simulado Calc3 II

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Testinho Simulado de Ca´lculo III 2a Unidade
Prof. Emerson Lima
Escola Polite´cnica de Pernambuco
Resumo
Leia atentamente todas as questo˜es antes de comec¸ar a prova. As
respostas obtidas somente tera˜o validade se devidamente justificadas.
Evite usar material diferente do que foi apresentado em sala. Se for
utilizar algum material extra, justifique-o adequadamente para valida´-
lo. Esta prova tem durac¸a˜o de 2:00hs (Duas horas)
Questa˜o 1. Para cada func¸a˜o dada, indique seu domı´nio, esboc¸e as curvas
de n´ıvel indicadas e calcule seu gradiente e a derivada direcional df
d~u
indicada
a) f(x, y) = x
2
x2+y2
, c = 0, 1/4 e 2, ~u = (4,−2)
b) f(x, y) = ln
(
y
x2
)
, c = −2, 0 e 1, ~u = (1, 4)
Questa˜o 2. Para cada func¸a˜o dada, identifique a equac¸a˜o da curva ou
superf´ıcie de n´ıvel que passa pelo ponto P dado.
a) f(x, y) = tan
−1x
y
, P (1, 2) (Encontre tambe´m a equac¸a˜o do plano tangente
passando por este ponto)
b) f(x, y, z) = x2 + 2y2 − 2xyz, P (−1, 2, 1) (Calcule tambe´m ∂2
∂x∂y
, ∂
2
∂z∂x
e
∂3
∂x∂y∂z
)
Questa˜o 3. Encontre e classifique os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo
a) f(x, y) = (x2 + y2)ex
2−y2 , (x, y) ∈ IR2
b) f(x, y) = −2y
x2+y2+1
, {(x, y) ∈ IR2, x2 + y2 ≤ 4}
c) f(x, y) = xyz, onde x2 + 2y2 + 3z2 = 6
Questa˜o 4. Fornec¸a o que se pede:
a) Integral de F (x, y) = (xy2, x) ao longo da elipse x
2
9
+ y
2
4
= 1 (uma volta).
b) A matriz Hessiana de f(x, y) = x
2−y2
1+xy
.
c) O Divergente e o Rotacional do campo vetorial F (x, y, z) = (3x, y +
z, xyz).
d) A matriz Jacobiana e o Jacobiano da transformac¸a˜o x = 2u+v, y = u−v
e z = 3w.
e) O gradiente, usando a regra da cadeia, de f(x, y, z) = x2y + xyz onde
x = 2u + v, y = u− v e z = 3w nas varia´veis u, v e w.
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