Aula - Dinâmica dos Fluidos

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Aula-3
Dinâmica dos Fluidos
Curso de Física Geral F-228
Dinâmica dos fluidos
Esboço de Leonardo da Vinci
Dinâmica dos fluidos
• Fluidos em movimento
• A equação da continuidade
• A equação de Bernoulli
• Aplicações
• Comentários sobre fluidos não 
ideais
Fluidos em movimento
Nos próximos slides iremos considerar um 
fluido ideal com as seguintes características:
• O fluido é incompressível
• A temperatura é constante
• O fluxo é estacionário: velocidade e pressão 
não dependem do tempo
• O fluxo é laminar e não turbulento
• O fluxo é irrotacional, portanto não há vórtices
• Não existe viscosidade
Incompressibilidade:
atmp 100≈∆
Até 1000 m de profundidade:
%3,0003,0 3 →≈∆ cm
gρ
Para pressões (profundidades) maiores não há variações 
perceptíveis
Linhas de fluxo
www.ceintl.com/solutions/ images/streamlines.jpg
A trajetória de movimento de um pequeno elemento 
do fluido que mantém sua integridade, é chamada 
de linha de corrente.
Fluxo laminar: 
Linhas de corrente não se cruzam
Fluxo turbulento:
Cruzamento de linhas de 
corrente
Linhas de corrente
Fluxo rotacional:
Linhas de corrente se
fecham
Viscosidade:
http://www.nasa.gov/lb/missions/science/16oct_viscosity.html
A velocidade da coalescência de 2 gotas de um líquido
depende da viscosidade do mesmo
É o equivalente ao atrito em dinâmica dos fluidos
Desprezando a viscosidade não há dissipação e podemos
invocar a conservação de energia na descrição da
dinâmica. 
Equação da continuidade & fluxo
http://www.phy.cmich.edu/people/andy/Physics110/Book/Chapters/Chapter9.htm
Densidade do fluidoDensidade do 
fluido: ρ
Área da seção transversal do tubo: A
Velocidade de 
escoamento do 
fluido: v
Equação da continuidade
t
LA
t
AL
t
V
t
m ρρρ ===
vA
t
m ρ=
Fluxo de massa:
Densidade 
do fluido: ρ
Velocidade de 
escoamento do 
fluido: v
Volume que cruza a área A 
no intervalo de tempo t : V
222111 vAvA ρρ = cte=ρ
cteAv =
Fluidos incompressíveis:
Vazão ∝
Equação da continuidade
Equação da continuidade: 
conservação da massa
sdv
dt
dM rr
∫ ⋅= ρ
Equação da continuidade: 
conservação da massa
Expressão generalizada
sdv
dt
dM rr
∫ ⋅= ρ
.constsdv =⋅∫
rrρ
Conservação da massa
Fluxo irrotacional
O fluxo é irrotacional se a integral da 
velocidade
ao longo de uma trajetória fechada no 
fluido for nula
0. =∫ ldv
rr
Velocidade de 
escoamento do 
fluido: v
Fluxo sangüíneo
Suponha que o sangue flui através da aorta com velocidade de 
0,35 m/s. A área da seção reta da aorta é de 2 x 10-4 m2
a) Encontre a vazão de sangue
Os ramos da aorta se dividem em dezenas de milhares de 
vasos capilares com área de seção reta total de 0,28 m2. 
b) Qual é a velocidade média do sangue nesses vasos?
a) 2 x 10-4 m2 x 0,35 m/s = 7 x 10-5 m3/s
b) 7 x 10-5 m3/s / 0,28 m2 = 2,5 x 10-4 m/s
http://www.vrvis.at/ar3/pr3/projects/bloodFlow/
Equação de Bernoulli
( 1700 – 1782 )
Bernoulli descobre como medir a pressão sangüínea
(O método que conhecemos
foi inventado apenas em 1896) 
http://www.universityscience.ie/pages/scientists/sci_daniel_bernoulli.htm
Equação de Bernoulli: conservação da energia
CABcAB pppvvv =<∴=>
A equação de continuidade prevê uma somatória de 
forças não nula associada a uma mudança de velocidade
Esse resultado é qualitativo.
Uma análise quantitativa é possível usando a conservação de energia
Equação de Bernoulli
dtv1
dtvApW
dtvApW
2222
1111
)(
)(
−=
=
Trabalho realizado para mover o fluido
dtv2
2p
1p
Equação de Bernoulli:
dtvApW
dtvApW
2222
1111
)(
)(
−=
= vAdtppWWWtot )( 2121 −=+=
))((
2
1
))((
2
1
2
2
12
vvvAdtE
hhvAdthmgU
c −=∆
−=∆=∆
ρ
ρ
Trabalho total realizado ao longo do tubo:
Teorema trabalho-energia:
UEW ctot ∆+∆=
)()(
2
1
12
2
1
2
221 hhgvvpp −+−=− ρρ
Equação de Bernoulli:
)()(
2
1
12
2
1
2
221 hhgvvpp −+−=− ρρ
cteghvp =++ ρρ 2
2
1
...ao longo de uma linha de corrente
ou escoamento
222111 vAvA ρρ =
Aplicações da equação de Bernoulli
cteghvp =++ ρρ 2
2
1
e
Fluxômetro de Venturi
cteghvp =++ ρρ 2
2
1
Sustentação aerodinâmica
cteghvp =++ ρρ 2
2
1
Efeito Magnus
+ =
Força resultante: bola com efeito
Bernoulli outra vez!!!!
Comentários sobre fluidos reais:
lei de Poiseuille (fluxo laminar + viscosidade)
0v
r
F
r
A
d
xˆ
yˆ
zˆ
xyvxy
d
vyv ˆ)(ˆ)( 0 ==r
Lei de Newton da Viscosidade
x
dy
ydv
x
d
v
A
F
ˆ
)(
ˆ
0 ηη ==
r
1cp = 10-2 Poise = 10-3 Ns/m2=η
Fluxo de Poiseuille
)(
4
)()( 2221 rR
L
pp
rvz −
−
=
η
Perfil de Velocidades
Vazão
421
8
)( R
L
ppV pi
η
−
=
Comentários sobre fluidos reais:
lei de Poiseuille (fluxo laminar + viscosidade)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Turbulência: Re > 2000






=
η
ρ
vDRe
Número de Reynolds
RD 2= é o diâmetro do escoamento 
no caso considerado 
• http://www.doc.ic.ac.uk/~gzy/heart/flowforms/flowforms.htm
Linhas de fluxo: 
simulação do fluxo de ar na laringe
• http://www.ceintl.com/news/images/oralairway_1.jpg