APOSTILA ESTATISTICA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
PROGRAMA DE FORMAÇÃO INTERDISCIPLINAR DE NÍVEL SUPERIOR
CAMPUS DE CAMPINAS
APOSTILA DE PROBABILIDADE E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Danilo Nogueira Lopes
Eduardo Augusto Ribeiro Sampaio
Programa de Formação Interdisciplinar de Nível Superior (ProFIS)
Espero que ajude vocês pessoal, mas caso tenha algum detalhe ou sugestões de melhorias 
me enviem neste e-mail: d169692@g.unicamp.br
Introdução à Probabilidade
Para entendermos probabilidade, vamos a alguns conceitos importantes:
Experimento Aleatório: é todo experimento que você sabe os 
possíveis resultados, entretanto não pode afirmar qual deles 
acontecerá realmente, um excelente exemplo disso é: 
● Lançamento de um dado.
Espaço Amostral ( Ω ): são o conjunto dos possíveis resultados
desse experimento, no nosso caso temos:
● Ω → {1,2,3,4,5,6}
Evento: é um subconjunto do nosso espaço amostral. Por exemplo, dentro do nosso 
experimento (que é jogar um dado), eu quero saber o subconjunto que represente o evento 
(A):
● � = �� �� �� �ú� ��� ��� �� ���� → ú ú ú ú ú 
{2,4,6}
Vou representar agora este experimento em diagramas para que você consiga 
visualizar o que está acontecendo de fato:
A partir dos diagramas, conseguimos entender o conceito clássico no cálculo de 
Probabilidades, que é o seguinte:
) =�(� ������������� �� ������ � �������
�(�) = n° de resultados favoráveis / n° de resultados possíveis = #(�) / #(Ω) ((((((((((
#(�) = 3 � #(Ω) = 6 → �(�) = 3 / 6 = 1 / 2 = 0,5 = 50%( (( (( (( (( (
Ou seja, pensa assim, qual é a probabilidade de sair número pares (evento A) no 
lançamento do meu dado? Basta olharmos no nosso diagrama os números pares e dividir pelo
nosso espaço amostral, ou seja, todos os valores possíveis nesse experimento.
Probabilidade de um Evento Complementar:
Os eventos A e B serão do mesmo espaço amostral ( Ω ) se:
A ∩ B = 0 e A ∪ B = Ω .
Dessa forma, os eventos A e B serão complementares, em outras palavras fica assim:
P(A) + P(B) = 1
Probabilidade e Conjuntos
Dentro de um espaço amostral, é possível existem infinitos eventos e nós podemos 
combinar eles de algumas formas como uma forma de facilitar os cálculos. Vem comigo e vai
entender!
� → ���� �º ��� �� ���� 
� → �� �� �º ���� � �� ���� 
Utilizando dois eventos do mesmo experimento ainda, ou seja, jogar um dado, nós 
conseguimos obter as seguintes informações:
● União dos eventos;
● Interseção dos eventos;
● Eventos Complementares.
Interseção: � ∩ � → quando ocorrer � e �. São valores que estão contidos nos dois 
eventos.
Vale lembrar que se os eventos são independentes (ou seja, a ocorrência de um não 
interfere na probabilidade de ocorrer o outro), vamos ter o seguinte:
(� � ∩ �) = ( � �) × ( � �)
União: � ∪ � → quando ocorrer � ou �. São todos os eventos possíveis somando os dois 
eventos.
(� � ∪ �) = ( � �) + ( � �) − ( � � ∩ �)
Não esquece que pra eventos mutuamente exclusivos (� ∩ � = ∅), a gente tem:
(� � ∪ �) = ( � �) + ( � �)
Complementar: A c → tudo que tá no espaço amostral e não faz parte do evento 
específico.
Assim, é como se tiramos de todo o espaço amostral, apenas aquele evento específico:
(� A c ) = 1 − ( � �)
Análise Combinatória
Na análise combinatória temos 4 tipos de técnicas para o cálculo de elementos que 
podem estar ou não em ordem, de acordo com cada evento que analisarmos, dessa forma está 
tabela veio para lhe auxiliar para nunca mais se perder em qual técnica utilizar:
Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional é quando o fato de um evento (B) ter acontecido, 
interfere na probabilidade de outro evento (A) acontecer. Sendo assim, a probabilidade fica:
(� �|�) → aqui nós lemos “probabilidade de ocorrer A dado que já ocorreu B”.
Para isso temos uma fórmula bem simples:
(� �|�) = ( � � ∩ �) / ( � �)
Nesse tipo de exercício temos algumas formas de se pensar a respeito dele que 
facilitam as coisas. Vem comigo:
● Primeiro podemos montar uma árvore de probabilidade;
● Podemos utilizar também a tática do espaço amostral reduzido: ela funciona assim, 
depois que � acontece, você pode reduzir o espaço amostral (vira o próprio �) e 
calcular (� �).
Probabilidade Total
Vamos supor que temos um espaço amostral ( Ω ), e que esse espaço é formado por 
vários eventos: A1, A2, A3 … An. Onde todos eles são exclusivos, ou seja, tem interseção 
vazia. Exemplo: Uma arara com camisas de 4 marcas: �1,�2, �3,�4. , , , , , , , , , ,
Mas neste momento, digamos que ocorra um evento (V), que é de tirar uma camisa 
vermelha, e este evento dependa dos eventos anteriores do espaço amostral.
Então para calcular a probabilidade total de você retirar uma camisa vermelha 
(independente da marca), é só utilizar o Teorema da Probabilidade Total (muito inovador 
isso ein!), então fica assim:
(� �) = ∑
i=1
4
❑ (� � ) )|�� ⋅ �(��
(� �) = ( � � 1 ) × 1 ) + (|� �(� � � 2 ) × 2 ) + (|� �(� � � 3 ) × 3 ) + (|� �(� � � 4 ) ×|�
4 )�(�
Neste exercícios de probabilidade total, o exercício deve te fornecer para o cálculo alguns 
dados como:
● A proporção dos eventos originais, no nosso caso, é a proporção de camisas de 
cada marca → ).�(��
● As probabilidades condicionais do evento dependente, que neste caso, ele pode 
fornecer a probabilidade da camisa ser vermelha dado que é de uma Ai marca → 
(� � ).|��
Vale lembrar que este teorema permite calcular a probabilidade de um evento ocorrer 
a partir de conjuntos de probabilidades condicionais que envolvem esse evento. Então caso o 
exercício te forneça esses tipos de informações sobre alguma coisa, já fica ligado, ok?!
Teorema de Bayes
Bom, mas se o exercício pedisse a probabilidade da camisa ser da marca �2 
sabendo que ela é vermelha?!
2 |�(� �) = ?
Vish, fudeu … Senta e chora! Não mais haha’.
Vem comigo:
Você já sei que ela é vermelha, Certo?! Mas então o exercício quer que você “volte” e 
dê a probabilidade dessa camisa vermelha (que nós já sabemos) ser de uma marca tal. Meu, 
isso é a cara de Bayes!!
E a fórmula de Bayes que temos que aprender é:
2 |�(� �) = ( � � 2 ) × 2 ) / (|� �(� � �)
Olha esses detalhes marotos que tenho para você:
● Você precisa já conhecer a probabilidade total (� �). E como fazemos isso? Basta 
aplicar probabilidade total e correr pro abraço!
● O numerador ali é uma das parcelas da conta da probabilidade total que a gente fez 
antes, olha lá.
Então já que você precisa conhecer a probabilidade total, é muito comum os 
exercícios seguirem a ordem:
● Eles pedem a probabilidade total de alguma coisa;
● Eles pedem aquilo que a gente viu, uma probabilidade acontecer, sabendo que algo já 
ocorreu, e nesse momento, você vai usar Bayes!
Então podemos concluir que o teorema de bayes nos auxilia a calcular a probabilidade
de alguma coisa ter acontecido, sabendo o que aconteceu no final.
Variáveis Aleatórias
Nas variáveis aleatórias existem dois tipos, são eles:
E nessas V.A., que agora vamos abordar apenas as V.A. Discretas, normalmente 
denotamos de (X) o evento, e ela possui alguns conceitos importantes:
● Função de probabilidade, f.d.p. →f (x ) no caso contínuo ou p(x) no caso 
discreto;
○ Essa função relaciona cada valor, que (X) pode assumir, a uma probabilidade 
de isso acontecer. E o que caracteriza uma f.d.p (isso não é apelido de árbitro 
ok?). é que o somatória desta função resulta em 1.
● FDA (função de distribuição acumulada) →F (x) ;
○ Como o nome sugere, ela está “acumulando” mas o que? Ela acumula os 
valores das probabilidades de cada Xi. Sendo assim, o gráfico dessa função 
terá um aspecto de “escada”, que em cada valor Xi, ela subirá uma altura de 
acordo com o probabilidadedesse Xi, ou seja, subirá P(Xi).
○ Um detalhe importante desse gráfico é que ele sempre começa em 0 e termina 
em 1.
● Esperança →E (X ) é o valor médio ou valor esperado da variável X;
● Variância →Var (X ) ;
● Desvio Padrão, que é a raiz quadrada da variância.
Algumas fórmulas importantes são importantes lembrar como FDA, Esperança e 
Variância que podem ser calculados da seguinte maneira:
Neste estudo sobre as V.A, estaremos abordando algumas distribuições que o mais 
importante é saber quando e como usar cada um deles. Mas para isso, vamos saber quais 
distribuições vamos estudar:
Nas Distribuições Discretas, temos:
● Bernoulli
● Binomial
● Binomial Negativa
● Geométrica
● Hipergeométrica
● Poisson
Agora nas Distribuições Contínuas, 
temos:
● Uniforme e Contínua
● Exponencial
● Normal
Modelos Discretos
Agora vamos ao fantástico e fenomenal Passo-a-Passo desta tabela maravilhosa:
● Primeiro temos que nomear a Variável do problema, ou seja, “dar nome aos bois”, no 
caso são os eventos;
● Depois de ver que eventos você tem, vem nessa tabela e identifique em qual modelo 
estes eventos se encaixa;
● Achou o modelo? Maravilha! Agora basta determinar aquilo que se pede no exercício 
e determinar a probabilidade que será calculada;
● Depois disso meu caro, é só utilizar as fórmulas e correr pro abraço! :)
Modelos Contínuos
Nos modelos contínuos, nós não temos a dificuldade de identificar qual modelo usar, 
isso porque vem explícito no enunciado valores das variáveis utilizados nos cálculos de 
determinado modelo, então é mais sossegado! Então só precisamos aprender as fórmulas:
Essas duas distribuições são isso aí mesmo e mais nada! Já sabendo qual o modelo, é 
só aplicar a fórmula.
Distribuição Normal
Pra fechar essa maratona absurda lutando para que a nossa E(X) não chega a 0 nesta 
prova, falta falar então da distribuição “mais importante”.
E o Passo-a-Passo dela é o seguinte:
● Primeiro vamos “dar nomes aos bois”, ou seja, nomear a Variável;
● Depois precisamos identificar os parâmetros da Normal: que é a média e a variância;
● Determinar a probabilidade que vamos calcular;
● Padronizar: passar de P(X ...)→P (Z ...) ;
● Utilizar a tabela para ter a resposta e sair pro abraço \\\0///
Bom, agora está na hora de aprendermos os extras, que é:
● Padronização;
● Utilização da Tabela da Normal.
Então vamos aprender essa soja toda, para padronizar você vai chamar:
O que são cada um desses seres? Vem comigo!
Então para fixar de uma vez por todas, bora para um exemplo flash! Vamos dizer que 
eu tenho:
E o abençoado do exercício nos pede:
E ai? O que fazer? Pra quem ligar? Relaxa tenho uma ás na manga! Basta padronizar
\\\0///
Rapaaaaz! Agora corre para a tabela e depois vem pro abraço! haha’
Vish, tu não sabe encontrar na tabela? Relaxa, enxuga as lágrimas que a partir de 
agora tu vai aprender \\\0///. Para conseguir achar o valor na tabela, seguimos este esquema. 
Vem comigo!
Segue esse passo aqui ó:
Cruzando as linhas e colunas = sucesso!
Pois nas linhas temos a parte inteira e a primeira casa decimal e nas colunas a segunda
casa decimal!