Lista de exercícios 3 Estatistica UNIFEI

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Estatística – BAC011 - Lista de Exercícios 3 
1. Verificar se 𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 2
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 é uma função densidade de probabilidade 
 
2. Dada a função 𝑓(𝑥) = {
𝑘𝑥 , 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 1
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 , determine: 
a) k a fim de que f(x) seja uma f.d.p. 
b) o gráfico de f(x). 
c) P(0<x<0,5). 
d) A média E(X). 
e) A função de distribuição acumulada F(x). 
f) O gráfico de F(x). 
 
3. Seja X uma v.a.c. com f.d.p. dada por 𝑓(𝑥) = {
2𝑥 , 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 1
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 . 
Calcular 𝑃 (𝑋 ≤
1
2
 |
1
3
≤ 𝑋 ≤
2
3
) 
 
4. Seja X o tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima, num certo período de 
tempo, em minutos. A função densidade de probabilidade de X é dada por: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥
15002
 , 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 1500
 
3000−𝑥
15002
 , 𝑠𝑒 1500 < 𝑥 ≤ 3000
0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Calcular E(X), ou seja, o tempo médio em que o equipamento será utilizado em carga máxima. 
 
5. Uma variável aleatória contínua X tem função densidade de probabilidade dada por 
𝑓(𝑥) = {
𝑘𝑐𝑜𝑠𝑥 , 𝑠𝑒 0 < 𝑥 <
𝜋
4
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Determine: 
a) A constante k. 
b) 𝑃(
𝜋
6
< 𝑋 <
𝜋
4
) 
c) 𝐸(𝑋) 
d) 𝐹(𝑥) 
 
6. Suponha que X tenha distribuição uniforme em [−a, 3a]. Determine a f.d.p., a média e a variância de X. 
 
7. Medidas de uma certa temperatura variam uniformemente entre 3 e 6 graus Celsius. Qual a probabilidade de 
termos uma temperatura: 
a) Entre 3 e 4 graus Celsius? 
b) Maior que 5 graus Celsius? 
c) Igual a 4 graus Celsius? 
 
 
 
8. Seja 












2 x 0
21 2
10 
0 x 0
)(
xx
xx
xf . 
a) 
)f(x
é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) ? 
b) Calcule 
)8,00  xP(
. 
c) Determine 
)(XE
. 
d) Determine 
 XVAR
. 
e) Calcule 
)3,0P(x
. 
9. Seja X uma v.a. (variável aleatória) contínua e 


 

c.c.
xc
xf
 0
20 )2x-(4x
)(
2 é uma f.d.p. . 
a) Determine c. 
b) Calcule 
)1( xP
. 
c) Determine 
)(XE
. 
d) Determine 
 XVAR
. 
e) Calcule 
)5,2( xP
. 
10. Seja 
 
contrário caso0
02
)(
2


 

 xe
xf
x uma f.d.p. . 
a) Determine 
)(XE
. 
b) Determine 
 XVAR
 e 
 XDP
. 
11. Um banco faz operações via Internet e, após um estudo sobre o serviço prestado, concluiu o seguinte modelo 
teórico para o tempo de conexão (em minutos): 
0,
4
1
)( 4
1


xkexf
kx
 
com k sendo 1 ou 2 dependendo do cliente ser pessoa física ou jurídica respectivamente. A porcentagem de 
pessoas físicas utilizando esse serviço ainda é pequena e é estimada na ordem de 20%. O restante são pessoas 
jurídicas (80%). Calcule: 
a) A probabilidade de uma pessoa física ficar mais de 2 minutos conectada; 
b) A probabilidade de um cliente ficar mais de 2 minutos conectado. 
 
12. Suponha que X tem uma distribuição exponencial com média igual a 10. Determine: 
a) A probabilidade de uma v.a. x ser maior que 10. 
b) A probabilidade de uma v.a. x ser menor que 20. 
c) Encontre k tal que P(X<k)=0,95 
13. O tempo entre as chamadas telefônicas para uma loja de suprimentos é distribuído exponencialmente com um 
tempo médio de 15 minutos entre as chamadas. Determine: 
a) A probabilidade de não haver chamadas por um período de 30 minutos. 
b) A probabilidade de que no mínimo uma chamada chegue dentro do intervalo de 10 minutos. 
c) A probabilidade de que a primeira chamada chegue entre 5 e 10 minutos. 
d) O intervalo de tempo, tal que exista uma probabilidade de 90% de haver no mínimo uma chamada no 
intervalo. 
14. O tempo entre as chegadas de ônibus a uma estação rodoviária é distribuído exponencialmente, com média 
10 min. Determine: 
a) x, tal que a probabilidade de vc esperar mais de x minutos seja de 10%. 
b) x, tal que a probabilidade de vc esperar menos de x minutos seja de 90%. 
c) x, tal que a probabilidade de vc esperar menos de x minutos seja de 50%. 
15. O tempo entre a detecção de uma partícula por um contador geiger é distribuído exponencialmente com 
média=1,4 minutos. Após esperarmos 3 minutos, qual a probabilidade de que a partícula seja detectada nos 
próximos 30 segundos? 
16. Um componente eletrônico é conhecido por ter suas vida útil representada por uma f.d.p. exponencial com 
tempo médio de falha E(X) de 
510
 horas. Suponha que desejamos determinar a fração de componentes que 
poderão falhar antes da vida média ou valor esperado. 
17. Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1. Determine: 
a) 
 30  XP
 
b) 
 028,1  XP
 
c) 
 58,2XP
 
d) 
 47,1XP
 
e) 
 58,0XP
 
f) 
 67,234,1  XP
 
g) 
 31,072,1  XP
 
h) 
 45,032,0  XP
 
 
18. Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1. Determine os valores de x para 
que se tenha: 
a) 
  3,0 xXP
 
b) 
  68,0 xXP
 
c) 
  68,0 xXxP
 
d) 
    7,0 xXPxXP
 
19. Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine: 
a) 
 115100  XP
 
b) 
 10090  XP
 
c) 
 110XP
 
d) 
 95XP
 
e) 
 105XP
 
f) 
 97XP
 
g) 
 112105  XP
 
h) 
 9389  XP
 
 
20. Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine os valores de x 
para que se tenha: 
a) 
  26,0 xXP
 
b) 
  32,0 xXP
 
c) 
  47,0 xXxP
 
d) 
    05,0 xXPxXP
 
OBSERVAÇÃO: nessa questão, 
x representa o simétrico de x com relação à média. 
 
21. Suponha que as frequências indesejadas para um determinado sinal elétrico tenham uma variação normal com 
média 60Hz e desvio padrão 15Hz. 
a) Qual a probabilidade desse sinal elétrico possuir componentes entre 40 e 70Hz devido a essas frequências 
indesejáveis? 
b) Qual a maior frequência do sinal para que a probabilidade de contaminação por frequências indesejáveis 
seja de 10%. 
 
22. Um teste de inteligência foi aplicado a 1000 alunos de uma escola superior, obtendo-se uma distribuição 
normal, fornecendo os seguintes parâmetros 
16 e 32 2  
. 
a) Qual a porcentagem dos casos situados acima do escore 38? 
b) Qual a porcentagem dos casos abaixo do escore 38? 
c) Qual a porcentagem dos casos entre 27 e 31? 
 
 
 
 
23. Supondo-se que a temperatura em BH durante o mês de junho seja normalmente distribuída, com média de 
19C e desvio padrão de 4C, determinar as probabilidades, construindo os respectivos diagramas, de que a 
temperatura em junho de 1988 tenha ficado: 
a) Entre 21 e 25 graus Celsius. 
b) Abaixo dos 25 graus Celsius. 
c) Abaixo dos 26,2 graus Celsius. 
d) Acima dos 18 graus Celsius. 
 
24. As notas em uma prova de Estatística são normalmente distribuídas com média 76 e desvio padrão 11. 
a) Qual a proporção de estudantes que tiraram nota inferior a 85? 
b) Se a nota para aprovação no curso é no mínimo 70, qual a porcentagem de estudantes aprovados? 
 
25. Uma aplicação clássica da distribuição normal é inspirada em uma carta a Dear Abby, em que uma esposa 
alegava ter dado à luz 310 dias após uma rápida visita de seu marido que estava servindo na Marinha. Os prazos 
da gravidez têm distribuição normal com média de 268 dias e desvio padrão de 15 dias. 
a) Com base nessa informação,determine a probabilidade de uma gravidez durar 310 dias ou mais. 
b) Que é que o resultado sugere? 
c) Qual a probabilidade de uma gravidez durar entre 270 e 280 dias? 
 
26. Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de operações 
seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído 
de acordo com uma Normal de média 85 minutos e desvio padrão 15 minutos. 
a) Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 85 candidatos tomam o 
teste, quantos são esperados passar? 
b) Se os 4% melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, quão rápido deve ser o candidato 
para que obtenha essa posição? 
c) Qual o percentual de candidatos com tempo entre 76 e 80 minutos?