Teoria das Trelicas Vol V

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Rev__Vol. V Fernando Monteiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
BREVE REVISÃO SOBRE: 
 
 
 
 
ESTÁTICA 
E 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões – Vol. V Fernando Monteiro 
 
“ TEORIA DAS TRELIÇAS “ 
 
I. GENERALIDADES 
Treliças são estruturas formadas por barras ligadas pelas extremidades, formando um conjunto rígido, que 
mantém sua geometria durante o carregamento. Os pontos de união das barras, denominados NÓS DA 
TRELIÇA, são admitidos no cálculo como articulações perfeitas (rótulas), embora a ligação tenha alguma 
rigidez. 
As cargas nas treliças, são sempre aplicadas nos seus nós, evitando o aparecimento de momentos fletores 
nas barras, ficando assim apenas sujeitas a esforços axiais (força normal de tração ou de compressão). 
As treliças são utilizadas segundo o mesmo propósito das vigas, destacando-se pela vantagem de 
alcançarem vãos muito superiores, visto que as barras das treliças se encontram unicamente sujeitas a 
esforços axiais (podendo deste modo utilizar toda a resistência do material), ao passo que as vigas sendo 
em geral fletidas, usam somente parte desta resistência, conforme se percebe na figura seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. TIPOS DE TRELIÇAS 
Existem TRELIÇAP á g i n a | 177S PLANAS (treliças cujas barras e cujo carregamento estão em um 
único plano) e TRELIÇAS ESPACIAIS (treliças cujas barras e cujo carregamento se encontram dispostos 
em diversos planos). Entretanto, na maioria dos casos, as treliças espaciais podem ser reduzidas a um 
sistema de treliças planas. Veja o exemplo seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 1. Redução de uma treliça espacial em treliças planas 
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a) Quanto a estabilidade geométrica 
De uma forma geral, podemos classifica-las como sendo: 
 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
TRELIÇAS HIPOSTÁTICAS, são treliças geometricamente instáveis e portanto nunca devem ser 
utilizadas. 
 
 
 
 
 
 
 
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS, são treliças geometricamente estáveis e estaticamente determinadas, ou seja, 
os esforços nas barras são determinados apenas com a aplicação das equações fundamentais da estática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRELIÇAS HIPERESTÁTICAS, são treliças geometricamente estáveis, mas estaticamente 
indeterminadas, ou seja, para se determinar os esforços nas barras, além das equações fundamentais da 
estática, são necessárias equações suplementares advindas da compatibilidade de deslocamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Quanto a lei de formação 
 
Quanto a lei de formação as treliças isostáticas podem ser: 
 
SIMPLES, são as treliças formadas a partir de três barras, ligadas em triângulo, juntando-se a estas duas 
novas barras para cada novo nó. A figura seguinte, apresenta algumas treliças isostáticas simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPOSTAS, são as treliças formadas pela ligação de duas ou mais treliças simples, por meio de rótulas 
ou barras bi-rotuladas. A figura 3 apresenta algumas treliças isostáticas compostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COMPLEXAS, são as treliças que não obedecem às regras de formação das anteriores. A figura 4 apresenta 
alguns exemplos de treliças isostáticas complexas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Exemplos de utilização das Treliças 
 
 
Transmissão de Cargas para as Treliças 
 
Treliça de Cobertura 
 
 
 
 
 
 
 
 
Treliça de Ponte 
 
 
 
 
 
 
 
Ligações das Extremidades das Barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecanismo de Treliças Aplicado a Outros Sistemas Estruturais 
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d) Nomenclatura Utilizada 
 
É comum, utilizar-se, para as barras das treliças, a seguinte nomenclatura: 
• Banzo superior - Barras do contorno superior da treliça. 
• Banzo inferior - Barras do contorno inferior da treliça. 
• Montantes - Barras verticais, e as vezes perpendicular ao banzo superior, internas da treliça. 
• Diagonais - Barras inclinadas e internas da treliça. 
• Diagonal (ou montante) de apoio - São as diagonais (ou montantes) da treliça que fazem parte de seu 
contorno e situam-se sobre um apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e) CÁLCULO DE ESFORÇOS NAS BARRAS DE TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 
 
Para se obter os esforços normais nas barras de treliças isostáticas planas existem métodos analíticos e 
métodos gráficos. Entre os primeiros (métodos analíticos) destacam-se o MÉTODO DE RITTER e o 
MÉTODO DOS NÓS (Equilíbrio de nós) e entre os métodos gráficos destacam-se o EQUILÍBRIO 
GRÁFICO DOS NÓS e o PLANO CREMONA. 
Na presente disciplina vamos estudar o Método dos Nós. 
 
Método dos nós 
O método dos nós, também conhecido por EQUILÍBRIO DE NÓS, é o método analítico mais indicado 
quando se deseja obter os esforços normais em todas as barras da treliça. 
Consiste no equilíbrio de cada nó isoladamente, através das equações: 
Para que o método fique mecânico pode-se utilizar o seguinte roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RECAPITULANDO: A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Treliças Planas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO 1: 
 Método do equilíbrio dos nós 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NOTA IMPORTANTE: 
Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças que agem nos nós 
D e E são iguais às dos nós B e A, respetivamente. Portanto, não há necessidade de se calcular as forças 
nos nós D e E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCICIO 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografias Consultadas: 
 
 
 
Apostilas da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto – FEUP, das Disciplinas: “ Mecânica 
Racional, Mecânica dos Sólidos, Resistência dos Materiais e Mecânica Estrutural “; 
 
Apostilas do Instituto Superior Técnico da Universidade de Lisboa – IST, da disciplina “ Mecânica 
Estrutural e Análise de Estruturas “ 
 
Apostila da Universidade Federal de Santa Cataria - UFSC, das disciplinas de “ Mecânica dos Sólidos, 
Resistência dos Materiais e Analise Estrutural “ 
 
Apostila da Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ, da disciplina de “ Resistência dos 
Materiais “; 
 
Apostilas da Universidade de Campinas – Unicamp, das disciplina de “ Resistência dos Materiais e 
Sistemas Estruturais “; 
 
Apostila da Universidade Politécnica de São Paulo, intitulada: “ Curso básico de Resistência dos 
Materiais “; 
 
Apostilas da PUC - Rio Grande do Sul, na disciplina “ Resistência dos Materiais I “; 
 
Apostila da FATEC, da disciplina de “ Mecânica dos Materiais “; 
 
Apostilas da Faculdade de Engenharia da Ilha Solteira – UNESP, das disciplinas de “ Mecânica dos 
Sólidos e Mecânica dos Materiais “ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Notas Finais: 
 
Caríssimos Alunos: 
 
O presente documento, resulta da consulta de várias apostilas disponibilizadas na internet, 
provenientes de Universidades Brasileiras e Portuguesas, pretendendo unicamente ser um elemento de 
consulta rápida, com o propósito de relembrar alguns conceitos já ministrados em outras disciplinas afins. 
Estes apontamentos não dispensam de modo algum a bibliografia aconselhada na presente 
disciplina. 
 
 
 Boa Leitura. 
 
 Fernando Monteiro 
 
 ( UNINOVE ) 
 Curso de Engenharia Civil, 2016