TOPOGRAFIA Aula 06 Medidas angulares

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03/03/2016
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Unidade Acadêmica de Agronomia Unidade Acadêmica de Agronomia Unidade Acadêmica de Agronomia Unidade Acadêmica de Agronomia ---- UAGRAUAGRAUAGRAUAGRA
TopografiaTopografiaTopografiaTopografia
Olá, na nossa aula de hoje vamos discutir as:Olá, na nossa aula de hoje vamos discutir as:Olá, na nossa aula de hoje vamos discutir as:Olá, na nossa aula de hoje vamos discutir as:
medidas angulares
Professora: Professora: Professora: Professora: MaMaMaMa. . . . HerllangeHerllangeHerllangeHerllange Chaves de BritoChaves de BritoChaves de BritoChaves de Brito
Disciplina: TopografiaDisciplina: TopografiaDisciplina: TopografiaDisciplina: Topografia
AULA 06
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o qué
goniometria?
Técnica de medição de ângulos 
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
Goniômetro
instrumento que permite medir 
diretamente o valor de um angulo =
Bússola – ângulos horizontais
Teodolito – ângulos horizontais
e verticais
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
Em topografia lidamos 
frequentemente com a 
medição de ângulos 
horizontais e verticais. 
O instrumento utilizado 
para realizar a medida 
dos ângulos é o teodolito.
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medidas 
angulares
Ângulos 
Horizontais
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
Ângulos 
Verticais
Ângulos Horizontais
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
Ângulos Verticais
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medidas 
angulares
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
ângulo vertical zenital
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
Ângulo vertical = 90° - Z
Ângulo vertical = α
MEDIÇÃO ANGULAR VERTICAL
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planimetria
MEDIDAS ANGULARES
tipos de visadas
Visada ascendente
luneta acima da linha 
do horizonte
Visada descendente
luneta abaixo da linha 
do horizonte
MEDIÇÃO ANGULAR VERTICAL
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
0 < Z < 90° Ascendente α = 90° - Z
270° < Z< 360° Ascendente α = Z – 270°
90° < Z < 180° Descendente α = Z – 90°
180° < Z< 270° Descendente α = 270° - Z
MEDIÇÃO ANGULAR VERTICAL
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medidas 
angulares
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
ângulo horizontal
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
Trata-se de uma figura formada por duas retas, onde elas possuem
um ponto em comum (estação)
A medição retrata o afastamento entre as duas retas, ao longo de
uma circunferência imaginária com o centro na estação e um raio
qualquer.
MEDIÇÃO ANGULAR HORIZONTAL
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planimetria
MEDIDAS ANGULARES
Assim, podemos ter, dois ângulos: interno e externo
Ai + Ae = 360°
MEDIÇÃO ANGULAR HORIZONTAL
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
Em alguns casos, o responsável pelas obtenção das medidas
angulares, pode preferir trabalhar com o aparelho “orientado”, ou
seja, ter o aparelho referenciado a um ponto específico. Nesses
casos, a leitura dos ângulos é obtida pela diferença entre duas
leituras angulares.
Convencionou-se em topografia que a
medição dos ângulos deve ser feita no
sentindo horário.
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planimetria
MEDIDAS ANGULARES
1. Suponha que com o auxílio de um teodolito você obteve dois dos
três ângulos da figura abaixo. Calcule o terceiro ângulo.
L1 L2 L3
42º22’55’’ 61º 33’10’’
78º39’41’’ 35º44’20’’
61º 33’10’’ 56º 43’56’’
L1 L2 L3
42º22’55’’ 61º 33’10’’ 19°10’15”
42°55’21” 78º39’41’’ 35º44’20’’
61º 33’10’’ 118°17’6” 56º 43’56’’
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
ÂNGULOS INTERNOS
 ΣHzi = 180 (N-2)
ÂNGULOS EXTERNOS
ΣHze = 180 (N+2)
Obs: onde “N” é o número de lados
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planimetria
MEDIDAS ANGULARES
Nos levantamentos topográficos é bastante comum verificar a precisão do
trabalho realizado em campo através da conferência do somatório dos
ângulos internos (ou externos) da área obtida.
Quando o somatório dos ângulos obtidos em campo não coincide com o
determinado pelas equações da geometria plana, percebe-se que um erro
no levantamento foi cometido. O erro é dado por:
E= Σ ÂNG. EM CAMPO - Σ ÂNG. REAL
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
1 120°
2 88°
3 154°
4 75°
5 108°
ΣHzi = 180 (N-2)
OBS: ONDE “N” É O NÚMERO DE LADOS
2. Calcule o erro de um levantamento topográfico que apresentou as
seguintes medidas angulares internas.
ângulo real
ΣHzi = 180 (N-2) = 180 (5 -2) = 540°
ângulo campo
ΣHzi = 120° + 88° + 154° + 75° + 108° = 545°
E= 545°- 540° = 5°
E= Σ ÂNG. EM CAMPO - Σ ÂNG. REAL
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medidas 
angulares
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
ângulos de orientação
Declinação MagnéticaNorte Verdadeiro
Azimute Rumo 
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
A linha que une o pólo norte ao pólo sul da terra é denominada linha dos
pólos ou eixo de rotação. estes pólos são denominados GEOGRÁFICOS OU
VERDADEIROS e, em função disso, a linha que os une, também é tida
como verdadeira.
A terra possui um campo magnético fazendo com que se comporte 
como um grande ímã. Assim, uma bússola tem sua agulha atraída pelos 
pólos deste imã. 
Neste caso, os pólos que atraem a agulha da bússola são denominados 
magnéticos. 
Tais pólos não coincidem.
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planimetria
MEDIDAS ANGULARES
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
NORTE VERDADEIRO
é o ponto localizado no pólo norte por onde passa o eixo de rotação
da terra. é com base no norte verdadeiro que se faz a orientação dos
projetos de arquitetura.
Norte magnético: é para onde apontam as agulhas das bússolas.
DECLINAÇÃO MAGNÉTICA
é o ângulo existente entre o norte verdadeiro e o norte magnético.
a declinação magnética não é constante para o mesmo local. o
pólo norte magnético desloca-se em torno do pólo norte verdadeiro
(ou geográfico) seguindo aproximadamente um círculo.
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planimetria
MEDIDAS ANGULARES
medidas 
angulares
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
azimute
É o ângulo que a direção de um alinhamento faz com o norte.
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planimetria
MEDIDAS ANGULARESAzimute N
S
EW
Sentido horário
planimetria
MEDIDAS ANGULARESAzimute N
S
EW
1° Quadrante
NE
(0 à 90°)
2° Quadrante
SE
(90°à 180°)
4° Quadrante
NW
(270° à 360°)
3° Quadrante
SW
(180° à 270°)
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planimetria
MEDIDAS ANGULARESAzimute
medidas 
angulares
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
rumo
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planimetria
MEDIDAS ANGULARES
Rumo é o menor ângulo formado pelo eixo norte/sul e a direção
considerada.
Varia de 0º a 90º, sendo contado do norte ou do sul por leste ou
por oeste.
Este sistema expressa o ângulo em função do quadrante em que se
encontra.
Além do valor numérico do ângulo acrescenta-se uma sigla (NE, SE,
SW, NW) cuja primeira letra indica a origem a partir do qual se
realiza a contagem e a segunda indica a direção do giro ou
quadrante.
Rumo 
planimetria
MEDIDAS ANGULARESRumo 
Variação de 0° à 90°
Sempre partem do eixo Norte/Sul
São acompanhados da direção
N
S
EW
Sentido
horário
Sentido 
anti - horário
Sentido
anto- horário
Sentido 
horário
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planimetria
MEDIDAS ANGULARESRumos 
medidas 
angulares
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
conversão de rumo e azimute
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planimetria
MEDIDAS ANGULARES
Sempre que possível é recomendável a transformação dos rumos em
azimutes, tendo em vista a praticidade nos cálculos de coordenadas, por
exemplo, e também para a orientação em campo.
Quadrante Rumo Azimute
1o Rumo = Azimute
2o Rumo = 180° - Azimute
3o Rumo = Azimute – 180°
4o Rumo = 360° - Azimute
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
3. Transforme AZIMUTES em RUMOS
exemplo
N
S
EW
a) 
140°25’32”
90°
0°
180°
Az
R
39°34’28” SE
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planimetria
MEDIDAS ANGULARESexemplo
b)
300°01’55” N
S
EW 90°
180°
Az
R
59°58’5” NW
270°
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
4. Transforme RUMOSem AZIMUTES
exemplo
N
S
EW
c)
45°10’20” NE
90°
0°
180°
Az
R
45°10’20”
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planimetria
MEDIDAS ANGULARESexemplo
N
S
EW
d)
30°11’22” SW
90°
0°
180°
Az
210°11’20”R
medidas 
angulares
planimetria
MEDIDAS ANGULARES
rumo e azimute nas poligonais
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planimetria
MEDIDAS ANGULARESPoligonais 
planimetria
MEDIDAS ANGULARESexemplo
5. Dado os ângulos abaixo, encontre os AZIMUTES e RUMOS.
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planimetria
MEDIÇÃO DIRETA DE DISTÂNCIA
ALMEIDA, Thiago. Notas de aula da disciplina Topografia. Unipê. João 
Pessoa. 
Nonato, Julien e Fabrício. Notas de aula da disciplina Topografia Básica. 
Goniometria. UFCE -Centro de Ciências Agrárias. Fortaleza.
SERGIO, Paulo. Vídeo aula Topografia Agrimensura – Azimute e Rumo. 
Disponível em http://psvideoaulas.com/. Data de acesso 24-02-2016.
Referências