Apostila Espaços Vetoriais

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Álgebra Linear 
Professora: Michelle Andrade Klaiber 
 
 
UTFPR-AP 
1 
Introdução: 
 Vocês devem se lembrar de quando estudaram os conjuntos 
numéricos, que as operações de adição e multiplicação possuíam 
algumas propriedades, como por exemplo: 
 
 
 
 
 
 O conjunto dos números Reais, com as operações de adição e 
multiplicação e mais algumas propriedades é chamado um ESPAÇO 
VETORIAL. 
 
 Agora, aprofundaremos um pouquinho mais neste assunto, 
trabalhando não apenas com conjuntos numéricos, mas com conjuntos 
de vetores, matrizes, funções etc. 
Espaço Vetorial 
 
2 
• a+b = b+a 
• a(b+c) = ab+ac 
• a+0 = a 
• a -a = 0 
Definição: 
 Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão definidas duas 
operações 
Espaço Vetorial 
 
 E devem satisfazer, para quaisquer Vwvu ,, Rba ,e 
todas as oito propriedades seguintes: 
Soma: 
 Multiplicação por escalar: 
VvuVvu ,
VkvRkVv  ,
3 
El. Oposto: tal que 
El. Neutro: tal que 
uvvu 
)()( wvuwvu 
Vev ueu v 
Vu
veuu  )(
A1) Comutativa: 
A2) Associativa: 
A3) 
A4) 
avauvua  )(
buauuba  )(
)()( buauab 
Re
M1) 
M2) 
M3) 
M4) tal que ueu 
4 
Espaço Vetorial 
 
Observações: 
 
• Os elementos do conjunto dos reais (R) são chamados 
escalares. 
 
• Os elementos do Espaço Vetorial são chamados vetores. 
 
• Nesta disciplina estaremos sempre trabalhando com 
Espaços Vetoriais Reais. 
 
• A adição vetorial (denotada por u + v) é uma operação 
entre elementos deV (vetores). 
 
• A multiplicação por escalar (denotada por αv) é uma 
operação entre elementos de R (números) e V (vetores). 
 
5 
Espaço Vetorial 
 
Solução: 
Devemos verificar todas as propriedades, considerando as seguintes identificações: 
u = (x1, x2), v = (y1, y2), w = (z1, z2) e α, β reais 
 
A1) u + v = v + u 
Desenvolvendo os dois lados da igualdade separadamente, e notamos que a 
propriedade se verifica. 
 
u + v 
= (x1, x2) + (y1, y2) 
= (x1 + y1, x2 + y2) 
 v + u 
 = (y1, y2) + (x1, x2) 
 = (x1 + y1, x2 + y2) São iguais 
6 
Espaço Vetorial 
 
A2) x + (y + z) = (x + y) + z 
Podemos desenvolver os dois lados da igualdade separadamente, 
 
 
 
 
 
 
x + (y + z) 
= (x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)] 
= (x1, x2) + (y1 + z1, y2 + z2) 
= (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2) 
 (x + y) + z 
 = [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2) 
 = (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2) 
 = (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2)) 
Ou podemos começar desenvolvendo um lado da equação até chegar no 
outro: 
 
 x + (y + z) 
 = (x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)] 
 = (x1, x2) + (y1 + z1, y2 + z2) 
 = (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2) 
 = (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2) 
 = [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2) 
 = (x + y) + z 
 
Notamos que esta propriedade também se verifica! 
São iguais 
7 
Espaço Vetorial 
 
A3) e + u = u 
Como e representa o vetor elemento neutro, iremos denotá-lo por e = (e1, e2), 
 
 e + u = u 
 (e1, e2) + (x1, x2) = (x1, x2) 
 (e1 + x1, e2 + x2) = (x1, x2) 
 (e1, e2) = (0, 0) 
Notamos que esta propriedade também se verifica, ou seja, existe um único 
elemento neutro para a adição. 
A4) u + (-u) = e 
Nesta propriedade utilizamos o e encontrado na propriedade anterior e = (0, 0), 
e chamaremos -u = (a, b) 
 
 u + (-u) = e 
 (x1, x2) + (a, b) = (0, 0) 
 (x1 + a, x2 + b) = (0, 0) 
 (a, b) = (- x1, - x2) 
Notamos que esta propriedade também se verifica, ou seja, existe um elemento 
oposto para a adição. 
8 
Espaço Vetorial 
 
M1) α·(u + v) = α·u + α·v 
 α·(u + v) 
 = α·[(x1, x2) + (y1, y2)] 
 = α·(x1 + y1, x2 + y2) 
 = (α·(x1 + y1), α·(x2 + y2)) 
 = (α·x1 + α·y1, α·x2 + α·y2) 
 = (α·x1, α·x2) + (α·y1, α·y2) 
 = α·(x1, x2) + α·(y1, y2) 
 = α·u + α·v 
M2) (α + β)·u = α·u + β·u. 
 (α + β)·u 
 = (α + β)·(x1, x2) 
 = ((α + β)·x1, (α + β)·x2) 
 = (α·x1 + β·x1, α·x2 + β·x2) 
 = (α·x1, α·x2) + (β·x1, β·x2) 
 = α·(x1, x2) + β·(x1, x2) 
 = α·u + β·u 
 
Notem que as propriedades M1 e M2 também se verificam! 
9 
M3) (α·β)u = α(βu) 
 (α·β)u 
 = (α·β)·(x1, x2) 
 = ((α·β)·x1, (α·β)·x2) 
 = (α·(β·x1), α·(β·x2)) 
 = α·(β·x1, β·x2) 
 = α·(β·(x1, x2)) 
 = α(βu) 
Espaço Vetorial 
 
M4) e·u = u 
Lembrando que nesta propriedade e representa um número real 
 e·(x1, x2) = (x1, x2) 
 (e·x1, e·x2) = (x1, x2) 
Assim, em cada coordenada temos 
 e·x1 = x1 de onde obtemos e = 1 
 e·x2 = x2 de onde obtemos e = 1 
Portanto, existe um único elemento neutro para a multiplicação, e = 1. 
 
Notem que as propriedades M3 e M4 também se verificam! 
Concluindo, como todas as propriedades são satisfeitas, V é um 
espaço vetorial. 
 
10 
Exercício para casa: Prove que o conjunto das matrizes 2x2 
munido das operações usuais é um espaço vetorial. 
Dica: Use 
 
Espaço Vetorial 
 
Exemplo 2: O espaço constituído pelo conjunto dos polinômios de 
coeficientes reais com grau menor ou igual a 2, mais o polinômio nulo, com as 
operações usuais de adição de polinômios e multiplicação de polinômio por 
número real é um espaço vetorial. 
Exercício 1: Verifique se o conjunto V = {(x1, x2)| x1, x2 > 0}, com as operações 
assim definidas 
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 · y1 , x2 · y2) 
α·(x1, x2) = (x1
α, x2
α) 
é um espaço vetorial. 
Espaço Vetorial 
 
Exemplo 3: O espaço R², constituído pelo conjunto dos pares ordenados, 
munido das operações abaixo não é um espaço vetorial 
 
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1 , x2 + y2) 
α·(x1, x2) = (αx1, x2) 
 
Solução: Note que a propriedade M2 não se verifica, pois 
 (α + β)·u 
 = (α + β)·(x1, x2) 
 = ((α + β)·x1, x2) 
 = (α·x1 + β·x1, x2) 
 
 
 (α·x1 + β·x1, x2 + x2) 
 = (α·x1, x2) + (β·x1, x2) 
 = α·(x1, x2) + β·(x1, x2) 
 = α·u + β·u 

11 
OBSERVAÇÃO: Basta uma propriedade não ser satisfeita para que o 
conjunto não seja um espaço vetorial 
 
12 
Exercícios Propostos: 
Espaço Vetorial 
 
13 
Definição: Seja W um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. O 
conjunto W é um subespaço vetorial de V se é também um espaço 
vetorial. 
 
 
Teorema: Um subconjunto não vazio W de um espaço vetorial V é um 
subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz as seguintes condições: 
 
• 0 ϵ W 
• Para todo u, v ϵ W, u + v ϵ W 
• Para todo α ϵ R e para todo u ϵ W, αu ϵ W. 
 
 
OBSERVAÇÃO: Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois 
subespaços: o conjunto {0} (Subespaço Nulo) e o próprio espaço 
vetorial V. Esses são os subespaços triviais de V. Os outros 
subespaços são chamados próprios. 
Subespaço Vetorial 
 
Exemplo 1: Seja V = R3 
 
• R3 e {(0,0,0)} são os subespaços triviais de R3 
• As retas e os planos que passam pela origem são subespaços próprios 
de R3 
 
 
 
 
Exemplo 2: Sejam V = R2 e S = {(x, y) ϵ R2 / y = 2x} verifique se S é subespaço 
vetorial de V 
 
Solução: 
• Temos que (0, 0) ϵ S, pois se x = 0, y = 2.0 = 0 
 
• Sejam u = (x1, 2x1) e v = (x2, 2x2), temos também 
 
 u + v = (x1, 2x1) + (x2, 2x2) = (x1+ x2, 2x1+ 2x2) = (x1+ x2, 2(x1+ x2)) ϵ S 
 k.u = k(x1, 2x1) = (kx1, 2kx1) ϵ S 
 
 Portanto, S é um subespaço vetorial de V. 
 
Subespaço Vetorial 
 
14 
 Exemplo 3: Sejam V = R3 e S = {(x, y, z) ϵ R3 / x + y = 0} verifique se S é 
subespaço vetorial de V. 
 
Solução: 
 
• Temos que (0, 0, 0) ϵ S, pois se x = 0 e y = 0 então x+y=0 
• Sejam u =(x1, -x1 , z1) e v = (x2, -x2 , z2), temos também 
 
 u + v = (x1, -x1 , z1) + (x2, -x2 , z2) = (x1+ x2, -x1- x2, z1 + z2) ϵ S pois 
 x1+ x2 +(-x1 - x2) = 0 
 k.u = k(x1, -x1 , z1) = (kx1, -kx1 , kz1) ϵ S pois kx1 + (-kx1) = 0 
 
Portanto, S é um subespaço vetorial de V. 
 
 
 
Exemplo 4: Verifique se S = { } é subespaço vetorial de V = 
M(2,2) . 
Subespaço Vetorial 
 
15 
Exercícios Propostos: 
Subespaço Vetorial 
 
16 
Combinação Linear 
Exemplo 1: 
kjiv 342 
v
i
j
k
R³ 
e 
Vvvv n ,,, 21 
Definição: 
naaa ,,, 21 reais (ou complexos). Então, 
é um elemento de V que chamamos de combinação linear de Vvvv n ,,, 21 
Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), 
nnvavavav  2211
17 
Combinação Linear 
18 
Exemplo 2: O vetor (−1,−1) é uma combinação linear dos vetores 
(1,2) e (3,5) , pois: 
 (−1,−1) = 2 ⋅ (1, 2) + (−1) ⋅ (3, 5) 
 
 
 
 
Exemplo 3: O vetor (1,2,3) não pode ser escrito como combinação 
linear dos vetores (1,0,0) e (0,0,1). 
(Verifique!) 
 
 
 
 
Exemplo 4: Determine a “lei” que define (todos) os vetores que 
podem ser escritos como combinação linear de (1,0,0) e (0,0,1) . 
 
Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador 
19 
Sejam os vetores v1, v2, ..., vn ∈ V e [v1, v2, ..., vn] o conjunto de 
todas as combinações lineares destes vetores. 
 
O conjunto [v1, v2, ..., vn] é um subespaço vetorial de V, 
denominado subespaço vetorial gerado pelos vetores v1, v2, ..., 
vn. 
 
O conjunto {v1, v2, ..., vn} é o conjunto gerador do subespaço [v1, 
v2, ..., vn]. 
 
 
 
Exemplo 1: O vetor (1,2) ∈ R2 gera o conjunto 
 
[(1,2)] = {(x, 2x), x ∈ R}. 
 
Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador 
20 
Exemplo 2: Determine um conjunto gerador do conjunto {(x, y, z) ∈ 
R3 | x − y + z = 0}. 
 
 
 
 
 
 Resp. [(1, 1, 0), (0, -1, 1)] 
 
Exemplo 3: Descreva o conjunto gerado pelos vetores (1, 3) e 
(4, 2) 
 
 
 
 
 
 Resp. R2 
Dependência e Independência Linear 
Definição: 
Sejam V um espaço vetorial e Vvvv n ,,, 21 . Dizemos que o conjunto 
é Linearmente Independente (LI), ou que os vetores são LI, },,,{ 21 nvvv 
se a equação 
02211  nnvavava 
Implica que 021  naaa . Caso exista algum 0ia
é Linearmente dependente (LD), ou que os vetores são LD. },,,{ 21 nvvv 
dizemos que 
Exemplo: O conjunto 
 
 (Tentem resolver!) 
 
é LI ou LD ? )}1,1(),0,1(),1,1{( 
21 
)0,0()1,1()0,1()1,1(  cba
Solução: 
)0,0(),()0,(),(  ccbaa
)0,0(),(  cacba





0
0
ca
cba
)(
)(
II
I O sistema admite infinitas soluções. 
Façamos c a variável livre. 
De ( II ) vem que 
ca 
Substituindo o valor de a em ( I ) ficamos com 
cb 2
Fazendo, por exemplo, 2c obtemos 2a e 4b
Encontramos a seguinte combinação linear 
)0,0()1,1(2)0,1(4)1,1(2 
Logo, o conjunto é LD. )}1,1(),0,1(),1,1{(  22 
Dependência e Independência Linear 
Exemplos: 
 
1) Verifique que o conjunto {(1,3), (4,2)} é LI. 
 
 
 
 
2) Verifique que o conjunto {(1,3), (2,6)} é LD. 
 
 
 
 
3) Verifique se o conjunto {(0,1,3), (2,2,1), (2,5,10)} é LI ou LD. 
 
 
 
 Resp. LD 
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Base e Dimensão 
Definição: 
será uma base de V (um espaço vetorial qualquer), se: 
( i ) 
},,,{ 21 nvvv 
é LI, e 
( ii ) 
Vvvv n ],,,[ 21 
)0,0(),0(),(  baa
)0,0(),(  baa
Temos que verificar se 
)}1,0(),1,1{( é LI, e 
2)]1,0(),1,1[( R
( i ) 
( ii ) 
Solução: 
Exemplo: )}1,0(),1,1{( é uma base de ? 2R
)0,0()1,0()1,1(  ba
( i ) 
Substituindo ( I ) em ( II ) 
encontramos 
0b)(
)(
II
I
0
0


ba
a
Logo, 
)}1,0(),1,1{( é LI 
},,,{ 21 nvvv 
24 
Exemplo: 
)1,0()1,1(),( bayx 
),0(),(),( baayx 
),(),( baayx 





bay
ax
 
 
xa 
ayb   xyb 
)1,0)(()1,1(),( xyxyx 
Portanto, 2)]1,0(),1,1[( R
Logo, 
)}1,0(),1,1{(
é uma base de . 2R
)4,0()3,3()1,3( 
)1,0)(4()1,1(3)1,3( 
²)1,3( R
25 
Base e Dimensão 
Observações: O número de elementos (cardinalidade) de uma base B 
do espaço vetorial V é denominado dimensão do espaço vetorial V. 
Notação: dimV 
Se a dimensão de V é igual a n, diz-se que V é um espaço vetorial finito 
n-dimensional. 
Em particular, a dimensão do espaço nulo {0V} é zero. Não há base 
para o espaço nulo. 
 
Exemplo 1: Os conjuntos {(1,0), (0,1)} e {(1,3), (4,2)} são bases do R2. 
 
•O conjunto {(1,2), (3,5), (2,1)} não é base do R2, pois apesar de gerar 
R2, não é LI. 
 
•O conjunto {(1,2)} é LI mas não gera o R2, portanto também não é uma 
base do R2. 
 
•Toda base de R2 tem dois vetores de R2 que geram R2 e que são LI. 
 
 Logo, dimR2 = 2 . 
 
 
 
 
26 
Base e Dimensão 
Exemplo 2: {(-1,0,1),(2,3,0),(1,2,3)} é uma base do R3. 
 
•O conjunto {(-1,0,1),(2,3,0)} é LI, mas não gera o R3. Logo, não é base 
do R3. 
 
•O conjunto {(-1,0,1),(2,3,0),(1,2,3),(0,2,4)} gera o R3, mas não é LI. 
Também não é uma base do R3. 
 
•Toda base de R3 é formada por três vetores LI de R3 . 
 Logo, dimR3 = 3 . 
 
Exemplo 3: Um vetor qualquer (x, y, z) ∈ R3 pode ser escrito como 
(x, y, z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) 
Assim, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} gera o R3, isto é, 
[(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)] = R3 
Além disso, este conjunto é LI. 
 
Logo, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é uma base do R3, denominada a base 
canônica do R3. 
 
 
 
 
27 
Base e Dimensão