Aula 03_-_Limites_infinito-EDITADO

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[Curso: Tecnólogo em Gestão Ambiental 
[Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 
[Professor: 
[Contato do professor: e-mail e telefone 
[Aula: 01 
[Título: Conceito Geral de Limites 
[Revisor(a): 
[Contato do revisor: e-mail e telefone 
 
 
[REVISÃO LINGUÍSTICA 
Ao revisor: observações do autor. 
 
Ao autor: observações do revisor. 
 
[DIAGRAMAÇÃO 
Ao autor: 
1. As figuras com função de ilustração (adornamento) podem ser apenas 
sugeridas no texto limitando por chaves “{“ e “}”. 
Ex.: {inserir figura de uma pessoa adulta gesticulando} 
2. O aparecimento da mascote também pode ser sugerido da mesma forma. 
Ex.: {inserir mascote} 
 
Ao diagramador: observações do autor. 
 
 
[CONTEÚDO: 
LIMITES LATERIAS E CÁLCULO DE LIMITES 
 
[APRESENTANDO A AULA 
Na aula 02 desta disciplina, vocês entenderam como fazer o cálculo algébrico 
de limites laterais. Também entenderam como calcular limites de uma função 
em pontos onde a função não está definida, encontrando expressões 
equivalentes para isso. Lembrando que essas expressões equivalentes são 
obtidas a partir de fatorações que foram revisadas na aula passada. Nesta aula 
03, ampliaremos o conceito de limites, introduzindo o elemento infinito, que 
representamos por ∞. Lembrando que ∞ é apenas um símbolo, por isso não 
podemos efetuar com ele as operações que realizamos com os números reais. 
 
DEFININDO OBJETIVOS 
Com esta aula esperamos que vocês sejam capazes de: 
 
 
 Calcular limites quando 𝑥 → ±∞; 
 Calcular e entender limites infinitos; 
 Fazer uso de limites fundamentais. 
 
DESENVOLVENDO O CONTEÚDO 
 
Limites no infinito quando 𝒙 → ±∞ 
 
Este símbolo para o infinito (∞), não representa nenhum número real. 
Usamos (∞) para descrever o comportamento de uma função quando os 
valores em seu domínio ou imagem superam todos os valores finitos, ou seja, 
está acima de qualquer número real (FINNEY, THOMAS, WEIR, 2002). 
Por exemplo, a função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 é definida para qualquer valor de 𝑥 ≠ 0. 
Quando x é um valor extremamente grande a função é um valor cada vez 
pequeno, bem próximo de zero. Quando x é negativo e cada vez maior em 
módulo, a função é cada vez menor e novamente um valor bem próximo de 
zero. Assim podemos sintetizar afirmando que 
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→±∞
1
𝑥
= 0 
 
Vejamos algumas estratégias para calcular limites de uma função no 
infinito: 
Primeiro vamos calcular os limites das funções constantes e das funções 
𝑦 =
1
𝑥
, mas por que o limite da função 𝑦 =
1
𝑥
 ? É devido a existencia to teorema 
01 enunciado logo abaixo que irá nos auxiliar nesse tipo de função. 
Temos ainda o teorema, que irá nos ajudar bastante no calculo de limites 
no infinito. 
 
Teorema 01: Se 𝑛 é um número inteiro positivo, então: 
𝑖) lim
𝑥→+∞
1
𝑥𝑛
= 0. 
𝑖𝑖) lim
𝑥→−∞
1
𝑥𝑛
= 0. (aqui será necessário colocar o lembre-se 01) 
 
 
 
 
Podemos ilustrar melhor o teoremas com os gráficos abaixo: 
 
Figura 01: Gráfico da função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Devemos lembrar que as propriedades dos limites permanecem inalteradas 
quando substituímos 𝑥 → 𝑎 por 𝑥 → +∞ ou 𝑥 → −∞. 
 
Exemplo 01: Deteminar lim
𝑥→+∞
3𝑥−2
𝑥+1
. 
Solução: 
Perceba que neste caso, temos uma indeterminação do tipo 
∞
∞
. Isso significa 
que podemos utilizar alguns artifícios algébricos para quebrar essa 
ideterminação. 
Neste caso vamos primeiro dividir o númerador e o denominador por x, 
ficando assim: 
lim
𝑥→+∞
3𝑥 − 2
𝑥 + 1
= lim
𝑥→+∞
3𝑥 − 2
𝑥
𝑥 + 1
𝑥
= lim
𝑥→+∞
3𝑥
𝑥 −
2
𝑥
𝑥
𝑥 +
1
𝑥
= lim
𝑥→+∞
3 −
2
𝑥
1 +
1
𝑥
 
 
 
Fazendo uso da propriedades dos limites, temos que: 
lim
𝑥→+∞
3 −
2
𝑥
1 +
1
𝑥
=
lim
𝑥→+∞
(3 −
2
𝑥)
lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥)
=
lim
𝑥→+∞
3 − lim
𝑥→+∞
2
𝑥
lim
𝑥→+∞
1 − lim
𝑥→+∞
1
𝑥
=
3 − lim
𝑥→+∞
2 . lim
𝑥→+∞
1
𝑥
1 − lim
𝑥→+∞
1
𝑥
 
De acordo com o Teorema 01, temos que: 
3 − lim
𝑥→+∞
2 . lim
𝑥→+∞
1
𝑥
1 − lim
𝑥→+∞
1
𝑥
=
3 − 2.0
1 − 0
=
3
1
= 3 
 
Exemplo 02: Encontrar lim
𝑥→−∞
𝑥3−4𝑥+1
2𝑥5−7
 
 
Solução: Perceba que estamos novamente diante de uma indeterminação 
do tipo 
∞
∞
. Neste caso para podermos quebrar essa ideterminação será 
necessário utilizar o seguinte artifício, dividir o númerador e o denominador 
pela maior potência do 𝑥, que é 𝑥5. 
Desta forma teremos o seguinte: 
lim
𝑥→−∞
𝑥3 − 4𝑥 + 1
2𝑥5 − 7
= lim
𝑥→−∞
𝑥3 − 4𝑥 + 1
𝑥5
2𝑥5 − 7
𝑥5
= lim
𝑥→−∞
𝑥3
𝑥5
−
4𝑥
𝑥5
+
1
𝑥5
2𝑥5
𝑥5
−
7
𝑥5
 
Simplificando as frações temos: 
lim
𝑥→−∞
𝑥3
𝑥5
−
4𝑥
𝑥5
+
1
𝑥5
2𝑥5
𝑥5
−
7
𝑥5
= lim
𝑥→−∞
1
𝑥2
−
4
𝑥4
+
1
𝑥5
2 −
7
𝑥5
 
Fazendo uso das propriedades dos limites temos que 
lim
𝑥→−∞
1
𝑥2
−
4
𝑥4
+
1
𝑥5
2 −
7
𝑥5
=
lim
𝑥→−∞
(
1
𝑥2
−
4
𝑥4
+
1
𝑥5
)
lim
𝑥→−∞
(2 −
7
𝑥5
)
= 
lim
𝑥→−∞
1
𝑥2
− lim
𝑥→−∞
4
𝑥4
+ lim
𝑥→−∞
1
𝑥5
lim
𝑥→−∞
2 − lim
𝑥→−∞
7
𝑥5
=
lim
𝑥→−∞
1
𝑥2
− 4. lim
𝑥→−∞
1
𝑥4
+ lim
𝑥→−∞
1
𝑥5
2 − 7. lim
𝑥→−∞
1
𝑥5
 
De acordo com o teorema 01, faremos o seguinte: 
lim
𝑥→−∞
1
𝑥2
− 4. lim
𝑥→−∞
1
𝑥4
+ lim
𝑥→−∞
1
𝑥5
2 − 7. lim
𝑥→−∞
1
𝑥5
=
0 − 4.0 + 0
2 − 7.0
=
0
2
= 0 
 
 
 
Exemplo 03: Determine lim
𝑥→+∞
3𝑥+4
√𝑥2−2
. 
Solução: devido estarmos diante de mais uma indeterminação do tipo 
∞
∞
, 
temos que uilizar mais uma vez alguns artifícios algébricos que neste caso será 
dividir o numerador e o denominador por 𝑥. Como no denominador temos a 
variável dentro de uma raíz quadradra, vamos dividir o numerador por 𝑥 e o 
denominador por √𝑥2, a fim de facilitar os cálculos algébricos. 
Vale lembrar que isso é possível pelo fato de 𝑥 = √𝑥2. Dessa forma temos 
o seguinte: 
lim
𝑥→+∞
3𝑥 + 4
√𝑥2 − 2
= lim
𝑥→+∞
3𝑥 + 4
𝑥
√𝑥2 − 2
√𝑥2
= lim
𝑥→+∞
3𝑥
𝑥 +
4
𝑥
√𝑥
2 − 2
𝑥2
= lim
𝑥→+∞
3 +
4
𝑥
√𝑥
2
𝑥2
−
2
𝑥2
 
lim
𝑥→+∞
3 +
4
𝑥
√1 −
2
𝑥2
 
Fazendo uso das propriedades de limites, temos que: 
lim
𝑥→+∞
3 +
4
𝑥
√1 −
2
𝑥2
=
lim
𝑥→+∞
(3 +
4
𝑥)
lim
𝑥→+∞
(√1 −
2
𝑥2
)
=
lim
𝑥→+∞
3 + lim
𝑥→+∞
4
𝑥
√ lim
𝑥→+∞
(1 −
2
𝑥2
)
=
lim
𝑥→+∞
3 + 4. lim
𝑥→+∞
1
𝑥
√ lim
𝑥→+∞
1 − lim
𝑥→+∞
2
𝑥2
=
3 + 4. lim
𝑥→+∞
1
𝑥
√1 − 2. lim
𝑥→+∞
1
𝑥2
 
De acordo com o Teorema 01, podemos fazer o seguinte: 
3 + 4. lim
𝑥→+∞
1
𝑥
√1 − 2. lim
𝑥→+∞
1
𝑥2
=
3 + 4.0
√1 − 2.0
=
3
√1
=
3
1
= 3 
 
Exemplo 04: lim
𝑥→+∞
(2𝑥3 − 2𝑥 + 1) 
Solução: perceba que estamos diante de uma indeterminação, porque 
fazendo as substituições temos o seguinte resultado, ∞ − ∞. Neste caso 
temos que fazer uso de artifícios algébricos para solucionar este caso. 
 
 
Vamos colocar em evidência o termo de maior potência na variável, assim 
temos: 
lim
𝑥→+∞
(2𝑥3 − 2𝑥 + 1) = lim
𝑥→+∞
2𝑥3 (1 −
2𝑥
2𝑥3
+
1
2𝑥3
) = 
lim
𝑥→+∞
2𝑥3 (1 −
1
𝑥2
+
1
2𝑥3
) 
Fazendo uso das propriedades de limites temos que: 
lim
𝑥→+∞
2𝑥3 (1 −
1
𝑥2
+
1
2𝑥3
) = lim
𝑥→+∞
2𝑥3. lim
𝑥→+∞
(1 −
1
𝑥2
+
1
2𝑥3
) 
lim
𝑥→+∞
2𝑥3. [ lim
𝑥→+∞
1 − lim
𝑥→+∞
1
𝑥2
+ lim
𝑥→+∞
1
2𝑥3
]= 
lim
𝑥→+∞
2𝑥3. [1 − 0 + 0] = lim
𝑥→+∞
2𝑥3 = 2. ∞3 = ∞ 
 
De acordo com o exemplo 04, podemos enunciar o teorema dois abaixo: 
 
Teorema 02: Se 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛, é uma função 
polinomial, então: 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 
Dessa forma podemos dizer que o limite de uma função polinomial, 
quando 𝑥 → ∞, é igual ao limites apenas do termo de maior expoente. 
 
ATIVIDADE 01 
 
01) Calcule os limites abaixo: 
 
a) lim
𝑥→+∞
(2𝑥 + 3) 
b) lim
𝑥→−∞
(2𝑥3 − 4) 
c) lim
𝑥→+∞
√𝑥2 − 2𝑥 + 2 
d) lim
𝑥→+∞
3𝑥+2
5𝑥−1
 
e) lim
𝑥→+∞
5−4𝑥
2𝑥−3
 
f) lim
𝑥→+∞
4𝑥−1
3𝑥2+5𝑥−2
 
g) lim
𝑥→+∞
(1 −
2
𝑥
+
5
𝑥2
) 
 
 
h) lim
𝑥→+∞
𝑥2−1
𝑥−3
 
i) lim
𝑥→+∞
𝑥2−1
𝑥−1
 
j) lim
𝑥→+∞
√𝑥2+1
𝑥+1
 
 
02) De acordo com os gráficos abaixo, determine os limites pedidos: 
a) Abaixo temos o gráfico da função 𝑓(𝑥)= (𝑥 + 2)2, a partir dele 
calcule: lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥). 
 
Figura 02: gráfico da função 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
b) Abaixo temos o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥3, a partir dele calcule: 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥). 
 
Figura 03: gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
 
 
c) Abaixo temos o gráfico da função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
+ 2, a partir dele calcule: 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥). 
Figura 04: Gráfico da Função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
+ 2 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
d) Abaixo temos o gráfico da função 𝑓(𝑥) =
|𝑥|
𝑥
, a partir dele calcule: 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥). 
Figura 05: Gráfico da Função 𝑓(𝑥) =
|𝑥|
𝑥
 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
Limites Infinitos 
Vamos analisar graficamente o comportamento da função 𝑓(𝑥) =
1
(𝑥+2)2
. 
Figura 06: gráfico da função 𝑓(𝑥) =
1
(𝑥+2)2
 
 
 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
 Analisando intuitivamente o comportamento da função 𝑓(𝑥) =
1
(𝑥+2)2
 
perceba que quando o 𝑥 está próximo de −2, o valor de 𝑓(𝑥) cresce 
ilimitadamente. Isso quer dizer que podemos tornar o 𝑓(𝑥) tão grande quanto 
desejarmos. Quando isso acontece podemos dizer que: 
lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = ∞ 
Ou seja estamos diante de um limite infinito. 
Agora apresentaremos um teorema que irá nos ajudar no cálculo de limites 
infinitos. 
Teorema 03: Se 𝑛 é um número inteiro positivo qualquer, então: 
 
i) lim
𝑥→0+
1
𝑥𝑛
= +∞ 
 
ii) lim
𝑥→0−
1
𝑥𝑛
= {
+∞, 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟
−∞, 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
(aqui será necessário colocar o lembre-se 
02) 
 
 
De certa forma as propriedades dos limites visto na aula 01, permanecem 
válidas para os limites infinitos. 
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 01: Calcular lim
𝑥→0
(2𝑥 +
1
𝑥4
− 5𝑥) 
 
Solução: fazendo aplicações diretas e fazendo uso do teorema 03, temos 
que, 
lim
𝑥→0
(2𝑥 +
1
𝑥4
− 5𝑥) = 2.0 + ∞ − 5.0 = 0 + ∞ − 0 = +∞ 
 
Exemplo 02: Calcular lim
𝑥→∞
(2𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 5) 
 
Solução: fazendo aplicações diretas nos deparamos com a ideterminação 
do tipo +∞ − ∞, neste caso teremos que fazer uso de artifícios algébricos, 
vejamos, 
lim
𝑥→∞
(2𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 5) = 2. ∞ − 4. ∞ + ∞ + 5 = ∞ − ∞ + ∞ 
Neste tipo de situação, uma dica é você colocar variável de maior expoente 
em evidência, 
lim
𝑥→∞
(2𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 5) = lim
𝑥→∞
𝑥3 (2 −
4
𝑥
+
1
𝑥2
−
5
𝑥3
) 
Aplicando as propriedades de limites temos que, 
lim
𝑥→∞
𝑥3. lim
𝑥→∞
(2 −
4
𝑥
+
1
𝑥2
−
5
𝑥3
) = ∞3. (2 − 0 + 0 − 0) = +∞ 
 
Exemplo 03: Calcular lim
𝑥→5+
2𝑥−7
2𝑥−10
 
 
Solução: neste exemplo parece que teremos uma divisão por zero mas não, 
porque na verdade estamos atribuindo valores próximos a 5, mas maiores que 
5. Assim temos, 
 
lim
𝑥→5+
2𝑥 − 7
2𝑥 − 10
=
2.5 − 7
2. 5+ − 10
=
10 − 7
10+ − 10
=
3
0+
 
 
 
 
Esse resultado indica que estamos tomando um valor muito próximo de 
zero pela direita, ou seja, um valor positivo maior que zero, mas bem próximo 
de zero. Temos como resultado o seguinte: 
 
3
0+
= +∞ 
 
Exemplo 04: Calcular lim
𝑥→5−
2𝑥−7
2𝑥−10
 
 
Solução: neste exemplo parece que teremos uma divisão por zero mas não, 
porque na verdade estamos atribuindo valores próximos a 5, mas menores que 
5. Assim temos, 
 
lim
𝑥→5−
2𝑥 − 7
2𝑥 − 10
=
2.5 − 7
2. 5− − 10
=
10 − 7
10− − 10
=
3
0−
 
 
Esse resultado indica que estamos tomando um valor muito próximo de 
zero pela esquerda, ou seja, um valor negativo menor que zero, mas bem 
próximo de zero. Temos como resultado o seguinte: 
 
3
0−
= −∞ 
 
Exemplo 05: Calcular lim
𝑥→2+
−𝑥+3
2−𝑥
 
 
Solução: neste exemplo parece que teremos uma divisão por zero mas não, 
porque na verdade estamos atribuindo valores próximos a 2, mas maiores que 
2. Assim temos, 
 
lim
𝑥→2+
−𝑥+3
2−𝑥
=
−2+3
2−2+
=
1
0−
= −∞ (aqui será necessário colocar o lembre-se 
03) 
 
 
 
Exemplo 06: Calcular lim
𝑥→2+
3𝑥2−4
𝑥2+𝑥−6
 
 
Solução: neste se fizermos a substituição direta temos que o denominador 
resulta em zero, então podemos fatorar o denominador a fim de percebermos se 
esse valor que está próximo de zero é positivo ou negativo. Lebrando que essa 
fatoração é por decomposição de raízes de uma equação do segundo grau já 
vista na aula 02. 
 
lim
𝑥→2+
3𝑥2 − 4
𝑥2 + 𝑥 − 6
= lim
𝑥→2+
3𝑥2 − 4
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
 
 
Neste caso percebemos que o denominador se aproxima de zero pela 
direita, ou seja é um valor próximo de zero, mas positivo. Assim, 
 
lim
𝑥→2+
3𝑥2 − 4
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
=
8
0+
= +∞ 
 
ATIVIDADE 02 
 
01) Se 𝑓(𝑥) =
1
(𝑥+3)2
 calcule: 
 
a) lim
𝑥→−3+
𝑓(𝑥) 
b) lim
𝑥→−3−
𝑓(𝑥) 
c) lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) 
d) lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 
 
02) Calcule os seguintes limites: 
 
a) lim
𝑥→−∞
𝑥2 + 2𝑥 − 3 
b) lim
𝑥→+∞
5𝑥4−3𝑥3+𝑥2+5𝑥+4
3𝑥+2
 
 
 
c) lim
𝑥→5+
3𝑥−1
3𝑥−15
 
d) lim
𝑥→2−
𝑥2+2𝑥−5
𝑥2+𝑥−6
 
e) lim
𝑥→−∞
𝑥2+𝑥+7
𝑥3−1
 
f) lim
𝑥→+∞
3𝑥2+2𝑥−5
6𝑥2−7𝑥+1
 
 
Limites Fundamentais 
 
Alguns limites apresentam certas dificuldades para se calcular fazendo uso 
do que já foi estudado até o momento por isso faremos uso de alguns 
resultados prontos, apresentaremos três deles, conhecidos como limites 
fundamentais. 
 
Limite Fundamental número 01 
 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 
 
Exemplo 01: Calcular lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5𝑥
 
Solução: neste caso é possível ser feito uma simples substituição de 5𝑥 por 𝑢, 
pelo simples fato de que neste caso se 𝑥 → 0, então 𝑢 → 0, logo temos que 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5𝑥
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑢
𝑢
 
Fazendo uso do primeiro limite fundamental temos que 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑢
𝑢
= 1 
Obs.: sempre que tivermos o limite do seno de um determinado valor, dividido 
por esse valor, com esse valor tendendo a zero o seu limite será 1. 
 
Exemplo 02: Calcular lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
𝑥
 
 
Solução: neste caso a solução utilizar artifícios algébricos afim de deixar esse 
limite semelhante ao limite fundamental número 01. O que faremos agora será 
 
 
multiplicar o numerador e o denominador por 5, em seguida utilizaremos as 
propriedades de limites. 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
5.
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5. 𝑥
= lim
𝑥→0
5. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5. 𝑥
 
lim
𝑥→0
5. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5. 𝑥
= 5.1 = 5 
 
Exemplo 03: Calcular lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
 
 
Solução: a ideia neste caso também é utilizar artifícios algébricos afim de 
deixar esse limite semelhante ao limite fundamental número 01. O que faremos 
agora será trabalhar separados os numerador e o denominador, ou seja, calcular 
um limite apenas no numerador e outro no denominador. Vejamos, 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
=
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛3𝑥
=
lim
𝑥→0
5𝑥
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5𝑥
lim
𝑥→0
3𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
3𝑥
 
lim
𝑥→0
5𝑥
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5𝑥
lim
𝑥→0
3𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
3𝑥
=
lim
𝑥→0
5𝑥. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5𝑥
lim
𝑥→0
3𝑥. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛3𝑥
3𝑥
= lim
𝑥→0
5𝑥
3𝑥
.
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
3𝑥
 
lim
𝑥→0
5𝑥
3𝑥
.
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
3𝑥
= lim
𝑥→0
5
3
.
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
3𝑥
=
5
3
.
1
1
=
5
3
 
 
Exemplo 04: Calcular lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
 
 
Solução: a ideia neste caso também é utilizar artifícios algébricos afim de 
deixar esse limite semelhante ao limite fundamental número 01. O que faremos 
agora será trabalhar multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado 
do numerador que será 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 em seguida utilizaremos outros artifícios 
algébricos. Vejamos, 
lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→0
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑥2. (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
= lim
𝑥→0
1 − (𝑐𝑜𝑠𝑥)2
𝑥2. (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
 
lim
𝑥→0
1 − (𝑐𝑜𝑠𝑥)2
𝑥2. (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
= lim
𝑥→0
(𝑠𝑒𝑛𝑥)2
𝑥2. (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
= lim
𝑥→0
(𝑠𝑒𝑛𝑥)2
𝑥2
.
1
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
 
 
 
(lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
)
2
. lim
𝑥→0
.
1
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
= 12.
1
1 + 1
= 1.
1
2
=
1
2
 
 
 
Limite Fundamental número 02 
 
lim
𝑥→±∞(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 
 
Sendo 𝑒 o número neperiano e vale 2,71828... , esse número foi comentado 
na aula 01. 
 
Exemplo 04: Calcular lim
𝑥→+∞
(1 +
2
𝑥
)
𝑥
 
Solução: aqui também será necessário fazermos uma substituição de 
2
𝑥
=
1
𝑢
, ou 
𝑥 = 2𝑢, e consequentemente temos que se 𝑥 → +∞, então 𝑢 → +∞, daí temos 
que fazendo as substituições 
 
 
lim
𝑥→+∞
(1 +
2
𝑥
)
𝑥
= lim
𝑢→+∞
(1 +
1
𝑢
)
2𝑢
= lim
𝑢→+∞
[(1 +
1
𝑢
)
𝑢
]
2
= [ lim
𝑢→+∞
(1 +
1
𝑢
)
𝑢
]
2
 
[ lim
𝑢→+∞
(1 +
1
𝑢
)
𝑢
]
2
= 𝑒2 
 
Limite Fundamental número 03 
 
lim
𝑥→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
= ln 𝑎 
 
Exemplo: Calcular lim
𝑥→0
2𝑥−5𝑥
𝑥
 
Solução: agora vamos tentar deixar esse limite semelhante ao limite 
fundamental número 03. Neste caso o artifício utilizado será de colocar o 
segundo termo do numerador em evidência que neste caso é 5𝑥. Portanto, 
 
 
lim
𝑥→0
2𝑥 − 3𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
3𝑥 (
2𝑥
3𝑥 − 1)
𝑥
= lim
𝑥→0
3𝑥
[(
2
3)
𝑥
− 1]
𝑥
 
lim
𝑥→0
3𝑥
[(
2
3)
𝑥
− 1]
𝑥
= lim
𝑥→0
3𝑥 . lim
𝑥→0
[(
2
3)
𝑥
− 1]
𝑥
= 30. ln
2
3
= 1. ln
2
3
= ln
2
3
 
 
Atividade 03 
Calcule os limites abaixo: 
 
a) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛4𝑥
𝑥
 
b) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛9𝑥
𝑠𝑒𝑛10𝑥
 
c) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
3𝑥
 
d) lim
𝑥→+∞
(1 +
4
𝑥
)
𝑥
 
e) lim
𝑥→0
𝑎𝑥−𝑏𝑥
𝑥
 
f) lim
𝑥→+∞
(
𝑥
1+𝑥
)
𝑥
 
g) lim
𝑥→1
3𝑥−1−1
𝑥−1
 
 
[LEMBRE-SE! – 
Primeiro - 01 
Intuitivamente perceba que se dividirmos um número real por um valor muito 
grande que tende ao infinito, em módulo resulta em um valor muito próximo 
de zero, verifique isso fazendo testes com uma calculadora. 
 
Segundo - 02 
Perceba que esse valor é de fácil percepção. Basta dividir um número qualquer 
por um outro bem próximo de zero, que você terá um valor muito grande. Pode 
também ser verificado fazendo uso de uma calculadora. 
 
Terceiro - 03 
 
 
Quando você se deparar com 0+ ou 0−, não significa que o zero é positivo ou 
negativo, mas sim estamos diante de um valor bem próximo de zero e esse 
valor pode ser positivo ou negativo. 
 
 
[RESUMINDO 
 
Nesta aula, vimos como podemos calcular melhor os limites no infinito e 
limites que tem como resultado infinito. Vimos também como encontrar 
expressões equivalentes, a fim de resolver problemas de indeterminações com 
expressões envolvendo infinito, que é um problema comum em problemas de 
limites no infinito e limite infinito, bem como trabalhamos também com alguns 
limites fundamentais. Assim podemos calcular limites de funções que 
apresentam tais características. 
 
[LEITURAS COMPLEMENTARES 
(Indicação de leituras complementares, seguida de rápido comentário da obra: 
texto, filme, site, etc) 
 
[AVALIANDO SEUS CONHECIMENTOS 
01) Considere a função real definida por 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−2
. É verdade que: 
 
a) se 𝑥 tende para +∞, 𝑓(𝑥) tende para zero. 
b) se 𝑥 tende para +∞, 𝑓(𝑥) tende para −∞. 
c) para qualquer valor de 𝑥, 𝑓(𝑥) é um número negativo. 
d) se 𝑥 é um número muito próximo de 2, 𝑓(𝑥) é um valor muito próximo de 
1
2
. 
e) 𝑓(2) = 0. 
 
02) Calcule os limites abaixo: 
 
a) lim
𝑥→+∞
√𝑥2 − 2𝑥 + 2 
 
b) lim
𝑥→+∞
4𝑥2−3𝑥+2
2𝑥+3
 
 
c) lim
𝑥→+∞
3𝑥−2
3𝑥2+2𝑥−1
 
 
 
 
03) Calcule os limites infinitos abaixo: 
 
a) lim
𝑥→5+
𝑦+5
𝑦2−25
 
 
b) lim
𝑥→5+
1
|𝑥−5|
 
 
04) Calcule os limites abaixo, para isso lembre-se das regras de limites 
fundamentais: 
 
a) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛4𝑥
3𝑥
 
 
b) lim
𝑥→+∞
(1 +
10
𝑥
)
𝑥
 
c) lim
𝑥→2
10𝑥−2−1
𝑥−2
 
 
 
 
 
 
CONHECENDO AS REFERÊNCIAS 
 
 
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. Ed. Porto Alegre: Bookman, 
2000. 1v. 
 
FINNEY, Maurice D., THOMAS Jr. George B., WEIR, Frank R. Giordano. 
Cálculo. 10. Ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002. Volume 1. 
 
FLEMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A. 6. Ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
GUIDORIZZI, Hmilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2001. 1v. 
 
IEZZI, Gelson, MACHADO, Nilson José, MURAKAMI, Carlos. Fundamentos 
de Matemática Elementar: limites, derivadas, noções de integral. 6. Ed. São 
Paulo: Atual, 2005. 
 
 
 
 
 
ILUSTRAÇÕES POR PÁGINA (responsabilidade do diagramador) 
 
IMPORTANTE! 
Professor: não esqueça de que, ao inserir uma imagem no meio da aula, 
você deve colocar abaixo a referência do site de onde retirou ou da obra da 
qual você a escaneou)