Lista - Calculo 1 - Limite, Continuidade e (um pouco de) Derivadas

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Ca´lculo 1 - Limite, Continuidade e (um pouco de) Derivadas
Professor Roney Rachide Nunes
roneyrnunes2@yahoo.com.br
Questa˜o 01. Seja f uma func¸a˜o tal que lim
x→2
f(x) existe. Enta˜o, determine seu valor, em cada caso abaixo.
1. lim
x→2
[x2 + f(x)] = 11
2. lim
x→2
x2 + x + 1
2f(x)
=
1
2
3. lim
x→2
[x · f(x)] = 9
4. lim
x→2
[6x + f(x)2] = 13
Em algum dos itens, podemos afirmar que a func¸a˜o e´ cont´ınua?
Questa˜o 02. Determine os falores de a e b para que f seja cont´ınua.
f(x) =

x2, se x ≤ −2;
ax + b, se − 2 < x < 2;
2x− 6, se x ≥ 2
Questa˜o 03. Determine o valor de a para a func¸a˜o f ser cont´ınua.
f(x) =

x2 − 2x + 1
x2 − 1 , se x 6= 1
a se x = 1
Questa˜o 04. Verifique se o desenvolvimento abaixo esta´ correto. Se na˜o, identifique e justifique o erro, e em
seguida calcule o limite por um procedimento correto.
lim
x→0
x2 · sen
(
1
x
)
= lim
x→0
x2 · lim
x→0
sen
(
1
x
)
= 0 · lim
x→0
sen
(
1
x
)
= 0
Questa˜o 05. Determine o valor de a na expressa˜o abaixo, para que o limite exista. Em seguida, calcule o valor
do limite.
lim
x→−2
3x2 + ax + a + 3
x2 + x− 2 .
Questa˜o 06. Determinie o valor de a e b para que exista
lim
x→∞
ax3 + bx2 + bx + 5
4x2 + 2x− 5 .
Questa˜o 07 (a). Determine restric¸o˜es sobre a, b e L de modo que f seja cont´ınua.
f(x) =

x2 − 3x + 2
x− 2 , se x > 2
L se x = 2
ax3 + bx2 + bx + L se x < 2
1
Questa˜o 07 (b). Esboce o gra´fico das func¸o˜es g(x) = x e h(x) = x2. Em seguida, determine o valor de a para
que a func¸a˜o abaixo seja cont´ınua e represente no gra´fico estes pontos.
f(x) =
{
x2, se x ≥ a
x, se x < a
Questa˜o 08. Para refletir um pouco... Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique
suas respostas (Se falso, deˆ um contra-exemplo. Se verdadeiro, demonstre!).
1. Se f e´ cont´ınua em x = 5, enta˜o f ′(5) existe.
2. Se lim
x→6
f(x) existe, enta˜o seu valor e´ igual a f(6).
3. E´ suficiente que lim
x→p f(x) exista, para que f seja cont´ınua em p.
4. Existe uma func¸a˜o f que assume apenas valores positivos, com limite negativo em um ponto.
5. Se f e´ sempre negativa, ainda assim e´ poss´ıvel que seu limite seja nulo em um dado ponto do domı´nio.
6. Se f e´ cont´ınua e lim
x→4−
f(x) = −4, enta˜o lim
x→4+
f(x) = 4.
7. Se f e´ uma func¸a˜o par e lim
x→2
f(x) = 8, enta˜o lim
x→−2
f(x) = 8.
8. Toda func¸a˜o limitada possui limite.
9. Se f tem limite em todos os pontos, enta˜o f e´ limitada.
10. Toda func¸a˜o limitada e´ cont´ınua.
11. Existem func¸o˜es cont´ınuas e limitadas.
12. Se f e´ uma func¸a˜o par e lim
x→0−
f(x) = f(0), enta˜o f tem limite em 0.
13. Se f e´ uma func¸a˜o ı´mpar e lim
x→0+
f(x) = f(0), enta˜o f tem limite em 0.
14. Se os lim
x→p+
f(x) = lim
x→p−
f(x), enta˜o f e´ cont´ınua em p.
15. f(x) =
x2 − 3x + 2
x− 1 e´ cont´ınua em x = 1.
16. Se lim
x→p |f(x)| existe, enta˜o limx→p f(x) tambe´m existe.
Questa˜o 09. Deˆ exemplo de func¸o˜es f e g tais que lim
x→∞ f(x) = +∞, limx→+∞ g(x) = +∞ e limx→+∞[f(x)−g(x)] 6= 0.
Questa˜o 10. Deˆ exemplo de func¸o˜es f e g tais que lim
x→p+
f(x) = L 6= 0, lim
x→p+
g(x) = 0 e lim
x→p+
f(x)
g(x)
na˜o existe.
Questa˜o 11. Deˆ exemplo de func¸o˜es f e g tais que lim
x→∞ f(x) = +∞, limx→+∞ g(x) = +∞ e limx→+∞
f(x)
g(x)
6= 1.
Questa˜o 12. Deˆ exemplo de func¸o˜es f e g tais que lim
x→2
f(x) = 0, e lim
x→2
f(x)g(x) seja igual a sua idade.
Questa˜o 13. Deˆ exemplo de func¸o˜es f e g tais que lim
x→11
f(x) = +∞ e lim
x→11
f(x)g(x) seja igual ao nu´mero de
letras de seu nome.
(Questa˜o 14 a 18... Feitas em sala de aula... Tente agora demonstra´-las voceˆ mesmo...)
Questa˜o 14 Demonstre que se f e´ diferencia´vel em p, enta˜o f e´ cont´ınua em p. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o
que e´ cont´ınua em p mas na˜o e´ diferencia´vel em p.
Questa˜o 15 Prove que se f e g sa˜o func¸o˜es deriva´veis em p, enta˜o f + g tambe´m e´ deriva´vel em p, e
(f + g)′(p) = f ′(p) + g′(p)
2
Questa˜o 16 Prove que se f e g sa˜o func¸o˜es deriva´veis em p, enta˜o f · g tambe´m e´ deriva´vel em p, e
(f · g)′(p) = f ′(p)g(p) + f(p)g′(p)
Questa˜o 17 Prove que se f e g sa˜o func¸o˜es deriva´veis em p, enta˜o f/g tambe´m e´ deriva´vel em p, e(
f
g
)′
(p) =
f ′(p)g(p)− f(p)g′(p)
g(p)2
Questa˜o 18 Prove que se f e´ deriva´vel em p e k e´ um nu´mero real, enta˜o kf e´ deriva´vel em p, e
(kf)′(p) = kf ′(p)
3