Estrutura 01

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ESTR·UTURA 
CASCAS CILÍNDRICAS 
ESTRUTURAS METÂLICAS 
FUNÇÕES DE BESSEL 
' LAJES COGUMELOS 
SEGURANÇA DAS CONSTRUÇÕES 
CASOS ESPECIAIS DE LAJES RETANGULARES 
QUADROS ASSOCIADOS HORIZONTALMENTE OUTUBRO .· 1957 
' ,. 
ENG NHEIROS ARQUITETOS UNIVERS ITÁ IOS 
Livros indispensáveis ao desenvolvimento de 
sua cultura têcnico - científica. 
Editados em língua portuguêsa 
O "AO LTVTIO 'l'í;CNTCO LTDA." com o objcti'o de facilitar a aquisi~fio do 
livro didático de nível superior, vem publ ic::tndo obras técnicas de grande intcrêsse nos cam-
pos da engenharia, arquitetura, rn:item:itica, física, química e desenho. 
Certos de que os meios técnicos brasileiros saberão compreender o esfôrço que re-
presenta o lançamento de l ivros dcss:i naturez:i, acreditamos· que não nos faltará o estímulo 
neccss:irio ao prosseguimento de nosso programa editorial. 
AO LIVTIO TÉCNICO LTDA. 
OBRAS À VENDA NAS BOAS LIVRARIAS: 
AGG - Construçã'.) de fütradas e Paviment;!ÇÕes ::: ... ... . ...... : . . . . . . . . . . Cr$ 
CARVALHO - Higiene das Con:trwções * .... . ... . ..... .... .. ..... ..... . . 
CARVALHO - Per:p2ctiva •:• . . .. . ...... . .... . .. ..... ... . . ... . .... . ...... . 
DA Y - Inst::!lações Hidráulico-Sanitárias •:• .. . . ... .. . ... . . . . . . ... .... . .. ... . 
KING - Hidráulica * ........... : . .. .. .. .. . .... .. ... ... ... ..... . ... . ... . 
MAGALDI - Noções de Eletrotécnica•::::: .... . ... ...... . .... . . ....... .. . .. . 
NORONHA - Método dos Pontos Fixos::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ') 
NORONHA - Mé!oclo do:; Pontos Fixos:::::: ... . . .. ....... . .... . .. . ... . . . . . 
PHILLIPS - Equ::ções Diferenciais •:• .. . .. . . .... . . . . ... ......... . .. .. . . . . 
RICHTER - Técnica das In:takções Elétricas * .... .......... ........... . 
SCHAUM - Química - Problem:is ** ........ ... .. ... ..... . ... .... . .. . 
SEAR3 - Física - l/II/111/ ::: (c::da) .. ... . .. .. .. ... . ............ . . .. . . . 
SEARS - Física - IV •:•* . . ..... . ... . ........ . . ... . . . .... . . . . . . .. . ..... . 
SMITH-GALE NEELLEY - Geometria Ano~ítica * ... .. .. . .. ...... .... .... . 
TIMOSHENKO - Re:;frtência dos Materiais - 1 •:: ... .. .. . . . . ..... . .. . ... . 
TIMOSHENKO - Resistência dos Materiais - II * .. ..... ........ ... .. .. . 
TíMOSHENKO - Mecânica Técnica •:• .. . ......... . ..... . .. . . . ... . .. .. . . . 
TIMOSHENKO - Teoria das Estruturas * .... .... ..... . : ..... .. .. .... .. . 
•:• - Encadernado :::::: - Drochado 
PRôXIMOS LANÇAMENTOS: 
ADEMAR FONSJ;CA - Curso d2 Mecânica - Estática -- II. Vol. 
A YRES - Cálculo Di:erenci:il e Integral (Colcç:ã.'.) Schaúm) - Problemas 
LIWSCHITZ GARIK-WHIPPLE - Máquinas (~e . Corrente Contínua 
MOTTA REZENDE - Eletrotécnica Gcr:tl - I Vol 
SCHAUM - Física (Coleção Schaum) - Probl~mas. 
AO LIVRO TBCNICO LTDA. 
AV. RIO DRJ\N .O, 120 - OBR.ELO]A 
. lll Dl! JANE ll~ 
,. 
450,CO 
450,00 
220,00 
450,00 
300,00 
350,00 
220,00 
180,CO 
180,00 
350,00 
180,00 
3C0,00 
80,00 
300,00 
350,00 
400,00 
400,00 
400,00 
~ 
UMA REVISTA PARA DEZ MIL 
I-'EI'TORES 
O lançamento de uma revista técnica de grande tiragem no 
Brasil estava sendo reclamado desde longa data. Esta tarefa, pmém, 
não é daquelas que se podem realizar sàmente pelo desejo de fazê-
lo. Exige esfôrço enorme de uma equipe dedicada e inspirada no 
, mais sadío propósito de enfrentar quaisquer dificuldades, sem me-
dir sacrifícios, com tenacidade e perm:inente labor. 
Vamos concret'izar .uma aspiração que sempre esteve presente 
em tôda nossa vida, profissional, de magistério e de escritor, quase 
como uma idéia fixa: .divulgar para o Brasil ·inteiro,, para a Amé-
rica do Sul e para todo o mundo, o que no Brasil se esc1'eve, se 
projeta e se realiza no setor da construção e, em particular, da téc-
nica estrutu1:az. 
Não bastaria o nosso obstinado idealismo m;sse sentido, não 
fôsse o agrupamento de uma equipe valoro.sa, de prestígio incon-
testável e de devota~ento excepcional que r~solveu conosco for-
mar poderoso contingente técnico, constituindo o corpo redacional 
desta revista. 
Nossos colegas da Escola Nacional de Engenharia Antônio 
Alues de Noronha e Sydney Gomes dos Santos, redatores dos assun-
los estruturas metálicas e de madeira e estruturas de concreto ar-
. mado, respectivamente, juntamente com os professôi·es e enge-
nheiros Felipe dos Santos Reis, Mário Bra'.1di Pereira, Adolpho Po-
!i/.lo, Icarahy da Silveira, José Luiz Cardozo, Osmany Coelho e Sil-
''ª foram os que, inicialmente, no Rio de Janeiro , se alistaram para 
ri grande luta. 
, 
N ns Estados, os Professôres T elemaco van Langendonck,, 
/>1'1/ro ,'fa1 1i11c1,, Scmmel Chamecki, Carlos Simas, Meyer Mesel, Cân-
rli ln l lolr111dc1 l.,,;111t1, Dc111ilo Smith , L. Paulo Felizardo foram convi-
,/,1 !01 ,1 r/iril!,ir .1elore.\ q11e hão de conslitúit' verdadeiros manan-
11111 1 11 11 ' /'1 '11/ /'t11111/h11do.1, r1 fi111 rle f o'l'mc1r c:st 1f111/ástica torrente: 
11 ;11 111 /11 1111,,~ ,1111 1 1 1;111· 1r1rr111 ·1í 1/111 /11í.~i1111.I' ti" l!S'/'J?U'/' lJ l?A. 
N 1 I 
1 .í11111 1J/l/J1J 1 / 1r11/1 • 11 11/'<'I " 11:111i1111 i/11.1/res e Jêío sendo con-
1•11111tln1, 1111 ll/\i1 •1• rll' !Jm•110.1 / /ires, ;\1(r)ll/e1Jidéo, Suíça, etc., de 
1110,/n tjllt ' le1•11re111 0.1 110.r.ro cc1111 po de ação além das nossas fron-
11•i /'ri\' , 
!!111 rele1çêío era progrtt?na a ser realizado por ESTRUTURA, 
1~ . 1 /i' .i'l' tt /11-.:111eiro mímero é apenaf' o comêço de suas múltiplas ati-
1•i lrrrles. 
/ lsJi111 é que diversas secções e vários cursos técnicos estão sen-
lo orgc111izc1dos para início nos próximos números. Entre êles, secção 
le crrtigos condensados de revistas estrangeiras, curso de funda-
(Õe.r, cm.ro de pontes, cálculo das placas, e muitos outros assuntos, 
r~! gm1.r já prontos, serão objeto das nossas próximas publicações. 
Sob o ponto de vista de sua organização financeira, uma re-
. 11istct técnica pode seguir dois caminhos: 
O primeiro consiste em cuidar essencialmente da receita de 
c1111íncios" o que leva muitas revistas a diminuit· sua tiragem, a fim 
e/ ·redttzir as despesas e manter-se com a verba de publicidade. 
lJ.rte sistema acarreta cada vez maior descuido na confecção da 
f!ttrle 7Ítil, que é a matéria redacional da revista. 
O segundo caminho, adotado por ESTRUTURA, consiste em 
depe11der quase exclusivamente da venda da revista, contando ape-
neis com os anúncios dos interessados, que hão de contribuir para . 
/111111'0.\' w elhoramentos da revista. 
IJS'J 'RUTURA começa com uma tiragem récorde, em matéria 
de re11i.rtc1 Jécnica entre nós - 6.500 exemplares de 128 páginas, 
ct .rer c111111e11tc1da até atingir sua meta inicial: UMA REVISTA PARA 
DEZ M 1 L L EITORES. 
li11 cr1rrega111 os nossos colegas, engenheiros de todo o Brasil, 
ri '.i'/c1 lme/ c1, pois ct inclusão de seus nomes como assinantes desta 
r1111is11 to rt1r1 po.rsí1 1el realizar tão grandiosa e patriótica missão! 
Aorrn ON MOREIRA DA ROCHA, 
/ IS 7'i?/17'111,' 1 
/ 
NI 
~ 
OUTUBRO 
19 5 7 
ANOI • VOL. 1 
1rnDAÇÃO 
AV , l\ltA:>MO BRAGA, 227 
S/ 1 '\ 10 - 'l'd cfonc: 22-57 10 
111 () 1) 1•: .1A N I•: 1 H (l - H RA S 1 1, 
l)fH ln'()J{ RESPONSA VEL: 
Ad ·rson M rc: ira. da Rocha 
l)JHJ\'J'OR .ECRETARIO: 
Ad 11 ho Poli!Jo 
Gl\HliNTE: 
Arlhur a lgado 
1 >IS'J'IU Bl JJ ÇÃO NO INTE-
RJOR : 
11 1 l 'I'< l( A CIEN TfFI A -
AV . l ~ l ( A S M O HRACA, 299 
H" .11 11 1. Hio lc Janeiro. 
N t tMEHO AVULSO: 
1<111 .i ., l1111t•iro : C r$ 100,00 
Nu h 1 ido ~ ,. "" Ext ·-
oli1 1 C: r'.$ 110,00 
I N 11 l l(r\ I'( )1( Ili N11 
f\ 11 1( ll.~ 
!11>1 olt J1il\l llll (I li '1110 ,011 
N11 ,,,J,, , 11 11 1 11 
11111 e 1 1 111111 ,1111 
ESTRUTURA 
revista técnica 
das construções 
REDATORES: 
CONCRETO ARMADOSydney M. G. dos Santos 
E'STRUTURAS METÁLICAS E DE MADEIRA 
Antônio Alves de Noronha 
FUNDAÇÕES 
Icarahy da Silveira 
REPORTAGENS INTERNACIONAIS 
Felippe dos Santos Reis 
Osmany Coelho e Silva 
CONCRETO PROTENDIDO 
José Luiz Cardozo 
HIPERESTÁTICA 
Adolpho Polillo 
REDATORES-CORRESPONDENTES: 
SÃO PAULO 
Prof. Telemaco van Langendonck 
Prof. Pedro B. J. Gravina 
CURITIBA 
Prof. Samuel Cha1m:'Cki 
M INAS GERAIS 
Prof. Cândido Holanda Lima 
BAHIA 
Prof. Carlos Simas 
PERNAMBUCO 
Prof. M eyer M ese l 
IU O (; RA NDE DO SU L 
1 anil o inilh 
· l . ui ~. Paulo Fvliza rd 
A V IM> : <.> 11" lq11 1•1 " '' ih 11 ~(1 l\'n\ v1 d o1 q11 1111d o (i1·111 :1• 
do 1•• 111 ( 11 •11 111 1 1111 11111 dn •• 1 111'1u1 t · ~ Pt 1 d111 ~ o·i f 11 :t ( ' 1 p 11 
f'1 il ll! 1!111 1111 1 1111 111 \'Il i ! 1 111~ ! 1 d íll 1\1•111 di p 1 1 ~ tllllt lll U 011 
1 l1>q111 11 11 111111 1111 1 11 ,, 1111111 ol1 .. 1 l l(!l l llHA H1 
1 1 1 1 1 1 1111 1 d 1 1 111 I 111 H 111 
) 
·f 
NOSSOS COLABORADORES 
ADERSON MOREIRA DA ROCHA: 
Catedrático ela cadeira "Estabilidade das Construções" ela Escola Na-
cional de EngEmha ·ia e catedrático ela cadeira Concreto Armado da Fa· 
culclade Nacional ele Arquitetura ela Universidade do Brasil. Dire~or Pre-
sidente ela r evista Estrutura . Chef e elo Escritório técnico de concreto 
al'maclo A . M. Rocha .. 
ADOLPHO POLILLO: 
Prnf. Regente elas disciplinas ela cadeim "Estabilidade elas Construções" 
ela Escola Nacional ele Engenharia, Ass is tente da cadeira Concreto Ar-
mado ela Faculdade Nacional ele Arquitetura da U. B. Diretor secre· 
tário ela revista Estrutura. Engenheiro do escritório técnico A. M. Rocha. 
AN'l'ôNrn ALVES DE NOlWNHA: 
Doutol' honoris causa pela Universidade de Zurich. Catedrático da 
cadeira de Pontes e Grandes Estruturas da Escola Nacional ele Enge-
nharia ela U . B.. Prof. ela E scola T écnica do Exército e da E . P . U . C. 
DARCY BOVE DE AZEVEDO : 
Livre llocente e assistente ela cadeira ele sombras e perspectiva - este-
r cotomia, da :F'. N. A. da U. B.. Arquiteto do M. ela Agricultura ( Supe-
l'intendente de Obras da Comissão de construção C . N. E . P. A.). Urba-
nista clipl. pela F .N.A. da U . B. 
ENlUQUE FLlESS : 
Chefe do departamento Técnico elo " Instituto del Cemento Portland 
Argentino" . .Professor titular ele Estabilidade ela Faculdade ele Enge-
nharia - UniverHiclac1e rl c Buenos Aires. 
SAMUEL CHAMECKI : 
Prnfessor catedrático de Estabilidade elas C011struções ela Escola ele En-
genhal'ia ela · Univers idade do Paraná. Professor de Resistência elos, Ma-
teriais ela .rE scola. de úficia is Especialistas e Infantaria de Guarda da 
Aernnáu ti'ca. 
SYDNEY M. G. DOS f'lAN'l'OS : 
Professor cat cclrático ele Resistência elos Matel'iais da Escola Nacio-
nal ele Engenharia ela U . B.. Prof. ele Estabilidade ela Escola 'l'écnica 
elo Exército - Engenheiro Chefe na P refeitura do D. Federal. Chefe 
el o E. T. E. L. Liv_rc cloce ntr el a cacleira Concreto Armado da Faculdade 
Nftc io11:1 l el e A rqui totura. 
l iSTJ~[fT{/f?/\ N 
, 
UM/\l{lü 
l l 11111 1t 'l' iHl1t p111·11 tl1 •y 1• i l l1 •ilo 1'<'K .... ...... ..................... .. " , ..... . 1 
0 1111 H 
11:HI 1·11l111'11 H p1 '<• 111 old 1ttla s de g ra nd1· 1•orh.! .... ........ .. ... .. . . ..... . . .... .. . 8 
IH: l '() l ~' l ' A(J l•:NK 'l'(".CN IUAS 
IJ11 1 1~ r11111 l n 1t 11 lon 16vd co.11. ver~ivl'l de coucl'eto animdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 
<lolH•l'i.ttnL tl1 • 11 1a i8 lo 300 m de vão livre em concreto premoldado . . . . . . . . . . . . 13 
AH \1 11 jorn:id as d• }.: 11 gcnharia Estrut ural ... . ... . . ... ........ ... .. ... . ... . 
( :oltl'l'I 11 m 1•11 1 cm;<;as 0 i lí11 (h·icas m últipla sem vigas de refôrço nos bordos . . . . 
\ l i , (~ lJ l ' I' 1•: 11• U li.A 
O pnl (u-i o rt's id1•11C'i rtl do l ' r csiclente ela Repúbl ica em Brasília ..... . ...... . .. . 
\ 11!1 ' 1 <IOH '1'(.:CN 1 'OS ~· 
O 111otll'r110 eo 11 cc· i!.o de segurança nas eonstruções - Samuel Charuecki 
< l(d"'" º " 1,, roLnn• de losas hongo - Enrique Fliess . . . . .... .. .. ... . 
l•:sL 1·11 L111·1t>< •·nt qu11d 1·os associados horizontalmen te - Aclolpho Polillo ....... . 
\pi irn1;Õí'K elas fn nçõcs ele Bessel no cálculo estrutural - Syclney M. G. elos Santos 
13 
14 
15 
17 
28 
57 
79 
UnH<'.ILH e ilí 11 dricas - A clerson Moreira ela Rocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 
( '1°tl!' 11l 11 <'OlllJ >,kLo da estrutura d.e um edifício .... . ..... . ... . .... .. . ....... , . 
< '1t l1 ·11l o d 1LK la.i"s r0tangulares para casos especiais de apoios e carregamentos 
,\dí'1·s o11 M orl' i ra da l~ocha .. ...... . ... . . .. . . ...... . .............. ... . . 
< ' IJ ll HOH 
<J1 11·so ti o 1·s lr11lum metáli cas - Antônio Alves de Noronha .. ............. . 
.C 111'H O du (•,0 11 c r·PL0 protondido _.__ José Luiz Cardozo ......... .. .... .. ...... . 
U11 1·Ho d11 pl'rn pet·tiva - Darcy Bove de Azevedo ............ . ...... . . .. . . . . 
O'I' 1< ' 1 i\ H 1>1 \1 1•: H.H A,' 
,\ HH 1lt'i11.1;11.11 lll'!ls il('i1·n. de Pontes e Estru turas .. .. ... . . ....... .. .... ... . .... . . 
< )H tit'Hn.l111 1t 1C'l1l.os cl 1• obras de concre to a rmado no Rio ele Janeiro .... . .. . . .. . 
l'oHH 11 tl 11. nova din·lo1· ia do Instituto de Arquitetm a elo Brasil (Departamento 
tl11 11.io ) ........ ... . . . .... . ................ . ... .. . . ........... . ..... . • 
l/1 •1111i111 1H do<:. Jt. J•: . . \ . µar:t exame das causas elos Tecentes desabamentos no Rio 
"" .l 11 111 d1·11 ·I• Co ng rl'HHO Inte rnacional ele Mecânica cl'os Solos e Engenharia 
110 
93 
66 
89 
90 
116 
116 
118 
till H J <' 1111d 11.~Ôl 'H . ... . .. . . .. . . ................. , . . . . ........ . , .. . , .. . . . , , 118 
111 , l•' ,.,tl1111111tl Hc· l1lt •i<" l11•r 'I' ....... ..... . ........ .'.... .. . ................ . .. 119 
"" H,111 1po1< i1 1111 tl 11 l•:s J r11i111'11 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 
lll<>H 
ll• •l111 •JIH" ll 'H lllll(I tlttH J1·11 l>11 lh os llp l' l'Ht 'll i.:lilos ilH V I r jornnllas sulamericanas de 
1•t1 1.( lll tl 11 11 i11 <' Hi 1·11! 111 ·11 I 121 
l " i ' /1'// /'/ 11,· 1 N 
UM MJ\ H.Y 
.Jl[() f)fl,'f~N CONC J!)P1' OF S A FETY IN 
CONSTR UC1'I ON - Smnuel Chameclci. 
'l'he author deals with t he problem of 
safe ty in cons truction work, based ou the 
s tatistic theory of probabilities of b.uilcling 
f a ilures. 
He d oes not inclucle. t he cases due t o in · 
competency of professionals involved, bu t 
studies those in which the .crashing is due to 
incont rolable reasons, considered as ort hodox 
in present day enginecring. 
H e shows the stat istic curve of variating; 
el ements, taken as constant in usual calcula-
t ions, such as t he dcad weight , accidental 
loads, wind action, etc. 'l'hen also, he makes 
a· .comparison . between t he frequency . curves 
of acting stress .and t hat of real resistance 
of the structure, . showing the · correlation 
between the probability of failure and the 
foreseen m argin of saf.ety for t he . building . 
He makes considerations . about t he .fixa-
t ion of a factor of safety for constructions, 
having in view the t otal _ cost of _sarne, in 
which it is included t he loss due t o cra-
shing, multiplied by tlte probability of fai-
lure l) dopted. 
i inally, he presents . conclusions and 
points out the manner t o follow .in order to 
fix the factor of safety for const ructions. 
TllE ORY OF LIMIT DE SIGN FOR FLA T 
SL A B A ND TESTS WITII MODELS 
OF REDUCED SIZE - Enrique Fliess. 
'l'he tests made with models of flat 
slabs having nine panels with 20 cm. on the 
sides and 1,5 cm. thick, of plain concrete, 
are analysed ; t he aim is to det ermine ex-
perimentally,the configuration o.f t he ruptu-
re lines and the t ot al charge for t he point 
of failure. 'l'he experimental results a re com-
pared with the theoretical ones taken out 
of the theo:i'y developed for t he problem, 
and it is found out that they a ree satis-
factorily . 
6 
CY LINDRI C SH ELLS - Aderson Moreira 
da Roe/ui. 
A study of cylindTic shells is presented 
in seria is, starting with the development of 
t he t heory of membranes and, following it, 
he will study tlte hyperestatic cylindric 
shells, based on the general theory of flexion. 
'l'he theme will be developed in a di- \ 
dact ic fo rm, with the presen tation of con-
clusions a nd prac tical examples. 
CONTI N UOUS PORTA L F R AMES 
A dolpho Polillo. 
In this article the _author chooses the 
method he thinks best fo r the case u;uder 
study, ,aftor present ing the dif ferent man-
ners how to calculate structures in cont i-
nuous frames, by the . general methods of 
force and dislocation, according t~ t he orien-
tation in only one step or two steps of cal-
culations by different processes. 'l'hat is, the 
method of dislocation in t wo steps of cal-
culation, thus falling under Clapeyron equa· ' 
tions, · which he suggests to b e solved by 
"alterna t ed iterat ion" (process similar t o one 
presented by Dasek, which was genera!ized 
for any method by Aderson Moreira da Ro-
cha in his book "General Plane Hyperest a· _ 
t ic" ) since tha t , besides the rapidity and 
facility, there does not even r equire itera-
tion in certain cases. 
Complet e calculations fo r a continuous 
frame follow as an illustrat iori, in accor -
dance with the sequence p1·oposed by the 
author. 
COURSE I N METALLIC STRUCT URES -
Antônio Alves de Noronha. 
A complete course in metallic structures 
with all details. The lessons a re t o he p ollo-
. wed · in seinals. 
ESTRUTURA ~ N• 1 
, 1•1· 1, 11 1 , / 1/(1 ,\i'/ ()"' /l /1'88 /1' / '8 /1' / 1\ (' 
'!' l ll N.'-1 I N l ' !i'li /1/, /1,',l/ 8 li /i' S 'I ' IU ' I "1'11 
i-i,111 / 11 1 y 111 . O. dl!N 8 11 11/m. 
'l' ho 1L 11l ho1· l r it 'H lo Hhow 1.11 1• i111porla11-
<'l1 o f' lll•HH!' l'H l•\ 111 c l. io11 H jn Hl.rud u1·al ('a l -
<Htl a l io11 H. J. 'o r l l1 :ü p111·_posc J1 0 11 iviuod t hc 
wo rk .i 11 two pa rl·s. J n th c f jrst !te chosc 
1' 0111· enscs jn wl1icl1 t li osc :fuct ions a re applieel, 
!·hus: tl'm1svcrsal buckling of beams, vibra · 
l. ion. of olas ti c mcmbranes, buckling of co· 
lun1n s w it lt variating section anel circular 
fOLmcl ation pla tes. For each one of these pro-
blems ho fonnulateel an appropria te equa · 
t ion, leaving for P art Il a stuely about t heir 
s olution. 
In Part II he p1·esents B essel's differen· 
t ial equation anel shows ho\Y othor apparen-
t ly different types, can bc r ecluced t o t he 
fu;1damen tal form of t ha t equation. 'l'hus, 
h e p resents Bessel 's f unct ions, fir~t and se· 
e ond cathegory, as well as a general solu-
t ion of the equation which is obtained there-
with. 
'l'he p roblems formulated in the be-
g inning are again t aken up in the final pa rt 
a nd the solution of each appropi'iate equa-
t ion is g iven, with the previous t ransforma · 
t ions required by each one. 'l'here a re refo-
1·ences and tables to be usecl, and a short bi-
b liography as an introduction to tltat study. 
T echnical rcports about pre-moleled cons-
t ruction work of large size in France, giving 
a descript ion of a proj ect for a Stadium in 
Argentina anel also various other news; a 
1·esume of works presented at the VII South 
Nossa C' n1m apresenta uma estrutura de 
<'º" 'l ''(l l.o :11·rnado pr cmoldada pelo sist em'.l. 
' l'0Hc l1i . A foi.o Jo i colhida de documenta-
"n" J:.( l' 11 1. il11 H' 11l n cocliél a pelo Professor ele 
f1I L f'l ll,i tL l'f llt'O n ig- no]i tliTCtOl' ela firma 
'' ( \0 11 Hl.n1t 0P i o 11 111-1 '"11 o:·w hi 'l l n o~ ,', ." 11a. Ar-
~ 1 1 11 l . i 11 11 . 
N ' I 
\ 11111111 1 11 11 ( '0 11g 1t1HM cll ' H l 11 11 •l 111 11I fil t 1 ~11 1 1 1 11111 111 ~· 
l11 •ld i11 l l1 1tt11 11H 1\ 11 ' 1 '~ i11 l i' 11 ; \Ili illl tH 11 Jh1 11 
IH '\\ ~ . 
PERS.!'HC1'1 // J!J JJBA W1NGS PRL1 C1'ICA L 
LESSON S - Darcy Bove de Azevedo. 
'.l'he author presen ts practical l essons 
about persp ective drawings, with application 
ln architect ural elesigns. 
R EC1'ANGUL AR SLAB ON DIFFERENT 
KIN D OF S UPPORTS AND UN DE R 
SPECIA L LOA DS - Aderscm Moreira da 
R ocha. 
A series of a r ticles is sta rted, about 
calculation of rect angular slabs, under action 
of,.concentrated loaels and unifo rmly dist ri-
buted in part . Examples of slabs with 4, 3 
and 2 supports, as they appear in structures 
of builelings and bridges, a re analysed. 
The a u thor p romis "s, in continuation, to 
study hyperestatic of slabs as a new science, 
thrnugh which continuous slabs subject to 
concentrat ed loads, are treat eel without the 
use of apprnximate hypothesis. 
COMPLE TE EXA1YIPLE OF CALCUL A-
TIO FOR A B UILDING STRUCT URE. 
To be followed by those who have ini-
tia ted in calcula tion of buileling structures, 
a complet e design of a building structure is 
presented, with all calculations and det ails, 
CAPA 
7 
J 
h,S'rH.UrrUI(i\S PH.EMOLDADAS 
GRANDE PORTE 
DE 
As estrutnras de concreto armado 
premoldadas têm sido usada:!! com o 
fim de se cons.eguir o emprêgo de pe-
ças de secções muito reduzidas, sem a 
inconveniência da moldagem no local, 
muitas vêzes incômoda, pela localiza-.. 
ção das peças e em virtude ele suas 
diminutas secções trans.versais. 
Para as estruturas premoldadas ele 
grande porte, surgem problemas sé~ 
rios no que se refere ao transporte 
dos trechos premoldados e ao tipo ele 
emenda elas peças premoldaclas para 
a sua posterior solíclariz~ção. 
Apresentaremos, neste número, uma 
descrição sucinta, acompanhada de do-
aumentação fotográfica, de algumas 
obras de grande porte executadas com 
aoncreto premolclado na França. 
1 - HANGAR DE lVIARIGNANE 
Arcos de dupla curvatura (tipo cas-
ca) , cobrindo um conjunto de galpões 
Fig. 1 - Hangal' de Marignane 
com vãos de 60 m X 100 m, fo ram cons-
truídos com · os encontros apoiados no 
solo, no local da própl'ia construção. 
Posteriormente, foi a cobertura total 
transportada para sua posição d:efini-
tiva por meio de um movimento que 
8 
realizou um deslocamento vertical de 
10 metros . A figura 1 mostra um dos 
galpões após a concretagem ainda no 
:!lolo e outro já em sua. posição defi-
nitiva, a 10 metros do solo. 
2 _ ___: PONTES D 'ESBLY E 
SAINT-lVIAURICE 
FIG. 2 - Ponte D'Esbly 
As pontes D'Esbly e Saint lVIaurice 
foram construídas em partes premol-
dadas. e transportadas ao local. \\ . 
Na JPonte d 'Esbly, as partes pre-
moldadas foram executadas próximo 
Frv. 3 - Ponte Saint-Maurice 
ES.TRUTUR.A ~ N• 1 
··' 
F ia. 4 - Hangar em Nassandre 
ao local e transportadas p,or guin-
daste, como mostra a figura 2, cnquan-
to que na Ponte cl lJ Saint-1\faurice, os 
pedaços prcmolclados foram doristruí-
dos l_onge do local e transportados por 
YJa marítima, como se Yê na figura 3. 
( '11 HI "'" 1 I (1g 11 11, p1 ·1 •111 1o'ld111l o 
/o,',"f' l,'11 '1'11 Nl \ 
.. 
Com.po1:;ta por uma infr·a cstr1rLurn 
construída de muros laterais, dotados 
ele consolos moldados no local, sendo 
as placas intermediárias premoldadas. 
1 
r 
Frn. 7 - Transporte de urna laj e premol-
c1ac1a para consbi" ção ele edifício. 
P ia. 6 - Detalho rlo castelo dágua da figu-
ru. :;, v< ' 111l o-s1· ª" plneas p rnmolcladas que 
l"on11n1 11 n" 1m 1"(•dl'" tl o l' C~ <' 'l'vatório 
9 
Estas placas tinham a altura de 6 
metros. Por sôbre o muro, fói exe-
cutada uma super-estrutura construí-
da por vários arcos. Êstes foram divi-
didos em duas metades, cada uma pre-
moldada e transportada ao localpor 
meio de guindaste móvel. A emenda 
no fêcho se realizou por meio de con-
cretagem na chave, como se pode per-
ceber do exame da figura 4. 
4 - OUTRAS OBRAS PRE-
MOLDADAS 
Apresentamos, a seguir, fotografias 
de outras obras premoldadas, realiza-
das na França e que despertam maior 
interêsse do ponto de vista da con-
cepção do sistema de premoldagem. 
Nas figuras 5 e 6, vemos um castelo 
dágua, onde foram usadas paredes pre-
moldadas, em forma de casca cilíndri-
ca, com a concavidade para o exterior 
da caixa, de modo a entrar em com-
pressão com a ação do empuxo da 
água. Vê-se na figura 6 uma destas 
cascas premoldadas, antes de ser con-
duzida ao local. 
,1 
· .. · 
/ I 
FIG. 9 - Transpor te de um quadro ríg ido 
p1·rm oldftdo 
10 
Vemos, também, na figura 7, o trans-
porte de uma grande laje premolda-
da, destinada à execução de piso de 
edifício. 
Na figura 8, apreciamos o trans-
porte de um lance total de escada pre-
moldada. 
Nas figuras 9 e 10, vemos quadros 
associados premoldados · transportados 
(Fig. 9) e já colocados no local (fig.· 
10). 
FIG. 8 .a.... Transporte de um lance de escada 
premoldada. • · 
l' l.G . 10 (~ 11:1.droH rí g idoH pn•111oli111tloH il 11 l'i 
g u1·a !l _j {1 11 0 l1w11l d11 "'111."l 1·111;111 1, 
!\, ' 'l 'NI 1·1·1 /N 1\ N 
REPORl'AGENS TÉCNICAS 
ºFi g. 1 - Vista do estádio de natação projetado para o Bôca Júnior vendo-se os arcos 
metálicos giratórios. 
UM GRANDE AUTOJYióVEL CON-
VERSíVTJL DE CbNCRETO 
ARMADO 
Nas VII Jornadas Sulamericanas 
d o l•Jn gcnharia Estrutural, o engenhei-
l'O ,José L. Delpini professor da cadei-
rn < ;onc1·cto Armado da Faculdade 
de: l~n ·cnharia da Universidade de 
J{ u1' 11 0 .· · Ayrcs descreveu um projeto 
tl c• 1-nia autoria para cobrir uma parte 
' lo c·arn po lo esportes do Club Bôca 
. J1111ion.; mi, qual se inclui urna piscina 
<1 11 c·o 1ic1·r l o armado e grandes arqui-
l 11 111 c·11il m;. 
( :0 111 o obje ti vo de dotar o estádio 
ti l' 1111111 t'o lll'rLu1·n lot.al para as épo-
t ' ll H d1 • i11 v1q ·11 n 011 dim1 d huva qu 
llllii l'H/'\I' Hl' I' 1·1·111o vid11, 1101' dim; Cill ' ll· 
11 1•, 11 1•11 •'1•11li1dro . lrn-1 1 klp i11i q11 0 
111111 d1'lllll ll { 1'111111 111 ·in·i11 il itl 11iJ11 1' •1·1111 
1 ·' " / ' l .'/.l l 'l li,' ' N 1 
de equilíbrio em suas concepções es-
truturais, imaginou dotar o seu proje-
to de unía cobertura de forma idêntica 
, àf':~ capotas dos automóveis conversí-
veis. 
No seu conjunto, como se vê nas 
figuras aqui apresentadas, o projeto 
nos dá realmente uma idéia perfeita 
de mna capota de carro convertível. 
Mas não se ·trata de um automó-
vel · conversível de passeio Chevrolet 
ou Cadillac e sim de uma notável con-
cepção arquitetônica pois que se utili-
za de um sistema usado nas viaturas 
para projetar uma capota conversível 
de 100 metros de vão livre. 
Os problemas a enfrentar foram 
o ' rn ai8 completos e todof': êles foram 
rnsolvidos com m::i cst1oia. 'l'odos os dc-
ln. llH'N d r:-; !n jll'Ojc•!o f"C)l'(Lfl1 dC'8<Wito. 
11 11, ('Olil'!'l'f. IH' ill. l[lll' O 1\ 11 101' l '(' IJli 11011 llli 
li 
sessão inaugural das VII jornadas Sul-
americanas de Engenharia Estrutural. 
Um dos problem:J.s mais sérios foi 
a concepção elo maquinismo que auto-
màticamente sem depender da habili-
dade humana movimentasse os arcos 
que teriam que girar com velocidades 
diferentes. Êstes arcos, projetados com 
secção de aço, teriam que partir de 
sua posição horizontal quando a ca-
pota estivesse aberta e atingir a po-
sição jndicada na figura 2, cada arco 
vimentasse com velocidades diferentes, 
numa maravilha de concepção mecâni-
ca de grandes proporções. 
A parte que cobre as arquiban-
cãdas é constituída por uma casca de 
concreto armado e a parte móvel ( ca-
pota) foi proj etada em are-Os metáli-
cos com uma cobertura de matéria plás-
tica. 
A piscina tinha 20 m x 50 m e a 
capacidade das arquibancadas era de 
14. 000 espectadores. 
Fig. 2 - Corte do estádio (natação) do Bôca Júnior vendo-se na metade diI'eita as arqui-
bancadas e o corte da casca de cimento armado e à direita a capota móvel. 
,. 
percorrendo para isso uma trajetória 
de percurso diferente. Para a perfeita 
sincronização .dos movimentos foi pre-
ciso dotar a engrenàgem de transmis-
sões do tipo das usadas nos diferen-
ciais dos automóveis, fazendo com que 
os m·eo.· :oh um comando {mico s mo-
Maiores detalhes dêste projeto se-
rão ainda apresentados por ESTRU-
TURA que publicará uma sensacio-
nal entrevista com o engenheiro Jo •é 
L. Delpini a qnal ."er{t aeornpanhacln. 
de ap1·cs nta<,:}io de 1r{i l'ios p 1·oj1•I OH " 
ohrnH clr~S(' 110IÍ! v 11 I (' ll g'<' IJii( •iJ'O . 
/ •', " l'l,'l /'! '/ I N N I 
• 
COI' 1m 'l' l l{.A 
1\ 1 r<;'!'B, J)l~ 
ON JRETO 
DJ~ MAJS 1m 300 
VÃ O J1IVlm EM 
PRE::.vl:OLDADO 
Na i· Yda Saturday Evening 
Post e. tá anunciado um sistema de 
eon 'trur:ífo de arcos premoldados que, 
segundo a firma Universal Atlas Ce-
rncnt Company, poderá atingir um 
quinto dl' mi lha de vão li:vre, cêrca de 
;~20 metrns que constituirão o récorde 
mun iial de estrutura dêste tipo. 
Trata-se de arcos de concreto ar-
mado com dupla curvatura (cascas) 
que são premoldadas e associadas em 
série de modo a cobrir qualquer vão. 
Apresenta como de maior inte-
l'êsse o fato de se tratar de cascas com 
dupla. curvatura constituída. de uma. 
s'ü e de partes premoldadas o que re-
presenta urna interessante concepção 
sob o ponto de vista de economià do 
rn a teria l. 
ESTRUTURA ENTREVISTA 
A partir do proximo número, 
ESTRUTURA irá iniciar a sua sec-
ção ESTRUTURA ENTREVIS-
TA, com ·a apresentação, em cada 
mímero, de uma ,entrévista com um 
t · n.ioo estrutural, brasileiro ou es-
trangeiro, de notório prestígio. 
f á se acham programadas entre-
fli sta om dois engenheiros e profes-
.~õr s strang iras, mundialmente a[ a-
111 1cl s: Professor f o·sé L. Delpini, 
d · litr 11 , Air s, e o Pzio{essor Fritz 
,t.,' tii ss i. ele uí a. 
l!.nf)C nli ir José L. Delpini é 
• 11f'< •drMic do ad Ít '.a Concreto Ar-
111.1clo . e/ 1 f?11c11/dad de E ngenharia 
./1 · /1111 ·110.\ !\i1·cs. 1Tsp nsáu / por wn 
, , .,,, 11111111 · ro clc obras de urrlt , clro1, 
"''" ' 1• .111.11!0 ~ li1 o .~ 1· cl<' ("( 11 <'<'/;rocs as 
///.ti ,,, ,., ,,,.ft \ 
N t 
O Professor tii • i Presidente 
da A s.sociação I nternadon,al de Pon-
tes e Estruturas, com sede em Zurique, 
professor catedrático de Estática das 
Pontes e Grandes E struturas em Aço 
e Madeira, da "Technischen Hoch-
shule", de Zurioue, .e também autor 
de obras notávei~. 
Nas entrevistas que ESTRUTU-
RA realizará com engenheiros estran-
geiros e brasileiros, será apresentado 
um fichário contendo o currículo do entr~vistado e, .em anexo, as caracte-
rísticas técnicas, com documentacão 
fotográfica de suas obras mais i~te­
ressantes. 
A documentação das obr:as e pro-
jetos apresentados nesta Slecção for-
mará no futuro, um volumoso fichá-
rio de obras, oue poderá servir oomo 
objeto de cons-ulta: pois ESTRUTU-
RA publicará, periódicamente, o índi-
ce de tôdas as obras fichadas. 
AS VII JORNADAS DE ENGE-
NHARIA ESTRUTURAL 
"No período de 22 a 29 de Julho 
do corrente ano realizaram-se em Bue-
nos Ayres as VII Jornadas de Enge-
nharia Estrutural às quais compare-
ceram representantes do Brasil, Ar-
, gentina, Uruguai e Chile. 
As Jornadas Estruturais congre-
gam, de dois em dois anos, os enge-
nheiros da América do Sul, a fim de 
debater os problemas que se relacio-
nam com as estruturas de um modo 
geral. 
As duas jornadas anteriores, as V 
e VI Jornadas se realizaram em Mon-
1 ('1·idéo e Brasil, respectivamente . 
l•'o l'n 111 ap1·e. C'ntados cêrca de 40 
1 rnhnllio:-; li do:-; e drlrnt iclo.· i10 on-
11·1·1• :-;1-111 1• do:-1 q1111i 1-1 l•;S'l'H,(J'l'IJ IU\ r. -
11 
' traiu os resumos que apresenta neste 
número. 
Além dos trabalhos dos engenhei-
, r·os sulamericanos dos países r epresen-
tados nas Jornadas, foram lidas comu-
nicações de engenheiros europeus en-
tre os quais os engenheiros Georg An-
ger da Alemanha e Ernst Bittner e 
Wilhelm Valentim da Austria. 
Alguns dos trabalhos dos enge-
nheiros da Europa, cujos resumos es-
tão apresentados neste número, serão 
publicados na íntegra nesta revista, 
em números próximos. 
O Brasil se fêz representar pelos 
professôres : Aderson Moreira da Ro-
. cha (3 trabalhos) e Antonio Alves de 
Noronha ( 1 trabalho), ambos do Rio 
de Janeiro; Pedro J. B. Gravina (1 
trabalho) de São Paulo; Danilo Smith 
e Eladio Petruéci ( 1 trabalho) do Rio 
Grande do Sul. 
Ficou decidido que as próximas 
Jornadas serão realizadas em 1959 no 
Chile. Caso êste país não possa, por 
qualquer motivo, patrocinar as VIII 
Jornadas, foi escolhido o Brasil para 
país substituto. Neste caso serão as 
Jornadas realizadas provàvelmente em 
São Paulo ou Curitiba. 
li 
! 1. 
j '~ . 
COBER'l'URA EM CASCAS CILÍN-
DRICAS 1VléLTIPLAS SEJ1 VIGAS 
DE REFôRCO NOS BORDOS 
. LÁTERAIS . 
Projetado pelo Professor F. Sar-
mento Correia de Araújo, da Faculda-
de de Eng·enharia do Pôrto, em Portu-
gal, foi c;nstruído o hangar de ~e.dra~ 
Rubras, cuja principal caractenstica e 
o fato de se tratar de cascas cilíndri-
cas múltiplas sem viga de bordo, em-
bora as tangentes nos bordos extremos 
não sejam verticais . 
Conforme diz o autor do projeto, 
em uma publicaGão separata da revis-
ta portuguêsa ENGENHARIA, de fe-
vereiro de 1950, da qual extraímos esta 
notícia, só havia até então um único 
exemplo de cascas dêste tipo e, mesmo 
ass.im, com vão pequeno ( cêrca de 10 
metros). 
O hangar de Pedras Rubras, cujo 
aspecto se vê no clichê abaixo, tem 25 m 
x 30 m em planta, com uma. entrada 
ampla de 30 metros de largura por 
6,5 m metros de altura. É · composto 
de 3 cascas associadas, tendo cada uma 
30 m de comprimento por 8 m de cor-
da e 2,5 m de flecha . A espessura da 
casca foi de · 8 cm, tendo sido adotado 
3 sistemas de fusos metálicos, ligando 
entre si os bordos laterais, com o fim 
de diminuir a flexibilidade horizontal. 
(._ 
· 1 
11,•,"J' /,'ll / ' /l I,' ' N 1 
• 
' 
O PALACIO RESIDENCI.itL 
PRESIDENTE DA REPUBLICA 
BRASIL IA 
DO 
EM 
A Arquitetura Moderna e a 
Estrutura 
A. cham ada Arquitetura Moderna 
L<• ni cindo l ug~r à criação dos mais ou-
snclo1-1 u orig in ais, por vêzes. excêntricos, 
1 i po1-1 d« 01-11.nituras. 
N111> foll\' ponto de vista, tem surgi-
do cll'l>nl< 'H <k opiniõ s, nem sempre 
1111il'11r 1111 ·1-1, do c• ngcnhciros e arquitetos, 
11 11 s 1·11 111 apt'<'<·in(:Õcs sob o ponto de 
1 i1-1 111 <'H l 1·11l 11nd , oul. 1·0, sob o aspecto 
cl li 1\ l'Cj 11i1t•l111·11 . l 
l•J 11l 1·1· 11 1-1 q111• 1-1 IÕ<'H HÔ l>ru as quais cli-
11'1 ' 11'11 1 11 1-1 p1 ·o l'iH 1-1 i1111ai >; eiLaclos., uma 
d11 H 1111tiH i111p1 1rl.1111l oH HC' l'CH lllllC lHt in-
d11 111•111 1 <) 111111 :11 1111 •111 0 <li' 1111H1. eons-
l 11t1 •111 1 cl1 • l•HI il11 111rnl 1• 1·1111 cl1 w1: H<' t' d l'-
p1 •11 1J1 •11l1 • il11 l'11111 •i1111 111111 •11l11 <'H i.Íilic·o 
t1 11 1· 1111 1111·11 , 1111 11 111 ·0.H11 i111 1·i;1 r 11 L1 1 
IH d11 11• 11 d 11 pl 11 1· l ' 11/'I 111 /IÍ H li11·1•1-1 1'0 11 
I] I" Ili ' 111 ljll 11' 1111111 •11 1 
11 11 1'11111 1111 "~ 111 1 11 ~ 1•111l11'11i de • 11 11 
1 1iJ11 11 11 q 11 P d 1 I "11d1 •111 11 1•l'l 'oi1111li11111 
da · Estática sôbre a Arquitetura e ou-
tras correntes de arquitetos que pug-
nam poi' uma Arquitetura moderna in-
teiramente livrn da influência da es-
trutura. 
, 2 - O futuro Palácio Residencial 
do Presidente da República 
Entre os projetos modernos s.e des-
taca como 'de grande interêsse, no mo-
mento, não só pela significação do seu 
destino, como pelo arrôjo de suas for-
mas, o Palácio Residencial do Presi-
d('ntc da República, em Brasília, do 
a rquit<-1 o brasileiro de renome mun-
d ici I Ocwa 1· í\i('m ayc·1" <:njas gravuras 
11q11i 11p1'l'Sl' llla<laN no:; <l ~o uma idéia 
d1· c·o11j1 11!1 0. 
1•: 111 n· OH j)OlllOH 1·1·1·o l111 ·io111ír ioH ci o 
lll 'll,j1·l11 1•Íl11d11 l'HllÍ 11 1'111 ·11111, d11cl11, llOH 
pillli'I '' l' l1 ,i11 ll '1 jli 'l' l11 ~ 1 · 111 •1111 i111lil'llcl11 
1111 1111 111 ·11 ,, 
fa. Chadas do Palácio R esidencial elo Presidente Vista ele uma ela~ 
ela R.epública em Brasília 
3 __ Debates de opiniões 
Com o fim de tornar conh~cidas ~s 
opiniões de engenheiros e arqmtetos so-
bre tão palpitante assunto, EST~U­
TURA lança, para serem respondidas 
por seus leitores, as seguintes pergun-
tas: 
1) Como interpreta a interdepen-
dência entre a Ar quitetura Moderna e 
a Estática das construções~ . 
2 ) Que acha do projet~ r:s1den-
cial da Presidência da Republica em 
Brasília, sob o ponto de vist~ da sua 
estrutura, Ínclusive da nova forma da-
da aos pilares? 
Para explicar a concepção do proje-
to aqui focalizado, ESTRUTURA ou-
vir á a palavra do Arquite;o 0.scar 
Niemayer que, por certo, sera . ans10sa-
mente esperada pelos nossos leito:..::· 
,.. · Cl b de Engenharia Conferencia no u 
No dia 6 ele agôsto prox1mo passado rea -
lizou-se no auditório elo Clube de Engenharia 
perante uma seleta e interessada .ªs.sis:ênc~a 
uma conferência do Prof. Fritz Stuss1 CUJO 
tema foi "Considerações sôbre uma teoria da 
Resistência à Fadiga". N esta ocasião o con-
ferencista teve oportunidade ele apresentar 
alguns estudos inteiramente originais. 
Como se sabe o ilu ~tn• v is itante al ém <k 
vrnf. ela U nivcrs iclarle rl o Zuri ch , 6 pn•Ri1l !' ll · 
l n d:~ AHH OC"in<;íl o l 11Ll' l' ll Jl('iOllltl d (' l'onll'H (' 
11:1"t t r11\t 11'll l't ~ 1 v11 111 dt • 1·111 •11J1PI' li \d1do dP do11 
\111 · i1 11 opt11'11'l i•11wo 1" p1d 11 \ l n \·111 1d11 d1• dq 
1 1 1 11 ~ 1 1 
~l l 1'111 11 111• 111 11 \ 11 i • 1111 1 l'\111• 11111 111 dn 11 11 11 
IH \! JI P \11' q11 J 11d 11 1 
e o N e E 1 T o M o D E R N o D J1.1 
SEGURANÇA DAS CONSTRUÇÕES (1) 
SAMUEL Cr-IAMECKI 
É crença, generalizada entre os lei-
gos de que as soluções de nossos pro-
blemas são exatas. 
Nós engenheiros sabemos o quanto 
é falso êsse julgamento mas, até pou-
co tempo atrás, não nos dávamos con-
ta de quanto era falsa a nossa crença, 
também. 
Analisemos o caso da engenharia es-
Lrutural através do nosso procedimen-
to no cálculo de uma estruturai. 
IDm primeiro lugar damos forma à 
<'NL rntura obedecendo a r azões cons.tru-
'./. , 
q = _E_ 
s 
(f 
s Cí - _B_ <r. (o) R" s 
<JR> 1 s = q 
p lq ~R 1 
o 
R 
(C) 
4 
, · 
.. 
99'}'0 
1 
Valores 
1 
1 
1 
>CT 
-
IR 
tivas, econômicas, etc. Em seguida ob-
temos os esforços externos. ativos ou 
cargas e calculamos os esforços exter-
nos reativos e os internos solicitantes 
e resistentes ou t ensões. Finalmente, 
baseados nas propriedades mecânicas 
dos materiais empregados, dimensiona-
mos os elementos estruturais para que, 
com uma margem de segurança, supor-
tem os aludidos esforços sem sofrer 
ruptura ou deformações excessivas in-
compatíveis com a finalidade da es-
trutura. 
R 
(b) s = p->l 
1 p = ~ l 
E 
(d) 
s 1>1 - imperfeito avaliação de P , 
s
2 
> l · teorias, imperfeitos 1 e te . 
sn > l - consequências do rui no 
\ s = s1 x s2 • ..... • sn 1 
R \jR m (e l 
) 1'10. J 
1
1
1 ll1• 1111"l111•\111 cl 11 ( '11111'" 1' 111 •111 i 11 11 11 g 111'1il d11 H ll' ~ .lorn11<ln H Hul111l1 C'l' ic•.n,nn,R de l•~ng -
1111111 111 1: 11 111111 111 1 p111111111l' l11cl11 1 111-lo 11 1il"1', <' 111 j 11lli t1 do • l!I GG, 11 1L 1•:H<'n l11 N111· io111d d o 
1 11 11 111 11 11 111 11111 ,i., ,111 11 11 1111 , 
I , 1 1 '111'111,' \ 17 
Conscientes da inexatidã0 de ·nossas 
soluções, resguardamo-noscom o uso 
do tradicional coeficiente de segiiran-
ça e vamos dormir tranqüilos porque 
estamos na falsa crença de que, assim 
procedendo, as soluções de nossos pro-
blemas são perfeitamente seguras. 
2 - Evoluç~o do conceito de coe-
ficiente de segurança. 
São conhecidos, da Resistência dos 
Materiais, os denominados critérios de 
1·esistência que relacionam os esforços 
internos resistentes (tensões), em um 
ponto qualquer da estrutura, com a 
desagregação elo material (ruptura ) ou 
com a deformação que ultrapassa num 
certo limite (escoamento) . A condição 
de ruptura é usada para os materiais 
frágeis que rompem sem escoar, isto 
é, sem grandes deformações corno, por 
exemplo, o concreto simples; a condi-
ção de deformação limite é usada para 
os materiais dúcteis que escoam antes 
dai ruptura como, por exemplo, -o aço 
doce. Em qualquer dêsses casos, porém, 
tem-se a condição de estabilidade elo 
material em um ponto ela estrutura. 
Partindo elo caso mais simples e bem 
definido que é o do fio muito fino que 
deve suportar uma carga suspensa P 
e rompe com uma carga R (fig. la), 
generalizou-se o conceito de que para 
estar satisfeita a condição de estabi-
lidade de uma estrutura, é necessário 
que esta condição esteja satisfeita em 
todos os seus pontos. Isto equivale a 
dizer 'que, não estando satisfeita a 
condição ele estabilidade em um ponto 
ela estrutura, esta não é estável. 
E, assim, o significac10 tradicional 
ele coeficiente de segurcinça é forne-
cido pela relação : (, 
<TR tensão limite obtida em ensáio normal 
8 = -o; · ~ tensão admissível adotada no cálculo 
:N" o caso elos materiais frágeis 0~1de 
o critério ele estabilidade em um pon-
to é a ruptura, há conciclência da de" 
sagregação elo material com a ruptura 
ela estrutura. No caso, porém, dos ma-
teriais dúcteis onde o critério de esta-
bilidade é um limite de deformação 
(escoamento), demonstrou-se qu a es-
trutura não deixa ele ser estável em 
coincidência com o escoamento do ma-
terial em um ponto. 
Admitamos que o cliagraifia tensão-
cleformação, de um material dúctil, se-
ja composto de duas retas: a primeira 
inclinada ele acôrdo com a lei de Hooke 
e ~ outra paralela ao eixo das defor-
mações, correspondendo ao limite de 
escoamento u. elo material (fig. 1-b). 
/ •,','' /' /,'/ /'l '/ I/,' ' N 1 
Se, em um pórtico bi-engastaclo (fig. 
1-c) e solicitado por uma carga cres-
c~nte, uma das secções tornar-se plás-
tica, esta continuará a se deformar 
(trecho horizontal elo diagrama (}' _ i:) 
sem receber os esforços adicionais que 
outras secções passarão a suportar até 
que, por sua vez, entrem em escoa-
mento. Quando o número ele secções 
em escoamento (rótulas plásticas ) ul-
t~apassar em uma unidade o grau de 
lir;_)erestaticidade ela estrutura, esta es-
bttá transformada em um mecanismo 
( a.deia com um grau de liberdade) 
<l entrará em ruptura. O valor da car-
ra, nêsse momento, representará a 
carga limite. 
, l ~ ssa concepção das rótulas plásticas 
d a l.ugar a um método ele cálculo elas 
«'N \. 1'.11 tm:as hiperestáticas que €1.if_ere, 
!'l i,( l 1ealmcntc, elo método geral clássico 
1>11.s<:ad.o nas propriedades elásticas elos 
n111 i(1 1·iais. 
1·11ptura ele uma laje de · concreto 
1L1'11111.do (fig. 1-cl) dar-se-á no limite 
cl P 11n1 carregamento crescente, no mo-
1111 •111 0 <'m que se completar a forma-
1•1 10 dp finhns plásticcis cóm uma con-
figuração tal que separe a laj om par• 
tes insustentáveis pelos vínculoi> <' 
ternos (1 ). 
Nessas condições, é assim traduzido 
o significa.elo moderno ele coeficiente de 
segurança : 
0 
_ ll _ carregamento que rompe a llstrutura 
' - P - carregamento real ou admissivel 
Evoluindo, também, o critério para 
a fixação elo valor a ser adotado :para 
um coeficiente de segiirança, usa-se, 
modernamente, decompô-lo em fatôres 
(coeficientes parciais) devidos prin" 
cipalmente à: 
19 ) - imperfeita avaliação elas 
cargas; 
2°) - variabilidade elas caracterís-
ticas dos materiais· 
.. ~:) -:-- imperfeiçÔes elo cálculo ( cle-
hciencias elas concepções teóricas)· 
. 49 ) - imperfeição na execução das 
pes~s na obra ( clefe~t?s ele montagem) ; 
u · ) - responsabilidade elas conse-
qüênci.as ela. ruina que aumenta quan-
do existe risco ele vidas humanas e 
maiores prejuízos materiais. 
Êsses itens são amplamente exami-
nados, em cada caso; estabelecendo-se· 
111 t111 1111d 1 1 l111111 ~t 1P l t 1 , ",<_ '(tl 1•11l11 , 11.0 1·11g i 111P d1 ~ rupl.ur·n, dn:-t ta ,·1PH tl o OtH•, rct.o ar-
11111111 ' " " •' Il i " I• 1 ( 1 1 1 1 ' •• 11 ;11 1 11•11 110 •" . l 111111i1·0. t•: t1i 1;11o 11\ 111ili w d11, o ampl in<la elo 
l 1 1lu1 \1 1,, 1•111 11,11 1'11d 11 1111 \111 Ili d 11 t•:N1 ' !( ' ! ,()l' 1·! l >I/\ ' l' 101( JN I<'\ l l N JVl •: ll HAL d r ~ t•:di· 
1 111 f l 1111 111 l '11 1l 11 \ ljlJ t p 1 
N / 11 
um coeficiente parcial para cada um 
a·êies:'::: , . 
s1, s2, s3, ... •• . . . , Sn· . O valor do 
coeficirm te de segurança global r esulta 
do ·produto: 
S = S1 X S2 X ... . . ..... X Sn 
'-·Quando é possível um tratamento 
estatístico- tem sido reduzido à uni-
dade o fator relativo à variabilidade 
das cara.cterísticas dos materiais, sele-cionando~se valores, para as t ensões 
limites, inferiores a, por exemplo, 99 % 
dos valores prováveis (fig. 1-e) . 
3 - Ruinas inevitáveis. 
Apesar da evolução do conceito de 
coeficiente de segiirança e de se uti-
lizarem, no cálculo estrutural, valores 
comprovadamente bons, não é rara a 
verificação de ruínas catastróficas (ruptura) ou ruínas por deformaição (excessiva, incompatíveis com a fina-
lidad.e) das estrutmas. 
Excluindo, evidentemente, os casos 
devidos à incompetência ou descuido 
dos profissionais envolvidos, referimo-
nos àqueles em que a ruína se veri-
fica por motivos incontroláveis pelos 
procedimentos tidos como ortodoxos 
na engenharia estrutural. As causas 
mais comuns são as devidas à: atua-
ção de carga excepcional e imprevista, 
deficiência dos métodos de cálculo, fa-
lhas não visíveis nos materiais o:u con-
dições que alterann as suas proprie-
dades mecânicas ou, aiuda, coincidên-
cia de causas de favoráveis menores 
que se somam. 
Vejamos alguns exemplos de ruínas 
de estruturas motivadas por causas in-
controláveis pelo calculista. · 
Na figura 2 vemos uma ponte de • 
concreto armado (construída sôbre o 
Rheno) destruída, quando o despren-
dimento de terras de um mono late-
ral depositou sôbre a mesma uma pe-
dra de 100 m3 de volume. 
Trata-se de uma carga excepcional 
que, podendo ser imaginada ou pre-
vista, não é considerada no cálculo, por 
razões óbvias. 
Da mesma natureza é a causa que 
destruiu a ponte sôbre o Rio Shellrock (Phymouth, Iowa) vista na figura 3. 
Uma manobra infeliz do caminhão que 
1•' 10. ~ H11i11n di · 11111 11 po 11l P 
/ •',1/'l ' l ,' l / '( l ll,' ,\ N I 
FIG. 5 - Ponte de Tacoma durante a ação do vendaval 
11 111 pu1Tava o automóvel avariado, que 
n p 11.1 ·t'CC no 2 9 plano, atirou-o contra 
11111 11. diagonal da ponte, causand~ a 
tm ruín a, após sessenta e quatro anos 
dt1 t•x ístência. 
N'u. l'í gnrn 4 vemos um caso de rui-
1111 d t• 11m a ponte, conl'truída na Rús-
111, d t•v ida, às deficiências .dos métodos 
dl' 1·1í lrnlo pm·a previsão da rigidez la-
t eral dos banzos superiores comprimi-
dos. 
A investigação teórica posterior, foi 
um dos notáveis trabalhos de F. S. Ja-
sinsky. 
Caso de urna ruina devido a defi-
ciente concepção teórica do problema, 
que consiste em admitir como carga es-
tática o que é necessário considerar co-
/ ;--
/ / / , . I / 
.. ~/\'/! ,., \ 
_ _.><.. ~ ~ 
1 141 11 
I 111 111,• i Nl 
FIG. 7 - Ruina de uma ponte de concreto armado 
FIG. 8 - Rui'na d , um edifício por dei' ilo d<' fonclàção 
22 
FIG. 9 - Ruina ele um conjunto ele silosmo efeito dinâmico, é o da célebre 
ponte pensil de Tacoma (U •. S. A.). 
Projetada para resistir à ação estâtica 
de um vento de 245 kg/ m2 , foi destruí-
da em 7 de novembro dê 1940 p~lo rei-
terado efeito c11nâmico de um venda-
val de 25 kg/ m2 ele pressão e de cêrca 
de 60 kg/ h de velocidade, isto é, por 
uma sobrecarga dez vêzes ·menor que 
a prevista.' Na figura 5 vemos a pon-
te durante a oscilação torcional que 
precedeu a ruína. O momento do des-
l•'i(I. l ll 
prendimento do taboleiro pode ser 
apreciado na figura 6. 
Na figura 7 vemos o que foi uma 
ponte em arco de concreto armado. 
Constatou-se ter sido a causa da 
r uína a Íná qualidade de materiais 
constituintes. e que não participaram, 
acidentalmente, das amostras pesqui-
M dM. . 
Dentre as ruinas devidas a condi-
ções especiais que alteram as proprie-
dades mec.ânieas dos mat-eriais resis-
2 
uma grande probabilidade de ruína das 
e::;truturas. 
}faior do que se poderia julgar, sem 
uma análise mais atenta da questão, é 
o número de ruínas por deformação 
excessiva. 
Na figura 11 vemos um caso típico, 
bastante comum, de ruína por defor-
mação causada em· prédio existente, de-
vida a fortes rec.a:lques diferenciais 
. provocados por uma edificação nova, 
FIG. 11 - Huina de um edifício por 
fluência de recalque do vizinho 
in- ·vizinha, que inclui, no seu adensa-
tentes, ·estão inúmeros casos de aci-
dentes em fundacões. 
Nas figuras 8, 'g e 10 vemos dois ca-
sos de ruínas - um edifício e um con-junto de silos - devido à formação de 
superfície de escorregamento ao ser 
vencida a resistência ao cizalhamento 
do solo subjacente. 
Nas regiões sujeitas a abalos sísmi-
cos, por maior margem de segurança 
que adote o calculista, resta sempre 
1mento, uma faixa ele terreno ao se~ 
r redor. 
1 
Dentro das limitações econômicas em 
que se eleve cingir o estruturista, difil-
1 mente poderia precaver-se contra êsse 
! risco de ruína. i Digno de nossa atenção é o caso de· 
ruína de estrutura isolada que faz par-
te de um conjunto de estruturas iguais, 
executadas em série, e que trabalham, 
aparentemente, em idênticas condições. 
· Ruína dêsse tipo podemos ver na 
figura 12, onde uma tôrre de teleco-
H11i11 11 dt1 1111111 l t'11 · 1·1· 11wt (1li 1• 11 
municação aparece tombada pür fü~ 
racão. 
E, assim, após um largo período de 
amargas experiências, chegamos à de-
soladora conclusão de que é falsa a 
crença de serem seguras as nossas so-
luções. 
Parece ser impossível eliminar total-
mente O rÍSCO de ruína de nossas (IOll H 
fruções. 
Ê necessário, pois, fazermos uma 
revisão em nossos conhecimentos e, o 
caminho a seguir, é o estudo acurado 
da natureza das grandezas que inter-
vêm no cálculo estrutural. É o que 
faremos a segueu. 
4 - Natureza das grandezas que intervêm no cálculo estrutural. 
70r------------,.------.,------ ----, 
65,__ _ __ _ _ _ __ ___, 
{J() f--- - - - -----; 
55 ~-------1 
50 ,__ _______ _ ___, 
~ 
~45 ,__ ________ _ 
(J 
~40 >----------·--< 
~ 
~J5 r------~----; - ~ 
_() JO ,__ ______ _ ___, (J 
·~ 
<:i 25 ~ !------ - - - --; 
q) 
i(zo ______ _ ___, 
!5 1-- ------l 
'º 1----- ----1 
.5 1---
o i-- PeJXJ e:;~c/lico 
2000 2 /00 2200 2300 2400 2500 2600 2?00 Z(JOO k9/rn:J 
Oisér>ibuição do pêso espeC/Vco do concret"o 
Result a do de l/?í?O cp. de várias p/'ocedênàas 
(i..Nf.C - Lls.6óa- 195.J) 
Fm 13 
\ 1111111H ()l1H1•1·1•111 · d1 · i111 1' ili;il.o q1w, 11 ií 11 1·x is1<' 111 1'1lio1·1•s ri xOS para as g rnn -
dt' l'.l lH. 1111 1 1111 1 111 11 l '/ IHll lll l ll H iH ' ltl dt'i'i11idoi-;, 
I " /'/1'/l i 'l//1111 N I 
Na realidade utilizamos, no cálculo 
estrutural, valores médios em tôrno 
dos quais, com freqüência geralmente 
decrescente, oscilam valores dispersos 
dessas grandezas, com maior ou me-
nor amplitude: 
para pêso específico do concreto = 
= 2 .400 kg/ m3 ; no entanto, na figura 
13, vemos a distribuição dêsse valor, 
como r esultado de 1. 220 corpos de pro-
va de várias procedências (L. N. E . C.) 
- Lisbôa, 1953 (1 ). 
As normas técnicas mandam adotar Distribuição semelhante obser vamos 
.__ 
.__ 
f--, 
J ~ ode //e/o cio'. 
o~~~~~wm~w~~~oo~=~/horo 
!Peqüéncias ch:s PO_joalos máximos dt0->1as 
Resultado ~ J.5.95 dias de ve/>tficoçào en7 
Lisbôa (LN.E.e- Lisbóct- 194t a 1950) 
FIG. 14 
na variação involuntária das dimen-
sões das peças, na obra, em tôrno das 
especificadas pelo cálculo. 
apresentou como um dado bem defini-
do do problema, aparece como uma 
variáYel, r egida pelo acaso. 
Assim, a carga devida ao pêso pró-
prio da estrutura, que sempre se nos 
O mesmo se verifica para a ação do 
vento, vendo-se, na fig. 14, as freqüên-
~ 
~20 -----------------, 
~ 
~15 ~ ,__ _ _ 
~ 
ti 10 1-------1 
·0 
·S -~ 5 
~ R 1s istênc10 ~ o [__~=:L_L_l_l__L__J__L__L_L_.!---"=~~7-7 
75 95 115 135 155 175 195 215 2:35 255 2?5 295 Jl.5 335 J5S J?S /c.91ÓJ?2 
Conbole de conct>eéo 
Resistência à cornoressâo 
FIG.' 15 
C') Gráficos de frC'qür 11 cia n 1laLiva vf>r págH. 190 o I Hl dt ~ H11 111111-I ( 1\i11111n(· I i 11 <1111 ',M 11 
(l c• f·:Htát i<':-1 d:\:< C:o 11 Hlrt1 r;õ1•:.;" Vo l . 1 J•:d . ('i1• 11l íl' i1 ·11 l!io d1· .l 11111•irn l llfill , 
6 / IS 'l ' l.' I 1'1'1111''' N ' I 
FIG. 16 
cias das rajadas máximas diárias, como 
resultado de 3. 595 dias dé verificação 
(L.N.E.C.) - Lisbôa - de 1941 a 
1950). 
O mesmo acontece em relação às 
pl'Opriedades mecânicas dos materiais. 
Na figura 15 vemos a; distribuição 
elas resistência~ à compressão de 
1 • 332 corpos de prova de concreto 
( T . :N-. T. - Rio de Janeiro ) . 
Com. distribuição semelhante (Fig. 
IG) , a.p 1·0sentam-se, ainda, os fatôrcs 
q 11 e a f'etam os resultados dos cálculos 
<' q 11 0 lH·ovém dos erros devidos às apro-
xi 11 H1~:õ0s numéricas, das hipóteses sim-
TJ I i l'i c<11lon1.:; e drfiriências utras dos 
p 1·0<.,<'HHON it'ôl'icos de cálculo e dos de-
1'! • i 1 oN , i<' ·1110111.ag0m nas obras. R.eferi-
11111 noN, ('1·id entrme11tc, aos erros ca-
N11 11i N, itt('Olll l'oliivris.. Os grosseiros e 
HiNl(•111 1í l i(·ON 11 ~0 pod(' lll ser levado:;; cm 
C'll lil 11 f• l1 •N pod(•ll) (' cl <'V(' lll sei· cvi-
l 11il llfl, 
, 
111 11 , p11 r•l11 11l11 , 11. •1 ·111 rcl1• zm1 q111· i11 -
l111 •11 '111 111 1 1• 1ii l' lli 11 l 'H I 1·111111 ·1 11 , d 1• 11 11,/ 11 
/>,'1' l ' l. 'I // '/ //1' 1 N 1 
FIG. 17 
reza alecdória, regidas pelas leis do 
acaso. 
Situações, porém, se apresentam em 
' que, apesar da aparente aleatoriedade 
do fenômeno, pode haver a interven-
cão de outro fator como, por exemplo, 
~ vontade humana, que lhe altera com-
pletamente a natureza. Isto deve ser 
çonsiderado para a fixação das sobre-
cargas nas estruturas . Na figura 17 
vemos o resultado de um tratamento 
estatístico, fornecendo as freqüências 
de ocorrência de j caminhoes em gru-
pos de n veículos que percorrem certa 
ponte rodoviária, em estudo. 
Ao invés de adotarmos, para o cál-
culo, a sobrecarga máxima provável re-
sultante dêsse estudo, devemos lem-
brar que, por determinação de uma 
1wssoa pode s.er envia.do, através da 
:pon i0, um rom bôio como o que se ve-
1·í1 IHI i'ig'. 1 i'\. 
{1 ·011li111rn 110 111·ó.ri1110 i11Ím11·ro ) 
7 
CALCULO A LA ROTURA 
LOSAS- HONGOS 
DE 
Experiencias con modelos de tamaíio reducido 
INTRODUCCION: 
La aplicación del concepto de plas-
ticidad al cálculo de estructuras, ha 
suministrado al proyectista un ele-
mento de trabajo que le permite ana-
lizar el comportamiento efectivo de las 
estructuras en el período de rotura, y 
establecer en consecuencia, la seguri-
dad real con que puede contarse para 
las mismas. 
Dentro de este campo r es.ulta suma-
mente inter essante la aplicación de 
los conceptos de rotura a las placas 
planas, por cuantolas soluciones ,i 
que conduce son sumamente sencill as, 
aún para placas de contornos irregu-
lares sometidas a estado. dr carga com-
plrjos, que de apli carsr inu a su 1·N;o-
lu r ión - cl rnüo dei pr1·íodo <' IÍ1sl i<'o , 
f\ (' ('0111Jll'l' IHJ1 ' ln i<'Ol 'Í ll lillli<'ll ifd i1•11 
ENRIQU E FLIESS 
ele elasticidad, conduciría a planteos 
sumamente complejos y la mayoría de 
las veces, solubles únicamente por mé-
todos aproximados. 
La teoría ele las líneas de rotura 
para placas planas, se debe a K. W . 
Johansen quien en numerosas publi-
caciones ha abordado, aparte clel de-
sarrollo de las premisas fundamenta-
les de la teoria, la solución de gran 
número de casos particulares. 
El presente trabajo constituye la 
exposición de una. serie de ensayos 
realizados con modelos de losa&-hongos, 
que deben considerarse como ensayos-
piloto de un programa de mayor alien-
to, y destinados ha ir precisando la 
técnica operativa. 
Se há desarrollado también un esbo-
zo de teor ía para interpretar los r esul-
tados experimentales obtenidos, cuya 
coincidencia, dentro del margen ele 
exactitud que puede admitirse dadas 
las condiciones en que se r ealizaron las 
experiencias, puede considcrarse como 
satisfactoria. 
I - El Problema. 
El objeto es cstableccr la car ga 
de rotura de una losa-h ongo, apoyada 
m columnas sin capitE'lcs, cligiéncl osc 
para ell o una con shtnída po1: 11u<'1·e 
pafí.os iµ;na l1's e1rndrndm; (:3 X :n , 
apoyacl a so ln«' <·11 ;11 rn ('o l1 111111 ;1s y <·011 
los hord1's s i111pl<•1111·11l c• 11poy11d o1-1. 1,11, 
1·arµ;a d 1· li! los11 111 1·11 11 sl i l 11 y1·11 1·1 11 · •'ll H 
l'Oll l'l' lli l'lliill H 1'11 1•1l 'l'lli1 '11 tl1 • loH jl llllllH. 
/l,',' '/'11'11 '1'1 / I,' \ N I 
Con el objeto de comprobar los re-
sultados teóricos del problema de es-
tablecer la carga de rotura, se efec-
tuaron ensayos sobre modelos à escala 
r eelucida. 
II - Los Modelos. 
Se adoptó un modelo de 60 X 60 cm, 
constituído por nueve pafios iguales 
de 20 cm de lado, y 1,5 cm de espesor. 
Los apoyos centrales ( 4) los consti-
tuían colunrnas de 22 mm de diámetro, 
y 15 cm de longitud, formadas por 
canos de bronce de 2 mm de espesor 
de pared, rellenados en cada caso con 
el mismo material de la losa, que en 
unos casos fué yeso y en otros morte-
ro de cemento y arena. Se decidió efec-
tuar las experiencias con las losas sin 
armadura, por razones de simplicidad 
QUADRO I 
Dosificación Edad Resistência (kg/cm2) • Los a Material (p. en peso) (dias) Compresión Flexión 
1 yeso ( agua- 1 10 59 10 l yeso - 1 
2 mortero ( ( cemento - 1 
i i arena -4 6 77,5 18 
3 mortero l l agua -0,69 5 88 18,3 
4 yeso ( agua -1 4 - 9,0 l yeso - 1 
r cemento - 1 
lí m orL<·ro 1 arena - 4 4 - 13 l agua - 0,69 
{ ccnw11 Lo - ·1 
o 111111'1.11 1·0 11 1'1'11 /t () 3 - lG,8 
JJ,jJ; ll lL - 0,75 
) C/ 
de ejecución y dado el carácter explo-
ratorio de los ensayos. 
Solamente se dispuso en el plano me-
dio de la losa una malla constituída 
por alambres de 2 mm de diámetro 
separados de 5 cm. Las columnas se 
vincularon a la losa mediante cuatro 
alambres de empalme, empotrados en 
el núcleo de aquellas. En la fig . 1 
pueden observarse los detalles del mo-
delo. Se utilizaron seis losas, cuatro 
de mortero y dos de yeso1 preparán-
dose en caso probetas destinadas a co-
nocer , en el momento del ensayo, la 
r esistencia a la compresión y el mó-
dulo de rotura por flexión d el material. 
En el cuadro I adjunto se consignan 
las características de los m ateriales de 
las seis losas ensayadas. 
Ello, debido la violencia del impacto, 
y porque la placa tocó a la Josa en los 
án gulos levantados por deformación, 
condujo a la aparición d e, una serie de 
grietas ajenas a la figura d e rotura 
propiamente dicha. 
Esta situación se evitó en la losa 
6, donde se dispusieron topes especia-
les para limitar el . descenso d e la placa 
a pocos milím etro. , elimin ando a í f' C'c-
tos sccundai·ios C'n la 1'01·m ;wi ó11 el e f'i -
s 1 ll'H.S. 
III - Los Ensayos. 
Las losas se apoyaron en sus cuatro 
columnas, y por los bordes, sobre un 
marco rígido d e madera en un ancho 
de 1 cm. 
Las losas 2, 3, 4 y 6 fueron carga-
das con cargas concentradas en el cen-
tro de los pafíos, por intermedio de 
tacos de madera dura de 2 cm de lado, 
sobre los que apoyaba una placa rígida 
de hormigón que transmitía la carga 
propiamente dicha, constituída por blo-
ques d e hormigón y cajones con arena 
vertida en forma gradual. 
En todos los casos la rotura se pro-
dujo en forma brusca, descendiendo 
el conjunto de la carga hasta que la 
placa de hormigón tocaba a la losa. 
No obstante ello, al ensayar la losa 
6, un def ecto en la aplicación de la 
carga condujo a una gran concentra-
ción de cargas en los tres pafíos de 
un costado, lo que clió origen a que 
se produjera la rotura de dichos p a:fío 
quedando los 6 r est antes ·in presen-
tar fenóm enos de l'Otura . T~a C011 , Cll Cll -
cia f n é nn li gc' 1·0 lw sc ulamil'nto d1 ' ln. 
pl a<'a SO j)Ol'I C' <11 ' la ('Hl'g' il , q11 n t.cH·6 pOI' 
1111 i>ol'cl1' los lopPS cl1 ' 1·011t.1•111 •ió11 , ( '1111 
t Ílllllldll 111 (' Ili' 1·11 , SI' JJ1 ""ll 11. 111 1'111111'11 
1".i 'l'l,'ll 'l'l/I.' ' N I 
con un valor que no condice con el 
real. 
Todas las losas rompieron por fle-
xión. 
En las figuras 2 y · 3 puede observar-
se el conjunto de fisuras correspon-
dientes a las losas 3 y 6. 
Las losas 1 y 4 se ensayaron con 
carga uniforme, constituída para la 
o 
C\J 
o 
C\J 
o 
C\J 
I · 
+ 
+ 
20 
primera de ellas en tacos de 11111d1 • 1 · 1~ 
de 2 cm de lado, di, tribuídos unil'ol' 
memente sobre la placa, y sep a1·ados 
entre sí de 2 cm. Sobre los tacos 
apoyaba una placa d e hormigón que 
transmitía la carga. Para la losa 4 se 
dispuso un caJon sin fondo, que 
apoyaba sobre el p erímetro de la losa, 
por lo que puede admitirse que esta 
t enía sus bordes ext eriores empotra-
+ 
·>; 
_ _._ 
20 1 20 
FIG. 1 - L osas de Ensayo 
do8 . RI. ca.1on de 30 cm de altura se 
l ll'n Í> ele an:na hasta enrasarlo y s.obre 
la. 8111wrf'icic ele est a se aplicó una 
pl;H'. ll. <p lll 11«rm,; rnitía, ]a, ca1:ga a la 
n1·1·11n . 1'11 l'a n 111hm; losm: Pll la 1·otuni 
Nl' ol>Sl'l '\/ll (•I Jlllll ZllJllÍ(' llLO ('11 Jm; <'0-
ltlll lll ll l'l .\' 111111, l'Í Nl\l 'JI, fH ' l'Ílll (' (l'lli , ('01110 
p111 1d1 1 ol1Hl'l' l'l ll ' HI' 1•11 111. l'i "lll 'l l ·I, q111 • 
<' lll ' l'l' "1 Jll llld1 • li 111 l11Kll ( 
J ,'o 'l 't,'ll l'/I /,' j N I 
No fué posible, en ninguno de los 
dos casos, establecer si el punzonado de 
las columnas fué previo a la aparición 
de la fisura p erimetral o viceversa o 
si ocurrierori: simultáneamente. 
Por otra p a1tc, en .la losa 4, ad emás 
dn la fi s1m1, pos i1 iva mencion ada, ocu r-
1·10 ql1 ·n, 11pg·11ti v11 , .i11nln 11 1C' ll1.c a filo 
1lt•I hol'il <' il1 •I 1·11 .ii'111 , lo ,j11s lil'i c• 111·i n. la 
li 
hipótesis de considerar a esta losa co-
mo empotrada. 
En el cuadro II se consignan las 
cargas totales de rotura, las condicio-
nes de apoyo y la disposición de los 
vértices de las distintas losas. 
IV - Análisis teórico para cargas 
concentradas. 
Efectuaremos el análisis aplicando 
a los tres tipos de panos de que cons-
Los a 1 
Tipo de Borde· 
carga 
ta la losa, central, de borde o lateral 
y de esquina, la teoría de las líneas de 
rotura de J ohansen, a efectos de esta-
blecer la configuración posible de es-
tas y en base a ellas, por simple apli-
caciÓll, sea de las condiciones de equi-
líbrio estático o del principio de los 
trabajos virtuales, las relaciones cor-
respondientes entre la carga de rotu-
ra y los momentos unitarios de rotura 
a lo largo de dichas líneas, que como 
es sabido, son los valores máximos de 
Angnlos 
1 
Cargat.otal Causa ele la 
1 
rot ura (kg) rot ura 
1 Distribuída Apoyado Libres 172 Punzonaclo 
2 Concentrada " " 354 Flexión 
3 ., " Anelados 493 " 
4 " " (cios anelados,! 
los opustos li- f 170 " 
bres). J 
5 Distribuída " Anelados 428 Punzonado 
6 Concentrada Empotrado Igual que 5 240 Flexión 
los momentos. Si la losa fuese arma-
da en dos direcciones octogonales con 
igual cuantía de armadura para mo-
mentos positivos, se comportaría como 
isóntropa, es decir que el momento de 
rotura unitario m sería el mismo en 
cualquier dirección. 
Si lo mismo ocurriera para la arma-
dura negativa, se tendría m' etc. tam-
bién para cuelquier dirección. En caso 
que ambas cuantías fueran iguales, re-
sultaría m = m'. 
En el caso de las losas '&studiadas, 
sin armadura, resulta evidentemente 
m = m' y el valor de los mismos vie-
ne dado por m = m' = u1 W 
donde Vv es el módulo resistente de 
la losa por unidad de ancho ( 1 cm ), 
y u1 cl módulo de rotura por flc-
xión . Si C'ndo cl cspcsor fo la l osa l 
inüm10 para 1 o<lni> l;m (' ll l·rny11 cl 11s 
(d = 1,5) resulta : m = m' = 0,375 X 
X <r11 kgcm/cm. 
a) - Pano Central. 
En el caso que analizamos se trata 
de un pafio con simetría de figura, 
de sustentación y de carga, estando 
esta constituída por una única carga 
concentrada que llameremos Pl. 
De acuerdo a la teoría de J ahansen, 
del punto de aplicación de P parten 
líneas de rotura positivas, las que de-
ben concurrir a la intersección de los 
ejes de rotación de las partes de losa 
que separan. Como los ejes de rota-
ción deben pasar por los 'ejes de las 
columnas y dado que n ecesariamcnte 
deben de existir líneas de rotura ne-
gativas que también deben pasar por 
las columnas, por x igcmeim; de btfl 
Condicion es de s ÍllH'Ll'ÍH ln ('0 11 !"i •·111·11 
ción poHihl< ('H ln q11 111111 •s,t 1·1 1, 111 l'i 
' I 11 ·11, fí. 
N t 
Tomando momentos respecto al eje 
de rotación se tiene 
Pi ':_ v2 = (m + m') vii 
4 2 2 
y por ser m = m', simplificando 
· ' Pi O Ir P m=m=s=, oi 
b) - Pano de Esquina. 
Analizaremos dos casos: vértice an-
elado y vértice libre : 
1) - Vértice Anelado. 
Del punto de aplicación de la car-
ga concentrada que llamaremos P 2, de-
be partir una línea de rotura que ter-
mine en el vértice A, punLo d( i11ti•r 
sección de los bordes apoyaclo1-1 d1 ln 
losa, que a su vez son evidcntern n to 
los ejes de rotación de las dos part !I 
de la misma en que queda dividida por 
la línea de rotura mencionada. 
Por el eje de la columna debe pasar 
otro eje de rotación, que por razones 
de simetría debe formar un ángulo 
de 45Q con los lados de la losa concur-
rentes en A, a los que corta en los 
puntos D, distantes 2 l de A . Uniendo 
dichos puntos con el de aplicación de 
P2 quedan definidas dos nuevas líneas 
de rotura que terminan sobre los lados 
en a una distante x = l/3 del punto B, 
y adonde concurren una línea negativa 
que pasa por la columna y normal al 
Fm. 2 - Losa 3 - Lineas de rotura 
hordo, er:i cl c'ir, coincidente con el lado 
d( 1 pnlio - que a su vez es continua-
<'ion d ln Vinca negativa del pafio cen-
t.1·11 I y 111m Jínca positiva del pafí.o 
l11t,11r11I . 
M11t "' H y <J 110 pu <l xiHlir lin a 
d1 rnt11 1·n por c•1111 nt o 1111-1 p111·(,<'S cl los 
11111111 11 l 1•1 1111 0H y 111 1.(lnil vc•c·i11m1, qu 
11p11 1111 ltl11 ·11 11u11i11 101>1·1 oi hol'll( d ln 
losa tienen por eje de giro a este, y 
n consecuencia, no pueden originarse 
rotaciones relativas entre ambas, que 
es a lo que conduciria la existencia 
de una línea- de rotura entre los dos 
campos. 
fin eon fi gm·ación ele líncas de rotu-
rn clrHc ri pLn, puocl obs rvars n la fi-
•1 1 l'IL fi. 
n 
Aparte de las líneas mencionadas, 
en las que actuan los momentos m y 
m', debemos tener en cuenta la exis-
tencia de fuerzas concentradas en A 
Y c. 
En el vértice A, en cada uno de los 
campos a de losa, actúan :fuerzas con-
centradas dirigidas hacia abajo, igua-
les a m cotgy, siendo y el ángulo de 
la línea de rotura con el borde libre, 
que en el caso analizado es de _!!___ 
4 
teniéndose en consecuencia 
7r Qª = m cotg 4 = m 
En el punto C, para el campo, la :fuer-
za concentrada dirigida hacia abajo 
vale Qc = (m + m') cotg <p 
donde cp es el ángulo entre las líneas 
de rotura positiva y negativa que con-
curren a C. · 
Por simples relaciones trigonornétri-
1 . 
cas, resulta cotg cp = - , y siendo 
3 
' t• Q 2 m = m se iene cfJ = + - m 3 
Por razones de equilíbrio, en el mis-
mo punto y para el campo a resulta: 
2 Qca = - -m (hacia arriba) 3 
2~~-·~~~~~~~~~~~~~~~ 
FIG. 3 - Losa 6 - Lineas de rotura 
Llamando a P2, y f3 P2, respectivamente 
11 las componentes de P2 que inciden 
en cada uno de los campos y tornando 
momentos respecto a fos correspon-
dientes ejes de rotacióh se tiene : 
Campos a: 
< 2 l 
m.ACcosAC-AB= - - m- + 3 , 3 
<t: 
pero AC . coa AC - AB - AU 
4 22 de donde aP2 = 2m +-m = - m 9 9 
- l 
Campo /3 : (m + m') CC = (3 P 2 - X 2 
X vi2 + 2_ m 2 2_ l v'2 
3 3 2 
y m = m' CC = ~ l yz 3 2 
10 /1 J>.. - Ili ll 
li8'1'Ull 'l'I li' \ N' I 
y m = m' = 0,150P2 
2) - V értice sin Anelar. 
Al no estar anelado, el vértice A 
t iende a levantarse, bifurcándose la 
línea de rotura que parte del punto 
de aplicación de la cn, 1·µ;11. m111 t•t11 tl 1·11d11 , 
que llameremos P 2 • Se ori gi111111 nHI do11 
líneas de rotura, que intcrcc1lLm1 loH 
bordes correspondientes en los p u 11 LOl'I 
B, que de:finen el eje de rotación do 
la "báscula" originada por el levanta-
miento del vértice A. Las restantes 
líneas de roturas que se originan, son 
similares a las del caso 1) anterior. 
Los puntos III y el de aplicación P2 
(centro del pafio) se encuentran ubi-
cados sobre una circun:ferencia, tan-
FIG. 4 - Losa 1 - Rotura por pungonado 
11·011 Lc a los bordes de la losa y cuyo 
t'fHlio, para cl caso analizado vale : 
1 
I' m:: -- l ~ 
vi 2 _ = o 293 z 
+ yl 2 ' 
l<lu los p 1111 Los li-[, aparecen fuerzas con-
t•n11 1. m d1ts, qno valcn, para los cam-
JI OH 1~ 
0,207 
m O,õOO = 0,4.14 m 
M11 l 1 l' i \ 111 '11 7, Ho hit co 11 H i f' I H~clo la 
t 11111' 11 lll'llt ' IO ll d t• intl J ll t 'll H d t• l'Ol lll 'll 
1 111 1'1' p 1111 d 11•11 I (\ li 1•11 !,1 t'll li) , 
I . ' l 'l li l '/11 ' \ N I 
Estableciendo el equilibrio de mo-
mentos de cada campo respecto a BU 
correspondiente eje de rotación se 
tiene 
m vi 2 z P z ~- ~, _!_1. 2 ª 2 2- - 3 "" 3 
2 - l -
2m 3 zv12=f3 P 2'z-v2 + 
2 ' 2 l --
+ 3- m3 2 v 2 
l 1 
o sea: 
a P2' = m [ v2 +:] = 1,858 m 
/:, p' 16 
JJ 2 = 9 m = 1,778 m 
'Y P2' = 0,586 v2 m = 0,829 m 
luego 
Pl = 2aP2' + f3P2' + 'Y P/ = 6,33 m 
m = m' == 0,158 P/ 
c) - Pano Lateral. 
Del punto de aplicación de la carga 
concentrada en el centro del pafio de-
ben partir líneas de rotura positivas 
que lógicamente deben concurrir a los 
puntos C, que es donde se encuentran 
la línea de rotura negativa que se-
para el pafio del de esquina y la línea 
positiva de este (fig. 8?. El eje de ro-
tación del campo a coincide con el 
borde de apoyo BB, y los correspon-
.B.illS.~ ~-
''? 1 
I ~ 
1 ;o 
i~ 
n 
I·~-'~ . 
--·-·+ 
Frn. 5 - Lineas de r.otura. Pano ail!traI 
füentes a los campos f3 pasan por las 
columnas y por simetría deben estar a 
459 de la línea de rotura negativa. 
Ambos ejes se cortan s.obre una lí-
nea normal al borde equidistante de 
las columnas, y el punto , de intersec-
e'ión pasa una línea positíva de rotura 
gue concurre al centro del pafio. Fi-
nalmente debe existir una línea nega-
t iva de rotura que pasa p0r ambas 
columnas. 
Estableciendo las ecuaciones de equi-
líbrio para cada campo se tiene 
. l 4 l 
ml=aP3 - - - m -2 3 3 
36 
26 
aPf3=-m 9 
, - <( l -
2 m CC' cos CC' -NN ={3 Pa 2V 2 + 
2 22-+ -m-l L 
3 3 2 
y siendo 
<( 
CC' cos CC' - NN = NN = 
= .!:_ V 2_ 1- 2 (Y2 7 I - I ., 
2 2 3 2 l ~ V 
1 S'l' 1 •r rrr 11 N• I 
Frn. 6 - Sineas de rotura Pano de esquina anlhado 
1·csulta 
l tH' O 
fJ l 'a 1'1· 4 17 rn -- m =- m (i !) 9 
,Y l'i 11 111 IU () ll bo 
/' IV / ' ft 1 :.! (') /• ~ 
' () l Ili 
( 2(i + ~~ ) X o !) 
V - Comparación de los r esulta-
dos experimentales, con los 
valores teóricos, para cargas 
concentradas. 
Si en los nueve panos de las losas 
ensayadas se alcanzará simultáneamen-
te la rotura, la carga tot al, según fue-
ran las condiciones de los vértices, 
sería: 
a) - V értices sin Anelar. 
h ) - V rti es A nelados . 
l ' 1 OI ,33 m 
7 
e) - Dos Vértices Anelados y dos 
Libres. 
p t = p 1 + 2 p 2 + 2 p 2' + 4 p 3 = 
= 60,65 m 
Como puede observarse, la contri-
bución del anclaje de los vértices es 
ínfima, siendo del 2,2% de P t para 
los cuatro vértices anclaqos. 
En las experiencias realizadas, po-
demos admitir que la carga total apli-
cada se repartía por igual en las car-
gas concentradas en los centros de pa-
:fios. De ser así, la rotura no ocurriria 
simultáneamente para todos los pa:fios, 
sino que romperían primero los más 
débiles, es decir, los de esquina sin an-
elar. 
Producida la rotura de estos, auto-
máticamente se transferiría la carga 
a los restantes panos, produciéndo;se 
de inmediato el colapso total. 
/ 
.e 
+ 
E 
1 
-tml_. + -m 
c("-"-;1"""-~"""-~;...,._""""~ 
B ~ --· ..... J . .__ __ i r -----
/ 
/ 
FIG. 7 - Linea's de rotura. Paiio de Esquina :Sin anelar 
En tal caso, la carga total de rotura 
sería igual a nueve veces la carga de 
rotura del pa:fio de esquina, es decir: 
Pt = 9 P2' = 57 m 
Debemos admitir en consecuencia, que 
los valores de la car a total d r ttn·ft 
oxp rim<'ntnl clohrn q11nd11r c•ornp1·N1 
8 
didos entre los límites 57 m y 61,33 m. 
En el cuadro III seguiente, hemos 
resumido los valores de las cargas to-
tales de rotura teóricos y cxp rim n-
tales correspondicntcs a las distintns 
losas cns.ayadns y qn ompi ron frn11 -
1tm nl TlOl' l'lcxi6n. 
Ri MO Li( 11( •11 1111 crrnnln lnH lrrrpNl'1 •1 
I S'l'l 1/ l'l'IJ I N I 
8 
+m 0 
@ +m / 
+m ® 
2 e 
- 3 m...,.. +-m 
e -m 
/ 
FIG. 8 - Lineas de rotura. Paiio lateral 
-m 
+m -m +m -m 
+m +m Pi 
+m +m ~ 
-m +m -m 
-m -m 
+m 
'""' 
111 ~ l l 11• li "· ~ '11111111 
"' 111 111" 
QUADRO III 
Cargas de rotura 
Pteór. 
1 Los a kg/cm
2 kgcm/cm Teóricas para Pt/m 
Exper. 
57 60 
--- ---
2 18 6,75 385 405 
3 18,3 6,80 388 408 . 
--
4 9,0 3,30 192 203 
--
6 16,8 6,25 356 375 
--
ciones de que adolecieron los ensayos, 
como ser apoyo imperfecto de los bor-
des de la losa, posible desigualdad de 
los valores de las cargas concentradas, 
falta de homogeneidad del material 
de las losas y probables diferenciais 
entre los módulos de rotura por fle-
xión en la losa y en las probetas, la 
concordancia de los resultados expe-
rimentales con los teóricos es acepta-
ble. Por otra parte, la disposición de 
las líneas de rotura de la losa, obte-
nidas experimentalmente, y cuyo di-
seíío puede observarse en figs. 2 y 3, 
con la disposición teórica de fig. 9, 
concuerdan sensiblemente. 
En las fotografias de figura 10 pue-
den o bservarse las líneas de rotura ' 
obtenidas en los distintos ensayos. 
VI - Ensayos con Carga 
Distribmda. 
Como se expressa antes, en los dos 
ensayos efectuados con cargas distri-
buídas, la rotura obedeció al punzo-
nado de la losa sobre las columnas, 
produciéndose la rotura pór tensiones 
principales. La superfície de fratura 
fué en ambos casos, un tronco de cono 
con la base menor en concidencia con · 
la lnión entre columna y losa, y la 
base mayor de unos 7 - 7)5 cm de 
diámetro se encontraba en la cara 
60,65 61,33 Ks 
Pexp. 
410 414 354 1,085 
- -
414 418 493 1,210 
-
205 208 171 1,120 
--
380 383 (240) 
(360(1) 
0,990 
superior. Corresponde hacer notar que 
las cargas totales coincidieron sensi-
blemente en cada caso con las de las lo-
sas rotas por flexión. 
No entraremos a analizar estos en-
sayos, pues los elementos de juicio de 
que se dispone no permitem deducir 
conclusiones. 
Hacemos notar que, con posteriori-
dad a la realización de los ensayos 
llegó a nuestro poder la publicación 
de J ohansen: "Pladeformler', en idio-
ma danés, donde, en el capítulo rela-
tivo a losas hongo con carga distribuí-
da, se indica para el pafio de esquina 
una figura de rotura que parecería 
no responder a las observadas por no-
sotros en las dos losas ensayadas con 
carga distribuída. Pero repetimos, re-
sulta prematuro emitir una opinión al 
respecto, por cuanto carecemos de los 
elementos de juicio necesarios. 
VII - Conclusiones. 
Dada la naturaleza de los ensayos 
realizados y lo limitado de los mismos, 
la única conclusión a que estimamos 
se puede llegar, es que para el caso 
de cargas concentradas y rn = rn', cxifl-
te una estrecha corrclación cntl'c los 
r esultados experimcntalcs y los vnlo-
res teóricos, que con fi rn111,1·ían IH vc-
lidéz d las hipót SiH 1t<l rn i Lidas. 
(1) Toni 'ndo n cum t,n qu e oi pr·oooHO el e onrr,11 no f11(1 11nrm11,I p111·11 11H l 11, loH11., 11111• 111 1 
r11.v.on H i11dic11daH 11nl.c1H, Hn 1111 H11p11 nM l,c1 q11 0 111 CllU'f;(I\ do r•ol.urn i111•idl11, Ho lir11 H p111111H, 1111111\11 
dnw() 1>11n1 c·o11qH1m11i1'>11 O/H d1 111 1·C111. I. 
H> 1 ,'i"l'/ 11/ 'l'I li'· N I 
I 
CASCAS CILINDRICAS 
ADERSON MOREIRA DA ROCHA 
CAPITULO I 
DEFINIÇÕES E CLASSIFICAÇÃO 
A denominação de casca é dada às estruturas espaciais de 
pequena espessura em relação às dimensões e que possuem super-
fície ~média curva. .A casca cilíndrica é aquela que possui super-
fície média cilíndrica. 
A casca cilíndrica é, em geral, apoiada ou engastada nos ex-
tremos ou apoiada em vanos planos normais às geratrizes como 
mostram as figuras la e lb. 
Fig. 1 
A figura la representa uma casca apoiada nos extremos en-
q uan t a figura lb mostra uma casca contínua apoiada em qua-
Lro plan s. 
OH olornontos geométricos de uma casca cilíndrica são: as dire-
1.riv.oi; (d) o nH ~ ratrizes (g) da superfície médi,.a. ; os tímpanos que 
: o 01-1 t'lc me nLmi <lo np >Í das cascas nas cabeceiras; os bordos la-
l.11ru.i dotndoH 011 111Lo do vip;~tli d i· fôrç (viga V da fig. 1a); a 
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Chamaremos de a a semi-largura da casca ou seja a semi-corda 
da diretriz (fig. la) e l o comprimento das geratrizes entre os apoios. 
As cascas cilíndricas se classificam, de acôrdo com a forma da 
diretriz, em: elípticas, circulares, cicloidais, etc. 
No plano da diretriz, a casca pode ser simples, quando contem 
uma diretriz formada por uma curva única ou mútipla quando fo!-
mada por uma associação de várias curvas como aquelas indicadas 
na figura 2. 
Apoio 
Apoio 
Fig. 2 
As cascas cilíndricas múltiplas, continuas ou não, com gera-
trizes horizontais ou inclinadas, servem para execução de cober-
turas de vários tipos. 
Apoio 
,' 
Apolo 
Fig. 3 
Na figura 3, vemos cascas u Lili7;adas para x cuçfío d cob r~ 
tural:l Lipo l:lh tlH 1Ht fiµ;11m '1 •ob rl,unt doLndn dt <:l\.H<:HH <:ilfndric·uH 
1 .'l 'l'N/ 1'1'11 U - N' 
de geratrizes inclinadas (eixo inclinado) chamada cobertura tipo 
dente de serra.(1) Também se usam cascas em balanço para projetos 
de grandes marquizes de estádio como a representada na figura 5. 
O fato das cascas se apoiarem nas cabeceiras, não necessitando 
de apoios verticais nos bordos laterais, e a circunstância dêsse tipo 
de cobertura atingir grandes comprimentos e larguras com pequenas 
espessuras têm