz inversa
Dada uma matriz quadrada A=
[
ai j
]
, se existir umamatriz B que satisfac¸a AB= BA= I diz-se que
B e´ a inversa de A e denota-se B por A−1,ou seja, A−1A= AA−1 = I.
Exemplo 18
A=
 11 3
7 2
 , A−1 =
 2 −3
−7 11
 .
Dizemos que umamatriz A e´ inversı´vel (na˜o singular) se existe a matriz inversa A−1, caso contra´rio
dizemos que a matriz A e´ na˜o inversı´vel (singular).
Propriedades 1.5
8 1.3. Operac¸o˜es com matrizes
1. A e´ na˜o singular se o determinante de A e´ diferente de zero. A e´ singular se determinante de A
e´ igual a zero.
2. Se A admite inversa (detA 6= 0) esta e´ u´nica.
3. Se A e´ na˜o singular, sua inversa A−1 tambe´m e´, isto e´, se detA 6= 0 enta˜o detA−1 6= 0. A matriz
inversa de A−1 e´ A.
4. A matriz identidade I e´ na˜o singular (pois det I = 1) e I−1 = I.
5. Se a matriz A e´ na˜o singular, sua transposta AT tambe´m e´. A matriz inversa de AT e´ (A−1)T ,
isto e´ , (AT )−1 = (A−1)T , dai concluimos que se detA 6= 0 enta˜o detAT 6= 0.
6. Se as matrizes A e B sa˜o na˜o singulares e de mesma ordem, o produto AB e´ uma matriz na˜o
singular. Vale a relac¸a˜o (AB)−1 = B−1A−1.
Exemplo 19 A=
 2 3
2 2
=⇒ det
 2 3
2 2
= −2⇒ A e´ na˜o singular
Exemplo 20 B=
 1 10
1 10
⇒ det
 1 10
1 10
= 0⇒ B e´ singular
1.3.5 Matriz ortogonal
Uma matriz M, quadrada, cuja inversa conicide com sua transposta e´ denominada matriz ortogonal.
Portanto M e´ ortogonal se M−1 =MT , ou seja,
MMT =MTM = I
Exemplo 21
M =
 12 √32√
3
2
−1
2
 ,
1.3.6 Poteˆncia de uma matriz
Seja A=
[
ai j
]
uma matriz quadrada de ordem n. Definimos as poteˆncias de A por:
1. Define-se A0 = I
2. a matriz Ak = A ·A · ..... ·A︸ ︷︷ ︸
k vezes
e´ chamada k-e´sima poteˆncia de A para k ≥ 1.
1.4. Matriz na forma escada reduzida por linhas 9
3. Se A for invertı´vel, define-se A−k = (A−1)k, k ∈ N
Exemplo 22
A=
 1 2
4 3
 , A2 =
 9 8
16 17
 , A3 =
 41 42
84 83

1.3.7 Trac¸o de uma matriz
Seja A =
[
ai j
]
uma matriz quadrada de ordem n. O trac¸o de A, que denotamos por tr(A), e´ a soma
dos elementos da diagonal principal, isto e´,
tr(A) = a11+a22+ · · ·+ann =
n
∑
i=1
aii
1.3.8 Expresso˜es polinomiais envolvendo matrizes
Se A e´ uma matriz quadrada, digamos m×m, e se
p(x) = a0+a1x+ · · ·+anxn (1.1)
e´ um polinoˆmio qualquer, enta˜o definimos
P(A) = a0I+a1A+ · · ·+anAn
onde I e´ a matriz m×m que resulta quando x e´ substituı´do por A em (1.1) e a0 e´ substituı´do por a0I.
Exemplo 23 Seja P(x) = 3x2−2x+5 e A=
 1 2
0 −3
, determine P(A).
1.4 Matriz na forma escada reduzida por linhas
Definic¸a˜o 1.2 Uma matriz m×n e´ linha reduzida a` forma escada, ou escalonada, se:
a) O primeiro elemento na˜o nulo de uma linha na˜o nula e´ 1. Chamamos este nu´mero de lider ou
pivoˆ.
b) Cada coluna que conte´m o primeiro elemento na˜o nulo de alguma linha tem todos os seus
outros elementos iguais a zero, isto e´, o lı´der da linha inferior ocorre mais a direita da linha superior.
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas na˜o nulas (isto e´, daquelas que possuem pelo
menos um elemento na˜o nulo).
10 1.4. Matriz na forma escada reduzida por linhas
d) Se as linhas 1, ..., p sa˜o as linhas na˜o nulas, e se o primeiro elemento na˜o nulo da linha ı´
ocorre na coluna k1, enta˜o k1 < k2 < ..... < kn. Cada coluna que conte´m um lı´der tem zeros nas
demais entradas.
Exemplo 24

1 0 0 0
0 1 −1 0
0 0 1 0
 na˜o e´ forma escada. Na˜o vale b).
Exemplo 25

0 2 1
1 0 −3
1 0 0
 na˜o e´ forma escada. Na˜o vale a) e b).
Exemplo 26

0 1 −3 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 −1 2
 na˜o e´ forma escada. Na˜o vale c).
Exemplo 27

0 1 −3 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
 e´ forma escada.
1.4.1 Operac¸o˜es elementares linha
Sa˜o treˆs as operac¸o˜es elementares sobre as linhas de uma matriz.
1. Permuta da i− e´sima e j− e´sima linha (Li↔ L j).
Exemplo 28 
1 0
4 −1
−3 4
 L2↔ L3

1 0
−3 4
4 −1

2. Multiplicac¸a˜o da i− e´sima linha por um escalar na˜o nulo k (Li→ kLi).
Exemplo 29 
1 0
4 −1
−3 4
 L2 −→−3L2

1 0
−12 3
−3 4

1.4. Matriz na forma escada reduzida por linhas 11
3. Substituic¸a˜o da i− e´sima linha pela i− e´sima linha mais k vezes a j− e´sima linha (Li −→
Li+ kL j)
Exemplo 30 
1 0
4 −1
−3 4
 L3 −→ L3+2L1

1 0
4 −1
−1 4
 .
Observac¸a˜o 4 Se A e B sa˜o matrizes m× n, dizemos que B e´ linha equivalente a A, se B for obtida
de A atrave´s de um nu´mero finito de operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A. Notac¸a˜o A∼ B.
Exemplo 31

1 0
4 −1
−3 4
 e´ linha equivalente a

1 0
0 1
0 0
 pois,

1 0
4 −1
−3 4
 L2→ L2−4L1

1 0
0 −1
−3 4
 L3→ L3+3L1

1 0
0 −1
0 4
 L2→−L2

1 0
0 1
0 4
 L3→ L3−4L2

1 0
0 1
0 0

Teorema 1.1 Toda matriz A de ordem m×n e´ linha equivalente a uma u´nica matriz linha-reduzida a`
forma escada.
Exemplo 32 Dada a matriz
A=

2 1 3
4 5 6
3 1 −2

obtenha uma u´nica matriz B na forma escada linha equivalente a matriz A.
2 1 3
4 5 6
3 1 −2
 L1→ 12L1

1 12
3
2
4 5 6
3 1 −2
 L2→ L2−4L1

1 12
3
2
0 3 0
3 1 −2
 L3→ L3−3L1

1 12
3
2
0 3 0
0 −12 −132
 L2→ 13L2
12 1.5. Posto de uma matriz

1 12
3
2
0 1 0
0 −12 −132
 L3→ L3+ 12L2

1 12
3
2
0 1 0
0 0 −132
 L3→− 213L3

1 12
3
2
0 1 0
0 0 1
 L1→ L1− 12L2

1 0 32
0 1 0
0 0 1
 L1→ L1− 32L3

1 0 0
0 1 0
0 0 1

Exemplo 33 Dada as matrizes, obtenha uma matriz na forma escada equivalente a cada matriz dada.
a)

1 0 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
−1 0 0 −1
 b)

1 0 1 0
0 1 0 1
0 1 0 1
0 1 1 1

c)

0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1
 d)

1 3 −2 0 2 0 0
2 6 −5 −2 4 −3 −1
0 0 5 10 0 15 5
2 6 0 8 4 18 6

1.5 Posto de uma matriz
Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz linha reduzida a` forma escada, linha equivalente a` matriz
A. O posto de A, denotado por p, e´ o nu´mero de linhas na˜o nulas de B e a nulidade de A e´ n− p, onde
n e´ o nu´mero de colunas de A e p e´ o posto de A.
Exemplo 34 Encontrar o posto e a nulidade da matriz: A=

1 2 1 0
−1 0 3 5
1 −2 1 1

A matriz A e´ linha equivalente a matriz B =

1 0 0 −78
0 1 0 −14
0 0 1 118
 portanto o posto de A e´ 3 (o
nu´mero de linhas na˜o nulas da matriz B) e a nulidade e´ n− p= 4−3= 1 (n e´ o numero de colunas
da matriz A e p e´ o posto de A)
1.6. Ca´lculo da inversa 13
Exemplo 35 Encontrar o posto e a nulidade da matriz: A=

1 0 149
0 1 14
0 0 0
0 0 0

Posto A= 2 e nulidade de A e´ 3−2= 1.
Exemplo 36 Encontrar o posto e a nulidade da matriz:
A=

2 1 10
0 1 14
1 2 0
1 3 0
⇒ B=

2 1 10
0 1 14
0 0 −438
0 0 0

Posto de A= 3 e nulidade de A e´ 0.
1.6 Ca´lculo da inversa
1.6.1 Ca´lculo da inversa por escalonamento
Para se determinar a matriz inversa de uma matriz A, na˜o singular, atrave´s de operac¸o˜es elementares
entre as linhas da matriz fazemos o seguinte:
a) Coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um trac¸o vertical tracejado.
b) Transforma-se por meio de operac¸o˜es elementares a matriz A na matriz I, aplicando simultane-
amente a` matriz I colocada ao lado da matriz A as mesmas operac¸o˜es elementares aplicadas a` matriz
A.
Exemplo 37 Calcular a inversa da matriz A=
 2 1
4 3
 porescalonamento.
 2 1 1 0
4 3 0 1
 L1→ 12L1
 1 12 12 0
4 3 0 1
 L2→ L2−4L1
 1 12 12 0
0 1 −2 1
 L1→ L1− 12L2
 1 0 32 −12
0 1 −2 1

Logo
A−1 =
 32 −12
−2 1

14 1.7. Determinantes
Exemplo 38 Calcular a inversa da matriz B=

1 2 4
0 2 1
3 1 2
 por escalonamento.
Exemplo 39 Calcular a inversa da matriz C =

2 1 0
−3 1 4
1 6 5
 por escalonamento.
1.7 Determinantes
Definic¸a˜o 1.3 Determinante de uma matriz A e´ um nu´mero real associado a` matriz A.
Notac¸a˜o: detA.
Denotamos tambe´m o determinante da matriz A,
A=

a11 a12 · · · a1n−1 a1n
a21 a22 · · · a2n−1 a2n
...
... . . .
...
...
an−11 an−12 · · · . . . an−1n
an1 an2 · · · an−1n ann

por
detA=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n−1 a1n
a21 a22 · · · a2n−1 a2n
...
... . . .
...
...
an−11 an−12 · · · . . . an−1n
an1 an2 · · · an−1n ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Propriedades 1.6
1. detA= detAT ;
2. det(AB) = detAdetB;
3. Se a matriz A possui uma linha ou coluna nula enta˜o detA= 0;
4. Se a matriz A tem duas linhas ou colunas iguais enta˜o detA= 0;
5. Se na matriz A uma linha (ou coluna) e´ mu´ltipla de outra linha (coluna) enta˜o detA= 0;
1.7. Determinantes 15
6. A partir de det(AB) = detAdetB temos
det(AA−1) = det I⇒ detAdetA−1 = 1⇒ detA= 1
detA−1
1.7.1 Ca´lculo do determinante por triangulac¸a˜o
Para se calcular o determinante de uma matriz A usamos as operac¸o˜es elementares linha de modo a
obter uma matriz triangular superior (ou inferior). Assim, temos:
1. Trocando a posic¸a˜o de duas linhas (colunas) o derminante muda de sinal;
2. Quando se multiplica uma linha (coluna) de uma matriz A por um nu´mero k 6= 0 o determinante
fica multiplicado por esse mesmo nu´mero;
3. O determinante de uma matriz A na˜o se altera quando se faz a seguinte operac¸a˜o entre linha:
Li→ Li+ kL j;
4. O determinante de uma matriz triangular superior (ou inferior) e´ igual ao produto do elementos
da diagonal principal;
Exemplo 40 A=

2 −1 1
2 0 −1
3 −1 0

detA=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 1
2 0 −1
3 −1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣L2 ←→ L3 (Quando permutamos as linhas o determinante troca de sinal)
(−1)detA=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 1
3 −1 0
2 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣L1 →
1
2L1 (Quando multiplicamos uma linha por um nu´mero o determinante
fica multiplicado pelo mesmo nu´mero)
1
2(−1)detA=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −12
1
2
3 −1 0
2 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L2 → L2+(−3)L1L3 → L3−2L1
(Esta operac¸a˜o na˜o altera o determinante)
1
2(−1)detA=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −12
1
2
0 12
−3
2
0 1 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L3 → L3−2L2
(Esta operac¸a˜o na˜o altera o determinante)
16 1.7. Determinantes
1
2(−1)detA=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −12
1
2
0 12
−3
2
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (O determinante de uma matriz triangular superior e´ o produto dos elemen-
tos da diagonal principal)
1
2
(−1)detA= 1
2
⇒ detA=−1
Exemplo 41 B=

−3 1 4
6 7 −1
1 −2 3

Exemplo 42 C =

2 1 −1 2
−3 1 4 1
1 6 5 −1
3 2 −3 −4

Exemplo 43 D=

3 3 −2 −1
5 2 1 −2
2 −1 1 −1
−1 4 1 5

1.7.2 Ca´lculo do determinante por difrentes me´todos
Regra de Chio´:
Se a matriz A e´ de ordem 2×2 enta˜o: det
 a11 a12
a21 a22
= a11a22−a21a12
Exemplo 1.1 det
 5 1
2 3
= 5∗3−2∗1= 13
Regra de Sarrus:
Se A e´ e´ de ordem 3×3
A=

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⇒
a11 a12 a13 a11
↘ ↘↗ ↘↗
a21 a22 a23 a21
↗ ↘↗ ↘↗
a31 a32 a33 a31
a12
↗
a22
↘
a32
detA= (a11a22a33)+(a12a23a31)+(a13a21a32)− (a31a22a13)− (a32a23a11)− (a33a21a12)
1.8. Primeira lista de exerc´ıcios 17
Desenvolvimento de Laplace:
Para uma matriz de ordem n×n usamos o desenvolvimento de Laplace que´ e´ dado pela fo´rmula:
detAn×n =
n
∑
j=1
ai j(−1)i+ j detAi j
onde Ai j e´ a submatriz obtida a partir da matriz A eliminando-se a i− e´sima linha e a j− e´sima coluna
da matriz A. Se chamarmos ∆i j = (−1)i+ j detAi j enta˜o
detAn×n =
n
∑
j=1
ai j∆i j
Exemplo 44
A=

−1 2 3 −4
4 2 0 0
−1 2 −3 0
2 5 3 1

Vamos calcular o determinante da matriz fazendo o desenvolvimento pela primeira linha (note
que seria mais conveniente desenvolver pela segunda linha, pois ela possui dois elementos nulos).
detA=−1(−1)1+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 0 0
2 −3 0
5 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ +2(−1)
1+2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 0 0
−1 −3 0
2 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+3(−1)1+3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 2 0
−1 2 0
2 5 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ +(−4)(−1)
1+4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 2 0
−1 2 −3
2 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
detA= (−1)(1)(−6)+2(−1)(−12)+(3)(1)(10)+(−4)(−1)(78)
detA= 372.
1.8 Primeira lista de exercı´cios
Exercı´cio 1.1 Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem ver-
dadeiras, demonstre. Se forem falsas, deˆ um contra-exemplo.
1. Se uma matriz quadrada A for ortogonal enta˜o detA=±1.
18 1.8. Primeira lista de exerc´ıcios
2. det(I+A) = 1+detA
3. Se A e´ uma matriz sime´trica enta˜o A+AT tambe´m e´ sime´trica.
4. Se A e B sa˜o inversı´veis enta˜o A+B tambe´m e´.
5. Se A e´ uma matriz quadrada sime´trica e B e´ uma matriz ortogonal enta˜o a matriz A+B−1
nunca sera´ sime´trica.
6. Se A e´ uma matriz anti-sime´trica de ordem 3, enta˜o detA= 0
7. Se A e´ na˜o-inversı´vel e AB= 0 enta˜o B= 0
8. Se A e´ anti-sime´trica inversı´vel, enta˜o A−1 e´ anti-sime´trica.
9. Se A,B e C sa˜o matrizes n×n inversı´veis, enta˜o (ABC)−1 =C−1B−1A−1.
10. Se A=

2 3 −1 0 2
1 1 0 5 −2
1 2 −1 4 3
0 0 1 −3 2
2 3 1 0 1

e D=

1 0 1 −1 4
1 3 1 2 1
−1 1 1 1 1
−1 4 1 2 1
2 1 2 1 2

satisfazem a relac¸a˜o A−1BA=D
enta˜o detB= 24.
Exercı´cio 1.2 Seja A=
 2 x2
2x−1 0
Determine o valor de x para que A seja uma matriz sime´trica.
Exercı´cio 1.3 Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz
sime´trica com uma matriz anti-sime´trica, ou seja, A = S+N onde S e´ uma matriz sime´trica e N e´
uma matriz anti-sime´trica. Sugesta˜o: Determine S e N em func¸a˜o da matriz A.
Exercı´cio 1.4 Suponha que A 6= 0 e AB=AC onde A,B,C sa˜o matrizes tais que a multiplicac¸a˜o esteja
definida. Pergunta-se:
1. B=C?
2. Se existir uma matriz Y , tal que YA= I, onde I e´ a matriz identidade, enta˜o B=C?
Exercı´cio 1.5 Mostre que a matriz
M =

cosθ −sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1

1.8. Primeira lista de exerc´ıcios 19
e´ uma matriz ortogonal.
Exercı´cio 1.6 Sejam P e Q matrizes ortogonais de mesma ordem.
1. PQ e´ uma matriz ortogonal? Justifique sua resposta.
2. Quais os valores que detQ pode ter?
Exercı´cio 1.7 Dada uma matriz A de ordem m×n mostre que a matriz AAT e´ uma matriz sime´trica
de ordem m×m. A matriz ATA e´ sime´trica? Qual sua ordem?
Exercı´cio 1.8 Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraˆneo
e colonial. A quantidade empregada em cada tipo de casa e´ dada pela matriz
Ferro Madeira Vidro Tinta Ti jolo
Moderno
Mediterraˆneo
Colonial

5
7
6
20
18
25
16
12
8
7
9
5
17
21
13

1. Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraˆneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material sera˜o empregadas?
2. Suponha agora que os prec¸os por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam respecti-
vamente, 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Qual o prec¸o unita´rio de cada tipo de casa?
3. Qual o custo total do material empregado?
Exercı´cio 1.9 Calcule o determinante de A onde
1. A=

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
 ,
2. A=

3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 pi −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1

20 1.8. Primeira lista de exerc´ıcios3. A=

9 1 9 9 9
9 0 9 9 2
4 0 0 5 0
9 0 3 9 0
6 0 0 7 0

Exercı´cio 1.10 Mostre que det

1 1 1
a b c
a2 b2 c2
= (a−b)(b− c)(c−a)
Exercı´cio 1.11 Encontre A−1, onde
1. A=

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
 ,
2. A=

1 0 x
1 1 x2
2 2 x2

Exercı´cio 1.12 Encontre os valores d k para os quais a matriz
A=

k−3 0 3
0 k+2 0
−5 0 k+5

e na˜o inversı´vel.
Exercı´cio 1.13 Existe alguma matriz ”inversı´vel”X tal que X2 = 0? Justifique sua resposta.
Exercı´cio 1.14 Encontre todos os valores de λ para os quais a matriz A−λ I4 tem inversa, em que
A=

2 0 0 0
2 0 0 0
1 2 1 0
3 2 −1 2

Exercı´cio 1.15 Para a matriz A = (ai j)de ordem 2 definida por ai j = i+ j, calcular f (t) = det(A−
tI2) e resolver a equac¸a˜o do segundo grau f (t) = 0.
1.8. Primeira lista de exerc´ıcios 21
Exercı´cio 1.16 Para a matriz definida por:
M =
a b
c d

calcular f (t) = det(M− tI2) e resolver a equac¸a˜o do segundo grau f (t) = 0.
1.8.1 Algumas respostas e sugesto˜es
1.1 - 1 (V); 2 (F); 3 (V); 4 (F); 5 (V); 6 (F); 7 (V); 8 (V); 9 (V); 10 detB= detD?
1.2 - x = 1
1.3 - Partindo de ai j = si j+ni j e a ji = s ji+n ji iguale si j e s ji (Porque voceˆ pode fazer isso?)
1.4 - Pense: o que significa uma matriz possuir uma inversa?
1.5 - Use a definic¸a˜o de matriz ortogonal. Evite calcular a inversa de M...
1.6 - Qual a transposta do produto de duas matrizes?
1.8 - a)
Ferro Madeira Vidro Tinta Ti jolo
146 526 260 158 388
b)
Moderno 492
Mediterraneo 528
Colonial 465
c) O custo total sera´ RS11.736,00
1.9 - a) detA= 12
b) detA= 0
c) detA=−12
1.11 - a) A−1 =

−1 −1 24 −2
−3 −4 12 −6
11 14 −43 22
10 14 −41 21

b) A−1 =

1 −2x 1x
−1 −1x (x−2) 1x (x−1)
0 2x2 − 1x2

1.12 - k = 0 ou k =−2
22 1.9. Apeˆndice - Ca´lculo da inversa por adjunta
1.13 - Na˜o. Mas a justificativa fica por sua conta. Dica: o fato de X ser inversı´vel e´ essencial na
resoluc¸a˜o.
1.14 - λ 6= 2, λ 6= 0, λ 6= 1
1.15 - t = 3±√10
1.16 - t = a+d±
√
(a−d)2−bc
2
1.9 Apeˆndice - Ca´lculo da inversa por adjunta
Dada uma matriz , lembramos que o cofator di j do elemento ai j da matriz A e´ o elemento
(−1)i+ j detAi j, onde Ai j e´ a submatriz de A obtida extraindo-se a i− e´sima linha e a j− e´sima coluna.
Com estes cofatores forma-se uma nova matriz A, denomindada matriz dos cofatores denotada por A.
Portanto
A=
[
di j
]
onde di j = (−1)i+ j detAi j
Exemplo 45
A=

2 1 0
−3 1 4
1 6 5

a11 = 2⇒ d11 = (−1)1+1 det
 1 4
6 5
= 1∗ (−19) =−19
a12 = 1⇒ d12 = (−1)1+2 det
 −3 4
1 5
=−1∗ (−19) = 19
a13 = 0⇒ d13 = (−1)1+3 det
 −3 1
1 6
= 1∗ (−19) =−19
a21 =−3⇒ d21 = (−1)2+1 det
 1 0
6 5
=−1∗ (5) =−5
a22 = 1⇒ d22 = (−1)2+2 det
 2 0
1 5
= 1∗ (10) = 10
a23 = 4⇒ d23 = (−1)2+3 det
 2 1
1 6
=−1∗ (11) =−11
a31 = 1⇒ d31 = (−1)3+1 det
 1 0
1 4
= 1∗ (4) = 4
1.9. Apeˆndice - Ca´lculo da inversa por adjunta 23
a32 = 6⇒ d32 = (−1)3+2 det
 2 0
−3 4
=−1∗ (8) =−8
a33 = 5⇒ d33 = (−1)3+3 det
 2 1
−3 1
= 1∗ (5) = 5
A=

−19 19 −19
−5 10 −11
4 −8 5

Definic¸a˜o 1.4 Dada uma matriz quadrada A, chamaremos de matriz adjunta de A a` transposta da
matriz dos cofatores de A e denotaremos ad j A. Portanto ad jA= AT .
Teorema 1.2 Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se detA 6= 0. Neste caso
A−1 =
1
detA
(ad jA)
Assim, para o exemplo anterior temos:
A−1 =− 1
19
(AT ) =
1
19

19 5 −4
−19 −10 8
19 11 −5

24 1.9. Apeˆndice - Ca´lculo da inversa por adjunta
Capı´tulo 2
SISTEMA DE EQUAC¸O˜ES LINEARES
2.1 Introduc¸a˜o
Uma equac¸a˜o linear e´ uma equac¸a˜o da forma
a1x1+a2x2+a3x3+ ......+anxn = b
na qual a1,a2,a3, ....,an sa˜o os respectivos coeficientes das varia´veis, x1,x2,x3, ....,xn e b e´ o termo
independente. Os nu´meros a1,a2,a3, ....,an e o termo independente b geralmente sa˜o nu´meros con-
hecidos e as varia´ veis x1,x2,x3, ....,xn sa˜o as inco´gnitas.
Os valores das varia´veis que transformam uma equac¸a˜o linear em uma identidade, isto e´, que
satisfazem a equac¸a˜o, constituem sua soluc¸a˜o. Esses valores sa˜o denominados raı´zes das equac¸o˜es
lineares.
A um conjunto de equac¸o˜es lineares se da´ o nome de sistema de equac¸o˜es lineares e tem a seguinte
representac¸a˜o:

a11x1+a12x2+a13x3+ ......+a1nxn = b1
a21x1+a22x2+a23x3+ ......+a2nxn = b2
...
...
...
...
...
...
am1x1+am2x2+am3x3+ ......+amnxn = bm
Os valores das varia´veis que transformam simultaneamente as equac¸o˜es de um sistema de
equac¸o˜es lineares em uma identidade, isto e´, que satisfazem a equac¸a˜o constituem sua soluc¸a˜o.
Diz-se que dois sistemas de equac¸o˜es lineares sa˜o equivalentes quando admitem a mesma
soluc¸a˜o.
26 2.1. Introduc¸a˜o
Exemplo 46 Os sistemas  2x+3y= 11−x+ y=−3 e
 10x−2y= 38−3x+5y=−7
sa˜o equivalentes pois possuem as mesmas soluc¸o˜es, x= 4 e y= 1
Consideremos a resoluc¸a˜o de duas equac¸o˜es a duas inco´gnitas: a1x+b1y= c1a2x+b2y= c2
onde x e y sa˜o as inco´gnitas e os a,b e c sa˜o nu´meros conhecidos. Cada uma destas equac¸o˜es repre-
sentam uma reta. Assim, a soluc¸a˜o de um sistema de duas equac¸o˜es sera´ representada pela intersec¸a˜o
de duas retas. Surgem treˆs casos possı´veis na teoria:
Exemplo 47  2x+ y= 1x−2y= 3
Exemplo 48  2x− y=−12x− y=−2
Exemplo 49  x− y= 13x−3y= 3
Assim, quanto as soluc¸o˜es, treˆs casos podem ocorrer:
1. O sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o. Neste caso, dizemos que o sistema e´ compatı´vel e deter-
minado
2. O sistema possui infinitas soluc¸o˜es. Neste caso, dizemos que o sistema e´ compatı´vel e indeter-
minado.
3. O sistema na˜o possui nenhuma soluc¸a˜o. Neste caso, dizemos que o sistema e´ incompatı´vel.
2.2. Sistemas e matrizes. 27
2.2 Sistemas e matrizes.
Dado um sistema linear na forma,
a11x1+a12x2+a13x3+ ......+a1nxn = b1
a21x1+a22x2+a23x3+ ......+a2nxn = b2
...
...
...
...
...
...
am1x1+am2x2+am3x3+ ......+amnxn = bm
(2.1)
com ai j ∈ℜ, 1≤ i≤m, 1≤ j≤ n, bm ∈ℜ. Tambe´m podemos representa-lo matricialmente utilizando
as notac¸o˜es da teoria de matrizes da seguinte maneira:
se
A=

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

X =

x1
x2
...
xn
 B=

b1
b2
...
bm

podemos escrever o sistema (2.1) na forma matricial:
AX = B
onde A e´ a matriz dos coeficientes (ai j), B a matriz coluna dos termos independentes (bm) e X e´ a
matriz coluna das varia´veis (xn).
Ao sistema (2.1) associamos a seguinte matriz:

a11 a12 · · · a1n | b1
a21 a22 · · · a2n | b2
...
... · · · ... | ...
am1 am2 · · · amn | bm

que chamamos matriz ampliada do sistema.
Teorema 2.1 Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes sa˜o equivalentes.
28 2.2. Sistemas e matrizes.
Dada a matriz ampliada do sistema de equac¸o˜es lineares consideramos a matriz linha reduzida a
forma escada obtida a partir da matriz ampliada do sistema
Teorema 2.2
1. Um sistema de m equac¸o˜es e n inco´gnitas admite soluc¸a˜o se, e somente se, o posto da matriz
ampliada e´ igual ao posto da matriz dos coeficientes.
2. Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p= n (nu´mero de colunas da matriz dos coeficientes,
ou nu´meros de varia´veis) a soluc¸a˜o e´ u´nica.
3. Se as duas matrizes tem o mesmo posto e p 6= n podemos escolher n− p inco´gnitas e as outras
inco´gnitas sera˜o dadas em func¸a˜o destas. O nu´mero n− p e´ chamado graude liberdade do
sistema.
Observac¸a˜o 5 Dado um sistema de m equac¸o˜es e n inco´gnitas seja Aa a matriz ampliada do sistema
e seja Ae a matriz linha equivalente a matriz Aa onde a matriz dos coeficientes esta˜o na forma escada.
Seja pa o posto da matriz ampliada e pc o posto da matriz dos coeficientes obtidos a partir da matriz
Ae.
• Se pa 6= pc enta˜o o sistema e´ incompatı´vel ( na˜o possui soluc¸a˜o)
• Se pa = pc enta˜o o sistema e´ compatı´vel (possui soluc¸a˜o). Seja p= pa = pc, se p= n enta˜o o
sistema e´ compatı´vel e determinado (possui uma u´nica soluc¸a˜o). Se p < n o sistema e´ com-
patı´vel e indeterminado (possui infinitas soluc¸o˜es). Sempre que um sistema possuir infini-
tas soluc¸o˜es deveremos atribuir valores a algumas varia´veis e determinar o valor das outras
varia´veis em func¸a˜o destas. O nu´mero de varia´veis as quais deveremos atribuir valor e´ o grau
de liberdade do sistema, dado pelo nu´mero n− p.
Exemplo 2.1 Classificar e resolver o sistema:

2x1+ x2+3x3 = 8
4x1+2x2+2x3 = 4
2x1+5x2+3x3 = −12
(2.2)
Matriz Ampliada
Aa =

2 1 3 | 8
4 2 2 | 4
2 5 3 | −12

2.2. Sistemas e matrizes. 29
Matriz linha equivalente a matriz ampliada, onde a parte da matriz dos coeficientes esta´ na forma
escada
Ae =

1 0 0 | 2
0 1 0 | −5
0 0 1 | 3

De Ae obtemos: pc = 3, pa = 3 e n= 3.
p= pc = pa = 3⇒ sistema compatı´vel
p= n⇒ sistema compatı´vel e determinado (possui uma u´nica soluc¸a˜o)
A matriz Ac e´ a matriz ampliada do seguinte sistema:
x1 = 2
x2 =−5
x3 = 3
Como sistemas equivalentes tem a mesma soluc¸a˜o, a soluc¸a˜o do sistema (2.2) e´
x1 = 2,x2 =−5,x3 = 3
Exemplo 2.2 Classificar e resolver o sistema:

4y+2x+6z = −6
−4z−2y+3x = −38
x+3z+2y = −3
Reescrevendo o sistema, obte´m-se
2x+4y+6z = −6
3x−2y−4z = −38
x+2y+3z = −3
(2.3)
Aa =

2 4 6 | −6
3 −2 −4 | −38
1 2 3 | −3

30 2.2. Sistemas e matrizes.
Ae =

1 0 −14 | −212
0 1 138 | 298
0 0 0 | 0

Neste caso temos:
n= 3
pa = 2
pc = 2⇒ p= 2
p< n⇒sistema compatı´vel e indeterminado (infinitas soluc¸o˜es)
grau de liberdade = n− p= 1
O sistema (2.3) e´ equivalente ao sistema
 x − 14z = −212y + 138 z = 298
Para encontrar uma soluc¸a˜o (note que existem infinitas soluc¸o˜es) devemos atribuir valor a uma
das varia´veis (pois o grau de liberdade e´ 1) e determinar as outras. Note que fica mais fa´cil se
atribuirmos valor a varia´vel z : Por exemplo fazendo z= 0, temos que: x = −414 e y = 298 (
Poderı´amos atribuir outro valor qualquer a z, e para cada valor de z teremos os valores correspondentes de x
e y, daı´ temos infinitas soluc¸o˜es)
Exemplo 2.3 Classificar e resolver o sistema:
6x−4y−2z = 3
x+ y+ z = 1
3x−2y− z = 1
Aa =

6 −4 −2 | 3
1 1 1 | 1
3 −2 −1 | 1

Ae =

1 0 15 | 710
0 1 45 | 310
0 0 0 | −12

Neste caso:
n= 3
2.3. Soluc¸a˜o de um sistema por matriz inversa 31
pc = 2
pa = 3⇒ pa 6= pc⇒sistema incompatı´vel (na˜o possui soluc¸a˜o)
2.3 Soluc¸a˜o de um sistema por matriz inversa
Usando a notac¸a˜o matricial para sistemas lineares temos que
CX = B (supondo que existeC−1)
C−1CX = C−1B (observe que estamos multiplicando C−1 pela esquerda)
IX = C−1B
X = C−1B
Logo para se determinar a soluc¸a˜o basta multiplicar a matriz inversa dos coeficientes pela matriz
dos termos independentes (pela esquerda, ja´ que a multiplicac¸a˜o de matrizes na˜o e´ comutativa). Se a
matriz C na˜o tem inversa enta˜o ou o sistema na˜o possui soluc¸a˜o ou possui infinitas soluc¸o˜es.
Exemplo 50 
−2x+3y− z = 1
x−3y+ z = 1
−x+2y− z = 1
C =

−2 3 −1
1 −3 1
−1 2 −1
 B=

1
1
1
 X =

x
y
z

C−1 =

−1 −1 0
0 −1 −1
1 −1 −3

CX = B → X =C−1B
x
y
z
=

−1 −1 0
0 −1 −1
1 −1 −3


1
1
1
=

−2
−2
−3

O pro´ximo teorema apresenta resultados importantes sobre sistemas lineares e matrizes in-
versı´veis.
32 2.4. Segunda lista de exerc´ıcios
Teorema 2.3 Se A uma matriz n×n, enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equi-valentes:
1. A e´ inversı´vel.
2. AX = 0 so´ tem a soluc¸a˜o trivial.
3. A e´ equivalentes por linha a` matriz In.
4. AX = B tem exatamente uma soluc¸a˜o para cada matriz Bn×1.
2.4 Segunda lista de exercı´cios
Exercı´cio 2.1 Resolva o sistema de equac¸o˜es, escrevendo a matriz ampliada do sistema inicial e
escrevendo o sistema final do qual se obtera´ a soluc¸a˜o do sistema original:
2x− y+3z = 11
4x−3y+2z = 0
x+ y+ z = 6
3x+ y+ z = 4
Exercı´cio 2.2 Considere o sitema linear

x+ y+3z= 2
x+2y+4z= 3
x+3y+az= b
. Para que valores de a e b o sistema
1. tem uma infinidade de soluc¸o˜es?
2. tem u´nica soluc¸a˜o?
3. e´ impossı´vel?
Exercı´cio 2.3 Seja

a 0 b
... 2
a a 4
... 4
0 a 2
... b
 a matriz ampliada de um sistema linear. Para quais valores de
a e b o sistema tem
1. u´nica soluc¸a˜o,
2. nenhuma soluc¸a˜o,
3. uma soluc¸a˜o com duas varia´veis livres?
2.4. Segunda lista de exerc´ıcios 33
Exercı´cio 2.4 Encontre a relac¸a˜o entre a,b e c para que o sistema linear

x+2y−3z= a
2x+3y+3z= b
5x+9y−6z= c
seja
possı´vel para quaisquer valores de a,b e c.
Exercı´cio 2.5 Reduza as matrizes a` forma escada atrave´s de operac¸o˜es linhas:
1.

1 −2 3 −1
2 −1 2 3
3 1 2 3

2.

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1

Exercı´cio 2.6 Determine k para que o sistema admita soluc¸a˜o

−4x+3y = 2
5x−4y = 0
2x− y = k
Exercı´cio 2.7 Encontre todas as soluc¸o˜es do sistema
x1+3x2+2x3+3x4−7x5 = 14
2x1+6x2+ x3−2x4+5x5 = −2
x1+3x2− x3+2x5 = −1
Exercı´cio 2.8 Apresente todos os possı´veis resultados na discussa˜o de um sistema na˜o-homogeˆneo
de 6 equac¸o˜es lineares com 4 inco´gnitas.
Exercı´cio 2.9 Se A e´ uma matriz 3×5, quais sa˜o os possı´veis valores da nulidade de A? E se A for
4×2?
Exercı´cio 2.10 Explique por que a nulidade de uma matriz nunca e´ negativa.
Exercı´cio 2.11 Um sistema homogeˆneo com 3 equac¸o˜es e 4 inco´gnitas sempre tem uma soluc¸a˜o na˜o-
trivial.
Exercı´cio 2.12 Chamamos de sistema homogeˆneo de n equac¸o˜es e m inco´gnitas aquele sistema cujos
termos independentes sa˜o todos nulos.
34 2.4. Segunda lista de exerc´ıcios
1. Um sistema homogeˆneo admite pelo menos uma soluc¸a˜o. Qual e´ ela?
2. Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogeˆneo
2x−5y+2z = 0
x+ y+ z = 0
2x+ kz = 0
tenha uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o trivial.
Exercı´cio 2.13 Se detA = 0, enta˜o o sistema homogeˆneo AX = 0 tem infinitas soluc¸o˜es? Justifique
sua resposta.
Exercı´cio 2.14 Podemos resolver um sistema usando matriz inversa da seguinte forma:
AX = B
A−1AX = A−1B
X = A−1B
Isto e´ u´til quando desejamos resolver va´rios sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos
coeficientes.
Usando a teoria acima resolva os sistema AX = B onde A=

1 2 −2
2 5 −4
3 7 −5
 e
a) B=

1
2
3
, b) B=

−1
3
100
, c) B=

1000
10
100
, d) B=

111
311
511

Exercı´cio 2.15 Resolva o sistema matricial D−1X = A onde D= diag(1,2,3,4,5,6)
A=

1 0 0 0 1 1
0 1 2 2 2 2
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 −1 −1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1

Exercı´cio 2.16 Classifique o sistema e exiba uma soluc¸a˜o, caso ela exista:
2x+4y+6z = −6
3x−2y−4z = −38
x+2y+3z = −3
2.4. Segunda lista de exerc´ıcios 35
Exercı´cio 2.17 Uma editora publica um best-seller potencial com treˆs encadernac¸o˜es diferentes:
capa mole,capa dura e encardenac¸a˜o de luxo. Cada exemplar necessita de um certo tempo para
costura e cola conforme mostra a tabela abaixo:
Costura Cola
Capa mole 1 min 2 min
Capa Dura 2 min 4 min
Luxo 3 min 5 min
Se o local onde sa˜o feitas as costuras fica disponı´vel 6 horas por dia e o local onde se cola, 11
horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia, de modo que os locais de trabalho
sejam plenamente utilizados?
Exercı´cio 2.18 Num grande acampamento militar ha´ 150 blindados dos tipos BM3, BM4 e BM5, isto
e´, equipados com 3, 4 e 5 canho˜es do tipo MX9 respectivamente. O total de canho˜es disponı´veis e´
igual a 530. A soma dos BM4 com os BM5 corresponde aos 2 / 3 dos BM3. Se para o inı´cio de uma
manobra militar, cada canha˜o carrega 12 proje´teis, quantos proje´teis sera˜o necessa´rios para o grupo
dos BM4 no inı´cio da operac¸a˜o?
Exercı´cio 2.19 a) Em cada parte, use a informac¸a˜o da tabela para determinar se o sistema AX = B
e´ possı´vel. Se for, determine o nu´mero de varia´veis livres da soluc¸a˜o geral. Justifique sua resposta.
(a) (b) (c) (d)
Tamanho de A 3×3 9×5 4×4 3×3
Posto de A 2 4 0 3
Posto de [A |B ] 3 4 0 3
b) Para cada uma das matrizes da tabela acima determine se o sistema homogeˆneo AX = 0, e´
possı´vel. Indique a quantidade de soluc¸o˜es para cada caso.
2.4.1 Algumas respostas e sugesto˜es
2.1 - x=−1, y= 2, z= 5
2.2 - a) a= 5 e b= 4
b) a 6= 5 e b 6= 4
c) a= 5 e b 6= 4
2.3 - a) a 6= 0 e b 6= 2
b) a= 0 e b 6= 2
36 2.4. Segunda lista de exerc´ıcios
c) a qualquer e b= 2
2.4 - a, b e c devem satisfazer a equac¸a˜o c−b−3a= 0.
2.6 - k =−6
2.7 -
X =

x
y
z
t
w

=

−3y−w+1
y
w+2
3+2w
w

X = y

−3
1
0
0
0

+w

−1
0
1
2
1

+

1
0
2
3
0

2.11 - Analise o posto da matriz ampliada (e dos coeficientes)
2.12 - b) k = 2
2.13 - A resposta esta´ no Teorema 2.3.
2.14 -
a) X =

1
0
0
 b) X =

185
5
98

c) X =

3160
−1990
−910
 d) X =

111
89
89

2.15 - X =

1 0 0 0 1 1
0 2 4 4 4 4
0 0 3 3 3 3
0 0 0 4 −4 −4
0 0 0 0 5 0
0 0 0 0 0 6

2.16 - X =
 x
y
= 14
 1 −41
29
2 −132

2.5. Apeˆndice - Regra de Cramer 37
2.17 - Uma soluc¸a˜o possı´vel e´: 180 livros de capa mole, nenhum de capa dura e 60 de luxo. Mas
esta na˜o e´ a u´nica soluc¸a˜o. Voceˆ consegue exibir outras.
2.18 - Sera˜o necessa´rios 1920 proje´teis para o grupo BM4.
2.5 Apeˆndice - Regra de Cramer
Um outro me´todo de resoluc¸a˜o de sistemas lineares de ordem n× n e´ a Regra de Cramer onde as
soluc¸o˜es do sistema linear sa˜o calculadas usando o determinante. Justamente por usar o determinante
este me´todo torna-se invia´vel computacionalmente, mas e´ bastante pra´tico em certas questo˜es teo´ricas.

a11x1+a12x2+a13x3+ ......+a1nxn = b1
a21x1+a22x2+a23x3+ ......+a2nxn = b2
...
...
...
...
...
...
an1x1+an2x2+an3x3+ ......+annxn = bn
Na forma matricial este sistema e´ escrito da seguinte maneira:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann


x1
x2
...
xn
=

b1
b2
...
bn

Supondo que detC 6= 0 e portanto que C tenha inversaC−1 obtemos
CX = B
C−1CX = C−1B (observe que estamos multiplicando C−1 pela esquerda)
IX = C−1B
X = C−1B
usando a relac¸a˜o
C−1 =
1
detC
(ad jC)
temos
X =
1
detC
(ad jC)B
38 2.5. Apeˆndice - Regra de Cramer
x1
x2
...
xn
 =
1
detC
ad j


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann



b1
b2
...
bn


x1
x2
...
xn
 =
1
detC


Da11 Da12 · · · Da1n
Da21 Da22 · · · Da2n
...
...
...
...
...
...
Dan1 Dan2 · · · Dann



b1
b2
...
bn


x1
x2
...
xn
 =
1
detC

b1D11+ b2Da12 + · · ·+ bnDa1n
b1Da21+ b2Da22 + · · ·+ bnDa2n
...
...
...
...
...
...
b1Dan1 b2Dan2 · · · bnDann

x1 =
1
detC
(b1D11+b2Da12+ · · ·+bnDa1n)
x1 =
1
detC
det

b1 a12 · · · a1n
b2 a22 · · · a2n
...
...
...
...
...
...
bn an2 · · · ann
→ x1 =
det

b1 a12 · · · a1n
b2 a22 · · · a2n
...
...
...
...
...
...
bn an2 · · · ann

det

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann

Analogamente
xi =
det

a11 · · · b1 · · · a1n
a21 · · · b2 · · · a2n
... · · · ... · · · ...
an1 · · · bn · · · ann

det

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann

2.5. Apeˆndice - Regra de Cramer 39
i= 2,3, .....,n
Podemos escrever esta relac¸a˜o na forma
xi =
Di
D
onde
Di = det

a11 · · · b1 · · · a1n
a21 · · · b2 · · · a2n
... · · · ... · · · ...
an1 · · · bn · · · ann

e
D= det

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann

Usando a Regra de Cramer podemos classificar um sistema n×n:
Se D 6= 0 enta˜o o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o (compatı´vel e determinado)
Se D= 0 e algum dos Di 6= 0 enta˜o o sistema e´ incompatı´vel
Se D = 0 e todos os Di = 0, para i = 1, ...,n enta˜o o sistema possui infinitas soluc¸o˜es. Note que
na˜o podemos determinar o grau de liberdade pela Regra de Cramer.
Exemplo 51 Resolver o sistema  x+ y= 210x+10y= 20
D= det
 1 1
10 10
= 0,
D1 = det
 2 1
20 10
= 0, D2 = det
 1 2
10 20
= 0.
Logo o sistema possui infinitas soluc¸o˜es.
Exemplo 52 Resolver o sistema 
2x+ y− z= 0
20x+20y−20z= 1
x+ y− z= 0
40 2.5. Apeˆndice - Regra de Cramer
D= det

2 1 −1
20 20 −20
1 1 −1
= 0, D1 = det

0 1 −1
1 20 −20
0 1 −1
= 0,
D2 = det

2 1 −1
20 0 −20
1 1 −1
=−1, D3 = det

2 1 0
20 20 1
1 1 0
=−1.
Como D2 =−1 e D3 =−1 o sistema e´ incompatı´vel.
Exemplo 53 Resolva o sistema 
x+ y− z= 0
x− y− z= 1
x+ y+ z= 1
D= det

1 1 −1
1 −1 −1
1 1 1
=−4,
logo o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o
D1 = det

0 1 −1
1 −1 −1
1 1 1
=−4, D2 = det

1 0 −1
1 1 −1
1 1 1
= 2,
D3 = det

1 1 0
1 −1 1
1 1 1
=−2,
assim, a soluc¸a˜o e´
x =
D1
D
=
−4
−4 = 1
y =
D2
D
=
2
−4 =
−1
2
z =
D
D3
=
−2
−4 =
1
2
Exercı´cio 2.20 Usando a Regra de Cramer fac¸a a classificac¸a˜o de um sistema homogeˆneo AX = 0
Capı´tulo 3
ESPAC¸OS VETORIAIS
3.1 Introduc¸a˜o
A´lgebra linear e´ uma parte da A´lgebra que, por sua vez, e´ um ramo da Matema´tica na qual sa˜o
estudados matrizes, espac¸os vetoriais e transformac¸o˜es lineares. Todos esses itens servem para um
estudo detalhado de sistemas lineares de equac¸o˜es.
Tanto a a´lgebra Linear como a Geometria Analı´tica aplicam-se a va´rias a´reas, em especial a`s
Engenharias. Citamos, a seguir, alguma delas. E´ claro que neste curso na˜o conseguiremos aborda-las
todas. Contudo, nosso objetivo no momento e´ que o estudante tome contato com o que representa o
estado da arte neste contexto.
· Jogos de Estrate´gia: no jogo de roleta o jogador da´ seu lance com uma aposta e o cassino
responde com o giroda roleta; o lucro para o jogador ou para o cassino e´ determinado a partir destes
dois movimentos. Esses sa˜o os ingredientes ba´sicos de uma variedade de jogos que conteˆm elemen-
tos tanto de estrate´gia quanto de acaso. Os me´todos matriciais podem ser usados para desenvolver
estrate´gias otimizadas para os jogadores.
·Administrac¸a˜o de Florestas: o administrador de uma plantac¸a˜o de a´rvores de Natal quer plantar
e cortar as a´rvores de uma maneira tal que a configurac¸a˜o da floresta permanec¸a inalterada de um ano
para outro. O administrador tambe´m procura maximizar os rendimentos, que dependem de nu´mero
e do tamanho das a´rvores cortadas. Te´cnicas matriciais podem quantificar este problema e auxiliar o
administrador a escolher uma programac¸a˜o sustenta´vel de corte.
·Computac¸a˜o gra´fica: uma das aplicac¸o˜es mais u´teis da computac¸a˜o gra´fica e´ a do simulador
de voˆo. As matrizes fornecem uma maneira conveniente de lidar com a enorme quantidade de da-
dos necessa´rios para construir e animar os objetos tridimensionais usados por simuladores de voˆo
42 3.1. Introduc¸a˜o
para representar um cena´rio em movimento. Outras aplicac¸o˜es mais simples em computac¸a˜o gra´fica
sa˜o: vetores e matrizes – sa˜o utilizados em espac¸os de cores(RGB, HSV, etc), em coordenadas
e transformac¸o˜es geome´tricas em duas e treˆs dimenso˜es, em combinac¸o˜es convexas e lineares de
pontos( curvas e superfı´cies spline), em representac¸a˜o compacta de sesso˜es coˆnicas, etc.; coorde-
nadas homogeˆneas e geometria projetiva – utilizando comumente para representar consistentemente
transformac¸o˜es afins e processos de projec¸a˜o( paralela, perspectiva, modelos de caˆmera virtual):
nu´meros complexos – em rotac¸a˜o no plano e tambe´m em processamento de imagens, incluindo trans-
formadas de co-seno, Fourier, etc.; quate´rnios – rotac¸a˜o espaciais e implementac¸a˜o de cinema´tica
inversa( resolver problemas de posicionamento de juntas articuladas).
·Redes Ele´tricas: circuitos ele´tricos que contenham somente resisteˆncias e geradores de energia
podem se analisados usando sistemas lineares derivados das leias ba´sicas da teoria de circuitos.
·Distribuic¸a˜o de Temperatura de Equilı´brio: uma tarefa ba´sica da cieˆncia e da engenharias, que
pode se reduzida a resolver um sistema de equac¸o˜es lineares atrave´s de te´cnicas matriciais interativas,
e´ determinar a distribuic¸a˜o de temperatura de objetos tais como a do ac¸o saindo da fornalha.
·Cadeias de Markov: os registros meteorolo´gicos de uma localidade especı´fica podem ser usados
para estimar a probabilidade de que va´ chover em um certo dia a partir da informac¸a˜o de que choveu
ou na˜o no dia anterior. A teoria das cadeias de Markov pode utilizar tais dados para prever, com muita
antecedeˆncia, a probabilidade de um dia chuvoso na localidade.
·Gene´tica: os mandata´rios do Egito recorriam a casamentos entre irma˜os para manter a pureza
da linhagem real. Este costume propagou e acentuou certos trac¸os gene´ticos atrave´s de muitas
gerac¸o˜es. A teoria das matrizes fornece um referencial matema´tico para examinar o problema geral
da propagac¸a˜o de trac¸os gene´ticos.
·Crescimento Populacional por Faixa Eta´ria: a configurac¸a˜o populacional futura pode ser proje-
tada aplicando a´lgebra matricial a`s taxas, especificas por faixas eta´rias, de nascimento e mortalidade
da populac¸a˜o. A evoluc¸a˜o a longo prazo da populac¸a˜o depende das caracterı´sticas matema´ticas de
uma matriz de projec¸a˜o que conte´m os paraˆmetros demogra´ficos da populac¸a˜o.
·Colheita de Populac¸o˜es Animais: a colheita sustentada de uma criac¸a˜o de animais requer o con-
hecimento da demografia da populac¸a˜o animal. Para maximizar o lucro de uma colheita perio´dica,
podem ser comparadas diversas estrate´gias de colheita sustentada utilizando te´cnicas matriciais que
descrevem a dinaˆmica do crescimento populacional.
·Criptografia: durante a Segunda Guerra Mundial, os decodificadores norte americanos e
britaˆnicos tiveram eˆxito em quebrar o co´digo militar inimigo usando te´cnicas matema´ticas e ma´quinas
3.1. Introduc¸a˜o 43
sofisticadas (por exemplo, a Enigma). Hoje me dia, o principal impulso para o desenvolvimento de
co´digos seguros e´ dado pelas comunicac¸o˜es confidencias entre computadores e em telecomunicac¸o˜es.
·Construc¸a˜o de Curvas e Superfı´cies po´ Pontos Especı´ficos: em seu trabalho “Principia Mathemat-
ica” ( os princı´pios matema´ticos da Filosofia Natural) I. Newton Abordou o problema da construc¸a˜o
de uma elipse por cinco pontos dados. Isto ilustraria como encontrar a o´rbita de um cometa ou de um
planeta atrave´s da ana´lise de cinco observac¸o˜es. Ao inve´s de utilizarmos o procedimento geome´trico
de Newton, podemos utilizar os determinantes para resolver o problema analiticamente.
·Programac¸a˜o Linear Geome´trica: um problema usual tratado na a´rea de programac¸a˜o linear e´
o da determinac¸a˜o de proporc¸o˜es dos ingredientes em uma mistura com o objetivo de minimizar seu
custo quando as proporc¸o˜es variam dentro de certos limites. Um tempo enorme do uso de computa-
dores na administrac¸a˜o e na indu´stria e´ dedicado a problemas de programac¸a˜o linear.
·O problema na Alocac¸a˜o de Tarefas: um problema importante na indu´stria e´ o do deslocamento
de pessoal e de recursos de uma maneira eficiente quanto ao custo. Por exemplo, uma construtora
pode querer escolher rotas para movimentar equipamento pesado de seus depo´sitos para os locais de
construc¸a˜o de maneira a minimizar a distaˆncia total percorrida.
·Modelos Econoˆmicos de Leontief : num sistema econoˆmico simplificado, uma mina de carva˜o,
uma ferrovia e uma usina de energia necessitam cada uma de uma parte da produc¸a˜o das outras
para sua manutenc¸a˜o e para suprir outros consumidores de seu produto. Os Modelos de produc¸a˜o
de Leontief podem ser usados para determinar o nı´vel de produc¸a˜o necessa´rio a`s treˆs indu´strias para
manter o sistema econoˆmico.
·Interpolac¸a˜o Spline Cu´bica: as fontes tipogra´ficas PostScript e TrueType usadas em telas de
monitores e por impressoras sa˜o definidas por curvas polinomiais por partes denominadas splines.
Os paraˆmetros que os determinam esta˜o armazenados na memo´ria do computador, um conjunto de
paraˆmetros para cada um dos caracteres de uma particular fonte.
·Teoria de Grafos: a classificac¸a˜o social num grupo de animais e´ uma relac¸a˜o que pode ser descrita
e analisada com a teoria de grafos, Esta teoria tambe´m tem aplicac¸o˜es a problemas ta˜o distintos como
a determinac¸a˜o de rotas de companhias ae´reas e a ana´lise de padro˜es de votac¸a˜o.
·Tomografia Computadorizada: um dos principais avanc¸os no diagno´stico me´dico e´ o desenvolvi-
mento de me´todos na˜o invasivos para obter imagens de sec¸o˜es transversais do corpo humano, como
a tomografia computadorizada e a ressonaˆncia magne´tica. Os me´todos da A´lgebra Linear podem ser
usados para reconstruir imagens a partir do escaneamento por raios X da tomografia computadorizada.
·Conjuntos Fractais: conjuntos que podem ser repartidos em verso˜es congruentes proporcional-
44 3.1. Introduc¸a˜o
mente reduzidas do conjunto original sa˜o denominadas fractais. Os fractais sa˜o atualmente aplicados
a` compactac¸a˜o de dados computacionais. Os me´todos de A´lgebra Linear podem ser usados para
construir e classificar fractais
·Teoria do Caos: os pixels que constituem ema imagem matricial podem ser embaralhados repeti-
damente de uma mesma maneira, na tentativa de torna-los aleato´rios. Contudo, padro˜es indesejados
podem continuar aparecendo no processo. A aplicac¸a˜o matricial que descreve o processo de embar-
alhar ilustra tanto a ordem quanto a desordem que caracterizam estes processos cao´ticos.
·Um Modelo de Mı´nimos Quadrados para a Audic¸a˜o Humana:o ouvido interno conte´m uma
estrutura com milhares de receptores sensoriais ciliares. Estes receptores, movidos pelas vibrac¸o˜es
do tı´mpano, respondem a frequ¨eˆncias diferentes de acordo com sua localizac¸a˜o e produzem impul-
sos ele´tricos que viajam ate´ o ce´rebro atrave´s do nervo auditivo. Desta maneira, o ouvido interno
age como um processador de sinais que decompo˜e uma onda sonora complexa em um espectro de
frequ¨eˆncias distintas.
·Deformac¸o˜es e Morfismos: voceˆ ja´ deve ter visto em programas de televisa˜o ou clips musi-
cais imagens mostrando rapidamente o envelhecimento de uma mulher ao longo do tempo, ou a
transformac¸a˜o de um rosto de mulher no de uma pantera, a previsa˜o de como seria hoje o rosto de
uma crianc¸a desaparecida ha´ 15 anos atra´s, etc. Estes processos sa˜o feitos a partir de algumas poucas
fotos. A ide´ia de continuidade, de evoluc¸a˜o do processo, e´ feita atrave´s do computador.Este processo
de deformac¸a˜o e´ chamado de morfismo, que se caracteriza por misturas de fotografias reais com fo-
tografias modificadas pelo computador. Tais te´cnicas de manipulac¸a˜o de imagens teˆm encontrado
aplicac¸o˜es na indu´stria me´dica, cientifica e de entretenimento.
Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento, o primeiro oˆnibus espacial dos
EUA (lanc¸ado em 1981) foi uma vito´ria da engenharia de controle de sistemas, envolvendo muitas
a´reas da engenharia - aerona´utica, quı´mica , ele´trica, hidra´ulica e mecaˆnica. Os sistemas de controle
de oˆnibus espacial sa˜o absolutamente crı´ticos para voˆo. Ele requer um constante monitoramento por
computador durante o voˆo atmosfe´rico. O sistema de voˆo envia uma sequeˆncia de comandos para a
superfı´cie de controle aerodinaˆmico. Matematicamente , os sinais de entrada e saı´da de um sistema
de Engenharia sa˜o func¸o˜es. E´ importante para as aplicac¸o˜es que essas func¸o˜es possam ser somadas
e multiplicadas por escalares. Essas duas operac¸o˜es em func¸o˜es tem propriedades alge´bricas que
sa˜o completamente ana´logas a`s operac¸o˜es de soma de vetor e multiplicac¸a˜o de vetor por escalar no
Rn. Por esse motivo, o conjunto de todas as entradas possı´veis (func¸o˜es) e´ chamado de um espac¸o
vetorial. A fundamentac¸a˜o matema´tica para a engenharia de sistemas repousa sobre espac¸os vetoriais
de func¸o˜es, portanto precisamos estender a teoria de vetores do Rn de modo a incluir tais func¸o˜es.
3.1. Introduc¸a˜o 45
Antes de apresentarmos a sua definic¸a˜o, analisaremos em paralelo dois objetos: o conjunto for-
mado pelas func¸o˜es f : R→ R, denotado por F(R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem n
com coeficientes reais que denotaremos por Mn(R).
A soma de duas func¸o˜es f e g de F(R) e´ definida como: ( f +g)(x) = f (x)+g(x).
Note tambe´m que se α ∈ R podemos multiplicar o escalar α pela func¸a˜o f , da seguinte forma:
(α f )(x) = α( f (x)) resultando num elemento de F(R).
Com relac¸a˜o aMn (R) podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n, A+B= (ai j+bi j)nxn
que e´ um elemento de Mn (R).
Com relac¸a˜o a` multiplicac¸a˜o do escalar α pela matriz A ∈ R, αA = (αai j)nxn o qual tambe´m
∈Mn(R).
O que estes dois exemplos acima, com a adic¸a˜o de seus elementos e multiplicac¸a˜o de seus ele-
mentos por escalares, teˆm em comum?
Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos nu´meros reais que, com relac¸a˜o a quaisquer
func¸o˜es f , g e h em F(R) e para α, β ∈ R, sa˜o va´lidos os seguintes resultados:
1. f +g= g+ f
2. f +(g+h) = ( f +g)+h
3. Se g representa a func¸a˜o nula enta˜o f +g= f
4. f +(− f ) = 0
5. (α+β ) f = α f +β f
6. α(β f ) = (αβ ) f
7. α( f +g) = α f +αg
8. 1 f = f
Agora, com relac¸a˜o a quaisquer matrizes A,B, e C em Mn e para todo α, β ∈ R, tambe´m sa˜o
va´lidos os seguintes resultados:
1. A+B= B+A
2. A+(B+C) = (A+B)+C
3. Se 0 representa a matriz nula enta˜o A+0= A
46 3.1. Introduc¸a˜o
4. A+(−A) = 0
5. (α+β )A= αA+βA
6. α(βA) = (αβ )A
7. α(A+B) = αA+αB
8. 1A= A
Observamos que o conjunto das func¸o˜es bem como o das matrizes, quando munidos de soma e
multiplicac¸a˜o por escalar, apresentam propriedades alge´bricas comuns. Existem muitos outros ex-
emplos de conjuntos que apresentam as mesmas propriedades acima. Para na˜o estudarmos separada-
mente cada conjunto, estudaremos um conjunto gene´rico e na˜o vazio, V , sobre o qual supomos estar
definidas as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar.
Definic¸a˜o 3.1 Um espac¸o vetorial V e´ um conjunto, cujos elementos sa˜o chamados vetores, no qual
esta˜o definidas duas operac¸o˜es: a adic¸a˜o, que a cada par de vetores, u e v ∈V faz corresponder um
novo vetor denotado por u+ v ∈ V, chamado a soma de u e v, e a multiplicac¸a˜o por um nu´mero real,
que a cada α ∈R e a cada vetor v ∈V faz corresponder um vetor denotado por αv, chamado produto
de α por v. Estas operac¸o˜es devem satisfazer, para quaisquer α,β ∈ R e u, ve w ∈ V as seguintes
propriedades:
Propriedades 3.1
1. Comutatividade: u+ v= v+u
2. Associatividade: (u+ v)+w= u+(v+w)
3. Vetor nulo: existe um vetor nulo 0 ∈ V tal que v+0= v para todo v ∈V
4. Inverso aditivo: Para cada v ∈V existe −v ∈V tal que −v+ v= 0
5. Distributividade: (α+β )v= αv+βv
6. (αβ )v= α(βv)
7. α(u+ v) = αu+αv
8. Multiplicac¸a˜o por 1: 1.u= u
3.1. Introduc¸a˜o 47
Exemplo 54 Para todo nu´mero natural n, o sı´mbolo Rn representa o espac¸o vetorial euclid-
iano n-dimensional. Os elementos de Rn sa˜o as listas ordenadas (chamadas n-uplas) u =
(x1,x2,x3,.......,xn),v = (y1,y2,y3, ......yn) de nu´meros reais. Por definic¸a˜o a igualdade vetorial u = v
significa as n igualdades nume´ricas
x1 = y1,x2 = y2, .....xn = yn.
Em Rn definimos as operac¸o˜es:
u+ v= (x1+ y1,x2+ y2,....xn+ yn)
e
αu= (αx1,αx2, .....αxn)
Verifica-se sem dificuldades, que estas definic¸o˜es fazem do Rn um E. V. (verifique).
Exemplo 55 O conjunto dos polinoˆmios em x, de grau menor ou igual a n e´ definido por :
Pn =
{
p(x) = ao+a1x+ .....+an−1xn−1+anxn � ao,a1, ....,an−1,an ∈ R
}
com as operac¸o˜es de adic¸a˜o de polinoˆmios e multiplicac¸a˜o de um polinoˆmio por um escalar e´ um
espac¸o vetorial. Note que cada elemento de Pn e´ uma func¸a˜o p : R→ R
Exemplo 56 O conjunto das matrizes definido por
M(m,n) =
{[
ai j
]
m×n � ai j ∈ R, i= 1, ..,m e j = 1, ..,n
}
com a soma usual de matrizes e multiplicac¸a˜o usual de um escalar por uma matriz e´ um espac¸o
vetorial.
No caso particular das matrizes quadradas de ordem n denotaremos M(n,n) por Mn.
Exemplo 57 Seja o conjunto R2 = {(x,y)� x,y ∈ R} com as operac¸o˜es assim definidas:
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1+ x2,y1+ y2)
α(x,y) = (αx,y)
48 3.1. Introduc¸a˜o
O conjunto R2 com estas operac¸o˜es na˜o e´ um espac¸o vetorial.
Vamos mostrar que falha a propriedade 5) do E.V.
(α+β )u = (α+β )(x1,y1) = ((α+β )x1,y1) = (αx1+βx1,y1)
αu+βu = α(x1,y1)+β (x1,y1) = (αx1,y1)+(βx1,y1) = (αx1+βx1,2y1)
⇒ (α+β )u 6= αu+βu
Exemplo 58 Verifique se V =M2 com as operac¸o˜es:
(i) Soma:
a1 b1
c1 d1
+
a2 b2
c2 d2
=
a1+a2 b1+b2
c1+ c2 d1+d2

(ii) Multiplicac¸a˜o por escalar: α
a1 b1
c1 d1
=
 a1 αb1
αc1 d1

e´ um espac¸o vetorial.
Como a adic¸a˜o e´ a usual, enta˜o todas as propriedades da adic¸a˜o sera˜o satisfeitas. Se alguma
propriedade falhar, sera´ na multiplicac¸a˜o por escalar, pois esta na˜o e´ a usual.
Sejam A=
a b
c d
 e B=
m n
o p
.
Vamos mostrar que falha a propriedade: (α+β )A= αA+βA
(i) (α+β )A= (α+β )
a b
c d
 =
 a αb+βb
αc+βc d

(ii) αA+βA= α
a b
c d
 +β
a b
c d
=
 a αb
αc d
 +
 a βb
βc d
=
 2a αb+βb
αc+βc 2d

Por (i) e (ii) concluı´mos que (α + β )A 6= αA+ βA. Logo V = M2 com as operac¸o˜es definidas
acima na˜o e´ um espac¸ovetorial.
Exemplo 59 No conjunto V = {(x,y)/x,y ∈ R} definamos ”adic¸a˜o”assim: (x1,y1)+(x2,y2) = (x1+
x2,0) e multiplicac¸a˜o por escalares como no R2, ou seja, para cada a ∈R, a(x,y) = (ax,ay). Nessas
condic¸o˜es V e´ um espac¸o vetorial? Porque?
Exemplo 60 Seja V o conjunto dos pares ordenados de nu´meros reais. Definamos: (x1,y1) +
(x2,y2) = (2x1− 2y1,−x1+ y1) e a(x1,y1) = (3ay1,−ax1), com essas operac¸o˜es definidas sobre V ,
este conjunto e´ um espac¸o vetorial sobre R?
3.2. Subespac¸os 49
3.2 Subespac¸os
Definic¸a˜o 3.2 Seja V um espac¸o vetorial. Dizemos queW ⊂V e´ um subespac¸o vetorial de V se forem
satisfeitas as seguintes condic¸o˜es:
1. se u , v ∈W enta˜o u+ v ∈W
2. se u ∈W enta˜o αu ∈W para todo α ∈ R.
Podemos fazer treˆs observac¸o˜es:
• As condic¸o˜es da definic¸a˜o garantem que ao operarmos emW (soma e multiplicac¸a˜o por escalar)
na˜o obteremos um vetor fora deW. Isto e´ suficiente para afirmar queW e´ ele pro´prio um E.V.
• Qualquer subespac¸oW de V precisa conter o vetor nulo.
• Todo espac¸o vetorial admite pelo menos dois subespac¸os: o conjunto formado pelo vetor nulo
e o pro´prio E.V.
Exemplo 61 Seja V = R5 e W = {0,x2,x3,x4,x5} , W e´ um subespac¸o vetorial?
Verifiquemos as condic¸o˜es de subespac¸o: seja u= (0,x2,x3,x4,x5)∈W e v= (0,y2,y3,y4,y5)∈W
1. u+ v= (0,x2+ y2,x3+ y3,x4+ y4,x5+ y5) ∈W
2. αu= α(0,x2,x3,x4,x5) = (0,αx2,αx3,αx4,αx5) ∈W
logoW e´ um subespac¸o vetorial.
Exemplo 62 Seja S= {(x,y,z) ∈ R3�x+ y+ z= 0}, S e´ um subespac¸o de R3?
Dados u= (x1,y1,z1) ∈ S e v= (x2,y2,z2) ∈ S
1. u+ v= (x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) = (x1+ x2,y1+ y2,z1+ z2)
Como u= (x1,y1,z1) ∈ S⇒ x1+y1+ z1 = 0. Analogamente x2+y2+ z2 = 0, e podemos concluir
que (x1+ x2)+(y1+ y2)+(z1+ z2) = 0⇒ u+ v ∈ S
2. αu=α(x1,y1,z1) = (αx1,αy1,αz1) para todo α⇒αx1+αy1+αz1 =α(x1+y1+z1) =α0=
0 e dai αu ∈ S
Portanto, S e´ um subespac¸o vetorial de R3.
50 3.2. Subespac¸os
Exemplo 63 V =Mn e W e´ o subconjunto das matrizes triangulares superiores. W e´ subespac¸o de
V , pois a soma das matrizes triangulares superiores ainda e´ uma matriz triangular superior, assim
como o produto de uma matriz triangular por um escalar (Verifique).
Teorema 3.1 Se Ax = b e´ um sistema linear homogeˆneo de m equac¸o˜es em n inco´gnitas, enta˜o o
conjunto dos vetores-soluc¸a˜o e´ um subespac¸o de Rn.
Considere o sistema homogeˆneo AX = 0, onde A e´ uma matriz m× n e X e´ uma matriz coluna
n× 1.Se X1 e X2 sa˜o duas soluc¸o˜es do sistema AX = 0 enta˜o tem-se AX1 = 0 e AX2 = 0. Mas
A(X1 +X2) = AX1 +AX2 = 0+ 0 = 0, logo X1 +X2 e´ uma soluc¸a˜o do sistema AX = 0. Tambe´m,
A(kX1) = kAX1 = k0= 0, portanto kX1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema AX = 0.
Como o conjuntos das matrizes Xn×1 e´ uma espac¸o vetorial temos que o subconjunto de todas as
matrizes de ordem n× 1 que sa˜o soluc¸o˜es do sistema AX = 0 e´ um subespac¸o vetorial do espac¸o
vetorial formado por todas as matrizes de ordem n×1.
Exemplo 64 Considere os sistemas lineares
1.

1 −2 3
2 −4 6
3 −6 9


x
y
z
=

0
0
0

2.

1 −2 3
−3 7 −8
−2 4 −6


x
y
z
=

0
0
0

3.

1 −2 3
−3 7 −8
4 1 2


x
y
z
=

0
0
0

4.

0 0 0
0 0 0
0 0 0


x
y
z
=

0
0
0

Determine os subespac¸os do R3 gerado pelas soluc¸o˜es de cada um destes sistemas de treˆs
inco´gnitas.
Exemplo 65 Seja V =R2 e W = {(x,x2)∈R2�x ∈R}. Se escolhermos u= (1,1) e v= (2,4)∈W,
temos: u+ v= (3,5) /∈W, portanto W na˜o e´ subespac¸o vetorial de R2.
3.2. Subespac¸os 51
Exemplo 66 Seja V = R2 e W = {(x,y) ∈ R2�y= 2x}, W e´ subespac¸o vetorial de R2, pois temos:
1. Para u= (x1,2x1) e v= (x2,2x2)∈W tem-se u+v= (x1+x2,2(x1+x2))∈W, pois a segunda
componente de u+ v e´ igual ao dobro da primeira.
2. αu= α(x1,2x1) = (αx1,2(αx1)) ∈W, pois a segunda componente de αu e´ igual ao dobro da
primeira.
Exemplo 67 Considere o espac¸o vetorial M2 e a matriz B =
0 −1
1 0
 ∈ M2.Seja W =
{A ∈M2�AB= BA}. Verifique se W e´ um espac¸o vetorial de M2.
1a Soluc¸a˜o: Sejam A1,A2 petencente a M2.
(A1+A2)B= A1B+A2B= BA1+BA2 = B(A1+A2)⇒ (A1+A2) ∈M2
(kA1)B= k (A1B) = k (BA1) = B(kA1)⇒ (kA1) ∈M2
LogoW e´ um subespac¸o vetorial de W.
2a Soluc¸a˜o: Tomando A =
a b
c d
 ∈W, sabe-se que a matriz A deve satisfazer a relac¸a˜o AB =
BA.Portanto a b
c d
0 −1
1 0
 =
0 −1
1 0
a b
c d

b −a
d −c
 =
−c −d
a b

b = −c
−a = −d⇒ a= d
a = d
−c = b⇒ b=−c
Logo A=
 a b
−b a
⇒W =

 a b
−b a
 ∈M2�a,b ∈ R

Sejam u=
 a b
−b a
 e v=
 x y
−y x

u+ v=
 a b
−b a
+
 x y
−y x
=
 a+ x b+ y
−b− y a+ x
=
 a+ x b+ y
−(b+ y) a+ x
 ∈W
ku= k
 a b
−b a
=
 ka kb
−kb ka
 ∈W
52 3.3. Intersecc¸a˜o de dois Subespac¸os Vetoriais
Como u+ v ∈W e ku ∈W ⇒W e´ um subespac¸o vetorial de M2
Exemplo 68 Verifique se W =
{
p(x) ∈ P3 : p′′(2)+ p′(1) = 0
}
e´ um sub-espac¸o vetorial de V = P3.
Sejam p(x),q(x) ∈W ⇒ p′′(2)+ p′(1) = 0 e q′′(2)+q′(1) = 0
Assim (p+q)(x) = p(x)+q(x) e´ tal que
(p+q)
′′
(2)+(p+q)
′
(1) = p
′′
(2)+q
′′
(2)+ p
′
(1)+q
′
(1)
= p
′′
(2)+ p
′
(1)+q
′′
(2)+q
′
(1)
= 0+0= 0
e enta˜o (p+q)(x) ∈W.
Da mesma forma, (α p)(x) = α p(x) e´ tal que
(α p)
′′
(2)+(α p)
′
(1) = α p
′′
(2)+α p
′
(1) = α
(
p
′′
(2)+ p
′
(1)
)
= α.0= 0
e enta˜o (α p)(x) ∈W.
Portanto W e´ subespac¸o vetorial de P3.
Exemplo 69 SejaW o conjunto de todas as matrizes 2×2 da forma
 a a+1
0 b
. W e´ um subespac¸o
de M22?
Exemplo 70 Seja W o conjunto de todas as matrizes 2×2 com determinante 0. W e´ um subespac¸o
de M22?
3.3 Intersecc¸a˜o de dois Subespac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o 3.3 Dados W1 e W2 subespac¸os de um espac¸o vetorial V , a intersecc¸a˜o W1 ∩W2 ainda e´
um subespac¸o de V .
Exemplo 71 V = R3. Seja W1 = {(x,y,z) ∈ R3/ y= 0} e W2 = {(x,y,z) ∈ R3/ x= 0}.W1∩W2 e´ a
reta de intersecc¸a˜o dos planos W1 e W2, ou seja W1∩W2 = {(x,y,z) ∈ R3/x= 0 e y= 0}
Exemplo 72 V =R3. SejaW1 = {(x,y,z)∈R3/ x+y+z= 0} eW2 = {(x,y,z)∈R3/ x+y−z= 0}.
Para encontrarmos a intersecc¸a˜o dos dois subespac¸os devemos resolver o sistema x+ y+ z= 0x+ y− z= 0
3.3. Intersecc¸a˜o de dois Subespac¸os Vetoriais 53
A soluc¸a˜o desse sistema e´ z= 0, y=−x. Portanto W1∩W2 = {(x,y,z) ∈ R3 : z= 0 e y=−x}
Exemplo 73 V = P3. Seja W1 = {p ∈ P3 : p′(1) = 0} e W2 = {p ∈ P3 : p′′(1) = 0}
Como p ∈ P3 enta˜o p = a+ bx+ cx2 + dx3, com a,b,c,d ∈ R. Se p ∈W1 enta˜o p′(1) = 0⇒
b+2c+3d = 0. Se p ∈W2 enta˜o p′′(1) = 0⇒ 2c+6d = 0. Para que p pertenc¸a aW1∩W2 devemos
resolver o sistema  b+2c+3d = 02c+6d = 0
assim, c=−3d e b= 3d.
Portanto W1∩W2 = {p ∈ P3 : p= a+3dx−3dx2+dx3}
Exemplo 74 V =M(n,n),W1 = {matrizes triangulares superiores}; W2 = {matrizes triangulares in-
feriores}. Enta˜o W1∩W2 = {matrizes diagonais}.
Exemplo 75 Seja V =M2 =
 a b
c d
 e
W1 =

 a b
0 0
 ,a,b ∈ R

W2 =

 a 0
c 0
 ,a,c ∈ R

W =W1∩W2 e´ um subespac¸o de V , pois
W =

 a 0
0 0
 ,a ∈ R

Exemplo 76 SejamW1 eW2 dados por: W1 = {(x,y)∈R2 : x+y= 0} eW2 = {(x,y)∈R2 : x−y= 0}
sera´ que W1∪W2 e´ um subespac¸o vetorial de V?
Na˜o. Basta considerar V = R2,
u= (1,1) ∈W2
v= (1,−1) ∈W1
mas u+ v= (1,1)+(1,−1) = (2,0) /∈W1∪W2 (represente graficamente esta soma de vetores)
54 3.4. Combinac¸a˜o Linear
3.4 Combinac¸a˜o Linear
Definic¸a˜o 3.4 Seja V um espac¸o vetorial real, v1,v2, ......,vn ∈V e a1,a2,.........an ∈ R. Enta˜o, o vetor
v= a1v1+a2v2+ .....+anvn
e´ um elemento de V ao que chamamos de combinac¸a˜o linear de v1,v2, ......,vn.Exemplo 77 EmR2 o vetor v= (10,16) e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores v1 = (1,2) e v2 = (3,4)
pois v= 4v1+2v2.
Exemplo 78 Verifique se o vetor v = (3,2,1) pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear dos
vetores v1 = (1,1,1),v2 = (1,−1,1),v3 = (1,1,−1).
Devemos verificar se existem nu´meros a,b,c tais que v= av1+bv2+ cv3, ou seja,
(3,2,1) = a(1,1,1)+b(1,−1,1)+ c(1,1,−1).
devemos enta˜o resolver o sistema 
1 1 1
1 −1 1
1 1 −1


a
b
c
=

3
2
1

Mas esse sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o a= 32 , b=
1
2 e c= 1. Portanto v pode realmente ser escrito
como combinac¸a˜o de v1,v2 e v3, da forma v= 32v1+
1
2v2+ v3.
Exemplo 79 No espac¸o vetorial P2 o polinoˆmio p = 7x2 + 11x− 26 e´ combinac¸a˜o linear dos
polinoˆmios: q1 = 5x2−3x+2 e q2 =−2x2+5x−8, de fato p= 3q1+4q2 (confira).
Exemplo 80 Verifique que em P2 o polinoˆmio p(x)= 1+x2 e´ uma combinac¸a˜o dos polinoˆmios q(x)=
1, r(x) = 1+ x e s(x) = 1+ x+ x2.
Precisamos encontrar nu´meros reais, a1,a2 e a3 tais que:
p(x) = a1q(x)+a2r(x)+a3s(x)
Ou seja, precisamos encontrar a1,a2 e a3 satisfazendo:
1+ x2 = a1+a2(1+ x)+a3(1+ x+ x2)
1.1+0x+1.x2 = (a1+a2+a3) +(a2+a3)x+a3x3
3.5. Dependeˆncia e Independeˆncia Linear 55
que e´ equivalente ao sistema:
a1+a2+a3 = 1
a2+a3 = 0
a3 = 1
⇔ a1 = 1;a2 =−1 e a3 = 1.
Exemplo 81 Consideremos , no R3, os seguintes vetores: v1 = (1,−3,2) e v2 = (2,4,−1). Escreva
o vetor v= (−4,−18,7) como combinac¸a˜o linear dos vetores v1 e v2.
Temos:
v= a1v1+a2v2
(−4,−18,7) = a1(1,−3,2)+a2(2,4,−1) = (1a1,−3a1,2a1)+(2a2,4a2,−1a2) =
= (a1+2a2,−3a1+4a2,2a1−a2) que e´ equivalente ao sistema:
a1+2a2 =−4
−3a1+4a2 =−18
2a1−a2 = 7
⇔ a1 = 2, a2 =−3.
Portanto, v= 2v1−3v2. Agora mostre que o vetor v= (4,3,−6) na˜o e´ combinac¸a˜o linear dos vetores
v1 = (1,−3,2) e v2 = (2,4,−1).
3.5 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o 3.5 Seja V um espac¸o vetorial e v1,v2, ......,vn ∈ V. Dizemos que o conjunto
{v1,v2, ......,vn} e´ linearmente independente (LI), se a equac¸a˜o:
a1v1+a2v2+ ....+anvn = 0
implica que a1 = a2 = ...= an = 0.
No caso, em que exista algum ai 6= 0 dizemos que {v1,v2, ......,vn} e´ linearmente dependente
(LD).
Para determinarmos se um conjunto e´ L.I. ou L.D. devemos fazer a combinac¸a˜o linear do conjunto
de vetores e igualar esta combinac¸a˜o linear ao vetor nulo do espac¸o. Portanto e´ muito importante ter
conhecimento do vetor nulo do espac¸o em que estamos trabalhando.
Exemplo 82 Considere o espac¸o vetorial R3 e os conjunto de vetores: α =
56 3.5. Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
{(1,2,3) ,(1,1,1),(1,0,0)} e β = {(1,2,3) ,(1,1,1),(3,5,7)}. Os conjuntos α e β sa˜o L.I
ou L.D?
Fazendo a combinac¸a˜o linear de α
a(1,2,3)+b(1,1,1)+ c(1,0,0) = (0,0,0)
temos o sistema homogeˆneo:

a+b+ c = 0
2a+b = 0
3a+b = 0
cuja u´nica soluc¸a˜o e´ a= b= c= 0. Portanto o conjunto α e´ L.I
Fazendo a combinac¸a˜o linear de β
a(1,2,3)+b(1,1,1)+ c(3,5,7) = (0,0,0)
temos o sistema homogeˆneo:

a+b+3c = 0
2a+b+5c = 0
3a+b+7c = 0
que possui infinitas soluc¸o˜es (grau de liberdade 1). Portanto ale´m da soluc¸a˜o nula (que todo sis-
tema homogeˆneo tem) este sistema possui outras soluc¸o˜es diferentes da soluc¸a˜o nula, logo o conjunto
β e´ L.D.
Teorema 3.2 O conjunto {v1,v2, ......,vn} e´ LD se, e somente se, um dos vetores do conjunto for uma
combinac¸a˜o linear dos outros.
Exemplo 83 a) Seja V = R3. Sejam v1,v2 ∈ V. O conjunto {v1,v2} e´ LD se, e somente se, v1 e v2
estiverem na mesma reta que passa pela origem (um vetor e´ mu´ltiplo do outro), v1 = λv2.
b) Em V = R2, e1 = (1,0) e e2 = (0,1) sa˜o LI, pois:
a1e1+a2e2 = 0=⇒ a1(1,0)+a2(0,1) = (0,0) =⇒ (a1,a2) = (0,0)
logo a1 = 0 e a2 = 0 portanto, e1e e2 sa˜o LI.
Exemplo 84 No EV M2 o conjunto: A=

 −1 2
−3 1
 ,
 2 −3
3 0
 ,
 3 −4
3 1
 e´ LD?
Examinemos a equac¸a˜o: a1v1+a2v2+a3v3 = 0
a1
 −1 2
−3 1
+a2
 2 −3
3 0
+a3
 3 −4
3 1
=
 0 0
0 0

3.6. Subespac¸os Gerados 57
cuja soluc¸a˜o e´ a1 =−a3 e a2 =−2a3. .Como existem soluc¸o˜es ai 6= 0, o conjunto e´ LD.
Propriedades 3.2 Seja V um espac¸o vetorial
1. Se A= {v} ⊂V e v 6=−→0 , enta˜o A e´ LI.
2. Se um conjunto A⊂V conte´m o vetor nulo, enta˜o A e´ LD
3. Se um conjunto A⊂V e´ LI, qualquer parte A1 de A tambe´m e´ LI.
3.6 Subespac¸os Gerados
Definic¸a˜o 3.6 Seja V um espac¸o vetorial. Consideramos um subconjunto A = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂
V,A 6= ∅.O conjunto W de todos os vetores de V que sa˜o combinac¸o˜es lineares dos vetores de A
e´ um subespac¸o de V. Simbolicamente, o subespac¸o W e´:
W = {v ∈V � v= a1v1+a2v2+ . . .+anvn}
O subespac¸oW diz-se gerado pelos vetores v1,v2, . . . ,vn, ou gerado pelo conjunto A, e representa-se
por:
W = [v1,v2, . . . ,vn] ou W = G(A)
Os vetores v1,v2, . . . ,vn sa˜o chamados geradores do subespac¸oW, enquanto A e´ o conjunto gerador
deW.
Para o caso particular de A=∅, define-se [∅] = {−→0 }
A⊂ G(A), ou seja, { v1,v2, . . . ,vn} ⊂ [v1,v2, . . . ,vn]
Todo conjunto A ⊂ V gera um subespac¸o vetorial de V , podendo ocorrer G(A) = V . Nesse caso,
A e´ um conjunto gerador de V.
Exemplo 85 Os vetores i= (1,0) e j= (0,1) geram o espac¸o vetorial R2, pois, qualquer (x,y)∈R2
e´ combinac¸a˜o linear de i e j :
(x,y) = xi+ y j = x(1,0)+ y(0,1) = (x,0)+(0,y) = (x,y)
Enta˜o: [i, j] = R2.
Exemplo 86 Seja V = R3. Determinar o subespac¸o gerado pelo vetor v1 = (1,2,3).
58 3.6. Subespac¸os Gerados
Temos:
[v1] = {(x,y,z) ∈ R3/(x,y,z) = a(1,2,3),a ∈ R}
Da igualdade: (x,y,z) = a(1,2,3) vem: x= a; y= 2a; z= 3a donde: y= 2x e z= 3x, logo,
[v1] = {(x,y,z) ∈ R3/y= 2x e z= 3x} ou [v1] = {(x,2x,3x);x ∈ R}.
Exemplo 87 Encontre o subespac¸o vetorial de P3 gerado por U = {1, t, t2,1+ t3}
Note que t3 = (t3+1)−1. Assim, dado p(t) = ao+a1t+a2t2+a3t3 ∈ P3 podemos escrever
p(t) = (a0−a3)+a1t+a2t2+a3(t3+1) ∈U
Ou seja, qualquer vetor (polinoˆmio) de P3 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear dos vetores
do conjunto U. Logo P3 = [U ].
Exemplo 88 Encontre o subespac¸o vetorial gerado de M2 gerado por
G=

 1 −1
0 1
 ,
 2 1
3 4

Temos que A=
x y
z t
 ∈ [G] se e somente se existirem a e b ∈ R tais que
A=
x y
z t
= a
 1 −1
0 1
+b
 2 1
3 4

Daı´, tem-se o sistema:

a+2b= x
−a+b= y
3b= z
a+4b= t
que e´ possı´vel se: z= x+ y e t = 5x+2y3
Logo [G] =

 x y
x+ y 5x+2y3
 : x,y ∈ R
 .
3.6. Subespac¸os Gerados 59
Exemplo 89 Encontre um conjunto de geradores para W = {X ∈M(4,1)� AX = 0} onde
A=

1 1 −1 0
2 0 1 1
3 1 0 1
0 −2 3 1

Seja
X =

a
b
c
d
 ∈W ⇐⇒

1 1 −1 0
2 0 1 1
3 1 0 1
0 −2 3 1


a
b
c
d
=

0
0
0
0
⇔,

1 1 −1 0
0 −2 3 1
0 0 0 0
0 0 0 0


a
b
c
d
=

0
0
0
0
⇔

1 1 −1 0
0 1 −3/2 −1/2
0 0 0 0
0 0 0 0


a
b
c
d
=

0
0
0
0
⇔
 a= −c2 − d2b= 3c2 + d2 ,
isto e´,
X =

−c
2 − d2
3c
2 +
d
2
c
d
= c

−1
2
3
2
1
0
+d

−1
2
1
2
0
1

portanto, W =


−1
2
3
2
1
0
 ,

−1
2
1
2
0
1

 .
60 3.7. Soma de Subespac¸os
3.7 Soma de Subespac¸os
Definic¸a˜o 3.7 SejamW1 e W2 dois subespac¸os vetoriais de V. Enta˜o o conjunto
W1+W2 = {v ∈V�v= w1+w2,w1 ∈W1 e w2 ∈W2}
e´ um subespac¸o de V.
Exemplo 90W1 =

 a b
0 0
 e W2 =

 0 0
c d
 ,onde a,b,c,d ∈ R. Enta˜o W1 +W2 =
 a b
c d
=M2.
Exemplo 91 Sejam os subespac¸os vetoriais
W1 = {(a,b,0);a,b ∈ R} e W2 = {(0,0,c),c ∈ R}
do espac¸o vetorial R3. A somaW1+W2 = {(a,b,c);a,b,c ∈R} e´ subespac¸o vetorial, que nesse caso
e´ o pro´prio R3.
Proposic¸a˜o 3.1 Quando W1 ∩W2 = {−→0 }, enta˜o W1+W2 e´ chamado soma direta de W1 com W2, e
denotado por W1⊕W2.
Observac¸a˜o 6 Usando os geradores podemos obter uma caracterizac¸a˜o da soma de dois subespac¸os:
Sejam U e W subespac¸os de V, se U = [u1, . . . ,un] e W = [w1, . . . ,wm] enta˜o U +W =
[u1, . . . ,un,w1, . . . ,wm]
Exemplo 92 Verifique que R3 e´ a soma direta de
W1 = {(x,y,z) ∈ R3;x+ y+ z= 0} e W2 = {(x,y,z) ∈ R3;x= y= 0}.
Note que W2 e´ de fato um subespac¸o vetorial de R3 (Verifique)
Dado v ∈W1, v= (x,y,−x− y) e u ∈W2, u= (0,0,z)
u+ v= (x,y,−x− y+ z) = R3
vamos mostrar que W1∩W2 =
{−→
0
}
. Seja (x,y,z) ∈W1∩W2 temos:

−x− y+ z= 0
x= 0
y= 0
⇐⇒ (x,y,z) = (0,0,0)
3.8. Base e Dimensa˜o de um Espac¸o Vetorial 61
Exemplo 93 Encontre os geradores do subespac¸o U+W onde
U =
{
(x,y,z) ∈ R3�x+ y+ z= 0} , e
W =
{
(x,y,z) ∈ R3�x+ y= 0 e x− z= 0}
Se u ∈U ⇒ u= (x,y,−x− y) = x(1,0,−1)+ y(0,1,−1) logo U = [(1,0,−1),(0,1,−1)]
Se v ∈W ⇒ v= (x,−x,x) = x(1,−1,1) logo W = [(1,−1,1)]
Usando a teoria acima explicada temos que
U+W = [(1,0,−1),(0,1,−1),(1,−1,1)]
3.8 Base e Dimensa˜o de um Espac¸o Vetorial
3.8.1 Base
Um conjunto β = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂V e´ uma base do espac¸o vetorial se:
1. β e´ LI
2. β gera V
Exemplo 94 β = {(1,1),(−1,0)} e´ base de R2. De fato:
1. β e´ LI pois a(1,1)+b(−1,0) = (0,0) =⇒ a= b= 0
2. β gera R2, pois para todo (x,y) ∈ R2, tem-se :
(x,y) = y(1,1)+(y− x)(−1,0)
Realmente, a igualdade (x,y) = a(1,1)+b(−1,0) =⇒ a= y e b= y− x.
Exemplo 95 O conjunto {(0,1),(0,2)} na˜o e´ base de R2 pois e´ um conjunto LD. Se
(0,0) = a(0,1)+b(0,2)
temos a = −2b. Assim para cada valor de b conseguimos um valor para a, ou seja, temos infinitas
soluc¸o˜es.
Exemplo 96 Seja V = R3 enta˜o α = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} e´ uma base do R3 (verifique!).
62 3.8. Base e Dimensa˜o de um Espac¸o Vetorial
Exemplo 97 O conjunto β = {1,x,x2, . . . ,xn} e´ uma base do espac¸o vetorial Pn. De fato:
ao+a1x+a2x2+ . . .+anxn = 0
ao+a1x+a2x2+ . . .+anxn = 0+0x+0x2+ . . .+0xn
=⇒ a0 = a1 = . . .= an = 0
portanto, β e´ LI.
β gera o espac¸o vetorial Pn, pois qualquer polinoˆmio p ∈ Pn pode ser escrito assim:
p= ao+a1x+a2x2+ . . .+anxn
que e´ uma combinac¸a˜o linear de 1,x,x2, . . . ,xn.
Logo, β e´ uma base de Pn.Essa e´ a base canoˆnica de Pn e tem n+1 vetores.
Exemplo 98 Encontre uma base para U +W onde U =
{
(x,y,z) ∈ R3�x+ y+ z= 0} e W ={
(x,y,z) ∈ R3�x+ y= 0 e x− z= 0}.
Seja U = [(1,0,−1),(0,1,−1)] e W = [(1,−1,1)] ( Ja´ vimos este exemplo.)
U+W = [(1,0,−1),(0,1,−1),(1,−1,1)].
Ja´ temos um conjunto que gera a soma, se este conjunto for L.I. enta˜ele sera´ uma base.
a(1,0,−1)+b(0,1,−1)+ c(1,−1,1) = (0,0,0)
1 0 1
0 1 −1
−1 −1 1


a
b
c
=

0
0
0

A=

1 0 1
0 1 −1
−1 −1 1
⇒ A−1 =

0 −1 −1
1 2 1
1 1 1


a
b
c
=

0 −1 −1
1 2 1
1 1 1


0
0
0
=

0
0
0

logo o conjunto e´ L.I e portanto. β = {(1,0,−1),(0,1,−1),(1,−1,1)} e´ uma base de U+W.
3.8. Base e Dimensa˜o de um Espac¸o Vetorial 63
Exemplo 99 Encontre uma base para U +W onde U =
{
(x,y,z) ∈ R3�x− y+ z= 0 e x− y= 0} e
W =
{
(x,y,z) ∈ R3�x+ y− z= 0 e x− z= 0}.
Se v= (x,y,z) ∈U ⇒
 x− y+ z= 0x− y= 0 ⇒ v= (x,x,0) = x(1,1,0), portanto U = [(1,1,0)] .
Se u= (x,y,z) ∈W ⇒
 x+ y− z= 0x− z= 0 ⇒ u= (x,0,x) = x(1,0,1),portanto W = [(1,0,1)]
Assim U +W = [(1,1,0,),(1,0,1)] . Como o conjunto β = {(1,1,0,),(1,0,1)} e´ L.I enta˜o ele e´
uma base para U+W.
Exemplo 100 Dados: U = {A ∈ M2(R);A = At} e W =
 1 1
0 1
 em M2 encontre uma base
para U,W,U ∩W,W +U.
Para U : A=
 a b
c d
⇔ c= b portanto, A ∈U se existirem a1,a2,a3 ∈ R tais que
A= a1
 1 0
0 0
+a2
 0 1
1 0
+a3
 0 0
0 1

pode-se verificar facilmente que as matrizes
 1 0
0 0
 ,
 0 1
1 0
 ,
 0 0
0 1

sa˜o L.I e portanto, como geram U, formam uma base de U.
Para W: Como a matriz  1 1
0 1

gera W, ela serve para base de W.
Para U ∩W : A ∈U ∩W ⇔ A= At e existe α ∈ R tal que
A=
 α α
0 α
 ,
isto e´, se e somente se existir α ∈ R tal que α α
0 α
=
 α 0
α α

64 3.8. Base e Dimensa˜o de um Espac¸o Vetorial
que e´ satisfeita quando α = 0, ou seja, A= 0. Desse modo U ∩W = {0}.
Uma base para U ∩W e´ β = φ . Veja a observac¸a˜o a seguir para elucidar esse fato.
Observac¸a˜o 7 : Seja V um espac¸o vetorial e
−→
0 ∈V o vetor nulo de V. Como o conjunto β =
{−→
0
}
e´ LD (mostre isto) temos que este conjunto na˜o pode ser uma base do conjunto N =
{−→
0
}
. Este e´
um caso patolo´gico e para que na˜o seja contrariada a definic¸a˜o de base tomamos β = φ (conjunto
vazio) como sendo base para o espac¸o N =
{−→
0
}
.
Para U+W : Como U ∩W = {0} temos U+W e´ soma direta e, portanto, uma base e´:
 1 0
0 0
 ,
 0 1
1 0
 ,
 0 0
0 1
 ,
 1 1
0 1

Proposic¸a˜o 3.2 Todo conjunto LI de um espac¸o vetorial V e´ base do subespac¸o por ele gerado.
Exemplo 101 O conjunto β = {(1,2,1),(−1,−3,0)} ⊂ R3 e´ LI e gera o subespac¸o W = {(x,y,z) ∈
R3/3x− y− z= 0}˙. Enta˜o, β e´ base de W, pois β e´ LI e gera W.
Teorema 3.3 Sejam v1,v2, . . . ,vn, vetores na˜o nulos que geram um espac¸o vetorial V . Enta˜o, dentre
estes vetores podemos extrair uma base de V .
Proposic¸a˜o 3.3 Seja um E.V V gerado por um conjunto finito de vetores v1,v2, . . . ,vn. Enta˜o qual-
quer conjunto com mais de n vetores e´ necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI tem no
ma´ximo n vetores).
Exemplo 102 Sejam U eW subespac¸os de V =M2 tal que
U =

a b
c d
 ∈M2 : b+ c= 0
 e W =
0 −1
1 0
 ,
−1 0
0 −1
 ,
1 −1
0 1
 .
a. Determine uma base para U ∩W
Inicialmente, encontremos o subespac¸o gerado W:
Seja A ∈W ⇒ A=
a b
c d
= α
0 −1
1 0
+β
−1 0
0 −1
+ γ
1 −1
0 1

A matriz ampliada desse sistema e´:
0 −1 1 a
−1 0 −1 b
1 0 0 c
0 −1 1 d
 , eliminac¸a˜o Gaussiana:

−1 0 −1 b
0 −1 1 a
0 0 −1 b+ c
0 0 0 d−a

3.8. Base e Dimensa˜o de um Espac¸o Vetorial 65
O sistema so´ e´ possı´vel se d− a = 0, daı´ observamos que o subespac¸o gerado W e´ dado por
W =

a b
c d
 ∈M2 : a= d

E portanto obtemos U ∩W =

a −c
c a
 ;a,c ∈ R
 . Uma base para U ∩W e´ β =
1 0
0 1
 ,
0 −1
1 0
 . Note que as matrizes geram U ∩W e sa˜o LI, pois na˜o sa˜o mu´ltiplas uma
da outra.
b. Encontre uma base para U+W.
Obtemos os geradores de U+W unindo os geradores de U eW. Vamos obter os geradores de U :
Seja A ∈U ⇒ A=
 a b
−b d
= a
1 0
0 0
+b
 0 1
−1 0
+d
0 0
0 1

U =
1 0
0 0
 ,
 0 1
−1 0
 ,
0 0
0 1

U+W =
1 0
0 0
 ,
 0 1
−1 0
 ,
0 0
0 1
 ,
0 −1
1 0
 ,
−1 0
0 −1
 ,
1 −1
0 1

Uma base para U +W deve ter no ma´ximo 4 matrizes, enta˜o ja´ sabemos que este conjunto e´ LD
e que temos que eliminar no mı´nimo 2 matrizes para este conjunto se tornar LI. Vejamos quantas e
quais matrizes sera˜o eliminadas:
a
1 0
0 0
+b
 0 1
−1 0
+c
0 0
0 1
+d
0 −1
1 0
+e
−1 0
0 −1
+f
1 −1
0 1
=
0 0
0 0


1 0 0 0 −1 10 1 0 −1 0 −1
0 −1 0 1 0 0
0 0 1 0 −1 1
 ,eliminac¸a˜o Gaussiana:

1 0 0 0 −1 1
0 1 0 −1 0 −1
0 0 1 0 −1 1
0 0 0 0 0 −1


a
b
c
d
e
f

=

0
0
0
0
⇒

a− e− f = 0
b−d− f = 0
c− e+ f = 0
f = 0
⇒

a= c= e
b= d
f = 0
Veja que na˜o podemos excluir a u´ltima matriz e que existe uma relac¸a˜o entre a 1a, 3a e 5a, enta˜o
devemos excluir uma dentre estas treˆs; e ainda a 2a esta´ relacionada com a 4a, enta˜o temos que
66 3.8. Base e Dimensa˜o de um Espac¸o Vetorial
excluir uma das duas. Excluindo a 1a e a 2a tem-se que
β =

0 0
0 1
 ,
0 −1
1 0
 ,
−1 0
0 −1
 ,
1 −1
0 1
 e´ uma base para U+W.
3.8.2 Dimensa˜o
Seja V um Espac¸o Vetorial.
Se V possui uma base com n vetores, enta˜o V tem dimensa˜o n e denota-se dimV = n.
Se V na˜o possui uma base, ou seja, a base e´ β = φ enta˜o dimV = 0.
Se V possui uma base com infinitos vetores, enta˜o dimV e´ infinita e anota-se dimV = ∞.
Exemplo 103 dimR2 = 2 pois toda base de R2 tem 2 vetores
Exemplo 104 dimM(2,2) = 4
Exemplo 105 dimM(m,n) = m.n
Exemplo 106 dimPn = n+1
Proposic¸a˜o 3.4 Seja V um E. V. tal que dimV = n
Se W e´ um subespac¸o de V enta˜o dimW ≤ n. No caso de dimW = n , tem-se W = V . Para
permitir uma interpretac¸a˜o geome´trica, consideremos o espac¸o tridimensional R3(dimR3 = 3).
A dimensa˜o de qualquer subespac¸o W do R3 so´ podera´ ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os
seguintes casos:
1. dimW = 0, enta˜oW = {0} e´ a origem;
2. dimW = 1, enta˜oW e´ uma reta que passa pela origem;
3. dimW = 2, enta˜oW e´ um plano que passa pela origem;
4. dimW = 3 enta˜oW = R3.
Proposic¸a˜o 3.5 Seja V um E. V de dimensa˜o n. Enta˜o, qualquer subconjunto de V com mais de n
vetores e´ Linearmente Dependente (LD).
Proposic¸a˜o 3.6 Sabemos que o conjunto β e´ base de um espac¸o vetorial se β for LI e gera V . No
entanto, se soubermos que dimV = n , para obtermos uma base de V basta que apenas uma das
condic¸o˜es de base esteja satisfeita.
3.8. Base e Dimensa˜o de um Espac¸o Vetorial 67
Exemplo 107 O conjunto β = {(2,1),(−1,3)} e´ uma base do R2. De fato, como dimR2 = 2 e os
dois vetores dados sa˜o LI (pois nenhum vetor e´ mu´ltiplo escalar do outro), eles formam uma base do
R2.
Exemplo 108 Seja W =
{
p(x) ∈ P3 : p′′(2)+ p′(1) = 0
}
um subespac¸o vetorial de P3. Encontre
uma base e a dimensa˜o de W.
Vamos enta˜o encontrar uma base, comecemos pelos geradores de W.
Se p(x) = ax3 + bx2 + cx + d ∈ W temos que p′′(2) + p′(1) = 0.Enta˜o como p
′
(1) = 3a+2b+ c
p′′(2) = 12a+2b
obte´m-se de p
′′
(2)+ p
′
(1) = 0 que c=−15a−4b.
Portanto p(x) ∈W e´ da forma p(x) = a(x3−15x)+b(x2−4x)+d.
LogoW =
[
x3−15x,x2−4x,1] . Como esse conjunto e´ LI (fa´cil de verificar), temos que uma base
de W e´
α = {x3−15x,x2−4x,1} e dimW = 3.
3.8.3 Dimensa˜o da Soma de Subespac¸os Vetoriais
Proposic¸a˜o 3.7 Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita. Se U e W sa˜o subespac¸os vetoriais
de V enta˜o
dim(U+W ) = dimU+dimW −dim(U ∩W ).
No exemplo (100) de base, para encontrar a base de U +W podemos usar esta proposic¸a˜o:
dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ) = 3+ 1− 0 = 4 = dimM2 , portanto, U +W = M2
e uma base pode ser dada por:
 1 0
0 0
 ,
 0 1
0 0
 ,
 0 0
1 0
 ,
 1 1
0 1

3.8.4 Coordenadas
Seja V um espac¸o vetorial gerado e β uma base de V formada pelos vetores u1,u2, . . . ,un.
v ∈V sendo v= x1u1+ x2u2+ . . .+ xnun
Os coeficientes x1,x2, . . . ,xn sa˜o chamados componentes ou coordenadas de v em relac¸a˜o a base
68 3.8. Base e Dimensa˜o de um Espac¸o Vetorial
β e se representa por:
[v]β =

x1
x2
:
xn

Exemplo 109 No R2 consideremos as bases α = {(1,0),(0,1)},β = {(2,0),(1,3)} e γ =
{(1,−3),(2,4)}. Dado o vetor v= (8,6) tem-se:
(8,6) = 8(1,0)+6(0,1)
(8,6) = 3(2,0)+2(1,3)
(8,6) = 2(1,−3)+3(2,4)
temos: [v]α =
 8
6
 , [v]β =
 3
2
 e [v]γ =
 2
3
 .
Exemplo 110 Mostre que os vetores (1,1,1),(0,1,1) e (0,0,1) formam uma base de R3. Encontre
as coordenadas de (1,2,0) ∈ R3 com relac¸a˜o a` base β formada pelos vetores acima.
Ja´ sabemos que dimR3 = 3.Enta˜o verificamos se os vetores acima sa˜o LI. Os vetores sa˜o LI se
a1v1+a2v2+a3v3 = 0⇔ a1 = a2 = a3 = 0. Isto e´ equivalente ao sistema:
a1 = 0
a1+a2 = 0
a1+a2+a3 = 0
cuja soluc¸a˜o e´ a1 = a2 = a3 = 0 , portanto, os vetores v1,v2 e v3 sa˜o LI.
(1,2,0) = a(1,1,1)+b(0,1,1)+ c(0,0,1) = (a,a+b,a+b+ c)
que e´ equivalente ao sistema:
a= 1
a+b= 2
a+b+ c= 0
⇔ a= 1,b= 1 e c=−2.
Desse modo, as coordenadas de (1,2,0) em relac¸a˜o a` base β e´ dado por [v]β =

1
1
−2

3.9. Mudanc¸a de Base 69
Exemplo 111 Determinar as coordenadas do vetor u= (2,1,4) do R3 em relac¸a˜o as bases:
1. Canoˆnica
2. {(1,1,1),(1,0,1),(1,0,−1)}
Exemplo 112 Determinar as coordenadas da matriz
 1 −1
2 0
 de M2 em relac¸a˜o a` base
 1 0
0 1
 ,
 0 1
0 0
 ,
 0 0
2 0
 ,
 0 0
1 2

3.9 Mudanc¸a de Base
Muitos problemas aplicados podem ser simplificados mudando-se de um sistema de coordenadas para
outro. Mudar sistemas de coordenadas em um espac¸o vetorial e´, essencialmente, a mesma coisa que
mudar de base. Por exemplo, num problema em que um corpo se move no plano xy, cuja trajeto´ria
e´ uma elipse de equac¸a˜o x2+ xy+ y2− 3 = 0 (ver figura), a descric¸a˜o do moviemnto torna-se muito
simplificada se ao inve´s de trabalharmos com os eixos x e y utilizarmos um referencial que se apo´ia
nos eixos principais da elipse. Neste novo referencial, a equac¸a˜o da trajeto´ria sera´ mais simples:
3u2+2v2 = 6.
Figura 3.1: Mudanc¸a de Base - (3.9)
Nesta sec¸a˜o, vamos discutir o problema de mudar de um sistema de coordenadas para outro.
Definic¸a˜o 3.8 Sejam β = {u1,...,un} e β ′ = {w1,.....,wn} duas bases ordenadas de um mesmo espac¸o
vetorial V . Dado um vetor v ∈V, podemos escreveˆ-lo como:
v = x1u1+ ....+ xnun (3.1)
v = y1w1+ ....+ ynwn
Como podemos relacionar as coordenadas de v em relac¸a˜o a` base β .
[v]β =

x1
x2
:
xn

70 3.9. Mudanc¸a de Base
com as coordenadas do mesmo vetor v em relac¸a˜o a` base β ′
[v]β ;′ =

y1
y2
:
yn
 .
Ja´ que {u1, . . . ,un} e´ base de V, podemos escrever os vetores wi como combinac¸a˜o linear dos u j, isto
e´: 
w1 = a11u1+a21u2+ ....+an1un
w2 = a12u1+a22u2+ ....+an2un
:
wn = a1nu1+a2nu2+ ....+annun
(3.2)
Substituindo em (3.1) temos: v = y1w1 + ...+ ynwn = y1(a11u1 + a21u2 + ....+ an1un) + ...+
yn(a1nu1+a2nu2+ ....+annun) = (a11y1+ ...+a1nyn)u1+ .....+(an1y1+ ...+annyn)un
Mas v= x1u1+ ....+ xnun, e como as coordenadas em relac¸a˜o a uma base sa˜o u´nicas, temos:
x1 = a11y1+a12y2+ ...+a1nyn
x2 = a21y1+a22y2+ ...+a2nyn
: : :
xn = an1y1+an2y2+ ...+annyn
Em forma matricial 
x1
:
xn
=

a11 : a1n
: : :
an1 an2 ann


y1
:
yn

Logo ,se usarmos a notac¸a˜o
[I]β
′
β =

a11 : a1n
: : :
an1 an2 ann

temos a relac¸a˜o
[v]β = [I]
β ′
β [v]β ′
3.9. Mudanc¸a de Base 71
A matriz [I]β
′
β e´ chamada matriz mudanc¸a de base β
′ para a base β .
Compare [I]β
′
β com (3.2) e observe que esta matriz e´ obtida, colocando as coordenadas em relac¸a˜o
a β de wi na i-e´sima coluna. Note que uma vez obtida [I]
β ′
β podemos encontrar as coordenadas de
qualquer vetor v em relac¸a˜o a` base β , multiplicando a matriz pelas coordenadas de v na base β ′
(supostamente conhecida).
Exemplo 113 Sejam β = {(2,−1),(3,4)} e β ′ = {(1,0),(0,1)}bases de R2. Procuremos inicial-
mente [I]β
′
β
w1 = (1,0) = a11(2,−1)+a21(3,4) = (2a11+3a21,−a11+4a21)
Isto implica que a11 = 411 e a21 =
1
11
w2 = (0,1) = a12(2,−1)+a22(3,4)
Resolvendo, a12 = −311 e a22 =
2
11
Portanto, [I]β
′
β =
 411 −311
1
11
2
11

Podemos usar esta matriz para encontrar por exemplo, [v]β para v= (5,−8)
[(5,−8)]β = [I]β
′
β [(5,−8)]β ′ =
 411 −311
1
11
2
11
 5
−8
=
 4
−1

Isto e´, (5,−8) = 4(2,−1)−1(3,4)
Exemplo 114 Considere as bases em R3 β = {(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e β´ =
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Encontre[I]β
′
β .
Seja:
(1,0,0) = a11(1,0,1)+a21(1,1,1)+a31(1,1,2)
(0,1,0) = a12(1,0,1)+a22(1,1,1)+a32(1,1,2)⇔
(0,0,1) = a13(1,0,1)+a23(1,1,1)+a33(1,1,2)
(a11+a21+a31,a21+a31,a11+a21+2a31) = (1,0,0)
(a12+a22+a32,a22 +a32,a12+a22+2a32) = (0,1,0)
(a13+a23+a33,a23 +a33,a13+a23+2a33) = (0,0,1)
Note que cada linha acima representa um sistema de treˆs equac¸o˜es com treˆs inco´gnitas e que a
matriz associada a cada um destes sistemas e´ a mesma e o que muda sa˜o os nomes das varia´veis e o
segundo membro. Utilizando como varia´veis x,y e z , basta resolvermos o seguinte sistema:
72 3.10. A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base

1 1 1
0 1 1
1 1 2


x
y
z
=

a
b
c

onde a,b,c ∈ R. O sistema acima e´ equivalente a

1 1 1
0 1 1
0 0 1


x
y
z
=

a
b
c−a

cuja soluc¸a˜o e´ dada por x= a−b, y= a+b− c e z= c−a
Tomando (a,b,c) = (1,0,0),obtemos (a11,a21,a31) = (1,1,−1)
Tomando (a,b,c) = (0,1,0),obtemos (a12,a22,a32) = (−1,1,0)
Tomando (a,b,c) = (0,0,1),obtemos (a13,a23,a33) = (0,−1,1). Desta forma obtemos:
[I]β
′
β =

1 −1 0
1 1 −1
−1 0 1

3.10 A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base
Se em (3.1 )comec¸armos escrevendo os ui em func¸a˜o dos w j, chegaremos a` relac¸a˜o:
[v]β ′ = [I]
β
β ′ [v]β
Um fato importante e´ que as matrizes [I]β
′
β e [I]
β
β ′ sa˜o inversı´veis e
(
[I]β
′
β
)−1
= [I]ββ ′
Exemplo 115 No exemplo (113 ) anterior podemos obter [I]β
′
β a partir de [I]
β
β ′
Note que [I]ββ ′ e´ fa´cil de ser calculada , pois β
′ e´ a base canoˆnica
(2,−1) = 2(1,0)−1(0,1)
(3,4) = 3(1,0)+4(0,1)
⇒ [I]ββ ′ =
 2 3
−1 4

3.10. A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base 73
Enta˜o
[I]β
′
β =
 2 3
−1 4
−1 =
 411 −311
1
11
2
11

Exemplo 116 Seja V = P3 e α =
{
2,x,x2+1,x3− x} e β = {3,x+1,x2,−3x3} bases de P3.
a. Encontre [I]αβ .
Escrevendo os elementos da base α como combinac¸a˜o dos elementos da base β .
2= a.3+b(x+1)+ cx2+d(−3x3)
x= e.3+ f(x+1)+gx2+h(−3x3)
x2+1= i.3+ j(x+1)+ lx2+m(−3x3)
x3− x= n.3+o(x+1)+px2+q(−3x3)
Rearranjando os termos a` direita de cada igualdade, temos:
2= (3a+b)+bx+ cx2+−3dx3
x= (3e+ f)+ fx+gx2+−3hx3
x2+1= (3i+ j)+ jx+ lx2+−3mx3
x3− x= (3n+o)+ox+px2+−3qx3
Daı´, comparando ambos os lados das igualdades, obte´m-se
[I]αβ =

2
3 −13 13 13
0 1 0 −1
0 0 1 0
0 0 0 −13

b. Encontre [p]α sabendo que [p]β =

1
2
−1
4
 .
Devemos usar a relac¸a˜o [p]α = [I]
β
α [p]β onde [I]
β
α =
(
[I]αβ
)−1
=

3
2
1
2 −12 0
0 1 0 −3
0 0 1 0
0 0 0 −3

[p]α =

3
2
1
2 −12 0
0 1 0 −3
0 0 1 0
0 0 0 −3


1
2
−1
4
=

3
−10
−1
−12

74 3.11. Terceira lista de exerc´ıcios
3.11 Terceira lista de exercı´cios
Exercı´cio 3.1 Verifique se R2 com as operac¸o˜es definidas por:
i. (x,y)+(s, t) = (s,y+ t), onde u= (x,y) e v= (s, t) pertencem a R2
ii. α(x,y) = (αx,y), onde α ∈ R e u= (x,y) ∈ R2.
e´ um espac¸o vetorial.
Exercı´cio 3.2 Moste que R2 com as operac¸o˜es definidas por:
i. (x,y)+(s, t) = (x+ s,y+ t), onde u= (x,y) e v= (s, t) pertencem a R2
ii. α(x,y) = (αx,αy), onde α ∈ R e u= (x,y) e v= (s, t) pertencem a R2.
e´ um espac¸o vetorial.
Exercı´cio 3.3 Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W e´ um subespac¸o do espac¸o
vetorial V .
a) V = R3 e W = {(x,y,z) ∈ R3 : 2x+3y− z= 0}
b) V = R3 e W = {(x1,x2,x3) ∈ R3 : x1+ x2 = 1}
c) V = Pn e W = {p ∈ Pn : p(0) = p(1)}
d) V =M(2,2) e S= {X ∈M2 �det(X) = 0} (S e´ o conjunto das matrizes singulares)
e) V =M(n,n) e F = {X ∈Mn �AX = XA} (F e´ o conjunto das matrizes que comutam com a
matriz A)
f) V = P3 e W e´ o conjunto dos polinoˆmios de grau≤ 3 que passam pelo ponto P(0,0).
g) V = P1 e W =
{
p(x) ∈ P1 :
∫ 1
0 p(x)dx= 0
}
h) V = R3 e W =
(x,y,z) ∈ R
3 : det

x y z
1 2 1
0 1 1
= 0

i) V =M2×2 e W =
{
A ∈M2×2 : A2 = A
}
Exercı´cio 3.4 Verifique se o conjunto W = {(1,2,3),(1,3,1),(0,3,1),(1,4,5)} ⊂ R3 e´ L.I ou L.D.
Exercı´cio 3.5 Dado o conjunto W = {(1,1,3),(1,2,1),(0,1,3),(1,4,5)} ⊂ R3, extrair um subcon-
junto de vetores L.I.
Exercı´cio 3.6 a) Se o conjunto β = {v1,v2, ...,vn} e´ um conjunto Linearmente Independente enta˜o o
o conjunto α =
{
v1,
−→
0 ,v2, ...,vn
}
e´ LI ou LD? Justifique sua resposta.
b) Considere o subespac¸o N =
{−→
0
}
. Qual e´ a base e a dimensa˜o de N.
3.11. Terceira lista de exerc´ıcios 75
Exercı´cio 3.7 a) Verifique se o conjunto S = {A ∈ M(3,3); A e´ uma matriz anti-sime´trica} e´ um
subespac¸o vetorial de M(3,3).
b) Considere o subconjunto de M2, dado por W =

 a b
c d
 ∈M2 � b= a e d =−a
. Veri-
fique se o subconjunto W e´ um espac¸o vetorial.
Exercı´cio 3.8 Considere o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1,0,0), v2 = (0,0,1,1),
v3 = (−2,2,1,1) e v4 = (1,0,0,0).
a) O vetor (2,−3,2,2) ∈ [v1,v2,v3,v4]? Justifique.
b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]. Qual e´ a dimensa˜o deste espac¸o?
c) [v1,v2,v3,v4] = R4? Por queˆ?
Exercı´cio 3.9 Considere o espac¸o vetorial P3 e o conjunto W = {p(x) ∈ P3; p′′(1) = 0}.
a) Verifique se W e´ um subespac¸o vetorial de P3.
b) Obtenha os geradores de W.
Exercı´cio 3.10 a) Encontre as coordenadas do vetor p = 1+ t + t2 + t3 emrelac¸a˜o base α ={
2,1+ t, t+ t2, t2+ t3
}
de P3.
b) O conjunto β =
{
2, t2, t+ t2
}
e´ LI ou LD? Justifique sua resposta.
Exercı´cio 3.11 Qual o subespac¸o gerado pelas matrizes
1 1
1 0
 ,
0 0
1 1
 e
0 2
0 −1
?
Exercı´cio 3.12 Deˆ um exemplo de um subespac¸o vetorial de P3 com dimensa˜o 2.
Exercı´cio 3.13 Mostre com um exemplo que a unia˜o de dois subespac¸os vetoriais de um mesmo
espac¸o vetorial na˜o precisa ser um subespac¸o vetorial desse espac¸o.
Exercı´cio 3.14 Responda se os subconjuntos abaixo sa˜o subespac¸os de M(2,2).
a) V =

 a b
c d
 com a,b,c,d ∈ R e b= c e a=−b

b) V =

 a b
c d
 com a,b,c,d ∈ R e b= d

Em caso afirmativo, determine:
i) uma base para W1∩W2
ii)W1+W2 e´ soma direta?
iii)W1+W2 =M(2,2)?
76 3.11. Terceira lista de exerc´ıcios
Exercı´cio 3.15 Considere os subespac¸os de R5, W1 = {(x,y,z, t,w)�x+ z+w= 0,x+w= 0} ,
W2 = {(x,y,z, t,w)�y+ z+ t = 0} e W3 = {(x,y,z, t,w)�2x+ t+2w= 0}.
a) Determine uma base para o subespac¸o W1∩W2∩W3.
b) Determine uma base e a dimensa˜o de W1+W3.
c) W1+W2 e´ soma direta? Justifique.
d) W1+W2 = R5?
Exercı´cio 3.16 Considere os seguintes subespac¸os de P3:
U =
{
p ∈ P3 : p′′(1) = 0
}
e W =
{
p ∈ P3 : p′(1) = 0
}
Determine dim(U+W ) e dim(U ∩W ).
Exercı´cio 3.17 Considere o subespac¸o W de P3 que e´ gerado pelos polinoˆmios p1(x) = 1+2x+ x2,
p2(x) =−1+2x2+3x3 e p3(x) =−1+4x+8x2+9x3 e o subespac¸o de P3, U = {p ∈ P3 : p(0) = 0}
a) Determine uma base e a dimensa˜o de W.
b) Determine uma base para U ∩W.
c) Determine uma base para U+W.
Exercı´cio 3.18 Sejam U = [(1,0,0),(1,1,1)] e V = [(0,1,0),(0,0,1)] subespac¸osgerados do R3.
Determine:
a) uma base e a dimensa˜o de U ∩W.
b) U+W = R3?
Exercı´cio 3.19 Considere o seguinte subespac¸o de M(2,2)
S=

a b
c d
 ∈M(2,2) : a+b= c+d = 0

a) Determine uma base e indique a dimensa˜o de S.
b) Construa uma base de M(2,2) que contenha a base de S obtida no ı´tem a).
Exercı´cio 3.20 Determine a dimensa˜o e encontre uma base do espac¸o-soluc¸a˜o do sistema
x−3y+ z= 0
2x−6y+2z= 0
3x−9y+3z= 0
3.11. Terceira lista de exerc´ıcios 77
Exercı´cio 3.21 Sejam U e W subespac¸os de R4 de dimensa˜o 2 e 3, respectivamente. Mostre que a
dimensa˜o de U ∩W e´ pelo menos 1. O que ocorre se a dimensa˜o de U ∩W for 2 ? Pode ser 3?
Justifique sua resposta.
Exercı´cio 3.22 O conjunto A = {(1,0,2),(a2,a,0),(1,0,a)} e´ uma base para um subespac¸o do R3
de dimensa˜o 2, se e somente se, a= 2.
Exercı´cio 3.23 Seja S= {X ∈M3×1 : AX = 0} o espac¸o soluc¸a˜o do sistema

x+ y+az= 0
x+ay+ z= 0
ax+ y+ z= 0
. De-
termine os valores de a para os quais S seja: a pro´pria origem; uma reta que passa pela origem; e,
um plano que passa pela origem.
Exercı´cio 3.24 Sejam β = {(1,0),(0,1)}, β1 = {(−1,1),(1,1)}, β2 = {
√
3,1),(
√
3,−1)} e β3 =
{(2,0),(0,2)} bases ordenadas de R2.
a) Encontre a matriz mudanc¸a de base:
i. [I]β1β ii. [I]
β
β1
iii. [I]ββ2 iv. [I]
β
β3
b) Quais sa˜o as coordenadas do vetor v= (3,−2) em relac¸a˜o a` base
i. β ii. β1 iii. β2 iv. β3
c) As coordenadas de um vetor u em relac¸a˜o a` base β1 sa˜o dadas por [u]β1 =
 4
0
. Quais as
coordenadas do vetor u em relac¸a˜o a` base: i. β ii. β2 iii. β3
Exercı´cio 3.25 Sejam P4 =
{
p= a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4�a0,a1,a2,a3,a4 ∈ R
}
,α ={
1,x,x2,x3,x4
}
e β =
{
2,2x,4x2,8x3,16x4
}
.
a) Determine [I]αβ .
b) Se [p]α =

1
2
3
4
5

, determinar [p]β .
c) Determine o polinoˆmio p cujas coordenadas sa˜o dadas no item b) acima.
Exercı´cio 3.26 Considere o seguinte subespac¸o de M2 :W =

 a b
c d
�d = 0
. Sejam
78 3.11. Terceira lista de exerc´ıcios
α =

 1 1
1 0
 ,
 1 −1
1 0
 ,
 1 1
−11 0

β =

 1 0
1 0
 ,
 1 1
0 0
 ,
 1 0
0 0

a) Detemine [I]αβ .
b) Se [v]β =

pi
e
0
 , determine [v]α .
Exercı´cio 3.27 Sejam α e β bases de R3. Determine a base β sabendo que α =
{(1,−1,0),(0,1,0),(0,0,−1)} e a matriz mudanc¸a de base de α para β e´
[I]αβ =

1 0 0
0 2 1
−1 1 1

Exercı´cio 3.28 Seja α =

1 1
0 0
 ,
0 1
1 0
 ,
 2 1
−2 0
 uma base para um subespac¸o de M2×2
e [I]αβ =

1 0 −1
1 1 −1
2 −1 2
 onde β e´ tambe´m uma base para um subespac¸o de M2×2
a) Determine a base β .
b) Se [v]β =

1
−2
1
 , determine [v]α .
Exercı´cio 3.29 Seja E um espac¸o vetorial qualquer e α = {u1,u2,u3} uma base de E. Considere
ainda os vetores v1 = u1+u2, v2 = 2u1+u2−u3 e v3 =−u2.
a) Determine a matriz S de mudanc¸a da base β = {v1,v2,v3} para a base α = {u1,u2,u3}.
b) Calcule as coordenadas do vetor w= v1+ v2− v3 na base {u1,u2,u3}.
Exercı´cio 3.30 Sejam α e β bases de um espac¸o vetorial V .
a) Mostre que det
(
[I]αβ [I]
β
α
)
= 1.
b) Determine [I]αα .
3.11. Terceira lista de exerc´ıcios 79
Exercı´cio 3.31 Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem ver-
dadeiras, demonstre. Se forem falsas, deˆ um contra-exemplo.
a) A intersec¸a˜o de dois subespac¸os vetoriais nunca e´ vazia.
b) A matriz
−1 2
0 3
 pertence ao subespac¸o W =
1 1
1 0
 ,
0 0
1 1
 ,
0 2
0 −1
.
b) Se os vetores −→u ,−→v e −→w sa˜o LI enta˜o os vetores −→u −−→v ,−→v −−→w e −→u −−→w sa˜o LI′s.
c) W = [(1,2,0),(2,4,0)] e´ um plano no R3 que passa pela origem.
d) Se β = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} e´ uma base de um espac¸o vetorial V , enta˜o o conjunto A = {−→v 1 +
−→v 3,−→v 1+−→v 2,−→v 1+−→v 2+−→v 3} e´ lineramente independente.
e) O subespac¸o W = {p ∈ P3 : p′(1) = 0 e p′′(−1) = 0} e´ gerado pelos polinoˆmios p1 = 1 e
p2 =−9x+3x2+ x3.
3.11.1 Algumas respostas e sugesto˜es
3.1 - Na˜o e´ espac¸o vetorial
3.3 - a) Sim. Uma base e´ α = {(1,0,2),(0,1,3)}.
b) Na˜o
c) Sim. Uma base e´ α = {1, t, t2, · · · , tn}.
d) Na˜o
e) Sim
f) Sim. Uma base e´ α = {t, t2, t3}.
g) Sim. Uma base e´ α = {1−2x}.
h) Sim. Uma base e´ α = {(1,1,0),(0,1,1)}.
i) Na˜o
3.4 - L.D.
3.5 - Um dos subconjuntos e´W1 = {(1,1,3),(1,2,1),(0,1,3)}.
3.7 - a) Sim b) Sim
3.8 - a) Sim
b) Uma base e´ β = {(1,−1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,0)} e dimW = 3.
c) Na˜o
3.9 - a) Sim
b)W = [x3−3x2,x,1]
80 3.11. Terceira lista de exerc´ıcios
3.10 - a) [p]α =

0
1
0
1

b) L.I.
3.11 -W =

 a b
c d
 ∈M2 : a+b−2c+2d = 0

3.12 - P1
3.14 - a) Sim b) Sim
i) uma base e´ β =

 1 −1
−1 −1

ii) Na˜o iii) Sim
3.15 - a) β = {(1,0,0,0,−1)}
b) β = {(1,0,0,0,−1),(0,0,0,1,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,−2,1)}
c) Na˜o
d) Na˜o
3.16 - dim(U+W ) = 4 e dim(U ∩W ) = 2
3.17 - a) Uma base e´ α = {p1, p2} e dim(W ) = 2.
b) Uma base e´ β = {2x+3x2+3x3}.
c) Uma base e´ γ = {1,x,x2,x3}.
3.18 - a) Uma base e´ β = {(0,1,1)} e dim(U ∩W ) = 1.
b) Sim. Porque?
3.19 - a) Uma base e´ β =

 1 −1
0 0
 ,
 0 0
1 −1
 e dim(S) = 2.
b) Um exemplo e´ α =

 1 −1
0 0
 ,
 0 0
1 −1
 ,
 0 0
1 0
 ,
 0 1
0 0

3.20 - Uma base e´ α =


3
1
0
 ,

−1
0
1

 e dim(W ) = 2.
3.23 - Para a 6= 1, a 6= −2, S = (0,0,0). Para a = −2, S = [(1,1,1)], uma reta passando pela
origem; e para a= 1, S= [(−1,1,0),(−1,0,1)], um plano passando pela origem.
3.24 - a) i) [I]β1β =
 −1 1
1 1
 ii) [I]ββ1 =
 −12 12
1
2
1
2
 iii) [I]ββ2 =
 16 12
1
6 −12
 iv) [I]ββ3 = 12 0
0 12

3.11. Terceira lista de exerc´ıcios 81
b) i) [v]β =
 3
−2
 ii) [v]β1 =
 −52
1
2
 iii) [v]β2 =
 −12
3
2
 iv) [v]β3 =
 32
−1

c) i)
 −4
4
 ii)
 43
−83
 iii) [v]β2 =
 −2
2

3.25 - a) [I]αβ =

1
2 0 0 0 0
0 12 0 0 0
0 0 14 0 0
0 0 0 18 0
0 0 0 0 116

b) [v]β =

1
2
1
3
4
1
2
5
16

c) p(x) = 1+2x+3x2+4x3+5x4
3.26 - a) [I]αβ =

1 1 −11
1 −1 1
−1 1 11

b) [v]α =

pi
2 +
11
12e
pi
2
e
12

3.27 - β = {(1,−2,−2),(0,1,1),(0,−1,−2)}
3.28 - a) β =

 −54 −32
1
2 0
 ,
 34 32
1
2 0
 ,
 34 12
−12 0

b) [v]α =

0
−3
−1

3.29 - a) [I]βα =

1 2 0
1 1 −1
0 −1 0

b) [w]α =

3
3
−1

3.31 - a) V b) V c) F d) F e) V f) V
82 3.11. Terceira lista de exerc´ıcios
Capı´tulo 4
TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES
Definic¸a˜o 4.1 Sejam V e W dois espac¸os vetoriais. Uma Transformac¸a˜o Linear (aplicac¸a˜o linear) e´
uma func¸a˜o de V emW, T :V →W, que satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
• Qualquer que sejam u e v em V ,
T (u+ v) = T (u)+T (v)
• Qualquer que sejam k ∈ R e v em V ,
T (kv) = kT (v)
Exemplo 117 Um agricultor planta e comercializa treˆs tipos de verduras: Tomate, Batata, Cenoura.
Sejam x1,x2,x3 as quantidades em quilos de Tomate, Batata, Cenoura respectivamente. Se o agricul-
tor vende o quilo do tomate a R$3,50,da batata a R$2,20 e da cenoura a R$2,90 enta˜o o total de
vendas (TV ) e´ dado por 3,5x1+2,2x2+2,9x3. A aplicac¸a˜o que a cada tripla (x1,x2,x3)∈R3 associa
o total de vendas TV (x1,x2,x3) e´ uma aplicac¸a˜o linear. Matematicamente temos uma transformac¸a˜o
linear do EV R3 no EV R :TV : R3→ R
TV (x1,x2,x3) = 3,5x1+2,2x2+2,9x3
Vamos agora mostrar que de fato esta aplicac¸a˜o e´ uma transformac¸a˜o linear.
84 Cap´ıtulo 4. TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES
Chamando u= (x1,x2,x3) ∈ R3, v= (y1,y2,y3) ∈ R3 e k ∈ R temos:
i)
TV (u+ v) = TV ((x1,x2,x3)+(y1,y2,y3))
= TV (x1+ y1,x2+ y2,x3+ y3)
= 2(x1+ y1)+1,5(x2+ y2)+1,9(x3+ y3)
= 2x1+1,5x2+1,9x3+2y1+1,5y2+1,9y3
= (2x1+1,5x2+1,9x3)+(2y1+1,5y2+1,9y3)
TV (u) = T (x1,x2,x3) = 2x1+1,5x2+1,9x3
TV (v) = T (y1,y2,y3) = 2y1+1,5y2+1,9y3
TV (u)+TV (v) = (2x1+1,5x2+1,9x3)+(2y1+1,5y2+1,9y3)
Logo TV (u+ v) = TV (u)+TV (v).
ii)
TV (ku) = TV (k(x1,x2,x3))
= TV (kx1,kx2,kx3)
= 2kx1+1,5kx2+1,9kx3
= k (2x1+1,5x2+1,9x3)
= kT (u)
Logo TV (ku) = kTV (u). De i) e ii) vemos que TV e´ uma transformac¸a˜o linear.
Exemplo 118 Sejam V = R, W = R e F : R → R dado F(u) = u2. A aplicac¸a˜o F na˜o e´ uma
transformac¸a˜o linear pois:
F(u+ v) = (u+ v)2 = u2+2uv+ v2
F(u)+F(v) = u2+ v2
F(u+ v) 6= F(u)+F(v)
Exemplo 119 T : R2→ R3, T (x,y) = (2x,0,x+ y). T e´ uma transformac¸a˜o linear pois,
i)
T (u+ v) = T ((x1,y1)+(x2,y2))
= T (x1+ x2,y1+ y2)
= (2(x1+ x2),0,(x1+ x2)+(y1+ y2))
= (2x1+2x2,0+0,(x1+ y1)+(x2+ y2))
= (2x1,0,x1+ y1)+(2x2,0,x2+ y2)
= T (u)+T (v)
Cap´ıtulo 4. TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES 85
ii)
(ii)T (ku) = T (k(x1,y1))
= T (kx1,ky1)
= (2kx1,0,kx1+ ky1)
= k (2x1,0,x1+ y1)
kT (u)
Portanto T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Exemplo 120 V =W = Pn e
D : Pn→ Pn−1
D( f ) = f ′
a aplicac¸a˜o derivada que a cada polinoˆmio associa sua derivada, a qual tambe´m e´ um polinoˆmio e´
uma aplicac¸a˜o linear. De fato, para quaisquer f ,g ∈ Pn e k ∈ R,
i)
D( f +g) = ( f +g)′
= f ′+g′
= D( f )+D(g)
ii)
D(k f ) = (k f )′
= k f ′
= kD( f )
Exemplo 121 V = Pn,W = Pn+1, p(x) = a0+a1x+a2x2+ . . .+anxn
T : Pn→ Pn+1
T (p(x)) = xp(x) = a0x+a1x2+a2x3+ . . .+anxn+1
A aplicac¸a˜o T e´ uma transformac¸a˜o linear pois
T (p+q) = x(p+q)(x) = x(p(x)+q(x)) = xp(x)+ xq(x) = T (p)+T (q)
T (kp) = x(kp)(x) = xkp(x) = kxp(x) = kT (p)
86 Cap´ıtulo 4. TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES
Exemplo 122 V =W = Pn, p(x) = a0+a1x+a2x2+ . . .+anxn, a,b ∈ R e
T : Pn→ Pn
T (p(x)) = p(ax+b) = a0+a1 (ax+b)+a2 (ax+b)
2+ . . .+an (ax+b)
n
Esta aplicac¸a˜o tambe´m e´ linear pois,
T (p+q) = (p+q)(ax+b) = p(ax+b)+q(ax+b) = T (p)+T (q)
T (kp) = (kp)(ax+b) = kp(ax+b) = kT (p)
Exemplo 123 Uma transformac¸a˜o linear inportante e´ aquela que se obte´m usando-se o produto es-
calar. Seja Rn com o produto escalar usual 〈., .〉e v0 ∈ Rn um vetor qualquer fixado. Seja,
T : Rn→ R
T (v) = 〈v,v0〉
T e´ uma aplicac¸a˜o linear (mostre isso, use as propriedades do produto escalar)
Exemplo 124 Sejam C(R) = { f : R→ R / f e´ contı´nua} . Considere
J : C(R)→ R
J( f ) = f (0)
Por exemplo se f (t) = t2 enta˜o J( f ) = f (0) = 02 = 0. J e´ uma aplicac¸a˜o linear pois, se f ,g ∈C(R)
e k ∈ R enta˜o
J( f +g) = ( f +g)(0) = f (0)+g(0) = J( f )+ J(g)
J(k f ) = (k f )(0) = k f (0) = kJ( f )
Exemplo 125 Seja,
T : M2→M2
T
 a b
c d
 =
 a+b b+ c
c+d d+a

Esta aplicac¸a˜o e´ uma transformac¸a˜o linear, pois
Cap´ıtulo 4. TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES 87
T
 a1 b1
c1 d1
+
 a2 b2
c2 d2
 = T
 a1+a2 b1+b2
c1+ c2 d1+d2

=
 a1+a2+b1+b2 b1+b2+ c1+ c2
c1+ c2+d1+d2 d1+d2+a1+a2

=
 a1+b1 b1+ c1
c1+d1 d1+a1
+
 a2+b2 b2+ c2
c2+d2 d2+a2

= T
 a1 b1
c1 d1
+T
 a2 b2
c2 d2

T
k
 a b
c d
 = T
 ka kb
kc kd

=
 ka+ kb kb+ kc
kc+ kd kd+ ka

= k
 a+b b+ c
c+d d+a

= kT
 a b
c d

Exemplo 126 Seja,
T : Mn→ R
T (A) = det(A)
Esta aplicac¸a˜o na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear, pois, em geral det(A1+A2) 6= det(A1)+det(A2)
Exemplo 127 Verificar se a aplicac¸a˜o F : R3→ R2 definida por F(x,y,z) = (z,x+ y) e´ linear.
Exemplo 128 Verificar se a aplicac¸a˜o F : R2→ R2 definida por F(x,y) = (x2+ y2,x) e´ linear.
88 4.1. Propriedades das Transformac¸o˜es Lineares
4.1 Propriedades das Transformac¸o˜es Lineares
Teorema 4.1 Dados dois espac¸os vetoriais reais V e W e uma base de β = {v1, · · · ,vn} de V. Sejam
w1, · · · ,wn elementos arbitra´rios de W. Enta˜o existe uma u´nica aplicac¸a˜o linear T : V →W tal que
T (v1) = w1, · · · ,T (vn) = wn. Esta aplicac¸a˜o e´ dada por: Se v= a1v1+ · · ·+anvn, enta˜o
T (v) = T (a1v1+ · · ·+anvn), como T e´ linear
T (v) = a1T (v1)+ · · ·anT (vn)
T (v) = a1w1+ · · ·anwn
a1,a2,...,an devem ser determinados.
Exemplo 129 Qual a transformac¸a˜o linear T : R2 → R3 tal que T (1,0) = (2,−1,0) e T (1,1) =
(0,0,1)?
Temos neste caso v1 = (1,0) e v2 = (1,1) base de R2 e w1 = (2,−1,0) e w2 = (0,0,1). Dado
v= (x,y) arbitra´rio,
(x,y) = a(1,0)+b(1,1)
(x,y) = (x− y)(1,0)+ y(1,1)
T (x,y) = T ((x− y)(1,0)+ y(1,1))
T (x,y) = (x− y)T (1,0)+ yT (1,1)
T (x,y) = (x− y)(2,−1,0)+ y(0,0,1)
T (x,y) = (2x−2y,−x+ y,y)
Exemplo 130 Qual a transformac¸a˜o linear T :M2→ P4 tal que
T
 1 0
0 0
 = x4+ x
T
 0 1
0 0
 = x3+ x2
4.1. Propriedades das Transformac¸o˜es Lineares 89
T
 0 0
1 0
 = x2+ x3
T
 0 0
0 1
 = x+ x4
Uma matriz A ∈M2 e´ da forma A=
 a b
c d
 . Podemos escrever:
 a b
c d
= a
 1 0
0 0
+b
 0 1
0 0
+ c
 0 0
1 0
+d
 0 0
0 1
, portanto
T
 a b
c d
= T
a
 1 0
0 0
+b
 0 1
0 0
+ c
 0 0
1 0
+d
 0 0
0 1

= aT
 1 0
0 0
+bT
 0 1
0 0
+ cT
 0 0
1 0
+dT
 0 0
0 1

T
 a b
c d
 = a(x4+ x)+b(x3+ x2)+ c(x2+ x3)+d (x+ x4)
T
 a b
c d
 = (a+d)x+(b+ c)x2+(b+ c)x3+(a+d)x4
Definic¸a˜o 4.2 Seja T : V →W uma transformac¸a˜o linear. A imagem de T e´ o conjunto de vetores
w ∈W tais que existe um vetor v ∈V, que satisfaz T (v) = w. Ou seja
Im(T ) = {w ∈W / T (v) = w para algum v ∈V}
Observac¸a˜o 8 Note que Im(T ) e´ um subconjunto deW e, ale´m disso, e´ um subespac¸o vetorial de W.
Exemplo 131 Seja T :R2→R2 a transformac¸a˜o linear dada por T (x,y) = (2x−y,−10x+y). Qual
dos vetores abaixo pertence a imagem de T
a) u= (1,2)
b) w= (−1,2)
a) Para que u ∈ Im(T ) deve existir algum v = (x,y) tal que T (v) = u, ou seja, T (x,y) = (1,2);
90 4.1. Propriedades das Transformac¸o˜es Lineares
temos enta˜o:
T (x,y) = (1,2)
(2x− y,−10x+ y) = (1,2) 2x− y= 1−10x+ y= 2
Resolvendo o sistema temos x=−38 e y=−74 , logo u pertence a imagem de T pois T (−38 ,−74) = u.
b) Analogamente deve existir algum v= (x,y) tal que T (v) = w, ou seja
T (x,y) = (−1,2)
(2x− y,−10x+ y) = (−1,2) 2x− y=−1−10x+ y= 2
Resolvendo o sistema temos x=−18 e y= 34 logo w pertence a imagem de T pois T (−18 , 34) = w
Exemplo 132 Determine a imagem da transformac¸a˜o linear T :R3→R3, T (x,y,z) = (2x−y−z,x−
y− z,x+ y− z).
Se w ∈ Im(T ) enta˜o w= T (x,y,z), ou seja,
w = (2x− y− z,x− y− z,x+ y− z)
= x(2,1,1)+ y(−1,−1,1)+ z(−1,−1,−1)
Logo todo vetor que pertence a imagem de T e´ gerado pelos vetores w1 = (2,1,1),w2 = (−1,−1,1)
e w3 = (−1,−1,−1). Podemos enta˜o escrever que Im(T ) = [(2,1,1), (−1,−1,1), (−1,−1,−1)] .
Como o conjunto β = {(2,1,1),(−1,−1,1),(−1,−1,−1)} e´ LI (verifique isto) temos que β e´
uma base para a Im(T ), mas β e´ base para R3, logo concluimos que Im(T ) = R3.
Definic¸a˜o 4.3 Seja T :V →W, uma transformac¸a˜o linear. O conjunto de todos os vetores v ∈V tais
que T (v) =
−→
0 e´ chamado nu´cleo de T , sendo denotado por Ker(T ). Isto e´,
Ker(T ) =
{
v ∈V � T (v) =−→0
}
Observac¸a˜o 9 Observe que Ker(T ) ⊂ V e´ um subconjunto de V e, ainda mais, e´ um subespac¸o
4.1. Propriedades das Transformac¸o˜es Lineares 91
vetorial de V. Alguns autores denotam onu´cleo de T por N(T ).
Exemplo 133 Seja T : V →W, dada por T (v) = −→0 . Neste caso todo vetor de V e´ levado no vetor
nulo pela transformac¸a˜o T, assim temos que Ker(T ) =V
Exemplo 134 Seja T :R3→R3 a projec¸a˜o ortogonal sobre o plano xy. Neste caso temos T (x,y,z) =
(x,y,0). Se T (x,y,z) = (0,0,0)⇒ (x,y,z) = (0,0,0)⇒ x = 0 e y = 0. Como nada e´ dito sobre a
varia´vel z, temos que z e´ qualquer, logo Ker(T ) =
{
(0,0,z) ∈ R3 � z ∈ R} , ou seja o nu´cleo de T
sa˜o todos os vetores que esta˜o sobre o eixo z.
Figura 4.1: Projec¸a˜o Ortogonal - (134)
Exemplo 135 Encontre o nu´cleo da transformac¸a˜o linear:
T : R4→ R3
T (x,y,z, t) = (x+ y+ z− t,2x+ z− t,2y− t)
Devemos encontrar os vetores v = (x,y,z, t) ∈ R4 tais que T (v) = T (x,y,z, t) = (0,0,0). Neste
caso temos que resolver o sistema homogeˆneo:
x+ y+ z− t = 0
2x+ z− t = 0
2y− t = 0
A matriz ampliada do sistema e´:
1 1 1 −1 ... 0
2 0 1 −1 ... 0
0 2 0 −1 ... 0
⇒

1 1 1 −1 ... 0
0 −2 −1 1 ... 0
0 0 −1 0 ... 0

pa = pc = 3 e p= 3< n= 4 logo o sistema e´ compatı´vel e indeterminado com grau de liberdade
1.
Logo, 
x+ y+ z− t = 0
−2y− z+ t = 0
−z= 0
o que nos fornece, x= y, z= 0 e t = 2y.
Portanto Ker(T ) =
{
(y,y,0,2y) ∈ R4� y ∈ R}= [(1,1,0,2)]
92 4.1. Propriedades das Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 136 Seja T :R3→R3 a transformac¸a˜o linear que e´ a projec¸a˜o ortogonal sobre a reta cujas
equac¸o˜es parame´tricas sa˜o:

x= 2t
y=−2t
z= t
. Encontre o Nu´cleo de T.
Projetar um vetor sobre uma reta e´ o mesmo que encontrar a projec¸a˜o ortogonal sobre o vetor
diretor dessa mesma reta. No nosso caso, o vetor diretor e´ u= (2,−2,1), logo
T (v) = pro juv=
( v.u
u.u
)
u
T (x,y,z) =
(
(x,y,z).(2,−2,1)
(2,−2,1).(2,−2,1)
)
(2,−2,1)
T (x,y,z) =
(
2x−2y+ z
9
)
(2,−2,1)
T (x,y,z) =
(
4x−4y+2z
9
,
−4x+4y−2z
9
,
2x−2y+ z
9
)
Para encontrar o nu´cleo devemos ter,
T (x,y,z) =
(
4x−4y+2z
9
,
−4x+4y−2z
9
,
2x−2y+ z
9
)
= (0,0,0)
4x−4y+2z = 0
−4x+4y−2z = 0
2x−2y+ z = 0

4 −4 2
−4 4 −2
2 −2 1
, fazendo o escalonamento temos

4 −4 2
0 0 0
0 0 0
 , assim
4x−4y+2z = 0
0 = 0
0 = 0
4.1. Propriedades das Transformac¸o˜es Lineares 93
2z = −4x+4y
z = −2x+2y
Portanto Ker(T ) =
{
(x,y,−2x+2y) ∈ R3 � x,y ∈ R}= [(1,0,−2),(0,1,2)]
Exemplo 137 Seja F :R3→R2 a transformac¸a˜o linear dada por F(x,y,z) = (x+y,2x−y+ z). Dar
uma base e a dimensa˜o de ker(F).
Definic¸a˜o 4.4 Dada uma aplicac¸a˜o T : V →W, diremos que T e´ injetora se dados u,v ∈ V com
T (u) = T (v) tivermos u = v. Ou equivalentemente, T e´ injetora se dados u,v ∈ V com u 6= v, enta˜o
T (u) 6= T (v).
Definic¸a˜o 4.5 Uma aplicac¸a˜o T : V →W sera´ sobrejetora se a imagem de T coincidir com W, ou
seja, T (V ) =W.
Observac¸a˜o 10 Da definic¸a˜o acima vemos que uma func¸a˜o sera´ sobrejetora se dado w ∈W, existir
v ∈V tal que T (v) = w.
Teorema 4.2 Seja T : V →W, uma aplicac¸a˜o linear. enta˜o ker(T ) = {0} , se e somente se T e´
injetora.
Proof. a) Vamos mostrar que se T e´ injetora, enta˜o ker(T ) = {0}
Seja v ∈ Ker(T ) ⇒ T (v) = 0. Por outro lado, como T e´ linear tem-se que T (0) = 0. Logo,
T (v) = T (0). Como por hipo´tese T e´ injetora enta˜o v= 0. Portanto, o vetor nulo e´ o u´nico elemento
do nu´cleo, isto e´, ker(T ) = {0}.
b) Vamos mostrar que se ker(T ) = {0}, enta˜o T e´ injetora.
Sejam v1,v2 ∈V tais que T (v1) = T (v2). Enta˜o T (v1)−T (v2) = 0 ou T (v1−v2) = 0 e, portanto,
v1− v2 ∈ ker(T ). Mas por hipo´tese, o u´nico elemento do nu´cleo e´ o vetor nulo, logo v1− v2 = 0 e
portanto v1 = v2. Como T (v1) = T (v2)⇒ v1 = v2, T e´ injetora. �
Teorema 4.3 Seja T :V →W, uma aplicac¸a˜o linear. Enta˜o
dimKer(T )+dim Im(T ) = dimV
Corola´rio 4.1 Se dimV = dimW, enta˜o a transformac¸a˜o linear T :V →W e´ injetora se e somente
se T e´ sobrejetora.
94 4.2. Transformac¸o˜es Lineares e Matrizes
Corola´rio 4.2 Seja T :V →W, uma aplicac¸a˜o linear injetora. Se dimV = dimW, enta˜o T leva base
em base.
Exemplo 138 Seja T : Pn→ Pn+1, dada por T (p(x)) = xp(x).Verifique se T e´ bijetora.
Devemos verificar se T e´ injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Usando o teorema (4.2) deve-
mos apenas calcular o nu´cleo de T :
T (p(x)) = xp(x)
T (a0+a1x+ . . .+anxn) = x(a0+a1x+ . . .+anxn)
T (a0+a1x+ . . .+anxn) = (a0x+a1x2+ . . .+anxn+1)
Se
T (p(x)) = 0
a0x+a1x2+ . . .+anxn+1 = 0= 0+0x+0x2+ . . .+0xn+1
logo a0 = a1 = . . .= an = 0⇒ p(x) = 0 (p(x) e´ o polinoˆmio nulo)⇒ Ker(T ) =
{−→
0
}
(observe que
neste caso o vetor nulo de Pn e´ o polinoˆmio nulo de grau n). Portanto T e´ injetora.
Como dimPn = n+1, dimPn+1 = n+2 e dimKer(T ) = 0, temos que
dimKer(T )+dim Im(T ) = n+1
0+dim Im(T ) = n+1
dim Im(T ) = n+1
Note que dim Im(T ) = n+1 6= n+2 = dimPn+1 ⇒ Im(T ) 6= Pn+1. Portanto T na˜o e´ sobrejetora
e assim T na˜o e´ bijetora.
4.2 Transformac¸o˜es Lineares e Matrizes
4.2.1 Transformac¸a˜o linear associada a uma matriz
Seja A uma matriz m×n. Associada a matriz A definimos a transformac¸a˜o linear:
4.2. Transformac¸o˜es Lineares e Matrizes 95
LA : Rn→ Rm
v→ A.v
onde v e´ tomado como vetor coluna,
v=

x1
...
xn

LA(v) = A.v
LA(v) =

a11 · · · a1n
... . . .
...
am1 · · · amn


x1
...
xn

LA


x1
...
xn

 =

a11x1+ · · ·a1nxn
...
am1x1+ · · ·+amnxn

Das propriedades de operac¸o˜es de matrizes:
LA(u+ v) = A.(u+ v) = A.u+A.v= LA(u)+LA(v)
LA(ku) = A.(ku) = kA.u= kLA(u)
e portanto LA e´ uma transformac¸a˜o linear.
Exemplo 139 Seja A=

1 1 1 −1
2 0 1 −1
0 2 0 −1

Observe que a matriz A tem ordem 3×4 e portanto ela induzira´ uma transformac¸a˜o linear de R4
96 4.2. Transformac¸o˜es Lineares e Matrizes
para R3 , definida por:
LA : R4→ R3
LA


x
y
z
t

 =

1 1 1 −1
2 0 1 −1
0 2 0 −1


x
y
z
t

=

x+ y+ z− t
2x+ z− t
2y− t

Note que a transformac¸a˜o acima esta´ escrita em forma matricial, mas podemos escreve-la tambe´m
na forma vetorial que estamos acostumados:
LA(x,y,z, t) = (x+ y+ z− t,2x+ z− t,2y− t)
Surpresa!! Esta e´ a mesma transformac¸a˜o do exemplo (135)
Exemplo 140 Dada a transformac¸a˜o linear:
T : R3→ R2
T (x,y,z) = (10x−20y−30z,x−2y−3z)
Encontre a matriz da transformac¸a˜o T (Isto e´, encontre a matriz A cuja transformac¸a˜o associada a
ela e´ exatamente a transformac¸a˜o T )
Passando da forma vetorial para a forma matricial temos:
T


x
y
z

 =
 10x−20y−30z
x−2y−3z

=
 10 −20 −30
1 −2 −3


x
y
z

4.2. Transformac¸o˜es Lineares e Matrizes 97
Portanto a matriz de T, que denotaremos por [T ] e´
[T ] =
 10 −20 −30
1 −2 −3

Observac¸a˜o 11 Ao obtermos a transformac¸a˜o associada a uma matriz A (ou, caso contra´rio, a
matriz de uma transformac¸a˜o T ), na˜o mencionamos as bases dos espac¸os envolvidos. De fato, ao
obtermos a matriz de uma transformac¸a˜o estamos levando em conta as bases associadas aos espac¸os
Rn e Rm mas neste caso em particular estamos considerando as bases canoˆnicas. Isto ficara´ claro na
exposic¸a˜o a seguir.
De um modo geral, fixadas as bases β = {v1,v2, · · · ,vn} e β ′ = {w1,w2, · · · ,wm} , a` matriz
Am×n =

a11 · · · a1n
... . . .
...
am1 · · · amn

podemos associar
TA : Rn→ Rm
v→ TA(v)
da seguinte maneira: Seja
X = [v]β =

x1
...
xn

A.X =

a11 · · · a1n
... . . .
...
am1 · · · amn


x1
...
xn
=

y1
...
ym
enta˜o
TA(v) = y1w1+ · · ·+ ymwm
onde yi = Ai.X e Ai e´ a i-e´sima linha de A.
Em geral, dada uma matriz Am×n, ela e´ encarada como uma aplicac¸a˜o linear TA : Rn → Rm em
relac¸a˜o a`s bases canoˆnica de Rn e Rm.
98 4.2. Transformac¸o˜es Lineares e Matrizes
4.2.2 Matriz de uma transformac¸a˜o linear
Agora iremos encontrar a matriz associada a uma transformac¸a˜o linear. Seja T : V → W linear,
β = {v1, · · · ,vn} base de V e β ′ = {w1, · · · ,wm} base deW. Enta˜o T (v1), . . . ,T (vn) sa˜o vetores deW
e portanto
T (v1) = a11w1 + · · · + am1wm
...
...
...
T (vn) a1nw1 + · · · + amnwm
A transposta da matriz dos coeficientes deste sistema, denotada por [T ]ββ ′ e´ chamada matriz de T
em relac¸a˜o a`s bases β e β ′ :
[T ]ββ ′ =

a11 · · · a1n
...
...
am1 · · · amn

Observac¸a˜o 12 Note que se A= [T ]ββ ′ =

a11 · · · a1n
...
...
am1 · · · amn
 a transformac¸a˜o linear T passa a ser
a transformac¸a˜o linear associada a` matriz A e bases β e β ′, isto e´, T = TA.
Exemplo 141 Seja T : R3→ R2 tal que T (x,y,z) = (2x+ y− z,3x−2y+4z).
Sejam β = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} e β ′ = {(1,3),(1,4)} .
Procuremos [T ]ββ ′
T (x,y,z) = (2x+ y− z,3x−2y+4z)
T (1,1,1) = (2,5) = a(1,3)+b(1,4)
T (1,1,0) = (3,1) = c(1,3)+d(1,4)
T (1,0,0) = (2,3) = e(1,3)+ f (1,4)
Portanto temos os sistemas: a+b= 23a+4b= 5 ,
 c+d = 33c+4d = 1 ,
 e+ f = 23e+4 f = 3

Resolvendo os sistemas temos:
[
a= 3 , b=−1 , c= 11 , d =−8 , e= 5 , f =−3
]
4.2. Transformac¸o˜es Lineares e Matrizes 99
[T ]ββ ′ =
 3 11 5
−1 −8 −3

Teorema 4.4 SejamV eW espac¸os vetoriais, α base de V , β base deW e T :V →W uma aplicac¸a˜o
linear. Enta˜o, para todo v ∈V vale:
[T (v)]β = [T ]
α
β � [v]α
Definic¸a˜o 4.6 Dada uma base β e tranformac¸a˜o linear T :V →V denotaremos a matriz [T ]ββ apenas
por [T ]β e ela sera´ chamada de matriz de T em relac¸a˜o a base β .
Definic¸a˜o 4.7 Seja T :Rn→Rn uma transformac¸a˜o linear e α a base canoˆnica deRn, enta˜o a matriz
de T em relac¸a˜o a base canoˆnica α, [T ]αα , sera´ denotada simplesmente por [T ] .
Exemplo 142 Seja T :P2→P2 definido por T (p(x))= p(3x−5).Determine a matriz de T em relac¸a˜o
a base β =
{
1,x,x2
}
Devemos calcular [T ]β = [T ]
β
β
T (p) = p(3x−5)
T (a0+a1x+a2x2) = a0+a1(3x−5)+a2(3x−5)2
T (a0+a1x+a2x2) = a0+3a1x−5a1+a2(9x2−30x+25)
T (a0+a1x+a2x2) = (a0−5a1+25a2)+(3a1−30a2)x+9a2x2
T (1) = T (1+0x+0x2) = 1= 1+0x+0x2
T (x) = T (0+1x+0x2) =−5+3x=−5+3x+0x2
T (x2) = T (0+0x+1x2) = 25−30x+9x2
[T ]β =

1 −5 25
0 3 −30
0 0 9

Exemplo 143 Seja T : R3 → R3 dada por T (x,y,z) = (2x− 3y− 2z,x− y− z,2x− y+ z) e sejam
α = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} e β = {(−1,−1,0),(−1,0,−1),(0,−1,−1)} bases do R3
100 4.2. Transformac¸o˜es Lineares e Matrizes
a) Determine [T ]αβ , [T ]
β
α
b) Se [v]α =

1
1
1
 determine [T (v)]β .
c) Calcule a multiplicac¸a˜o das matrizes: [T ]αβ � [T ]
β
α . Que conclusa˜o voceˆ pode tirar em relac¸a˜o
as duas matrizes, ou que relac¸a˜o ha´ entre as duas matrizes?
a) Ca´lculo de [T ]αβ
T (x,y,z) = (2x−3y−2z,x− y− z,2x− y+ z)
T (1,0,0) =
(
2, 1, 2
)
= a1(−1,−1,0)+b1(−1,0,−1)+ c1(0,−1,−1)
T (1,1,0) =
(
−1, 0, 1
)
= a2(−1,−1,0)+b2(−1,0,−1)+ c2(0,−1,−1)
T (1,1,1) =
(
−3, −1, 2
)
= a3(−1,−1,0)+b3(−1,0,−1)+ c3(0,−1,−1)
Devemos resolver os tres sistemas resultantes: Denotando por A a matriz dos coeficientes do
sistema,temos:
A=

−1 −1 0
−1 0 −1
0 −1 −1
⇒ A−1 =

−12 −12 12
−12 12 −12
1
2 −12 −12

Vamos resolver os sistemas por matriz inversa:
a1
b1
c1
= A−1

2
1
2
=

−12 −12 12
−12 12 −12
1
2 −12 −12


2
1
2
=

−12
−32
−12


a2
b2
c2
= A−1

−1
0
1
=

−12 −12 12
−12 12 −12
1
2 −12 −12


−1
0
1
=

1
0
−1


a3
b3
c3
= A−1

−3
−1
2
=

−12 −12 12
−12 12 −12
1
2 −12 −12


−3
−1
2
=

3
0
−2

Logo
[T ]αβ =

−12 1 3
−32 0 0
−12 −1 −2

Agora voce ja´ esta´ em condic¸o˜es de calcular [T ]βα . Fac¸a esse ca´lculo como exercı´cio
4.2. Transformac¸o˜es Lineares e Matrizes 101
b) Vamos usar a relac¸a˜o [T (v)]β = [T ]
α
β � [v]α
[T (v)]β = [T ]
α
β � [v]α
[T (v)]β =

−12 1 3
−32 0 0
−12 −1 −2


1
1
1

[T (v)]β =

7
2
−32
−72

c) Fac¸a voceˆ este item.
Teorema 4.5 Seja T : V →W uma transformac¸a˜o linear e α e β bases de V e W, respectivamente.
Enta˜o
dim Im(T ) = posto de [T ]αβ
dimKer(T ) = nulidade de [T ]αβ = nu´mero de colunas de [T ]
α
β − posto [T ]αβ
Exemplo 144 Seja T : P2→M(2,2) definida por T (p(x)) =
p′(0) 2p(1)
0 p
′′
(3)
 onde p′ e´ a derivada de
p. Sejam .α =

1 1
0 0
 ,
0 1
0 0
 ,
0 0
1 1
 ,
1 0
0 1
 uma base para M(2,2) e β = {1,x,x2} base
para P2.
a) Determine [T ]βα .
b) Determine uma base para N(T ).
c) Determine uma base para Im(T ).
d) T e´ injetora? E sobrejetora? Justifique.
102 4.2. Transformac¸o˜es Lineares e Matrizes
a) Note que
T (a+bx+ cx2) =
b 2a+2b+2c
0 2c

Determinando [T ]βα :
T (1) =
0 2
0 0
= a
1 1
0 0
+b
0 1
0 0
+ c
0 0
1 1
+d
1 0
0 1

T (x) =
1 2
0 0
= e
1 1
0 0
+ f
0 1
0 0
+g
0 0
1 1
+h
1 0
0 1

T (x2) =
0 2
0 2
= i
1 1
0 0
+ j
0 1
0 0
+ l
0 0
1 1
+m
1 0
0 1

Logo, [T ]βα =

0 1 −2
2 1 4
0 0 0
0 0 2

b) Seja
p(x) ∈ N(T )⇒ T (p(x)) =
0 0
0 0

b 2a+2b+2c
0 2c
 =
0 0
0 0
⇒ a= b= c= 0
Logo, p(x) = 0+0x+0x2 ∈ N(T )⇒ N(T ) = {0}
c) Seja A ∈ Im(T )⇒ A=
b 2a+2b+2c
0 2c
= a
0 2
0 0
+b
1 2
0 0
+ c
0 2
0 2

Portanto,
Im(T ) =
0 2
0 0
 ,
1 2
0 0
 ,
0 2
0 2

Como os geradores da Im(T ) formam um conjunto L.I. (Verifique!) tem-se que
0 2
0 0
 ,
1 2
0 0
 ,
0 2
0 2
 e´ uma base para Im(T ).
d) T e´ injetora pois N(T ) = {0}, mas na˜o e´ sobrejetora pois dim Im(T ) = 3 6= dimM(2,2)
4.3. Composic¸a˜o de transformac¸o˜es lineares 103
4.3 Composic¸a˜o de transformac¸o˜es lineares
Definic¸a˜o 4.8 Se T1 :V →W e T2 :W →U sa˜o duas transformac¸o˜es lineares a composta das duas
transformac¸o˜es lineares e´ definida do mesmo modo que a composic¸a˜o de funco˜es ( lembre-se que um
transformac¸a˜o linear e´ uma func¸a˜o com a propriedade adicional de ser linear) da seguinte forma
T2 ◦T1 : V →U
(T2 ◦T1)(v) = T2(T1(v))
Exemplo 145 Se T1 : R2 → R3, T1(x,y) = (x− y,y− x,y− x) e T2 : R3 → R, T2(x,y,z) = x− y− z
enta˜o T2 ◦T1 : R2→ R e
(T2 ◦T1)(x,y) = T2(T1(x,y))
= T2(x− y,y− x,y− x)
= (x− y)− (y− x)− (y− x)
= x− y− y+ x− y+ x
= 3x−3y
Teorema 4.6 Sejam T1 :V →W e T2 :W →U transformac¸o˜es lineares e α, β , γ bases de V,W,U
respectivamente. Enta˜o a composta de T2 com T1,T2 ◦T1 :V →U e´ linear e
[T2 ◦T1]αγ = [T2]βγ � [T1]αβ
Figura 4.2: Composic¸a˜o de transformac¸o˜es lineares - (4.3)
Proposic¸a˜o 4.1 Seja T :V →W uma transformac¸a˜o linear . Sejam α e α ′ bases de V e β e β ′ bases
de W. Enta˜o vale a relac¸a˜o:
[T ]α
′
β ′ = [IW ◦T ◦ IV ]α
′
β ′ = [IW ]
β
β ′ [T ]
α
β [IV ]
α ′
α
onde IW e IV sa˜o as aplicac¸o˜es identidades de W e V respectivamente.
Exemplo 146 Sejam T : P2→R3 definida por T
(
a+bx+ cx2
)
= (a+b, a+b+ c, c−a) e S :R3→
M2 dada por S(a,b,c) =
 a− c a+b
b+ c a+2b− c
 . Determine [S◦T ]αβ onde α = {1, 1− x, 2− x+ x2}
104 4.3.Composic¸a˜o de transformac¸o˜es lineares
e β =

 1 0
0 0
 ,
 1 1
0 0
 ,
 0 1
−1 0
 ,
 0 0
1 1
.
Temos:
[S◦T ] = S(T (a+bx+ cx2)) =
 2a+b− c 2a+2b+ c
b+2c 4a+3b+ c

T (1) =
 2 2
0 4
= e
 1 0
0 0
+ f
 1 1
0 0
+g
 0 1
−1 0
+h
 0 0
1 1

assim, obtemos o sistema: 
e+ f = 2
f +g= 2
−g+h= 0
h= 4
cuja soluc¸a˜o e´: e= 4, f =−2, g= 4 e h= 4.
T (1− x) =
 1 0
−1 1
= i
 1 0
0 0
+ j
 1 1
0 0
+ k
 0 1
−1 0
+ l
 0 0
1 1

assim, obtemos o sistema: 
i+ j = 1
j+ k = 0
−k+ l =−1
l = 1
cuja soluc¸a˜o e´: i= 3, j =−2, k = 2 e l = 1.
T (2− x+ x2) =
 0 3
1 6
= m
 1 0
0 0
+n
 1 1
0 0
+o
 0 1
−1 0
+ p
 0 0
1 1

assim, obtemos o sistema: 
m+n= 2
n+o= 3
−o+ p= 1
p= 6
cuja soluc¸a˜o e´: m= 4, n=−2, o= 5 e p= 6.
4.4. A Inversa de uma transformac¸a˜o linear 105
Assim, encontramos para [S◦T ]αβ
[S◦T ]αβ =

e i m
f j n
g k o
h l p


4 3 4
−2 −2 −2
4 2 5
4 1 6

4.4 A Inversa de uma transformac¸a˜o linear
Definic¸a˜o 4.9 Da´-se o nome de isomorfismo a uma transformac¸a˜o linear T :V →W que e´ injetora
e sobrejetora ao mesmo tempo. Quando ha´ um isomorfismo entre dois espac¸os vetoriais dizemos que
estes sa˜o Isomorfos.
Definic¸a˜o 4.10 Seja T : V →W uma transformac¸a˜o linear. Se existe uma transformac¸a˜o linear
S :W → V tal que T ◦ S = IW , onde IW :W →W e´ a identidade em W, dizemos que S e´ a inversa
a direita de T. Se existe uma transformac¸a˜o R :W → V , tal que R ◦ T = IV , onde IV : V → V e´ a
identidade em V, dizemos que R e´ a inversa a esquerda de T.
Definic¸a˜o 4.11 Seja T : V →W uma transformac¸a˜o linear. Se existe uma aplicac¸a˜o T−1 :W → V,
tal que T ◦T−1 = IW e T−1 ◦T = IV enta˜o dizemos que T e´ inversı´vel e que T−1 e´ a inversa de T
Proposic¸a˜o 4.2 Seja T :V →W uma transformac¸a˜o linear. Se existe a inversa de T,T−1, enta˜o T−1
e´ uma transformac¸a˜o linear
Proposic¸a˜o 4.3 Se T :V →W e´ um isomorfismo, enta˜o T e´ inversı´vel e ale´m disso T−1 tambe´m e´ um
isomorfismo.
Proposic¸a˜o 4.4 Se T :V →W uma transformac¸a˜o linear invertı´vel (T e´ um isomorfismo) e α e β sa˜o
bases de V e W, enta˜o:
[
T−1
]β
α =
(
[T ]αβ
)−1
Observac¸a˜o 13 Quando estamos trabalhando com o espac¸o Rn e a base canoˆnica de Rn por sim-
plicidade omitimos as bases e a matriz de T : Rn → Rn, em relac¸a˜o a base canoˆnica, e´ denotada
simplesmente por [T ] . Neste caso a proposic¸a˜o acima e´ escrita na forma mais conveniente: ”Se
T : Rn→ Rn e´ inversı´vel enta˜o [T−1]= [T ]−1 ”
106 4.4. A Inversa de uma transformac¸a˜o linear
Proposic¸a˜o 4.5 Seja T :V →W uma transformac¸a˜o linear, com dimV = dimW, e α e β bases de V
e W respectivamente. Enta˜o T e´ inversı´vel se, e somente se det [T ]αβ 6= 0.
Observac¸a˜o 14 Se na proposic¸a˜o acima tivermos V =W =Rn podemos escrever: Seja T :Rn→Rn
uma transformac¸a˜o linear, enta˜o T e´ invertı´vel se det [T ] 6= 0
Exemplo 147 Seja T :R3→R3, dada por T (x,y,z) = (x+2y+2z,x+y+3z,x+2y+ z), determine
a transforma c¸a˜o inversa T−1.
Facilmente podemos ver que
[T ] =

1 2 2
1 1 3
1 2 1
⇒ [T−1]= [T ]−1 =

−5 2 4
2 −1 −1
1 0 −1

logo T−1(x,y,z) = (−5x + 2y + 4z,2x − y − z,x − z). Como exercı´cio verifique que vale(
T ◦T−1)(x,y,z) = (x,y,z)
Podemos tambe´m neste caso calcular a inversa usando diretamente a difinic¸a˜o de transformac¸a˜o
inversa da seguinte forma
Sabemos que T−1 : R3 → R3 e´ uma transformac¸a˜o linear tal que T−1 ◦ T = I ou T ◦ T−1 = I.
Suponhamos que T−1(x,y,z) = (m,n,s), devemos encontrar m,n e s tais que T ◦T−1 = I (devemos
usar esta igualdade pois com a outra na˜o funciona, tente e veja o que acontece). Portanto
(
T ◦T−1)(x,y,z) = I(x,y,z) = (x,y,z)
T (T−1(x,y,z)) = (x,y,z)
T (m,n,s) = (x,y,z)
(m+2n+2s,m+n+3s,m+2n+ s) = (x,y,z)
m+2n+2s = x
m+n+3s = y
m+2n+ s = z
1 2 2 x
1 1 3 y
1 2 1 z

escalonando
=⇒


1 2 2 x
0 1 −1 x− y
0 0 1 x− z

4.4. A Inversa de uma transformac¸a˜o linear 107
s = x− z
n = x− y+ x− z= 2x− y− z
m = x−2(2x− y− z)−2(x− z) =−5x+2y+4z
Logo
T−1(x,y,z) = (−5x+2y+4z,2x− y− z,x− z)
Exemplo 148 Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 →M2T (M2T e´ o espac¸o das matrizes trian-
gulares superiores) definida por
T (1,1,0) =
1 1
0 0

T (0,1,−1) =
1 1
0 2

T (1,−1,1) =
0 −1
0 1

Encontre a inversa da transformac¸a˜o T .
Sabemos que:
T−1
1 1
0 0
= (1,1,0), T−1
1 1
0 2
= (0,1,−1), T−1
0 −1
0 1
= (1,−1,1)
e, seja x y
0 z
= a
1 1
0 0
+b
1 1
0 2
+ c
0 −1
0 1

obtemos o sistema: 
a+b= x
a+b− c= y
2b+ c= z
→

1 1 0 | x
1 1 −1 | y
0 2 1 | z

108 4.5. Quarta lista de exerc´ıcios
realizando o escalonamento da matriz, encontramos:
1 0 0 | 3x−y−z2
0 1 0 | −x+y+z2
0 0 1 | x− y

Agora, procedendo as substituic¸o˜es, obtemos:
T−1
x y
0 z
= (3x− y− z
2
)
(1,1,0)+
(−x+ y+ z
2
)
(0,1,−1)+(x− y)(1,−1,1)
portanto
[T ]−1 =

5
2 −32 −12
0 1 0
3
2 −32 −12
=
(
5x−3y− z
2
,y,
3x−3y− z
2
)
4.5 Quarta lista de exercı´cios
Exercı´cio 4.1 Verifique se as func¸o˜es dadas abaixo sa˜o transformac¸o˜es lineares. Em cada caso,
justifique sua afirmac¸a˜o:
a) T :ℜ4→ℜ3 dada por T (x,y,z, t) = (x+ y,0,z+ t)
b) L :ℜ2→ℜ dada por L(x,y) = xy
c) S :M(2,2)→ℜ2, S
a b
c d
= (a+b,0)
d) G :M(5,5)→M(5,5),G(A) = AB+ I5, onde B= diag(d1,d2,d3,d4,d5) e´ uma matriz diagonal
e I5 e´ a matriz identidade de ordem 5.
e) F : P2→ P2 tal que F(p) = p+q, p ∈ P2 e q(t) = t2+1, t ∈ℜ.
f) S : R2→ R2 dada por S(x,y) = (x+ y,x− y)
g) T :M(2,2)→ R dada por
 a b
c d
−→ det
 a b
c d

h) T : R→ R, T (x) = |x|.
i) T :M2→ P1, T
a b
c d
= a+dt
j) S : R3→ R3 tal que S(x,y,z) = (3x,a,5z), onde a ∈ R e´ uma constante.
k) T : Pn→ Pn tal que T (p(x)) = p′(x)+ x2p′′(x)
Exercı´cio 4.2 Seja T : P2 → P2 um operador linear tal que T (p0)(t) = 1+ t, T (p1)(t) = t + t2,
4.5. Quarta lista de exerc´ıcios 109
T (p2)(t) = 1+ t−2t2 onde pi(t) = t i, i= 0,1,2.
a) Encontre T (p)
b) T e´ injetora? Justifique sua resposta.
c) T e´ sobrejetora? Justifique sua resposta.
d) T e´ bijetora? Justifique sua resposta.
Exercı´cio 4.3 a) Encontre a transformac¸a˜o T : ℜ2 → M(2,2) tal que T (−1,0) =
 1 −1
−1 1
 ,
T (0,−1) =
−1 1
1 −1

b) Usando a transformac¸a˜o T encontrada no item a) , calcule T (1000,999)
c) A transformac¸a˜o e´ bijetora? Justifique sua resposta.
Exercı´cio 4.4 Seja T : ℜ3 → ℜ3 uma transformac¸a˜o linear definida por T (1,0,0) = (1,1,0),
T (0,1,0) = (1,1,2) e T (0,0,1) = (0,0,2). Determinar uma base de cada um dos seguintes
subespac¸os:
a) N(T )
b) N(T )∩ Im(T )
c) N(T )+ Im(T )
Exercı´cio 4.5 Sejam α = {(1,−1),(0,2)} e β = {(1,0,−1),(0,1,2),(1,2,0)} bases de ℜ2 e ℜ3,
respectivamente e [T ]αβ =

1 0
1 1
0 −1

a) Encontre a transformac¸a˜o linear T .
b) Enconte uma base para Ker(T ) e uma base para Im(T ).
c) Encontre uma base γ de ℜ3 tal que [T ]αγ =

1 0
0 0
0 1

Exercı´cio 4.6 Encontre a transformac¸a˜o linear T :ℜ2→ℜ2 que e´ a projec¸a˜o sobre a reta dada por x= 2ty= t . Determine dim Im(t) e dim Ker(T ). T e´ inversı´vel? Se for, determine T−1.
Exercı´cio 4.7 Considere o operador linear em ℜ3 tal que T (1,0,0) = (1,1,1), T (0,0,1) = (1,0,1),
T (0,1,2) = (0,0,4). T e´ isomorfismo? Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.
110 4.5. Quarta lista de exerc´ıcios
Exercı´cio 4.8Considere a transformac¸a˜o linear T : P2 → R3 tal que T (1) = (1,0,1), T (x+ x2) =
(1,2,−2) e T (1− x) = (0,−1,1). Encontre T−1.
Exercı´cio 4.9 Seja T : P2→ P3 a transformac¸a˜o definida por T (p(x)) = xp(x−3). Encontre [T ]γβ em
relac¸a˜o a`s bases β = {1,x,x2,x3} e γ = {1,x,x2}.
Exercı´cio 4.10 Encontre uma transformac¸a˜o linear T : ℜ3 → ℜ3 cujo nu´cleo e´ gerado por (1,1,0)
e (0,0,1) e a imagem gerada pelo vetor (1,−1,1).
Exercı´cio 4.11 Encontre uma transformac¸a˜o linear T :ℜ4→ℜ4 cujo nu´cleo e´ gerado por (1,1,0,0)
e (0,0,1,0).
Exercı´cio 4.12 Mostre que se a matriz transformac¸a˜o [T ] e´ inversı´vel enta˜o N(T ) = {−→0 }.
Exercı´cio 4.13 Se T : V →W e´ uma transformac¸a˜o linear tal que T (w) = T (u)+T (v) enta˜o w =
u+ v?
Exercı´cio 4.14 Determine explicitamente a expressa˜o de uma transformac¸a˜o linear T : P2 → M2
satisfazendo simultaneamente as seguintes condic¸o˜es:
a) o elemento p(x) = 1+ x2 pertence ao N(T );
b) o elemento q(x) = 1− x+ x2 na˜o pertence ao N(T );
c) o elemento A=
 2 3
−1 1
 pertence a` Im(T ).
Exercı´cio 4.15 Seja T :V →W uma transformac¸a˜o linear.
a) Mostre que o nu´cleo de T e´ um subespac¸o de V .
b) Mostre que a imagem de T e´ um subespac¸o de W.
Exercı´cio 4.16 Seja T : P2→ P2 a transformac¸a˜o linear definida por T (p(x)) = xp′(x)
a) Quais dos seguintes polinoˆmios pertencem ao N(T )?
1. 2
2. x2
3. 1− x
b) Quais dos polinoˆmios do item a) pertencem a Im(T )?
c) Descreva N(T ) e Im(T ).
4.5. Quarta lista de exerc´ıcios 111
Exercı´cio 4.17 Quando possı´vel, deˆ exemplos de transformac¸o˜es lineares satisfazendo:
a) T : R3→ R3 tal que dimN(T ) = 1
b) T : R3→ R3 tal que N(T ) = {(0,0,0)}
c) T : R3→ R3 tal que Im(T ) = {(0,0,0)}
d) T : R3→ R3 tal que N(T ) = {(x,y,z) ∈ℜ3 : z=−x}
e) T : R3→ R3 tal que Im(T ) = {(x,y,z) ∈ R3 � y= 2x− z}.
Exercı´cio 4.18 Seja T : P3 → P2 definida por T (p) = p′ . Determine a matriz T em relac¸a˜o a`s bases
α =
{
1, t, t2, t3
}
e β =
{
1,1+ t,−1+ t2} , isto e´, [T ]αβ .
Exercı´cio 4.19 Mostre que se uma transfomac¸a˜o linear e´ injetora enta˜o N(T ) = {−→0 }.
Exercı´cio 4.20 Seja β a base canoˆnica de M2. Se T : M2 → P3 e´ dada por T
 a b
c d
 =
a+(b+ c)x+(c−d)x2+dx3.
a) Encontre [T ]βα onde α =
{
2,2+ x,2+ x2,2+ x3
}
e´ base de P3.
b) Fac¸a o escalonamento da matriz [T ]βα .
c) Detemine dim Ker(T ).
d) Determine dim Im(T ).
Exercı´cio 4.21 Se A ∈ Rn×n e´ inversı´vel enta˜o:
a) dimN(A) =
b) dim Im(T ) =
Exercı´cio 4.22 Determine dimN(T ) sabendo que:
a) TR6→ R8 com dim(Im(T )) = 3;
b) T :V →W com T sobrejetiva, dimV = 5, dimW = 3;
c) T :V →W com T injetiva;
d) T : R4→ R4 sabendo que existe a inversa de T .
Exercı´cio 4.23 Explique em cada caso abaixo porque na˜o existe uma transformac¸a˜o linear:
a) T : R4→ R2 cujo nu´cleo seja a origem;
b) T : R5→ R6 que seja sobrejetiva;
c) T : R3→ R2 que seja injetiva;
d) T : R7→ R6 tal que dimN(T ) = dim Im(T );
e) T : R4→ R3 com N(T ) = [(1,0,0,0),(0,1,0,0)] e Im(T ) = [(1,1,2),(2,2,4)].
112 4.5. Quarta lista de exerc´ıcios
Exercı´cio 4.24 Responda as seguintes questo˜es:
a) Se T : R5 → R6 e´ uma transformac¸a˜o linear, podemos ter dim Im(T ) > 6? Justifique sua
resposta.
b) Existe alguma transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 tal que T (1,1) = (2,2) e T (2,2) = (3,1)?
Justifique sua resposta.
c) A transformac¸a˜o T : P1→ P2 definida por T (p(t)) = t p(t)+ p(0)p′(1) e´ linear?
d) Se T : R3 → R3 e´ um operador linear e se a imagem de T e´ um plano que passa pela origem,
que tipo de objeto geome´trico e´ o nu´cleo de T?
Exercı´cio 4.25 Seja T : R2→ R2 tal que [T ] =
 2 1
0 −1
. Encontre os vetores u e v tais que:
a) T (u) = 2u
b) T (v) =−v
Exercı´cio 4.26 Sejam F,G : R3 → R3 transformac¸o˜es lineares dadas por F(x,y,z) = (x+ y,z+ y,z)
e G(x,y,z) = (x+2y,y− z,x+2z).
a) Determine F ◦G.
b) Determine uma base para N(F ◦G).
c) Determine uma base para Im(F ◦G).
g) F ◦G e´ isomorfismo? Justifique sua resposta.
Exercı´cio 4.27 Seja T : ℜ3 → ℜ3 o operador linear definido por T (x,y,z) = (3x,x− y,2x+ y+ z).
Mostre que (T 2− I)◦ (T 2−9I) = 0.
Exercı´cio 4.28 Sejam R,S,T treˆs transformac¸o˜es lineares de R3 em R3. Se
[R] =

1 0 1
2 1 1
0 −1 1
 e [S] =

−2 1 −1
3 1 2
1 −2 0
,
encontre T tal que R= S◦T .
Exercı´cio 4.29 Sejam as transformac¸o˜es lineares S : P1→ P2 e T : P2→ P1 definidas por
S(a+bx) = a+(a+b)x+2bx2
T (a+bx+ cx2) = b+2cx
a) Determine (S◦T )(3+2x− x2).
b) E´ possı´vel calcular (T ◦S)(a+bx)? Em caso afirmativo calcule (T ◦S)(pi+pix).
4.5. Quarta lista de exerc´ıcios 113
Exercı´cio 4.30 Considere o operador T : P2 → P2 definida por T (p(x)) = p′(x) + p(x) e a
transformac¸a˜o linear S : P2→ R3 definida por S(a+bx+ cx2) = (a+b,c,a−b).
a) Verifique se S e´ isomorfismo. Se for, determine S−1.
b) Determine uma base para N(S◦T ) e uma base para Im(S◦T ).
c) Seja β = {1+ x,x− x2,1} uma base de P2 e α = {(1,0,0),(0,1,1),(0,0,−1)} base do R3.
Determine [S◦T ]βα .
Exercı´cio 4.31 Considere a transformac¸a˜o linear T : R4 → M2 definida por T (a,b,c,d) = a a+b
b+ c d
 e a transformac¸a˜o linear S :M2→M2 definida por S
a b
c d
=
a− c c−b
b a+d
.
Verifique se S◦T e´ um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso (S◦T )−1.
4.5.1 Algumas respostas e sugesto˜es
4.1 - a) Sim b) Na˜o c) Sim d) Na˜o e) Na˜o f) Sim g) Na˜o h) Na˜o i) Sim j) E´ transformac¸a˜o
linear se a= 0. k) Sim
4.2 - a) T (p) = (a+ c)+(a+b+ c)t+(b−2c)t2.
b) Sim c) Sim d) Sim
4.3 - a) T (x,y) =
 y− x x− y
x− y y− x

b) T (1000,999) =
 −1 1
1 −1

c) Na˜o, pois T na˜o e´ injetora (dimN(T ) = 1 6= 0) nem sobrejetora (dim Im(T ) = 1 6= 4)
4.4 - a) β = {(1,−1,1)}
b) Na˜o existe base
c) β = {(1,1,0),(0,0,2),(1,−1,1)}
4.5 - a) T (x,y) =
( x−y
2 ,
x−y
2 ,2x+ y
)
b) Na˜o existe base para o N(T ) e β =
{(1
2 ,
1
2 ,2
)
,
(−12 ,−12 ,1)} e´ uma base para Im(T )
c) γ = {(1,1,1),(0,1,0),(−1,−1,2)}
4.6 - T (x,y) =
(
4x+2y
5 ,
2x+y
5
)
, dim Im(T ) = 1 e dimN(T ) = 1. T na˜o e´ inversı´vel pois T na˜o e´
injetora e nem sobrejetora.
4.7 - T−1(x,y,z) =
(
y, z−x4 ,
x−2y+z
2
)
4.8 - T−1(a,b,c) = (2a−2b− c)+(−a+2b+ c)x+(a−b− c)x2
114 4.5. Quarta lista de exerc´ıcios
4.9 - [T ]γβ =

0 0 0
1 −3 9
0 1 −6
0 0 1

4.10 - T (x,y,z) = (x− y,−x+ y,x− y) e´ uma possibilidade.
4.11 - T (x,y,z,w) = (x− y,0,0,w) e´ uma possibilidade.
4.16 - a) Apenas p(x) = 2 ∈ N(T )
b) Apenas p(x) = x2 ∈ Im(T )
c) N(T ) = {p(x) = a;a ∈ R} e Im(T ) = {p(x) = bx+ cx2;b,c ∈ R}.
4.18 - [T ]αβ =

0 1 −2 3
0 0 2 0
0 0 0 3

4.20 - a) [T ]βα =

1
2 −1 −2 0
0 1 1 0
0 0 1 −1
0 0 0 1

c) dimN(T ) = 0 d) dim Im(T ) = 4
4.21 - a) dimN(A) = 0 b) dim Im(T ) = n
4.22 - a) dimN(T ) = 3 b) dimN(T ) = 2 c) dimN(T ) = 0 d) dimN(T ) = 0
4.23 - Use o teorema da dimensa˜o para provar cada um dos ı´tens.
4.24 - a) Na˜o, pois dim Im(T )≤ 5
b) Na˜o, pois o conjunto {(1,1),(2,2)} na˜o forma uma base para o R2.
4.25 - a) u= (x,0) b) v= (x,−3x).
4.26 - a) (F ◦G)(x,y,z) = (x+3y− z,x+ y+ z,x+2z)
b) N(F ◦G) = {(x,y,z) ∈ R3 : y= z e x=−2z} e β = {(−2,1,1)} e´ base para o nu´cleo.
c) Uma das bases e´ α = {(1,1,1),(3,1,0)}
d) Na˜o, pois F ◦G na˜o e´ injetora (dimN(F ◦G) = 1 6= 0) e na˜o e´ sobrejetora (dim Im(F ◦G) =
2 6= 3)
4.27 - Note que [(T 2− I)◦ (T 2−9I)] = [(T 2− I)]× [(T 2−9I)]
4.29 - a) (S◦T )(3+2x− x2) = 2−4x2
b) (T ◦S)(a+bx) = 2pi+4pix
4.30 - a) S−1(x,y,z) = x+z2 +
x−z
2 t+ yt
2.
b) ker(S◦T ) = {0}, (S◦T )(P2) = R3
4.5. Quarta lista de exerc´ıcios 115
c) [S◦T ]βα =

3 0 1
0 −1 0
−1 −3 −1

4.31 - (S◦T )−1
 a b
c d
= (a+b+ c,−a−b,a+2b+ c,−a−b− c+d)
4... - T (x,y,z) = (8x− y+9z,4x+4z,−13x+2y−15z).4... - T (a+bt+ ct2) =
 a− c+2b 3b
−b a− c+b
 e´ uma possibilidade.
116 4.5. Quarta lista de exerc´ıcios
Capı´tulo 5
OPERADORES LINEARES
Definic¸a˜o 5.1 Uma transformac¸a˜o linear T :V →V e´ chamada de operador linear.
Observac¸a˜o 15 Todas as propriedades ja´ vistas para transformac¸o˜es lineares em geral vale para um
operador linear
5.1 Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o
Os operadores lineares que veremos a seguir sa˜o chamados de transformac¸o˜es especiais do plano e do
espac¸o por serem bastantes usados em aplicac¸o˜es pra´ticas e tambe´m em aplicac¸o˜es nume´ricas.
5.1.1 Transformac¸o˜es no Plano
(a) Dilatac¸a˜o ou contrac¸a˜o
T : R2→ R2
T (x,y) = α(x,y)
(5.1)
Se |α|< 1, T contrai o vetor.
Se |α|> 1, T dilata o vetor.
Se α = 1, T e´ a identidade.
Se α < 0, T inverte o sentido do vetor.
Se α > 0, T mante´m o mesmo sentido do vetor.
Matricialmente  x
y
−→
 α 0
0 α
 x
y

118 5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o
Geometricamente, para α > 0 temos:
Figura 5.1: Dilatac¸a˜o ou contrac¸a˜o - (5.1)
(b) Cisalhamento na direc¸a˜o do eixo dos x
E´ uma transformac¸a˜o que move cada ponto (x,y) paralelamente ao eixo x por uma quantia αy para a
nova posic¸a˜o (x+αy,y).
T : R2→ R2
T (x,y) = (x+αy,y)
(5.2)
Matricialmente  x
y
−→
 1 α
0 1
 x
y

Geometricamente:
Figura 5.2: Cisalhamento na direc¸a˜o do eixo dos x - (5.2)
(c) Cisalhamento na direc¸a˜o do eixo dos y
E´ uma transformac¸a˜o que move cada ponto (x,y) paralelamente ao eixo y por uma quantia αx para a
nova posic¸a˜o (x,y+αx).
T : R2→ R2
T (x,y) = (x,αx+ y)
(5.3)
Matricialmente  x
y
−→
 1 0
α 1
 x
y

Geometricamente:
Figura 5.3: Cisalhamento na direc¸a˜o do eixo dos y - (5.3)
5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o 119
(d) Reflexa˜o na origem
T : R2→ R2
T (x,y) = (−x,−y)
(5.4)
Matricialmente  x
y
−→
 −1 0
0 −1
 x
y

Geometricamente:
Figura 5.4: Reflexa˜o na origem - (5.4)
Observac¸a˜o 16 Observe que este e´ um caso particular da contrac¸a˜o quando α =−1
(e) Projec¸a˜o sobre uma reta no plano
Definic¸a˜o 5.2 Definimos como sendo projec¸a˜o sobre uma reta r, que passa pela origem, no plano o
operador linear T : R2→ R2 definido por
T (v) = pro juv (5.5)
onde u e´ o vetor diretor da reta r.
Figura 5.5: Projec¸a˜o sobre uma reta no plano - (5.5)
Exemplo 149 Determinar o operador linear que e´ a projec¸a˜o sobre a reta y=−6x
A reta y=−6x pode ser parametrizada por
x = t
y = −6t
120 5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o
logo um vetor diretor da reta e´ u= (1,−6).
T (v) = pro juv
T (v) =
(u.v
u.u
)
u
T (x,y) =
(
(1,−6).(x,y)
(1,−6).(1,−6)
)
(1,−6)
T (x,y) =
(
x−6y
37
,
−6x+36y
37
)
(f) Reflexa˜o atrave´s de uma reta no plano
Definic¸a˜o 5.3 Definimos como sendo reflexa˜o atrave´s da reta r, que passa pela origem, a
transformac¸a˜o linear T : R2→ R2 tal que |T (v)|= |v| e
pro juv= pro juT (v) (5.6)
onde u e´ o vetor diretor da reta r.
Figura 5.6: Reflexa˜o atrave´s da reta r- (5.6)
Para obter a expressa˜o data a transformac¸a˜o T , considere a figura abaixo que representa a reflexa˜o
em torno de uma reta no plano onde esta˜o mostrados o vetor diretor diretor, u , da reta, o vetor p, a
projec¸a˜o de v na direc¸a˜o do vetor u,e o vetor T (v).
Figura 5.7: Reflexa˜o em torno de uma reta no plano - (5.6)
Da definic¸a˜o de reflexa˜o podemos observar que
T (v)+ v = 2p
T (v) = 2p− v
T (v) = 2pro juv− v
Portanto a reflexa˜o em torno de uma reta no plano e´ dada por
T (v) = 2pro juv− v
onde pro juv e´ a projec¸a˜o do vetor v na direc¸a˜o do vetor u
5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o 121
Casos Particulares
f.1 - Reflexa˜o em torno do eixo dos x
T : R2→ R2
T (x,y) = (x,−y)
(5.7)
Matricialmente  x
y
−→
 1 0
0 −1
 x
y

Geometricamente:
Figura 5.8: Reflexa˜o em torno do eixo dos x - (5.7)
f.2 - Reflexa˜o em torno do eixo dos y
T : R2→ R2
T (x,y) = (−x,y)
(5.8)
Matricialmente  x
y
−→
 −1 0
0 1
 x
y

Geometricamente:
Figura 5.9: Reflexa˜o em torno do eixo dos y - (5.8)
f.3 - Reflexa˜o em torno da reta y= x
T : R2→ R2
T (x,y) = (y,x)
(5.9)
Matricialmente  x
y
−→
 0 1
1 0
 x
y

Geometricamente:
Figura 5.10: Reflexa˜o em torno da reta y= x - (5.9)
f.4 - Reflexa˜o em torno da reta y=−x
122 5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o
T : R2→ R2
T (x,y) = (−y,−x)
(5.10)
Matricialmente  x
y
−→
 0 −1
−1 0
 x
y

Geometricamente:
Figura 5.11: Reflexa˜o em torno da reta y=−x - (5.10)
(g) Rotac¸a˜o de um aˆngulo θ
Definimos Rotac¸a˜o no plano de um aˆngulo θ a transformac¸a˜o T : R2→ R2 tal que
|T (v)|= |v| (5.11)
e o aˆngulo entre os vetores T (v) e v e´ θ .
Geometricamente
Figura 5.12: Rotac¸a˜o de um aˆngulo θ - (5.11)
Vamos agora determinar a matriz da transformac¸a˜o linear rotac¸a˜o de um aˆngulo θ e a expressa˜o
de Rθ em func¸a˜o de x e y. Seja
Rθ : R2→ R2
Rθ (x,y) = (x′,y′)
Quando rotacionamos um vetor, pela pro´pria definic¸a˜o de rotac¸a˜o, o comprimento (mo´dulo) do
vetor na˜o se altera. Seja r = |v| , onde v= (x,y).
Da figura acima e usando relac¸o˜es trigonome´tricas temos;
x′ = r cos(α+θ) = r cosα cosθ − r sinα sinθ
5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o 123
Mas
r cosα = x
r sinα = y
enta˜o
x′ = xcosθ − ysinθ
Analogamente
y′ = r sin(α+θ) = r sinα cosθ + r cosα sinθ
y′ = ycosθ + xsinθ = xsinθ + ycosθ
Assim
Rθ (x,y) = (xcosθ − ysinθ ,xsinθ + ycosθ)
Matricialmente x
y
−→
 cosθ −sinθ
sinθ cosθ
 x
y

Podemos ver neste caso que matriz de uma rotac¸a˜o e´:
[Rθ ] =
 cosθ −sinθ
sinθ cosθ

5.1.2 Transformac¸o˜es no Espac¸o
(a) Reflexa˜o atrave´s de uma reta no espac¸o
Definic¸a˜o 5.4 Definimos como sendo Reflexa˜o atrave´s da reta r, que passa pela origem, no espac¸o
a transformac¸a˜o linear T : R3→ R3 tal que
|T (v)| = |v|
pro juv = pro juT (v)
(5.12)
onde u e´ o vetor diretor da reta r.
Geometricamente
Figura 5.13: Reflexa˜o atrave´s da reta r no espac¸o - (5.12)
124 5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o
Para obter a expressa˜o para a transformac¸a˜o T , considere a figura abaixo que representa a reflexa˜o
em torno de uma reta no plano onde esta˜o mostrados o vetor diretor diretor, u , da reta, o vetor p, a
projec¸a˜o de v na direc¸a˜o do vetor u,e o vetor T (v).
Figura 5.14: Reflexa˜o atrave´s da reta r no espac¸o - (5.12)
Da definic¸a˜o de reflexa˜o podemos observar que
T (v)+ v = 2p
T (v) = 2p− v
T (v) = 2pro juv− v
Portanto a reflexa˜o em torno de uma reta no espac¸o e´ dada por
T (v) = 2p− v
ond p= pro juv e´ a projec¸a˜o do vetor v na direc¸a˜o do vetor u
Casos Particulares: Reflexa˜o em relac¸a˜o aos eixos coordenados
a.1 - Reflexa˜o atrave´s do eixo x
T : R3→ R3
T (x,y,z) = (x,−y,−z)
Matricialmente 
x
y
z
−→

1 0 0
0 −1 0
0 0 −1


x
y
z

a.2 - Reflexa˜o atrave´s do eixo y
T : R3→ R3
T (x,y,z) = (−x,y,−z)
5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o 125
Matricialmente 
x
y
z
−→

−1 0 0
0 1 0
0 0 −1


x
y
z

a.3 - Reflexa˜o atrave´s do eixo z
T : R3→ R3
T (x,y,z) = (−x,−y,z)
Matricialmente 
x
y
z
−→

−1 0 0
0 −1 0
0 0 1


x
y
z

(b) - Reflexa˜o atrave´s de um plano
Definic¸a˜o 5.5 Definimos Reflexa˜o atrave´s de um plano, que passa pela origem, no espac¸o ao oper-ador linear T : R3→ R3 tal que
|T (v)| = |v|
pro jnv = −pro jnT (v)
(5.13)
onde n o vetor normal do plano.
Figura 5.15: Reflexa˜o atrave´s de um plano - (5.13)
Para obter a expressa˜o para a transformac¸a˜o T , considere a figura abaixo que representa a reflexa˜o
em torno de um plano no espac¸o onde esta˜o mostrados o vetor normal do plano, vetor n, o vetor
projec¸a˜o de v na direc¸a˜o do vetor n, vetor p, o vetor projec¸a˜o sobre o plano, vetor m, e o vetor T (v).
Figura 5.16: Reflexa˜o atrave´s de um plano - (5.13)
Da definic¸a˜o de Reflexa˜o atrave´s de uma plano podemos deduzir que p+m= vm− p= T (v)
126 5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o
Portanto
T (v) = v−2p
onde p= pro jnv e´ a projec¸a˜o de v na direc¸a˜o do vetor normal n do plano.
Casos particulares: Reflexa˜o atrave´s dos planos coordenados
b.1 - Reflexa˜o atrave´s do plano xy
T : R3→ R3
T (x,y,z) = (x,y,−z)
Matricialmente 
x
y
z
−→

1 0 0
0 1 0
0 0 −1


x
y
z

Geometricamente
Figura 5.17: Reflexa˜o atrave´s do plano xy - (5.13)
b.2 - Reflexa˜o atrave´s do plano xz
T : R3→ R3
T (x,y,z) = (x,−y,z)
Matricialmente

x
y
z
−→

1 0 0
0 −1 0
0 0 1


x
y
z

b.3 - Reflexa˜o atrave´s do plano yz
T : R3→ R3
T (x,y,z) = (−x,y,z)
Matricialmente 
x
y
z
−→

−1 0 0
0 1 0
0 0 1


x
y
z

5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o 127
(c) Reflexa˜o na origem
T : R3→ R3
T (x,y,z) = (−x,−y,−z)
(5.14)
Matricialmente 
x
y
z
−→

−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1


x
y
z

Geometricamente
Figura 5.18: Reflexa˜o na origem - (5.14)
(d) Rotac¸a˜o no Espac¸o
Definic¸a˜o 5.6 Definimos Rotac¸a˜o de um aˆngulo θ em torno de um eixo coordenado c ao operador
linear Tθ : R3→ R3 tal que
|Tθ (v)|= |v| (5.15)
e o aˆngulo entre a projec¸a˜o de v no plano ortogonal a c e a projec¸a˜o de Tθ (v) no plano ortogonal
a c e´ o aˆngulo θ medido no sentido anti-hora´rio a partir da projec¸a˜o de v no plano ortogonal a c.
Figura 5.19: Rotac¸a˜o no espac¸o - (5.15)
d.1 - Rotac¸a˜o em torno do eixo z
Para obter a expressa˜o da transformac¸a˜o que e´ uma rotac¸a˜o em torno do eixo z vamos considerar:
p = projec¸a˜o de v no plano xy
q = projec¸a˜o de T (v) no plano xy
Figura 5.20: Rotac¸a˜o em torno do eixo z - (5.15)
Tθ (x,y,z) = (x′,y′,z′)
128 5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o
Observe que z′ = z
Como |T (v)| = |v| enta˜o |p| = |q| . Ale´m disso o vetor q e´ obtido pela rotac¸a˜o do vetor p no
plano xy por um aˆngulo θ , ou seja, q = Rθ (p). Como ja´ visto em rotac¸a˜o no plano ( item g) de
Transformac¸o˜es no plano) temos que
x′ = xcosθ − ysinθ
y′ = xsinθ + ycosθ
Portanto
Tθ : R3→ R3
Tθ (x,y,z) = (xcosθ − ysinθ ,xsinθ + ycosθ ,z)
Matricialmente 
x
y
z
=

cosθ −sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1


x
y
z

[Tθ ]Z =

cosθ −sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1

d.2 - Rotac¸a˜o em torno do eixo y
Figura 5.21: Rotac¸a˜o em torno do eixo y - (5.15)
Tθ (x,y,z) = (x′,y′,z′)
Como a rotac¸a˜o e´ em torno do eixo y temos y′ = y. No plano xz vemos que o vetor q e´ obtido a
partir do vetor p pela rotac¸a˜o do aˆngulo θ no sentido hora´rio.
Figura 5.22: Rotac¸a˜o em torno do eixo y - (5.15)
Portanto podemos considerar o vetor p obtido a partir do vetor q por uma rotac¸a˜o no sentido
5.1. Transformac¸o˜es especiais no plano e no espac¸o 129
anti-hora´rio, ou seja, Rθ (p) = q. Logo, x
z
=
 cosθ −sinθ
sinθ cosθ
 x′
z′

 x′
z′
=
 cosθ −sinθ
sinθ cosθ
−1 x
z

 x′
z′
=
 cosθ sinθ
−sinθ cosθ
 x
z

x′ = xcosθ + zsinθ
z′ = zcosθ − xsinθ
Tθ (x,y,z) = (x′,y′,z′)
Tθ (x,y,z) = (xcosθ + zsinθ ,y,−xsinθ + zcosθ)
Matricialmente:
[Tθ ]Y =

cosθ 0 sinθ
0 1 0
−sinθ 0 cosθ

d.3 - Rotac¸a˜o em torno do eixo x
A matriz da Rotac¸a˜o em torno do eixo x e´ dada por
[Tθ ]X =

1 0 0
0 cosθ −sinθ
0 sinθ cosθ

Exemplo 150 Determinar o aˆngulo formado entre v e T (v) quando o vetor v = (
√
3
2
√
2
,
√
2
4 ,
√
2
2 ) gira
130 5.2. Propriedades dos operadores invers´ıveis
em torno do eixo z de um aˆngulo pi2 rad.
[T (v)] =

cos pi2 −sin pi2 0
sin pi2 cos
pi
2 0
0 0 1


√
3
2
√
2√
2
4√
2
2

′
[T (v)] =

0.0 −1.0 0.0
1.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.0


√
3
2
√
2√
2
4√
2
2

′
[T (v)] =

−
√
2
4√
3
2
√
2√
2
2

′
Como desejamos o aˆngulo entre v e T (v),vamos usar a fo´rmula do cosseno do aˆngulo entre dois
vetores:
cosα =
v ·T (v)
|v| |T (v)| =
1
2
Portanto o aˆngulo entre v e T (v) e´ α = arccos 12 =
pi
3
Exemplo 151 Encontre a matriz canoˆnica do operador linear T : R3 → R3 que primeiro roda um
vetor no sentido anti-hora´rio em torno do eixo z por um aˆngulo θ e depois reflete o vetor resultante
em torno do plano yz e finalmente projeta este vetor ortogonalmente sobre o plano xy.
5.2 Propriedades dos operadores inversı´veis
Definic¸a˜o 5.7 Seja T : V → V um operador linear. Se existir um operador T−1 : V → V tal que
T ◦T−1 = T−1 ◦T = I ( neste caso I :V →V e´ a identidade em V) enta˜o dizemos que o operador T
e´ inversı´vel e T−1 e´ o operador inverso de T.
Observac¸a˜o 17 Um operador e´ inversı´vel se, e somente se, ele e´ um isomorfismo
Seja T :V →V um operador linear:
I) Se T e´ inversı´vel e T−1 sua inversa, enta˜o T ◦T−1 = T−1 ◦T = I
II) O operador T e´ inversı´vel se, e somente se, Ker(T ) =
{−→
0
}
.
5.2. Propriedades dos operadores invers´ıveis 131
III) O operador T e´ inversı´vel se, e somente se, det [T ] 6= 0
IV) Se T e´ inversı´vel, T transforma base em base, isto e´, se α = {v1, . . . ,vn} e´ base de V enta˜o
β = {T (v1), . . . ,T (vn)} e´ base de V.
Se T e´ inversı´vel e β uma base deV enta˜o T−1 :V →V e´ linear [T−1]ββ = ([T ]ββ)−1 .Quando β e´
a base canoˆnica temos a forma mais simples
[
T−1
]
= [T ]−1 e portanto
[
T−1
] · [T ]−1 =[T−1 ◦T ]= [I] .
Com isso vemos que T e´ inversı´vel se e somente se det [T ] 6= 0.
Exemplo 152 Considere o operador Rθ : R2→ R2, dado por
Rθ (x,y) = (xcosθ − ysinθ ,xsinθ + ycosθ)
verifique se T e´ inversı´vel e em caso afirmativo encontre T−1.
Como det [Rθ ] = cos2θ + sin2θ = 1 6= 0, temos que Rθ e´ inversı´vel.
Como
[
R−1θ
]
= [Rθ ]
−1 , basta calcular a inversa da matriz deRθ
[Rθ ] =
 cosθ −sinθ
sinθ cosθ

[Rθ ]
−1 =

cosθ
cos2 θ+sin2 θ
sinθ
cos2 θ+sin2 θ
− sinθ
cos2 θ+sin2 θ
cosθ
cos2 θ+sin2 θ

[Rθ ]
−1 =
 cosθ sinθ
−sinθ cosθ

Note que [Rθ ]
−1 = [Rθ ]T , ou seja, [Rθ ] e´ uma matriz ortogonal, logo R−1θ : R
2→ R2
 x
y
→
 cosθ sinθ
−sinθ cosθ
 x
y
=
 xcosθ + ysinθ
ycosθ − xsinθ

R−1θ (x,y) = (xcosθ + ysinθ ,ycosθ − xsinθ)
Exemplo 153 Seja T o operador T : R3 → R3 que e´ a projec¸a˜o ortogonal do vetor v = (x,y,z) na
direc¸a˜o da reta dada pela intersec¸a˜o dos planos y = x e z = y.Verifique se T e´ inversı´vel e em caso
afirmativo determine T−1.
132 5.2. Propriedades dos operadores invers´ıveis
Para determinar a projec¸a˜o na direc¸a˜o da reta basta determinar a projec¸a˜o ortogonal sobre o
vetor diretor da reta. Devemos inicialmente determinar o vetor diretor da reta: y= xz= y
Para obter a equac¸o˜es parame´tricas fazemos x= t, logo

x= t
y= t
z= t
portando o vetor diretor da reta e´ u= (1,1,1).
T (v) = pro juv=
(v ·u
u ·u
)
u
T (x,y,z) =
(
(x,y,z)· (1,1,1)
(1,1,1) · (1,1,1)
)
(1,1,1)
T (x,y,z) =
(
x+ y+ z
3
)
(1,1,1)
T (x,y,z) =
(
x+ y+ z
3
,
x+ y+ z
3
,
x+ y+ z
3
)
[T ] =

1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3

det [T ] = 0
Como det [T ] = 0 temos que T na˜o e´ inversı´vel.
Exemplo 154 Seja a matriz invertı´vel A =
 3 1
2 1
 que leva a reta y = 2x+ 1 numa outra reta.
Encontre sua equac¸a˜o.
Exemplo 155 Seja T : R2 → R2 a transformac¸a˜o que e´ uma rotac¸a˜o de pi4 rad e S : R2 → R2 a
transformac¸a˜o que e´ uma reflexa˜o em torno da reta y=−2x. Determine a transformac¸a˜o R= S◦T.
R = S◦T
[R] = [S] [T ]
5.3. Operadores autoadjuntos e ortogonais 133
[T ] =
cos pi4 −sin pi4
sin pi4 cos
pi
4

[T ] =
12√2 −12√2
1
2
√
2 12
√
2

S(v) = 2p− v
S(x,y) = 2
(
(x,y) · (1,−2)
(1,−2) · (1,−2)
)
(1,−2)− (x,y)
S(x,y) =
(−3x−4y
5
,
−4x+3y
5
)
[S] =
−35 −45
−45 35

[R] = [S] [T ]
[R] =
−35 −45
−45 35
12√2 −12√2
1
2
√
2 12
√
2

[R] =
− 710√2 − 110√2
− 110
√
2 710
√
2

R(x,y) =
(
−7
√
2
10
x−
√
2
10
y,−
√
2
10
x+
7
√
2
10
y
)
5.3 Operadores autoadjuntos e ortogonais
Definic¸a˜o 5.8 Seja V um espac¸o vetorial com produto interno, α uma base ortonormal e T :V →V
um operador linear. Enta˜o:
a) T e´ chamado um operador auto-adjunto se [T ]αα e´ uma matriz sime´trica.
b) T e´ chamado um operador ortogonal se [T ]αα e´ uma matriz ortogonal.
Observac¸a˜o 18 Consideraremos aqui apenas os operadores T : Rn → Rn, com o produto escalar
usual (que e´ um produto interno no espac¸o Rn).
134 5.3. Operadores autoadjuntos e ortogonais
Observac¸a˜o 19 Uma base β = {v1,v2, · · · ,vn} e´ ortonormal se vi · v j =
 1, i= j0, i 6= j .
Portanto podemos dizer que um operador T :Rn→Rn e´ um operador auto-adjunto se [T ] (a matriz
de T em relac¸a˜o a base canoˆnica) e´ uma matriz sime´trica. T : Rn → Rn e´ um operador ortogonal se
[T ] (a matriz de T em relac¸a˜o a base canoˆnica) e´ uma matriz ortogonal.
Exemplo 156 Consideremos a transformac¸a˜o: R3 → R3, a rotac¸a˜o de um aˆngulo θ em torno do
eixo z.
T (x,y,z) = (xcosθ − ysinθ ,xsinθ + ycosθ ,z)
A matriz da transformac¸a˜o T e´
[T ] =

cosθ −sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1

Como esta e´ uma matriz ortogonal, T e´ um operador ortogonal.
Exemplo 157 Seja T : R2→ R2 onde T (x, .y) = (2x−2y,−2x+5y). A matriz de T e´
[T ] =
 2 −2
−2 5

Como a matriz de T e´ sime´trica, enta˜o T e´ um operador auto-adjunto.
Teorema 5.1 Seja T : Rn→ Rn linear. Se T e´ um operador auto-adjunto enta˜o
T (v) ·w= v ·T (w), ∀v,w ∈ Rn
Teorema 5.2 Seja T : Rn→ Rn linear. Enta˜o sa˜o equivalentes as seguintes afirmac¸o˜es:
a) T e´ ortogonal.
b) T preserva o produto escalar, isto e´, T (v) ·T (w) = v ·w, ∀v,w ∈ R.
c) T preserva o mo´dulo, isto e´, |T (v)|= |v|.
d) T transforma bases ortonornais em bases ortonormais. Isto e´, se
{
v1,v2, . . . ,vn
}
e´ uma base
ortonornal enta˜o {T (v1),T (v2), . . . ,T (vn)} e´ uma base ortonornal.
5.4. Quinta lista de exerc´ıcios 135
5.4 Quinta lista de exercı´cios
Exercı´cio 5.1 Encontre a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 tal que os vetores u = (1,2,0) e v =
(0,1,−1) pertenc¸am ao nu´cleo de T e que T (1,0,0) = (1,1,1).
Exercı´cio 5.2 Seja T :M2→M2 definida por T (A) = AB−BA, onde B2×2 e´ uma matriz fixa.
a) Mostre que T e´ um operador linear.
b) Sabendo que B=
1 1
0 3
, encontre uma base para N(T ) e uma base para Im(T ).
Exercı´cio 5.3 Seja T a reflexa˜o no origem dada por
T : R3→ R3
T (x,y,z) = (−x,−y,−z)
Determine a inversa T−1 da transformac¸a˜o T.
Exercı´cio 5.4 Defina operador sime´trico e operador ortogonal. Deˆ um exemplo para cada um dos
casos, justificando sua escolha.
Exercı´cio 5.5 Seja A : R3 → R3, dada por A= G◦L onde G e´ a rotac¸a˜o de pi3 do em torno do eixo y
e L e´ a rotac¸a˜o de pi2 em torno do eixo z. Determine a matriz de A em relac¸a˜o a base canoˆnica, isto
e´, determine [A]. O operador A e´ ortogonal? E auto-adjunto?
Exercı´cio 5.6 Determine a transformac¸a˜o linear de R2 em R2 que representa uma reflexa˜o da reta
y = −x,seguida de uma dilatac¸a˜o de fator 2 na direc¸a˜o ox e, um cisalhamento de fator 3 na direc¸a˜o
vertical.
Exercı´cio 5.7 Usando inversa˜o matricial mostre o seguinte:
a) A transformac¸a˜o inversa de uma reflexa˜o em torno da reta y= x e´ a reflexa˜o em torno da reta
y= x.
b) A transformac¸a˜o inversa de uma reflexa˜o em torno de um eixo coordenado e´ a reflexa˜o em
torno daquele eixo.
Exercı´cio 5.8 a) Encontre a transformac¸a˜o T do plano no plano que e´ uma reflexa˜o em torno da
reta y= 6x.
b) Escreva-a em forma matricial.
136 5.4. Quinta lista de exerc´ıcios
Exercı´cio 5.9 No plano, uma rotac¸a˜o anti-hora´ria de 450 e´ seguida por uma dilatac¸a˜o de
√
3. Ache
a aplicac¸a˜o A que representa esta transformac¸a˜o do plano.
Exercı´cio 5.10 Analise se a seguinte afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa: ”Se T : R2 → R2 e´ uma
rotac¸a˜o de um aˆngulo θ (em sentido anti-hora´rio) em torno da origem, seguida de uma dilatac¸a˜o
de fator 3 enta˜o T−1 e´ uma contrac¸a˜o de fator 13 seguida de uma rotac¸a˜o de um aˆngulo −θ em torno
da origem”.
Exercı´cio 5.11 Encontre a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 definida pela rotac¸a˜o de pi6 (sentido
anti-hora´rio) seguida de uma reflexa˜o atrave´s da reta y = 2x. A seguir, fac¸a um esboc¸o da Im(T ) se
a transformac¸a˜o T for aplicada ao retaˆngulo de ve´rtices (0,0),(1,0),(1,2) e (0,2).
Exercı´cio 5.12 Seja T : R3 → R3 e´ a projec¸a˜o de vetor v no plano x+ y+ z= 0. Encontre T (x,y,z).
Exercı´cio 5.13 Seja L :R3→R3 onde L e´ a reflexa˜o atrave´s do plano x+y+z= 0. EncontreL(x,y,z).
Exercı´cio 5.14 Seja A :R3 →R3 onde L e´ a rotac¸a˜o de pi2 em torno do eixo z seguida de uma rotac¸a˜o
de pi3 do em torno do eixo y. Encontre A(x,y,z).
Exercı´cio 5.15 Seja A e´ uma matriz de ordem n fixada. Seja T : Mn → Mn definida por T (N) =
AN−NA.Mostre que T na˜o e´ inversı´vel.
Exercı´cio 5.16 Encontre a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 tal que Ker(T ) ={
(x,y,z) ∈ R3�y= 2x− z}
Exercı´cio 5.17 Determine se a transformac¸a˜o T (x,y) = (
√
3
2 x− 12y, 12x+
√
3
2 y) e´ uma transformac¸a˜o
auto-adjunta ou ortogonal. Justifique sua resposta.
Exercı´cio 5.18 O operador linear T (x,y,z) = (−12
√
2x− 12
√
2z,y, 12
√
2x− 12
√
2z) e´ a rotac¸a˜o de um
aˆngulo θ em torno do eixo y. Determine o valor do aˆngulo θ .
Exercı´cio 5.19 Considere o triaˆngulo de ve´rtices (1,1), (−3,−3) e (2,−1). Determine a ima-gem
de T aplicada sobre este triaˆngulo segundo uma rotac¸a˜o anti-hora´ria de 60
◦
. Fac¸a um desenho da
Imagem.
Exercı´cio 5.20 Seja o operador T : P3→ P3 definido por T (p) = x3p(1x ):
a) Mostre T e´ inversı´vel.
b) Calcule a inversa T−1 do operador T
Exercı´cio 5.21 Seja T :M(2,2)→M(2,2) um operador linear tal que T (A) = A+AT . Verifique se
o operador T e´ inversı´vel.
5.4. Quinta lista de exerc´ıcios 137
5.4.1 Algumas respostas e sugesto˜es
5.1 - T (x,y,z) =
(
x− y+z2 ,x− y+z2 ,x− y+z2
)
5.2 - b) Uma base para ker(T ) e´:

1 0
0 1
 ,
0 1
0 2
, enquanto que para ℑ(T ), uma base e´:
−1 0
−2 1
 ,
0 1
0 0
.
5.3 - T−1 = T
5.5 - [A] =


0 −12
√
3
2
1 0 0
0
√
3
2
1
2

. Claramente na˜o e´ auto-adjunto, mas e´ ortogonal (verifique!).
5.6 - T (x,y) = (−2y,−x−6y)
5.8 - a) T (x,y) =
(−35x+12y
37 ,
12x+95y
37
)
b) T (x,y) = 137
−35 12
12 95
x
y

5.9 - T (x,y) =
(√
6x−√6y
2 ,
√
6x+
√
6y
2
)
5.10 - Verdadeira
5.11 - T (x,y) =
(
(4−3√3)x+(3+4√3)y
10 ,
(3+4
√
3)x+(−4+3√3)y
10
)
5.12 - T (x,y,z)=
(−y−z
3 ,
−x−z
3 ,
−y−z
3
)
5.13 - T (x,y,z) =
(
x−2y−2z
3 ,
−2x+y−2z
3 ,
−2x−2y+z
3
)
5.14 - T (x,y,z) =
(−y+√3z
2 ,x,
√
3y+z
2
)
5.15 - Se N = In, enta˜o T (N) =? Olhe enta˜o para o nu´cleo de T .
5.16 - Existem va´rias transformac¸o˜es lineares que cumprem esta condic¸a˜o. Uma delas e´
T (x,y,z) = (0,0,x− y2 − z2 .
5.17 - E´ ortogonal mas na˜o e´ auto-adjunta (fac¸a as contas).
5.18 - 5pi4
5.20 - T−1 = T
5.21 - O que acontece se a matriz A for antisime´trica? Neste caso, como fica o nu´cleo de T?
138 5.4. Quinta lista de exerc´ıcios
Capı´tulo 6
AUTOVALORES E AUTOVETORES
Dado um operador linear T :V →V, estamos interessados em saber quais vetores sa˜o levados em um
mu´ltiplo de si mesmo; isto e´, procuramos um vetor v ∈ V e um escalar λ ∈ R tais que T (v) = λv.
Neste caso T (v) sera´ um vetor de mesma direc¸a˜o que v. Por vetor de mesma direc¸a˜o estaremos en-
tendendo vetores sobre a mesma reta suporte. Como v=
−→
0 satisfaz a equac¸a˜o para todo λ , estaremos
interessados em determinar vetores v 6=−→0 satisfazendo a condic¸a˜o acima.
Definic¸a˜o 6.1 Seja T : V → V, um operador linear. Se existirem v ∈ V, v 6= −→0 , e λ ∈ R tais que
T (v) = λv, λ e´ um autovalor de T e v e´ um autovetor de T associado a λ .
Observe que λ pode ser o nu´mero 0, embora v na˜o possa ser o vetor nulo.
Exemplo 158 T :V →V dado por T (v) = kv, onde k e´ uma constante
Neste caso todo vetor de V e´ um autovetor associado ao autovalor λ = k
Exemplo 159
T : R2→ R2 (Reflexa˜o no eixo x)
T (x,y) = (x,−y)
Neste caso observamos que os vetores que sera˜o levados em mu´ltiplos dele mesmo sera˜o os vetores
que esta˜o no eixo x, pois v = (x,0)⇒ T (v) = T (x,0) = (x,0) = v. Os vetores que esta˜o no eixo y
tambe´m sa˜o levados em mu´ltiplos de si mesmo pois estes vetores tem a forma w = (0,y)⇒ T (w) =
T (0,y)= (0,−y)=−1(0,y). Podemos concluir enta˜o que os vetores do tipo v=(x,0) sa˜o autovetores
associados ao autovalor λ1 = 1 e os vetores da forma w = (0,y) sa˜o autovetores associados a λ2 =
−1, da tranformac¸a˜o linear reflexa˜o no eixo x.
140 6.1. Autovalores e autovetores de uma matriz
Exemplo 160
R pi
2
: R2→ R2 (Rotac¸a˜o de um aˆngulo pi2 )
R pi
2
(x,y) = (−y,x)
Observe que na rotac¸a˜o de pi2 nenhum vetor e´ levado em um mu´ltiplo de si mesmo, a direc¸a˜o
de todos vetores de R2 sa˜o alterados pela rotac¸a˜o. Portanto a rotac¸a˜o de um aˆngulo pi2 na˜o possui
autovetores e autovalores.
Teorema 6.1 Dada uma transformac¸a˜o linear T : V → V e um autovetor v associado a um auto-
valor λ , qualquer vetor w= αv (α 6= 0) tambe´m e´ um autovetor de T associado a λ .
Observac¸a˜o 20 Note que se um vetor v e´ autovetor de uma transformac¸a˜o T associado ao autovalor
λ enta˜o todos os mu´ltiplos de v tambe´m sera˜o autovetores associados a λ . O Conjunto formado por
todos os autovetores associados a um mesmo autovalor e´ um conjunto infinito.
Teorema 6.2 Seja T :Rn→Rn um operador auto-adjunto e λ1,λ2 autovalores distintos de T e v1 e
v2 os autovetores associados a λ1 e λ2, respectivamente. Enta˜o v1 e´ perpendicular a v2.
Definic¸a˜o 6.2 O subespac¸o Vλ = {v ∈V�T (v) = λv} e´ chamado o subespac¸o associado ao auto-
valor λ .
Como vimos na nota acima o conjunto Vλ conte´m todos os autovetores de T associados ao au-
tovalor λ , conte´m tambe´m o vetor nulo
−→
0 de V ja´ que o vetor
−→
0 satifaz a relac¸a˜o T (
−→
0 ) = λ
−→
0 . O
conjunto Vλ pode ser escrito como Vλ = {Todos os autovetores de T associados a λ}∪
{−→
0
}
.
6.1 Autovalores e autovetores de uma matriz
Agora vamos obter uma forma de calcular os autovalores e autovetores de uma transformac¸a˜o usando
sua matriz em relac¸a˜o as bases canoˆnicas. Inicialmente definiremos autovalores e autovetores de uma
matriz A.
Dada uma matriz quadrada, A, de ordem n, estaremos entendendo por autovalor e autovetor de A o
autovalor e autovetor da transformac¸a˜o TA :Rn→Rn, associada a matriz A em relac¸a˜o a base canoˆnica
de Rn, isto e´ TA(v) = A ·v (na forma coluna). Assim, um autovalor λ ∈R de A, e um autovetor v∈Rn,
sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o A · v= λv, v 6=−→0 .
6.1. Autovalores e autovetores de uma matriz 141
6.1.1 Polinoˆmio Caracterı´stico
Seja a matriz
A=

a11 a12 ........ a1n
a21 a22 ........ a2n
...
...
am1 am2 ........ amn
 e v=

x1
x2
...
xn

Para encontrar os autovalores e autovetores de A, devemos resolver a equac¸a˜o:
Av = λv
Av = λ Iv
Av−λ Iv = −→0
(A−λ I)v = −→0
Escrevendo esta equac¸a˜o explicitamente,temos

a11−λ a12 ........ a1n
a21 a22−λ ........ a2n
...
...
am1 am2 ........ amn−λ


x1
x2
...
xn
=

0
0
...
0

Fazendo
B=

a11−λ a12 ........ a1n
a21 a22−λ ........ a2n
...
...
am1 am2 ........ amn−λ

temos o sistema
B · v=−→0
Este sistema e´ um sistema homogeˆneo e possui ao menos a soluc¸a˜o v =
−→
0 . Mas como estamos
procurando autovetores, queremos encontrar vetores v 6= −→0 que satisfac¸am a equac¸a˜o B · v = −→0 .
Sendo assim queremos que o sistema B · v = −→0 seja compatı´vel e indeterminado ( tenha ale´m da
soluc¸a˜o trivial, outras soluc¸o˜es na˜o triviais). Pela regra de Cramer se detB = 0 enta˜o o sistema
homogeˆneo tera´ infinitas soluc¸o˜es. Assim, a u´nica maneira de encontrarmos autovetores v (soluc¸o˜es
142 6.1. Autovalores e autovetores de uma matriz
na˜o nulas da equac¸a˜o B · v=−→0 ) e´ termos detB= 0, ou seja,
det(A−λ I) = 0
Impondo esta condic¸a˜o determinamos primeiramente os autovalores λ que satisfazem a equac¸a˜o
e depois os autovetores a eles associados. Observamos que
p(λ ) = det(A−λ I) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11−λ a12 ........ a1n
a21 a22−λ ........ a2n
...
...
am1 am2 ........ amn−λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
e´ um polinoˆmio em λ de grau n.
Definic¸a˜o 6.3 O polinoˆmio p(λ ) = det(A−λ I) e´ chamado polinoˆmio caracterı´stico da matriz A
Observe que as raı´zes do polinoˆmio caracterı´stico sa˜o os autovalores da matriz A. Note tambe´m
que o autovalor pode ser o nu´mero zero (quando o polinoˆmio caracterı´stico tem raı´zes zero), embora
o autovetor v associado a λ na˜o possa ser o vetor nulo.
Exemplo 161 Vamos agora calcular os autovetores e autovalores da matriz A=
 −3 4
−1 2
.
Temos que: p(λ ) = det(A−λ I) = det
 −3−λ 4
−1 2−λ
= (2−λ )(−3−λ )+4= λ 2+λ −2
p(λ ) = 0⇒ λ 2+λ −2= 0⇒ λ1 = 1 e λ2 =−2.
Necessitamos calcular os autovetores de A e para isso basta resolvermos o sistema:
Av= λv
onde v=
 x
y
 e λ e´ cada um dos autovalores ja´ encontrados.
6.1. Autovalores e autovetores de uma matriz 143
Para λ1 = 1 temos  −3 4
−1 2
 x
y
 = 1
 x
y

 −3−1 4
−1 2−1
 x
y
 =
 0
0

 −4 4
−1 1
 x
y
 =
 0
0

Temos um sistema homogeˆneo cuja matriz ampliada e´ −4 4
−1 1
|
|
0
0
 escalonando
⇒
 −4 4
0 0
|
|
0
0

−4x+4y= 0⇒ y= x
Portando os autovalores associados ao autovalor λ1 = 1 sa˜o da forma v = (x,x) = x(1,1) e assim
podemos concluir que o subespac¸o associado ao autovalor λ1 = 1 e´ V1 = [(1,1)] .
Para λ1 =−2 temos  −3 4
−1 2
 x
y
 = −2
 x
y

 −3− (−2) 4
−1 2− (−2)
 x
y
 =
 0
0

 −1 4
−1 4
 x
y
 =
 0
0

Temos um sistema homogeˆneo cuja matriz ampliada e´ −1 4
−1 4
|
|
0
0
 escalonando
⇒
 −1 4
0 0
|
|
0
0

−x+4y= 0⇒ y= x
4
Portando os autovalores associados ao autovalor λ1 =−2 sa˜o da forma v= (x, x4) = x(1, 14) e assim
144 6.1. Autovalores e autovetores de uma matriz
podemos concluir que o subespac¸o associado ao autovalor λ2 =−2 e´ V2 =
[
(1, 14)]
.
Exemplo 162 Encontre os autovalores e autovetores da transformac¸a˜o linear que a cada vetor v ∈
R3 associa a sua projec¸a˜o ortogonal no plano x+ y− z= 0.
Devemos encontrar a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 tal que T (v) = projec¸a˜o de v no plano
x+ y− z= 0.
Figura 6.1: Transformac¸a˜o Linear T - (Exemplo 162)
Da figura acima vemos que para obtermos a projec¸a˜o sobre o plano devemos inicialmente fazer
a projec¸a˜o do vetor v na direc¸a˜o do vetor normal n para obter o vetor p= pro jnv. Com isso temos,
T (v)+ p = v
T (v) = v− p
T (v) = v− pro jnv
Um vetor normal do plano x+ y− z= 0 e´ n= (1,1,−1), logo, como v= (x,y,z) temos
p = pro jnv
p =
(v ·n
n ·n
)
n
p =
(
(x,y,z) · (1,1,−1)
(1,1,−1) · (1,1,−1)
)
(1,1,−1)
p =
(
x+ y− z
3
)
(1,1,−1)
p =
(
x+ y− z
3
,
x+ y− z
3
,−x+ y− z
3
)
T (v) = v− p
T (x,y,z) = (x,y,z)−
(
x+ y− z
3
,
x+ y− z
3
,−x+ y− z
3
)
T (x,y,z) =
(
2x− y+ z
3
,
−x+2y+ z
3
,
x+ y+2z
3
)
Para calcular os autovalores de T devemos encontrar a matriz de T. Neste caso,
[T ] =

2
3
−1
3
1
3
−1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
3

6.1. Autovalores e autovetores de uma matriz 145
p(λ ) = det([T ]−λ I) = 0
det

2
3 −λ −13 13
−1
3
2
3 −λ 13
1
3
1
3
2
3 −λ
= 0
p(λ ) =−λ 3+2λ 2−λ = 0
As raizes de p(λ ) sa˜o λ1 = 0 e λ2 = λ3 = 1.
Para λ1 = 0 vamos calcular os autovalores associados resolvendo o sistema.
2
3
−1
3
1
3
−1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
3


x
y
z
=

0
0
0

cuja matriz ampliada e´,
2
3
−1
3
1
3 | 0
−1
3
2
3
1
3 | 0
1
3
1
3
2
3 | 0
 escalonando=⇒

2
3 −13 13 | 0
0 12
1
2 | 0
0 0 0 | 0

 23x− 13y+ 13z= 01
2y+
1
2z= 0 2x− y+ z= 0y+ z= 0
e enta˜o:
y = −z
x = −z
Portanto os autovalores associados ao autovalor λ1 = 0 sa˜o da forma v= (−z,−z,z).
Observac¸a˜o 21 Note que acima damos a forma geral dos autovetores, no caso acima temos v =
z(−1,−1,1) assim um autovetor e´ v = (−1,−1,1) como todo autovetor e´ um mu´ltiplo de v =
(−1,−1,1) temos que V1 = [(−1,−1,1)], isto e´, o subespac¸o associado ao autovalor λ1 = 0 e´ gerado
pelo vetor v = (−1,−1,1). Note que geometricamente o subespac¸o V0 = [(−1,−1,1)] e´ formado
146 6.1. Autovalores e autovetores de uma matriz
pelos vetores que sa˜o mu´ltiplos do vetor normal ao plano, ou seja, por todos os vetores ortogonais ao
plano.
Para λ2,3 = 1 vamos calular os autovalores associados resolvendo o sistema.
2
3 −1 −13 13
−13 23 −1 13
1
3
1
3
2
3 −1


x
y
z
 =

0
0
0


−13 −13 13
−13 −13 13
1
3
1
3 −13


x
y
z
 =

0
0
0


−13 −13 13
−13 −13 13
1
3
1
3 −13


−13 −13 13
−13 −13 13
1
3
1
3 −13
 escalonando=⇒

−13 −13 13
0 0 0
0 0 0

−1
3
x− 1
3
y+
1
3
z= 0 → x=−y+ z
Portanto os autovalores associados aos autovalores λ2 = λ3 = 1 sa˜o da forma v = (−y+ z,y,z) =
y(−1,1,0)+ z(1,0,1). Logo V2 = [(−1,1,0)] e V3 = [(1,0,1)].
Exemplo 163 Encontre todos os autovalores e autovetores do operador linear T : P2 → P2 definido
por T (a+bx+ cx2) =−2c+(a+2b+ c)x+(a+3c)x2.
A matriz que representa o operador T e´ dada por:
[T ] =

0 0 −2
1 2 1
1 0 3

6.1. Autovalores e autovetores de uma matriz 147
Para encontrar os autovetores resolver ([T ]−λ I)v= 0, isto e´,

0−λ 0 −2
1 2−λ 1
1 0 3−λ


a
b
c
=

0
0
0

Para obtermos uma soluc¸a˜o na˜o nula para este sistema devemos impor:
det([T ]−λ I) =−λ (2−λ )(3−λ )+2(2−λ ) = 0
Obtemos enta˜o os autovalores λ1 = 1 e λ2 = λ3 = 2.
Vamos agora encontrar os autovetores associados aos autovalores λ1 = 1 e λ2 = λ3 = 2.
Para λ1 = 1:
−1 0 −2
1 1 1
1 0 2


a
b
c
=

0
0
0
 Escalonando⇒

−1 0 −2
0 1 −1
0 0 0


a
b
c
=

0
0
0
⇒ −→p = (−2c,c,c)
Portanto, −→p =−2c+ cx+ cx2 e´ autovetor associado a λ1 = 1
Para λ2 = λ3 = 2:
−2 0 −2
1 0 1
1 0 1


a
b
c
=

0
0
0
 Escalonando⇒

−2 0 −2
0 0 0
0 0 0


a
b
c
=

0
0
0
⇒−→p = (−c,b,c)
Portanto −→p =−c+bx+ cx2 e´ autovetor associado a λ2 = λ3 = 2.
Exemplo 164 Encontre os autovalores e autovetores:
a)
 1 4
2 3

b)

2 1 0
0 1 −1
0 2 4

c)

1 1 2
0 5 −1
0 0 7

148 6.2. Matrizes Semelhantes
d)

4 0 1
−2 1 0
−2 0 1

e)

5 6 2
0 −1 −8
1 0 −2

Exemplo 165 Seja T : R2 → R2 o operador dado por T (x,y) = (4x+ 4y,x+ 4y). Determine os
autovetores e autovalores.
6.2 Matrizes Semelhantes
Seja T : V → V um operador linear. Sejam α e β bases de V e [T ]αα , [T ]ββ matrizes de T em relac¸a˜o
as bases α e β respectivamente, enta˜o:
[T ]ββ = [I]
α
β [T ]
α
α [I]
β
α
Lembrando que [I]βα =
(
[I]αβ
)−1
temos que
[T ]ββ = [I]
α
β [T ]
α
α
(
[I]αβ
)−1
Chamando [I]αβ = A :
[T ]ββ = A [T ]
α
α A
−1
Pelo conceito de matriz de uma transformac¸a˜o linear podemos escrever:
[T (v)]α = [T ]αα [v]α (I)
e
[T (v)]β = [T ]
β
β [v]β (II)
Sendo [I]αβ a matriz mudanc¸a de base de α para β , tem-se:
[v]α = [I]
β
α [v]β e [T (v)]α = [I]
β
α [T (v)]β
6.3. Diagonalizac¸a˜o de Operadores 149
Substituindo [v]α e [T (v)]α em (I), resulta:
[I]βα [T (v)]β = [T ]
α
α [I]
β
α [v]β
ou,
[T (v)]β =
(
[I]βα
)−1
[T ]αα [I]
β
α [v]β
Comparando essa igualdade com (II) , tem-se
[T ]ββ =
(
[I]βα
)−1
[T ]αα [I]
β
α
ou, como [I]αβ =
(
[I]βα
)−1
, podemos escvrever
[T ]ββ = [I]
α
β [T ]
α
α
(
[I]αβ
)−1
As matrizes [T ]αα e [T ]
β
β sa˜o chamadas semelhantes.
Definic¸a˜o 6.4 Dadas as matrizes A e B, se existe uma matriz P inversı´vel tal que
A= PBP−1
enta˜o dizemos que as matrizes A e B sa˜o semelhantes.
Observac¸a˜o 22 Se A e B sa˜o semelhantes enta˜o detA= detB, mas na˜o vale a recı´proca.
6.3 Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Nosso objetivo aqui sera´ encontrar uma base do espac¸o vetorialV na qual a matriz de um determinado
operador linear T : V → V seja a mais simples possı´vel. Veremos que a melhor situac¸a˜o possı´vel e´
aquela em que conseguimos uma matriz diagonal associada a um operador.
Dado um operador linear T : V → V , nosso objetivo e´ conseguir uma base β , para V , na qual
a matriz do operador nesta base ([T ]ββ ) seja uma matriz diagonal. Esta e´ a forma mais simples de
se representar um operador e a base β , nesse caso, e´ uma base cujos vetores sa˜o autovetores de T .
Observemos inicialmente o exemplo que segue.
150 6.3. Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Exemplo 166 Seja T : R2 → R2 o operador linear definido por T (x,y) = (−3x+4y,−x+2y), cuja
matriz, em relac¸a˜o a` base canoˆnica e´ [T ] =
−3 4
−1 2
.
Seus autovalores sa˜o λ1 = 1 e λ2 =−2 com autovetores associados v1 = (1,1) e v2 = (4,1), res-
pectivamente. Notemos que os autovetores formam uma base de R2. Seja, enta˜o, β = {(1,1),(4,1)}
a base de R2 formada pelos autovetores de T e encontremos [T ]ββ . Para tal, aplicamos T em cada
vetor da base β e escrevemos a imagem obtida como combinac¸a˜o linear dos vetores da base β :
T (1,1) = (1,1) = a(1,1)+b(4,1) = 1(1,1)+0(4,1)
T (4,1) = (−8,−2) = c(1,1)+d(4,1) = 0(1,1)−2(4,1)
Assim, [T ]ββ =
1 0
0 −2
.
Notemos que [T ]ββ e´ uma matriz diagonal e representa o operador T na base β de autovetores.Na verdade, quando a base de autovetores existe, a matriz que representa um operador linear nesta
base sera´ sempre uma matriz diagonal que, como ja´ citado, e´ a forma mais simples de se representar
o operador. O problema, enta˜o, e´ saber em que condic¸o˜es a base de autovetores existe, pois veremos
adiante que em muitos casos tal base na˜o existe.
Consideremos, para elucidar o problema citado, as propriedades que seguem:
Propriedades 6.1
1. Autovetores associados a autovalores distintos sa˜o linearmente independentes. Proof. Ex-
ercı´cio! �
2. Se T :V →V e´ um operador linear tal que dimV = n e T possui n autovalores distintos, enta˜o
o conjunto β = {v1,v2, . . . ,vn}, formado pelos correspondentes autovetores, e´ uma base de V .
Em outras palavras, se conseguirmos encontrar tantos autovalores distintos quanto for a dimensa˜o
do espac¸o, podemos garantir a existeˆncia de uma base de autovetores.
Definic¸a˜o 6.5 Seja T :V →V um operador linear. Dizemos que T e´ um operador diagonaliza´vel se
existe uma base β de V cujos elementos sa˜o autovetores de T .
Neste caso, a matriz que representa T na base β e´ uma matriz diagonal cujos elementos sa˜o
autovalores de T , ou seja,
6.3. Diagonalizac¸a˜o de Operadores 151
[T ]ββ =

λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
... . . .
...
0 0 . . . λn

Aqui supomos que dimV = n.
Exemplo 167 Observemos os autovalores e respectivos autovetores associados a um operador linear
T, representados pela matriz A=

1 −1 4
3 2 −1
2 1 −1
.
Os Autovalores e autovetores de A sa˜o:
λ1 = 1⇒ v1 = (−z,4z,z) = z(−1,4,1)
λ2 =−2⇒ v2 = (−y,y,y) = y(−1,1,1)
λ3 = 3⇒ v3 = (x,2x,x) = x(1,2,1)
Logo o conjunto β = {(−1,4,1),(−1,1,1),(1,2,1)} e´ uma base do R3, pela propriedade 2 e,
portanto o operador T representado pela matriz A, e´ diagonaliza´vel. Enta˜o, como a base β e´ formada
pelos autovetores de A ou de T, o operador T e´ representado por uma matriz diagonal D que e´ a matriz
[T ]ββ . A construc¸a˜o da matriz D pode ser acompanhada conforme segue:
T (v1) = Av1 = (−1,4,1)
T (v2) = Av2 = (2,−2,−2)
T (v3) = Av3 = (3,6,3)
Enta˜o:
(−1,4,1) = a(−1,4,1)+b(−1,1,1)+ c(1,2,1)
(2,−2,−2) = d(−1,4,1)+ e(−1,1,1)+ f (1,2,1)
(3,6,3) = g(−1,4,1)+h(−1,1,1)+ i(1,2,1)
152 6.3. Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Dessa forma, temos
D=

1 0 0
0 −2 0
0 0 3
= [T ]ββ
Exemplo 168 Considere agora o operador T :R3→R3, representado pela matriz A=

4 2 0
−1 1 0
0 1 2
.
Autovalores e autovetores de A :
λ1 = λ2 = 2⇒ v1 = (0,0,z) = z(0,0,1)
λ3 = 3⇒ v3 = (−2,1,1)
Observe que A na˜o pode ser diagonalizada, pois na˜o e´ possı´vel encontrar uma base de autovetores
para o R3; so´ e´ possı´vel obter dois autovetores L.I.
6.3.1 Matriz Diagonalizadora
Seja T :V →V um operador linear. Sejam A a matriz canoˆnica do operador T, isto e´, [T ] = A e D a
matriz de T na base β de autovetores. As matrizes A e D sa˜o semelhantes, pois representam o mesmo
operador T em bases diferentes. Logo, a relac¸a˜o de matrizes semelhantes 6.4 permite escrever:
D= P−1AP
onde P e´ a matriz mudanc¸a da base β para a base canoˆnica α, isto e´, P= [I]βα .
Note que, pela definic¸a˜o da matriz P, podemos concluir que ela e´ uma matriz cujas colunas sa˜o os
autovetores do operador T. Observamos que a matriz D e´ obtida pela ”atuac¸a˜o”da matriz P, quando
ela existe, sobre a matriz A. Dizemos enta˜o que a matriz P diagonaliza A ou que P e´ a matriz diago-
nalizadora.
Exemplo 169 Sendo possı´vel, encontre a matriz que diagonaliza A=

1 3 3
−3 −5 −3
3 3 1
.
Temos que determinar uma matriz inversı´vel P e uma matriz diagonal D tal que D = P−1AP.
Vamos seguir os seguintes passos:
6.3. Diagonalizac¸a˜o de Operadores 153
Passo1- Determinar aos autovalores de A
det(A−λ I) = 0⇒ det

1−λ 3 3
−3 −5−λ −3
3 3 1−λ
=−λ 3−3λ 2+4= 0
Os autovalores sa˜o λ1 = λ2 =−2 e λ3 = 1
Passo 2 - Determinar os autovetores
Sera˜o necessa´rios treˆs autovetores porque a matriz e´ 3× 3, caso contra´rio a matriz na˜o podera´
ser diagonalizada.
Calculando os autovetores por meio do sistema homogeˆneo:
1−λ 3 3
−3 −5−λ −3
3 3 1−λ


x
y
z
=

0
0
0

obteremos:
- Para λ =−2 uma base para o subespac¸o associado e´ v1 = (−1,1,0) e v2 = (−1,0,1).
- Para λ = 1 uma base para o subespac¸o associado e´ v3 = (1,−1,1).
Note que {v1,v2,v3} e´ linearmente independente. (Verifique)
Passo 3 - Monte P a partir dos vetores do passo 2
P=
[
v1 v2 v3
]
=

−1 −1 1
1 0 −1
0 1 1

Passo 4 - Monte D a partir dos autovalores associados
E´ essencial que a ordem dos autovalores seja igual a` ordem escolhida para as colunas de P.
D=

−2 0 0
0 −2 0
0 0 1

154 6.3. Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Passo 5 - Verifique que D= P−1AP ou que AP= PD
AP=

1 3 3
−3 −5 −3
3 3 1


−1 −1 1
1 0 −1
0 1 1
=

2 2 1
−2 0 −1
0 −2 1

PD=

−1 −1 1
1 0 −1
0 1 1


−2 0 0
0 −2 0
0 0 1
=

2 2 1
−2 0 −1
0 −2 1

Teorema 6.3 Se A e´ uma matriz n×n com n autovalores distintos entre si, enta˜o A e´ diagonaliza´vel.
Proof. Exercı´cio. �
Exemplo 170 A matriz A =

2 −3 7
0 5 1
0 0 −1
 tem autovalores λ1 = 2,λ2 = 5 e λ3 = −1. Como esses
sa˜o treˆs autovalores distintos de uma matriz 3×3, A e´ diagonaliza´vel.
Definic¸a˜o 6.6 i) Se λ e´ autovalor de uma matriz A de tamanho n×n, enta˜o a dimensa˜o do subespac¸o
associado a λ e´ chamada multiplicidade geome´trica de λ .
ii) O nu´mero de vezes que λ aparece como autovalor de A e´ chamado demultiplicidade alge´brica
de λ .
Teorema 6.4 Se A e´ uma matriz quadrada, enta˜o:
i) Para cada autovalor de A, a multiplicidade geome´trica e´ menor do que ou igual a` multiplicidade
alge´brica.
ii) A e´ diagonaliza´vel se, e somente se, para cada autovalor, a multiplicidade geome´trica e´ igual
a multiplicidade alge´brica.
Exemplo 171 Diagonalize a seguinte matriz, se possı´vel.
A=

5 0 0 0
0 5 0 0
1 4 −3 0
−1 −2 0 −3

Vamos calcular det(A−λ I) = 0 para encontrar os autovalores de A.
6.4. Calculando poteˆncias de uma matriz 155
det

5−λ 0 0 0
0 5−λ 0 0
1 4 −3−λ 0
−1 −2 0 −3−λ
= 0⇒
 λ1 = λ2 = 5λ3 = λ4 =−3
λ = 5 e λ =−3, ambos tem multiplicidade 2.
Calculando os autovetores por meio do sistema homogeˆneo:
5−λ 0 0 0
0 5−λ 0 0
1 4 −3−λ 0
−1 −2 0 −3−λ


x
y
z
t
=

0
0
0
0

obtemos:
- Para λ = 5 uma base para o subespac¸o associado e´ v1 = (−8,4,1,0) e v2 = (−16,4,0,1).
- Para λ =−3 uma base para o subespac¸o associado e´ v3 = (0,0,1,0) e v4 = (0,0,0,1).
Note que para ambos os autovalores a multiplicidade alge´brica e´ igual a multiplicidade
geome´trica, logo pelo teorema anterior, concluı´mos que A e´ diagonaliza´vel.
Enta˜o existe P tal que A= P−1DP, onde P=

−8 −16 0 0
4 4 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
 e D=

5 0 0 0
0 5 0 0
0 0 −3 0
0 0 0 −3
.
6.4 Calculando poteˆncias de uma matriz
Nesta sec¸a˜o, veremos como a diagonalizac¸a˜o de matrizes pode ajudar no ca´lculo de poteˆncias de
matrizes.
Teorema 6.5 Seja A e´ uma matriz quadrada n× n e k um nu´mero inteiro. Se v e´ autovetor de A
associado ao autovalor λ enta˜o v tambe´m e´ autovetor de Ak associado ao autovalor λ k.
Proof. Por definic¸a˜o, se v e´ autovetor de A associado ao autovalor λ enta˜o Av= λv.
Multiplicando por A ambos os lados da igualdade, tem-se
A2v= Aλv= λ (Av) = λ 2v
156 6.4. Calculando poteˆncias de uma matriz
Novamente, multiplicando por A ambos os lados
A3v= Aλ 2v= λ 2(Av) = λ 3v
Generalizandoesta ide´ia para k vezes, obtemos
(A ·A · ..... ·A︸ ︷︷ ︸
k−1 vezes
)Av= (A ·A · ..... ·A︸ ︷︷ ︸
k−1 vezes
)λv⇒ Akv= λ kv
concluindo assim nossa demonstrac¸a˜o.
�
Assim, todo autovetor de A e´ tambe´m autovetor de Ak e portanto, se a matriz A e´ diagonaliza´vel,
A e Ak possuem a mesma matriz diagonalizadora P. O pro´ximo teorema nos diz como obter a matriz
Ak para todo k inteiro.
Teorema 6.6 Seja A e´ uma matriz quadrada n×n diagonaliza´vel enta˜o existe uma matriz invertı´vel
P e uma matriz diagonal D tais que Ak = PDkP−1, para todo k inteiro.
Proof. Se A e´ diagonaliza´vel, enta˜o existe uma matriz invertı´vel P e uma matriz diagonal D tais que
A= PDP−1. Assim,
Ak = A.A.A · · ·A
= (PDP−1).(PDP−1).(PDP−1) · · ·(PDP−1)
= PD(P−1P)D(P−1P)DP−1 = PDkP−1
�
Isso sugere que para calcularmos Ak podemos diagonalizar A, obtendo P e D, depois calcular Dk,
e o resultado sera´ igual a PDkP−1. Como D e´ diagonal e sua diagonal e´ formada pelos autovalores de
A, pelo teorema anterior tem-se
Dk =

λ k1 0 . . . 0
0 λ k2 . . . 0
...
... . . .
...
0 0 . . . λ kn

.
Exemplo 172 Calcule A20 onde A=

1 −2 8
0 −2 0
0 0 −2

6.5. Sexta lista de exerc´ıcios 157
6.5 Sexta lista de exercı´cios
Exercı´cio 6.1 Construa uma matriz 2x2 na˜o diagonal com autovalores 1 e −1.
Exercı´cio 6.2 Se k e´ um nu´mero inteiro, λ um autovalor da matriz A e v um autovetor de A associado
ao autovetor λ .Mostre que λ k e´ um autovalor da matriz Ak associado ao autovetor v.
Exercı´cio 6.3 Encontre os autovalores de A9 se A=

1 3 7 11
0 12 3 8
0 0 0 4
0 0 0 2

Exercı´cio 6.4 Encontre os autovalores e autovetores das transformac¸o˜es lineares dadas:
a) T : R2→ R2 tal que T (x,y) = (2y,x)
b) T : R2→ R2 tal que T (x,y) = (x+ y,2x+ y)
c) T : R3→ R3 tal que T (x,y,z) = (x+ y,x− y+2z,2x+ y− z)
d) T : P2→ P2 tal que T (ax2+bx+ c) = ax2+ cx+b
e) T :M(2,2)→M(2,2) tal que A→ AT
Exercı´cio 6.5 Encontre a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2, tal que T tenha autovalores −2 e 3
associados aos autovetores (3y,y) e (−2y,y) respectivamente.
Exercı´cio 6.6 Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes
a) A=

1 2 3
0 1 2
0 0 1
 b) A=

1 0 2
−1 0 1
1 1 2
 c) A=

2 0 1 0
0 2 0 1
12 0 3 0
0 −1 0 0
 .
Exercı´cio 6.7 Que vetores na˜o nulos do plano, quando cisalhados por C(x,y) = (y− 3x,y) e em
seguida girados de 45o (no sentido anti-hora´rio) ficam ampliados / reduzidos (na mesma direc¸a˜o)?
Em quantas vezes?
Exercı´cio 6.8 Seja T :V →V linear
a) Se λ = 0 e´ autovalor de T , mostre que T na˜o e´ injetora.
b) A recı´proca e´ verdadeira? Ou seja, se T na˜o e´ injetora, λ = 0 e´ autovalor de T?
c) Quais sa˜o os autovalores e autovetores do operador derivac¸a˜o D : P2→ P2, D(p) = p′.
Exercı´cio 6.9 Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador linear T :R3→R3
obtido quando se faz uma rotac¸a˜o de pi rad em torno do eixo x, seguida de uma contrac¸a˜o de 12 .
158 6.5. Sexta lista de exerc´ıcios
Exercı´cio 6.10 Seja T : V → V o operador linear que tem autovalores λ1 = 1,λ2 = 2, · · · , λn = n
associados aos autovetores v1,v2, · · · ,vn respectivamente. Sabendo que β = {v1,v2, · · · ,vn} e que
[v]β =

1
2
...
n
 , determinar [T (v)]β .
Exercı´cio 6.11 Seja A uma matriz quadrada e AT sua transposta. As matrizes A e AT possuem os
mesmos autovalores e autovetores? Justifique sua resposta.
Exercı´cio 6.12 Encontre os autovalores e autovetores da transformac¸a˜o linear que a cada vetor v ∈
R3 associa a sua projec¸a˜o ortogonal no plano x+ y= 0.
Exercı´cio 6.13 Sejam A e B matrizes n× n. Se B e´ semelhante a A, enta˜o as duas matrizes tem o
mesmo polinoˆmio caracterı´stico e, portanto, os mesmos autovalores.
Exercı´cio 6.14 Seja T : ℜ2 → ℜ2 um operador linear que dobra o comprimento do vetor (1,−3) e
triplica e muda o sentido do vetor (3,−1).
a) Determine T (x,y)
b) Calcule T (0,2)
c) Qual a matriz do operador T na base {(2,1),(1,2)}.
Exercı´cio 6.15 Seja T : M(2,2) → M(2,2) com autovetores v1 =
1 0
0 0
 , v2 =
0 1
0 0
 , v3 =1 0
1 0
 e v4 =
0 0
1 1
 associados aos autovalores λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2,λ4 = 0, respectiva-
mente. Determine T
a b
c d
.
Exercı´cio 6.16 Dada a transformac¸a˜o linear T : ℜ2 → ℜ2 que e´ a projec¸a˜o sobre a reta y = x2 .
Encontre os autovalores e autovetores da transformac¸a˜o T .
Exercı´cio 6.17 Considere P1 = conjunto dos polinoˆmios de grau ≤ 1. Seja o operador linear D :
P1→ P1 dado por D(p) = x.p′+ p′ .Determine os autovalores e autovetores de D.
Exercı´cio 6.18 Sejam A,B ∈M(n,n) matrizes triangulares com a mesma diagonal principal. Existe
alguma relac¸a˜o entre seus autovalores? Qual?
6.5. Sexta lista de exerc´ıcios 159
Exercı´cio 6.19 Mostre que o conjunto de todos os autovetores de um operador linear T : V → V
associados a um autovalor λ e´ um subespac¸o vetorial de V .
Exercı´cio 6.20 Discuta a veracidade da afirmac¸a˜o: Se λ na˜o e´ um autovalor de A, enta˜o o sistema
linear (A−λ I)v= 0 so´ tem a soluc¸a˜o trivial.
Exercı´cio 6.21 A matriz A=
 1 2
3 2
 e´ semelhante a` matriz B=
 4 0
0 −1
 . Determine uma ma-
triz P que realiza esta semelhanc¸a.
Exercı´cio 6.22 Verifique se as matrizes dadas sa˜o semelhantes
a)
 1 1
−1 4
 e
2 1
1 3

b)
 3 1
−6 −2
 e
−1 2
1 0

Exercı´cio 6.23 Se B = R−1AR e −→v e´ um autovetor de B associado a um autovalor λ enta˜o R−→v e´
autovetor de A associado a λ .
Exercı´cio 6.24 Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove que:
a) A− I e B− I sa˜o semelhantes.
b) Ak e Bk sa˜o semelhantes, para cada inteiro positivo k.
c) Se A e B sa˜o inversı´veis, enta˜o A−1 e B−1 sa˜o semelhantes.
Exercı´cio 6.25 Seja T o operador linear em R3 definido por T (x,y,z) = (2y+ z,x− 4y,3x) e con-
sidere a base usual α do R3 e a base β = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}.
a) Mostre que as matrizes [T ]α e [T ]β sa˜o semelhantes.
b) T e´ inversı´vel? Se for determine a lei que define T−1.
Exercı´cio 6.26 Sejam T : V → V e´ um operador linear e α e β bases distintas de V . Mostre que se
[T ]αα e [T ]
β
β sa˜o matrizes semelhantes enta˜o det [T ]
α
α = det [T ]
β
β .
Exercı´cio 6.27 Seja T : R2→ R2 o operador linear definido por T (x,y) = (7x−4y,−4x+ y)
a) Determinar uma base do R2 em relac¸a˜o a` qual a matriz do operador T e´ diagonal.
b) Dar a matriz de T nessa base.
Exercı´cio 6.28 Considere uma transformac¸a˜o linear T : V → V abaixo. Se possı´vel, encontre uma
base β para V tal que a matriz [T ]ββ de T, em relac¸a˜o a` base β , seja diagonal.
a) T : P2→ P2 definida por T (a+bx) = (4a+2b)+(a+3b)x.
b) T : P2→ P2 definida por T (p(x)) = p(x+1).
160 6.5. Sexta lista de exerc´ıcios
Exercı´cio 6.29 Verificar se a matriz A e´ diagonaliza´vel. Caso seja, determinar uma matriz P que
diagonaliza A e calcular P−1AP.
a) A=
5 −1
1 3

b) A=

1 2 1
−1 3 1
0 2 2

c) A=

2 −1 0 1
0 2 1 −1
0 0 3 2
0 0 0 3

Exercı´cio 6.30 Determine o valor de k para que a matriz A=

2 k 0
0 2 1
0 0 3
 seja diagona-liza´vel.
Exercı´cio 6.31 Determine a de modo que a matriz A=

3 −2 4 −1
0 1 a 0
0 0 3 4
0 0 0 2
 seja diagonaliza´vel. Para o
valor de a encontrado, determine uma matriz inversı´vel P e uma matriz diagonal D tais que P−1AP=
D.
Exercı´cio 6.32 Calcule A10 para A=
0 1
2 1
.
Exercı´cio 6.33 Seja T um operador linear que preserva o comprimento do vetor v1 = (1,0,0), du-
plica o comprimento do vetor v2 = (0,2,0) e inverte o sentido do vetor v3 = (0,2,1). Determine o
operador linear T 20.
Exercı´cio 6.34 Seja A uma matriz inversı´vel.Prove que, se A e´ diagonaliza´vel, A−1 tambe´m e´.
Exercı´cio 6.35 Seja A uma matriz 4× 4 e seja λ um autovalor de multiplicidade 3. Se A−λ I tem
posto 1, A e´ diagonaliza´vel? Explique.
Exercı´cio 6.36 Classifique cada afirmac¸a˜o como verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
a) Se A e´ diagonaliza´vel, enta˜o A tem n autovalores distintos.
6.5. Sexta lista de exerc´ıcios 161
b) Se A e´ inversı´vel enta˜o A e´ diagonaliza´vel.
c) Uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes e´ diagonaliza´vel.
d) Se A e´ diagonaliza´vel, enta˜o cada um de seus autovalores tem multiplicidade 1.
e) Se nenhum dos autovalores de A e´ nulo, enta˜o detA 6= 0.
f) Se u e v sa˜o autovetores de A associados, respectivamente, aos autovaloes distintos λ1 e λ2,
enta˜o u+ v e´ um autovetor de A associado ao autovalor λ1+λ2.
g) Se v e´ autovetor dos operadores T :V →V e S :V →V enta˜o v e´ autovetor do operador T +S.
6.5.1 Algumas respostas e sugesto˜es
6.1 - a)
λ1 =
√
2 =⇒ v1 = (
√
2y,y)
λ2 =−
√
2 =⇒ v2 = (−
√
2y,y)
b)
λ1 = 1+
√
2 =⇒ v1 = (x,
√
2x)
λ2 = 1−
√
2 =⇒ v2 = (x,−
√
2x)
c)
λ1 = 2 =⇒ v1 = (y,y,y)
λ2 =−1 =⇒ v2 = (−2z,4z,z)
λ3 =−2 =⇒ v3 = (x,−3x,x)
d)
λ1 = λ2 = 1 =⇒ p1(x) = ax2+bx+b
λ3 =−1 =⇒ p2(x) = bx−b
e)
λ1 = λ2 = 1 =⇒ A1 =
a b
b c

λ3 = λ4 =−1 =⇒ A3 =
0 −c
c 0

6.2 - a) λ1 = λ2 = λ3 = 1 =⇒ v= (x,0,0)
b)
λ1 = 1 =⇒ v1 = (x,−x,0)
λ2 = 3 =⇒ v2 = (x,0,x)
λ3 =−1 =⇒ v3 = (−z,−2z,z)
c)
λ1 = 6 =⇒ v1 = (x,0,4x,0)
λ2 =−1 =⇒ v2 = (x,0,−3x,0)
λ3 = 1 =⇒ v3 = (0,−t,0, t))
6.4 - Por exemplo a matriz [T ] =
1 −11
0 −1

6.5 - T (x,y) = (−6y,y− x)
162 6.5. Sexta lista de exerc´ıcios
6.6 - a)
λ1 =−32
√
2 =⇒ v= (x, 35x)
λ2 =
√
2 =⇒ v= (0,y)
6.7 -
λ1 = 12 =⇒ v= (x,0,0)
λ2 = λ3 =−12 =⇒ v= (0,y,z)
6.8 - a) T (x,y) =
(−29x−15y
8 ,
15x+21y
8
)
b)T (0,2) =
(−154 , 214 )
c) [T ]{(2,1),(1,2)} = 130
 35 85
−115 −125

6.9 - T
a b
c d
=
a+ c−d −b
2c−2d 0

6.10 -
λ1 = 1 =⇒ v= (2y,y)
λ2 = 0 =⇒ v= (x,−2x)
6.11 -
λ1 = 0 =⇒ p1(x) = a
λ2 = 1 =⇒ p2(x) = b+bx
6.13 -
λ1 = 0 =⇒ v1 = (x,x,0)
λ2 = λ3 = 1 =⇒ v2 = (−y,y,z)
6.18 - P e´ da forma P =
 a a
−32d d
, enta˜o uma matriz P que realiza a semelhanc¸a pode ser
P=
 1 1
−3 2
.
6.23 - b) T−1(x,y,z) =
( z
3 ,− y4 + z12 ,x+ y2 − z6
)
6.25 - a) β = {(1,2),(−2,1)}
b) [T ]β =
−1 0
0 9

6.26 - a) β = {−1+ x,2+ x}
b) Na˜o e´ possı´vel encontrar uma base tal que [T ]β seja diagonal.
6.27 - a) Na˜o
b) P=

0 2 1
1 1 0
−2 2 1

c) Na˜o
6.28 - k = 0
6.5. Sexta lista de exerc´ıcios 163
6.29 - a= 4; D=

3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 2
 ; P=

1 0 1 92
0 2 1 4
0 1 0 1
0 0 0 12

6.30 - Os autovalores sa˜o 1,0, 1512 ,512
6.31 - A10 =
342 341
682 683

6.32 - T 20(x,y,z) = (x,1.048.576y−1.048.574z,z)
6.36 - F, F, F, F, V, F
164 6.5. Sexta lista de exerc´ıcios
Capı´tulo 7
PRODUTO INTERNO
Estamos interessados nesta sec¸a˜o em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e de aˆngulo
entre dois vetores. Esses conceitos permitira˜o uma melhor compreensa˜o do que seja uma base ortog-
onal e uma base ortonormal em um espac¸o vetorial e, principalmente, nos dara˜o a noc¸a˜o de ”me-
dida”que nos leva a precisar conceitos como o de a´rea, volume, distaˆncia, etc...
Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano ortogonal (eixos
perpendiculares) e um ponto P(x,y). Vamos calcular a distaˆncia do ponto P a` origem O(0,0).
Figura 7.1: Distaˆncia do ponto P a` origem - (6)
Observando a figura e utilizando o teorema de pita´goras, temos que d =
√
x2+ y2. Podemos
tambe´m, interpretar este resultado dizendo que o comprimento (que passaremos a chamar de norma)
do vetor (x,y) e´
‖(x,y)‖=
√
x2+ y2.
Por outro lado, se tivermos dois vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2), podemos definir um ”pro-
duto”de u por v assim:
〈u,v〉= x1x2+ y1y2,
produto este chamado de produto escalar ou produto interno usual e que tem uma relac¸a˜o importante
com a norma de um vetor v= (x,y) :
‖v‖=
√
x2+ y2 =
√
x.x+ y.y=
√
〈v,v〉.
Se, ao inve´s de trabalharmos no R2, estive´ssemos trabalhando no R3 (munidos de um referencial
166 Cap´ıtulo 7. PRODUTO INTERNO
cartesiano ortogonal), terı´amos encontrado uma expressa˜o similar para o produto escalar:
〈(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)〉= x1x2+ y1y2+ z1z2
e a mesma relac¸a˜o com a norma de um vetor v= (x,y,z)
‖v‖=
√
x2+ y2+ z2 =
√
〈v,v〉
Voltando ao caso do plano, se tive´ssemos trabalhando com um referencial na˜o ortogonal (eixos
na˜o perpendiculares), e quise´ssemos calcular a distaˆncia da origem ate´ um ponto P (cujas coordenadas
em relac¸a˜o ao referencial fossem (x,y) ), terı´amos, usando o teorema de Pita´goras,
d = ‖(x,y)‖=
√
(x+ ycosα)2+(ysinα)2 =
√
x2+(2cosα)xy+ y2
Figura 7.2: - (6)
Observe, que se usa´ssemos o produto escalar 〈(x1,y1),(x2,y2)〉 = x1x2 + y1y2, neste caso na˜o
haveria a relac¸a˜o ‖v‖=√〈v,v〉,mas ela passaria a valer se usa´ssemos a seguinte regra para o produto:
〈(x1,y1),(x2,y2)〉 = x1x2+(cosα)x1y2+(cosα)x2y1+ y1y2, pois
〈v,v〉 = 〈(x,y),(x,y)〉= x2+(cosα)xy+(cosα)yx+ y2 = ‖v‖2
Portanto, novamente a noc¸a˜o de distaˆncia poderia ser dada a partir de um produto interno de
vetores.
Concluı´mos destes exemplos, que o processo usado para se determinar ”medidas”num espac¸o
pode variar e, em cada caso, precisamos ser bem claros sobre qual produto interno estamos trabal-
hando.
Definic¸a˜o 7.1 Seja V um espac¸o vetorial real. Um produto interno sobre V e´ uma func¸a˜o f :V ×V →
R que a cada par de vetores u e v, associa um nu´mero real, denotado por 〈u,v〉, e que satisfaz as
seguintes propriedades:
a. 〈v,v〉> 0 e 〈v,v〉= 0⇔ v= 0
b. 〈u,v〉= 〈v,u〉
c. 〈u+ v,w〉= 〈u,w〉+ 〈v,w〉
Cap´ıtulo 7. PRODUTO INTERNO 167
d. 〈ku,v〉= k 〈u,v〉 , ∀ k ∈ R
Exemplo 173 V = R2; f ((x1,y1),(x2,y2)) = 2x1x2+5y1y2 e´ um produto interno sobre o R2.
Para mostrar a veracidade da afirmac¸a˜o devemos provar as propriedades da definic¸a˜o de produto
Interno. Sejam, enta˜o, u= (x1,y1), v= (x2,y2) e w= (x3,y3) e k ∈ R:
a. 〈u,u〉 = 〈(x1,y1),(x1,y1)〉 = 2x21+ 5y21 > 0 e 〈u,u〉 = 0⇒ 2x21+ 5y21 = 0⇔ x1 = 0 ou y1 = 0⇔
u= (0,0).
b. 〈u,v〉= 〈(x1,y1),(x2,y2)〉= 2x1x2+5y1y2 = 2x2x1+5y2y1 = 〈v,u〉
c. 〈u+ v,w〉= 〈(x1+ x2,y1+ y2),(x3,y3)〉= 2(x1+ x2)x3+5(y1+ y2)y3
= (2x1x3+5y1y3)+(2x2x3+5y2y3)
= 〈u,w〉+ 〈v,w〉
d. 〈ku,v〉= 〈(kx1,ky1),(x2,y2)〉= 2kx1x2+5ky1y2 = k(2x1x2+5y1y2) = k 〈u,v〉
Exemplo 174 Verifique que 〈u,v〉 = 3x1y1− x1y2− x2y1+ x2y2 onde u = (x1,x2), v = (y1,y2) e´ um
produto interno em R2.
Para mostrar a veracidade da afirmac¸a˜o devemos provar as propriedades da definic¸a˜o de produto
Interno. Sejam, enta˜o, u= (x1,x2), v= (y1,y2) e w= (z1,z2) e k ∈ R :
a. 〈u,u〉= 〈(x1,x2),(x1,x2)〉= 3x21−2x1x2+x22 =
(
2x21
)
+
(
x21−2x1x2+ x22
)
=
(
2x21
)
+(x1− x2)2> 0
. Enta˜o 〈u,u〉= 0 se e somente se x1 = 0, x2 = 0, isto e´, u= (0,0).
b. 〈u,v〉= 〈(x1,x2),(y1,y2)〉= 3x1y1− x1y2− x2y1+ x2y2 = 3y1x1− y2x1− y1x2+ y2x2 = 〈v,u〉
c. 〈u+ v,w〉= 〈(x1+ y1,x2+ y2),(z1,z2)〉= 3(x1+ y1)z1− (x1+ y1)z2− (x2+ y2)z1+(x2+ y2)z2
= (3x1z1− x1z2− x2z1+ x2z2)+(3y1z1− y1z2− y2z1+ y2z2)
= 〈u,w〉+ 〈v,w〉
d. 〈ku,v〉= 〈(kx1,kx2),(y1,y2)〉= 3kx1y1− kx1y2− kx2y1+ kx2y2
= k(3x1y1− x1y2− x2y1+ x2y2) = k 〈u,v〉
Exemplo 175 Verifique que 〈u,v〉= x1x2+y21y22 onde u=(x1,y1) e v=(x2,y2), na˜o define um produto
interno no R2.
Observe que a terceira propriedade da definic¸a˜o de Produto Interno falha, vejamos:
168 Cap´ıtulo 7. PRODUTO INTERNO
Sejam, enta˜o, u= (x1,y1), v= (x2,y2) e w= (x3,y3).
〈u+ v,w〉 = (x1 + x2)x3 + (y1 + y2)2y23 =
(
x1x3+ y21y
2
3
)
+
(
x2x3+ y22y
2
3
)
+ 2y1y2y23 = 〈u,w〉+〈v,w〉+2y1y2y23
Portanto, 〈u+ v,w〉 6= 〈u,w〉+ 〈v,w〉 .
Exemplo 176 Sendo u= (x1,x2) e v= (y1,y2) vetores gene´ricos doR2, definamos 〈u,v〉= x1y1a2 +
x2y2
b2
com a,b ∈ R fixos e na˜o nulos. Provar que 〈u,v〉 define um produto interno sobre R2.
Definic¸a˜o 7.2 Em Rn, o produto interno usual (ou escalar) e´ definido por:
〈(x1,x2, ...,xn),(y1,y2, ...,yn)〉= x1y1+ x2y2+ ...+ xnyn.
Observac¸a˜o 23 Quando na˜o ha´ refereˆncia sobre o produto interno definido num espac¸o vetorial V ,
entendemos que sobre ele fica definido o produto interno usual.
Exemplo 177 Seja V = P2, p = a0+ a1x+ a2x2 e q = b0 + b1x+ b2x2 vetores quaisquer de P2. A
fo´rmula
〈p,q〉= a0b0+a1b1+a2b2
define um produto interno em P2.
Note que
〈p,q〉= a1b1+a2b2
na˜o define, sobre V, um produto interno, pois falha a propriedade a) da definic¸a˜o de produto intermo.
Veja que existem polinoˆmios p∈V tais que 〈p, p〉= 0, sem que p= 0. Por exemplo, p= 2+0x+0x2.
Exemplo 178 Seja V o espac¸o da func¸o˜es contı´nuas no intervalo [a,b]. Se f e g pertencem aV , enta˜o
〈 f ,g〉=
∫ b
a
f (x)g(x)dx
define sobre V um produto interno.
Como exercı´cio, mostre que as quatro propriedades do produto interno sa˜o va´lidas para este caso.
Definic¸a˜o 7.3 Se A e B sa˜o duas matrizes quaisquer de V =M2 enta˜o, definimos
〈A,B〉= tr(ATB) (7.1)
7.1. Normas, Distaˆncias e Aˆngulos em Espac¸os com Produto Interno 169
onde tr e´ o trac¸o de uma matriz quadrada definido por
tr(A) =
n
Σaii
i=1
Exemplo 179 Considere as matrizes A =
1 2
3 4
 e B =
−1 0
3 2
 . Enta˜o, 〈A,B〉 = tr(ATB) =
tr

1 2
3 4
T ×
−1 0
3 2

= tr
 8 6
10 8
= 16.
7.1 Normas, Distaˆncias e Aˆngulos em Espac¸os com Produto In-
terno
Definic¸a˜o 7.4 Se V e´ um espac¸o com produto interno, enta˜o a norma (ou comprimento) de um vetor
v ∈V e´ dada por
‖v‖=
√
〈v,v〉
A distaˆncia entre dois pontos (vetores) u e v e´ dada por
d(u,v) = ‖u− v‖
Definic¸a˜o 7.5 Se ‖v‖ = 1, isto e´, 〈v,v〉 = 1, dizemos que o vetor v esta´ normalizado, o que significa
que seu comprimento e´ igual a 1 unidade.
Definic¸a˜o 7.6 Todo vetor na˜o-nulo v ∈V pode ser normalizado, fazendo:
u=
v
‖v‖ .
Exemplo 180 Considerando v = (1,−2,3) e na˜o havendo refereˆncia a algum produto interno em
R3, temos:
‖v‖= ‖(1,−2,3)‖=
√
〈(1,−2,3),(1,−2,3)〉=√1+4+9=
√
14,
ou seja, o comprimento de v, em relac¸a˜o ao produto interno usual, e´
√
14 unidades.
Exemplo 181 A norma do vetor v= (3,−1) em relac¸a˜o ao produto interno definido no exemplo 173,
e´:
170 7.1. Normas, Distaˆncias e Aˆngulos em Espac¸os com Produto Interno
‖(3,−1)‖=√〈(3,−1),(3,−1)〉=√2.3.3+5.(−1).(−1) =√23,
e, em relac¸a˜o ao produto interno usual e´:
‖(3,−1)‖=
√
32+(−1)2 =√10
Para normalizar o vetor (3,−1), em relac¸a˜o ao primeiro produto (exemplo 173), fazemos
u=
v
‖v‖ =
(3,−1)√
23
=
(
3
√
23
23 ,−
√
23
23
)
Verifique que o comprimento de u e´ 1.
Observac¸a˜o 24 a) Se v ∈ R2, enta˜o o conjunto dos pontos que satisfazem ‖v‖ = 1 pertencem a um
cı´rculo de raio 1 centrado na origem.
b) Se v ∈R3, enta˜o o conjunto dos pontos que satisfazem ‖v‖= 1 pertencem a uma esfera de raio
1 centrada na origem.
Exemplo 182 Sejam u e v vetores de um espac¸o euclidiano tais que ‖v‖= 1, ‖u‖= 1 e ‖u− v‖= 2.
Determinar 〈u,v〉.
Teorema 7.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Se u e v sa˜o vetores de um espac¸o com produto
interno real, enta˜o
|〈u,v〉| ≤ ‖u‖‖v‖
Definic¸a˜o 7.7 - Aˆngulo entre dois vetores: Da desigualdade de Cauchy-Schwarz, tem-se
|〈u,v〉| ≤ ‖u‖‖v‖ .
Elevando ao quadrado ambos os lados
|〈u,v〉|2 ≤ ‖u‖2 ‖v‖2
Agora, dividindo ambos os lados por ‖u‖2 ‖v‖2 , obte´m-se
( 〈u,v〉
‖u‖‖v‖
)2
≤ 1
ou, equivalentemente,
−1≤ 〈u,v〉‖u‖‖v‖ ≤ 1.
Como 0≤ θ ≤ pi, enta˜o −1≤ cosθ ≤ 1, daı´,
cosθ =
〈u,v〉
‖u‖‖v‖ e 0≤ θ ≤ pi
7.2. Ortogonalidade 171
Exemplo 183 Achar o aˆngulo entre os seguintes pares de vetores do R3:
a) u= (1,1,1) e v= (1/2,−1,1/2)
b) u= (1,−1,0) e v= (2,−1,2)
7.2 Ortogonalidade
Definic¸a˜o 7.8 Seja V um espac¸o com produto interno. Os vetores u, v ∈ V dizem-se mutuamente
ortogonais, e u e´ ortogonal a v, se 〈u,v〉= 0.
Note que u e v sa˜o ortogonais, se e somente se, cosθ = 0, onde θ e´ o aˆngulo entre u e v, e isto e´
verdade se e somente se u e v sa˜o ”perpendiculares”, isto e´, θ = 90◦.
Observac¸a˜o 25 A ortogonalidade depende do produto interno, isto e´, dois vetores podem ser ortog-
onais em relac¸a˜o a um produto interno mas na˜o em relac¸a˜o a outro.
Exemplo 184 As matrizes A=
0 1
1 1
 e B=
3 0
0 0
 sa˜o ortogonais, pois
〈A,B〉= tr(ATB) = tr
0 3
0 0
= 0
Exemplo 185 Seja 〈p,q〉 = ∫ 1−1 p(x)q(x)dx um produto interno em P2. Se p = x2 e q = x3 enta˜o〈
x2,x3
〉
=
∫ 1
−1 x5dx= 0. Portanto, os vetores p= x2 e q= x3 sa˜o ortogonais em P2.
Exemplo 186 Seja os vetores vetores u=(1,1,1) e v=(1/2,−1,1/2) com o produto interno definido
abaixo, determine se sa˜o ou na˜o ortogonais.
a) f ((x1,y1,z1),(x2,y2,z2)) = 2x1x2+5y1y2+4z1z2
b) Com relac¸a˜o ao produto interno usual.
7.2.1 Conjunto Ortogonal de Vetores
Seja V um espac¸o vetorial com produto interno definido.
Diz-se que um conjunto de vetores {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ V e´ ortogonal se dois vetores quaisquer,
distintos, sa˜o ortogonais, isto e´,
〈
vi,v j
〉
= 0 para i 6= j.
Teorema 7.2 Se A= {v1,v2, . . . ,vn} e´ um conjunto ortogonal de vetores na˜o-nulos de um espac¸o com
produto interno, enta˜o A e´ linearmente independente.
172 7.2. Ortogonalidade
Proof. Temos que mostrar que a equac¸a˜o
a1v1+a2v2+ . . .+anvn = 0
tem apenas a soluc¸a˜o nula.
Para isso, fac¸amos o produto interno de ambos os membros da igualdade por vi :
〈a1v1+a2v2+ . . .+anvn,vi〉 = 〈0,vi〉
a1 〈v1,vi〉+a2 〈v2,vi〉+ . . .+an 〈vn,vi〉 = 0
Como A e´ ortogonal,
〈
vi,v j
〉
= 0 para i 6= j e 〈vi,vi〉 6= 0, pois vi 6= 0. Daı´, resulta a equac¸a˜o
ai 〈vi,vi〉= 0⇒ ai = 0 para i= 1,2, . . . ,n.
Logo, A= {v1,v2, . . . ,vn} e´ LI. �
7.2.2 Base ortogonal
Diz-se que uma base {v1,v2, . . . ,vn} de V e´ ortogonal se os seus vetores sa˜o dois a dois ortogonais.
Observac¸a˜o 26 Se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores na˜o-nulos e dois a dois ortogonais,
constitui uma base ortogonal para V.
Exercı´cio 7.1 Mostre que o conjunto {(2,−1,3),(−3,0,2),(2,13,3)} e´ uma base ortogonal para o
R3.
7.2.3 Base ortonormal
Uma base β = {v1,v2, . . . ,vn} de um espac¸o vetorial V e´ ortonormal se β e´ ortogonal e todos os seus
vetores tem norma 1, isto e´, 〈
vi,v j
〉
=
 0, i 6= j1, i= j
Exercı´cio 7.2 A partir do conjunto {(1,2,−3),(3,0,1),(1,−5,−3)} obtenha uma base ortonormal
para o R3.
7.2. Ortogonalidade 173
7.2.4 Coordenadas em relac¸a˜o a Bases Ortonormais
Teorema 7.3 Se β = {v1,v2, . . . ,vn} e´ uma base ortonormal de um espac¸o com produto interno V e
v ∈V, enta˜o
v= 〈v,v1〉v1+ 〈v,v2〉v2+ . . .+ 〈v,vn〉vn
Proof. Como β = {v1,v2, . . . ,vn} e´ uma base, enta˜o ∀ v ∈V podemos escrever
v= a1v1+a2v2+ . . .+anvn
Temos que mostrar que 〈v,vi〉= ai para i= 1,2, . . . ,n.
Na equac¸a˜o acima , aplicando o produto interno em ambos os lados com vi :
〈v,vi〉= a1 〈v1,vi〉+a2 〈v2,vi〉+ . . .+an 〈vn,vi〉
Como {v1,v2, . . . ,vn} e´ base ortonormal,
〈
vi,v j
〉
= 0 para i 6= j e 〈vi,vi〉 = 1. Logo 〈v,vi〉 = ai e
portanto, [v]β =

〈v1,v〉
〈v2,v〉
...
〈vn,v〉
 e´ o vetor de coordenadas de v em relac¸a˜o a base β . �
Exemplo 187 Encontre as coordenadas do vetor v = (1,1,1) em relac¸a˜o a` base β ={
(0,1,0) ,
(−45 ,0, 35) ,(35 ,0, 45)} .
Note que β e´ uma base ortonormal (mostre!), portanto podemos usar o teorema 7.3 para encontrar
[v]β .
(1,1,1) = 〈(1,1,1),(0,1,0)〉(0,1,0)+
〈
(1,1,1),
(
−4
5
,0,
3
5
)〉(
−4
5
,0,
3
5
)
+
+
〈
(1,1,1),
(
3
5
,0,
4
5
)〉(
3
5,0,
4
5
)
(1,1,1) = (0,1,0)− 1
5
(
−4
5
,0,
3
5
)
+
7
5
(
3
5
,0,
4
5
)
[v]β =

1
−15
7
5

174 7.3. Complementos Ortogonais
7.2.5 Coordenadas em relac¸a˜o a Bases Ortogonais
Se β = {v1,v2, . . . ,vn} e´ base ortogonal de um espac¸o com produto internoV,enta˜o a normalizac¸a˜o de
cada um desses vetores produz a base ortonormal β ′ =
{
v1
‖v1‖ ,
v2
‖v2‖ , . . . ,
vn
‖vn‖
}
.
Assim, se v ∈V , segue do teorema 7.3 que
v=
〈
v,
v1
‖v1‖
〉
v1
‖v1‖ +
〈
v,
v2
‖v2‖
〉
v2
‖v2‖ + . . .+
〈
v,
vn
‖vn‖
〉
vn
‖vn‖
ou,
u=
〈v,v1〉
‖v1‖2
v1+
〈v,v2〉
‖v2‖2
v2+ . . .+
〈v,vn〉
‖vn‖2
vn
Exercı´cio 7.3 Expresse o vetor
(
13, 12 ,4,
3
2
)
como combinac¸a˜o linear dos vetores v1 = (1,−2,3,−4) ,
v2 = (2,1,−4,−3) , v3 = (−3,4,1,−2) e v4 = (4,3,2,1).
7.3 Complementos Ortogonais
SejaW um subespac¸o de um espac¸o vetorial V com produto interno. Se um vetor v ∈V e´ ortogonal a
todos os vetores deW enta˜o dizemos que v e´ ortogonal aW.
O conjunto de todos os vetores de V que sa˜o ortogonais aW e´ chamado de complemento ortog-
onal deW.
Notac¸a˜o: O complemento ortogonal deW e´ denotado porW⊥ .
Exemplo 188 Seja V = R4 e W um subespac¸o do R4. Seja β = {(1,1,0,1),(0,−1,1,1)} uma base
para W. Encontre uma base para W⊥.
Seja v= (x,y,z, t) ∈W⊥, enta˜o 〈(x,y,z, t),(1,1,0,1)〉= 0〈(x,y,z, t),(0,−1,1,1)〉= 0
Daı´,  x+ y+ t = 0−y+ z+ t = 0 ⇒
 x=−z−2ty= z+ t
Logo, v= (−z−2t,z+ t,z, t) = z(−1,1,1,0)+ t(−2,1,0,1).
Como v ∈W⊥, segue que W⊥ = [(−1,1,1,0),(−2,1,0,1)] e como este conjunto e´ LI (pois os
vetores na˜o sa˜o mu´ltiplos), tem-se que β = {(−1,1,1,0),(−2,1,0,1)} e´ uma base para W⊥.
7.4. Projec¸o˜es Ortogonais 175
Exemplo 189 Seja V = R5 e W um subespac¸o do R5. Seja β =
{(1,−3,5,0,5),(−1,1,2,−2,3),(0,−1,4,−1,5)} uma base para W. Encontre uma base para
W⊥.
Propriedades 7.1 Se W e´ um subespac¸o de um espac¸o com produto interno V, enta˜o:
a. W⊥ e´ um subespac¸o de V.
b. W ∩W⊥ =
{−→
0
}
.
c.
(
W⊥
)⊥
=W.
Exercı´cio 7.4 Fac¸a como exercı´cio a demonstrac¸a˜o das treˆs propriedades do complemento ortogo-
nal.
7.4 Projec¸o˜es Ortogonais
Vamos agora desenvolver alguns resultados que sera˜o u´teis para construir bases ortogonais e ortonor-
mais de espac¸os com produto interno.
E´ geometricamente evidente em R2 e R3 que se W e´ uma reta ou um plano pela origem, enta˜o
cada vetor u do espac¸o pode ser escrito como uma soma
u= w1+w2
onde w1 esta´ emW e w2 e´ perpendicular aW.
Figura 7.3: - (7.4)
Teorema 7.4 (Teorema da Decomposic¸a˜o Ortogonal) Se W e´ um subespac¸o de um espac¸o com pro-
duto interno V , enta˜o todo u ∈V pode ser expresso por
u= w1+w2
tal que w1 ∈W e w2 ∈W⊥.
O vetor w1 do teorema precedente e´ chamado projec¸a˜o ortogonal de u em W e e´ denotado por
pro juW . O vetor w2 e´ chamado componente de u ortogonal a W e e´ denotada por pro j
u
W⊥. Daı´,
podemos escrever
u= pro juW + pro j
u
W⊥.
176 7.5. Encontrando Bases Ortogonais e Ortonormais
Teorema 7.5 Seja V um espac¸o vetorial com produto interno definido e seja W um subespac¸o de V.
a. Se β = {v1,v2, . . . ,vn} e´ uma base ortonormal de W e u ∈V, enta˜o
pro juW = 〈u,v1〉v1+ 〈u,v2〉v2+ . . .+ 〈u,vn〉vn
b. Se β = {v1,v2, . . . ,vn} e´ uma base ortogonal de W e v ∈V, enta˜o
pro juW =
〈u,v1〉
‖v1‖2
v1+
〈u,v2〉
‖v2‖2
v2+ . . .+
〈u,vn〉
‖vn‖2
vn
Exemplo 190 SejaV =R3 eW =
[
(0,1,0),
(−45 ,0, 35)] um subespac¸o deV.Obtenha pro juW e pro juW⊥
para u= (1,1,1).
Note que β =
{
(0,1,0),
(−45 ,0, 35)} e´ base ortonormal para W.Enta˜o:
pro juW = 〈u,v1〉v1+ 〈u,v2〉v2
= 1(0,1,0)− 1
5
(
−4
5
,0,
3
5
)
=
(
4
25
,1,− 3
25
)
O componente de u que e´ ortogonal a W e´
pro juW⊥ = u− pro juW = (1,1,1)−
(
4
25
,1,− 3
25
)
=
(
21
25
,0,
28
25
)
Exemplo 191 Seja w um plano em R3 de equac¸a˜o x− y+ 2z = 0 e seja v =

3
−1
2
. Encontre a
projec¸a˜o ortogonal de v sobre w e a componente ortognonal de v em relac¸a˜o a w.
7.5 Encontrando Bases Ortogonais e Ortonormais
7.5.1 Processo de Ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt
SejaV um espac¸o vetorial com produto interno definido e β = {u1,u2, . . . ,un} uma base deV . Atrave´s
do processo que descreveremos abaixo, obteremos uma base ortogonal β ′ = {v1,v2, . . . ,vn} para V.
Passo 1. Fixe v1 = u1.
7.5. Encontrando Bases Ortogonais e Ortonormais 177
Passo 2. Obter v2 de forma que v2 seja ortogonal a v1 tomando a componente de u2 que e´ ortogonal
aW1 = [v1]
v2 = u2− pro ju2W1 = u2−
〈u2,v1〉
‖v1‖2
v1
Figura 7.4: - (??)
Passo 3. Obter v3 de forma que seja ortogonal a ambos v1 e v2, tomando a componente de u3 que e´
ortogonal aW2 = [v1,v2]
v3 = u3− pro ju3W2 = u3−
〈u3,v1〉
‖v1‖2
v1− 〈u3,v2〉‖v2‖2
v2
Figura 7.5: - (??)
Procedendo desta forma, iremos obter, depois de n passos, a base ortogonal β ′ = {v1,v2, . . . ,vn}.
Feito isso, para obter uma base ortonormal de vetores para V, α = {q1,q2, . . . ,qn}, basta normalizar
os vetores v1,v2, . . . ,vn.
Exemplo 192 Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar os vetores de base u1 =
(1,0,−1,0), u2 = (0,1,−1,0) e u3 = (0,0,2,1) em uma base ortonormal para um subespac¸o W
do R4.
Note que:
〈u1,u2〉 = 1
〈u1,u3〉 = −2
〈u2,u3〉 = −2
Logo os vetores acima na˜o formam uma base ortogonal, portanto temos que usar o processo
de Gram-Schmidt para transformar em uma base ortogonal e em seguida, normalizar estes vetores,
obtendo assim a base ortonormal procurada.
Passo 1. Fixe v1 = u1 = (1,0,−1,0)
Passo 2. v2 = u2− pro ju2W1 = u2−
〈u2,v1〉
‖v1‖2
v1 = (0,1,−1,0)− 12(1,0,−1,0) =
(
−1
2
,1,−1
2
,0
)
178 7.6. Fatorac¸a˜o QR
Passo 3. v3 = u3− pro ju3W2 = u3−
〈u3,v1〉
‖v1‖2
v1− 〈u3,v2〉‖v2‖2
v2 =
= (0,0,2,1)+(1,0,−1,0)+ 23
(
−1
2
,1,−1
2
,0
)
=
(
2
3
,
2
3
,
2
3
,1
)
Logo, β ′ =
{
(1,0,−1,0),
(
−1
2
,1,−1
2
,0
)
,
(
2
3
,
2
3
,
2
3
,1
)}
e´ base ortogonal para R4. Normalize-
mos estes vetores para obter a base ortonormal α = {q1,q2,q3} :
q1 =
v1
‖v1‖ =
(1,0,−1,0)√
2
=
(
1√
2
,0,− 1√
2
,0
)
q2 =
v2
‖v2‖ =
√
2√
3
(
−1
2
,1,−1
2
,0
)
=
(
−
√
6
6
,
√
6
3
,−
√
6
6
,0
)
q3 =
v3
‖v3‖ =
3√
21
(
2
3
,
2
3
,
2
3
,1
)
=
(
2√
21
,
2√
21
,
2√
21
,
3√
21
)
Exemplo 193 Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar os vetores de base u1 =
(1,−1,−1,1), u2 = (2,1,0,1) e u3 = (2,2,1,2) em uma base ortonormal para um subespac¸o W
do R4.
7.6 Fatorac¸a˜o QR
Se A e´ uma matriz m× n (m > n) com colunas linearmente independentes, aplicar o Processo de
Gram-Schmidt a essas colunas implica uma fatorac¸a˜o muito u´til da matriz A em um produto de uma
matriz Q (com vetores coluna ortonormais) por uma matriz triangular superior R. Essa e´ a fatorac¸a˜o
QR.
Nos u´ltimos anos a fatorac¸a˜o QR tem assumido importaˆncia crescente como fundamento
matema´tico de uma grande variedade de algoritmos nume´ricos pra´ticos, incluindo algoritmos larga-
mente usados para computar autovalores de matrizes grandes.
Para ver como surge a fatorac¸a˜o QR, considere u1,u2, . . . ,un como os vetores-coluna de A e
q1,q2, . . . ,qn como os vetores ortonormais obtidos pela aplicac¸a˜o do Processo de Gram-Schmidt a`
matriz A com normalizac¸o˜es; assim,
A= [u1| u2| . . . | un] e Q= [q1 | q2| . . . | qn]
7.6. Fatorac¸a˜o QR 179
Os vetores u1,u2, . . . ,un podem ser escitos em termos dos vetores q1,q2, . . . ,qn como
u1 = 〈u1,q1〉q1+ 〈u1,q2〉q2+ . . .+ 〈u1,qn〉qn
u2 = 〈u2,q1〉q1+ 〈u2,q2〉q2+ . . .+ 〈u2,qn〉qn
...
un = 〈un,q1〉q1+ 〈un,q2〉q2+ . . .+ 〈un,qn〉qn
Na forma matricial, tem-se:
[u1| u2| . . . | un] = [q1 | q2| . .. | qn]

〈u1,q1〉 〈u2,q1〉 . . . 〈un,q1〉
〈u1,q2〉 〈u2,q2〉 . . . 〈un,q2〉
...
...
...
...
〈u1,qn〉 〈u2,qn〉 . . . 〈un,qn〉

ou, mais concisamente, por
A= QR
No entanto, e´ uma propriedade de processo de Gram-Schmidt que, para j > 2, o vetor q j e´ ortog-
onal a u1,u2, . . . ,u j−1; assim, todas as entradas abaixo da diagonal principal de R sa˜o nulas,
R=

〈u1,q1〉 〈u2,q1〉 . . . 〈un,q1〉
0 〈u2,q2〉 . . . 〈un,q2〉
...
...
...
...
0 0 . . . 〈un,qn〉

Resumindo, temos o seguinte teorema:
Teorema 7.6 Se A e´ uma matriz m×n (m> n) com colunas linearmente independentes, enta˜o A pode
ser fatorada como
A= QR
onde Q e´ uma matriz m× n com colunas ortonormais e R e´ uma matriz n× n triangular superior
invertı´vel.
Exemplo 194 Encontre a decomposic¸a˜o QR de A=

1 2 2
−1 1 2
−1 0 1
1 1 2
.
180 7.6. Fatorac¸a˜o QR
Os vetores coluna de A sa˜o u1 =

1
−1
−1
1
 , u2 =

2
1
0
1
 e u3 =

2
2
1
2
.
O processo de Gram-Schmidt com normalizac¸a˜o subsequente aplicado a estes vetores-coluna
produz os vetores ortonormais q1 =

1
2
−12
−12
1
2
 , q2 =

3
√
5
10
3
√
5
10√
5
10√
5
10
 , q3 =

−
√
6
6
0
√
6
6√
6
3
 de modo que

1 2 2
−1 1 2
−1 0 1
1 1 2

A
=

1
2
3
√
5
10 −
√
6
6
−12 3
√
5
10 0
−12
√
5
10
√
6
6
1
2
√
5
10
√
6
3

Q

2 1 12
0
√
5 3
√
5
2
0 0
√
6
2

R
.
7.6.1 Aplicac¸a˜o da fatorac¸a˜o QR
Se A e´ uma matriz m×n de posto n, enta˜o a soluc¸a˜o para o sistema linear AX = B e´ obtida da seguinte
forma:
A equac¸a˜o AX = B pode ser escrita na forma
QRX = B
Multiplicando ambos os lados (a` esquerda) da equac¸a˜o por QT , obtemos
QTQRX = QTB
Como Q e´ ortogonal, QTQ= I, enta˜o
RX = QTB
Como R e´ inversı´vel, tem-se
X = R−1QTB
7.7. Soluc¸a˜o de M´ınimos Quadrados de Sistemas Lineares 181
Exemplo 195 Resolva o sistema

1 2 2
−1 1 2
−1 0 1
1 1 2


x
y
z
=

−1
1
1
−2

Como a matriz dos coeficientes e´ a mesma do exemplo anterior, diretamente temos que:
X = R−1QTB=

1
2 − 110
√
5 16
√
6
0 15
√
5 −12
√
6
0 0 13
√
6


1
2 −12 −12 12
3
√
5
10
3
√
5
10
√
5
10
√
5
10
−
√
6
6 0
√
6
6
√
6
3


−1
1
1
−2
=

−2315
9
10
−23

7.7 Soluc¸a˜o de Mı´nimos Quadrados de Sistemas Lineares
A resoluc¸a˜o de sistemas inconsistentes de equac¸o˜es lineares sa˜o importantes em aplicac¸o˜es fı´sicas e
outras. E´ uma situac¸a˜o comum que algum problema fı´sico leve a um sistema Ax = b que deveria ser
consistente em teoria, mas que na˜o e´ porque ”erros de medida”nas entradas de A e de b pertubam
o sistema suficientemente a ponto de criar inconsisteˆncia. Em tais situac¸o˜es procuramos um valor
de x que chegue ”ta˜o perto quanto possı´vel”de ser uma soluc¸a˜o, no sentido que minimiza o valor
de ‖Ax− b‖ em relac¸a˜o ao produto interno euclidiano. A quantidade ‖Ax− b‖ pode ser vista como
uma medida do ”erro”que resulta por considerar x uma soluc¸a˜o aproximada do sistema Ax = b. Se
o sistema e´ consistente e x e´ uma soluc¸a˜o exata, enta˜o o erro e´ zero, pois ‖Ax− b‖ = 0. Em geral,
quanto maior o valor de ‖Ax−b‖, mais pobre e´ a aproximac¸a˜o de x de uma soluc¸a˜o do sistema.
O problema dos Mı´nimos Quadrados consiste em: Dado um sistema Ax = b de m equac¸o˜es em
n varia´veis encontre, se possı´vel, um vetor x que minimiza ‖Ax− b‖ em relac¸a˜o ao produto interno
euclidiano de Rm. Um tal vetor e´ chamado uma soluc¸a˜o de mı´nimos quadrados de Ax= b.
Teorema 7.7 Para qualquer sistema linear Ax= b, o sistema normal associado
ATAx= ATb
e´ consistente e todas soluc¸o˜es do sistema normal sa˜o soluc¸o˜es de mı´nimos quadrados de Ax = b.
Ale´m disso, se W e´ o espac¸o-coluna de A e x e´ qualquer soluc¸a˜o de mı´nimos quadrados de Ax = b,
enta˜o a projec¸a˜o ortogonal de b e, W e´
pro jbw = Ax
Teorema 7.8 Se A e´ uma matriz n×n, enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes.
a) Os vetores-coluna de A sa˜o linearmente independentes.
182 7.7. Soluc¸a˜o de M´ınimos Quadrados de Sistemas Lineares
b) ATA e´ invertı´vel.
Teorema 7.9 Se A e´ uma matriz m× n com vetores-coluna linearmente independentes, enta˜o para
cada matriz b de tamanho n×1, o sistema linear Ax= b tem uma u´nica soluc¸a˜o de mı´nimos quadra-
dos. Esta soluc¸a˜o e´ dada por
x= (ATA)−1ATb
Ale´m disto, se W e´ o espac¸o-coluna de A, enta˜o a projec¸a˜o ortogonal de b emW e´
pro jbw = Ax= A(A
TA)−1ATb
Exemplo 196 Encontre a soluc¸a˜o de mı´nimos quadrados do sistema linar Ax = b dado por
x1− x2 = 4
3x1+2x2 = 1
−2x1+4x2 = 3
e encontre a projec¸a˜o ortogonal de b no espac¸o-coluna de A
Exemplo 197 Encontre a projec¸a˜o ortogonal do vetor u= (−3,−3,8,9) no subespac¸o de R4 gerado
pelos vetores u1 = (3,1,0,1), u2 = (1,2,1,1), u3 = (−1,0,2,−1).
Vamos nos ater ao problema de achar uma curva que ”melhor ajuste”a um conjunto de pontos
de dados. Considere (1,2), (2,2) e (3,4) como pontos que surgiram de medidas feitas durante al-
gum experimento. Considere tambe´m que temos razo˜es para acreditar que os valores de x e y esta˜o
relacionados por uma func¸a˜o linear - isto e´, esperamos que os pontos estejam sobre alguma linha
com equac¸a˜o y = a+bx. Se nossas medidas forem precisas, todos os treˆs pontos va˜o satisfazer essa
equac¸a˜o, e teremos
2= a+b.1 2= a+b.2 4= a+b.3
Esse e´ um sistema de treˆs equac¸o˜es lineares com duas varia´veis:
a+b= 2
a+2b= 2
a+3b= 4
ou

1 1
1 2
1 3

a
b
=

2
2
4

Esse sistema e´ impossı´vel (ja´ que os treˆs pontos na˜o esta˜o sobre uma reta). Enta˜o, vamos buscar uma
reta que esteja o ”mais pro´ximo possı´vel”de passar pelos nossos pontos.
Como visto no exemplo acima, podemos expressar esse problema em forma de matriz. Se os
7.7. Soluc¸a˜o de M´ınimos Quadrados de Sistemas Lineares 183
pontos dados estivessem de fato na reta y= a+bx, as n equac¸o˜es lineares
a+bx1 = y1
...
a+bxn = yn
seriam todas verdadeiras (isto e´, o sistema seria compatı´vel). Nosso interesse esta´ no casao em que os
pontos na˜o sa˜o colineares, no qual o sistema e´ indeterminado. Em forma matricial, temos
1 x1
1 x2
...
...
1 xn

a
b
=

y1
y2
...
yn

que esta´ na forma Ax= b, onde
A=

1 x1
1 x2
...
...
1 xn
 , x=
a
b
 , b=

y1
y2
...
yn

Podemos, assim, reescrever nosso problema em forma de matrizes do seguinte modo:
Definic¸a˜o 7.9 Se A e´ uma matriz m× n e b esta´ em Rm, uma soluc¸a˜o por mı´nimos quadrados de
Ax= b e´ um vetor x em Rn tal que
‖b−Ax‖ ≤ ‖b−Ax‖
para todo x em Rn.
Teorema 7.10 Seja A uma matriz m×n e seja b em Rm. Enta˜o Ax = b sempre tem pelo menos uma
soluc¸a˜o por mı´nimos quadrados x. Ale´m disso,
a) x e´ uma soluc¸a˜o por mı´nimos quadrados de Ax= b se, e somente se, x e´ uma solc¸a˜o da equac¸a˜o
normal ATAx= ATb.
b) A possui colunas linearmente independentes se, e somente se, ATA e´ invertı´vel. Nesse caso, a
soluc¸a˜o por mı´nimos quadrados de Ax= b e´ u´nica e e´ dada por
x= (ATA)−1ATb
184 7.8. Se´tima lista de exerc´ıcios
Exemplo 198 Encontre a reta de mı´nimos quadrados para os pontos (1,2), (2,2) e (3,4).
7.8 Se´tima lista de exercı´cios
Exercı´cio 7.5 Sejam −→u = (x1,x2) e −→v = (y1,y2). Verifique se temos um produto interno em R2 nos
seguintes casos:a) 〈−→u ,−→v 〉= 3x1y1+ x2y2
b) 〈−→u ,−→v 〉= 4x1y1+ x2y1+ x1y2+4x2y2
c) 〈−→u ,−→v 〉= x1y1−2x2y1−2x1y2+5x2y2
Exercı´cio 7.6 Sejam−→u =(x1,y1,z1) e−→v =(x2,y2,z2). Identifique os casos em que temos um produto
interno no R3. Nos casos que falham, identifique as propriedades que na˜o verificam.
a) 〈−→u ,−→v 〉= x1x2+ z1z2
b) 〈−→u ,−→v 〉= x1x2− y1y2+ z1z2
c) 〈−→u ,−→v 〉= x1y2z1+ y1x2z2
Exercı´cio 7.7 Sejam −→u = (x1,x2) e −→v = (y1,y2). A expressa˜o 〈−→u ,−→v 〉 = x1y1− x1y2− x2y1+2x2y2
define um produto interno em R2 ?
Exercı´cio 7.8 No espac¸o de todos os polinoˆmios de grau menor ou igual a 2, determine se 〈p,q〉 =
p(1)q(1) e´ um produto interno, e, em caso negativo, indique quais dos axiomas da definic¸a˜o de
produto interno sa˜o violados.
Exercı´cio 7.9 Utilize os produtos internos do exercı´cio 1 para calcular:
a) ‖u‖ com u= (−1,3)
b) d(u,v) com v= (3,5)
Exercı´cio 7.10 Considere V =M(2,2), com o produto interno usual. Determine a projec¸a˜o ortogo-
nal de
1 0
0 0
 sobre
1 1
1 1
.
Exercı´cio 7.11 Considere V = P2, com o produto interno usual. Qual e´ o menor aˆngulo entre p(t) =
1− t+√2t2 e q(t) = 1+√2t2?
Exercı´cio 7.12 Seja V um espac¸o vetorial com produto interno definido, e sejam u,v vetores ortogo-
nais de V, tais que ‖u‖ = 1 e ‖v‖ = 2. Mostre que d(u,v) =√5. Interprete este resultado geometri-
camente quando u,v ∈ R2.
7.8. Se´tima lista de exerc´ıcios 185
Exercı´cio 7.13 Seja V o espac¸o das func¸o˜es contı´nuas no intervalo [0,1]. Defina em V o seguinte
produto interno: 〈 f ,g〉= ∫ 10 f (x)g(x)dx. Calcule a d( f ,g) se f (x) = 1 e g(x) = x.
Exercı´cio 7.14 Seja V = R3. Seja W o subespac¸o do R3 dado pela equac¸a˜o x−2y−3z= 0. Deter-
mine W⊥ e a distaˆncia entre v= (1,0,−1) aos subespac¸os W eW⊥.
Exercı´cio 7.15 Seja T : R4→ R3 tal que [T ] =

1 2 −1 2
3 5 0 4
1 1 2 0
.
a) Determine uma base para o complemento ortogonal do N(T ).
b) Determine uma base para o complemento ortogonal da Im(T ).
Exercı´cio 7.16 Seja V = R3 e W =
[
(0,1,0),
(
4
5
,0,−3
5
)]
. Exprima w = (1,2,3) na forma w =
w1+w2, em que w1 ∈W e w2 ∈W⊥.
Exercı´cio 7.17 Seja V = R4 e W = [(−1,0,1,2),(0,1,0,1)]. Expresse w = (−1,2,6,0) na forma
w= w1+w2, em que w1 ∈W ew2 ∈W⊥.
Exercı´cio 7.18 Seja V =M(2,2). determine uma base para o complemento ortogonal do:
a) subespac¸o das matrizes diagonais
b) subespac¸o das matrizes sime´tricas.
Exercı´cio 7.19 A transformac¸a˜o T : R2 → R definida por T (−→v ) = 〈−→u ,−→v 〉 e´ linear? Se for, deter-
mine seu nu´ cleo e sua imagem.
Exercı´cio 7.20 Considere a base ortonormal α =
{(
1√
5
,0,
2√
5
)
,
(
− 2√
5
,0,
1√
5
)
,(0,1,0)
}
para
R3. Encontre [−→v ]β para −→v = (2,−3,1). (Na˜o resolva nenhum sistema linear.)
Exercı´cio 7.21 Suponha que S consiste dos seguintes vetores em R4: u1 = (1,1,0,−1), u2 =
(1,2,1,3), u3 = (1,1,−9,2) e u4 = (16,−13,1,3).
a) Mostre que S e´ ortogonal e e´ uma base de R4 .
b) Ache as coordenadas do vetor v=(1,0,2,3) em relac¸a˜o a` base S.(Na˜o resolva nenhum sistema
linear.)
Exercı´cio 7.22 Qual e´ a base ortonormal do R3 obtida pelo processo de Gram-Schmidt a partir da
base {(2,6,3),(−5,6,24),(9,−1,−4)}?
186 7.8. Se´tima lista de exerc´ıcios
Exercı´cio 7.23 Use o processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal para um
subespac¸o W de um espac¸o vetorial V, para cada um dos seguintes casos:
a) V = R4 tal que W = [(1,1,0,0),(2,−1,0,1),(3,−3,0,−2),(1,−2,0,−3)];
b) V = R3 tal que W = {(x,x+ y,y);x,y ∈ R};
c) V =M(3,1) tal que W e´ o conjunto soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo

x+ y− z= 0
2x+ y+3z= 0
x+2y−6z= 0
.
Exercı´cio 7.24 Seja V o espac¸o das func¸o˜es contı´nuas no intervalo [0,1]. Defina em V o seguinte
produto interno: 〈 f ,g〉= ∫ 10 f (x)g(x)dx. Aplique o algoritmo de Gram-Schmidt ao conjunto {1, t, t2}
para obter um conjunto ortonormal { f0, f1, f2}.
Exercı´cio 7.25 Seja V = P3, p = a0 + b0x+ c0x2 + d0x3 e q = a1 + b1x+ c1x2 + d1x3 e 〈p,q〉 =
a0a1+b0b1+ c0c1+d0d1 um produto interno em P3. Ache uma base ortonormal para o subespac¸o
W de P3 gerado pelos vetores−→v 1 = 1+x+x2+x3,−→v 2 = 1+x+2x2+4x3 e−→v 3 = 1+2x−4x2−3x3.
Exercı´cio 7.26 Seja 〈u,v〉 = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3 um produto interno em R3. Encontre as co-
ordenadas do vetor v =
(2
3 ,1,
2
3
)
em relac¸a˜o a` base ortonormal obtida a partir da base β =
{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}.
Exercı´cio 7.27 Seja U =

 a −a
−a a
 ;a ∈ R
 um subespac¸o vetorial de M2×2. Determine uma
base ortonormal de U⊥, usando o produto interno 〈A,B〉= tr(ATB).
Exercı´cio 7.28 Seja V = P2, com produto interno usual.
a) Determine uma base ortonormal para o subespac¸oW de P2 gerado por 4t+3t2 e por 12+ t+
7t2.
b) Determine a projec¸a˜o ortogonal de p(t) = t2 sobre W.
Exercı´cio 7.29 Encontre a projec¸a˜o ortogonal de v = (1,2,3) sobre o subespac¸o W gerados pelos
vetores u1 = (2,−2,1) e u2 = (−1,1,4).
Exercı´cio 7.30 Encontre a decomposic¸a˜o ortogonal de v = (4,−2,3) em relac¸a˜o a W =
[(1,2,1),(1,−1,1)].
Exercı´cio 7.31 Ache uma matriz ortogonal P cuja primeira linha e´ u1 =
(1
3 ,
2
3 ,
2
3
)
. Obs.: a matriz P
na˜o e´ u´nica.
7.8. Se´tima lista de exerc´ıcios 187
Exercı´cio 7.32 Encontre a fatorac¸a˜o QR da matriz A=

1 2 1
0 1 1
−1 0 1
1 0 −1
.
Exercı´cio 7.33 Utilize a fatorac¸a˜o QR para resolver o sistema AX =B onde A=

2 1
1 1
2 1
 e B=

12
6
18
.
Exercı´cio 7.34 Classifique cada afirmac¸a˜o como verdadeira ou falsa:
a) Todo conjunto linearmente independente em Rn e´ um conjunto ortogonal.
b) Se A e´ uma matriz quadrada, cujas colunas sa˜o ortonormais enta˜o A e´ inversı´vel e A−1 = AT .
c) Se W e´ um subespac¸o de um espac¸o com produto interno V enta˜o o vetor nulo pertence a W⊥.
d) Qualque matriz com determinante na˜o- nulo tem uma decomposic¸a˜o QR.
e) Se −→x e´ ortogonal a ambos −→u e −→v , enta˜o x e´ ortogonal a −→u −−→v .
f) Todo conjunto ortogonal e´ ortonormal.
g) Todo vetor pode ser normalizado.
Exercı´cio 7.35 No assunto Diagonalizac¸a˜o de Operadores, vimos que: ”Se A e´ a matriz canoˆnica
de um operador linear T e D a matriz de T na base β de autovetores, temos
D= P−1AP
onde P e´ a matriz cujas colunas sa˜o os autovetores de T . Dizemos que a matriz P diagonaliza A ou
que P e´ a matriz diagonalizadora”.
No caso de A ser uma matriz sime´trica, e portanto sempre diagonaliza´vel, podemos obter uma
base ortogonal de autovetores que, apo´s a normalizac¸a˜o, sera´ uma base ortonormal. A matriz, acima
citada, por ter suas colunas formadas por vetores ortonormais, e´ uma matriz ortogonal, ou seja, e´ tal
que P−1 = PT . A matriz D, nesse caso, e´ obtida pela relac¸a˜o
D= PTAP
e, dizemos que P diagonaliza A ortogonalmente.
Seja T : R3 → R3 a transformac¸a˜o linear definida por: T (x,y,z) = (2x+ y+ z,x+2y− z,x− y+
2z).Encontre uma matriz P que diagonalize ortogonalmente a matriz canoˆnica de T .
188 7.8. Se´tima lista de exerc´ıcios
Exercı´cio 7.36 Encontre a soluc¸a˜o de mı´nimos quadrados do sistema linear Ax = b e obtenha a
projec¸a˜o ortogonal de b no espac¸o-coluna de A.
a) A=

1 1
−1 1
−1 2
, b=

7
0
−7

b) A=

2 −2
1 1
3 1
, b=

2
−1
1

c) A=

1 0 −1
2 1 −2
1 1 0
1 1 −1
, b=

6
0
9
3

d) A=

2 0 −1
1 −2 2
2 −1 0
0 1 −1
, b=

0
6
0
6

Capı´tulo 8
APLICAC¸O˜ES
8.1 Aplicac¸o˜es da A´lgebra Linear na Engenharia Cartogra´fica
Esse trabalho tem como um de seus objetivos, dar uma noc¸a˜o da utilidade pra´tica dos assuntos vistos
no ciclo ba´sico, ale´m de permiti-los conhecer um pouco o trabalho em umadas engenharias estu-
dadas no Instituto, visando assim a multidisciplinalidade no curso de Engenharia. Trata-se do estudo
da aplicac¸a˜o de uma disciplina do curso ba´sico, a A´lgebra Linear, no ciclo profissional; no caso,
na Engenharia Cartogra´fica, onde ajustes e organizac¸a˜o de dados, obtidos seha por sate´lites (GPS),
seja por fotografias ou por qualquer outro meio, se fazem constantes no trabalho de um engenheiro
carto´grafo.
O engenheiro carto´grafo dispo˜e de um me´todo, o me´todo dos mı´nimos quadrados, para obter
informac¸o˜es relativas a paraˆmetros de correc¸a˜o e ajuste de dados obtidos em observac¸o˜es e pesquisas.
Para este me´todo os dados obtidos sa˜o organizados matricialmente, de forma que possam ser rela-
cionados com valores pre´-estabelecidos, tais como temperatura, latitude, longitude, altitude, entre
outros. Obtem-se, desta forma, um sistema de n equac¸o˜es lineares, onde esse n pode assumir valores
realmente grandes, resultando um sistema com milhares de equac¸o˜es. Sendo a resoluc¸a˜o de sistemas
de equac¸o˜es lineares um dos campos de estudo da A´lgebra Linear.
Na Geode´sia, por exemplo, as coordenadas de um ponto podem ser obtidas na resoluc¸a˜o de um
sistema obtido pela sujeic¸a˜o de dados obtidos de observac¸o˜es angulares ( tais como azimutes, aˆngulos
e/ou direc¸o˜es ) a um determinado modelo geome´trico.
As coordenadas tambe´m podem ser obtidas a partir da observac¸a˜o da diferenc¸a de fase da porta-
dora L1 e/ou L2, frequ¨eˆncias de operac¸o˜es do sate´lite de GPS.
A A´lgebra Linear tambe´m tem aplicac¸o˜es na Fotogrametria, para a transformac¸a˜o de coordenadas
( espac¸o imagem para espac¸o objeto, que seriam as coordenadas de terreno, obtidas atrave´s de um sis-
190 8.2. Aplicac¸o˜es de espac¸os vetoriais na computac¸a˜o gra´fica
tema deduzido atrave´s de observac¸o˜es nas fotografias e no terreno). Na digitalizac¸a˜o de documentos,
por exemplo, um mapa em papel, apo´s ser processado, da´ origem a um mapa digital armazenado na
forma vetorial ( lista de coordenadas ).
Tambe´m na a´rea de Sensoreamento Remoto, seja para o processamento digital de imagens, ou
na modificac¸a˜o ou no controle de imagens ( brilho constante e georeferenciamento ) ou ainda no
armazenamento da imagem na forma matricial; utilzam-se to´picos abordados pela A´lgebra Linear,
como sistemas de equac¸o˜es lineares e operac¸o˜es com matrizes.
8.2 Aplicac¸o˜es de espac¸os vetoriais na computac¸a˜o gra´fica
Autor: Luiz Antoˆnio Pereira
Trabalho publicado na revista MICRO SISTEMAS de Novembro de 1982
Introduc¸a˜o: Uma das aplicac¸o˜es interessantes em computadores e com vasta possibilidade de
emprego nas a´reas de engenharia civil, arquitetura, desenho industrial, mecaˆnica, etc e´ a representac¸a˜o
gra´fica, no plano, de elementos tridimensionais.
Dentre todos os tipos de perspectivas a que apresenta resultados gra´fico mais interessantess e´ a
perspectiva coˆnica, posto que que e´ a que simula com maior perfeic¸a˜o a visa˜o real do objeto. apre-
sentaremos, a seguir, o desenvolvimento da teoria matema´tica e veremos que a ferramenta pricipal e´
a teoria das tranformac¸o˜es lineares.
Caracterizando o Objeto: Inicialmente deve-se informar ao computador as caracterı´sticas
geome´tricas do objeto. isto e´ possı´vel referenciado-se o elemento a um sistema cartesiano de coor-
denadas, determinando-se dai as coordenadas x,y e z dos pontos que o formam. Deve-se estabelecer
tambe´m as ligac¸o˜es entre esses pontos com o uso de segmentos de retas. Com isso, obte´m-se um
poliedro cujos ve´rtices sa˜o os pontos e cujas arestas sa˜o os segmentos de retas. O efeito de curvatura
pode ser obtido aumentando-se o nu´mero de ve´rtices e arestas (refinamento). Dessa forma todos os
ve´rtices Pi, tera˜o coordenadas xi,yi e zi, e as arestas ak j ligara˜o dois ve´rtices gene´ricos Pk e Pj.
De um modo geral, desenhar uma perspectiva consiste em ligar, atrave´s de segmentos de retas
pontos do plano cujas coordenadas x e y sa˜o ”transformac¸o˜es”das coordenadas x,y e z dos pontos do
espac¸o. Mais explicitamente falando para cada ponto Pi(xi,yi,zi) no espac¸o determina-se um ponto
Pi(xi,yi) no plano tal que suas coordenadas xi e yi sa˜o func¸o˜es de xi,yi e zi e de um conjunto de
paraˆmetros, que chamaremos de de paraˆmetros de localizac¸a˜o do observador e do plano projetante e
8.2. Aplicac¸o˜es de espac¸os vetoriais na computac¸a˜o gra´fica 191
que indicaremos porU.Matematicamente
(xi,yi) = f (xi,yi,zi,U)
Como se sabe, a perspectiva coˆnica utiliza - ale´m das noc¸o˜es de objeto, plano projetante e linha de
visada - um ponto origem ou observador, de ondem partem as linhas de visada e que se localiza a` uma
distaˆncia finita do objeto e do plano projetante. A projec¸a˜o P do ponto P no plano α e´ a intersec¸a˜o
da reta definida pelo observador V e pelo ponto P (visada) com o plano projetante α. A projec¸a˜o de
uma reta e´ obtida unindo-se as projec¸o˜es de dois de seus pontos (Fig 1) e, de uma maneira geral, a
projec¸a˜o de um objeto e´ determinada pelas projec¸o˜es de todos os seus pontos.
No noso caso, o plano projetante e´ a tela do computador. Para chegarmos a`s expresso˜es que
fornecem x e y de cada ponto vamos estabelecer as seguintes convenc¸o˜es:
1. O observador V tem coordenadas (xv,yv,zv)
2. Os n ve´rtices do objeto e suas projec¸o˜es sa˜o representadas por P1 a Pn e P1 a Pn, respectiva-
mente.
3. A tela representa a a´rea formada por um retaˆngulo de lados L1 e L2 unidades de comprimento.
O plano desse retaˆngulo e´ perpendicular a` linha que une o observador a` origem do sistema
x,y,z de coordenadas.
4. A distaˆncia R do plano projetante a` origem do sistema de eixos e` considerada positiva se o plano
se encontra do mesmo lado do observador em relac¸a˜ a` origem, e negativa se a origem estiver
entre o plano e o o observador.
5. O lado L1 ( maior lado) do retaˆngulo e´ paralelo ao plano z= 0.
6. O sistema xyz de coordenadas, bem comom os outros paraˆmetros se apresentam como mostra a
Fig 2.
Fazendo A=
√
x2v + y2v + z2v , e se A 6= 0 podemos obter a equac¸a˜o do plano projetante (segundo as
convenc¸o˜es adotadas) da seguinte forma: Da fo´rmula da distaˆncia de ponto a plano temos
d(pi,P0) =
|ax0+by0+ cz0+d|√
a2+b2c2
onde P(x0,y0,z0) e´ o ponto e −→n = (a,b,c) e´ o vetor normal ao plano.
192 8.2. Aplicac¸o˜es de espac¸os vetoriais na computac¸a˜o gra´fica
No nosso caso temos que P0(0,0,0) e −→n = (xv,yv,zv). Chamando R = d(P0,α) (α e´ o plano
projetante) temos que R pode ser positivo ou negativo e por isso dispensamos o mo´dulo na fo´mula da
distaˆncia, logo, tomando −R escrevemos,
−R= xv0+ yv0+ zv0+d√
x2v + y2v + z2v
d =−R
√
x2v + y2v + z2v =−RA
Portanto a equac¸a˜o do plano projetante α e´:
xvx+ yvy+ zvz−RA= 0 (8.1)
Para cada ponto Pi(xi,yi,zi) a equac¸a˜o parame´trica da reta que o liga ao ponto V (xv,yv,zv) e´
x = t(xi− xv)+ xv
y = t(yi− yv)+ yv (8.2)
z = t(zi− zv)+ zv
Para determinarmos a intersec¸a˜o entre a reta e o plano projetante colocamos os valores de (8.2) na
equac¸a˜o (8.1) do plano, ou seja:
xv [t(xi− xv)+ xv]+ yv [t(yi− yv)+ yv]+ zv [t(zi− zv)+ zv]−RA= 0 (8.3)
txv(xi− xv)+ xvxv+ tyv(yi− yv)+ yvyv+ tzv(zi− zv)+ zvzv−RA= 0
t [xv(xi− xv)+ yv(yi− yv)+ zv(zi− zv)]+A2−RA= 0
t [xv(xi− xv)+ yv(yi− yv)+ zv(zi− zv)] = RA−A2
e dai tiramos o valor do paraˆmetro t :
t =
RA−A2
xv(xi− xv)+ yv(yi− yv)+ zv(zi− zv) (8.4)
Com t,xi,yi,zi,xv,yv e zv conhecidos, e usando novamente as equac¸o˜es (8.2) determinamos as
coordenadas x,y e z da projec¸a˜o do ponto P no plano projetante. Nessa fase estamos exatamente
como a Fig 3.
8.2. Aplicac¸o˜es de espac¸os vetoriais na computac¸a˜o gra´fica 193
De (8.4) e (8.2) com xi = yi = zi = 0, vem
x0 =
xvR
A
y0 =
yvR
A
(8.5)
z0 =
zvR
Aque sa˜o as coordenadas da origem do sistema xyz (fig 8.2). Esse sistema nos e´ particularmente inter-
essante pois o plano xy e´ o pro´prio plano projetante.
O que nos resta a fazer e´, portanto, uma transformac¸a˜o de coordenandas, ou seja, determinar as
coordenandas dos pontos projec¸o˜es em relac¸a˜o ao novo sistema xyz. Para isso, devemos determinar
as componentes dos vetores unita´rios
−→
i ,
−→
j e
−→
k no sistema xyz.
A intersec¸a˜o do plano projetante com o plano xy e´ uma reta cuja equac¸a˜o e´ encontrada fazendo-se
z= 0 em (8.1). Isso nos leva a:
y=
RA− xvx
yv
(8.6)
cujo gra´fico esta´ na Fig 4. O vetor diretor dessa reta tem componentes dadas por:
−→w = (0, RA
yv,
,0)− (RA
xv
,0,0) = (−RA
xv
,
RA
yv,
,0) (8.7)
o vetor
−→
i e´ um vetor unita´rio e portanto
−→
i =
1
|−→w |
−→w
−→
i =
1√(
RA
xv
)2
+
(
RA
yv,
)2 (−RAxv , RAyv, ,0)
−→
i =
1√
1
x2v
+ 1y2v
(− 1
xv
,
1
yv,
,0)
−→
i =
1√
x2v + y2v
(−yv,xv,0) (8.8)
O vetor unita´rio
−→
k tem sua determinac¸a˜o imediata pois e´ o versor do vetor
−→
00 (ver Fig 2 e equac¸a˜o
194 8.2. Aplicac¸o˜es de espac¸os vetoriais na computac¸a˜o gra´fica
8.5)
−→
k =
−→
00∣∣∣−→00∣∣∣ = 1∣∣∣(xvRA , yvRA , zvRA )∣∣∣
(
xvR
A
,
yvR
A
,
zvR
A
)
−→
k =
1√
x2v + y2v + z2v
(xv,yv,zv)
−→
k =
1
A
(xv,yv,zv) (8.9)
Observe que o vetor
−→
k e´ exatamente o versor do vetor
−→
V = (xv,yv,zv) .
Como nosso sistema e´ ortogonal, o vetor unita´rio
−→
j e´ dado por
−→
j =
−→
k ×−→i , ou seja
−→
j = det

xv
A
yv
A
zv
A
−yv√
x2v+y2v
xv√
x2v+y2v
0
−→
i
−→
j
−→
k
 (8.10)
−→
j =
1
A
√
x2v + y2v
(−zvxv,−zvyv,x2v + y2v) (8.11)
O sistema definido por es vetores unita´rios na˜o e´ propriamente o nosso sitema xyz e sim ele a
menos de uma translac¸a˜o (Fig 5). Essa translac¸a˜o devera´ apenas anular o vlaor da componente em o
que na˜o importa para no´s ja´ que estamos interessados nas componentes x e y apenas.
O que temos que fazer agora e´ determinar a matriz mudanc¸a de base da base α =
{−→
i ,
−→
j ,
−→
k
}
para a base β =
{−→
i ,
−→
j ,
−→
k
}
, ou seja, [I]αβ Esta matriz nos permitira
α =
{−→
i ,
−→
j ,
−→
k
}
= {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
β =
{−→
i ,
−→
j ,
−→
k
}
β =
{
1√
x2v + y2v
(−yv,xv,0) , 1
A
√
x2v + y2v
(−zvxv,−zvyv,x2v + y2v) , 1A (xv,yv,zv)
}
Portanto
[I]αβ =

−yv√
x2v+y2v
xv√
x2v+y2v
0
−zvxv√
x2v+y2v
−zvyv√
x2v+y2v
x2v+y
2
v√
x2v+y2v
xv
A
xv
A
zv
A

e as coordenadas do novo sistema sa˜o
8.3. Aplicac¸o˜es de autovalores e autovetores na engenharia civil 195
[v]β = [I]
α
β [v]α
x
y
z
=

−yv√
x2v+y2v
xv√
x2v+y2v
0
−zvxv√
x2v+y2v
−zvyv√
x2v+y2v
x2v+y
2
v√
x2v+y2v
xv
A
xv
A
zv
A


x
y
z

Observac¸a˜o 27 Algumas mudanc¸as de notac¸o˜es foram efetuadas em relac¸a˜o ao trabalho original.
Tambe´m foram inseridos alguns conceitos matema´ticos que o artigo original na˜o fornece mas que
para nossa disciplina mostra bem a utilizac¸a˜o dos conceitos vistos e sua aplicac¸a˜o pra´tica. No
trabalho original tambe´m e´ fornecido um programa para a HP-45 onde e´ aplicada toda a teoria vista
acima, mas na˜o e´ dificil fazer um co´digo de modo a gerar figuras em 3d utilizando a teoria vista
acima
8.3 Aplicac¸o˜es de autovalores e autovetores na engenharia civil
8.3.1 O Problema de autovalor na avaliac¸a˜o de modelos estruturais de
edificac¸o˜es
Trabalho apresenta no COBENGE 2003 por
Jose´ Guilherme Santos da Silva - jgss@uerj.br
Pedro Colmar G. da S. Vellasco - vellasco@uerj.br
Rita de Kassia D. Lopes - rita.lopes021@ig.com.br
Universidade do Estado do Rio de Janeiro, UERJ, Faculdade de Engenharia, FEN
Rua Sa˜o Francisco Xavier, N0 524, Maracana˜
CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ
Resumo: O presente trabalho apresenta uma contribuic¸a˜o inicial acerca de dois aspectos: o
primeiro diz respeito ao ensino de engenharia, com a aplicac¸a˜o de conceitos referentes ao pro-
blema cla´ssico de autovalores e autovetores na avaliac¸a˜o de sistemas estruturais. O segundo ponto
relevante a ser discutido, diz respeito ao estudo da influeˆncia das ligac¸o˜es entre as vigas e colunas,
referentes a estruturas de ac¸o. Na pra´tica corrente de projeto, grande parte dessas ligac¸o˜es e´ represen-
tada por modelos flexı´veis ou rı´gidos. Todavia, na maioria dos casos reais, essas ligac¸o˜es assumem
um comportamento intermedia´rio, ou seja: semi-rı´gido. Assim sendo, este trabalho tem por objetivo
empregar conceitos ba´sicos de a´lgebra linear, a partir do problema cla´ssico de autovalores e autove-
tores, de forma a se analisar modelos estruturais de po´rticos de ac¸o correspondentes a uma edificac¸a˜o
196 8.3. Aplicac¸o˜es de autovalores e autovetores na engenharia civil
residencial existente. Sa˜o investigadas as diferenc¸as, qualitativas e quantitativas, existentes entre as
frequ¨eˆncias naturais e os modos de vibrac¸a˜o dentre os diversos modelos estruturais (flexı´vel, semi-
rı´gido e rı´gido). Resultados ja´ obtidos indicam que a variac¸a˜o na rigidez inicial das ligac¸o˜es provoca
mudanc¸as sensı´veis no comportamento dinaˆmico da estrutura.
Palavras-chave: Ensino de engenharia, Estruturas de ac¸o, Me´todo dos Elementos Finitos,
Autovalores, Autovetores.
1. INTRODUC¸A˜O
Sabe-se que o de´ficit habitacional brasileiro cresce a cada ano, concentrando-se o problema, prin-
cipalmente, nas famı´lias de baixo poder aquisitivo, de forma que existe uma demanda crescente por
estudos sobre as habitac¸o˜es populares. Neste sentido, o ac¸o, como material estrutural e´ adequado para
a construc¸a˜o industrializada e pode proporcionar a` construc¸a˜o civil, perspectivas mais otimistas para
a habitac¸a˜o popular no paı´s.
Uma das etapas relevantes no projeto de estruturas de ac¸o esta´ relacionada a uma avaliac¸a˜o co-
erente acerca dos modelos estruturais que representam o comportamento real das ligac¸o˜es existentes
entre as vigas e as colunas de ac¸o. Na pra´tica corrente de projeto, a grande maioria dessas ligac¸o˜es e´
representada por modelos flexı´veis ou rı´gidos. Todavia, na maior parte dos casos, essas ligac¸o˜es as-
sumem um comportamento intermedia´rio, ou semi-rı´gido, o qual pode ser perfeitamente caracterizado
com base em determinadas grandezas associadas ao projeto de uma ligac¸a˜o, tais como: resisteˆncia a`
flexa˜o e capacidade de rotac¸a˜o. No que tange ao estudo do comportamento dinaˆmico de estruturas,
assunto que sera´ abordado com mais detalhe no presente trabalho, mais especificamente no que diz re-
speito a` aplicac¸a˜o do problema cla´ssico de autovalores para determinac¸a˜o e avaliac¸a˜o das frequ¨eˆncias
naturais (autovalores) e modos de vibrac¸a˜o (autovetores) de edificac¸o˜es residenciais, observase, com
clareza, uma absoluta falta de conhecimento por parte dos alunos de graduac¸a˜o acerca da importaˆncia
do tema e, infelizmente, uma completa indiferenc¸a em relac¸a˜o ao assunto.
Assim sendo, de forma a contribuir no que tange ao ensino de engenharia, como tambe´m desmisti-
ficar o emprego corrente dos conceitos teo´ricos, principalmente aqueles relacionados ao problema de
autovalores, faz-se uma exposic¸a˜o resumida do referido problema, como tratado no ciclo ba´sico da
engenharia, e de como o mesmo poderia ser mencionado, de forma a que os alunos de graduac¸a˜o
pudessem ter uma ide´ia ba´sica da aplicac¸a˜o pra´tica desses conceitos.
Em seguida, e´ selecionado o projeto de uma edificac¸a˜o residencial de quatro pavimentos, com-
posto por vigas e colunas de ac¸o e lajes lisas de concreto armado, em todos os nı´veisda edificac¸a˜o.
Tem-se como objetivo proceder a uma ana´lise extensa das frequ¨eˆncias naturais (autovalores) e modos
de vibrac¸a˜o (autovetores) dos modelos referentes aos po´rticos de ac¸o da referida edificac¸a˜o. Um outro
8.3. Aplicac¸o˜es de autovalores e autovetores na engenharia civil 197
ponto relevante do trabalho diz respeito ao estudo da influeˆncia das ligac¸o˜es entre as vigas e colunas
dos po´rticos de ac¸o.
Neste sentido, o presente trabalho tem por objetivo apresentar uma aplicac¸a˜o pra´tica do problema
cla´ssico de autovalores e autovetores, no caso em questa˜o com respeito ao projeto de edificac¸o˜es
residenciais, ale´m de reforc¸ar a importaˆncia dos conceitos ba´sicos da disciplina de A´lgebra Linear
para a soluc¸a˜o deste tipo de problema.
2. O CICLO BA´SICO NA ENGENHARIA E O PROBLEMA DE AUTOVALOR
O problema cla´ssico de autovalores e autovetores, principalmente no que tange a utilizac¸a˜o de
operac¸o˜es matriciais, esta´ diretamente relacionado com o ensino da disciplina A´lgebra Linear, ofer-
ecida correntemente aos alunos de graduac¸a˜o no ciclo ba´sico da Faculdade de Engenharia da UERJ,
FEN/UERJ.
O ensino da disciplina A´lgebra Linear na˜o oferece nenhuma interac¸a˜o com o ciclo profissional da
engenharia e nenhum tipo de recomendac¸a˜o no que diz respeito a sua extrema relevaˆncia na aplicac¸a˜o
pra´tica desses conceitos sobre os problemas reais de engenharia. Tal fato na˜o so´ desestimula o aluno
de graduac¸a˜o em engenharia, como tambe´m ocasiona um aprendizado de baixa qualidade, propagando
deficieˆncias te´cnicas que sera˜o sentidas, sem sombra de du´vida, no decorrer do curso.
Ainda hoje, a dida´tica de ensino adotada nas disciplinas do ciclo ba´sico sobre o problema cla´ssico
de autovalores e autovetores e´ baseada em me´todos estritamente conceituais e matema´ticos. Tal
metodologia e´ apresentada a seguir, respaldada por uma breve revisa˜o sobre as definic¸o˜es de auto-
valor e autovetor, como visto tradicionalmente na disciplina de A´lgebra Linear, LIPSCHUTZ (1977),
NETTO e ADA˜O (1995).
Sena˜o vejamos: Seja T uma transformac¸a˜o linear em um espac¸o vetorial real V aplicada a um
corpo k. Denomina-se autovalor o escalar real pertencente a k (λ ∈ k) se, para esta transformac¸a˜o
linear T , existe um vetor na˜o-nulo pertencente a V (ν ∈V ) para o qual:
T (v) = λν (8.12)
Todo vetor na˜o-nulo ν que satisfac¸a a “equac¸a˜o 8.12” e´ chamado autovetor de T correspondente
ao autovalor λ . Portanto, sendo A uma matriz quadrada de ordem nxnsobre um corpo k, existe um
autovalor λ se, para uma matriz coluna vn×1, denominada autovetor, Aν = λν e´ verdadeiro.
Observac¸a˜o 28 Nos cursos de engenharia geralmente utilizamos como corpo k o corpo dos nu´meros
reais, ou seja, no nosso caso k=R. Para a obtenc¸a˜o dos autovalores, reescreve-se a “equac¸a˜o 8.12”
de modo que (λ I−A)ν = 0, que admitira´ v 6= 0 como soluc¸a˜o se, e somente se, det(A−λ I) = 0. A
expressa˜o det(A−λ I) = 0 e´ denominada equac¸a˜o caracterı´stica, onde I e´ a matriz identidade.
198 8.3. Aplicac¸o˜es de autovalores e autovetores na engenharia civil
A contribuic¸a˜o mais relevante deste trabalho de pesquisa e´ caracterizar que o ensino do problema
de autovalor como feito no ciclo ba´sico da engenharia, de acordo com o exposto acima, e´ absoluta-
mente contra´rio ao que se deveria informar a um futuro engenheiro. Na˜o ha´ relac¸a˜o alguma entre
os termos especı´ficos (tais como, espac¸o vetorial, corpo, etc.), utilizados no ensino da disciplina de
A´lgebra Linear e as grandezas empregadas correntemente na engenharia. Ressalta-se que esses ele-
mentos teˆm o mesmo significado das grandezas conhecidas usualmente pelo engenheiro. Ale´m disso,
em nenhum momento existe um indicativo de onde e como o aluno de graduac¸a˜o, deve utilizar esses
conceitos, extremamente relevantes para a vida pra´tica de um profissional da a´rea, SILVA (2001).
Uma sugesta˜o para uma abordagem mais apropriada ao ensino do problema de autovalor para
os alunos de graduac¸a˜o em engenharia seria, inicialmente, associar o termo autovalor a`s frequ¨eˆncias
naturais e o termo autovetor aos modos de vibrac¸a˜o de um elemento ou sistema estrutural qualquer,
dando eˆnfase ao significado fı´sico dessas grandezas, ROEHL (1981).
Sena˜o vejamos: para um sistema estrutural qualquer sob vibrac¸a˜o livre na˜o amortecida, com va´rios
graus de liberdade, pode ser escrita uma equac¸a˜o matricial de movimento tal que,
M
··
V +KV = 0 (8.13)
onde, M e´ a matriz de massa, K e´ a matriz de rigidez,
··
V e´ o vetor das acelerac¸o˜es e V e´ o vetor dos
deslocamentos.
As equac¸o˜es que tornam possı´vel a resoluc¸a˜o do problema de autovalor, cujo sistema vibra livre-
mente e sem amortecimento, sa˜o as seguintes:
(
M−1K−ϖ20iI
)
φi = 0 (8.14)
onde φi e´ o i-e´simo modo de vibrac¸a˜o, com i variando de 1 a n. A “equac¸a˜o 8.14” e´ verdadeira, para
qualquer φi, se
det
(
M−1K−ϖ20iI
)
= 0 (8.15)
onde I representa a matriz identidade.
A “equac¸a˜o 8.15” e´ comumente designada como equac¸a˜o caracterı´stica e suas raı´zes sa˜o os valores
caracterı´sticos, ou autovalores, e correspondem ao quadrado das frequ¨eˆncias naturais de um sistema
estrutural, ϖ20i. A cada uma dessas raı´zes corresponde um vetor caracterı´stico, φi, ou autovetor, que
representa o modo de vibrac¸a˜o do referido sistema.
Deve-se ressaltar, novamente, que o problema cla´ssico de autovalores e´ absolutamente essencial
8.3. Aplicac¸o˜es de autovalores e autovetores na engenharia civil 199
para a compreensa˜o e ana´lise de estruturas simples, tais como trelic¸as, vigas, po´rticos, placas, etc,
como tambe´m de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes:
edificac¸o˜es residenciais, pontes rodovia´rias e ferrovia´rias, torres de ac¸o de telecomunicac¸o˜es e de
transmissa˜o de energia, esta´dios de futebol, passarelas de pedestres, edifı´cios altos, plataformas off-
shore, etc.
Observac¸a˜o 29 Algumas correc¸o˜es e adaptac¸o˜es a nossa apostila foram necessa´rias pore´m na˜o foi
alterado o conteu´do. Transcrevemos aqui apenas parte do trabalho para ressaltar a aplicac¸a˜o de
autovalore e autovetores. Cre´ditos sa˜o dados ao autor e o trabalho original pode ser obtido atrave´s
dos anais do COBENGE 2003 ou me enviando um email solicitando o artigo original que terei a
maior satisfac¸a˜o de envia´-lo.