P3

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1. Distribuição Normal: 
A distribuição normal é dada pela seguinte equação: 
Distribuição Normal 
 
𝑓(𝑥) =
1
𝜎√2𝜋
𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2𝜎2 
 
Variáveis: 
σ Desvio padrão 
x -∞<x<∞ 
μ Esperança 
 
2. Distribuição Normal Padrão: 
Distribuição Normal 
 
𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋
𝑒−
𝑧
2 
 
Variáveis: 
z 𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
 
3. Teorema da Combinação Linear: 
Definições: 
Esperança E(x)=μx 
E(x)=μy 
Variância Var(X)=σx² 
Var(Y)=σy² 
Variável aleatória W=aX+bY+c 
 
Teorema 
𝜇 = 𝐸(𝑊) = 𝑎𝜇𝑥 + 𝑏𝜇𝑦 + 𝑐 
𝑉𝑎𝑟(𝑊) = 𝑎2𝜎𝑥
2 + 𝑏2𝜎𝑦
2 
1 
 
4. Teorema do Limite Central: 
O teorema do limite central fala que para maiores amostragens mais facilmente a 
média das amostras se igualara a esperança. Ele também especifica a média total e 
a esperança para um grupo muito grande. 
𝐸(𝑆𝑛) = 𝑛(𝜇) 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑆𝑛) = 𝑛𝜎
2 
 
5. Aproximação Binomial-Normal: 
Observação: 
Essa aproximação só é valida quando np>5 e n(1-p)>5 
 
Aproximação: 
Esperança μ=np 
Variância σ=npq 
 
6. Distribuição t de Student: 
Na distribuição t-student tem-se que a pequena região grifada pode ser α (distribuição 
unilateral) ou α/2 (distribuição bilateral). 
 
Distribuição Unilateral Distribuição Bilateral 
 
 
 
 
 
 
 
Uma fábrica de baterias alega que a mesma tem vida média de 50 meses. Em uma 
amostra de 23 baterias obteve-se vida média de 48,2 meses e desvio padrão de 5,4 
meses. Podemos afirmar que a média da população é menor que 50 meses ao nível 
de significância de 5%. 
Solução: 
 
O primeiro passo é encontrar o t 
 
2 
 
𝑡 =
�̅� − 𝜇
𝑠
√𝑛
→ 𝑡 =
48,2 − 50
5,4
√25
→ 𝑡 = −1,67 
 
Encontramos que a média para distribuição unilateral α(24 gl)=-1,7109. Desta 
maneira, como α(24 gl)<t, não podemos dizer que a média da população é menor 
que 50 com significância de 5%. 
 
 
Unicaudal 75% 80% 85% 90% 95% 97,5% 99% 99,5% 99,75% 99,9% 99,95% 
Bicaudal 50% 60% 70% 80% 90% 95% 98% 99% 99,5% 99,8% 99,9% 
1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 318,3 636,6 
2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 22,33 31,60 
3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,21 12,92 
4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610 
5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869 
6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959 
7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408 
8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041 
9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781 
10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587 
11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437 
12 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318 
13 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221 
14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,140 
15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073 
16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015 
17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965 
18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922 
19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883 
20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850 
21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819 
22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792 
23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,767 
24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745 
25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725 
26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707 
27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,690 
28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674 
29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,659 
30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646 
40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551 
50 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496 
60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460 
80 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 2,887 3,195 3,416 
100 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 2,871 3,174 3,390 
120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 3,160 3,373 
 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291 
 
7. Distribuição Bivariada: 
o Também é chamada de distribuição conjunta. É dividido em dois casos (o caso 
das variáveis discretas e o caso das variáveis contínuas). 
o x e y v.a. discretas 
o Função massa de probabilidade: f(x,y) = P(X=xe,Y=y) 
 
3 
 
∑ ∑ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 
 
o x,y são variáveis contínuas: 
 
f(x,y) → função densidade de probabilidade conjunta 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 
 
∫ ∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
= 1 
 
𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑐 < 𝑦 < 𝑑) = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
 
 
7.1. Funções marginais: 
 
Marginal de x Marginal de y 
 
𝑓(𝑥) = ∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑦
 
 
 
𝑓(𝑦) = ∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑥
 
 
 
 
Exemplo: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑐𝑥𝑦, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 3
0, 𝐶. 𝑐
 
 
a) Determinar o valor de c para que f(x,y) seja função de densidade de 
probabilidade conjunta. 
b) Determine P(0≤x≤0,7, y<2) 
c) Determine a marginal de x 
d) Determine E(x) 
e) σ(x) 
f) Determine a marginal de y 
 
Solução: 
 
 
“a” 
 
4 
 
∫ ∫ 𝑐𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
1
0
3
0
→ 𝐶 ∫
𝑦𝑥2
2
|
3
0 0
1
𝑑𝑦 → 𝐶 ∫
𝑦
2
𝑑𝑦
3
0
 
 
=
𝐶
2
(
𝑦2
2
)|
0
3
=
𝐶
4
(9) =
9
4
𝐶 = 1 → 𝐶 =
4
9
 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
4
9
(𝑥)𝑦, 0 < 𝑥 ≤ 1, 0 < 𝑥 ≤ 3 
0, 𝐶𝐶
 
 
“b” 
 
𝑃 =
4
9
∫ ∫ 𝑥𝑦(𝑑𝑥)𝑑𝑦
0,7
0
2
0
 
 
𝐹𝐴𝑍𝐸𝑅 → 𝑃 = 0,22 
 
“c” 
 
𝑓(𝑥) = ∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑦
 
 
𝑓(𝑥) =
4
9
∫ 𝑥𝑦(𝑑𝑦)
3
0
→ 𝑓(𝑥) =
4
9
(𝑥)
𝑦2
2
→ 𝑓(𝑥) =
4
9
(𝑥)
9
2
→ 𝑓(𝑥) = 2(𝑥) 
 
𝑓(𝑥) = {
2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0, 𝐶. 𝐶
 
 
“d” 
 
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
∞
 
 
𝐸(𝑥) = ∫ 2(𝑥2)𝑑𝑥
1
0
→ 𝐸(𝑥) = 2 (
𝑥3
3
)|
0
1
→ 𝐸(𝑥) =
2
3
 
 
“e” 
 
𝑓(𝑦) = ∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑥
 
 
𝑓(𝑦) =
4
9
∫ 𝑥𝑦(𝑑𝑥)
1
0
→ 𝑓(𝑦) =
2
9
𝑦 
 
 
5 
 
 
Distribuições Marginais: 
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦
 
 
𝑓(𝑦) = ∑ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑥
 
Exemplo: 
 0 1 2 
0 0,2 0,1 0,2 0,5 
1 0,05 0,15 0,3 0,5 
 0,25 0,25 0,5 1 
 
a) P(x=0;y=1) 
b) Marginal de X 
c) Marginal de y 
d) A probabilidade de x=1, sendo que y=1 
e) A probabilidade de x≤1, sendo que y=1 
f) X e y são independentes? 
 
Solução: 
 
“a” 
𝑃(𝑥 = 0; 𝑦 = 1) = 0,2 
 
“b” 
 
x 0 1 2 
F(x) 0,25 0,25 0,5 
 
“c” 
 
y 0 1 
F(y) 0,5 0,5 
 
“d” 
 
𝑃 (
𝐴
𝐵
) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
 
𝑃 (
𝑥 = 1
𝑦 = 1
) =
𝑃(𝑥 = 1, 𝑦 = 1)
𝑃(𝑦 = 1)
 
6 
 
 
“e” 
 
𝑃 (
𝑥 ≤ 1
𝑦 = 1
) =
(𝑃(𝑥 = 0, 𝑦 = 1) + 𝑃(𝑥 = 1, 𝑦 = 1))
𝑃(𝑦 = 1)
 
 
𝑃 (
𝑥 ≤ 1
𝑦 = 1
) =
0,2 + 0,1
0,5
→ 𝑃 (
𝑥 ≤ 1
𝑦 = 1
) = 0,6 
 
𝑃 (
𝑥 = 1
𝑦 = 1
) =
0,1
0,5
→ 𝑃 (
𝑥 = 1
𝑦 = 1
) = 0,2 
 
“f” 
 
Precisamos verificar se: 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) 
 
Para todo (x,y) 
 
𝑓(0,1) = 0,2 
 
𝑓𝑥(0) = 0,25 
 
𝑓𝑦(0) = 0,5 
 
0,2 ≠ 0,125 
 
Portanto x e y não são independentes 
 
 
 
8. Distribuição de Weibull: 
 
A distribuição de Weibull é utilizada para sistema complexos de muitas variáveis. 
 
Distribuição de Weibull 
 
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 1 − 𝑒−(
𝑥
𝛿
)
𝛽
 
 
Variáveis 
x Comprimento de vida 
δ Parâmetro de escala 
β Parâmetro de forma 
 
8.1. Exemplo: 
 
7 
 
Suponha que a vida de um disco magnético de armazenamento, exposto a gases 
corrosivos, tenha distribuição de Weibull, com β=0,5 e δ= 300 horas. 
a) Determine a probabilidade de um disco de armazenamento durar no mínimo 
500 horas. 
b) Determine a probabilidade de um disco de armazenamento falhar antes de 
400 horas. 
 
Solução: 
 
“a” 
 
𝑃(𝑥≥ 500) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 500) = 1 − (1 − 𝑒
−(
500
300
)
0,5
) → 𝑃(𝑥 ≥ 500) = 0,275 
 
“b” 
 
𝑃(𝑥 < 400) = 𝐹(400) = 1 − 𝑒
−(
400
300
)
0,5
→ 𝑃(𝑥 < 400) = 0,6848 
 
 
 
 
Problemas: 
 
1. Seja x uma variável aleatória continua distribuída normalmente com média zero 
e desvio padrão 1, isto é Z~N(0;1). Determine: 
 
a) P(Z≤1) 
b) P(Z≤-2,89) 
c) P(Z≥2) 
d) P(-1 < Z < 2,03) 
e) P(Z>-1,3) 
f) P(Z < 0) 
g) P(-1 ≤ Z <-0,61) 
h) P(Z > 1,6) 
i) P(Z <-1,74) 
j) P(1,31 ≤ Z ≤ 2,41) 
k) P( Z < 2,35) 
l) P( Z > 4,36) 
m) P( Z <-6,32) 
n) P(z > 4,21) 
 
 
Solução: 
 
Item Resposta 
a 
𝑃(𝑧 ≤ 1) = 0,8413 
 
b 
𝑃(𝑧 ≤ −2,89) = 0,002 
 
c 
𝑃(𝑧 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑧 ≥ 2) 
1 
 
 
𝑃(𝑧 ≥ 2) = 1 − 0,9772 
 
𝑃(𝑧 ≥ 2) = 0,0228 
 
d 
𝑃(−1 < 𝑧 < 2,03)
= 0,9788 − 0,1587 
 
𝑃(−1 < 𝑧 < 2,03) = 0,8201 
 
e 
𝑃(𝑧 > −1,3) = 1 − 𝑃(𝑧 < −1,3) 
 
𝑃(𝑧 > −1,3) = 1 − 0,0968 
 
𝑃(𝑧 > −1,3) = 0,9032 
 
f 
𝑃(𝑧 = 0) = 0,5 
 
g 
𝑃(−1 < 𝑧 < −0,61)
= 0,2709 − 0,1587 
 
𝑃(−1 < 𝑧 < −0,61) = 0,1122 
 
 
 
h 
𝑃(𝑧 > 1,6) = 1 − 𝑃(𝑧 < 1,6) 
 
𝑃(𝑧 > 1,6) = 1 − 0,9452 
 
𝑃(𝑧 > 1,6) = 0,0548 
 
i 
𝑃(𝑧 < −1,74) = 0,0409 
 
j 
𝑃(1,31 ≤ 𝑧 ≤ 2,41)
= 0,9920 − 0,9049 
 
𝑃(1,31 ≤ 𝑧 ≤ 2,41) = 0,0871 
 
k 
𝑃(𝑧 < 2,35) = 0,9906 
 
l VER 
2 
 
 
 
2. Seja Z uma v.a.c. normalmente distribuída com média 0 e desvio padrão 1. 
 
a) Determine o valor de z1 tal que: 
 
P( Z ≤ z1) = 0,0495 
P( Z ≤ z1) = 0,9474 
P( Z ≥ z1) = 0,0618 
P( Z ≥ z1) = 0,8212 
 
b) Sejam z1 e z2 , simétricos, dois particulares de Z. Determine-os tais que: 
 
P(z1 ≤ Z ≤ z2) = 0,9216 
P(z1 ≤ Z ≤ z2) =0,8858 
 
Solução: 
 
“a” 
 
P(Z<-1,65)=0,0495 P(Z>1,54)=0,0618 
P(Z<1,62)=0,9474 P(Z>-0,92)=0,8212 
 
 
“b” 
 
|𝛼| =
0,9216 − 1
2
→ 𝛼 = 0,0392 
 
𝑧2 = 1,76 
 
𝑧1 = −1,76 
 
 
|𝛼| =
0,8858 − 1
2
→ 𝛼 = −0,0571 
 
𝑧2 = 1,58 
 
𝑧1 = −1,58 
 
 
 
1 
 
3. Seja X uma v.a.c. normalmente distribuída com média 300 e desvio padrão 2. 
Calcule a probabilidade de X assumir valores 
a) Maiores que 302,48 
b) Maiores que 298,14 
c) Entre 297,6 e 303,86 
 
Solução: 
 
“a” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
302,48 − 300
2
→ 𝑧(𝑥 = 302,48) = 1,24 
 
𝑃(𝑥 < 302,48) = 0,8925 
 
𝑃(𝑥 > 302,48) = 1 − 0,8925 → 𝑃(𝑥 > 302,48) = 0,1075 
 
 
“b” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
298,14 − 300
2
→ 𝑧(𝑥 = 298,14) = −0,93 
 
 
𝑃(𝑥 < 298,14) = 0,1762 
 
 
 
𝑃(𝑥 > 298,14) = 1 − 0,1762 → 𝑃(𝑥 > 298,14) = 0,8238 
 
“c” 
 
𝑃(303,86 < 𝑥 < 297,6) = 𝑃(𝑥 < 303,86) − 𝑃(𝑥 < 297,6) 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
303,86 − 300
2
→ 𝑧(𝑥 = 303,86) = 1,93 
 
 
 
𝑃(𝑥 < 303,86) = 0,9732 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
297,6 − 300
2
→ 𝑧(𝑥 = 297,6) = −1,24 
 
𝑃(𝑥 < 297,6) = 0,1075 
 
𝑃(303,86 < 𝑥 < 297,6) = 0,8657 
 
2 
 
 
 
4. Seja X uma v. a. c. normalmente distribuída com média 100 e desvio padrão 
10. 
a) Seja X1 um particular valor de X. Calcule-o tal que: 
 P(X ≤ X1)=0,036 
 P(X ≤ X1)=0,9832 
 P(X ≥ X1) =0,0228 
 P(X ≥ X1)=0,6487 
 
b) Sejam X1 e X2 dois particulares valores simétricos tais que: 
 P(X1 ≤ X ≤ X2) =0,9 
 P(X1 < X < X2) =0,95 
 
Solução: 
 
“a” 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
𝑥 − 100
10
 
 
 
Item X1 
P(X ≤ X1)=0,036 
−1,8 =
𝑥 − 100
10
→ 𝑥 = 82 
 
 
P(X ≤ X1)=0,9832 
2,1 =
𝑥 − 100
10
→ 𝑥 = 121 
 
P(X ≥ X1) =0,0228 
−2 =
𝑥 − 100
10
→ 𝑥 = 80 
 
P(X ≥ X1)=0,6487 
0,38 =
𝑥 − 100
10
→ 𝑥 = 103,8 
 
 
 
 
Item X1, X2 
P(X1 ≤ X ≤ X2) =0,9 
1 − 𝑧(𝑥2) =
1 − 0,9
2
 
 
𝑧(𝑥2) = 0,95 
3 
 
 
𝑥2 = 1,64 
 
𝑥1 = −1,64 
 
P(X1 < X < X2) =0,95 
1 − 𝑧(𝑥2) =
1 − 0,95
2
 
 
𝑧(𝑥2) = 0,975 
 
𝑥2 = 1,96 
 
𝑥1 = −1,96 
 
 
 
 
 
5. Sendo X uma variável aleatória normalmente distribuída com média μ e desvio 
padrão σ, determine: 
a) P(μ –σ ≤ X ≤ μ + σ) 
b) P(μ -2σ ≤ X ≤ μ +2σ) 
c) P(μ-3σ ≤ X ≤ μ +3σ) 
 
Solução: 
 
“a” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧(𝑥 = 𝜇 − 𝜎) = −1 
 
𝑧(𝑥 = 𝜇 + 𝜎) = 1 
 
𝑃 = 𝑓(𝑧 = 1) − 𝑓(𝑧 = −1) 
 
𝑃 = 0,8413 − 0,1587 → 𝑃 = 0,6826 
 
“b” 
 
𝑧(𝑥 = 𝜇 − 𝜎) = −2 
 
𝑧(𝑥 = 𝜇 + 𝜎) = 2 
4 
 
 
𝑃 = 𝑓(𝑧 = 2) − 𝑓(𝑧 = −2) 
 
𝑃 = 0,9772 − 0,0228 → 𝑃 = 0,9544 
 
 
“c” 
 
𝑧(𝑥 = 𝜇 − 𝜎) = −3 
 
𝑧(𝑥 = 𝜇 + 𝜎) = 3 
 
𝑃 = 𝑓(𝑧 = 3) − 𝑓(𝑧 = −3) 
 
 
𝑃 = 0,9987 − 0,0013 → 𝑃 = 0,9974 
 
 
6. Peças produzidas por uma empresa tem diâmetros normais com média de 5 
cm e desvio padrão de 0,1 cm. Cada peça deve se encaixar em outra. Um 
encaixe é aceitável se o diâmetro da peça tiver de 4,92 cm a 5,08 cm. Suponha 
um lote casual de 1000 peças em quantas se pode esperar encaixe aceitável? 
 
Solução: 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
4,92 − 5
0,1
→ 𝑧(𝑥 = 4,92) = −0,8 
 
𝑧 =
5,08 − 5
0,1
→ 𝑧(𝑥 = 5,08) = 0,8 
 
𝑃 = 𝑓(𝑧 = 0,8) − 𝑓(𝑧 = −0.8) 
 
𝑃 = 0,7881 − 0,2119 → 𝑃 = 0,5762 
 
n(p)=576,2> 1000 ok 
n(1-p)=423,8>1000 ok 
 
 
7. Suponha que o peso das pessoas de certa comunidade tenha distribuição 
normal com média 60 kg e desvio padrão 10 kg. Determine a porcentagem das 
pessoas que pesam: 
 
5 
 
a) 55 kg ou mais 
b) 58 kg ou menos 
c) Entre 52 e 70 kg 
d) Entre 65 e 80 kg 
 
Solução: 
 
“a” 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
55 − 60
10
→ 𝑧(𝑥 = 55) = −0,5 
 
 
𝑃(𝑥 < 55) = 0,3085 
 
𝑃(𝑥 > 55) = 1 − 𝑃(𝑥 < 55) → 𝑃(𝑥 > 55) = 0,6915 
 
“b” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
58 − 60
10
→ 𝑧(𝑥 = 58) = −0,2 
 
𝑃(𝑥 < 58) = 0,4207 
 
“c” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
52 − 60
10
→ 𝑧(𝑥 = 52) = −0,8 
 
𝑃(𝑥 < 52) = 0,2119 
 
 
𝑧 =
70 − 60
10
→ 𝑧(𝑥 = 70) = 1 
 
𝑃(𝑥 < 70) = 0,8413 
 
 
𝑃(52 < 𝑥 < 70) = 𝑃(𝑥 < 70) − 𝑃(𝑥 < 52) 
 
6 
 
𝑃(52 < 𝑥 < 70) = 0,8413 − 0,2119 → 𝑃(52 < 𝑥 < 70) = 0,6294 
 
 
“d” 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
65 − 60
10
→ 𝑧(𝑥 = 65) = 0,5 
 
𝑃(𝑥 < 52) = 0,6915 
 
𝑧 =
80 − 60
10
→ 𝑧(𝑥 = 80) = 2 
 
 
𝑃(𝑥 < 80) = 0,9772 
 
𝑃(65 < 𝑥 < 80) = 𝑃(𝑥 < 65) − 𝑃(𝑥 < 80) 
 
𝑃(65 < 𝑥 < 80) = 0,9772 − 0,6915 → 𝑃(65 < 𝑥 < 80) = 0,2857 
 
 
 
8. Sabe-se que os graus atribuídos por certo professor a seus alunos têm 
distribuição normal com média 5 e desvio padrão 2. Os conceitos são: 
 
Grau 
A Grau maior ou igual a 8 
B Grau maior ou igual a 6 e inferior a 8 
C Grau maior ou igual a 4 e inferior a 6 
D Grau inferior a 4 
 
Determine a porcentagem de alunos com conceito A, B, C, e D. 
 
Solução: 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
8 − 5
2
→ 𝑧(𝑥 = 8) = 1,5 
 
𝑃(𝑥 < 8) = 0,9332 
 
𝑃(𝑥 > 8) = 1 − 𝑃(𝑥 > 8) → 𝑃(𝑥 > 8) = 6,68% 
7 
 
 
𝑧 =
6 − 5
2
→ 𝑧(𝑥 = 6) = 0,5 
 
𝑃(𝑥 < 6) = 0,6915 
 
𝑃(6 < 𝑥 < 8) = 𝑃(𝑥 < 8) − 𝑃(𝑥 < 6) 
 
𝑃(6 < 𝑥 < 8) = 0,9332 − 0,6915) → 𝑃(6 < 𝑥 < 8) = 24,17% 
 
𝑧 =
4 − 5
2
→ 𝑧(𝑥 = 4) = −0,5 
 
𝑃(𝑥 < 4) = 0,3085 
 
 
𝑃(4 < 𝑥 < 6) = 𝑃(𝑥 < 6) − 𝑃(𝑥 < 4) 
 
𝑃(4 < 𝑥 < 6) = 0,6915 − 0,3085 → 𝑃(4 < 𝑥 < 6) = 38,3% 
 
𝑃(𝑥 < 4) = 38,5% 
 
 
9. As vendas de determinado produto têm distribuição normal com media 500 e 
desvio padrão 50. Se a empresa decide fabricar 600 unidades no mês em 
estudo, qual é a probabilidade de não poder atender a todos os pedidos desse 
mês, por estar com a produção esgotada? 
 
Solução: 
 
𝑧 =
600 − 500
50
→ 𝑧(𝑥 = 600) = 2 
 
𝑃(𝑥 < 600) = 0,9772 
 
𝑃(𝑥 > 600) = 1 − 0,9772 → 𝑃(𝑥 > 600) = 0,0228 
 
 
10. Suponha que numa cidade a temperatura T durante junho seja normalmente 
distribuída com média 68º F e desvio padrão 6º F. Determine: 
a) T tal que P(T’≤T”)=0,9382 
b) A probabilidade de, num certo dia a temperatura estar entre 59º F e 65º F 
 
Solução: 
 
8 
 
“a” 
 
𝑧(𝑃 = 0,9382) = 1,54 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 1,54 =
𝑥 − 68
6
→ 𝑥 = 77,24 
 
“b” 
 
𝑃(59 < 𝑥 < 65) = 𝑃(𝑥 < 59) − 𝑃(𝑥 < 65) 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧(𝑥 = 59) =
59 − 68
6
→ 𝑧 = (𝑥 = 59) = −1,5 
 
𝑃(𝑥 < 59) = 0,0668 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧(𝑥 = 65) =
65 − 68
6
→ 𝑧(𝑥 = 65) = −0,5 
 
𝑃(𝑥 < 65) = 0,3085𝑃(59 < 𝑥 < 65) = 0,2417 
 
 
 
11. A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma normal 
de média μ e desvio padrão 20 gramas. Em quanto deve ser regulado o peso 
médio para que apenas 5% dos pacotes tenham peso acima de 500 gramas? 
 
Solução: 
 
𝑧(𝑥 = 0,95) = 1,645 =
500 − 𝜇
20
→ 𝜇 = 467,1 𝑔 
 
 
12. O gerente de um banco tem seu domicílio no bairro A. Ele deixa sua casa às 8 
h e 45 min dirigindo-se ao emprego e iniciando seu trabalho as 9 h. A duração 
dessa viagem tem média de 13 min e desvio padrão 3 min. Considerando 
tempo de duração da vigem como distribuição normal, determine a 
probabilidade do gerente chegar atrasado ao banco. 
 
Solução: 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
15 − 13
3
→ 𝑧 = 0,67 
 
9 
 
𝑃(𝑥 < 15) = 0,7486 
 
𝑃(𝑥 > 15) = 1 − 0,7486 → 𝑃(𝑥 > 15) = 0,2514 
 
 
13. A máquina de empacotar determinado produto o faz segundo uma normal com 
média μ e desvio padrão 10 gramas. Em quanto deve ser regulado o peso 
médio para que no máximo 10% dos pacotes tenham peso menor do que 500 
g? 
 
Solução: 
 
𝑧(𝑃 > 90%) = 1,28 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 1,28 =
500 − 𝜇
10
→ 𝜇 = 512,8 
 
 
14. Uma indústria produz xícaras com peso normalmente distribuído com média 
250 g e desvio padrão 5 g. Qual a probabilidade de uma xícara qualquer pesar: 
a) Entre 245 e 255g? 
b) Menos de 248g? 
c) Mais de 256g 
d) Entre 253 e 259 g? 
 
Solução: 
 
 
“a” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
245 − 250
5
→ 𝑧(𝑥 = 245) = −1 
 
𝑧 =
255 − 250
5
→ 𝑧(𝑥 = 255) = 1 
 
𝑃(𝑥 < 245) = 0,1587 
 
𝑃(𝑥 < 255) = 0,8413 
 
𝑃(245 < 𝑥 < 255) = 0,8413 − 0,1587 → 𝑃(245 < 𝑥 < 255) = 0,6826 
 
 
“b” 
 
10 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
248 − 250
5
→ 𝑧 = −0,4 
 
𝑃(𝑥 < 248) = 0,3446 
 
“c” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
256 − 250
5
→ 𝑧 = 1,2 
 
𝑃(𝑥 < 256) = 0,8849 
 
 
𝑃(𝑥 > 256) = 1 − 0,8849 → 𝑃(𝑥 > 256) = 0,1151 
 
“d” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
253 − 250
5
→ 𝑧(𝑥 = 253) = 0,6 
 
𝑃(𝑥 < 253) = 0,7257 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
259 − 250
5
→ 𝑧(𝑥 = 259) = 1,8 
 
𝑃(𝑥 < 259) = 0,9641 
 
𝑃(253 < 𝑥 < 259) = 0,9641 − 0,7257 → 𝑃(253 < 𝑥 < 259) = 0,2384 
 
 
 
 
15. A resistência à tração de isoladores cerâmicos apresenta distribuição normal 
com média 95 kg e desvio padrão 4 kg. 
a) Se forem produzidas 10.000 unidades desses isoladores, quantos 
apresentarão resistência inferior a 85 kg? 
b) Quantos apresentarão resistência superior a 90 kg? 
c) Se a fábrica despreza os isoladores térmicos que apresentarem resistência 
inferior a certo valor K, qual deve ser esse valor de K, para que a 
porcentagem de isoladores térmicos rejeitados seja inferior a 0,3%? 
 
Solução: 
 
“a” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
85 − 95
4
→ 𝑧 = −2,5 
11 
 
 
𝑃(𝑥 < 85) = 0,0062 
 
n(p)=10000(0,0062)→np=62 ≥ 5 ok 
n(1-p)=10000(1-0,0062)=9938 >5 
 
𝐸(𝑥) = 𝑛(𝑝) = 62 
 
“b” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
90 − 95
4
→ 𝑧 = −1,25 
 
𝑃(𝑥 < 90) = 0,1056 
 
𝑃(𝑥 > 90) = 1 − 0,1056 → 𝑃(𝑥 > 90) = 0,8944 
 
 
n(p)=10000(0,8849)→np=8844 ≥ 5 ok 
n(1-p)=10000(1-0,8849)=1156 >5 ok 
 
𝐸(𝑥) = 𝑛(𝑝) = 8844 
 
 
 
16. A vida média de um motor elétrico é de 6 anos com desvio padrão de 2 anos. 
Supondo distribuição normal para a vida de tal motor, qual deve ser a garantia 
para que no máximo 15% dos motores falhem antes de expirar a garantia? 
 
Solução: 
 
𝑧 = (𝑃 < 15%) = −1,04 
 
 
𝑧 = −1,04 =
𝑥 − 6
2
→ 𝑥 = 3,92 
 
 
17. A vida média das lâmpadas incandescentes produzida pela Luminex Brasil S. 
A. foi estimada em 2420 h, com desvio padrão de 110 h. Nessas condições, 
qual a probabilidade de uma lâmpada Luminex, vendida pelas lojas Mareteiro 
S.A, durar: 
a) Entre 2300 e 2450 h? 
b) Menos de 2500 h? 
c) Mais de 2380 h? 
d) Menos de 2390 ou mais de 2550 h? 
12 
 
 
Solução: 
 
“a” 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
2300 − 2420
110
→ 𝑧 = −1,09 
 
𝑃(𝑥 < 2300) = 0,1379 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
2450 − 2420
110
→ 𝑧 = 0,27 
 
𝑃(𝑥 < 2420) = 0,6064 
 
𝑃(2300 < 𝑥 < 2450) = 0,4685 
 
“b” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
2500 − 2420
110
→ 𝑧 = 0,73 
 
𝑃(𝑥 < 2500) = 0,7673 
 
“c” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 = −
2380 − 2420
110
→ 𝑧 = 0,36 
 
𝑃(𝑥 > 2380) = 0,6406 
 
 
“d” 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
2390 − 2420
110
→ 𝑧 = −0,27 
 
𝑃(𝑥 < 2390) = 0,3936 
 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 = −
2550 − 2420
110
→ 𝑧 = −1,18 
 
𝑃(𝑥 > 2550) = 0,1191 
 
𝑃 = 𝑃(𝑥 > 2550) + 𝑃(𝑥 < 2390) → 𝑃 = 0,5127 
 
 
 
13 
 
18. As normas de fiscalização estabelecem que o volume médio de um saco de 
leite deve ter 1000 ml, com uma variância absoluta de 400 ml2, sendo permitido 
que uma amostra aleatória tenha no máximo 5% das unidades com volume 
abaixo do mínimo previsto. 
 
a) Qual o volume mínimo permitido? 
b) Qual a variância da máquina para se obter os valores previstos pela 
fiscalização se a máquina for regulada para uma média de 1020 ml? 
 
Solução: 
 
“a” 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝜎2 → 𝜎 = 20 𝑚𝑙 
 
𝑧(𝑥 = 0,05) = −1,64 → 𝑧 =
𝑥 − 1000
20
→ 𝑥 = 967,2 
 
“b” 
 
𝑧(𝑥 − 0,05) = −1,64 =
967,2 − 1020
𝜎
→ 𝜎 = 32,19 → 𝜎2 = 1036,52 
 
 
19. Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração 
normal com média de 150 000 km e desvio padrão 5000 km. Qual a 
probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por esta 
firma, tenha um motor que dure: 
 
a) Menos de 170 000 km? 
b) Entre 140 000 e 165 000 km? 
c) Mais de 150 000 km? 
d) Exatamente 150 000 km? 
e) Se a fábrica substitui o motor que apresentar duração inferior à garantia, 
qual deve ser essa garantia, para que a porcentagem de motores 
substituídos seja inferior a 0,2% 
 
Solução: 
 
μ=150000; σ=5000 
 
“a” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
170000 − 150000
5000
→ 𝑧 = 4 
 
14 
 
𝑃(𝑥 < 170 000) = 1 
 
“b” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
140000 − 150000
5000
→ 𝑧 = −2 
 
𝑃(𝑥 < 140 000) = 0,0228 
 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
165000 − 150000
5000
→ 𝑧 = 3 
 
𝑃(𝑥 < 165 000) = 0,9987 
 
𝑃(140 000 < 𝑥 < 165 000) = 0,9759 
 
“c” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 = −
150000 − 150000
5000
→ 𝑧 = 0 
 
𝑃(𝑥 > 150000) = 0,5 
 
“d” 
 
𝑃(𝑥 = 150 000) = 0 
 
A probabilidade da distância percorrida ser exatamente um valor é zero pois se trata 
de uma distribuição contínua. 
 
 
“e” 
𝑧(𝑥 < 0,002) = −2,88 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ −2,88 =
𝑥 − 150000
5000
→ 𝑧 = 13600 
 
 
 
20. A capacidade máxima de um elevador é de 500 quilos. Se a distribuição X dos 
pesos dos usuários é suposta N(70; 10), qual é a probabilidade de 7 
passageiros ultrapassarem esse limite. 
 
Solução: 
 
𝜎 = √7(102) 
15 
 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 = −
490 − 500
26,46
→ 𝑧 = −0,38 
 
𝑃(𝑃𝑒𝑠𝑜 > 500) = 0,3520 
 
 
21. Um avião com 64 passageiros tem a sua carga máxima reservada aos 
passageiros limitada em 5820 kg. Supondo que os passageiros, mais suas 
bagagens, têm seus pesos distribuídos com média 80 kg e desvio padrão 25 
kg, determine a probabilidade de que o avião lotado, desprezando o peso dos 
tripulantes: 
a) Ultrapasse a carga máxima 
b) Tenha uma carga menor que 5400 kg 
c) Tenha uma carga compreendida entre 4800 e 5500 kg. 
 
Solução: 
 
𝜎 = √64(25)2 → 𝜎 = 200 
 
“a” 
 
𝜇 = 64(80) → 𝜇 = 5120 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 = −
5820 − 5120
200
→ 𝑧 = −3,5 
 
𝑃(𝑄 > 5820) = 0,0002 
 
 
“b” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
5400 − 5120
200
→ 𝑧 = 1,4 
 
𝑃(𝑄 < 5400) = 0,9192 
 
“c” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
4800 − 5120
200
→ 𝑧 = −1,6 
 
𝑃(𝑄 < 4800) = 0,0548 
 
 
16 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
5500 − 5120
200
→ 𝑧 = 1,9 
 
𝑃(𝑄 < 5500) = 0,9713 
 
𝑃(4800 < 𝑄 < 5500) = 0,9165 
 
 
 
22. O peso de um cigarro é a soma dos pesos do papel e do fumo. O peso médio 
do fumo é 1,16 g com desvio padrão 0,06 g. O peso médio do papel é 0,04 g 
com desvio padrão 0,02 g. Esses pesos tem distribuição normal. Os cigarros 
são feitos em máquina automática que pesa o fumo aser colocado no cigarro, 
coloca o papel e enrola o cigarro. Determinar: 
 
a) O peso médio e o desvio padrão de cada cigarro; 
b) A probabilidade de um cigarro ter menos de 1,13 g de peso. 
 
Solução: 
 
“a” 
 
𝜎 = √0,062 + 0,022 → 𝜎 = 0,06324 
 
𝜇 = 1,16 + 0,04 → 𝜇 = 1,2 
 
“b” 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
1,13 − 1,2
0,063
→ 𝑧 = −1,11 
 
 
𝑃(𝑝 < 1,13) = 0,1335 
 
 
23. Uma máquina automática enche latas baseada no peso bruto das mesmas. O 
peso líquido tem distribuição normal com média 910 g e desvio padrão 22 g. 
As latas tem peso distribuído normalmente com média de 90 g e desvio padrão 
10 g. Qual a probabilidade que uma lata tenha de peso bruto; 
 
a) Menos de 1070 g 
b) Mais de 970 g 
 
Solução: 
 
17 
 
“a” 
 
𝜇 = 910 + 90 → 𝜇 = 1000 𝑔 
 
𝜎 = √222 + 102 → 𝜎 = 24,17 
 
𝑧 =
1070 − 1000
24,17
→ 𝑧 = 2,90 
 
𝑃(𝑝 < 1070) = 0,9981 
 
“b” 
 
𝑧 = −
970 − 1000
24,17
→ 𝑧 = 1,24 
 
𝑃(𝑝 > 970) = 0,8925 
 
 
 
24. Sejam X1, X2, X3, ... , Xn, variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas, com média μ e variância σ², finitas. Considere a média amostral 
(1/n)(X1+X2+ X3+ ... +Xn ). Determine a média e a variância da média amostral. 
 
Solução: 
 
𝜇 = ∑ 𝜇𝑛
𝑛
0
 
 
 
𝜎2 = ∑ 𝜎𝑛
𝑛
0
 
 
 
25. Uma montagem consiste em três componentes colocados lado a lado. O 
comprimento de cada componente é distribuído normalmente, com média de 2 
polegadas e desvio padrão 0,2 polegada. As especificações exigem que as 
montagens tenham comprimento entre 5,7 e 6,3 polegadas. Que o percentual 
de montagens satisfaz essa exigência? 
 
Solução: 
 
18 
 
𝜎 = √3(0,22) → 𝜎 = 0,3464 
 
𝜇 = 3(2) → 𝜇 = 6 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
5,7 − 6
0,3464
→ 𝑧 = −0,86 
 
𝑃(𝑝 < 5,7) = 0,1949 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
6,3 − 6
0,3464
→ 𝑧 = 0,86 
 
𝑃(𝑝 < 6,3) = 0,8051 
 
𝑃(5,7 < 𝑝 < 6,3) = 0,6102 
 
 
 
26. Determine a média e a variância da combinação linear de variáveis 
independentes: 
 
Y = X1 + 2X2 +X3 +X4, onde X1 ~N(4,3); X2~(4,4); X3 ~N(2,4); X4 ~N(2,2). 
 
Qual a probabilidade que Y esteja entre 15 e 20? 
 
Solução: 
 
μx1=4 
μx2=4 
μx3=2 
μx4=2 
 
𝜇(𝑤) = 1(4) + 2(4) + 2 + 2 → 𝜇(𝑤) = 16 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑤) = 𝑎2𝜎𝑥
2 + 𝑏𝜎𝑦
2 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑤) = 1(32) + 2(42) + 1(42) + 1(22) → 𝑉𝑎𝑟(𝑤) = 93 
 
𝜎(𝑤) = √𝑉𝑎𝑟(𝑤) → 𝜎(𝑤) = 9,64 
 
𝑃(15 ≤ 𝑥 ≤ 20) =
15 − 16
9,64
≤ 𝑧 ≤
20 − 16
9,64
→ −0,1 ≤ 𝑧 ≤ 0,41 
 
0,4602 ≤ 𝑧 ≤ 0,6591 → 𝑃(15 ≤ 𝑥 ≤ 20) = 0,1989 
 
19 
 
 
27. O erro de arredondamento tem uma distribuição em U(-0,5;0,5), e esses erros 
são independentes. Faz-se uma soma de 50 números, em que cada número é 
arredondado antes de ser somado. Qual é a probabilidade de que o erro de 
arredondamento total exceda 5? 
 
Solução: 
 
𝜇 =
𝑎 + 𝑏
2
→ 𝜇 =
−0,5 + 0,5
2
→ 𝜇 = 0 
 
𝜎2 =
(𝑏 − 𝑎)2
12
→ 𝜎2 =
(0,5 + 0,5)2
12
→ 𝜎2 =
1
12
 
 
𝜎 = √
1
12
→ 𝜎 = 0,29 
 
𝜎50 = √50(0,29
2) → 𝜎50 = 2,04 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 = −
5 − 0
2,04
→ 𝑧 = −2,44 
 
𝑃(𝑥 < 5) = 0,0073 
 
 
 
28. Cem pequenos parafusos são embalados em uma caixa. Cada parafuso pesa, 
em média, uma onça com um desvio padrão 0,01 onças (medida inglesa de 
massa: 1 onça=28,349 gramas). Ache a probabilidade de que a caixa pese 
mais de 102 onças. 
 
Solução: 
 
𝜎 = √100(0,012) → 𝜎 = 0,1 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 = −
102 − 100
0,1
→ 𝑧 = −20 
 
𝑃(𝑥 > 102) = 0 
 
 
29. Um ônibus viaja entre duas cidades (1 e 8), mas visita seis cidades 
intermediárias na sua rota. As médias e os desvios padrão dos tempos de 
20 
 
viagem (normalmente distribuídos) estão na tabela. Considerando 
independência entre os trechos, qual a probabilidade de que o ônibus complete 
sua viagem dentro de 32 horas? 
 
 
Pares de cidades Tempo médio (horas) Desvio Padrão (horas) 
1-2 3 0,4 
2-3 4 0,6 
3-4 3 0,3 
4-5 5 1,2 
5-6 7 0,9 
6-7 5 0,4 
7-8 3 0,4 
 
Solução: 
 
𝜇 = 3 + 4 + 4 + 5 + 7 + 5 + 3 
 
𝜇 = 30 
 
𝜎 = √0,42 + 0,62 + 0,32 + 1,22 + 0,92 + 0,42 + 0,42 
 
𝜎 = 1,78 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
32 − 30
1,78
→ 𝑧 = 1,12 
 
𝑃(𝑥 ≤ 32) = 0,8686 
 
 
30. Um processo de produção fabrica itens dos quais 8% são defeituosos. Uma 
amostra aleatória de 200 itens é selecionada a cada dia e o número de 
defeituosos, X, é contado. Usando a aproximação normal para binomial, 
determine: 
 
a) P(X<16) 
b) P(X=14) 
c) P(12≤X≤20) 
 
Solução: 
 
“a” 
 
𝜇 = 𝑛𝑝 → 𝐸 = 200(0,08) → 𝐸 = 16 
 
21 
 
𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 
 
𝑞 = (1 − 𝑝) → 𝑞 = 0,92 
 
𝜎 = √200(0,08)0,92 → 𝜎 = 3,84 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
16,5 − 16
3,84
→ 𝑧 = 0,13 
 
𝑃(𝑥 < 16) = 0,5517 
 
“b” 
 
13,5 − 16
3,84
≤ 𝑧 ≤
14,5 − 16
3,84
→ −0,65 ≤ 𝑧 ≤ −0,39 
 
𝑃 = 0,3483 − 0,2578 → 𝑃 = 0,0905 
 
“c” 
 
 
 
11,5 − 16
3,84
≤ 𝑧 ≤
20,5 − 16
3,84
→ −1,17 ≤ 𝑧 ≤ 1,17 
 
 
𝑃 = 0,8790 − 0,121 → 𝑃 = 0,758 
 
X<n X>n 
Soma 0,5 Subtrai 0,5 
 
 
 
31. Pilhas de certa marca são acondicionadas de modo casual em embalagens de 
cem unidades. O produtor dessa marca opera com probabilidade 0,16 de uma 
pilha ser defeituosa. Calcule a probabilidade (aproximação binomial pela 
normal) de uma embalagem tomada ao acaso conter seis ou mais pilhas 
defeituosas. 
 
Solução: 
 
𝜇 = 100(0,16) → 𝜇 = 16 
 
𝜎 = √𝑛(𝑝)𝑞 → 𝜎 = √100(0,16)0,84 → 𝜎 = 3,67 
 
22 
 
 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 = −
5,5 − 16
3,67
→ 𝑧 = 2,87 
 
𝑃(𝑥 ≥ 6) = 0,9979 
 
x>n X<n 
Soma 0,5 Subtrai 0,5 
 
 
 
32. Uma fábrica de refrigeradores submete seus produtos acabados a uma 
inspeção final. Duas categorias de defeito são de interesse: acabamento (X) e 
mecânico (Y). O número de cada categoria de defeito é uma variável aleatória. 
Considere a probabilidade conjunta de (X, Y): 
 
Y 
X 
0 1 2 3 4 
0 1/30 1/30 2/30 3/30 1/30 
1 1/30 1/30 3/30 4/30 0 
2 1/30 2/30 3/30 0 0 
3 1/30 3/30 0 0 0 
4 3/30 0 0 0 0 
 
a) Determine a distribuição marginal de Y. 
b) Determine a distribuição de probabilidade do número de defeitos mecânicos, 
dado que há 3 defeitos de acabamento. 
 
Solução: 
 
 
 
“a” 
 
 
 
y Marginal 
0 8/30 
1 9/30 
2 6/30 
3 4/30 
4 3/30 
 
“b” 
 
23 
 
VER 
 
 
33. Considere uma situação em que se medem a tensão superficial e a acidez de 
um produto químico. Essas variáveis são codificadas de tal modo que a tensão 
superficial é medida em uma escala 0 < x < 2 e a acidez é medida em uma 
escala 2 < y < 4 seguintes. A função de probabilidade conjunta é: 
 
𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) = {
𝑘(6 − 𝑥 − 𝑦), 0 ≤ 𝑥 ≤ 2; 2 ≤ 𝑦 ≤ 4
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
a) Determine o valor apropriado de k 
b) Calcule P(X<1; y<3). 
 
Solução: 
 
“a” 
1 = 𝑘 ∫ ∫ (6 − 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
2
0
4
2
 
 
1 = 𝑘 ∫ (6𝑥 −
𝑥2
2
− 𝑦(𝑥))
4
2
|
0
2
= 𝑘 ∫ (12 − 2 − 2𝑦)𝑑𝑦
4
2
 
 
𝑘 ∫ (10 − 2𝑦)𝑑𝑦
4
2
= 𝑘(10 − 𝑦2)|2
4 
 
1 = 𝑘((40 − 16) − (20 − 4)) → 𝑘 =
1
8
 
 
“b” 
 
𝑃 = ∫ ∫
1
8
(6 − 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
1
0
3
2
→ 𝑃 = ∫
1
8
(6 −
1
2
− 𝑦) 𝑑𝑦
3
2
 
 
 
 
𝑃 = [
1
8
(6𝑦 −
1
2
𝑦 −
𝑦2
2
)]
2
3
→ 𝑃 =
1
8
((18 −
3
2
−
9
2
) − (12 − 1 − 2)) 
 
𝑃 =
1
8
(12 − 9) → 𝑃 =
3
8
 
 
 
34. Considere a seguinte função de probabilidade conjunta: 
Comentado [Aj1]: 
24 
 
 
𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) = {
𝑒−(𝑥+𝑦), 𝑥 > 0; 𝑦 > 0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
a) Calcule P(0,1<x<2; 1<y<2) 
b) Determine a marginal fx(x) 
 
Solução: 
 
“a” 
 
𝑃 = ∫ ∫ 𝑒−(𝑥+𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
2
0,1
2
1
 
 
𝑃 = ∫ [−𝑒−(𝑥+𝑦)]
2
1 0,1
2
𝑑𝑦 
 
𝑃 = ∫ (−𝑒−(2+𝑦) + 𝑒−(0,1+𝑦))𝑑𝑦
2
1
 
 
𝑃 = [𝑒−(2+𝑦) − 𝑒−(0,1+𝑦)]
1
2
 
 
𝑃 = (𝑒−4 − 𝑒−2,1) − (𝑒−3 − 𝑒−1,1) → 𝑃 = 0,1789 
 
“b” 
 
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑒−(𝑥+𝑦)𝑑𝑦
∞
0𝑦
 
 
𝑓(𝑥) = [−𝑒−(𝑥+𝑦)]
1
2
 
 
𝑓(𝑥) = {
𝑒−𝑥, 𝑥 > 0
0, 𝐶𝐶
 
 
 
35. Uma variável aleatória X, em uma grande população, tem distribuição normal 
com μ=20 e σ=3. Calcule a probabilidade de que umaamostra de 25 
elementos, selecionada ao acaso desta população, tenha média menor que 
21. 
 
Solução: 
 
𝜎 = √25(32) → 𝜎 = 15 
25 
 
 
𝜇 = 25(20) → 𝜇 = 500 
 
𝜇𝑒𝑠𝑝 = 25(21) → 𝜇𝑒𝑠𝑝 = 525 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
525 − 500
15
→ 𝑧 = 1,67 
 
𝑃(𝑥 < 1,67) = 0,9525 
 
 
36. Uma corretora negocia títulos na Bolsa de Valores e utiliza um modelo 
probabilístico para avaliar seus lucros. Suas aplicações financeiras de compra 
e venda atingem três áreas: agricultura, indústria e comércio. Admita que o 
seguinte modelo represente o comportamento do lucro diário da corretora (em 
mil reais): 
𝐿 = 2𝐿𝐴 + 5𝐿𝐼 + 3𝐿𝐶 
LA, LI e LC são, respectivamente, os lucros diários nos setores de agricultura, 
indústria e comércio. As distribuições de probabilidade dessas v. a. são LA~ 
(3,2), LI~N (6,3) e LC~N (4,4). Supondo independência entre os três setores, 
qual será a probabilidade de um lucro diário acima de R$50.000,00? 
 
Solução: 
 
𝜇(𝑤) = 2(3) + 5(6) + 3(4) → 𝜇(𝑤) = 48 0000 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑤) = 22(22) + 52(32) + 32(42) → 𝑉𝑎𝑟(𝑤) = 385 (106) 
 
𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑤) → 𝜎 = 19620 
 
𝑧(𝑥 > 50000) = −
50 − 48
19,62
→ 𝑧 = −0,1 
 
𝑃(𝑥 > 50000) = 0,4602 
 
 
37. Determine a média e a variância da combinação linear Y= X1+ 2X2 + 3X3, 
onde X1~N(4,3); X2 ~N(4,4); X3 ~N(8,4). Qual é a probabilidade de que Y 
esteja entre 32 e 34? 
 
Solução: 
 
𝜇(𝑤) = 4 + 2(4) + 3(8) → 𝜇(𝑤) = 36 
26 
 
 
𝑣𝑎𝑟(𝑤) = 12(32) + 22(42) + 32(42) → 𝑣𝑎𝑟(𝑤) = 217 
 
𝜎 = √𝑣𝑎𝑟(𝑤) → 𝜎 = 14,73 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
32 − 36
14,73
→ 𝑧 = −0,27 
 
𝑃(𝑥 < 32) = 0,3936 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
34 − 36
25,47
→ 𝑧 = −0,13 
 
𝑃(𝑥 < 34) = 0,4443 
 
𝑃(32 < 𝑥 < 34) = 0,0507 
 
 
 
38. Suponha a seguinte distribuição conjunta do par de variáveis contínuas X e Y: 
 
𝑓𝑥𝑦 = {
𝑐(𝑥2 + 𝑦2); 0 < 𝑥 < 2; 0 < 𝑦 < 2
0; 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
a) Qual o valor de c para termos uma função densidade probabilidade 
conjunta? 
b) Qual a probabilidade de ocorrer um valor de x superior a 1 simultaneamente 
com um valor de y<1? 
 
Solução: 
 
“a” 
 
∫ ∫ 𝑐(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
2
0
= 1
2
0
 
 
∫ 𝑐 [
𝑥3
3
+ 𝑦2𝑥]
0
2
𝑑𝑦
2
0
= ∫ 𝑐 [
8
3
+ 2𝑦2]
2
0
𝑑𝑦 = 1 
 
𝑐 [
8
3
𝑦 +
2
3
𝑦3]
0
2
= 1 → 𝑐 =
3
32
 
 
“b” 
 
27 
 
𝑃 = ∫ ∫
3
32
(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
2
1
1
0
→ 𝑃 = ∫
3
32
1
0
[
𝑥3
3
+ 𝑦2𝑥]
1
2
𝑑𝑦 
 
𝑃 = ∫
3
32
((
8
3
+ 2𝑦2) − (
1
3
+ 𝑦2 ))
1
0
𝑑𝑦 
 
𝑃 = ∫
3
32
(
7
3
+ 𝑦2)
1
0
𝑑𝑦 
 
𝑃 = [
3
32
(
7
3
𝑦 +
𝑦3
3
)]
0
1
→ 𝑃 =
3
32
(
8
3
) → 𝑃 =
1
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista adicional 1: 
 
1. Um posto de gasolina tem ilhas de autosserviço e de serviço completo. Em 
cada ilha, há uma única bomba de gasolina comum com duas mangueiras. 
Sejam X = número de mangueiras em uso na ilha de autosserviço em algum 
momento específico e Y = número de mangueiras na ilha de serviço completo 
naquele dado momento. A função de probabilidade de X e Y é mostarda a 
seguir: 
x 0 1 2 
y 
0 0,1 0,04 0,02 
1 0,08 0,2 0,06 
2 0,06 0,14 0,3 
 
a) Qual é a P(x=1 e Y=1)? 
b) Calcule P (X≤1 e Y≤1). 
c) Descreva o evento {X≠0 e Y≠0} e calcule a sua probabilidade 
d) Determine as funções marginais de X e Y 
e) X e Y são VAs independentes? Explique. 
Solução: 
 
“a” 
𝑃(𝑋 = 1 𝑒 𝑦 = 1) = 0,2 (𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎) 
 
“b” 
28 
 
𝑃(𝑋 ≤ 1 𝑒 𝑌 ≤ 1) = 𝑃(0,0) + 𝑃(0,1) + 𝑃(1,0) + 𝑃(1,1) 
 
𝑃(𝑋 ≤ 1 𝑒 𝑌 ≤ 1) = 0,1 + 0,04 + 0,08 + 0,20 → 𝑃(𝑋 ≤ 1 𝑒 𝑌 ≤ 1) = 0,42 
 
“c” 
 
𝑃(𝑋 ≠ 0, 𝑌 ≠ 0) = 1 − 𝑃(0,1) − 𝑃(0,2) − 𝑃(0,3) − 𝑃(0,0) − 𝑃(0,1) − 𝑃(0,2) − 𝑃(0,3) 
 
𝑃(𝑋 ≠ 0, 𝑌 ≠ 0) = 1 − 0,1 − 0,08 − 0,06 − 0,04 − 0,02 → 𝑃(𝑋 ≠ 0, 𝑌 ≠ 0) = 0,7 
 
“d” 
 
x 0 1 2 
 0,24 0,38 0,38 
 
 
y 0 1 2 
 0,16 0,34 0,5 
 
“e” 
 
Para ser independente: 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) 
 
𝑓(0,1) = 0,04 
 
𝑓(𝑥 = 0)𝑓(𝑦 = 1) = 0,24(0,38) → 𝑓(𝑥 = 0)𝑓(𝑦 = 1) = 0,0912 
 
Não são independentes. 
 
 
 
2. Se f(x,y) = x+y, 0<x<1 e 0<x<1, determine E(x). 
Solução: 
 
𝑓(𝑥) = ∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑦
 
 
𝑓(𝑥) = ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦
1
0
→ 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑦 +
𝑦2
2
|
0
1
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 +
1
2
 
 
29 
 
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
∞
 
 
𝐸(𝑥) = ∫ (𝑥2 +
𝑥
2
) 𝑑𝑥
1
0
→ 𝐸(𝑥) =
𝑥3
3
+
𝑥2
4
|
0
1
→ 𝐸(𝑥) =
7
12
 
 
 
3. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias que denotam a fração de um dia 
em que ocorre o pedido de mercadoria e a fração do dia em que ocorre o 
recebimento de um carregamento respectivamente. A função densidade de 
probabilidade conjunta é: f(x)=1 para 0≤x≤1 e 0≤y≤1. 
 
a) Qual a probabilidade de que ambos, pedido de mercadoria e recebimento de 
um carregamento ocorram na primeira metade do dia? 
b) Qual a probabilidade de que um pedido de mercadoria ocorra depois do 
recebimento de um carregamento? 
Solução: 
 
“a” 
 
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥
0,5
0
→ 𝑓(𝑥) = 0,5 
 
𝑓(𝑦) = ∫ 𝑑𝑦
0,5
0
→ 𝑓(𝑦) = 0,5 
 
𝑃 = 0,5(0,5) → 𝑃 = 0,25 
 
“b” 
 
𝑃 = ∫ ∫ 1𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
0
1
0
= ∫ 𝑦|0
𝑥
1
0
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑑𝑥
1
0
 
 
=
𝑥2
2
|
0
1
→ 𝑃 = 0,5 
 
 
4. Uma empresa produz peças para motor. As especificações sugerem que 95% 
dos itens estão dentro das especificações. As peças são enviadas para os 
clientes em lotes de 100. 
a) Qual a probabilidade de que mais de dois itens apresentem defeito em certo 
lote? 
b) Qual a probabilidade de que mais de dez itens apresentem defeito em certo 
lote? 
30 
 
Solução: 
 
“a” 
 
n(p)=5 ≥ 5 (ok) 
n(1-p)= 95 ≥ 5 (ok) 
 
𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 → 𝜎 = √100(0,95)0,05 → 𝜎 = 2,18 
 
𝜇 = 100(0,05) → 𝜇 = 5 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑧 = −
2,5 − 5
2,18
→ 𝑧 = 1,15 
 
𝑃(𝑥 > 2) = 0,8749 
 
 
“b” 
𝑧 = −
10,5 − 5
2,18
→ 𝑧 = −2,52 
 
𝑃(𝑥 > 10) = 0,0059