Aula 05 e 06 Sistemas Lineares de Grande Porte

Prévia do material em texto

SISTEMAS LINEARES GRANDE PORTE 
UMA CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES 
 
Conceitos e Aplicações 
 
Plácido Rogério Pinheiro 
Definição 
 
Um matriz retangular é um array de elementos que podem 
ser organizados em linhas e/ou horizontais ou verticais 
 
 
 
 
 























mnmnnnn
mnmn
m
m
m
AAAAA
AA
AAAA
AAAA
AAAA
,1,321
,11,1
3333231
2232221
1131211
...
............
..................
......
......
......
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 













nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
...
............
...
...
21
22221
11211
A

















nb
b
b
b
...
3
2
1
b
 n
T cccc ...321c
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matriz linha 
Matriz Coluna 
Matriz Quadrada 
Matrizes Triangulares 
 
Matriz Triangular Inferior 
 























nnnnnn
nnnn
LLLL
LL
LLL
LL
L
,1,21
1,12,1
333231
2221
11
.........
0............
.....................
0......0
0.........0
0.........00
L
 
 
Matriz Triangular Superior 
 






















nn
nnnn
n
n
n
U
UU
UUU
UUU
UUUU
,
,11,1
33433
22322
1131211
0............0
0............
.....................
......00
.........0
.........
U
Classificação das Matrizes 
 Uma matriz quadrada A é diagonalmente dominante se |aii|  

n
j
ija
1
||
 Uma matriz quadrada A é estritamente diagonalmente dominante se |aii| > 

n
j
ija
1
||
Matriz Idempotente 
 Uma matriz A é denominada Idempotente se e somente e se 
2A A
2
0 0 1
0 0 1 ; Mostre que A
0 0 1
A A
 
  
 
  
Matriz Nilpotente 
 Uma matriz A é denominada Nilpotente de ordem r, r é o menor inteiro positivo 0
rA 
3
0 1 3
0 0 2 ; Mostre que A nilpotente de ordem 3, isto é, 0
0 0 0
A é A
 
   
 
  
Matriz Involutiva 
 Uma matriz A é denominada Involutiva se e somente se 
2A I
2
1 1
; Mostre que A involutiva 
0 1
A é
 
   
 
MATRIZ ORTOGONAL 
IUUentãoU t 




 
 
cossen
sencos
 

Observe que Ut = U-1. 
Uma matriz U é ortogonal se UtU = I, onde I é a matriz identidade. 
 
UMA (N,N) MATRIZ A = (AIK), I, K = 1,…,N É CHAMADA MATRIZ BANDA, SE 
EXISTE UMA BANDA PARALELA DE NÚMERO DE ELEMENTOS NÃO NULOS FORA 
DA DIAGONAL PRINCIPAL. 
 
SEJA ML O NÚMERO DE SUBDIAGONAIS DE A E MR O NÚMERO DE SUPER 
DIAGONAIS DE A QUE POSSUI TODOS OS ELEMENTOS NÃO NULOS. 
 
ENTÃO AIK = 0 PARA I – K > ML OU K - I < MR ONDE 0  ML  N – 2 E 
0  MR  N – 2. 
O NÚMERO M = ML + MR + 1 É A LARGURA DA BANDA DE A. 
Matriz Banda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


















n
n




0...00
0...00
...............
00...0
00...0
1
2
1
λ

















10...00
01...00
...............
00...10
00...01
I
Matriz Identidade 
Matrizes diagonais para ml = mr = 0, 
Matriz Diagonal 
Matriz bidiagonal 
 
 
 
 
 
 
 
Matrizes bidiagonais para para ml = 1, mr = 0 ou ml = 0, mr = 1 
 
Matriz Tridiagonal 
 
 
 
 
 
 
 



















nn
n




1
1
21
...00
0...00
...............
00...
00...01
λ



















nn
nn




1
1
21
1
...00
...00
...............
00...
00...1
λ
m
Matrizes tridiagonais para ml = mr = 1 ou ml = mr = 2 
Matriz Quase Banda 





























































Partição por Blocos 
 
Matriz Bloco Tridiagonal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde Aj é a submatriz diagonal inferior, Bj é a submatriz na 
diagonal principal and Cj é a submatriz diagonal superior. 
 
 
 
 
 






















nn
nnn
BA
CBA
CBA
CBA
CB
ABC
111
333
222
11
.........
Matriz Particionada 
 
Matriz Esparsa 
 
Qualquer matriz que tenha uma grande proporção de elementos 
nulos. 
 
Matrizes tridiagonais (de um tamanho razoavel) são esparsas. 
 
As matrizes de grande porte nas engenharias são esparsas. 
 
Matrizes Esparsas 
Matriz Esparsa de uma Equação Diferencial Parcial 
Matriz Esparsa Randomica 
APLICAÇÃO EM UM CIRCUITO 
1W 
 
4W 
3W 
2W 1W 
5W 
6W 
7W 
30V + 
- 
Problema: Encontrar a corrente que circula em cada loop fechado. 
APLICAÇÃO EM UM CIRCUITO 
1W 
 
4W 
3W 
2W 1W 
5W 
6W 
7W 
30V + 
- 
Notação 
DC Battery 
 
Resistor 
(Resistencia em 
 ohms) 
 
Resistencia livre. 
APLICAÇÃO EM UM CIRCUITO 
1W 
 
4W 
3W 
2W 1W 
5W 
6W 
7W 
30V 
Encontre a corrente (in amperes) em cada um 
dos loops fechados. 
BALANÇO 
I2 
 
I3 
 
1W 
 
4W 
3W 
2W 1W 
5W 
6W 
7W 
30V 
Considere LOOP 1 
O ganho é 30V. 
O loop 1 perde é: 
O ganho devido o loop 2 é: 
O ganho devido o loop 3 é: 
A segunda lei de Kirchoff’s estabelece ganho=perda, => 
 1 1 3 2I W  W  W
 2 3I W
 3 2I W
     32 130 1 32 23 III WW   W  W  W
TODOS OS LOOPS BALANCEADOS 
     
     
   
     
   
2 3 1
1 4 2
1 3
2 5 4
4 5
Loop 1: 30 3 2 1 3 2
Loop 2: 3 7 3 4 7
Loop 3: 2 2 1
Loop 4: 7 6 6 7
Loop 5: 6 5 6
V I I I
I I I
I I
I I I
I I
 W  W  W  W  W
W  W  W  W  W
W  W  W
W  W  W  W
W  W  W
1W 
 
4W 
3W 
2W 1W 
5W 
6W 
7W 
30V 1 
2 
3 
4 
5 
SIMPLIFICANDO O SISTEMA LINEAR 
     
     
   
     
   
1 2 3
1 2 4
1 3
2 4 5
4 5
1 3 2 3 2 30
3 3 4 7 7 0
2 2 1 0
 7 6 7 6 0
6 5 6 0
I I I V
I I I
I I
I I I
I I
 W  W  W  W  W  
W  W  W  W  W 
W  W  W 
W  W  W  W 
W  W  W 
     
     
   
     
   
1 2 3
1 2 4
1 3
2 4 5
4 5
1 3 2 3 2 30
3 3 4 7 7 0
2 2 1 0
 7 6 7 6 0
6 5 6 0
I I I A
I I I
I I
I I I
I I
      
    
  
   
  
SISTEMA LINEAR 
1 2 3
1 2 4
1 3
2 4 5
4 5
6 3 2 30
3 14 7 0
2 3 0
 7 13 6 0
6 11 0
I I I A
I I I
I I
I I I
I I
    
  
 
  
 
Simplificando os Coeficientes 
1
2
3
4
5
6 3 2 0 0 30
3 14 0 7 0 0
2 0 3 0 0 0
0 7 0 13 6 0
0 0 0 6 11 0
I A
I
I
I
I
    
    
    
     
    
     
        
Forma Matricial: 
SOLUÇÃO(POR MATLAB) 
1W 
 
4W 
3W 
2W 1W 
5W 
6W 
7W 
30V 
8.19A 
2.74A 
5.46A 
1.97A 
1.08A 
Solução: 
APLICAÇÃO 
DE CIRCUITO 
Problema: Encontre a corrente 
(in amperes) em cada um dos 
loops fechados. 
1W 
 
4W 
3W 
2W 1W 
5W 
6W 
7W 
30V + 
- 
1W 
 
4W 
3W 
2W 
1W 
5W 
6W 
7W 
20V + 
- 
1W 
 
4W 
3W 
2W 
1W 
5W 
6W 
7W 
10V + 
- 
 2W 1W 
1 
2 3 
4 5 
6 
7 
8 9 
10 
11 
12 
14 
15 
16 
17 
13 
1W 
 
4W 
3W 
2W 1W 
5W 
6W 
7W 
+ 
- 
1W 
 
4W 
3W 
2W 
1W 
5W 
6W 
7W 
+ 
- 
1W 
 
4W 
3W 
2W 
1W 
5W 
6W 
7W 
+ 
- 
 2W 1W 
1 
2 3 
4 5 
6 
7 
8 9 
10 
11 
12 
14 
15 
16 
17 
1 7 2 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 7 1 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0
3 0 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0
4 0 0 0 13 7 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 3 0 0 7 14 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 6
7 1 0 0 0 0 0 7 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0
8 0 0 0 6 0 0 0 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0
9 0 0 0 0 4 0 0 1 7 0 0
10
11
12
13
14
15
16
17
  
  
 
 
  
 
   
 
  0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 6 0 0 0 2 0 3 0
0 4 0 0 0 0 3 0 0 0 14 0 0 0 7 0 0
0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 7 0 0 0 4 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 3 0 0 0
0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 13 0 0
0 0 0 0 0 7 0 0 0 3 0 4 0 0 0 14 0
0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 12
 
 
 
 
 
 








   

  
   



 

  

  
   




















13 
1 7 2 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 7 1 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0
3 0 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0
4 0 0 0 13 7 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 3 0 0 7 14 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 6
7 1 0 0 0 0 0 7 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0
8 0 0 0 6 0 0 0 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0
9 0 0 0 0 4 0 0 1 7 0 0
10
11
12
13
14
15
16
17
  
  
 
 
  
 
   
 
  0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 6 0 0 0 2 0 3 0
0 4 0 0 0 0 3 0 0 0 14 0 0 0 7 0 0
0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 7 0 0 0 4 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 3 0 0 0
0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 13 0 0
0 0 0 0 0 7 0 0 0 3 0 4 0 0 0 14 0
0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 12
 
 
 
 
 
 








   

  
   



 

  

  
   




















Usando Matriz Esparsa em Matlab 
EXEMPLO: APLICAÇÃO NA ENG. CIVIL - TRELIÇA 
Treliça – Consiste em uma estrutura de 
membros rígidos interconetados por pontos 
 Exemplo: 
g1 
g2 
f8 f4 
f5 f5 
f3 
f2 f2 
f6 
f7 f1 
f1 
f3 
f4 
A 
B 
C 
D  f 
Dados os valores das forças, g1 and g2, ache os 
valores das forças nas vigas f1, …, f8. 
0sin
0cos
0
0
0sinsin
0coscos
0sin
0cos
84
54
23
52
431
141
671
621








ff
ff
gf
ff
fff
gff
ff
fff
f
f
f
























































































0
0
0
0
0
0
1000sin000
0001cos000
00000100
00010010
0000sin10sin
0000cos00cos
0100000sin
0010001cos
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
g
g
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f


Johann Carl Friedrich Gauss 
Nasceu: 30 abril, 1777 (Alemanha) 
Morreu: 23 fevereiro, 1855 (Alemanha)